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【期末压轴题】人教版七年级数学下册期末压轴填空题45道 试卷分析
三、知识点分布
一、填空题
1 0.4 根据旋转的性质求解；根据平行线的性质求角的度数；三角板中角度计算问题
2 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定和性质；两点之间线段最短
3 0.4 由平移方式确定点的坐标；坐标与图形变化——轴对称
4 0.4 完全平方公式在几何图形中的应用；根据正方形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形
5 0.4 由不等式组解集的情况求参数
6 0.4 根据平行线判定与性质求角度；根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算
7 0.4 角平分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质
8 0.4 根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
9 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定
10 0.4 逻辑推理与论证
三、知识点分布
11 0.4 代数式表示的实际意义；有理数四则混合运算的实际应用
12 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的有关计算；三角形内角和定理的应用
13 0.4 根据三角形中线求面积
14 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）
15 0.4 二元一次方程的解；新定义下的实数运算
16 0.15 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；等边三角形的判定和性质
17 0.4 数字问题(一元一次方程的应用)
18 0.4 根据成轴对称图形的特征进行求解；角平分线的性质定理；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
19 0.4 求一个数的算术平方根；由不等式组解集的情况求参数；平行公理的应用
20 0.4 列代数式；整式加减的应用
三、知识点分布

21 0.4 与三角形的高有关的计算问题；利用平行线间距离解决问题
22 0.4 判断命题真假；加减消元法；平方根概念理解；绝对值的几何意义
23 0.4 根据旋转的性质求解；全等的性质和SAS综合（SAS）；根据等角对等边求边长；等边三角形的判定和性质
24 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；三线合一
25 0.4 根据平行线的性质求角的度数；折叠问题；三角形的外角的定义及性质
26 0.4 二元一次方程的解；整式加减的应用
27 0.4 新定义下的实数运算；列代数式；整式加减的应用；求不等式组的解集
28 0.4 已知一元一次方程的解，求参数；由不等式组解集的情况求参数
29 0.4 根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用
30 0.4 等腰三角形的性质和判定； 三角形外接圆的概念辨析；线段垂直平分线的性质
三、知识点分布

31 0.4 逻辑推理与论证
32 0.4 根据旋转的性质求解；根据平行线的性质求角的度数；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用
33 0.4 新定义下的实数运算；其他问题(一元一次方程的应用)
34 0.4 根据平行线的性质求角的度数；几何问题(一元一次方程的应用)
35 0.4 有理数四则混合运算；整式加减的应用
36 0.4 全等三角形综合问题；角平分线的性质定理
37 0.4 新定义下的实数运算
38 0.4 三角形角平分线的定义；与三角形的高有关的计算问题；根据三角形中线求面积；直角三角形的两个锐角互余
39 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据成轴对称图形的特征进行求解；等腰三角形的性质和判定
40 0.4 二元一次方程的解；用一元一次不等式解决实际问题
41 0.4 根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；全等的性质和SAS综合（SAS）
42 0.4 根据成轴对称图形的特征进行求解；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质和判定；三角形内角和定理的应用
43 0.4 根据平行线判定与性质求角度；角平分线的有关计算
44 0.4 根据平行线的性质求角的度数；折叠问题
45 0.4 运用完全平方公式进行运算；其他问题(二元一次方程组的应用)【期末压轴题】人教版七年级数学下册期末考试
压轴填空题45道
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）将一副三角板按如图所示的方式摆放在一起，其中，，，，固定三角板，将三角板绕点A按顺时针方向旋转，若与的某一边平行（不共线）时，的值为______．
2．（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，，，，点是射线上的动点，以为边在左侧作等边三角形，连接，则的最小值是______．
3．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，平面直角坐标系中，点，点关于直线对称的点为，点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，若点落在内（包括边界），则的取值范围是_______．
4．（24-25七年级下·四川成都·期末）在英国牧师佩里加尔的墓碑上记录了一种证明勾股定理的方法—“水车轮翼法”，在中，，将正方形沿着分割线分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成以为边的大正方形，如图，连接，若正方形的面积为，的面积为，则的长为______．
5．（24-25七年级下·云南昆明·期末）如果关于x的不等式组有且只有4个整数解，那么a的取值范围是_____．
6．（24-25七年级下·四川泸州·期末）如图，点E在线段的延长线上，，，，连交于G，的余角比大，K为线段上一点，连，使，在内部有射线，平分，则下列结论：
①；②平分；③；④．
其中正确结论的序号是______．
7．（24-25七年级下·山东东营·期末）如图，点是的内角和的平分线的交点，点是的内角和的角平分线的交点，同样点是的内角和的角平分线的交点，若，那么___________．
