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【期末压轴题】人教版八年级数学下册期末考试
压轴填空题45道
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，连接，将绕点顺时针旋转一定角度，得到，点分别旋转到了点．已知点在边上，，，则的长为_______．
2．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交于点，连接，．若，，则等于_____．
3．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，在中，，，平分交于点，为直线上一动点．以，为邻边构造，连接，若，则长度的最小值为______．
4．（24-25八年级下·江西吉安·期末）如图，在平行四边形中，，是的中点，连接，．下列结论：；；平分；若，，则平行四边形的面积为．其中正确的______．
5．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，点D在等边三角形外，点A、点D分别在的两侧．若，，则四边形的面积的最大值为______．
6．（24-25八年级下·山西朔州·期末）如图，在边长为4的正方形中，分别是边的中点，点G在线段上，交于点．若，则的长为______．
7．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，平分，线段的中垂线交于点，若，，，则 ______．
8．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，为的中点，为边上一点，将沿翻折得到，与交于点，若的面积是的倍，则的长为______．
9．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，正方形的对角线与相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点、，分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，连接并延长，交于点，交于点，若，则线段 ______．
10．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，，，，，点E，F分别在线段和线段上运动，且，连接，当点F与点C重合时，连接，则的面积为______；点E与点F在运动过程中，线段长度的最小值为______．
11．（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，四边形是正方形，G是上一点，于点E，交于点F，连接．若，，则的长为__________．
12．（24-25八年级下·福建厦门·期末）已知直线恒过定点，点在第一象限内，且点Q恒在直线上，直线与x，y轴分别交于A、B两点，直线与直线交于点，当线段长度最小时，下列结论中正确的是________．
①点Q坐标为；②；③点M的坐标为；④
13．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为_________．
14．（24-25八年级下·重庆江北·期末）如果一个四位自然数各数位上的数字互不相等且均不为0，千位数字与百位数字组成的两位数等于十位数字与个位数字之和的倍（为正整数），则把这个四位数叫做“和数”，例如四位数2439，因为，所以2439是“2和数”，再如四位数6318，因为，所以6318是“7和数”．若四位自然数是“4和数”，则的最大值是_____；若四位自然数是“1和数”，记，若是一个有理数，则所有符合条件的之和为_____．
15．（24-25八年级下·重庆江北·期末）如图，在平行四边形中，于点，平分并交于点，，平分并交于点，，连接，若平行四边形的面积为26，则长为_____，长为_____．
16．（24-25八年级下·江西南昌·期末）如图，将两块含角的三角板拼成等边三角形，斜边，点D是的中点，E是边上的一个动点，过点E作，交边于点F，连接，，当是等腰三角形时，的长为______．
17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，是正方形的对角线，是上一点，是的垂直平分线且交于点，是垂足．
（1）的度数为______；
（2）若，则______．
18．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）在中，，是上一点，过点作于点，是的中点，连接．若是的中点，，则的长为______．
19．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，已知在中，，，在内作第一个内接正方形：然后取的中点，连接，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点，在内作第三个内接正方形…依次进行下去，则第2025个内接正方形的边长为_______．
20．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，正方形的边长为，是边上一点，且，连接，作的垂直平分线交于点，交的延长线于点，连结交于点，连结，于，给出下面五个结论：①；②；③；④的周长是；⑤的面积是上述结论中，正确结论的序号有______．
21．（24-25八年级下·广西南宁·期末）如图，正方形的边长为，点在边上，，过点作，分别交，于点，，点，分别是，的中点，则的长是______．
22．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，已知在 中，，点是和的平分线的交点，过点作，分别交、于、两点，连接、．已知下列结论：①；②点是的中点；③则其中所有正确的结论为______（填序号）．
23．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，四边形是菱形，，点E是边上一点，且，点F是边上一个动点，以为边作等边，连接．若的长度为d，则d的取值范围是_________．
24．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，已知等边三角形的边长为18，分别是边上一点，且满足，记的面积为，则___________；，，分别为边上一点，且满足，记的面积为，以此类推，则___________．
25．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，，求的度数______．
26．（24-25八年级下·山东临沂·期末）将一张正方形纸片按如图的步骤，通过折叠得到④，再沿虚线剪去一个角，展开平铺后得到⑤，其中、为折痕，若正方形与五边形的面积之比为，则的值为________．
27．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，在中，，点E是线段上一动点，连接，过点C作线段的垂线，垂足为F，与交于点G，下列选项正确的有_________．
①；
②四边形是平行四边形；
③连接，当时，四边形是平行四边形；
④当时，．
