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【北师大版专用】八年级数学下册期末考试
压轴选择题真题汇编
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．（24-25八年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，，将 边绕着点A逆时针旋转 ，旋转后的对应线段与边交于点E，连接，则的长为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰三角形的顶点在原点，顶点在轴上，已知，，将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，第100次旋转后，点A的坐标为（ ）．
A． B． C． D．
3．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在矩形中，，的平分线交于点E，于点H，连接并延长交于点F，连接交于点O，则下列结论中错误的是（　　）
A．平分 B．
C． D．
4．（24-25八年级下·重庆·期末）已知整式M：，其中系数均为整数，满足，且（其中，1，2，3），下列说法正确的个数是（ ）
①存在 一个满足条件的整式M，当时，；
②若整式M满足，当时，，则的最小值为；
③若，则满足条件的整式M共有个．
A．0 B．1 C．2 D．3
5．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中， ，，点，在边上，且，，则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．（24-25八年级下·山西长治·期末）如图，在正方形中，点O是对角线，的交点，过点O作射线，分别交，于点E，F，且，，交于点G．有下列结论：①；②；③；④四边形的面积为正方形面积的；⑤．其中正确的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．（24-25八年级下·重庆江北·期末）如图，在正方形中，，分别是，上的点，．连接，，点是的中点，连接并延长交于点．平分交于．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在中，，，点为边上一点且，与关于轴对称，若，则线段的长为（）
A． B． C． D．
9．（24-25八年级下·北京房山·期末）如图，矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，连接交于点E，F为的中点，连接交于点G，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③
10．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）如图，在正方形中，点P是对角线上一点（点P不与B，D重合），连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接，，交于点G，给出三个结论：，．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A． B． C． D．
11．（24-25八年级下·北京昌平·期末）如图，正方形，E，F，G，H是其边上的点（不与A，B，C，D重合），，过点E，F，G，H分别作正方形边的垂线，，，，构成四边形，点，分别是射线和上的点，且，分别作射线，，交，于点，，分别连接，，，，可得四边形．给出下面四个结论：
①四边形是正方形；
②四边形是平行四边形；
③若，四边形是菱形不是正方形；
④若，四边形是正方形．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）．
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
12．（24-25八年级下·北京海淀·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的对角线，分别在x轴、y轴上，且相交于点O，，．直线与菱形的边分别交于点E，F（E，F不重合）．记线段的长为d，根据学习函数的经验，d可以看作是b的函数．给出下面三个结论：①当时，；②当d取最大值时，b的值一定为0；③函数d的图象是一个轴对称图形．上述结论中，所有正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
13．（24-25八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论：
①当点的坐标为时，取得最小值；
②当点的坐标为时，取得最大值；
③当点的坐标为时，取得最大值；
④当点的坐标为时，取得最小值．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
14．（24-25八年级下·北京丰台·期末）如图，将四个全等的直角三角形围成大正方形，中间是小正方形．连接大、小正方形的对角线均交于点，连接．若，下面三个结论：①；②；③(表示图形的面积)．其中所有正确结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
15．（24-25八年级下·安徽六安·期末）如图，菱形中，，E和点F分别在边上，连接，，若M、N分别为线段的中点，则线段的长度等于（ ）
A． B． C． D．3
16．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，正方形边长为4，点E在边上运动（不含端点），以为边作等腰直角三角形，连接．下面有四个说法：①当时，；②当时，点B，D，F共线；③当时，与面积相等；④当时，是的角平分线．所有正确说法的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
17．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）四边形的对角线，垂足为，若，则的最小值为（　　）
A．5 B．6 C．8 D．10
18．（24-25八年级下·安徽淮南·期末）如图，在中，平分交于点E，过点D作于点O，延长交于点F，连接，，若点M是的中点，下列结论：①四边形是菱形；②；③若，，，则四边形的面积是，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