8．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，直线交于M，交于F，且．若点P为射线上一点，N为射线上一点，平分平分交于，交于T，则的度数为______．
9．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，，过作于点，点为边上一点，点为边中点，连接，，若，，则__________________．
10．（24-25七年级下·北京海淀·期末）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的最新要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力I、运动能力II、素质项目II中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下：
运动能力I 人数 运动能力II 人数 素质项目II 人数
篮球 16 健身长拳 26 1分钟跳绳 17
足球 12 游泳 4 实心球
排球 2
表中的___________；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有___________人．
11．（24-25七年级下·北京顺义·期末）某市将举办“创意与科创成果”主题展览．距离展览开幕还有7天，有四个不同的展区需要布置展品．布置每个展区需要一定数量的志愿者连续合作若干天完成，所需的志愿者人数（单位：人）和天数（单位：天）如下：
展区 A B C D
志愿者人数 3 5 4 2
天数 4 3 2 5
（1）如果开幕前将每个展区都布置完成，主办方至少应招募______名志愿者；
（2）每名志愿者的补贴标准为：每天补贴元，天数按照所有展区布置完成的天数计算．若主办方准备的补贴预算不超过元，且要在最短时间内完成工作，请问最少______天布置完成．
12．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，若，平分，，平分，下列结论：
①；②；③；④；⑤若为中点，则．其中正确的有______．（只填序号）

13．（24-25七年级下·福建泉州·期末）在中，点是边上一点，且，连接，点为中点，连接并延长，交于点．若，则____．
14．（24-25七年级下·河南焦作·期末）如图，在长方形中，，，延长到点，使，连接，动点从点B出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当t的值为______秒时，和全等．
15．（24-25七年级下·重庆·期末）对于一个四位自然数M，若其各个数位上的数字均不为0，且百位数字与个位数字之差是千位数字与十位数字之差的2倍，则称这个自然数M为“二倍间距数”，并规定M的前两位数字所组成的两位数为m，后两位数字所组成的两位数为n，．例如：对于四位自然数3612，因为，所以3612是“二倍间距数”，.已知四位自然数是“二倍间距数”，若，则______；若“二倍间距数”（其中，，，x、y、z都为整数），且为有理数，为整数，则B的值为______．
16．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，D，E 分别为边上的点，且，连接，于点G，交于点F，交于点H，交于点P，连接．若平分，下列结论：①；②； ③；④；⑤，其中正确结论的序号是_______
17．（24-25七年级下·北京丰台·期末）有50张同样的卡片，上面分别写有1，2，3，…，49，50．从中随机抽取五张，并将它们正面向下放置在桌上，如图，这五张卡片编号分别记为A，B，C，D，E，相邻两张卡片上的数的和如下表所示，则编号记为__________的卡片上的数最大．
卡片编号 A，B B，C C，D D，E E，A
两数的和 71 48 54 66 59
18．（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，四边形的面积为4，，平分，，则的最小值为_______．
19．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列说法：①如果直线，直线和直线满足，，则；②若，且，则；③若关于的不等式组所有的整数解的和为，则的取值范围是或；④若关于的不等式组有解且每个解都不在的范围内，则．其中正确说法是______．（填正确结论的序号）
20．（24-25七年级下·重庆梁平·期末）一个四位自然数，如果M的千位数字和十位数字组成的两位数与M的百位数字和个位数字组成的两位数的和等于48，那么就称这个数为“48和数”．把“48和数”M的前两位数字与后两位数字整体交换得到新的四位数，设．例如：四位数1362，，是“48和数”，且．①6123______（填“是”或“不是”）“48和数”②若和均是质数，记最大的“48和数”为M，则______．
21．（24-25七年级下·重庆万州·期末）如图，的面积为，点分别位于上．且．若，则的面积是_________；的面积是_________．
22．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）下列命题：①相等的角是对顶角；②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1；③已知关于的二元一次方程组，不论取什么有理数，的值始终不变；④已知正实数的平方根是和，若，则；⑤若不等式对一切实数都成立，则的最大值是5；
其中真命题是：___________．（请填序号）
23．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，P为线段的中点，且，M是上方一点，将线段绕点P顺时针旋转 后得到线段， 连接． 当最小时，周长的最小值是_________．
24．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在中，是边上的高，过点A作，并且使，F是上一点，连接，使，交于G，H两点，若，则______
25．（24-25七年级下·河南开封·期中）如图a是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图b，再沿折叠成图c，则图c中的的度数是_____．
26．（24-25七年级下·重庆·期末）一个各个数位数字均不为0的四位自然数，其中a，b，c，d互不相同，若满足，则称M 为“千十数”．例如：四位数3278，∵，：3278是“千十数”．将M的十位数字与个位数字对调，得到新数N，并规定．若M是最小的“千十数”，则________：若M是“千十数”，且为整数），若M除以7余3，则满足条件的M的最大值与最小值的差是________
27．（24-25七年级下·重庆万州·期末）一个三位数，百位数字比十位数字大1，个位数字比十位数字的三倍少5，则称这个数为“大1少5数”，如：321，，，所以321是“大1少5数”．若将一个“大1少5数” 的百位数字作为个位，个位数字作为百位，十位数字不变得到一个新三位数记为，当时，则这个三位数为_____________．记，当被7除余1时，则这个三位数为__________．