28．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，，，连接，将绕平面内一点P旋转，边的对应边在的垂直平分线上，点C的对应点为E．若E为中点，则的长为_________．
29．（24-25八年级下·四川成都·期末）我们把对角线互相垂直且相等的四边形称为“和谐四边形”．如图，在平面直角坐标系中，已知，两点，是线段上一点，且，点是直线上的动点，若在内部（不包含边界）始终有一点，使得四边形为“和谐四边形”，则的取值范围是______．
30．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，的垂直平分线交于点O，D为外一点，，且，连接，则线段长为__________，线段的最大值为__________
31．（24-25八年级下·山东烟台·期末）如图，，，，点在线段上运动，为线段的中点，在点的运动过程中，的最小值是______________．
32．（24-25八年级下·山东青岛·期末）图①是我们生活中的一种遮阳伞，图②是它的骨架平面示意图，点在伞柄上下滑动时，骨架可以伸缩．遮阳伞撑开后，是等边三角形，四边形和四边形都是平行四边形，其中，，，，，则、两点之间的距离为______cm．

33．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）如图，中，，D，E分别是，上的点，于点H．，，，则长为______．
34．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在平行四边形中，，，是边的中点，连接，将四边形沿翻折，，的对应点分别是，落在平行四边形所在的平面内，的延长线交于点，则的长为________．
35．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，将线段沿一条直线折叠得到线段（点B，C的对应点分别是点）若线段恰好落在直线上，则的长是___________．
36．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，在中，其内角和外角的角平分线，交于点，过点作，交的延长线于点，连接，若，则的度数为__________．
37．（24-25八年级下·四川成都·期末）已知等边三角形边长为6，点为上的一点，连接，将三角形沿翻折得，将绕中点旋转得，连接，若，则点到直线的距离为___________；若点在边上运动，则的最小值为___________．
38．（24-25八年级下·福建厦门·期末）“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，它表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智．假设直角三角形的两直角边长分别为a，b（），斜边长为c，某数学兴趣小组受赵爽弦图的启发，先分别以a，b为边长构造了两个正方形，通过如图的裁切方式将边长为b的正方形裁切成四块，，是裁切线．若这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形，则裁切点E与点A的距离为______．（用含有a，b的式子表示）
39．（24-25八年级下·山东潍坊·期末）在中，，，，依次作正方形，正方形，正方形，…，正方形，顶点在边上，顶点在边上．则正方形的边长为_____．
40．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，是等边的中线，点在上，连接，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，作点关于直线的对称点，连接．若平分，,则的长为_________．
41．（24-25八年级下·四川成都·期末）小亮在学习了《光的反射定律》后，知道入射光线经过反射后形成反射光线．如图1，是法线，垂直于反射面，其中入射角等于反射角．同时，他还发现可以用一次函数的图象来刻画光线的反射．如图2，一次函数与构成的图象，可看作从轴上点发出的一束光经轴上的点反射后得到的图象．小亮把这样的能刻画光线反射的函数图象称为一组“反射函数线”．如图3，从轴上点发出一束光线，经过轴上一点反射后形成的“反射函数线”．若反射光线过点，则点的坐标为_________；若，，均为“反射函数线”上的点，且，则的取值范围是_________．
42．（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，正方形中，点为对角线上一点，且，连接并延长交于点，过点作于点，交于点．以下结论：①；②；③；④．其中正确结论是_______（填序号）
43．（24-25八年级下·湖南永州·期末）如图，在中，，，，在斜边上有一点，且，则______．
44．（24-25八年级下·山东济南·期末）如图，菱形的边长为，点，分别是边，对角线上的动点，且满足，若点是的中点，则线段的最小值为___________．
45．（24-25八年级下·山东日照·期末）如图，中，点为线段上一动点，过点作于点，连接，点为中点，连接．则的最小值为______．
参考答案
1．
本题考查平行四边形的性质、旋转的性质、勾股定理的应用：作于点，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系可得，由旋转可得，则由旋转可得，求出，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理即可求出答案．
解：作于点，则，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
由旋转可得，
，
，
，
，
故答案为：．
2．
本题考查了垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、等角对等边、勾股定理．
根据垂直平分线性质，得到，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据角之间数量关系，得出，再根据等角对等边，得出，再根据垂直平分线的性质，得出，进而得出，再根据勾股定理，得出，设，则，再根据垂直平分线的性质，得出，再根据三角形的内角和定理，得出，再根据勾股定理，列方程求解即可得到答案．
解：∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵是的垂直平分线，，
∴，
∴，
在中，
，
设，则，
又∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴在中，
∵，
∴，
解得：，
．
故答案为：．
3．
通过作辅助线，利用三角函数、勾股定理求出相关线段长度，再结合平行四边形性质、全等三角形判定与性质以及垂线段最短来求解 的最小值．
解：过点 作 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，
∴，
，
，
，
，
由勾股定理得，，
，
，
，
平分 ，
，
设 ，则 ，
在 中，，
，
由勾股定理得，，
，
，
又在 中，，
，
解得，，
，
设 为平行四边形 的中心，则 在 上，
，
∵，，
，
，
根据垂线段最短可知，当 时， 最短，此时 ．
故答案为：．
本题主要考查了勾股定理、全等三角形的判定与性质以及垂线段最短等知识，求出 是解答此题的关键．