19．（24-25八年级下·安徽淮北·期末）如图，等边中，，分别在，上且，点为直线边上的动点，于点，若，，连接，，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
20．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）如图，在正方形中， 对角线交于点O， E为上一点，， ， 垂足分别为F、G， 连接， 与交于点 H， 在下列结论中： ①； ②；③；④是等腰直角三角形；⑤，正确结论个数是（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
21．（24-25八年级下·安徽亳州·期末）如图，在平行四边形中，点是边的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，．下列结论中：①；②若，，则四边形是正方形；③若，，，则的长为，其中正确的结论有（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
22．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，点E是正方形内的一点，连接，，，，，若，则的长等于（ ）
A． B．9 C．10 D．
23．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）已知整式，其中n，，，，，…，均为自然数．则下列说法正确的个数为（ ）
①若，则；
②若，且时，则满足条件的整式M有且只有10个；
③若，，，，…，为互不相同的自然数，当时，M的值为2025，则n的最大值为64．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
24．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在等边中，点D，E分别是边，上的点，，，若，则的长为（ ）
A． B．2 C． D．3
25．（24-25八年级下·广西南宁·期末）已知直线：与直线：都经过点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点直线直线且经过原点，且与直线交于点点为轴上任意一点，连接，对于以下结论，正确的个数有（ ）
①方程组的解为；
②；
③；
④当的值最小时，点的坐标为．
A．个 B．个 C．个 D．个
26．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将含有角的直角三角尺（，）绕顶点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在边上，连接、，则下列结论：①；②；③为的垂直平分线；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
27．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，D是的中点，于点与交于点O，已知，，的长是（ ）．
A． B．3 C． D．
28．（24-25八年级下·山西临汾·期末）如图①，在正方形中，点在边上，且，点沿从点运动到点．设点到边的距离为，，随变化的函数图象如图②所示，则图②中函数图象的最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
29．（24-25八年级下·山西运城·期末）如图，在中，，，，，，都是等边三角形，下列结论中：①；②；③四边形是平行四边形；④．
正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
30．（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，四边形为正方形，E，F，G，H分别为四边上的点，以下说法：
①若，则四边形为正方形；②若，则必有；③若，则必有．正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
31．（24-25八年级下·河北承德·期末）如图，菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，点E是的中点，点P是上的一动点，则的最小值是（ ）
A．4 B．5 C． D．
32．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图1，在正方形中，点F在边上，且，点E沿从点B运动到点D．设点E到边的距离为x，，y随x变化的函数图象如图2所示，则图2中函数图象的最低点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
33．（24-25八年级下·河南鹤壁·期末）定义：在平面直角坐标系中，若点到轴、轴的距离和为1，则称点为“和一点”．例如：点到轴、轴距离和为1，则点是“和一点”，点，也是“和一点”．一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，则的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
34．（24-25八年级下·河南安阳·期末）如图，在正方形中，点为边的中点，将沿折叠，使点落在正方形的内部一点处，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C D B A B A D A D
题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
答案 D B B D B A D A A B
题号 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
答案 D A B B D A C D C D
题号 31 32 33 34
答案 A A A D
1．B
过点作于点，作于点，在中，，，可得，再证，可得是等腰直角三角形，即可求解.
解：过点 作于点，作于点，
∵，，根据等腰三角形三线合一性质，
∴
在中，，，
∴，，
∴
由旋转性质可知，，，，
∴，，
∵，，，
∴
∴，
∵，，
∴
在中，，，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴
综上，的长为
故选：B.