28．（24-25七年级下·重庆万州·期末）若关于的不等式组有且只有2个整数解，且关于的方程有整数解，则所有满足条件的整数的和为_____________．
29．（24-25七年级下·上海普陀·期末）如图，在中，，，将绕点旋转得，点、的对应点分别是点、，线段交边于点，连接、，如果是等腰三角形，那么的度数是___________．
30．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，等边中，直线垂直平分边，点P是直线MN上的一点，若、、都是等腰三角形，那么满足条件的点P的个数是_________．
31．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）某班甲、乙、丙、丁四位学生参加安全知识竞赛，在竞赛结果公布前，地理老师预测冠军是甲或乙；历史老师预测冠军是丙；政治老师预测冠军不可能是甲或丁；语文老师预测冠军是乙，而班主任老师看到竞赛结果后说以上只有两位老师说对了，则冠军是________．
32．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）如图，在和中，，，，与重叠．若绕点O按每秒的速度沿逆时针方向旋转不停，在旋转过程中，若和中第一次有一组边平行，则称之为第一次“边平行”，当旋转到______秒时，第次边平行．
33．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）如果一个四位自然数，满足各个数位上的数字均不相等，且千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字所组成的两位数，则称这个数为“和序数”．如：，因为，所以3129是一个“和序数”； ，因为，所以7235不是一个“和序数”，则最大的四位“和序数”为______；对于一个“和序数”，记，当为整数时，则M的最大值与最小值的差为______．
34．（24-25七年级下·江西宜春·期末）如图所示的是激光位于初始位置时的平面示意图，其中，是直线上的两个激光灯，，现激光绕点以每秒5度的速度逆时针旋转，同时激光绕点以每秒3度的速度顺时针旋转，设旋转时间为秒，当时，的值为________．
35．（24-25七年级下·重庆忠县·期末）对于一个四位正整数（满足的整数），若，则称为“翼龙数”，例如：8466满足，所以8466是“翼龙数”，那么最小的“翼龙数”为______；记为“翼龙数”的“转化数”，则当能被12整除，能被5整除时，最大的“翼龙数”______．
36．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，在中，与的角平分线相交于点，点M、N分别在边上，且，连接，若的周长为4，则的面积为______．
37．（24-25七年级下·重庆·期末）对于一个四位正整数M，如果满足各个数位上的数字互不相同且均不为零，且它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，那么称这个数M为“缙云数”．在“缙云数”M中，从千位数字开始顺次取出三个数字依次作为百位数字、十位数字和个位数字构成一个三位数，共形成四个三位数，再把这四个三位数的和与111的商记为．如：，，则___________．若P，Q都是“缙云数”，其中， (x，y，m，n都是整数，且)，规定，当能被9整除时，k的最小值为___________．
38．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）如图，在中，，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法中正确的序号是______．
①的面积等于的面积；②；③．
39．（24-25七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，，．延长到点，使得．过点在直线上方作射线，射线．点在射线上，连接，，．
现给出以下结论：
①当点与点重合时，是等腰三角形；
②当时，；
③当时，；
④当周长最小时，的面积是．
其中正确的是______．（写出所有正确结论的序号）
40．（24-25七年级下·北京延庆·期末）每年的3月14日为国际数学日，是为纪念中国古代数学家祖冲之而设立．为庆祝第六个国际数学日，某校在2025年3月举办了丰富多彩的数学节活动．为了增加同学们的数学阅读乐趣，决定购买两种图书：《漫画数学》每本32元，《马小跳玩数学》每本25元．学校总共花费1000元，且两种图书都至少购买一本．则购买《马小跳玩数学》______本．
41．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在四边形中，，，，，点E在边上，且，四边形的面积为12．点F为四边形内部一点，连接，且，连接，将绕点C逆时针旋转得到，连接，当取得最小值时，的面积为______．
42．（24-25七年级下·四川资阳·期末）如图，已知，是内部一点，和分别为上的点，当周长最小时，______．
43．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，，分别平分和，若，则的度数是__________．
44．（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，在中，，，D是线段上的一个动点，连接，把沿折叠，点C落在同一平面内的点处，当平行于的边时，的大小为______．
45．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）设，，…，，是从，，这三个数取值的一组数，若，则，，…，，中为的个数为_____．
参考答案
1．或
本题主要考查了旋转的性质、平行线的性质等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键．
分、、分别根据旋转的定义以及平行线的性质求解即可．
解：如图：当时，的值为；
如图：当时，，
∵，
∴，
∴的值为．
如图：当时，
∴的值为（不符合题意）．
综上，当与的某一边平行（不共线）时，的值为或．
故答案为：或．
2．
本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，两点之间线段最短，垂直平分线的判定与性质，以为边在下方作等边，连接，交于点，则有，，又是等边三角形，所以，，证明，得到，得，即垂直平分，则，从而有，则当点三点共线时最小，即最小，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，以为边在下方作等边，连接，交于点，
∴ ，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∴，
则当点三点共线时，如图，
∴最小，即最小，为，
故答案为：．
3．
