资源简介

【北师大版专用】七年级数学下册期末考试
压轴解答题真题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（24-25七年级下·安徽淮南·期末）已知长方形在平面直角坐标系中，连接线段，，且交于点．

(1)如图1，边与轴平行，是轴的正半轴上一点，是轴的正半轴上一点，的平分线和的平分线交于点，若，求的度数；
(2)如图2，若长方形的三个顶点，，的坐标分别为，，．
①请直接写出点的坐标；
②若长方形以每秒1个单位的速度向下运动，设运动的时间为秒．是否存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形的面积的一半？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
2．（23-24七年级下·陕西西安·期末）数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，是的中点，求边上的中线的取值范围．
(1)小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点，使，连接．根据可以判定，得出．这样就能把线段集中在中．利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围是
(2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题：如图2，在中，是边上的一点，是的中线，，试说明：；
(3)如图3，是的中线，过点分别向外作，使得，判断线段与的关系，并说明理由．
3．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）如图，，点E，F分别为直线，上的点，点在两平行线与之间，连接的平分线交于点．
(1)如图1，过点作，若，求的度数；
(2)如图2，的平分线的反向延长线交于点．
①试说明：；
②请直接写出与的数量关系．
4．（24-25七年级下·安徽合肥·期末）已知射线平分，点为上任意一点，过点作直线交射线于点．
(1)如图1，若，则=______；
(2)点是射线上一动点（不与点，重合），平分交于点，过点作交于点．
①如图2，若，当时，求的度数；
②当点在线段上运动时（不与点，重合），设，，判断和之间的数量关系，并证明．
③当点在线段延长线上运动时，设，，直接写出和之间的数量关系______．
5．（24-25七年级下·河北石家庄·期末）【概念认识】
如图①，在内，若，则，叫做的“三分线”．其中，是“邻AB三分线”， 是“邻三分线”．
【问题解决】
(1)如图①，是“邻三分线”，则______；
(2)如图②，在中，，若的“邻三分线” 交于点，则______；
(3)如图③，在中，，分别是和的“邻三分线”，且，求的度数．
6．（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，在的内部有一点，过点分别作，．
(1)与有怎样的数量关系？并说明理由；如果点P在的外部，结论还成立吗？
(2)请你用文字语言表述以上结论．
(3)类比这个结论，你能提出新的猜想吗？画出图形并进行验证．
7．（24-25七年级下·河北张家口·期末）在中，．
(1)如图1，若分别是上的点，且．求的度数；
(2)如图2，，点是上的点，过点作于点．若，猜想线段和的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，若，，分别是，上的点，且，当的值最小时，直接写出的度数．
8．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）如图（）把一块含的直角三角板的边放置于长方形直尺的边上，斜边与交于点．
(1)如图（），________
(2)如图（），现把三角板绕点逆时针旋转，当，且点恰好落在边上时，
请直接写出________（结果用含的代数式表示）；
若比的一半多，求的值．
(3)如图（），现将射线绕点以每秒的转速逆时针旋转得到射线，同时射线绕点以每秒的转速顺时针旋转得到射线，当射线旋转至与重合时，则射线、均停止转动，设旋转时间为．当时，求出此时的值．
9．（24-25七年级下·河北沧州·期末）如图1，已知，直线与之间有一点（点在直线的右侧），连接，．
(1)若，则的度数为 ；
(2)探究与之间的数量关系，并说明理由；
(3)已知，点M，N分别在直线，上，点均在直线的右侧，连接，且平分．
①如图2，若点均在直线和之间，平分，且，求的度数；
②如图3，若点在直线和之间，点在直线的下方，平分．设，且，请直接写出的度数（用含α的代数式表示）．
10．（24-25七年级下·广东广州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，已知点在第一象限，点和在x轴上，其中负数b的立方根等于它本身，又．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)已知线段与y轴交于点，点P为y轴正半轴上一点，且满足，请直接写出点P的坐标；
(3)点M为线段上一点（不与A，B两点重合），点N为线段上一点（不与A，C两点重合）．
①如图2，若，点Q是线段上一点，连接，的角平分线和的角平分线交于点E，试探究与的数量关系并证明；
②如图3，若，，连接，交于点F．记的面积为，的面积为，的面积为，已知，求出n的值．
11．（24-25七年级下·广东广州·期末）已知直线，点、分别为直线、上的点，点是与之间任意一点，连接、过直线上的另一点作直线，直线交直线于点．
(1)如图，若，求的度数；
(2)如图，求证：；
(3)如图，点是与之间除了点外的任意一点，，，过点作的垂线交于点，连接，，，求的度数．
12．（24-25七年级下·广东肇庆·期末）如图，在平面直角坐标系中，是轴负半轴上一点，是轴负半轴上的一点，轴并交轴负半轴于，且，．
(1)求点、、的坐标；
(2)如图，点从出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度移动，点从出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度移动．在点，移动的过程中，连接，，使的面积是面积的倍，求出点的坐标；
(3)如图，当点在线段上运动时，作交于点，、的平分线交于点，则点在运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