本题主要考查三角形全等综合，等腰直角三角形性质，勾股定理等相关知识点，正确做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
2．C
本题主要考查坐标规律、旋转的性质、勾股定理、含30度直角三角形的性质知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键．
如图：过点A作轴于C．由等腰三角形的性质可得；再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得；再根据旋转的性质并画出图形得到，，，，，，…，6次一个循环，然后再求第100次旋转后，点A的坐标即可．
解：如图：过点A作轴于C．
∵，，
∴ ，
在中，，，即，
∴，，
∴，
∴，
∵将等腰三角形绕点逆时针旋转，每次旋转，
∴、在y轴上，易得，；与A关于y轴对称，则；与关于x轴对称，则；与关于y轴对称，则，与A重合，即；
∴，，，，，，…，6次一个循环，
∵，
∴．
故选：C．
3．D
本题考查了勾股定理，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质等知识；根据角平分线的定义可得，可得出是等腰直角三角形，证出，证明，可得，求出，从而判断出选项A正确；求出，，然后根据等角对等边可得，判断出选项B正确；求出，，证明，可得，判断出选项C正确；根据全等三角形对应边相等可得，根据，，整理得，判断出选项D错误．
解：在矩形中，平分，
，
是等腰直角三角形，
∴
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
平分，
故选项A正确，不符合题意；
，，
，
，
，，
，
，
，
，
故选项B正确；不符合题意；
，
，
又，，
在和中，
，
，
，，
故选C正确，不符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
故选项D错误，符合题意．
故选：D．
4．B
本题考查数字规律探索，找到规律是解决问题的关键．，即相邻两数间隔只可为2，3，4，且，对每个选项逐一检验即可．
解：①当时，，
即，
，即相邻两数间隔可为2，3，4，
则可分别取0，2，4，8，，
故①正确；
②满足，当时，，
即，
，
则可分别取9，，，，
则满足条件的值可为9，
故②错误；
③，即相邻两数间隔可为2，3，4，
且与间有4个间隔，
或，
当时，间隔和为8，则必为每个间隔为2，只有一种可能；
当时，间隔和为，则四个间隔数可为2，2，2，4（有4种排列方式）或2，2，3，3（有种排列方式），共中可能，
∴共有种，满足条件的整式M共有个，
故③错误；
故选：B．
5．A
本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质．正确的作出辅助线构造等腰直角三角形是解题的关键．
过点作于点，根据等腰直角三角形的性质推出，推出，过点作于点，推出，设，则，在中根据等面积法得出方程求解即可．
解：过点作于点，
在中，，，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
，
在中，根据勾股定理可得：
，
过点作于点，
，
是等腰直角三角形，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
设，则，
在中，根据勾股定理可得：
，
，
，
，
解得（负值舍去），
．
故选A．
6．B
本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正方形的性质得到，，，，利用全等三角形判定推出，可判断①；由全等三角形的性质可得，，可判断②；由和得出，可判断③；由得到，可判断④；利用勾股定理可判断⑤，即可得出结论．
四边形是正方形，
，，，，
，
，
，即，
，故①正确；
，
，，
，即，故②正确；
，，
是等腰直角三角形，
，
若需证，则需证，而题目条件无法证明，故③不正确；
，
，
，
正方形，
，
四边形的面积为正方形面积的，故④正确；
，
，不能证明，故⑤错误；
综上所述，其中正确的有①②④，正确的个数是3．
故选：B．
7．A
延长交于点，连接，，作于点，证明，得到，证明三点共线，推出，设，则：，，勾股定理求出，斜边上的中线求出，证明，得到，等积法求出，勾股定理求出，角平分线的性质，得到，根据等高（同高）的面积比等于底边比得到，求解即可．
解：延长交于点，连接，，作于点，如图，
∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵平分交于，平分，
∴三点共线，
∴，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
故选：A．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，斜边上的中线，角平分线的性质等知识点，综合性强，难度较大，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线是解题的关键．
8．D
本题考查轴对称的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．
延长至点M，使，连接，过点D作于点F，先证明是的垂直平分线，则，继而证明四边形是矩形，可推导出，再证明，可得，由勾股定理，求出，即可解答．
解：延长至点M，使，连接，过点D作于点F，
如图，有，
由轴对称，得
∴，
，
