资源简介

(共6张PPT)
【期末压轴题】人教版七年级数学下册期末压轴选择题38道 试卷分析
三、知识点分布
一、解答题
1 0.42 根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质
2 0.28 利用算术平方根的非负性解题；一次函数与几何综合；求一次函数解析式；坐标系中的平移；绝对值非负性；图象法解一元二次不等式
3 0.46 根据平行线的性质求角的度数；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算；三角形内角和定理的应用
4 0.23 通过对完全平方公式变形求值；不等式的性质；因式分解的应用
5 0.4 利用矩形的性质证明；折叠问题；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定和性质
6 0.4 新定义下的实数运算；求一元一次不等式的解集；负整数指数幂；一次函数图象与坐标轴的交点问题
7 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的定义；全等三角形的性质
8 0.4 全等的性质和SAS综合（SAS）；等腰三角形的性质和判定；等边三角形的性质
9 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；角平分线的性质定理
10 0.4 列代数式；几何问题(一元一次方程的应用)；根据三角形中线求面积；等腰三角形的性质和判定
三、知识点分布
11 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定
12 0.4 全等三角形综合问题；写出直角坐标系中点的坐标；等边三角形的判定和性质
13 0.15 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；含30度角的直角三角形；三角形的外角的定义及性质；三角形内角和定理的应用；等边三角形的判定和性质
14 0.4 动点问题的函数图象；与三角形的高有关的计算问题；几何问题(一元一次方程的应用)；从函数的图象获取信息
15 0.4 根据平行线判定与性质证明；几何问题(一元一次方程的应用)；利用算术平方根的非负性解题；直角三角形的两个锐角互余；三角形的外角的定义及性质
16 0.15 求点到坐标轴的距离；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算；利用算术平方根的非负性解题；构造二元一次方程组求解；绝对值非负性；坐标系中的动点问题（不含函数）
17 0.4 全等三角形综合问题；等腰三角形的性质和判定；三角形的外角的定义及性质；三角形折叠中的角度问题
18 0.15 根据旋转的性质求解；根据成轴对称图形的特征进行判断；利用平行四边形的判定与性质求解；利用平行四边形性质和判定证明
19 0.4 两直线平行内错角相等；根据平行线的性质求角的度数；平行公理推论的应用
20 0.4 根据平行线判定与性质求角度；几何图形中角度计算问题；角平分线的有关计算
三、知识点分布

21 0.4 根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算
22 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线的性质求角的度数；三角板中角度计算问题
23 0.4 求一元一次不等式的解集；坐标与图形综合
24 0.4 全等三角形综合问题；矩形与折叠问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
25 0.4 一次函数与几何综合；根据平行线判定与性质求角度；写出直角坐标系中点的坐标；利用算术平方根的非负性解题
26 0.4 提公因式法分解因式；由一元一次不等式组的解集求参数；由不等式组解集的情况求参数；不等式组和方程组结合的问题
27 0.4 已知式子的值，求代数式的值；通过对完全平方公式变形求值；完全平方公式在几何图形中的应用
28 0.4 因式分解的应用；运用平方差公式进行运算；数字类规律探索
29 0.4 根据平行线的性质求角的度数；根据平行线判定与性质证明；垂线的定义理解
30 0.15 角平分线的有关计算；三角形的外角的定义及性质；与角平分线有关的三角形内角和问题；三角形内角和定理的应用
三、知识点分布

31 0.4 根据平行线判定与性质求角度；根据成轴对称图形的特征进行求解；折叠问题；内错角相等两直线平行
32 0.4 利用算术平方根的非负性解题；坐标系中的动点问题（不含函数）
33 0.4 用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；坐标与图形综合
34 0.4 根据平行线判定与性质求角度；根据平行线判定与性质证明；角平分线的有关计算
35 0.4 根据平行线的性质探究角的关系；根据平行线的性质求角的度数；角平分线的有关计算
36 0.4 由平移方式确定点的坐标；根据平行线判定与性质证明；垂线的定义理解；坐标系中的动点问题（不含函数）
37 0.4 全等三角形综合问题；一次函数与几何综合；一次函数图象与坐标轴的交点问题；用勾股定理解三角形
38 0.4 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；写出直角坐标系中点的坐标；利用算术平方根的非负性解题；坐标与图形综合【期末压轴题】人教版七年级数学下册期末考试
压轴解答题38道
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．（24-25七年级下·重庆·期末）如图①，，点，分别在直线，上，，过点作，交的延长线于点，交于点，平分，交于点，交于点，交于点．
(1)直接写出，，之间的数量关系：________；
(2)若，求的度数；
(3)如图②，在（2）的条件下，将三角形绕着点以每秒的速度逆时针旋转，旋转时间为秒．当边与射线重合时停止转动，则在旋转过程中，当三角形的其中一边与三角形的某一边平行时，直接写出此时的值．
2．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）已知点，点，且，满足．平移线段至，点的对应点的坐标为．
(1) ， ；
(2)如图，点为线段上一动点．
①若，则 ；
②若，求的值；
(3)如图，点，．点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿轴向右运动，同时点从点出发，以个单位长度/秒的速度沿轴向上运动．运动到轴右侧后，与轴交于点．设运动时间为秒．若，请直接写出的取值范围．
3．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）如图，直线，射线，交于点，点为直线之间左侧一点，连接．
(1)求证：；
(2)试探究、与这三个角之间的数量关系，并说明理由；
(3)点为直线上的一个动点，平分交直线于点，若，，请直接写出的度数．
4．（24-25七年级下·吉林长春·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性，如下例题：
例：已知正整数，，满足，求证：．
证明：，，
______．
．
即．
______，，
______．
．
即．
(1)请将上面的证明过程填写完整；
(2)若，则 ______， ______， ______；
(3)现有一张边长为的正方形纸片，可画成如图所示的宫格，其中，，则图中阴影部分面积的最小值为______．
5．（24-25七年级下·山东威海·期末）（1）如图1,在中,求证：；