4．
本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理．根据平行四边形的性质和平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得：，可证正确；根据平行四边形对边相等，可证，从而可证成立；根据平行四边形的性质可得，根据等边对等角可得：，根据平行线的性质可证，等量代换可得，可证正确，
由可知是直角三角形，可知，根据平行四边形的面积公式可得：，可知错误．
解：四边形是平行四边形，
，
，
，
是的中点，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
，
,
，
,
故正确；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
故正确；
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，
平分，
故正确；
由可知，
，，
，
，
故错误．
综上所述，正确的有．
故答案为： ．
5．20+
将绕点顺时针旋转得到，再将绕点顺时针旋转得到，易证是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，四边形为平行四边形，所以可得，要使四边形的面积最大，则平行四边形的面积最大即可，据此求解即可．
解：为等边三角形，
，，
如图，将绕点顺时针旋转得到，则为等边三角形，，
，
再将绕点顺时针旋转得到，
则，，
同理可得为等边三角形，
，
，，
四边形为平行四边形，
，
是边长为的等边三角形，是边长为的等边三角形，
，，
要使四边形的面积最大，则平行四边形的面积最大即可，
过作于点，则，
，
．
故答案为：．
本题主要考查了等边三角形的判定和性质、旋转的性质、平行四边形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．
6．
由正方形的性质以及点分别是边的中点可得，可证得，在中，利用勾股定理可得，由可得，根据三角形的面积公式得，由此求解出的长，由已知条件可知是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解．
解：四边形是正方形，且边长为4，
，，
点分别是边的中点，
，，
，
在和中，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，，
，
，
在中，，
，
由三角形的面积公式得：，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：．
故答案为：．
本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，三角形的等面积法，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相关知识，灵活运用是解题的关键．
7．/
连接，由中垂线性质及，可判定为直角三角形，设，由，可得，进而可得，，由勾股定理可得作于点，由角平分线性质知，证明∽，可得，得证，则，故AB过点作交的延长线于点，利用平行线性质和角平分线、等腰三角形判定可得由，可得∽，故得，即，整理得，解得（负根舍去），即得的长．
解：连接，由中垂线性质可知，如图所示，
，
，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
设，
，，
，，
∴．
由勾股定理可得，
∴．
作于点，如图所示，
平分，
，
，，
．
，即，
解得．
∵，，
∴，
∴，
∴．
过点作交的延长线于点，如图所示，
，
平分，
，
，
．
由，可得，
，即，
整理可得，进一步整理得，
解得（负根舍去），
即的长为，
故答案为：．
本题考查了角平分线的性质，中垂线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并作出恰当的辅助线是解题关键．
8．
连接，，过点作于点，过点作于点，于点，先求出，则，根据的面积是的倍得，再由三角形的面积公式得，由此得，进而得，由折叠性质得，，，继而得，再由三角形的面积公式得，则，由此得，据此可判定四边形是平行四边形得，然后在中，由勾股定理即可求出的长．
解：连接，，过点作于点，过点作于点，于点，如图所示：
在中，，，，
，
为的中点，
，
的面积是的倍，
，
，
，
于点，
，，
，
，
，
，
由折叠性质得：，，，
于点，于点，
，
，，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
在中，，
的长为．
故答案为：．
此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握三角形的面积公式，平行四边形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．
9．2
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了正方形的性质、角平分线的性质、全等三角形、勾股定理、等腰三角形的性质和判定．
过点作于点，如图，根据正方形的性质得到，则利用等腰直角三角形的性质可计算出，利用基本作图得平分，则根据角平分线的性质得到，，然后证明得到，从而得到的长．
解：过点作于点，如图，
四边形为正方形，
，
在中，，
，
由作法得平分，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
．
故答案为：．
10．
本题主要考查了全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形、勾股定理、矩形的判定与性质，掌握以上知识点的性质是解题的关键．
连接，由题意可证明，进而求出各个边的长度，当点F与点C重合时，连接，过点E作，求得，根据特殊三角函数值可求出，进而求出的面积；过点F作于点，过点F作于点，根据四边形是矩形得到，设，由题意可得，，由勾股定理得：，用配方法可求出最小值．
解：连接，
在和中，
，
，
，
∵，
，
当点F与点C重合时，连接，过点E作，
，
，
∵在中，，
∴，
∴，
∴
，
过点F作于点，过点F作于点，
四边形是矩形，
，
，
，
设，
由题意可得，，
由勾股定理得：，
，
，
当时，有最小值，最小值为，
故答案为：①；②．
11．
本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定，解决本题的关键是掌握正方形的性质．
根据正方形的性质以及勾股定理，求出的长，易证，根据正方形的性质再证，得，，所以，根据勾股定理即可求出的值．
解：四边形是正方形，
，
，
，
，，
，
，
，
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
12．①②③④
本题是两条直线相交或平行问题，考查了直线恒过定点的求法、待定系数法求函数的解析式，线段最短问题、两直线垂直的判定、直线交点坐标等知识．把解析式变形为，即可求得定点，利用勾股定理求得，即可判断④；由点可知直线为，由线段长度最小时，直线，即可得到直线的解析式为，解析式联立求得点Q坐标为，即可判断①；求得，，，利用勾股定理的逆定理即可判断②；利用待定系数法求得直线的解析式，与直线的解析式联立即可求得点M的坐标为，即可判断③．