即是的垂直平分线，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
9．A
连接，根据旋转性质可以确定，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半即可得出结论①；根据旋转性质证明从而得出结论②；证明，通过勾股定理从而得出结论③；延长交于点H，通过平行线的判定与性质即可证明结论④．
解：如图，连接，
矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，
，
F为的中点，
，故①正确；
矩形绕点D逆时针旋转得到矩形，
，
，
，
， F为的中点，
，
，
，
，
又，
，
，故②正确；
，
，
，
为等腰直角三角形，
，故③正确；
如图，延长交于点H，
，
，
，
，即，
，
，
，故④正确，
故选：A．
本题考查了旋转的性质求解，矩形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握相关性质定理为解题关键．
10．D
本题考查正方形性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识点．添加辅助线，构造全等三角形是解决本题的关键．
根据题意，由勾股定理即可判断；过P点作，延长交于Q点，通过分析可证即可判断；将绕点A顺时针旋转得到，证，即可判断．
解： 连接并延长交于点E，过点P作交于点F，
是直角三角形，
正确；
如图，过P点作，延长交于Q点，则，四边形是矩形，
，，
，
四边形是正方形， 是对角线，
，，
是等腰直角三角形，
，
四边形是矩形，
，
，
，
在和中，
，
，
正确；
将绕点A顺时针旋转得到，如图2，
，
，
C，B，H共线，
，
，
，
在和中，
，
，
，
正确；
综上，均正确．
故答案为：D．
11．D
本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，由正方形的性质可得，证明四边形是矩形，得到；再证明，同理可证明四边形和四边形是矩形，则，进而可证明，则可证明四边形是正方形，据此可判断①；证明，得到，同理可证明，得到；再证明，得到，则可证明，同理可证明，据此可判断②；可证明，，证明，得到，，再证明，即可判断③④．
解：∵四边形是正方形，
∴，
∵过点E，F，G，H分别作正方形边的垂线，，，，
∴四边形是矩形，
∴；
∵，
∴，
∴，
同理可证明四边形和四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
同理可证明，
∴四边形是菱形，
又∵，
∴四边形是正方形，故①正确；
∵，
∴，
∴，
同理可证明，
∴；
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，即，
同理可证明，
∴四边形是平行四边形，故②正确；
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴四边形是菱形；
∵，
∴，
∴四边形是正方形，故③错误，④正确；
故选：D．
12．B
本题主要考查了菱形的性质，平行四边形的判定和性质，一次函数的应用等知识，学会数形结合的思想是解题的关键．由菱形的性质得出，，，当时，直线与菱形的交点E、F，画出图形结合图形可知，根据题意画出图2，证明四边形，，都是平行四边形，可得出，即可判断②，结合图2可得出③．
解：∵四边形是菱形，，
∴，，，
①当时，直线与菱形的交点E、F如图1所示．
过点E作垂直y轴，垂足为M．
很显然，，
∵，
∴，
∴．故结论①错误．
②如图2所示，、、互相平行，
∵四边形是菱形，
∴，
∴四边形，，都是平行四边形，
∴，
∴当d取最大值时，b的值不一定为0．故结论②错误．
③结合图2可以看到，随着b从正往负的变化，会呈现出斜着向下平移的变化，在运动到的位置之前的长度(也就是d的大小)会从0逐渐增大，在到达的位置之后，的长度保持不变，直至到达的位置，然后的长度逐渐减小为0．整个变化过程具有对称性，因此函数d的图象也会是一个轴对称图形．
故结论③正确．
故选：B
13．B
本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质、轴对称-最短路线问题，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，结合函数图象分三种情形计算分析即可逐个判断得解．
解：由题意，如图1，
，
关于直线的对称点，
连接交于点，此时取最小值等于，
又，
轴，
，
故①正确，②错误；
连接并延长交直线于，如图2，
此时，取最大值等于，
设直线为，
，
，
，
直线为，
联立方程组，
，
此时，
故③错误；
由题意，连接，作的垂直平分线交于点，如图3，
，
取得最小值为，
在的垂直平分线上，
，
的中点为，
直线为，
的垂直平分线为，
联立方程组，
，
，此时取得最小值，
故④正确；
综上，正确的有①④；
故选：B．
14．D
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键．①设，则，进而得证明是等腰直角三角形得，根据正方形性质得是等腰直角三角形，由勾股定理得，由此可对结论①进行判断；
②根据正方形性质得是等腰直角三角形，的，再根据是等腰直角三角形得，进而得，继而得，由此可对结论②进行判断；
③先由勾股定理求出得，证明，再根据，得，由此可对结论③进行判断，综上所述即可得出答案．
解：①设，
∴，
由全等三角形的性质得：，
∴，
∴