（2）如图2,四边形是长方形纸片,点E,F分别为边的中点,且．沿过B的折痕将C角翻折,使得点C落在上的点H处,折痕交于点I．证明：为等边三角形．（提示：利用（1）的结论）
6．（24-25七年级下·山东威海·期末）定义运算：，当时，；当时，；当时，或．例如：；．完成下列任务：
(1) ；
(2)，则x的取值范围是 ；
(3)已知y关于x的函数的部分图象如图，
①补全图象；
② ， ；
③若，则x的取值范围是 ；
④若时，的最大值与最小值的差为，求的值．
7．（24-25七年级下·广东河源·期末）是等腰直角三角形，，，过点作交于点，点从点出发，以的速度沿着射线方向运动，连接交于点，过点作的垂线交直线于点，交直线于点．设运动时间为．
(1)当时，求的长；
(2)在点的运动过程中，试探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)如图，连接，上是否存在点，使得与全等？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．
8．（23-24七年级下·山东泰安·期末）综合实践
在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成的，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．兴趣小组成员经过研讨给出定义：如果两个等腰三角形的顶角相等，且顶角的顶点互相重合，则称此图形为“手拉手全等模型”．因为顶点相连的四条边，可以形象地看作两双手，所以通常称为“手拉手模型”，如图1，与都是等腰三角形，其中，则．
【初步把握】如图2，与都是等腰三角形，，，且，请直接写出图中的一对全等三角形；
【深入研究】如图3，已知，以、为边分别向外作等边和等边，、交于点．求的大小，并证明：；
【拓展延伸】如图4，在两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，交于点，请判断和的关系，并说明理由．
9．（24-25七年级下·江西抚州·期末）如图①是一个平分角的仪器，其中，．
(1)如图②，将仪器放置在上，使点O与顶点A重合，D，E分别在边，上，沿画一条射线，交于点P，是的角平分线吗？请判断并说明理由．
(2)如图③，在（1）的条件下，过点P作于点Q，若，，，求的面积．
10．（24-25七年级下·吉林长春·期末）如图， 在中，，，，． 点P 从点C 出发， 以每秒2个单位长度的速度沿向终点C运动，设点P运动的时间为t秒．
(1)当点 在上运动时，的长为 (用含 的代数式表示)．
(2)当是以为腰的等腰三角形时，求t的值．
(3)当将分成的两部分的面积比为时，求t的值．
(4)当点P与的顶点连结的线段将三角形的周长分成的两部分的比为时，直接写出t的值．
11．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）【综合与实践题】
【问题情境】补短法在解决线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用，具体的做法是将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等有关知识来解决数学问题.
例：如图①，在四边形中，，E是的中点，平分，试判断之间的等量关系.
小颖的方法：如图②，延长的相交于点F，构造和等腰三角形（由即可判断）
【问题解决】（1）按照小颖的方法，之间的数量关系是___________；
【自主探究】（2）如图③，在中，D是的中点，点E在上，连接交于点F，，试说明：.
【拓展延伸】（3）如图④，在四边形中，，，，点F在上且满足，，请直接写出的长.
12．（24-25七年级下·重庆·期末）在平面直角坐标系中，点A，B分别在线段，上，如果存在点P使得，且（点P，A，B逆时针排列），则称点P是线段的“完美点”．如图1，点P是线段的“完美点”．
(1)已知点，．
①，，，中，其中是线段的“完美点”的是 ；
②如图2，若点，点B与点N重合，则线段的“完美点”P的坐标是
(2)如图3，已知，，当点A与点M重合，点B在线段上运动时（点B不与点O重合），若点P是线段的“完美点”，连接．求证：．
13．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，点D在边上，满足，点E为平面内一点．
(1)如图1，若E在边上，于F，，，求的面积；
(2)如图2，若E在边上， ，求证：；
(3)如图3，若E在延长线上，，交于点F，交直线于G，于H，，请直接写出的值．
14．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，已知八边形相邻的两边互相垂直，且，．动点从八边形顶点出发，沿着八边形的边以每秒的速度逆时针运动，当运动到点时调头，以原来的速度原路返回，到点处停止运动．的面积为，运动时间为（秒），与的图象如图所示，请回答以下问题：
(1) ， ， ；
(2)当点第一次在边上运动时，求与的关系式；
(3)点在返回过程中，面积为时，求时间的值．
15．（24-25七年级下·湖北咸宁·期末）在平面直角坐标系中，，，且，满足，将点A向上平移n个单位得到点C，过点C作，如图1．
(1) ； ；
(2)如图2，分别作和的角平分线，相交于点，
①求证：；
②求的度数．
(3)在第（2）问基础上，线段绕着点以30度/秒逆时针转动，同时，线段绕着点B以15度/秒顺时针转动，当转动到时，和同时停止运动．若，假设运动时线段与的交点为，连接，如图3．当线段转动多少秒时，？
16．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）对于长方形为坐标原点，点在第三象限．，满足．
(1)直接写出点的坐标_____；
(2)如图1，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，求出点移动的时间：
(3)①如图1，若过点的直线与长方形的边交于点，且将长方形的面积分为两部分，求点的坐标；
②如图2，为轴负半轴上一点，且，点是轴正半轴上一动点，的平分线交的延长线于点．在点运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
17．（24-25七年级下·广东深圳·期末）【背景】数学兴趣小组在学习对顶角知识时，发现若两个三角形存在对顶角的关系时，则这两个三角形的内角存在某种关系．对此数学兴趣小组展开探究．
【发现】（1）如图1，在和中，点E为与的交点．
①若，则 ；
②若，则与之间的数量关系是 ；
【应用】
（2）如图2，B、A、E在同一直线上，交于点C，．求证：；
（3）如图3，在等腰中，，，是边上一点，将沿折叠至，的对应边与交于点，当为等腰三角形时，直接写出的度数为___________
（4）如图4，在中，，是边上的高，，是外一点且满足．记，求与的关系式．
18．（23-24七年级下·河南洛阳·期末）如图，在中，，，将绕着的中点O旋转得到，点E为的中点．点P从点A出发沿折线的方向以每秒的速度向终点D运动，连结，设点P的运动时间为t秒．
(1) ， 度．
(2)用含t的代数式表示的长．
(3)当将四边形的周长分成两部分时，求t的值．
(4)在点P的运动过程中，作点A关于直线的对称点，连结，当与四边形的边垂直时，请直接写出的度数．
19．（24-25七年级下·新疆·期末）在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为M，机械臂与轨道的接触点记为N，为了实现复杂的操作任务，通过关节P和关节Q来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线．