解：∵，
∴，
∴，故④正确；
∵点在第一象限内，且点Q恒在直线上，
∴直线为，
∵线段长度最小时，直线，
∴直线的解析式为，
解，得，
∴点Q坐标为，故①正确；
∵，，，
∴，，
∵，即，
∴，
∴，故②正确；
∵直线与x，y轴分别交于A、B两点，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴直线的解析式为，
解，得，
∴点M的坐标为．
故答案为：①②③④．
13．
此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
连接交于点，交于点，由菱形性质得，由翻折性质得，，，则，进而得，证明，继而依据“”判定和全等得，则，由此可得的长．
解：连接交于点，交于点，如图所示：
四边形是菱形，，
，，，
由翻折性质得：，
，
，
，
，，
，
在中，，
在中，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
14．
依据“和数”定义，要让高位数字尽可能大，通过尝试不同十位、个位数字组合，找到满足千位与百位组成的两位数是其和4倍的最大数；再由定义得，结合是有理数，推出为完全平方数，进而分析的表达式，确定符合条件的并求和 ．本题主要考查新定义“和数”的理解与应用，涉及数字组合、数位运算、完全平方数特征等知识．熟练掌握新定义内涵，准确分析数字间的数量关系，结合完全平方数的性质筛选符合条件的数，是解题关键．
解：设为“4和数”，即，
当p，q取最大时，即p=9，q=8，此时，，不符合题意，
p=9，q=7，此时，，符合题意，
∴的最大值是，
∵四位自然数是“1和数”，
∴，
∴，
∴，
∵是有理数，
∴是完全平方数，
是千位数字（），是个位数字（），且、、、互不相等、均不为，
当时，需为完全平方数．尝试，则（是完全平方数）．此时，即 ：
，（与重复，舍去）；
，，；
，，；
，，．
当时，（如，时，，但会导致，超出范围，无解 ），无法满足完全平方数非负的要求．
符合条件的为、、，其和为：．
故答案为：，．
15．
先利用角平分线和平行线性质，得出，结合平行四边形边的关系及面积求出；再通过作辅助线构造特殊三角形，利用角平分线、平行关系推出角度，结合等腰直角三角形性质，设未知数，根据边的关系列等式求出．
平分，
，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，
，，
，
平行四边形的面积为，
，
，
如图，延长交于，过作于点，
，平分，
，，
，
，，
，，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
，，
，
和均为等腰直角三角形，
，，，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
，
在中，根据勾股定理得，，
，
（负值已经舍去），
∴，
故答案为：，．
本题主要考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行且相等，以及利用角的关系推导边的关系、构造特殊三角形求解是解题的关键．
16．或或4
设，根据腰不同分类讨论：当时，过E作于G，根据角直角三角形是三边数量关系，求出，，在中根据勾股定理列出方程求解；当时，过F作于H，同理，用x表示出，，，在中利用勾股定理列出方程求解；当时，作于M，于N，利用全等三角形得出，再根据角直角三角形的三边数量关系，用x表示出，以及求出，从而可以求得的长．
解：①当时，过E作于G，如图：
设，则，，
，，
，，，
是中点，
，
，
在中，，
即，
解得：负值已舍；
②当时，过F作于H，如图：
设，则，，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：或舍；
③当时，作于M，于N，如图：
为等边三角形，D是中点，
平分，
，，
，
，
，
设，则，，，
，
，
，
，
，
；
综上所述，或或4．
故答案为：或或4．
本题主要考查了角直角三角形的三边关系、勾股定理、等边三角形的性质以及解一元二次方程，正确的构造直角三角形是本题解题的关键．
17．
本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、角平分线的性质等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键．
（1）如图，过点作于点，作于点，则．由正方形的性质以及角平分线的性质可得，由垂直平分线的性质可得，易证可得，进而证明是等腰直角三角形即可解答；
（2）设，，再说明四边形是正方形，则，即，解得，进而得到、，最后根据线段的和差即可解答．
解：（1）如图，过点作于点，作于点，则．
四边形是正方形，
平分，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
∴，
∴，
是等腰直角三角形，
；
故答案为：；
（2）∵是正方形的对角线，，
设，，
，
四边形是正方形，
，即，解得，
，
，
．
故答案为：
18．
本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识点．证明所求线段所在的三角形是直角三角形成为解题的关键．
利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再说明是等腰直角三角形．在运用勾股定理求出、，最后再利用勾股定理求解即可．
解：∵，
∴是直角三角形．
在和 中，是的中点，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形．
∵是的中点，，
，
，
．
故答案为：．
19．
本题考查了相似三角形的判定与性质，规律型—图形的变化类，等腰直角三角形；熟练掌握正方形的性质，以及相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．根据已知可得，再根据正方形的性质可得，然后利用正方形的性质证明，从而可得，由 ，，最后找规律，即可解答．
解：∵在中，，
∴，，
∵在内作第一个内接正方形，
∴，
∴，
∴，
∵取的中点P，连接，在内作第二个内接正方形；再取线段的中点Q，在内作第三个内接正方形…依次进行下去，
∴，
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，
……，
同理可得第n个内接正方形的边长为：，
∴则第2025个内接正方形的边长为．
故答案为：．
20．①③④
此题主要考查了正方形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，理解正方形的性质，线段垂直平分线的性质，二次根式，熟练掌握全等三角形的判定与性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．
①根据线段垂直平分线的性质即可对该结论进行判断；②设与相交于点，连接，设，则，由勾股定理求出得，利用勾股定理求出，得，设，则，在和中，由勾股定理得，则，由此得得，进而得，则，由此可判定和全等得，再由勾股定理求出，由此可对该结论进行判断；③由三角形的面积公式，进而可依据判定和全等，和全等得，进而得，由此可对该结论进行判断；④根据得，由此可对该结论进行判断；⑤根据得的面积是，由此可对该结论进行判断，综上所述即可得出答案．