∵是直角三角形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
在正方形中，，
∴是等腰直角三角形，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
∴，
故结论①正确；
②在正方形中，，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
故结论②正确；
③在中，，，
由勾股定理得：，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴是直角三角形，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
故结论③正确，
综上所述：正确结论的序号是①②③．
故选：D．
15．B
本题主要考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质、三角形中位线定理，勾股定理等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．
连接，取的中点H，连接，过点N作于K，由菱形的性质可得，可证是等边三角形，可得，由三角形中位线定理可得，可得，可求，然后运用勾股定理求解即可．
解：如图，连接，取的中点H，连接，过点N作于K，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵M、N分别为线段的中点，点H是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴．
故选：B．
16．A
①当时，先在中，由勾股定理得，再在中由勾股定理得可求得，由此可判断①正确；②当时，过点F作，交延长线于点H，连接。先证明，则可得，，进而可得，，进而可得，由此可得②正确；③当时，，，求得，，由此得③错误；④当时，在上截取，连接，则可得，，，则，，进而可得，，由此可得④错误。
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理。熟练掌握以上知识是解题的关键。
解：①∵四边形是正方形，边长为4，
，，
当时，
在中，由勾股定理得：，
是等腰直角三角形，，
，，
由勾股定理得：，
故①正确；
②当时，过点F作，交延长线于点H，连接，如图1所示：
∵四边形是正方形，边长为4，
，，，
∴，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
∴点B，D，F三点共线，
故②正确；
③当时，
同②可证明：，
，，
，
，，
，
故③不正确；
④当时，在上截取，连接，如图2所示：
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
，
，
又，
，
，
，
不是的角平分线，
故④不正确，
综上所述：正确的序号是①②．
故选：A．
17．D
过点D作，过点C作，二线交于点O，则四边形是平行四边形，利用勾股定理，三角形三边关系定理解答即可．
本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系的应用，熟练掌握判定和性质，勾股定理是解题的关键．
解：过点D作，过点C作，二线交于点O，
则四边形是平行四边形，
∴，
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵，
∴，
故当C，O，B三点共线时，取得最小值，且最小值为，
故选：D．
18．A
先证明，，，可得，证明四边形是平行四边形，结合，可得结论①正确；证明四边形是平行四边形，可得是的中位线，可得结论②正确；过点D作于点N，求解菱形的面积，可得的面积菱形ADEF的面积，求解的面积，可得的面积的面积，进一步求解即可．
解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形，结论①正确；
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，结论②正确；
过点D作于点N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴菱形的面积，
∴的面积菱形ADEF的面积，
∵，
∴的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴四边形的面积的面积的面积，结论③错误．
故选：A
本题考查的平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.
19．A
本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、含的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
通过平移构造模型，推出当、、三点共线时，有最小值，然后根据勾股定理计算即可．
解：如图：将线段向下平移个单位长度至，连接，
过点作，过点作，两线交于点M；
∵且，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∴，
当、、三点共线时，有最小值，最小值为线段的长；
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即的最小值为．
故选：A ．
20．B