(1)如图1所示，当机械臂时，证明．
(2)如图2所示，当，，时，=___________（用含α的式子表示）直接写出，无需证明．
20．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，直线，直线与分别交于点G、H，（）．小明将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线上，，．
(1)如图1，若，则______；
(2)如图2，若，射线在内交直线于点O．当N、M分别在点G、H的右侧，且，时，求的度数；
(3)如图3，小明将三角板沿直线左右移动，保持，射线平分，点N、M分别在直线和直线上移动，请直接写出的度数（用含的式子表示）．
21．（24-25七年级下·重庆丰都·期末）世界上每一个会飞的物体都有对称性，但科学家设计了如图所示的双斜翼飞机，通过调整机翼角度，改变飞行阻力，获得更快速度，将其抽象成数学模型后如图1，，直线交分别于E、F两点，为的角平分线，为的三等分线且，射线与交于点．
(1)______；
(2)飞机尾翼能保持飞机平衡，在测试过程中如图2，若直线绕点F以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，始终为的三等分线且，设运动时间为t秒，请用含t的式子表示，并说明理由；
(3)因某种特殊飞行姿态需要，在飞行过程中需要同时调整机翼和尾翼，使它们的夹角大小不变，如图3在（2）的条件下，直线同时绕点E以每秒的速度逆时针旋转，在旋转过程中，始终为的角平分线，若在转动的过程大小不变，求出x的值．
22．（24-25七年级下·广西百色·期末）在综合实践课上，老师让同学们以“一个含角的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，．
【操作发现】
（1）如图1，当三角尺的顶点在直线上时，若，求的度数．
解：如图1，过点作直线．
因为，所以，
…
请你将上面的解题过程补充完整；
【探索发现】
（2）如图2，当三角尺的顶点在直线上时，请写出与之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】
（3）如图3，把三角尺的顶点放在直线上且保持不动，旋转三角尺，当点在直线上方，点在直线和（点为直线上一点）之间时，若存在，请求出射线与直线所夹锐角的度数．
23．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”为任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”为任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．已知：如图，，．
(1)若点的坐标为，则三点的“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”___________；
(2)若点在轴上，且三点的“矩面积”为10，直接写出点的坐标___________；
(3)点，
①若三点的“矩面积”为8，求出满足题意的的取值范围；
②若，直接写出三点的“矩面积”的取值范围．
24．（24-25七年级下·广东深圳·期末）在综合实践课上，老师让同学们以一个长方形为操作对象，进行相关问题的研究．
已知长方形中，，在上找一点P，以为对称轴将进行翻折．
【初步感知】若点P与点D重合，如图1所示，试说明；
【类比探究】若点P为边上一个点，如图2所示；
是______三角形；
连接，则的最小值为______；
当点P满足时，的长度是______；
【拓展应用】若点P为边上一个点，如图3所示，当射线恰好经过的中点M时，求的长．
25．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图1，在平面直角坐标系中， ，且，过A作x轴平行线．
(1)请直接写出A，B两点的坐标；
(2)如图1，点D在直线、之间（不在直线、上），连接、，，求的度数；
(3)如图2，连接，点在线段上，且m，n满足，点N在y轴负半轴上，连接，交x轴于K点，记M，B，K三点构成的三角形面积为，记N，O，K三点构成的三角形面积记为，若，求N点的坐标．
26．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T，
规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：．
(1)已知，．
①求a，b的值；
②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围；
(2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？
27．（24-25七年级下·广东佛山·期末）“数无形不立，形无数不彰”，我们常借助几何图形解释或分析代数问题如图，是一个面积为的图形，同时此图形中有个边长为的正方形，个边长为的正方形，个两边长分别为和的长方形，从而可以得到乘法公式．
(1)如图，若，，则图中阴影部分的面积为 ．
(2)若，求代数式的值．
(3)观察图，
①从图中得到 ．
②根据得到的结论，解决问题：已知，，，求代数式的值．
28．（24-25七年级下·广东佛山·期末）材料一：如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那我们称这个正整数为和谐数，如，则是和谐数；
材料二：对于一个三位自然数，去掉个位数字后成为一个两位数，去掉百位数字后成为一个两位数，若为整数，则称是一个关于的对称数如，则称是关于的对称数．
(1)请判断是否是和谐数？如果是，请找出平方差为的连续的两个奇数．
(2)证明：任何一个和谐数一定是的倍数．
(3)已知一个三位数既是和谐数，又是关于的对称数，求满足条件的所有三位数．
29．（24-25七年级下·福建厦门·期末）如图，，直线l与，分别交于点E，F直角三角形的顶点M，N分别在直线，上，．
(1)______．
(2)如图2，，的角平分线交直线于点．
①若，求证：；
②过点N作交于点Q，连接，补全图形．若，比较线段，的长度，并说明理由．
30．（24-25七年级下·吉林·期末）【课本再现】苏科新版七年级数学下册第章平面图形的认识二第页第题如下：如图，，点、分别在、上运动不与点重合，是的平分线，的反向延长线交的平分线于点．
【特殊探究】当时， ______；
【推理论证】随着点、的运动，的大小会变吗？如果不会，求的度数；如果会，请说明理由；
【拓展探究】如图，在图的基础上分别作与的平分线，交于点，则 ______；
【拓展探究】如图，若将图中的“”拓展为一般情况，即，点是射线反向延长线上的一个动点，连接，与的平分线相交于点，延长交直线于点，试判断与的数量关系，并说明理由．
31．（24-25七年级下·广西南宁·期末）【综合与实践】
同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平行线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①﹣②﹣③﹣④）．

(1)如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上（如图②），记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平，则 °；
(2)再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③），再将纸片展开铺平（如图④），此时张华说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明；