设，点和连线中点坐标为，确定，得到，建立不等式组解答即可．
本题考查了平移，对称，不等式组的应用，熟练掌握平移，对称是解题的关键．
解：设，点和连线中点坐标为，
∵点关于直线对称的点为，
∴
∴，
∴，
∴，
∵点向左平移一个单位，再向上平移两个单位得到点，
∴，
∵点落在内（包括边界），
∴，
∴，
∴
解得，
故答案为：．
4．
本题考查了勾股定理的应用，正方形的判定与性质，根据题意可得，，，证明四边形是正方形，
设，，所以，，，则，根据题意可得，再由勾股定理可得，即，求出即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键．
解：如图，根据题意可得，，，
∴，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
∴，
∴四边形是正方形，
设，，
∴，，，
∴，，
∵将正方形沿着分割线分割成四个全等的四边形，再将这四个四边形和正方形拼成以为边的大正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，整理得：，
解得：，
∴，
故答案为：．
5．
本题主要考查解一元一次不等式组，先分别求解每个不等式，再根据“大小小大取中间”得到一元一次不等式组的解集，根据不等式组有且只有4个整数解，列出关于的不等式组，求解即可；
解：解不等式组，
解得：，
∴一元一次不等式组的解集为，
∵不等式组有且只有4个整数解，
∴4个整数解是4，3，2，1；
∴a的取值范围是；
故答案为：．
6．①②④
本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角的计算等知识点，需熟练掌握．由，得出，于是证得；根据得到，因为，所以，从而得出平分；设，，先根据的余角比大求出的度数，再根据角平分线的定义得出，即，从而求出，即得出的度数，从而判断即可得出正确的结论．
解：，，
，
，故正确；
，
，
，
，
即平分，故正确；
无法证得，
故错误；
的余角比大，
，
，
，
，
设，，
，
平分，
，
平分，
，
即，
，
解得，
即，故正确；
故答案为：．
7．
本题是找规律的题目，主要考查了三角形的外角性质及三角形的内角和定理，平分线的定义等知识，根据角平分线的定义，三角形的外角性质及三角形的内角和定理可知，，…，依此类推可知的度数，即可求解．
解：∵和的平分线交于点，
∴，
∵，
∴
；
同理可得，，
…，
∴，
∴
故答案为：．
8．或
本题主要考查了平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，分点P在线段上和点P在射线上两种情况，画出对应的示意图讨论求解即可．
解：当点P在线段上时，如图：
∵平分，平分，
∴，，
设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
当点P在射线上时，如图：
∵平分，平分，
∴，，
设，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
综上：或；
故答案为：或．
9．
如图所示，过点P作交于点D，过点P作交于点E，连接，得到是等腰直角三角形，设，得到，，证明出，得到，，然后证明出，得到，，然后证明出，得到，，求出，进而求解即可．
如图所示，过点P作交于点D，过点P作交于点E，连接
∵，
∴是等腰直角三角形
∴设
∵，
∴四边形是长方形
∴，
∴
∵点为边中点
∴
∵
∴
∴，
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∵，，
∴
∴，
∴
∴
∵，
∴，
∴
∴
又∵，
∴
∴，
∴，
∴
∴．
故答案为：．
此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线．
10． 13 13
本题考查了逻辑推理．根据题意推理求解即可．
解：由题意得某班所有男生的人数为人，
选择1分钟跳绳的人数为17人，
∴选择实心球的人数为人；
已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和1分钟跳绳的组合，
而选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，
∴对应的组合可能为：篮球，1分钟跳绳；篮球，实心球；足球，1分钟跳绳；足球，实心球；
在选择篮球的16人中，已经确定2人选择游泳，
因此剩余的14人需要选择健身长拳；
而在选择1分钟跳绳的17人中，选择排球而非篮球的人有2人；选择游泳而非健身长拳的人有2人；因此选择1分钟跳绳的剩余的人；
要使选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合的人数最多，则在已经确定选择篮球、健身长拳的14人中，尽可能多的选择跳绳，
而1分钟跳绳的名额剩余13人，
∴在上述14人中有13人选择1分钟跳绳即为所求，
∴选择篮球、健身长拳、1分钟跳绳组合最多有13人，
故答案为：13；13．
11． 7 5
本题考查了逻辑推理、有理数混合运算的应用、代数式的应用，理解题意是解题的关键．
（1）设1名志愿者布置1天展区为1个工作量，由题意得所有的工作量，结合距离展览开幕还有7天，计算可得主办方应招募不少于7名志愿者，再验证招募7名志愿者时符合题意，即可得出结论；
（2）由题意得，布置D展区需要2名志愿者连续合作5天，分析可知将每个展区都布置完成的时间不少于5天，当主办方需要在5天内完成工作，计算此时需要的志愿者人数，再结合补贴预算不超过元，即可得出结论．
解：（1）设1名志愿者布置1天展区为1个工作量，
则将每个展区都布置完成的工作量，
∵距离展览开幕还有7天，，
∴主办方应招募不少于7名志愿者，
当主办方招募7名志愿者时，并且给志愿者编号，
编号为的志愿者需工作7天，安排4天布置A展区，3天布置B展区，
编号为的志愿者需工作7天，安排2天布置C展区，5天布置D展区，
编号为的志愿者需工作5天，安排3天布置B展区，2天布置C展区，
∴招募7名志愿者可以在开幕前将每个展区都布置完成，符合题意；
∴主办方至少应招募7名志愿者，
故答案为：7；
（2）由题意得，布置D展区需要2名志愿者连续合作5天，
∴将每个展区都布置完成的时间不少于5天，
当主办方需要在5天内完成工作，
招募3名志愿者，安排4天布置A展区；
招募5名志愿者，安排3天布置B展区，其中4名志愿者再安排2天布置C展区；
招募2名志愿者，安排5天布置D展区；
则一共招募了名志愿者，
所以需要提供志愿者补贴为元，符合题意；
∴要在最短时间内完成工作，最少5天布置完成．
故答案为：5．
12．①②③⑤
本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质等，由三角形内角和定理可得，由平行线的性质和角平分线的定义得，即可得，即可判定①；进而可判定②；由角平分线的定义和三角形外角性质得，又由等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，即得，可得，即可判定③；由平行线的性质和三角形内角和定理可得，即可判定④；延长交于，可证，得到，，可得，进而得到，即可判定⑤，综上即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