13．（24-25七年级下·广东佛山·期中）在平面直角坐标系中，，，，且．
(1)填空：______，______；
(2)如图（1），平移线段至的位置，使A点的对应点是点C，B点的对应点是点D，连接，，直线交x轴于点P，求点D与点P的坐标；
(3)如图（2），连接，点T是x轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，求的长．
14．（24-25七年级下·广东深圳·期末）“图形的变化”是初中几何的重要模块之一，为更好地研究图形在某种变换下具有怎样的性质，某校七年级数学小组设计如下探究活动并提出问题：
如图，在中，，，点为射线上一点，连接，以为一边且在的右侧作正方形，
(1)当点在上时，如图1，和的数量关系为 ，位置关系为 ；
(2)当点运动到延长线上时（图2），以上两种关系还成立吗？如果成立，请给出证明．
(3)在（2）的条件下，若，连接，，在点的运动过程中，的面积是否为定值？若是，请求出该定值，若不是，请说明理由．
15．（23-24七年级下·福建龙岩·期中）亲爱的同学们，学习数学要求我们用数学的眼光观察现实世界．一副三角尺为我们观察世界提供了一个小小的“窗口”，学完平行线的性质，可探究三角尺不同位置摆放涉及的数学问题．如图①所示的是一副三角尺，，，，．
(1)将两个三角尺按如图②所示的方式摆放，使点与点重合，点在上，与相交于点，求的度数；
(2)如图③，将三角尺的直角顶点放在直线上，使，三角尺的顶点在直线上，与相交于点，则与有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)如图④，将三角尺固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的顶点重合．当点在直线的下方时，探究这两个三角尺一组边互相平行的情况，并直接写出所有可能的度数．
16．（24-25七年级下·陕西西安·期末）（1）如图1，等腰直角的直角顶点在直线上，，，过点作于点，过点作于点，若，，则的长度为______．
（2）如图2，在等腰中，，在的右侧作，且使得，若，求的面积．
（3）如图3，在长方形中，，，点在线段上，且，点为线段上一个动点（不与点、点重合），连接，在的右侧作，且使得，连接、，求周长的最小值．
17．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）【问题提出】
（1）如图①，点A在线段的垂直平分线上，，则的度数为______；
【问题探究】
（2）如图②，点A在线段的垂直平分线上，点E在的延长线上，交的延长线于点D，延长至点F，使得，过点F作交的延长线于点G，判断与是否相等，并说明理由；
【问题解决】
（3）如图③，是某公园的一块草坪示意图，点A在的垂直平分线上，点D在的延长线上，小路于点E，交于点F，在边上有一口灌溉水井G．为方便游客饮水与休息，在与的交点O处修建了游客饮水区，并在E处修了一座凉亭．若，，求游客饮水区O到凉亭E的距离．（小路的宽度及水井与凉亭的大小均忽略不计）
18．（24-25七年级下·陕西汉中·期末）如图，将向右平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，连接并延长至点H，点B、C、E、F在一条直线上，连接，．

(1)若，求的度数；
(2)若G是线段上的点，连接，且，，试说明平分．
19．（24-25七年级下·北京通州·期末）如图1， ，点E是直线和直线之间内一点，连结，，求证：．
沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作，这样把分成与，然后分别证明，，因此可以证明．
解答下列问题：
(1)请选择与沐沐不同的解题思路，证明．
(2)如图3，已知，平分，平分，如果，求的度数．
(3)如图4， ，点A，B是直线上两个定点，点C、D是直线上两个定点，点M、N分别是直线上动点，连结，，，直接写出，，，四个角之间所有的等量关系．
20．（24-25七年级下·北京海淀·期末）对于的不等式（其中），我们称不等式“”是它的“逆不等式”，不等式“”是它的“否不等式”．
(1)对于不等式，它的“逆不等式”是___________；它的“逆不等式”和“否不等式”解集的公共部分是___________；
(2)对于的不等式（其中），
①若它的“逆不等式”和“否不等式”有相同的解集，求的数量关系；（用等式表示）
②若存在唯一的负整数，使得它的“逆不等式”和“否不等式”同时成立，直接写出的取值范围．
21．（24-25七年级下·北京石景山·期末）已知不等式（组）和不等式（组）都有解，若不等式（组）的解集中的任何一个值都是不等式（组）的解，则称不等式（组）“包围”不等式（组）．例如，的解集是的解集是，所以不等式“包围”不等式．
(1)已知不等式，则以下不等式（组）能“包围”不等式的有______．
①；②；③④
(2)已知不等式，不等式，若不等式“包围”不等式，则的取值范围是______．
(3)已知关于的不等式“包围”不等式组，若且满足，求的取值范围．
22．（24-25七年级下·北京·期末）直线，与 的平分线交于点，的延长线交于点，过点作 ，交的延长线于点 ．
(1)如图1，与平行吗？ 为什么？
(2)如图2，点 在线段 上，点在线段 上，连接、， 平分 若 求 的度数；
(3)在（2）的条件下，以点为顶点，为边，在 下方作 ，交 的延长线于点 ，求 与 之间的数量关系．
23．（24-25七年级下·河南郑州·期末）综合与实践
在学习全等三角形的过程中，我们探究了一些常见的全等模型，积累了一定的研究经验．下面是数学活动课上李老师给出的问题，请你解答：
已知在中，，，点D在边上，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，则，且．连接并延长交的延长线于点F，求的度数．
【特殊情形】
（1）如图1，当点D与点B重合时，则的度数为______°．
【一般情形】
（2）如图2，当点D不与点C，点B重合时，求出的度数．
①小金同学想先求出，从而给出如下解题思路：过点E作交的延长线于点M．
②小水同学想先求出，从而给出如下解题思路：在上截取，连接．
请你选择一名同学的解题思路，写出求解过程．
【学以致用】
（3）如图3，在中，，，．请以为直角边在右侧构造等腰直角三角形，连接，则的面积为______．
24．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在中，，点是上一点，且，点是射线上一动点（点不与点重合，且），在射线上截取，连接．