解：①是线段的垂直平分线，
，
故结论①正确；
②设与相交于点，连接，设，如图所示：
是线段的垂直平分线，
，
四边形是正方形，且边长为，
，
，
在中，，
由勾股定理得：，
，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
设，则，
在和中，由勾股定理得：，
，
解得：，
，
，
又，
，
在和中，
，
，
，
在中，由勾股定理得：，
，
在中，，
，
故结论②不正确；
③由三角形的面积公式得：，
，
，
于，
在和中，
，
，
，
同理：，
，
，
，
，
故结论③正确；
④，
，
的周长是，
故结论④正确；
⑤，
的面积是：，
故结论⑤不正确，
综上所述：正确结论的序号有①③④．
故答案为：①③④．
21．
过点作直线交于点，交于点，连接，，由题意得，可证明四边形，四边形和四边形都是矩形，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质可得，进而由是等腰直角三角形得，，利用“”得，得到，，可得是等腰直角三角形，即得，由勾股定理求出即可求出的长．
解：过点作直线交于点，交于点，连接，，如图所示，
∵四边形是正方形，且边长为，
，，，
，
，
，
，
∴四边形是矩形，
，，
同理可得，四边形和四边形都是矩形，
，，，，，
连接，
∵点是的中点，
∴，
∵，
，
，，
∵，，
是等腰直角三角形，
，
，
，，
在和中，
，
，
，，
在中，，
，
，
是等腰直角三角形，
点是的中点，
，
在中，，，
∴，
，
故答案为：．
此题考查了正方形的性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．
22．①②③
本题考查了平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质．
利用平行四边形的性质得到，，，，利用平行线的性质和角平分线的定义计算出，则，于是可对进行判断；利用平行线的性质证明，得到，，再证明四边形为平行四边形得到，所以，则可对进行判断；设，，则，，，，则可对进行判断．
解：四边形为平行四边形，
，，，，
，
点是和的角平分线的交点，
，，
，
，
，所以正确；
，
，，
，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
，
即点为的中点，所以正确；
，
设，，
，，
，
，
，所以正确；
故答案为：．
23．
在上截取，连接，连接，并延长交于点，连接，过点C作于点，证明为等边三角形，再证明，则，继而确定点G的轨迹是线段，然后解求出，再由勾股定理求出，可得当点与点重合时，最小，当点与点重合时，最大，即可求解．
解：在上截取，连接，连接，并延长交于点，连接，过点C作于点，
∵四边形是菱形，
∴，，，，
∵，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵等边，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴在中，，
则，
∴，
∴中，，
∵，
∴点在线段上运动，
∴当点与点重合时，最小为，当点与点重合时，最大为，
∴，
故答案为：．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识点，确定点G的轨迹是解题的关键．
24．
本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据等边三角形的性质算出，再证明是等边三角形，即可得出，然后证明，结合相似三角形的性质进行分析，得出，即可作答．
解：过点作，如图所示：
∵三角形是等边三角形，边长为18，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵分别是边上一点，且满足，
∴，
∴，
取的中点为，连接，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
同理得出，，
设，则，
在中，，
同理得，，
即是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
则，
即的面积为，
同理得出
∴，
∴，
∵，
则，
即的面积为，
同理得出
∴，
∴，
∵，
则，
以此类推得
即
故答案为：，．
25．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质．
以为一边作等边三角形，且点F在的内部，连接，先证明和全等得，，进而得，由此可证明和全等得，，继而得，则，由此得是等边三角形，再根据等边三角形的性质即可得出的度数．
解：以为一边作等边三角形，且点F在的内部，连接，如图所示：
∵四边形是正方形，
∴，，
在中，，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴．
故答案为：．
26．
本题考查了折叠的性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，直线与交于P点，由题意设正方形的面积为，五边形的面积为，则可得，由折叠可得正方形面积为，则可求得，最后即可求得结果．
解：如图，连接，直线与交于P点，
正方形与五边形的面积之比为，
设正方形的面积为，五边形的面积为，
，
，
由勾股定理得，，
由折叠得，正方形面积为，四边形是长方形，
，
∴，
即，
，
即，
．
故答案为：．
27．①③④
过点A作于点H，由平行四边形性质得，由，判断选项①；由与不一定垂直， ，得与不一定平行，判断选项②；当时，由，得，由，判断选项③；由，得，得，当时，得，得，得，由 ，得，判断选项④．
解：过点A作于点H，
∵在中，，
且，
∴，
∴选项①正确；
∵点E是线段上一动点，
∴与不一定垂直，
∵，
∴与不一定平行，
∴四边形不一定是平行四边形，
∴选项②不正确；
当时，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴选项③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴选项④正确；
∴正确的选项有①③④，
故答案为：①③④．
本题主要考查了三角形与平行四边形综合．熟练掌握平行四边形的判定与性质，三角形面积公式，含30度的直角 三角形性质，勾股定理，添加辅助线，是解题的关键．
28．
如图，取，的中点，，作直线与交于点，连接，，取的中点，连接，，，延长交于，证明是的垂直平分线，为旋转中心，在中，，，，再进一步求解即可．
解：如图，取，的中点，，作直线与交于点，连接，，取的中点，连接，，，延长交于，
∵在中，，，，
∴，，，，
∴，，，
∴，都是等边三角形，四边形，都是菱形，
∴，，，
∴，，
∴是的垂直平分线，
∵为中点，为的中点，
∴，，
∴在的垂直平分线上，
由旋转可得：，而，
∴为等边三角形，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
同理：，
∴，而，
∴，
∴，，而，
∴为等边三角形，，
∴，，
∴在的垂直平分线上，
∴为旋转中心，
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：