根据垂直定义和三角形的内角和定理、对顶角相等可判断①；根据正方形的性质、等角的余角相等可证明得到，，利用三角形的三边关系可判断②；根据直角三角形中，斜边大于直角边可判断③；证明得到，，进而得到，可判断④；设交于点，连接，证明得到，，为等腰直角三角形，利用勾股定理可判断⑤，进而可得答案．
解：∵，，
∴，又，
∴，
∴，即，故①正确；
∵四边形是正方形，
∴，，，，，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
在中，∵，
∴，故②错误；
在中，，在中，，
∴，故③错误；
∵，
∴
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，则，
故为等腰直角三角形，故④正确；
设交于点，连接，如图所示，
∵为等腰直角三角形，
∴，又，
∴，
在和中，
∴，
∴，．又，
∴为等腰直角三角形，
∴，
在中，由勾股定理可得，
即，故⑤正确；
综上，正确的序号为①④⑤，有3个正确，
故选：B．
本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握相关知识的联系与运用是解题关键．
21．D
本题考查了平行四边形的性质与判定，矩形的判定，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键．
利用判定，从而得到；，由已知可得四边形是平行四边形，再利用等底等高的三角形面积相等，即可得，再根据，，可得四边形是菱形也是矩形；再取的中点，连接，，，利用勾股定理求解即可．
证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵为的中点，
，
，
，，
，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
，，
∴，
∴，故结论①正确；
若，时，
∵，
∴平行四边形是菱形．
∵，，
∴，
∴平行四边形是矩形．
∴四边形是正方形；故结论②正确；
取的中点，连接，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
又∵
∴，
∵，
，故结论③正确．
综上所述：正确的结论有①②③，故选D．
22．A
此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键．过点作交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，证明是等腰直角三角形得，，证明得，进而得，由此得是等腰直角三角形，由勾股定理得，在等腰中，由勾股定理得，再证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，然后在中，由勾股定理求出，即可得出的长．
解：过点作交的延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在中，，
由勾股定理得：，
∴，
在等腰中，，
由勾股定理得：，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
在中，，
由勾股定理得：．
故选：A．
23．B
根据整式恒等式的性质即不含项问题解答判断，利用求代数式的值方法，自然数的性质解答即可．
本题考查了整式恒等式的性质即不含项问题，代数式的值，熟练掌握相关知识是解题的关键．
解：根据题意，得，其中n，，，，，…，均为自然数．
①：由，得，，故，正确；
②：当且时，当或或或或
或或或或或共有10种组合，对应10个不同的整式，正确；
③：若为互不相同的自然数，且时，根据题意，最小自然数序列的和为，当时，和为；当时，最小和为，
故的最大值为63，③错误；
综上，正确的说法为①和②，共2个，
故选：B．
24．B
过点E作于点Q，先证明，得到，再利用直角三角形的性质，计算即可．
解：∵是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
过点E作于点Q，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，（负值舍去）
∴，
故选：B．
本题考查了等边三角形的性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角性质的应用，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质和等边三角形性质是解题的关键．
25．D
本题考查了一次函数与二元一次方程组，轴对称最短路径问题，勾股定理的应用，正确地求得函数解析式是解题的关键．方程组的解为；故符合题意；把，点代入解方程组得到直线：，求得直线的解析式为，把把代入得得到直线，解方程组得到，得到，根据三角形的面积公式得到，故符合题意；解方程得到，根据勾股定理计算可得③符合题意；作点故轴的对称点，连接交轴于，此时，的值最小，设直线的解析式为，解方程组得到直线的解析式为，当时，，得到，符合题意．
解：直线：与直线：都经过点，
方程组的解为；故符合题意；
把，点代入得，
，
直线：，
直线直线且经过原点，
直线的解析式为，
把代入得，，
，
直线：，
解；得，
，
在中，令，则，
解得，
，
，故符合题意；
，，
，
∴，故符合题意；
直线交轴于点，
，
作点作轴的对称点，连接交轴于，则，
当共线时，的值最小，
设直线的解析式为，
，
，
，
直线的解析式为，
当时，，
，符合题意；
故选：D．
26．A
本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含30度直角三角形的性质，线段垂直平分线的判定.