(1)当点与点A重合时，线段和之间的关系是______；
(2)当点在线段上，且与点A不重合时，判断线段，，之间存在什么关系？并说明理由；
(3)当点在线段的延长线上时，线段，，之间存在什么关系？请直接写出结果．
25．（24-25七年级下·河南平顶山·期末）如图（1），点P是等边三角形内的任意一点，过点P向三边作垂线，垂足分别为D，E，F．试探究与周长的关系．记， 的周长．
(1)从特殊情形入手：
①若点P在的中心，如图（2），此时l与c的关系为________；
②若点P在的一条高上，如图（3），此时①中的结论还成立吗？请说明理由．
(2)若点P不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决，请直接在图（4）中画出解决问题所需的所有辅助线．
26．（24-25七年级下·河南信阳·期末）学行线的知识后，数学兴趣小组围绕“三角形的内角和是”，进行了一系列探究，过程如下：
【探究】（1）方法1：过的顶点作，就能证明“三角形内角和定理”，请你完成这个证明．
如图1，在中，过顶点作，求证：．
【论证】（2）方法2：如果将顶点这个特殊的位置换成边上的任意一点，过点分别作出另外两边的平行线，也能证明“三角形内角和定理”，请你先画出辅助线，再完成这个证明．
如图2，在中，是边上的任意一点，求证：．
请聪明的你利用以上探究的结论解决：
【应用】（3）如图3，在中，的平分线与的角平分线交于点，过点作，在射线上，且，的延长线与的延长线交于点．
①设，则________（用含的代数式表示）；
②设，的度数为________．（用含的代数式表示）
27．（24-25七年级下·山西长治·期末）【教材呈现】以下是华师大版七年级下册数学教材第143页的部分内容：
如图1，、都是等腰直角三角形，，作出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形．

【操作发现】
在图1中画出以点为旋转中心，逆时针旋转后的三角形，写出旋转前后与其对应线段的数量关系和位置关系：_____；
【探究理由】
如图2，将绕点逆时针旋转得到，设、分别与交于点、，试判断与的数量关系和位置关系，并说明理由；
【问题解决】
如图3，将绕点逆时针旋转得到，点恰好落在上，与交于点．若与关于直线对称，且，，则
①_____°；
②线段的长是_____．
28．（24-25七年级下·河南郑州·期末）（1）观察发现
如图1，在四边形中，平分，与互补，，则与的数量关系是______．
（2）性质探究
如图2，在四边形中，平分，与互补，，则（1）中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请根据图2的情况加以说明；若不成立，请说明理由．
（3）问题拓展
如图3，在中，，平分，，点E为边上一点，当时，请直接写出线段的值．
29．（24-25七年级下·河南郑州·期末）学完三角形和图形的轴对称相关知识后，老师出示了以下问题：
(1)【基础探究】如图（1），点分别在线段上，与相交于点，，若要使，需要添加一个条件．请从“条件：①；②；③”中选择一个你认为正确的条件，说明．
(2)【类比迁移】如图（2），在中，，，分别平分 和，，交于点．小明发现，图（1）中，若连接，则和关于线段所在的直线成轴对称图形，但图（2）不是轴对称图形，于是小明过点作的对称点，构造出轴对称图形．得出以下结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）．
(3)【拓展应用】如图（3），点是平分线上的一点，、分别是、边上的动点，若使，请直接写出和的数量关系．
30．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，是等边三角形，为平面内一点，连接，将绕点逆时针旋转度得到线段，连接，．
(1)如图1，若，求和的数量关系；
(2)如图2，若，连接，，已知是的中点，试判断与的位置关系并证明；
(3)如图3，在（2）的条件下，，分别是，上的动点，且，是线段的中点，连接，求当取最小值时的度数．
参考答案
1．(1)的度数为
(2)①；②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半
本题考查了平行线的性质、平面直角坐标系中点的坐标、动点问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）设，，过点作，则，根据平行线的性质解题；
（2）①由长方形的性质写出坐标；
②延长交轴于点，则，列出对应方程，进行求解．
（1）解：如图1，设，，
的平分线和的平分线交于点，
，，
，
，
，
，
过点作，则，
，
，
，
即的度数为；
（2）解：①∵，，，
∴，
由长方形的性质知，
∴；
②存在某一时刻，使得三角形的面积等于长方形面积的一半；理由如下：
，
∴长方形只在第一象限内移动，
如图2，延长交轴于点，则，
∵，，
∴，
由题意知，，，，
，
∵，
，
，
，
解得．
2．(1)AD
(2)见解析
(3)，理由见解析
本题是三角形的综合题和倍长中线问题，考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题．
（1）延长到点，使，根据定理证明，可得结论；
（2）延长到点F，使得，连接．证明，得出，得出，得出，即可证明结论．
（3）延长，使，连接，证明，得出，，证明，得出，即可证明结论．
（1）解：如图1，延长到点，使，
∵是的中点，
，
，
，
，
在中，，
，
；
（2）证明：如图，延长到点F，使得，连接．
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
，
∴，
∴，
，，
，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：；理由如下：
如图，延长，使，连接，
∵为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．
3．(1)
(2)①理由见解析；②
本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义．
（1）根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出；
（2）①过点P作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，根据，求出结果即可；