(3)张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置．
①用含t的式子表示 °；
②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由．
32．（24-25七年级下·吉林·期末）在平面直角坐标系中，如图①，第二象限内有一点，过点B作线段垂直于x轴，垂足为A，实数a、b满足．，将线段向右平移使点A和点D重合得到线段，连接与y轴相交于点M，动点P从A点出发，沿折线运动，运动到点C停止运动，速度为每秒2个单位长度，设运动时间为t秒．
(1)求点C的坐标；
(2)当点P在线段上运动时，请用含t的代数式表示在这一运动过程中线段的长，并直接写出t的取值范围；
(3)如图②，y轴上有一点，在点P沿折线运动过程中是否存在t值，使三角形的面积为2？若存在，求出t的值，并求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
33．（24-25七年级下·辽宁盘锦·期末）如图所示，直线交x轴于点，交y轴于点，且a、b满足．
(1)如图1，若C的坐标为，且于点H，交于点P，试求点P的坐标；
(2)如图2，连接，求的度数．
34．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）如图，，定点，分别在直线，上，平行线，之间有一动点．
(1)如图1，试问，，满足怎样的数量关系？请直接写出结论；
(2)如图2，试问，，满足怎样的数量关系？并说明理由；
(3)若，和的角平分线交于点，请直接写出的度数．
35．（24-25七年级下·甘肃平凉·期末）已知，点在连线的右侧，与的角平分线相交于点．
(1)如图，若，，求的度数．
(2)求证：
(3)如图，若，，，求的度数（用，的代数式表示）．
36．（24-25七年级下·吉林白山·期末）如图①，在平面直角坐标系中，已知．将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，使点的对应点为点，点的对应点为点，连接，点是射线上一动点
(1)填空：点的坐标是_____，点的坐标是_____
(2)当点P运动到如图①所示的位置时，连接，此时平分，点E是延长线上一点，已知，猜想和的位置关系并写出证明过程；
(3)当点在线段上运动时，若，求出点的坐标；
(4)点P是射线上一动点（点P不与点C、D重合），连接、，直接写出、与的数量关系，
37．（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点．
(1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______．
(2)求的面积，
(3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标．
38．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中， B、C 在坐标轴上， 其中、，满足（，，，其中点B在x轴正半轴上， 点C在y轴正半轴上， 交y轴负半轴于点D．
(1)如图1，若，直接写出点B的坐标为 ，点C的坐标为 ，点A 的坐标为 ．
(2)如图2， 交x轴负半轴于点E， 连接，，交于点F．求证： ；
(3)在（2）的条件下，若A 点到x轴、y轴的距离相等，求证： ．
参考答案
1．(1)
(2)
(3)
（1）根据平行线的性质和三角形的外角性质可得答案；
（2）根据，分别表示出和，再由，可得的度数；
（3）结合（2），分以下几种情况求解：①当时，延长交边于，②当时，③当时，即与在同一直线上时，④当时，⑤当时．
（1）解：是的外角，
，
（2），
，
，
，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，则，
，
，
；
（3）①当时，延长交边于，如图，
，
，
，
，
，
当绕点旋转时，，
（秒）
②当时，如图，
，，
，
，
当绕点旋转时，，
（秒），
③当时，即与在同一直线上时，
当绕点旋转时，，
（秒），
④当时，
，，
当旋转时，，
（秒）
⑤当时，
，
，
当旋转时，，
（秒），
综上所述，当的其中一边与的某一边平行时t的值为．
2．(1)，
(2)①；②
(3)
（1）根据所给条件解方程即可：
（2）①求出解析式，代入数据即可；
②由面积关系推导出线段关系；
（3）求出直线的解析式，再表示出三角形的面积，利用不等式求解．
（1）解：，，，
，，
，．
（2）解：①由（1）得，，，
设直线的解析式为，
把，代入到解析式得，
，
解得：，
，
的坐标为，
向左平移了个单位长度，
直线的解析式为，
即，
，
∴，
解得：，
故．
，
，
，
即，
把代入，
解得，
故；
（3）解：∵点从点出发，速度为个单位长度秒，运动秒，
∴的坐标为，
∵点从点出发，速度为个单位长度秒，运动秒，
∴的坐标为，
设直线的解析式为，
将，，代入上式可得：，
解得，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点为，
当时，运动到轴右侧，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
令，
解得：，，
∵，
∴．
3．(1)证明见解析
(2)
(3)或
（1）由平行线的性质得到，可证，再由，进而证明即可；
（2）由，，可得到，再利用三角形内角和求解即可；
（3）设，则，利用建立方程得到，再由，列式运算出的值，分类讨论点的位置，过点作出平行线，利用角的等量代换运算求解即可．
（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
（3）解：设，则，
∵，
∴，
由（2）知：，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
由（2）可得：，
∴，
①在点左侧时，
∵平分，
∴，
过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，，
∴；
②在点右侧时，，
∵平分，
∴，
过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴；
综上的度数为或．
4．(1)；；
(2)；；
(3)
（1）根据，得，进而得，再根据，得，继而得，由此即可得出结论；
（2）由（1）的结论得，进而得，根据，，都是正整数，且得，则正整数，将代入，得，整理得，再根据，且，是正整数得，，由此即可得出，的值；
（3）依题意得，，为正数，，，图中阴影部分的面积，进而得，则，由（1）的结论得，则，继而得，解此不等式得，由此即可得出图中阴影部分面积的最小值．
（1）解：证明：，，
，
．
即．
，，
，
，
即；
（2）解：由（1）的结论得：，
，
，
，，都是正整数，且，
，
正整数，
将代入，得：，
，
，
，
，
，
，且，是正整数，
，，
，；
（3）解：依题意得：，，为正数，，，图中阴影部分的面积，
，
，
，
由（1）的结论得：，
又，
，
，
解此不等式得：，
的最小值为，
图中阴影部分面积的最小值为．
5．（1）见解析（2）见解析
本题考查垂直平分线的判定与性质，等边三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折，掌握知识点是解题的关键。
（1）延长到点M，使，连接，则，因为，所以垂直平分则，所以，则是等边三角形，即可由，推导出；
（2）由矩形的性质得，由，得，因为点F为的中点，所以，由翻折得，由得，所以，再证明，则即可证明为等边三角形．