由旋转的性质可判断①；由旋转的性质得是等边三角形，由等边三角形的性质及等腰三角形的判定可判断②；由旋转的性质得是等边三角形，得，结合②可判断③；由含30度直角三角形的性质及①可判断④．
解：由旋转的性质知，；
故①正确；
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴；
故②正确；
由旋转的性质得，
∴是等边三角形，
∴；
由②知，
∴垂直平分线段；
故③正确；
∵是等边三角形，
∴；
∵垂直平分线段,
∴；
∵，
∴；
∵，
∴；
故④正确；
故选：A
27．C
本题主要考查了直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形外角的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
如图：连接，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，进而得到，由等边对等角可得，根据三角形外角的性质可得，易得可证是等边三角形得到，最后根据勾股定理求解即可．
解：如图：连接，
∵，D是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴．
故选C．
28．D
根据图象，当时，，确定正方形的边长；根据正方形的性质，得点与点关于直线对称，连接，交于点，当点与点重合时，取得最小值，，设此时点关于直线的对称点为，根据题意，，、、三点共线，根据正方形的性质，得点到边的距离为，点到边的距离也为，
利用面积解答即可．
解：四边形是正方形，
，，
设，
，
，，
根据图象，当时，，
，
解得：，
，，，
正方形，
点与点关于直线对称，
连接，交于点，
当点与点重合时，取得最小值，
，
设此时点关于直线的对称点为，
根据题意，，、、三点共线，
根据正方形的性质，得点到边的距离为，点到边的距离也为，
，
，
解得：，
故图②中函数图象的最低点的坐标为，
故选：D．
本题考查了正方形的性质，轴对称原理，勾股定理，函数图象信息的处理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，读懂函数图象是解题的关键．
29．C
由勾股定理的逆定理得出，即可判断①；再由等边三角形的性质，结合全等三角形的判定与性质可推出，，则四边形是平行四边形，即可判断③；然后由平行四边形的性质得，即可判断②；过作于，根据含角的直角三角形的性质和平行四边形的性质求出，进而得到，即可判断④；即可得出答案．
解：，，，
，
是直角三角形，且，
，故①正确；
，，都是等边三角形，
，，，，
，，
即，，
在与中，
，
，
，
，
，
同理可证：，
，
，
，
四边形是平行四边形，故③正确；
，故②正确；
过作于，则，
四边形是平行四边形，
，
，
，故④错误；
正确的有个，
故选：C．
本题考查了平行四边形的判定与性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．
30．D
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质．
①连接，根据正方形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到四边形为正方形；故①正确；②连接，过A作交于M，过B作交于F，得到四边形是平行四边形，根据正方形的性质得到，求得，同理，根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到；故②正确；③连接，过A作交于M，过B作交于F，则四边形是平行四边形，推出，根据全等三角形的性质得到，求得，故③正确．
解：①连接，
∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为正方形；故①正确；
②连接，过A作交于M，过B作交于F，
则四边形是平行四边形，
∵四边形是正方形，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
同理，
∴，
∴（），
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴；故②正确；
③连接，过A作交于M，过B作交于F，
则四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴（），
∴，
∴，故③正确；
故选：D．
31．A
连接，利用菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短解答即可．
本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握判定和性质是解题的关键．
解：∵菱形，点A、B、C、D均在坐标轴上，，点，
∴，，，
∴，
∴，是等边三角形，
∵点E是的中点，
∴，
∵点D与点B关于对称，
故连接，交于点，
当点P与点重合时，的值最小，
且最小值为的长，
由是等边三角形，
故，
∴，
∴，
故的最小值为4，
故选：A．
32．A
根据图象，得时，，确定正方形的边长；根据正方形的性质，得点C与点A关于直线对称，连接，交于点Q，当点E与点Q重合时，取得最小值，，设此时点F的对称点为，根据题意，,三点共线，根据正方形的性质，得点E到边的距离为x，点E到边的距离也为x，利用面积解答即可．
本题考查了正方形的性质，轴对称原理，勾股定理，函数图象信息的处理，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，读懂函数图象是解题的关键．
解：∵正方形，
∴，
∴，
设，
∵，
∴，，
根据图象，得时，，
∴，
解得，
∴，
∵正方形，
∴点C与点A关于直线对称，
连接，交于点Q，
∴当点E与点Q重合时，取得最小值，
∴，
设此时点F的对称点为，根据题意，,三点共线，
根据正方形的性质，得点E到边的距离为x，点E到边的距离也为x，
∴，
解得，
故坐标为，
故选：A．
33．A
本题主要考查了一次函数的性质、求一次函数解析式、函数图象的运用等知识点，正确画出函数图象是解题的关键．根据“和一点”的定义可以得出，进而可以得出由所有“和一点”所构成的函数及其图象，又通过过点的图象上存在“和一点得到一次函数与“和一点”构成的函数存在交点，然后运用待定系数法求得的最小值和最大值，即可确定的取值范围．
解：由题意可得：点到轴，轴的距离和为1，即，去绝对值后可得：