解：在中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴，故②正确；
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，故③正确；
∵，
∴，
即，
∵，
∴， 故④)错误；
如图，延长交于，

∵，
∴，
∵为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确结论是①②③⑤，
故答案为：①②③⑤．
13．
本题考查三角形的中线，连接，利用三角形的中线平分面积，同高三角形的面积比等于底边比，进行求解即可．
解：连接，
∵点F为中点，
∴，，
设，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
14．或
本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确理解题意，进行分类讨论．
由矩形的性质可得角度和线段长度，由三角形全等可得对应边相等，结合运动过程进行分类讨论，分别计算不同情形对应的运动时间即可．
解：∵在长方形中，，，
∴，，，
∵点在延长线上，
∴，
若，则，
∴运动时间，
若，则，
∴运动时间，
故答案为：或．
15．
本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程的解的含义，算术平方根的含义；由四位自然数是“二倍间距数”，可得，结合，可得；由“二倍间距数”（其中，，，x、y、z都为整数），可得，即，而，结合，为有理数，可得，，再进一步求解即可.
解：∵四位自然数是“二倍间距数”，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
∵“二倍间距数”（其中，，，x、y、z都为整数），
∴，
整理得：，即，
而，
∵，为有理数，
∴，
∴，
∵，，
∴，，，，，，，，
∴为，，，，，，，，
∴，
∴，
∴是的倍数，
∴，
故答案为：，
16．①②③④⑤
如图，记的交点为，证明，，结合，，可得，故②符合题意；
过作交的延长线于，则，证明，，可得，，，故①符合题意；过作于，证明，可得，可得，故③符合题意；证明，可得，故④符合题意；证明，可得，在上取点，使，证明为等边三角形，可得，可得，故⑤符合题意.
解：如图，记的交点为,
∵，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故②符合题意；
过作交的延长线于，则，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，故①符合题意；
过作于，
∵，
∴，
∴，
∵，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，故③符合题意；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故④符合题意；
∵，，
∴，
∵，
∴，
在上取点，使，
而，，
∴，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴，故⑤符合题意；
故答案为：①②③④⑤
本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，本题的难度很大，作出合适的辅助线是解本题的关键.
17．D
本题考查等式的性质，方程的应用根据题意，求出，结合，求出，结合，求出，依次求出其它卡片表示的数，进行判断即可．
解：由题意，得：，
即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，，，
故编号记为D的卡片上的数最大；
故答案为：D
18．10
过点A作交延长线于E，交延长线于F，交延长线于H，交延长线于G，由角平分线的性质得到，根据可得；证明是等腰直角三角形，得到，，再证明都是等腰直角三角形，得到，则；证明，得到，，则；作点B关于的对称点M，连接，可证明，由轴对称的性质可得，，则当A、M、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，在中，由勾股定理得，即的最小值为10，
解：如图所示，过点A作交延长线于E，交延长线于F，交延长线于H，交延长线于G，
∵，平分，
∴；
∵，，且，
∴四边形是矩形，，
∴，
∴矩形是正方形，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，，
又∵，
∴都是等腰直角三角形，
∴，
∴；
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴；
如图所示，作点B关于的对称点M，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
由轴对称的性质可得，，
∴，
∴当A、M、G三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，
在中，由勾股定理得，
∴的最小值为10，
故答案为：10．
本题主要考查了轴对称最短路径问题，角平分线的性质，等腰直角三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线是解题的关键．
19．②④
本题考查算术平方根、解一元一次不等式组及平行线的判定与性质，掌握算术平方根的意义、一元一次不等式组的解法和平行线的判定与性质是解题的关键．
①根据“在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”判断即可；②根据“算术平方根的平方等于被开方数”计算即可；③先解不等式组得，再根据整数解中有无正数，分情况讨论即可；④根据题意，得或，求它们的解集即可．
解：在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行，
∴①不正确，不符合题意；
，，，
∴，
∴，
∴②正确，符合题意；
解得：，
所有的整数解的和为，
∴当x的整数解无正数时，整数解为，
，解得，
当x的整数解有正数时，整数解为，
，解得，
∴的取值范围是或，
∴③错误，不符合题意；
④不等式组的解集为：
∵原不等式组有解，且每个解都不在的范围内，
∴或，
解第一个不等式组得，第二个不等式组无解，
∴当时，原不等式组有解且每个解都不在的范围内，
∴④正确，符合题意．
综上，②④正确．
故答案为：②④．
20． 不是
本题考查新定义的含义，整式的加减，列代数式，熟练根据题意正确列出等式和式子，并利用数的特征正确转换是解题的关键．根据定义可得6123不是“48和数”，再得出，即，且，，，，利用定义列式得出，若为最大的“和数”，可得、、、都要尽可能大，结合，，，，，得出，，结合和均是质数，得出，，即可求解.