本题考查的是全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，旋转的性质，化为最简二次根式，线段的垂直平分线的判定与性质，矩形的性质与判定，本题的难度很大，作出图形与辅助线是解本题的关键．
29．
本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据题意分如图，当在上时，过作轴于点，过作交延长线于点，设与交于点，与轴交于点，如图，当在上时，过作轴于点，过作交延长线于点，过作于点，与轴交于点，分别通过勾股定理，求解析式，全等三角形的判定与性质进行求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：∵四边形为“和谐四边形”，
∴，，
如图，当在上时，过作轴于点，过作交延长线于点，设与交于点，与轴交于点，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴此时点横坐标为，
如图，当在上时，
过作轴于点，过作交延长线于点，过作于点，与轴交于点，
由上可得：，，，，
同理可证：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
设解析式为，
，解得：，
∴解析式为，
联立，解得：，
∴此时点横坐标为，
∴的取值范围是，
故答案为：．
30．
本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，三点共线，三角形的内角与边的关系，掌握知识点是解题的关键．连接，证明，，由勾股定理，可得，求出，则；在上取一点，使，连接，，由得到，则，四边形为平行四边形，得到，当、、三点共线时最大，即可解答．
解：连接，如图
∵的垂直平分线交于点O，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
即，
解得，
∴，
∴，
在上取一点，使，连接，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴当、、三点共线时最大，
故答案为：．
31．6
本题考查相似三角形的判定和性质，垂线段最短，直角三角形斜边上的中线等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
根据相似三角形的判定与性质，证明，推出，求出的最小值，可得结论．
解：，，
，，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的值最小时，的值最小，此时的值最小，
，，，
，
根据垂线段最短可知，当时，的值最小，根据三角形面积得，此时，
，
，
，
的最小值为，
故答案为：6．
32．
连接A、E、H三点，根据平行四边形的性质推导出 的长，作，由等腰三角形三线合一得点P为中点，由30度角的直角三角形的性质以及勾股定理求出 后，即可求出 ．
解：∵四边形是平行四边形，
∴ ，
∵关闭遮阳伞后，A、E重合，
∴ ，
∵，
∴．
连接A、E、H三点，
∵关闭遮阳伞后，A、E、H三点重合，
∴A、E、H三点共线，且 ，
∵四边形和四边形都是平行四边形，
∴
∵
∴
∵是等边三角形,
∴
∵
∴
作

∵
∴
在中
，
∴
故答案为：．
本题考查了平行四边形的性质的应用，等腰三角形的三线合一定理，以及勾股定理得的应用，解题关键熟练掌握各个知识点的衔接运用．
33．7
本题主要考查了勾股定理、等腰三角形的性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键．
如图：过点A作且，连接，过点E作，将求的长转化为求的长，然后再运用勾股定理求解即可．
解：如图：过点A作且，连接，过点E作，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵于点H，
∴，
∴在等腰直角三角形中，，
∴，解得：,
∴，
在中，．
∴．
故答案为：7．
34．
如图，连接、、，延长交于点，根据折叠的性质得垂直平分，推出，结合平行四边形的性质进一步得到，，证明是等边三角形，得，计算，设，最后在中，利用勾股定理建立关于的方程，求解即可．
解：如图，连接、、，延长交于点，
∵将四边形沿翻折，，的对应点分别是，，
∴垂直平分，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在平行四边形中，，，
∴是等边三角形，，
∴，
∵是边的中点，
∴，，
∴，
∴，，
设，
在中，，，，
∵，
∴，
解得：，
即的长为．
故答案为：．
本题考查折叠的性质，平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，等角对等边，勾股定理等知识点．掌握折叠的性质，等角对等边是解题的关键．
35．
根据题意作出图形，连接，设直线与交于点O，连接，过点作，在中，，根据平行线的性质得出，根据将线段沿一条直线折叠得到线段（点B，C的对应点分别是点），线段恰好落在直线上，得出，直线垂直平分，即可得四边形是矩形，则，根据等角对等边得出，从而得出，证出，即可得，，勾股定理求出，从而得，勾股定理求出，根据，即可求解．
解：如图，连接，设直线与交于点O，连接，过点作，
在中，，
∴，
∵将线段沿一条直线折叠得到线段（点B，C的对应点分别是点），线段恰好落在直线上，
∴，直线垂直平分，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
该题考查了轴对称的性质，平行四边形的性质，含30度的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的性质，矩形的性质和判定，三角形内角和定理等知识点，解题的关键是掌握以上知识点．
36．
如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，根据角平分线的定义及性质得，，，，继而得到，，，进一步证明平分，得，最后根据三角形外角的性质得．
解：如图，过点作于点，过点作于点，过点作于点，设，
∵平分，，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，，
∴点在在的角平分线上，即平分，
∴，
∴，
即的度数为．
故答案为：．
本题考查角平分线的判定与性质，三角形内角和定理，三角形外角的定义及性质等知识点，解题的关键是掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，据此作辅助线．
37． 3
本题考查等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键．延长交于点，连接，易证为等边三角形，得到，进而得到当时，则，作，求出的长，即为点到直线的距离，作点关于的对称点，连接，则：，得到当三点共线时，最小，此时，推出为等边三角形，求出的值即可．
解：延长交于点，连接，
∵等边三角形边长为6，
∴，
∵将三角形沿翻折得，将绕中点旋转得，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
当时，则：，
∴，
作，在中，，
∴，
∴，，
∴点到直线的距离为；
作点关于的对称点，连接，则：，
∴当三点共线时，最小，如图，当时，
此时，，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∵三点共线，
∴此时三点共线，
∴此时最小，为3；