（1）证明：如图1， 延长到点M，使，连接，则，
∵， ，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴．
（2）证明：如图2，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵点F为的中点，
∴，
由翻折得
∵
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形．
6．(1)
(2)x
(3)①见解析②1，③或；④
本题考查新定义下的运算，负整数指数幂，一次函数图象与性质，不等式，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据新定义，仿照示例，比较，可得到结果；
（2）仿照示例，可得到，解不等式，可得到结果；
（3）根据题意，求出k，b，画出分段函数的图象即可，再结合图象，得到函数的最值，得到结果．
（1）解： ，，
∵，
即，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，
∴，
∴x，
故答案为：x；
（3）解：①∵，
结合图象可知，的图象过点，
∴，
解得，
∴，
∴，
图象如下：
②由①可知，
故答案为：；
③当时，即，
当时， ，即，
∴结合函数图象知，当，则x的取值范围是或，
故答案为：或；
④∵若当，即时，对应的函数图象的左支，解析式为，
∴y的最大值为，y的最小值为，
若y的最大值与最小值的差为，
则，
方程无解；
若当时，对应的函数图象的右支，解析式为，
∴y的最大值为m，y的最小值为，
∴，
方程无解；
当时，y的最小值为，
结合函数图象，y的最大值为或m，
∴或，
解得，
综上所述，．
7．(1)
(2)，见解析
(3)存在，
本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质．
（1）证明，可得；
（2）证明即可求解；
（3）连接，由是钝角，则当与全等时，在中必有一个钝角，只能是是钝角，此时，再根据，即可求的值．
（1）解：∵是等腰直角三角形，，，，
∴是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（3）解：存在点使得与全等，理由如下：
连接，

∵，
∴，
∵是钝角，
∴当与全等时，在中必有一个钝角，
∵点在线段上，
∴只能是是钝角，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
8．[初步把握]；[深入研究]，证明见解析；[拓展延伸]，，理由见解析
本题考查了等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，解题的关键是找出对应边和对应角，准确理解“手拉手模型”．
[初步把握]根据证明即可；
[深入研究]根据证明，再由全等的性质得到；
[拓展延伸]根据证明，由全等的性质可得，，进而可证
[初步把握]
证明：，
，
，
在和中，
，
；
[深入研究]
证明：和都是等边三角形，
，，，
，
即，
在和中，，
，
；，
，
；
[拓展延伸]
解：，，理由如下：
，
，
即，
在和中，，
，
，，
，
，
．
9．(1)是的角平分线，理由见解析
(2)的面积为54
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的性质和判定定理．
（1）由全等三角形的判定定理判定和全等，由全等三角形的对应角相等证明即可；
（2）过P作于点H，得出的长度，根据三角形的面积公式求解即可．
（1）解：是的角平分线，理由如下：
在和中，
是的角平分线．
（2）解：过P作于点H，
于点Q，平分
的面积的面积+的面积，
的面积
答：的面积为．
10．(1)
(2)4
(3)或
(4)0.9或2.4或3.6或5.6
本题主要考查了动点问题，等腰三角形的性质，分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
（1）由等于点P运动的距离与的差，从而得出结果；
（2）由可得出点P运动距离，进而求得结果；
（3）分为的面积与的面积是或，进一步得出结果；
（4）分为点P在上，点P在上和点P在上．当点P在上时，P点运动距离是；当点P在上时，点P运动的距离是4.8或7.2，当点P在上时，可得，从而得出点P运动距离是，进一步求得结果．
（1）解：∵点P运动的距离是，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，点P在上，
∴，
∴；
（3）解：由题意得：点P在上，
当时，，
∴，
∴，
∴，
当时，
，
∴，
综上所述：或；
（4）解：，，
当点P在上时，，
∴，即，
∴，
当点P在上时，或，
即或，
∴或3.6，
当点P在上时，，
∴，
综上所述：或2.4或3.6或5.6．
11．（1），见解析；（2）见解析；（3）3.4
此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质．
（1）延长、相交于点F，证明和全等得，再根据平分得，则，由此可得出，，之间的等量关系；
（2）延长至点H，使，连接，证明和全等得，，再根据，得，进而得，由此即可得出结论；
（3）过点延长、相交于点，根据三角形面积公式及得，证明和全等得，则，再根据，得，进而可得答案．
解：（1），，之间的等量关系是：，理由如下：
如图，延长、相交于点F，
，
，，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，
平分，
，
，
，
，
；
（2）延长至点H，使，连接，
是的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
（对顶角相等），
，
，
；
（3）延长、相交于点，
，
，
，
，
，
在和中
，
，
，
，
，，
，
，
因此，的长为3.4．
12．(1)①；②
(2)证明见解析
本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
（1）①作轴于点，作轴于点，，，故是线段的“完美点”，作轴于，作轴于点，作，可证得与不全等，从而，进一步得出结果；
②作轴于点，作于点，，，，进一步得出结果；
（2）在轴上截取，连接，，可证得，从而得出，，，进而证得是等边三角形，进一步得出结论．
（1）解：①如图1，
作轴于点，作轴于点，，，
故是线段的“完美点”，其中，；
同理是线段的“完美点”，
作轴于，作轴于点，作，点在轴上，点在轴上，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴与不全等，
∴，
∴不是的“完美点”，
同理不是的“完美点”，
故答案为：；
②如图2，
作轴于点，作于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：如图3，
在轴上截取，连接，，
∵，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴．
13．(1)
(2)见解析
(3)
本题主要考查三角形内角和定理、三角形面积公式、全等三角形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是作辅助线构造全等三角形，各知识的灵活运用．
（1）先根据三角形内角和定理求出的度数，继而得到，再求高即可求解；
（2）在上截取，连接，在上取一点，使得，通过证明即可求解；
（3）延长，使得，连接，先证，可得为等边三角形，继而可证，得到，过作，再解直角三角形得到即可求解．
（1），，，
，
，
，，
，
，，
即，
解得，