②过点M作，根据平行公理得出，证明，设，，得出，，最后求出结果即可．
（1）解：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：①成立；理由见解析：
过点P作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
②如图，过点M作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
设，，
∴，
根据解析①可知：，
∴，
即．
4．(1)
(2)①；②，证明见解析；③
（1）根据角平分线的定义和平行线的性质即可求解；
（2）①由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义可得，根据即可求解；②当点在线段上运动时（不与点，重合），结合平行线的性质和角平分线的定义即可求解；③点是射线上一动点（不与点，重合），即点在下方，结合平行线的性质和角平分线的定义即可求解即可得到答案．
（1）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴
故答案为：；
（2）解：①∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴；
②，
证明如下：
当点在线段上运动时（不与点，重合），如图所示：
∵，
，
则，
∵平分平分，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
，
，
，
，
则，
即，
，
∴；
③点是射线上一动点（不与点，重合），即点在下方，如图所示：
∵，
∴平分平分，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
，，
，
故答案为：．
本题考查由平行线的判定与性质求角度及角度关系，涉及平行线判定与性质、角平分线定义、垂直定义、直角三角形两锐角互余等知识，熟练掌握平行线的判定与性质，数形结合，找准各个角度之间的关系是解题的关键．
5．(1)20
(2)84
(3)54°
本题考查三角形内角和定理，三角形的外角性质，关键是应用角的“三分线”定义来解决问题．
（1）由是“邻三分线”，即可求出的度数；
（2）由是“邻三分线”，求出，由三角形的外角性质得到；
（3）由三角形内角和定理求出，由角的“三分线”定义得到，求出，由三角形内角和定理即可求出的度数．
（1）解：如图①，是“邻三分线”，
，
故答案为：20；
（2）解：如图②，是“邻三分线”，
，
．
故答案为：84．
（3）解：如图③，，
，
，分别是和的“邻三分线”，
，，
，
，
．
6．(1)或；成立
(2)角的内（或外）部有一点，过这个点分别作角的两边的平行线，所得的角与原角相等或互补
(3)角的内（或外）部有一点，过这个点分别作角的两边的垂线，所得的角与与原角相等或互补
本题考查了四边形的内角和定理，平行线的性质，垂直的意义，解题关键是掌握上述知识点，并能熟练运用求解．
（1）画出图形，分两种情况讨论，分别求出与；如果点P在的外部，分两种情况讨论，分别求出与；
（2）根据（1）总结出结论；
（3）分点在角的内（或外）两种情况讨论，画出图形，分别求出与．
（1）解：当交于点，交于点时，如图，
，
，
，
，
∴；
当交于点，交于点时，如图，
，
，
，
，
∴，
又，
∴；
如果点P在的外部时，
如图，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）角的内（或外）部有一点，过这个点分别作两角平行线，所得的角与原角相等或互补；
（3）当点在的内部时，
如图连结，，，
则，
，
，
，
，，
，
；
如图，连结，，，
则，
又，，
，
又，，
，
，
，
，
；
当点在的外部时，
如图，，，
则，
又，
，
；
如图，如图，，，
则，
又，
，
，
又，
．
7．(1)
(2)，理由见解析
(3)
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．
（1）证明，即可得到答案；
（2）过点作于点，则．证明，即可得到，即可；
（3）在下方，过点作，且，连接．证明，则．当，，三点共线时，的值最小，即的值最小．进一步求出答案即可．
（1）证明：，，
为等边三角形，
．
在和中，
，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图1，过点作于点，则．
，
．
，，
，，
．
，
．
在和中，
，
．
（3）解：如图2，在下方，过点作，且，连接．
在和中，
，
，
．
当，，三点共线时，的值最小，即的值最小．
，，
，
．
，
，
，
．
8．(1)；
(2)；；
(3)
本题考查了一元一次方程的应用，平行线的性质以及含角的直角三角形的角度计算以及平角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
（）利用平行线的性质，含角的直角三角形的角度进行计算即可；
（）利用平行线的性质，含的直角三角形的角度计算进行计算即可；
（）根据等量关系列方程计算即可．
（1）解：∵是含的直角三角板，，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
∵比的一半多，
∴，
解得；
（3）解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∵当射线旋转至与重合时，则射线，均停止转动，
∴，
解得,
∵，
∴符合题意，
故此时的值为．
9．(1)
(2)，理由见解析
(3)①；②
本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，掌握知识点是解题的关键．
（1）过点P作，则，可知，即可求出的度数；
（2）过点P作，则，可知，进而可知与之间的数量关系；
（3）①由（2）得，由角平分线可知，，同（2）可得，计算即可；
②如图，过点P作，则有，由角平分线可知，，同（2）可得，根据平行线的判定和性质得到，进而计算即可．
（1）解：如图1，过点P作，
故答案为：；
（2）解：；理由如下：
如图1，过点P作，
，
；
（3）解：①由（2）得．
平分平分
．
同（2）可得
；
②．理由如下：
如图，过点P作，则有．
平分
．
平分
．
同（2）可得，
，
．
10．(1)；
(2)；
(3)①；见解析；②1
（1）根据b的立方根是它本身，求出负数b，再根据完全平方和绝对值的非负性求出n和c，即可得到三点坐标；