解：∵，
∴6123不是“48和数”，
故答案为：不是
由题意“和数”中，两位数与两位数的和等于，
∴，即，且，，，，
∵，
∴，
若为最大的“和数”，
∴、、、都要尽可能大，
∵，，，，，
∴，，
∵和均是质数，
∴，，
∴；
∴，
故答案为：．
21． 8
本题考查同高三角形，平行线间的距离，连接，根据同高三角形的面积比等于底边比，求出，，再根据平行等积转化，得到，，进行求解即可．
解：连接，
则：，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
同理：；
故答案为：8，．
22．②③④
根据对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识逐项判断即可．
解：①对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，所以①是假命题；
②算术平方根等于它本身的数有两个，分别是0和1，即②是真命题．
③解方程组可得：，则，
所以不论取什么有理数，的值始终不变，③是真命题．
④因为正实数的平方根是和，
所以，即，且，
因为，
所以，即，
因为正实数，则，④是真命题．
⑤：设，
当时，；
当时，；
当时，．
所以的最小值是3，
若不等式对一切实数a都成立，则，即m的最大值是3，则⑤是假命题．
故答案为：②③④．
本题主要考查了对顶角、平方根、解二元一次方程组、代数式求值、绝对值等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
23．
本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，垂线段最短等知识点．
将绕点顺时针旋转得到，连接，得到为等边三角形，，则，那么当点落在上，最小，则当时，取得最小值，则周长取得最小值，再根据等边三角形的性质求解即可．
解：将绕点顺时针旋转得到，连接，
由旋转得到，
∴，为等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴当点落在上，最小，
∴当时，取得最小值，则周长取得最小值，如图：
∵，
∴
∵为等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵P为线段的中点，且，
∴，
∴，
∴周长的最小值是，
故答案为：．
24．/
本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长至点M，使，证明，推出，，由等腰三角形三线合一的性质，可得，结合，推出，可得．
解：如图，延长至点M，使，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
是边上的高，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：．
25．/78度
本题考查平行线的性质、折叠的性质、三角形外角的性质，由题意得，根据平行线的性质可得，再由折叠的性质得，利用三角形外角的性质求得，再根据平行线的性质得，由折叠的性质得，再利用，求解即可．
解：由题意得，
∴在a图中，，
由折叠的性质得，在b图中，，
∴，
，
∴，
由折叠的性质得，在c图中，，
∴，
，
∴，
故答案为：．
26． 54 7420
本题考查整式加减的应用，根据新定义，得到最小的“千十数”为，进而根据新定义求出的值即可，根据，，得到，进而得到，根据为整数，得到也为整数，进而求出，得到，根据最大时，，最小时，结合新定义以及M除以7余3，求出的值，进而得到的最大值和最小，作差即可．
解：由题意，得：最小的“千十数”为，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，且不相同，
∴，
∴，
∵为整数，
∴也为整数，
∴，
∴，
∵，
∴当最大时，则：，，，
∵M除以7余3，此时只有满足题意；故；
∴当最小时，则：，，，
∵M除以7余3，此时只有满足题意；故；
∴；
故答案为：54，7420
27． 434 547
本题考查了数字规律，整式的运算，解不等式组，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先设十位的数字为，则百位上的数字为，个位上的数字为，根据实际意义得，再表示出，，结合，代入数值化简得，解得，得出，结合进行分类讨论，则分别算出，根据被7除余1进行判断，即可作答．
解：设十位的数字为，则百位上的数字为，个位上的数字为，
依题意，
故
∵为正整数，
∴
依题意，
∵将一个“大1少5数” 的百位数字作为个位，个位数字作为百位，十位数字不变得到一个新三位数记为，
∴
∵
∴
∴，
解得，
∴，
当时，则，
∴
则余6，不符合题意，故舍去；
当时，则，
∴
则余0，不符合题意，故舍去；
当时，则，
∴
则余1，符合题意，
∴这个三位数为
故答案为：434，
28．3
本题考查根据不等式组的解集，一元一次方程的解求参数的范围，先求出每一个不等式的解集，根据不等式组只有2个整数解，得到关于的不等式组，求出的范围，再求出方程的解，根据方程有整数解，求出符合条件的整数的值，再求和即可．
解：解，得：，
∵不等式组有且只有2个整数解，
∴，整数解为：，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵关于的方程有整数解，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
故答案为：3．
29．或
本题考查了图形旋转，等腰三角形，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质．
由图形旋转可得两个等腰三角形底角对应相等，分类讨论，根据三角形的内角和定理，分别可得每种情况下的度数，从而可得的度数．
解：∵将绕点旋转得，，
∴，，，
∴，
∵是等腰三角形，
∴或，
当时，设，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
当时，设，则，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：或．
30．4
本题考查了等腰三角形的判定与性质，主要利用了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的外心到三个顶点的距离相等，圆的半径相等的性质，作出图形更形象直观．