，，，
，
，
，
；
（2）证明：在上截取，连接，
在上取一点，使得，
由（1）知，
为等边三角形，则，，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）延长，使得，连接，
，
为等边三角形，
∴， ，
由（1）知，
，
为等边三角形，则，，，
，
，又，，
，
，
又，，
，
为等边三角形，
，，
，
，
又，，
，
∴，
过作，
，，
，则，
，，
，
，，
，
．
14．(1)1；；
(2)；
(3)的值为或时，面积为．
本题考查了动点问题的函数图象，等腰三角形的性质，勾股定理，根据函数图象分析点的位置解题的关键．
（1）根据图2中的面积最大值为，根据图1得出此时，求出结果即可；延长交于点N，延长交于点M，得，根据图1，结合图2求出，得出，根据图2，得出点P从点运动时间为：，再求出a的值即可；
（2）先表示出，然后再根据求出结果即可；
（3）分点P在CD上和点P在AB上两种情况，利用三角形的面积公式构造一元一次方程求解即可．
（1）解：观察图象可知：面积的最大值为，
根据图1可知，面积的最大值为：
，
∵，
∴，
∴，负值舍去；
延长交于点N，延长交于点M，如图所示：
∵八边形相邻的两边互相垂直，
∴四边形，，为长方形，
∴，
根据图2可知，当点P在上运动时，的面积为，
∴，
即，
解得：，
∴，
∴，
∵当P运动到点E时调头，以原来的速度原路返回，
∴根据图2可知：点P从点运动时间为：
，
∴；
（2）解：点P第一次在边上运动时，如图所示：
，
∴
；
（3）解：根据图可知：当在上时，的面积为，当在上时，的面积为，
∵面积为
∴点在或上，
当点在上时，如图，
即，
解得，
当点在上时，如图，
即，
解得，
综上，的值为或时，面积为．
本题主要考查了动点问题的函数图象、等腰三角形的性质、三角形面积公式，熟练掌握根据函数图象分析点的位置并结合相关公式解题是解题的关键．
15．(1)；
(2)①见解析；②
(3)秒或秒
（1）根据算术平方根和绝对值的非负性求解即可；
（2）①过点P作，根据平行线的判定及性质即可证明；
②由得到，由得到，从而，再由角平分线得到，，即可求解；
（3）当运动t秒时，，，分两种情况讨论：①若点G在左侧时，连接并延长至点H，根据三角形外角的性质可得，由此得到关于t的方程，求解即可；②若点G在的右侧，根据四边形的内角和为构造方程，求解即可．
（1）解：∵，，
且，
∴，，
∴，，
∴，．
故答案为：；．
（2）解：①过点P作，
∵，
∴，
∴，，
∴．
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴．
（3）解：∵，
∴，
∵平分，
∴
∴，
∵线段绕着点以30度/秒逆时针转动，且当转动到时，和同时停止运动，
∴运动时间为（秒），
当运动t秒时，，，
分两种情况讨论：
①若点G在左侧时，如图，连接并延长至点H，
∴，，
∴，
即，
解得．
②若点G在的右侧，如图，
∵在四边形中，，
∴，
∴．
综上所述，当线段转动秒或秒时，．
本题考查算术平方根和绝对值的非负性，平行线的判定及性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，一元一次方程的应用等，综合运用相关知识是解题的关键．
16．(1)
(2)秒或秒
(3)①或；②的值不会变化，理由见解析
本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和判断线段与坐标轴的位置关系．也考查了平行线的性质和角的和差运算、非负数的性质以及解二元一次方程组，灵活添加辅助线是解答的关键．
（1）根据算术平方根非负性，列出方程组进行计算，即可得出点的坐标；
（2）根据点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线移动，确定长度和运动时间；
（3）①分类讨论：当点在上时，设，根据题意得，则；当点在上时，设，根据题意得，则，然后分别解方程即可得到点坐标；②延长至点，如图2，由得，，利用得到，过点作交于点，根据平行线得性质得，，加上，于是可得，，所以，即有．
（1）解：∵满足，
∴，
解得，
∴，
故答案为：；
（2）解：点到轴距离为4个单位长度，
点在或上，
当在上时，，此时（秒），
当在上时，此时运动了个单位，（秒），
综上，当点移动到与轴距离为4个单位长度时，点移动的时间为秒或秒；
（3）解：①当点在上时，设，
，
，
即，
解得，
；
当点在上时，设，
，
，
即，
解得，
，
综上所述，点坐标为或；
②解：的值不会变化，理由如下：
延长至点，如图，
四边形为长方形，
，
，，
，
，
过点作交于点，
，，
又平分，
，
，
，
．
17．（1）①；②；（2）见解析；（3）或；（4）
（1）①求出，得；
②根据，，得；
（2）根据．，得，由，，得；
（3）设，则，．，．当时，，解得．得．当时，，解得．得；
（4）， 在 BD 上截 ，证明，，得，可得，得，得．
（1）解：①∵在中，，
∴，
∴，
∴在中， ，
故答案为：．
②∵在中，；在中，，
且，，
∴．
故答案为：．
（2）证明：∵， ，
∴，
∵，
∴，
在和中，
；
（3）设，
则，，
∴，
∴，
情况1：，
∴，
解得．
∴，，
∴．
情况2：，
∴，
解得，
∴，，
∴．
∴的度数为或 ．
（4）∵
∴，
在 上截 ，
∵，
∴，
，
，
在和中，
，
∴，
∴，
．
本题考查了对顶三角形，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理应用，三角形外角的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，熟练掌握相关的判定和性质，是解题的关键．
18．(1)10，130
(2)当时，，当时，
(3)当将四边形的周长分成两部分时，t的值为或
(4)的度数为或或或
（1）由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得，，由平行线的性质即可求解；
（2）分类讨论：当时，当时，即可求解；
（3）当将四边形的周长分成两部分时，或，即可求解；
（4）当时，点A与点关于对称，点A与点关于对称；当时，点A与点关于对称，点A与点关于对称，即可求解．
（1）解：将绕着的中点O旋转得到，
，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
故答案为：10，130；
（2）解：点t秒运动，，
当时，，
当时，；
（3）解：P点t秒运动，
则，
当将四边形的周长分成两部分时，
或，
解得或，
经检验或是原方程的根，
当将四边形的周长分成两部分时，t的值为或；
（4）解：如图，
当时，
，
，
点A与点关于对称，
；
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
点A与点关于对称，
；
如图，
当时，
，
点A与点关于对称，
；
点A与点关于对称，
；
综上所述，的度数为或或或．
本题考查了平行四边形的判定及性质，对称的性质，旋转的性质等；能根据垂直进行分类讨论是解题的关键．
19．(1)证明见详解
(2)
本题考查了平行线的性质和平行公理的推论，熟知相关定理，根据题意正确添加辅助线是解题关键．
（1）延长交于点E，根据得到，根据得到，即可证明；
（2）分别过点P、Q作，根据得到，即可求出进而求出，根据求出，即可求出
（1）解：如图，延长交于点E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：如图，分别过点P、Q作，
∵
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
故答案为：