（2）根据割补法用点P坐标表示出三角形的面积，代入两个三角形面积的关系，求解P点坐标即可；
（3）①根据平行线的性质和角平分线的定义以及三角形内角和求解即可；
②根据割补法将转化为和的面积差，然后根据等高三角形面积之比等于底边之比求解n值即可．
（1）解：∵负数b的立方根等于它本身，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）由A，B，C坐标可知，，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∵P在y轴正半轴上，
∴；
（3）①；证明如下：
∵，
∴，
∵为角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和以及坐标与图形性质，根据坐标确定三角形面积是本题解题的关键．
11．(1)
(2)见解析
(3)
本题主要考查了平行线的性质以及角的计算，合理运用倍角关系是本题解题的关键．
（1）根据平行线的性质依次求出和即可；
（2）过作，根据平行线的性质求证即可；
（3）先根据三角形内角和求出，然后根据补角的性质以及给出的两个倍角关系，得出，过作，根据平行线的性质求出，然后根据倍角关系求出即可．
（1）解：，
，
，
；
（2）证明：过作，如图：
，
，，
，
，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
过作，如图：
，
，，
，
．
12．(1)，，
(2)
(3)不变，
本题综合考查一元一次方程的应用，坐标系，平行线的性质和判定．
（1）根据非负数的性质可得和的值，进而根据可得的长，即可求得点、、的坐标；
（2）设运动时间为秒，得到用表示的的面积和面积，进而根据的面积是面积的倍列出方程求得的值，即可求得点的坐标；
（3）作，可得，同理可得，进而根据角的平分线的性质可得的度数．
（1）解：，
，，
，，
，，
由题意得：四边形为梯形，
，
，
故，
综上：，，；
（2）解：设运动时间为秒，，，
，，
的面积是面积的倍，
，
解得：，
，
；
（3）解：大小不变，为．
理由：，
，
作，
，
由题意得：，
，
，
，
同理：，
平分，平分，
，，
，
．
13．(1)5，
(2)，
(3)的长为或16
本题属于四边形综合题，主要考查了坐标系中的平移、算术平方根非负数的性质、三角形的面积．
（1）先根据算术平方根的非负性，得到关于m，n的方程，解方程即可求得m，n；
（2）先根据（1）求出，，，再根据“平移线段至，使A点的对应点是点C”，得出平移的方向与距离，由此求得，设，利用三角形面积，得出关于a的方程求解即可求得点P的坐标；
（3）先求出四边形的面积分，再分“”、“”两种情况，分别求出的长．
（1）解：∵，
由题意得：，
解得：，
故答案为：5，；
（2）解：在平面直角坐标系中，，，，且，，
∴，，，
∵平移线段至，使A点的对应点是点C，点，，
∴点A向右移动5个单位，向上移动1个单位，
∵，
∴，
设，
∵，
∴，
解得：，
∴点P的坐标为；
（3）解：设，
∵，，，
∴
，
分以下两种情况：
当时，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴；
当时，，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
综上所述，点T是x轴正半轴上一点，当把四边形的面积分为的两部分时，的长为或16．
14．(1)，
(2)成立，证明见解析
(3)是，该定值为
（1）根据正方形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得；
（2）根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的判定和性质得到，，求得，求得；
（3）过点作于点，过点作于点，求得，求得，根据全等三角形的性质得到，，得到，连接，推出，于是得到．
（1）解：在正方形中，，，
，
，
又，
，
，，
，即；
故答案为：，；
（2）解：成立，理由如下：
四边形为正方形，
，，
又，
，
即，
，
，，
，
；
（3）解：过点作于点，过点作于点，
，
，
，
，
，
，，
又，
，
即，
连接，
，
，
．
本题是四边形的综合题，考查三角形全等的判定和性质，直角三角形的判定，等腰直角三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，掌握判定两个三角形全等的一般方法是解答本题的关键．
15．(1)
(2)，理由见解析
(3)角度所有可能的值是或或或或
本题主要考查了平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）过点作，根据同旁内角互补可得，由平行线性质可知，，代入中即可求解．
（2）过点作，根据平行线的性质可得， ，，进而可得．
（3）当；；；；五种情况时，分别讨论即可．
（1）解：过点作，如图2所示：
依题意得：，，，
∴，
∴，
由平行线性质可知，，
∴．
（2）解：，理由如下：
过点作，如图3所示，
∵，
∴，
∴，
∵，且，
∴．
（3）解：角度所有可能的值是或或或或，
理由如下：依题意有以下5种情况：
①当时，如图4①所示：
则，
∴；
②当时，如图4②所示：
则，
∴；
③当时，如图4③所示：
则；
④当时，如图4④所示：
则，
∴，
∴；
⑤当时，设与交于点，如图4⑤所示：
则，
∴，
∴．
综上所述：角度所有可能的值是或或或或．
16．（1）6；（2）；（3）25
此题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，利用轴对称-最短路线，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解矩形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，利用轴对称-最求短路线问题是解决问题的关键．
（1）证明和全等得，，进而得，再根据，即可得出DE的长；
（2）过点A作于点K，过点D作，交的延长线于点H，根据等腰三角形性质得，同（1）证明和全等得，再由三角形的面积公式即可求出的面积；
（3）过点G作直线于点P，交于点Q，作点D关于直线的对称点T，连接，，过点G作于点R，同（1）证明，得，则当点F在线段（不与点A、点D重合）上运动时，点G在直线上运动，证明四边形是长方形得，则，再根据对称性得，，则，由勾股定理得，根据的周长为，得当为最小时，的周长为最小，然后根据“两点之间线段最短”得，由此可得出的周长的最小值．