根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，首先的外心满足，再根据圆的半径相等，以点为圆心，以长为半径画圆，的垂直平分线相交于两点，分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与的垂直平分线相交于一点，再分别以点、为圆心，以长为半径画圆，与相交于两点，即可得解．
如图所示，
（1）的外心为满足条件的一个点，
（2）以点为圆心，以长为半径画圆，、为满足条件的点，
（3）分别以点、为圆心，以长为半径画圆，为满足条件的点，
综上所述，满足条件的所有点的个数为4．
故答案为：4．
31．丙
本题考查了推理和论证，掌握数学推理能力是解题的关键，根据数学推理与论证的关系求解即可；
解：因为如果语文老师说的正确，
所以地理老师和政治老师的话也都正确，
又只有两个两个老师得话正确，
所以语文老师的话是错误的；
又地理老师的话和历史老师的话和政治老师的话是矛盾，而只有两个老师正确，
故只有历史老师和政治老师的话是正确的；
故冠军一定是丙，
故答案为：丙
32．
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的性质，数字类规律探究，先分析一周有多少次边平行，进而求得第次边平行时对应的次数，根据规律即可求解．
解：在和中，，，，
∴，
如图，第1次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转秒，
如图，第2次边平行时，
∴
∴旋转了，旋转秒，
如图，第3次边平行时，，设交于点，
∴
∴
∴旋转了，旋转了秒，
如图，第4次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第5次边平行时，，
∴
∴
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第6次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第7次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第8次边平行时，， 设直线交于点，
∴
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第9次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
如图，第10次边平行时，，
∴
∴旋转了，旋转时间为秒，
再旋转就回到初始位置，
∴旋转1周有10次边平行，旋转时间为秒，
∵
∴第次平行时，旋转了周，再加秒
∴
故答案为：．
33． 9178 8113
根据“和序数”的定义给出最大值及最小值的推断即可；
（1）千位最大为：9，当个位最大且与千位不同，则个位最大为：8，依次可推断其他数位的值；
（2）M的最大值：千位最大为：9；且因为百位为千位与个位之和，所以百位只能是：1，依次推断其他数位的值；M的最小值：千位最小为1，为使得值最小，百位只能为：0，依次推断其他数位的值.
解：（1）最大的四位“和序数”为9178，
∵各个数位上的数字均不相等，千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字所组成的两位数，则称这个数为“和序数”
∴千位最大为：9；当个位最大且与千位不同，则个位最大为：8
∴
∴这个四位最大数为：9178；
（2）对于一个“和序数”，记，当为整数时，
M的最大值：千位最大为：9；且因为百位为千位与个位之和，所以百位只能是：1；
设个位为： ，十位为：
∴
∵ ，则
∴
又∵，则当满足条件；
∴
同理：M的最小值：千位最小为1，为使得值最小，百位只能为：0，
设个位为： ，十位为：
∴
∵ ，
∴
又∵，则当满足条件；
∴
∴M的最大值与最小值的差为：.
本题考查了新定义下的实数运算，一元一次方程和整除的特征．理解新定义，正确推理计算是解题关键．
34．7.5或30或52.5
本题考查了平行线的性质，掌握一元一次方程，注意分类讨论是解题的关键．
分情况讨论：①当在直线上方时，②当在直线下方，直线上方时，③当都在直线下方时，④当在直线上方，直线下方时，分别列方程，解方程即可．
分情况讨论：
①当在直线上方时，如图：
当时，则，
；
②当在直线下方，直线上方时，如图：
当时，则，
；
③当都在直线下方时，如图：
当时，则，
∴，
∴；
④当在直线上方，直线下方时，如图：
当时，则，
∴，
∴（舍去），
∴为7.5或30或52.5，
故答案为：7.5或30或52.5．
35． 2112 5351
本题考查了定义新运算，整式的加减运算，有理数的混合运算，理解题意，整式加减，有理数的混合运算法则是关键．
根据题意给定的“翼龙数”的计算方法，结合整式的加减，有理数的混合运算，分类讨论即可求解．
解：一个四位正整数（满足的整数），，称为“翼龙数”，
求最小的“翼龙数”，则千位的值最小，且，
∴最小为，则，
∴，
满足此算式的的值可以是，
∴保证该“翼龙数”最小，则，
∴，
验证：，符合题意，
∴最小的“翼龙数”为；
设“翼龙数”，即，
∴转换数，
∴
，
∵，
∴，
，
∴，
∵当能被12整除，能被5整除，
∴是的倍数，是的倍数，
∵要考虑是最大的“翼龙数”，
∴当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
，
同理，可得当时，，符合题意；
∴，
∵，即，
∴，
当最大为时，
，该数是的倍数，
∴当（为正整数）时，即，则，则时，均不为整数，故不符合题意；
当最大为时，即，则，则时，，符合题意；
∴的最大值为，
∴，
∴的值可以是和，和，和的组合，
其中最大的为，
∴最大的“翼龙数”，
故答案为：①；② ．
36．
过点作于，于，于，在上截取，连接，根据角平分线的性质得到，证明得到，证明得到，证明，得到，再证明，得到．则可求出，设，根据，可得；根据，可得，据此可得答案．
解：如图，过点作于，于，于，在上截取，连接，
平分，
，
同理可得，
，
在和中，
，
，
，
同理可得，
，
，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