20．(1)；
(2)；
(3)或．
本题考查平行线，角平分线．解题的关键是掌握平行线的性质，平行公理，角平分线的有关计算，分类讨论是解题关键．
（1）过点作，根据平行公理可有，再根据平行线的性质，即可得解；
（2）延长交于点，易得，再确定，结合可得，进而可得，然后根据“两直线平行，同旁内角互补”，即可得解；
（3）根据平移三角形分类讨论：①当N，M分别在点G，H的右侧；②当N，M分别在点G，H的左侧，根据平行线的性质，角平分线的性质，即可作答．
（1）解：如下图，过点作，
∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：；
（2）延长交于点，如下图，
∵，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即的度数为；
（3）①当N，M分别在点G，H的右侧，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴；
②当点N，M分别在点G，H的左侧，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵射线平分，
∴，
∴．
综上所述，或．
21．(1)10
(2)，理由见解析
(3)
本题考查了平行线的性质，角分线和三等分线的定义，熟练掌握平行线的性质，是解题的关键：
（1）利用平行线性质、角平分线和三等分线定义，通过作辅助线平行于和，根据平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系求出为；
（2）结合旋转后的角度变化，依据角平分线和三等分线性质，用含t的式子表示出即可；
（3）根据和同时旋转时大小不变的条件，列出方程求解得x的值．
（1）解：，
，
∴，
，
为的角平分线，
过点P作，
，
，
；
故答案为：10
（2），理由如下：
直线绕点F以每秒的速度逆时针旋转t秒，
始终为的三等分线且，
∴，
，
∴，
∵为的角平分线，
过点P作，
，
∴，
；
（3）直线绕点E以每秒的速度逆时针旋转，直线绕点F以每秒的速度逆时针旋转t秒．则，
是的角平分线，
，
始终为的三等分线且，
∴，
过点P作，
，
，
∴，
在转动过程中大小不变，即与t无关，
解得
22．（1）见解析；（2），理由见解析；（3）
本题考查根据平行线的性质探究角的关系，掌握平行线的性质定理是解题的关键．
（1）过点作直线，则，由平行线的性质得，，结合，可得，即可求解；
（2）如图2，由（1）可知，得出，结合，可得，整理得；
（3）由，结合求出，进而可得，再由得出，即可求解．
解：（1）补充完整的解题过程如下：
如图1，过点作直线．
因为，
所以，
所以，．
因为，
所以，
所以．
（2）．
理由如下：
如图2，由（1）可知，
所以．
因为，
所以，
所以．
（3）如图3，因为，
所以，
解得，
所以．
因为，所以，
所以，
所以射线与直线所夹锐角的度数为．
23．(1)18
(2)或
(3)①②
（1）利用公式直接求解即可；
（2）首先由题意：，然后分别从①当时，，当时，，去分析求解即可求得答案；
（3）①由三点的“矩面积”为8，当时，满足条件，求得的值即可
②由，分析可得，，则可得，
由的范围即可求得S的取值范围．
（1）解：，
故答案为：；
（2）由题意：，
当时，，如图，
则，
；
当时，，如图，
则，
；
当时，，如图，
此时，不合题意；
故答案为：或；
（3）① 当时，，如图，
此时三点的“矩面积”为8，
由，
得，
检验：当取其他值时，皆不满足三点的“矩面积”为8，
故；
②若，则x坐标最小值为0，最大值为m，如图，
；
∵m > 2，得2m > 4，y坐标最大值2m、最小值 1，
，
∴，
当m从2往大处变化时，从大于10开始增大，
故S的取值范围为．
24．[初步感知]见详解，[类比探究] 等腰，6，2，[拓展应用]2或8
[初步感知]由长方形得和，由翻折可得和，即可利用判定即可；
[类比探究]由长方形得，有，由翻折可得，则，即可判定等腰三角形；
②由翻折可得，，则点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，当E在线段上时，最小，此时为最小值；
③由①知，，结合，求得，利用勾股定理求得，则，故，即有；
[拓展应用]分两种情况：当M在线段延长线上和当M在线段上，分别利用中点和勾股定理、折叠的性质求解即可．
[初步感知]
证明：∵四边形是长方形，
∴，，
即，
由翻折可得，，
∴，，
在和中
∴；
[类比探究]
∵四边形是长方形，
∴，
∴，
由翻折可得，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
故答案为：等腰；
②由翻折可得，，
则点E在以B为圆心，4为半径的圆弧上运动，如图：
∴当E在线段上时，最小，此时，
则的最小值为6；
故答案为：6；
③由①知，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
则，
∴，
故答案为：2；
[拓展应用]当M在线段延长线上时，如图：
∵M为中点，
∴，
由翻折可得，，，
∴，
∵，
∴，
由翻折得，，
∴，
∴，
则，
∴；
当M在线段上时，如图：
同理可得，
∴，
∴；
综上所述，当射线恰好经过的中点M时，的长为2或8．
本题主要考查长方形的性质、折叠的性质、勾股定理的应用、全等三角形的判定、平行线的性质和等腰三角形的判定和性质，解题关键是理解三角形的性质和分类讨论思想的应用．
25．(1)
(2)的度数为
(3)
（1）利用平方与算术平方根的非负性即可求解；
（2）构造轴，利用平行线的性质求解即可；
（3）先求出直线的解析式为，利用，求出，再设出直线的解析式为，得到，利用，得到，建立方程即可求解．
（1）解：∵，
∴，
∴
（2）解：如图，过D点作轴，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴的度数为．
（3）解：设直线的解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵点在线段上，
∴，，
又∵m，n满足，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
令，
∴，
∴．
本题考查了用待定系数法求一次函数的解析式以及一次函数的图象与性质，涉及到了解一元一次方程、算术平方根的非负性和平行线的性质等知识，解题关键是会进行面积的转化以及求一次函数的解析式．
26．(1)①，②
(2)
本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则．
（1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可；
（2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案．
（1）解：①根据题意得：
，
解得：，
②由题意得：，
则可以化为，
解得：，
恰有2个整数解，
故
解得
（2）∵对任意实数x，y都成立
即对任意实数都成立
即
27．(1)
(2)
(3)①；②．
本题考查了因式分解的应用、多项式乘多项式、完全平方公式的几何背景，熟练运用完全平方公式是解决本题的关键．
（1），将数据代入求出，图中阴影部分的面积是三角形，三角形的面积底高，即，代入数据计算即可；
（2）设，，由可得，，所以，代入数据计算即可；
（3）①根据图形可得；
②由，得，，因为，代入求出的结果．
（1）因为，，
，
图中阴影部分的面积为：；
故答案为：．
（2）因为，
设，，
所以，，
所以，
．
（3），
故答案为：；
因为，，，
所以
，
因为，，
，
所以
．