解：（1）如图1所示：
∵于点D，于点E，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：6；
（2）过点A作于点K，过点D作，交的延长线于点H，如图2所示：
在中，，，
∴，
同（1）证明：，
∴，
∴的面积为：；
（3）过点G作直线于点P，交于点Q，作点D关于直线的对称点T，连接，，过点G作于点R，如图3所示：
∵四边形是长方形，且，，点E在线段上，且，
∴，
又∵是等腰直角三角形，且，，
∴同（1）证明：，
∴，
∴当点F在线段（不与点A、点D重合）上运动时，点G在直线上运动，
∵，，
∴，
∴四边形是长方形，
∴，
∴，
∵点D与点T关于直线对称，
∴，，
∴，
在中，，，
由勾股定理得：，
∵的周长为：，
∴为最小时，的周长为最小，
根据“两点之间线段最短”得：，
∴当T，G，C共线时，为最小，最小值是17，
此时，
∴的周长的最小值是25．
17．（1）；（2）．理由见解析；（3）游客饮水区到凉亭的距离为．
本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，等边对等角等知识点．
（1）由垂直平分线的性质可知，，再利用等边对等角即可求解；
（2）由垂直平分线的性质可知，，得，进而可证明，即可得证；
（3）过点作，垂足为，构造，可得，由全等三角形性质可得，，则，可知，再证，得，即可求解．
解：（1）∵点在线段的垂直平分线上，，
∴，
∴，
故答案为：；
（2），理由见解析：
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3）过点作，垂足为，如图③：
∵点在线段的垂直平分线上，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
则，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：游客饮水区到凉亭的距离为．
18．(1)
(2)见解析
本题考查了平移的性质，三角形内角和定理．
（1）由平移的性质可得：，，再利用三角形内角和定理求解即可；
（2）由三角形的外角性质，得，由已知求得，推出，据此即可证明结论成立．
（1）解：由平移的性质可得：，，
∴，
又∵，
∴，
解得，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知：，
由三角形的外角性质，得，
又∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴平分．
19．(1)详见解析
(2)
(3)或或或．
本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，探究角的关系等知识．
（1）过点B，作交于点N．由平行线的性质得出，，，即可得出，等量代换可得出，即．
（2）过点E作，由平行线的性质得出，，，由角平分线的定义得出，，则可得出，根据平角的定义得出，等量代换可得出，即可求出．
（3）分4种情况，画出图形，利用平行线的性质得出角的关系即可．
（1）证明：过点B，作交于点N．
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即．
（2）解：过点E作，
∴
∵，
∴
∴，
∵平分，平分
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即．
（3）解：分下列4种情况：
情况1 ：如图1，
根据题意可知：，
∴，，，
∴
即
情况2：如图2，
根据题意可知：，
∴，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
情况3：如图3，
根据题意可知：，
∴，，，
∴，
，
∴
情况4：如图4，
根据题意可知：，
∴，，，
∵，，
∴
20．(1)
(2)①且
②或
本题考查了解一元一次不等式，以及不等式组，新定义，不等式的解集等知识点，难度较大，解题的关键是理解新定义．
（1）根据定义得到“逆不等式”是，“否不等式”为，再联立得到不等式组，再求解即可；
（2）①由于和有相同的解集，则为一正一负，分两种情况讨论，分别解不等式即可；
②设，当时，当时，均不成立；当时，解集为，即：；当时，解集为，即：，由于存在唯一的负整数，则或，再解不等式即可．
（1）解：由题意得，不等式，它的“逆不等式”是，“否不等式”为，
∴，
解得不等式组的解集为：，
故答案为：；
（2）解：①由题意得：和有相同的解集，
∵解集的不等号发生了改变，
∴为一正一负，
当时，由解得：；由解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，由解得：；由解得，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上可得：的数量关系为：且；
②设，
当时，由解得：；由解得，
则解集有无数负整数，不符合题意，舍；
当时，由解得：；由解得，
则解集无负整数，不符合题意，舍；
当时，由解得：；由解得，
则解集为，
即：；
当时，由解得：；由解得，
则解集为，
即：，
∵存在唯一的负整数，
∴或，
∴或，
∴或．
21．(1)②，④
(2)
(3)
（1）根据定义，判定即可，求解集是关键．
（2）先求不等式的解集，再根据定义，建立新的不等式，解答即可．
（3）先根据定义，确定不等式关系，再消元确定的范围即可．
本题考查了新定义，解不等式，解不等式组，熟练掌握定义，正确解不等式是解题的关键
（1）解：解不等式，得，
①，无解集，不符合题意；②，符合定义，正确；③的解集为，不符号定义，④的解集为，符号定义
故答案为：②④．
（2）解：解不等式，得；
解不等式，得，
又不等式“包围”不等式，
故，
解得，
故答案为：．
（3）解：解，得，
解不等式组，得且．
不等式“包围”不等式组，
，
解得．
，，
，．
．
，
．
22．(1)，理由见解析
(2)
(3)，理由见解析
本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的性质的应用，垂直的定义等知识点，三角形外角性质，合理作出辅助线是解决此题的关键．
（1）如图，过点E作，利用平行线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后可得，进而即可得证；
（2）设，用含的代数式表示出，再由平行线得出，进而即可得证；
（3）根据题意，作出图形，利用，得到，得到结果.