，
将“和一点”的函数表示在直角坐标系中如图：
一次函数的图象经过点，且图象上存在“和一点”，
一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当一次函数的图象在直线与直线之间时，一次函数至少与“和一点”构成的图象有1个交点，
当最小时，一次函数图象过点，
由题意可得：，
解得：，即的最小值为．
当最大时，一次函数与图象过点，
由题意可得：
则有，
解得：，
即的最大值为2．
．
故选：A．
34．D
本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，解题关键是利用折叠的性质求解．
根据正方形的性质和折叠的性质可得，，由此得，．设，，由三角形内角和定理可得，又由，即可求出的度数．
解：∵四边形是正方形，
，，
∵E为边的中点，
，
∵沿折叠后得到，
，，，
，，
，．
设，，
，
，
∵中，，
∴，
又∵，
，
，
，
故选：D．
本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．(共6张PPT)
【北师大版专用】八年级数学下册期末压轴填选择真题汇编 试卷分析
三、知识点分布
一、单选题
1 0.4 含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
2 0.4 含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；坐标与旋转规律问题；用勾股定理解三角形
3 0.4 全等三角形综合问题；根据矩形的性质求线段长；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
4 0.15 数字类规律探索
5 0.4 利用二次根式的性质化简；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
6 0.4 全等三角形综合问题；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
7 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
8 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据矩形的性质与判定求线段长；线段垂直平分线的判定；用勾股定理解三角形
三、知识点分布
9 0.4 根据旋转的性质求解；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
10 0.4 全等三角形综合问题；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
11 0.4 全等三角形综合问题；根据矩形的性质与判定求线段长；根据正方形的性质与判定证明；证明四边形是平行四边形
12 0.4 轴对称图形的识别；一次函数与几何综合；利用菱形的性质求线段长；利用平行四边形的判定与性质求解
13 0.4 正比例函数的性质；坐标与图形变化——轴对称；一次函数图象与对称问题
14 0.4 全等三角形综合问题；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
15 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；利用菱形的性质求线段长；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
16 0.4 等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
三、知识点分布

17 0.4 两点之间线段最短；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
18 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；根据菱形的性质与判定求面积；二次根式的混合运算；利用平行四边形的判定与性质求解
19 0.4 含30度角的直角三角形；等边三角形的性质；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
20 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；根据正方形的性质证明；用勾股定理解三角形
21 0.4 与三角形中位线有关的求解问题；证明四边形是正方形；利用平行四边形的性质求解；用勾股定理解三角形
22 0.4 根据正方形的性质求线段长；利用二次根式的性质化简；用勾股定理解三角形
23 0.4 数字类规律探索
24 0.4 含30度角的直角三角形；三角形的外角的定义及性质；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
三、知识点分布

25 0.4 两直线的交点与二元一次方程组的解；求直线围成的图形面积；一次函数与几何综合；用勾股定理解三角形
26 0.4 线段垂直平分线的判定；含30度角的直角三角形；根据旋转的性质求解；等边三角形的判定和性质
27 0.4 斜边的中线等于斜边的一半；三角形的外角的定义及性质；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形
28 0.15 动点问题的函数图象；根据正方形的性质求线段长；线段问题(轴对称综合题)；用勾股定理解三角形
29 0.4 判断三边能否构成直角三角形；等边三角形的性质；全等三角形的性质；证明四边形是平行四边形
30 0.4 全等三角形综合问题；根据矩形的性质与判定求线段长；根据正方形的性质证明；利用平行四边形性质和判定证明
31 0.4 根据成轴对称图形的特征进行求解；等边三角形的判定和性质；利用菱形的性质求线段长
32 0.4 动点问题的函数图象；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
33 0.15 一次函数与几何综合；求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴的交点问题
34 0.4 正方形折叠问题；等边对等角；三角形内角和定理的应用

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