故答案为：．
38．或
本题考查了以弦图为背景的计算、正方形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，根据题意正确拼接图形是解题的关键．分2种情况画出拼接成边长为c的正方形的示意图，结合图形的特点，再利用正方形和全等三角形的性质与判定等知识即可求解．
解：①若拼接边长为c的正方形如图1所示：
由图可知，，，
连接，
则四边形是正方形，
∴，，
∴
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∴，
由图可知，四边形拼接至四边形，
∴，
∵这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形，
∴；
②若拼接边长为c的正方形如图2所示：
同理①的方法可得，，，
由图可知，四边形拼接至四边形，
∴，
∵这四块能够与边长为a的正方形拼接成一个边长为c的正方形，
∴，
∴；
∴综上所述，裁切点E与点A的距离为或．
故答案为：或．
39．
根据正方形的性质得，，证明得，设正方形的边长为，然后将已知线段的长度代入比例中，求出的值即可；用同样的方法求出正方形的边长；根据前面两个正方形的边长的规律得到正方形的边长与之间的关系，然后令即可得出答案．
解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设正方形的边长为，
，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，即正方形的边长为；
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
设正方形的边长为，
，
∴，，
∴，
解得：，
即正方形的边长为；
∵正方形的边长为：，
正方形的边长为：，
∴正方形的边长为，
当时，正方形的边长为．
故答案为：．
本题考查相似三角形的判定与性质，正方形的性质，平行线的性质等知识，确定正方形的边长与之间的关系是解题的关键．
40．
本题考查等边三角形的性质和判定，勾股定理，旋转和轴对称的性质，取的中点N，连接，，连接交于点M，证明，即可得到点F，N，C三点共线，进而得到点N和点G重合，然后根据，利用勾股定理解答即可．
解：如图，取的中点N，连接，，连接交于点M，
∵是等边三角形，是等边的中线，
,
则，，，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，即点F，N，C三点共线，
∴点N和点G重合，
又∵平分，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
故答案为：．
41． ，
①作轴，再反向延长射线交轴于点，证明，则可得，进而可得，设直线的表达式为 ，利用待定系数法求得直线的表达式为，进而可求得点的坐标为．
②由题意，根据图像可得，“反射函数线”关于直线对称，且图像上的点离对称轴
越近函数值越小，由，，均为“反射函数线”上的点，且，可得，然后分，，，
四种情况解不等式即可．
本题主要考查用待定系数法求一次函数的表达式，一次函数的对称性，以及解不等式组，熟练掌握数形结合法是解题的关键．
解：如图，作轴，
由题知，
∴，
反向延长射线交轴于点，
则，
∴，　
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
设直线的表达式为 ，
则，
解得，
∴直线的表达式为．
当时，，
∴点的坐标为．
故空１答案为：．
由题意，根据图像可得，“反射函数线”关于直线对称，且图像上的点离对称轴越近函数值越小．
∵，，均为“反射函数线”上的点，且，
∴，
∴①当时，，
∴此时无解；
②当时，，
∴，
∴此时；
③当时，，
∴，
此时；
④当时，，
∴此时无解；
综上，的范围为：．
故空2答案为： ．
42．①②③④
根据正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，线段垂直平分线的判定和性质，解答即可．
本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理，解题关键在于正确做出辅助线，熟练运用相关原理，对题目结论逐一进行分析，判断出答案．
解：∵正方形中，点为．对角线上一点，且，
∴，，
∴，
∵正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故②正确；
连接，
∵，，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故③正确；
∵，
∴，
∴，
∴，
取点M使得，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴
∵，
∴，
∴,
∴，
故④正确；
故答案为：①②③④．
43．或．
本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，能根据题意对点D的位置进行分类讨论是解题的关键．根据题意画出示意图，先求出的长，进而得出的长，再对点D为位置进行分类讨论即可解答．
解：在中，
．
，
．
当点在中点处时，如图所示，
，且点为中点，
．
当点不在中点处时，过点作的垂线，垂足为，如图所示，
，
．
在中，
．
在中，
．
．
综上所述：的长为或．
故答案为：或．
44．
本题考查了菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及垂线段最短等知识．解题的关键是通过作辅助线构造相似三角形，将求线段的最小值转化为求的最小值，再利用三角形面积公式求出的最小值，进而得到的最小值．
解题思路：辅助线作法见详解．利用中位线定理得到，根据菱形的性质证得，再利用平行线性质可证，得到，利用含角直角三角形的性质及勾股定理可求得的长，再利用勾股定理求得的长，最后利用面积相等法求得高的长度，等于其一半，即为的最小值．
如图，延长至点H，使，连接．延长与交于点M，因G为的中点，故．
∵且菱形对角线平分，
∴，
由，得；由得，
∴，则，又，
∴，则，
由得，；由得，
∴，则，即，
∴．
自点M作延长线的垂线，垂足为点N，则，
∴，，则，
在直角三角形中，，
当时，因，所以最短时，也相应最短，
∵，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：．
45．
本题考查了平行四边形的性质，等边三角形判定和性质，三角形中位线的性质等，延长到点，使，连接，由平行四边形的性质和等腰三角形的性质可得，即得，进而可得是等边三角形，得到，即得，又由三角形中位线的性质可得，可知当时，最小，此时为等腰直角三角形，，利用勾股定理解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键．
解：如图，延长到点，使，连接，
∵四边形是平行四边形，
∴， ，
∴，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵于点，
∴，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵点为中点，，
∴，
当时，最小，此时为等腰直角三角形，，
∴，
即的最小值为，
∴的最小值为，
故答案为：．(共7张PPT)
【期末压轴题】人教版八年级数学下册期末压轴选填空题45道 试卷分析