（1）解：，理由如下，
如图，过点E作，
．
∵，
∴，，
，
平分平分，
，
，
，即，
，
，
，
∴；
（2）解：，理由如下：
设，如图，
∵平分，，
，
，
∵，
∴，
∵，
，
∴．
（3）解：，理由如下：
以点G为顶点，为边，在下方作，交的延长线于点P，画图如下：
是的外角，
，
，
在中，，
，
，
，
，
23．（1）45（2）见解析（3）8或4
（1）利用已知条件得到为等腰直角三角形，即可求出的度数；
（2）①选择小金的解题思路，过点E作交的延长线于点M，可得，证得为等腰直角三角形，即可求得的度数；
②选择小水的解题思路，在上截取，连接，可得，证得为等腰直角三角形，即可求得的度数；
（3）以为直角边在右侧构造等腰直角三角形，可以分为直角顶点为B点和直角顶点为A点两种情况进行讨论，通过做辅助线分别构造出和，利用全等三角形的性质即可求得的面积．
解：（1）由题意得：，，
，，
为等腰直角三角形，
，
；
故答案为：．
（2）①选择小金的解题思路，
证明：如图，过点E作交的延长线于点M，
，
，
，
，
交延长线于M，
，
，
又，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
②选择小水的解题思路，
证明：如图，在上截取，连接，
，
，
，
，，
，即，
又，
，
，
，，
，
，
，
，
又，
；
（3）①当直角顶点为B点时，
此时，，
如图，过点D作，
，
又，
，
，
在和中
，
，
，
；
②当直角顶点为A点时，
此时，
如图，过点D作的垂线，垂足为E，延长，过点A作的垂线，垂足为H，
则，，
∴，
∴，
，
又，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
综上所述，的面积为8或4．
本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
24．(1)
(2)，理由见解析
(3)，
（1）证明是等边三角形，得到，从而有，根据证明，得到；
（2）过A点作交于点G,证明和都是等边三角形，则可得，由（1）可得，则可推出．
（3）画出图形，分F点在上时和F点在的延长线上时两种情况讨论可得结论．
（1）解：∵，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）解：，理由如下；
如图，过A点作交于点G，
∵,,
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴
即，
由（1）知，
∴，
∴．
（3）解：①如图，当F点在上时，过A点作交于点G
由（1）知，，
∴．
②如图，当F点在的延长线上时，过A点作交于点G，
由（1）知，，
∴．
综上，线段，，之间存在的关系是或．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
25．(1)①；②此时①中的结论仍成立，理由见解析
(2)见解析
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）①由等边三角形中心的可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解；
（2）过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解．
（1）解：①∵点在等边的中心，
∴点为三角形三条中线的交点，
∴，，，
∴；
②成立，理由如下：
∵为等边三角形，是的高，
∴，，，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，
由（1）可得，
∵，
∴
∴四边形是矩形，同理四边形是矩形，
∴，，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
26．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①；②
（1）如图1，在中，过顶点作，由两直线平行，内错角相等得到，由三点共线，即可得到；
（2）如图2，在中，是边上的任意一点，过点作、，由平行线性质得到，由三点共线，即可得到；
（3）①由角平分线定义，结合三角形内角和定义，数形结合将表示出来即可得到答案；②过点作于点，如图所示，由等腰三角形判定与性质得到，且是平分线，再由，等量代换即可得到，结合①中，得到，在中，由直角三角形两锐角互余即可得到答案．
（1）证明：如图1，在中，过顶点作，
，
三点共线，
，
则；
（2）证明：如图2，在中，是边上的任意一点，过点作、，
，
三点共线，
，
则；
（3）解：①如图所示：
是的平分线，
，
是的平分线，
，
在中，，则由三角形内角和定理可得，
，
在中，由三角形内角和定理可得，
故答案为：；
②过点作于点，如图所示：
，
为等腰三角形，且，
由等腰三角形三线合一性质可知，且是平分线，
，
，
，
由①知，
，
在中，，则，
故答案为：．
本题考查三角形内角和定理的证明及应用，涉及平行线的性质、平角定义、角平分线定义、三角形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识．熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理、角平分线定义、等腰三角形的判定与性质、直角三角形两锐角互余等知识，根据问题构造辅助线并灵活运用是解决问题的关键．
27．[操作发现]见详解，，；[探究理由]，，理由见解析；[问题解决]①80；②6
本题考查了旋转变换的性质，全等三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会利用旋转的性质和轴对称的性质解决问题．
[操作发现]根据要求作出图形，然后根据旋转的性质得出，利用全等三角形的性质解决问题即可；
[探究理由]由旋转的性质得出，利用全等三角形的性质解决问题即可；
[问题解决]①利用轴对称的性质求出，然后根据旋转的性质得出答案；
②利用旋转的性质和轴对称的性质求出和即可解决问题．
解：[操作发现]如图，即为所求，，，

证明：设、分别与交于点、，
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，，，
在和中，，
∴，
∴，
故答案为：，；
[探究理由]，；
理由：∵绕点逆时针旋转得到，
∴，
∴，，，
在和中，，
∴，
∴，
故答案为：，；
[问题解决]①∵与关于对称，
∴，
∴，
由旋转的性质可知，，
故答案为：；
②由旋转的性质可知，，
∵与关于对称，
∴，
∴，
故答案为：．
28．（1）；（2）；见解析；（3）4或2
本题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质、等边三角形的判定和性质、直角三角形的性质等知识点，正确作辅助线、构造全等三角形成为解题的关键．
（1）由角平分线的性质可解答；
（2）如图：作交延长线于点E，于点F，证明，再根据全等三角形的性质即可解答；
（3）如图3，在上截取，连接，证明得出，由直角三角形的性质可即可解答；如图3：取的中点F，易证为等边三角形，，即点E与点F重合时也满足题意，即．
解：（1）∵平分，，
∴，
∴．
故答案为：．
（2）；理由如下：
如图2中，作交延长线于点E，于点F，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）如图3，在上截取，连接，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
如图3：取的中点F，