，（平行线间间距相等），
，
，
在和中，
，
，
．
的周长
，
∴，
设，
∵，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
故答案为：．
本题考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线是解题的关键．
37．
本题主要考查了新定义，根据新定义可得，据此计算求解即可；根据题意可得P的千位数字为3，百位数字为4，十位数字为x，个位数字为，Q的千位数字为m，百位数字为1，十位数字为，个位数字为6，再由新定义可得则可得到，
，再由能被9整除，得到能被9整除，可求出；则可分和两种情况，讨论求解即可．
解：由题意得，；
∵，
∴P的千位数字为3，百位数字为4，十位数字为x，个位数字为，Q的千位数字为m，百位数字为1，十位数字为，个位数字为6，
∵P，Q都是“缙云数”，
∴，
∴，
，
，
∴
，
，
∵能被9整除，
∴能被9整除，
∵，
∴；
当时，则，
∴，
∵要使的值最小，
∴则m的值要最大，
当，时，，此时不符合题意；
当，时，，
∴，不符合题意；
当，时，，
∴，不符合题意；
当，时，，
∴，不符合题意；
当，时，，
∴，，符合题意；
∴此时；
当时，则，此时，不符合题意；
综上所述， k的最小值为，
故答案为：；．
38．①②③
根据中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等解答即可．
解：∵是中线，
∴的面积等于的面积；
故①正确；
∵，是高，
∴，
∴，
故②正确；
∵，是高，
∴，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
故③正确；
故答案为：①②③．
本题考查了中线的性质，高线的性质，角的平分线定义，余角的性质，对等角相等，直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握性质是解题的关键．
39．①②④
本题考查全等三角形判定和性质、等腰三角形判定、轴对称最短路径．
①通过计算与重合时点B与点D关于直线对称，判断等腰三角形；
②利用判定得到两三角形全等；
③连接，证明，根据对应边相等解答即可；
④用轴对称找周长最小时的位置，根据等腰三角形的判定和性质求出长解答即可．
解： 当与重合时：
，，
∴点B与点D关于直线对称，
，
是等腰三角形，①正确．
当时：
，，
在和中：
，②正确．
连接，
，，
∴，
∵，
∴，，
又∵，
∴，
，③错误．
作关于直线 的对称点，连接交 于H，当点E与H重合时，的周长最小，连接交于点F．
则，，
∴，
∴，
∴，
∴,
面积，④正确．
故答案为：①②④
40．8
设购买《马小跳玩数学》x本，《漫画数学》y本，根据题意，得，且，x，y都是正整数，解答即可．
本题考查了二元一次方程的应用，不等式的应用，熟练掌握确定二元一次方程的解，整数解的应用是解题的关键．
解：设购买《马小跳玩数学》x本，《漫画数学》y本，
根据题意，得，且，x，y都是正整数，
，
∴，
解得，
∵，
∴一定是25的倍数，
∴，
∴，
故答案为：8．
41．
本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质；过作于，连接交于，连接，，，得到，，再由四边形的面积，求出，然后根据旋转得到，，证明，得到，确定点运动轨迹为固定直线，当时最小，再证明得到当与重合时，最小，此时．
解：过作于，连接交于，连接，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴垂直平分，
∴，，
∵四边形的面积为12．
∴四边形的面积，
∴，
解得，
∵将绕点C逆时针旋转得到，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，即，
∴，
∴，
∴，
∵固定不变，
∴点运动轨迹为固定直线，
当时最小，即当与重合时，最小，此时，
故答案为：．
42．/100度
分别作点关于的对称点，关于的对称点，连接分别交于点，连接，由，可知当点与点重合，同时点与点重合时，，此时的周长最小，连接，则，推导出，则，因为，所以，于是得到问题的答案．
解：分别作点关于的对称点，关于的对称点，连接分别交于点，连接，如图所示：
∵垂直平分垂直平分，
∴，
∵，
∴，
∴当点与点重合，同时点与点重合时，，此时的周长最小，
连接，则，如图所示：
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
本题重点考查线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、轴对称﹣最短路线问题、三角形内角和定理等知识，掌握此类题型的解法，正确地作出辅助线是解题的关键．
43．
本题主要考查了利用平行线的性质求角度，角平分线的计算，正确构造平行线是解题的关键．
延长交射线于点，过点分别作，则，那么，由角平分线得到，，则，再由得到内错角相等求解即可．
解：如图，延长交射线于点，过点分别作，
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∵分别平分和，
∴，，
∴
∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
44．或
此题重点考查平行线的性质、翻折变换的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键；
分三种情况讨论，一是，则，求得，由折叠得，则，求得；二是，则，由，求得；三是由D是线段上的一个动点，说明不存在的情况，于是得到问题的答案．
解：如图1，，
，
，
，
把沿折叠，点C落在点处，
，
，
，
；
如图2，，
，
，
由折叠得，
，
，
；
是线段上的一个动点，
不存在的情况，
综上所述，等于或，
故答案为：或．
45．25
根据题意，设这列数中的个数为，的个数为，1的个数为m，
根据题意，得即可解决问题．
本题主要考查了数字变化的规律，能根据题意建立方程组是解题的关键．
解：由
，
故，
故，
设这列数中的个数为，的个数为，1的个数为m，
根据题意，得，
解得，
所以这列数中的个数为个．
故答案为：．

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