三、知识点分布
一、填空题
1 0.4 根据旋转的性质求解；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
2 0.4 线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用；用勾股定理解三角形
3 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；含30度角的直角三角形；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
4 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；三角形内角和定理的应用；利用平行四边形的性质求解
5 0.4 根据旋转的性质求解；等边三角形的性质；等边三角形的判定和性质；利用平行四边形的判定与性质求解
6 0.4 全等三角形综合问题；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
7 0.4 解一元二次方程——配方法；相似三角形的判定与性质综合；角平分线的性质定理；用勾股定理解三角形
8 0.4 折叠问题；角平分线的性质定理；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
9 0.4 角平分线的性质定理；作角平分线(尺规作图)；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
10 0.4 含30度角的直角三角形；y=ax +bx+c的最值；根据矩形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
11 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质求线段长；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
12 0.4 一次函数与几何综合；判断三边能否构成直角三角形；二次根式的混合运算；一次函数图象与坐标轴的交点问题
13 0.4 折叠问题；利用菱形的性质求线段长
14 0.4 新定义下的实数运算；平方根概念理解；整式加减的应用
15 0.15 角平分线的有关计算；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
16 0.4 含30度角的直角三角形；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
17 0.4 角平分线的性质定理；线段垂直平分线的性质；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
18 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
19 0.4 根据正方形的性质证明；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形；图形类规律探索
20 0.4 全等三角形综合问题；线段垂直平分线的性质；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
三、知识点分布

21 0.4 全等三角形综合问题；斜边的中线等于斜边的一半；根据正方形的性质求线段长；等腰三角形的性质和判定
22 0.4 等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形性质和判定证明
23 0.4 等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长；利用平行四边形的判定与性质求解
24 0.4 相似三角形的判定与性质综合；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形；图形类规律探索
25 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质求角度；等边三角形的性质
26 0.4 正方形折叠问题；用勾股定理解三角形
27 0.4 含30度角的直角三角形；用勾股定理解三角形；利用平行四边形性质和判定证明
28 0.15 根据菱形的性质与判定求线段长；根据旋转的性质求解；化为最简二次根式；利用平行四边形的性质求解
29 0.4 一次函数与几何综合；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
30 0.4 线段垂直平分线的性质；三角形三边关系的应用；用勾股定理解三角形
三、知识点分布

31 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；垂线段最短；相似三角形的判定与性质综合；用勾股定理解三角形
32 0.4 利用平行四边形的性质求解；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形
33 0.15 等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
34 0.4 折叠问题；利用二次根式的性质化简；利用平行四边形的性质证明；等边三角形的判定和性质
35 0.4 含30度角的直角三角形；折叠问题；利用平行四边形的性质求解；根据矩形的性质与判定求线段长
36 0.4 角平分线的性质定理；角平分线的判定定理；三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题
37 0.4 含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；折叠问题；等边三角形的判定和性质
38 0.4 以弦图为背景的计算题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质与判定求线段长
39 0.4 两直线平行同位角相等；正方形性质理解；相似三角形的判定与性质综合
40 0.4 根据旋转的性质求解；全等的性质和SAS综合（SAS）；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
三、知识点分布

41 0.4 一次函数与几何综合；轴对称中的光线反射问题；求一次函数解析式
42 0.15 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和SAS综合（SAS）；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
43 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；用勾股定理解三角形
44 0.4 利用菱形的性质证明；与三角形中位线有关的求解问题；含30度角的直角三角形；相似三角形的判定综合
45 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；等腰三角形的性质和判定；利用平行四边形的性质求解；等边三角形的判定和性质

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