∵，
∴为等边三角形，
∴，即点E与点F重合时也满足题意，
∴．
综上所述，的长为4或2．
29．(1)选择条件②，见解析
(2)①②④
(3)或
本题考查选择合适的条件证明三角形全等，全等三角形的判定和性质，与角平分线有关的三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键：
（1）选择条件②，利用证明即可；
（2）根据轴对称的性质，得到，，证明，进而得到，根据三角形的内角和定理，角平分线的定义，求出，推出，再证明，进而推出，根据全等三角形的面积相等，推出即可；
（3）作于点，于点，证明，得到，分分别与重合以及与不重合，两种情况进行讨论求解即可．
（1）解：选择条件②，证明如下：
在和中，
，
∴；
（2）解：过点作的对称点，
则：，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为的角平分线，
∴，
∴，
∴；故②正确；
∴，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴；故①正确；
∵，，
∴，，
∴；故④正确；
无法得到，故③错误；
综上：正确的是①②④；
（3）作于点，于点，则，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
当分别与重合时，满足，
则：，
当与不重合时，
∵，
∴，
∴，
∴；
综上：或．
30．(1)
(2)，证明见解析
(3)
本题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质及几何最值问题，解题的关键是通过构造辅助线（如延长线段构造全等三角形）转化线段和角的关系，利用全等三角形和特殊三角形的性质解决问题．
（1）由推出是等边三角形，得；结合等边的性质，证；用证，得出．
（2）延长至H使，证，得；证，得；由，推出．
（3）延长至Q使，证，得且；结合，证是等腰直角三角形，得，利用（2）的结论分析角度关系，求出．
（1）解：，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：；证明如下：
由旋转的性质得：
如图，延长至点，使，连接，
∵，
∴，
，，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
在四边形中，，
∴
，
∴，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）解：延长至点，使，连接，
因，则，
，，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
由（2）得，，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
，
当时，
取最小值，即取最小值，此时．(共6张PPT)
【北师大版专用】七年级数学下册期末压轴解答题真题汇编 试卷分析
三、知识点分布
一、解答题
1 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；角平分线的有关计算；坐标系中的平移
2 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；确定第三边的取值范围；三角形的外角的定义及性质
3 0.4 根据平行线判定与性质求角度；角平分线的有关计算
4 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算；直角三角形的两个锐角互余
5 0.4 角n等分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
6 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；多边形内角和问题；垂线的定义理解；三角形内角和定理的应用
7 0.4 全等三角形综合问题；全等的性质和SAS综合（SAS）；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用；等边三角形的判定和性质
8 0.4 根据平行线的性质求角的度数；几何问题(一元一次方程的应用)；几何图形中角度计算问题
三、知识点分布
9 0.4 根据平行线判定与性质求角度；角平分线的有关计算
10 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；写出直角坐标系中点的坐标；根据三角形中线求面积；立方根概念理解；坐标与图形综合
11 0.4 两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；两直线平行同旁内角互补；利用邻补角互补求角度
12 0.4 根据平行线判定与性质求角度；绝对值非负性；坐标与图形综合
13 0.4 由平移方式确定点的坐标；利用算术平方根的非负性解题；坐标系中的动点问题（不含函数）
14 0.4 全等三角形综合问题；用SAS证明三角形全等（SAS）；用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质证明
15 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；三角板中角度计算问题
16 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
三、知识点分布

17 0.4 全等三角形综合问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质和判定
18 0.4 利用平移的性质求解；根据平行线的性质求角的度数；三角形内角和定理的应用
19 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线的性质求角的度数；根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算
20 0.4 求一元一次不等式的解集；求一元一次不等式的整数解；求不等式组的解集
21 0.4 求一元一次不等式的解集；求不等式组的解集
22 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线的性质求角的度数；根据平行线判定与性质证明；三角形的外角的定义及性质
23 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定
24 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等边对等角；等边三角形的判定和性质
三、知识点分布

25 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据矩形的性质与判定求线段长；多边形内角和问题；等边三角形的性质
26 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的证明；与角平分线有关的三角形内角和问题
27 0.4 全等三角形综合问题；根据成轴对称图形的特征进行求解；画旋转图形；根据旋转的性质求解
28 0.4 全等三角形综合问题；角平分线的性质定理；含30度角的直角三角形；等边三角形的判定和性质
29 0.4 全等三角形综合问题；添加条件使三角形全等（全等三角形的判定综合）；与角平分线有关的三角形内角和问题
30 0.15 全等三角形综合问题；垂线段最短；三线合一；等边三角形的判定和性质

展开更多......

收起↑