28．(1)是和谐数，平方差为的连续的两个奇数是、；
(2)见解析
(3)，，，，，
此题考查了约数与倍数，因式分解和平方差公式的内容，理解连续平方差数的特点是解题的关键．
根据和谐数的定义即可判断；
设连续的两个奇数分别为，，利用平方差公式展开，即可得出结论；
设这个三位数为均为小于的自然数，且，根据两个新定义及的结论，运用数的整除性得出满足条件的字母值，从而得到满足条件的所有三位数．
（1）是和谐数，理由如下：
，
是和谐数．
平方差为的连续的两个奇数是、；
（2）证明：设连续的两个奇数分别为，，
则，
任何一个和谐数一定是的倍数；
（3）设这个三位数为均为小于的自然数，且，
则是整数，且是整数，，
满足条件的，，有：
，，此时三位数为；
，或，此时三位数为或；
，，此时三位数为；
，，，此时三位数为；
，，，此时三位数为．
综上所述，满足条件的所有三位数有，，，，，．
29．(1)
(2)①详见解析；②，详见解析
本题考查作图-复杂作图，平行线的性质，垂线段最短．
（1）利用平行线的性质求解；
（2）①证明，可得结论．
②利用垂线段最短判断即可．
（1）解：如图1中，，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）①证明：如图2中，平分，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
；
②解：图形如图所示，
结论：，理由如下：
，
，
，
，
，
，
，
．
30．特殊探究：；推理论证：；拓展探究：；拓展探究：，详见解析
特殊探究：由三角形的外角性质得，再由角平分线定义得，，然后由三角形的外角性质即可得出结论；
推理论证：由三角形的外角性质得，再由角平分线定义得，，则，然后由三角形的外角性质得，即可得出结论；
拓展探究：由角平分线定义得，，，，则，再由【推理论证】可知，，然后由三角形的外角性质得，即可解决问题；
拓展探究：由角平分线定义得，，再由三角形的外角性质得，进而得，然后证明，即可得出结论．
解：特殊探究：，，
，
平分，平分，
，，
又，
，
故答案为：；
推理论证：的大小不会变，，理由如下：
，
，
平分，平分，
，，
，
，
，
即的大小不会变，；
拓展探究：如图，设与交于点，
平分，平分，
，，
平分，平分，
，，
，
由推理论证可知，，
，
，
，
故答案为：；
拓展探究：，理由如下：
平分，平分，
，，
，，
，
，
，
与的平分线相交于点，
，，
，
，
，
，
，
．
本题是三角形综合题，考查了角平分线定义、三角形的外角性质以及直角三角形的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握角平分线定义和三角形的外角性质是解题的关键，属于中考常考题型．
31．(1)90
(2)张华的说法正确，见解析
(3)①；②10秒或85秒，理由见解析
（1）根据折叠的性质可知；
（2）根据折叠的性质可知、，等量代换可得，根据同位角相等，两直线平行可得张华的说法正确；
（3）①灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，所以当灯转动秒时，灯转动了秒，根据灯转动的速度和时间可知在灯射线第一次到达之前；
②根据灯和灯转动的速度可知：在灯射线第一次到达时，灯转动秒，根据灯转动的速度可知灯从转到需要的时间是秒，所以应分三种情况讨论两灯光束平行：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时．
（1）解：根据折叠的性质可知，
故答案为：；
（2）解：张华的说法正确，
证明：根据折叠的性质可知，
由（1）可知，
，
；
（3）解：①灯射线转动20秒后，灯射线开始转动，
当灯转动秒时，灯转动了秒，在灯射线第一次到达之前，，
故答案为：；
②灯的射线从转到需要的时间是（秒，
在灯射线第一次到达时，灯转动（秒，
灯的射线转动的速度是每秒，
灯从转到需要的时间是（秒，
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
，
解得：；
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
，解得：；
如下图所示，当时，，，
，
，
，
，
，
，
，解得：（舍去）；
综上所述，在灯射线第一次到达之前，灯转动10或85秒时，两灯的光束互相平行．
32．(1)
(2)
(3)当时，；当时，
（1）根据非负数之和求出a，b，从而得出B和C点坐标；
（2）分析出点P从A到B需要的时间，再求出B到C需要的时间，从而得出用含t表示的长度；
（3）分类讨论当点P在线段上，当P在线段运动时，分别求出t值和P点坐标．
（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
根据平移的性质可知：，，C，B两点的纵坐标相同，纵坐标都为3，
∵垂直x轴，
∴垂直x轴，
∴C，D两点的横坐标相同，横坐标都是4，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∵P的速度为每秒2个单位长度，
∴P由A到B需要的时间为：（秒）；
A到B需要的时间为（秒）；
∴P由A到B，再由B到C需要的时间为（秒），
当点P在线段上运动时，点P的坐标为，
∴；
（3）解：分以下两种情况讨论：
当点P在线段上运动时，点P的坐标为，
则，如图1，
∵，，
∴，
∵，点，
∴，
解得，
∴；
当点P在线段上运动时，点P的坐标为，
即，如图2，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，点，
∴，
解得，
∴，
∴此时．
综上所述，当时，；当时，．
本题是动点移动问题，考查了非负数的性质，分类讨论思想，方程思想，解题关键是熟练掌握动点移动问题．
33．(1)
(2)
（1）要求点P的坐标，只需求出的长度，如图1，易证，即可得到；
（2）过O分别作于M点，作于N点，如图2，证明 ，，即可；
（1）解： ∵，
，，
，，则．
即，，
，
．
在与中，
，
，
，
则；
（2）解：如图2，过O分别作于M点，作于N点．
在四边形中，，
．
在与中，
，
，
．
，，
平分，
．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性，平面直角坐标系中求点的坐标等知识，运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．
34．(1)
(2)，理由见解析
(3)或
本题考查了平行线的性质、平行公理推论、角平分线的定义等知识点，通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
（1）过点P作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论．
（2）当点P在的右侧时，画出图形，过P点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，然后根据平行线的性质可得，最后根据角的和差即可得出结论．
（3）分两种情况讨论，①如图，当P在的左侧时，如图，当P在的右侧时，再结合（1）（2）的结论进一步求解即可．
（1）解：．理由如下：
如图，过点P作，
则．
∵，
∴．
∴．
∴．
（2）解：当点P在的右侧时，．理由：
如图，过P点作．
则．
∵，
∴．
∴．
∴．
（3）解：①如图，当P在的左侧时，
∵平分，平分，
，
．
由（1）可知，．
∴
．
由（2）可知，．
．
解得．
如图，当P在的右侧时，
∵平分，平分，
，
．
由（1）可知，．
∴
．
由（2）可知，，
．
解得．
综上：为或．
35．(1)；
(2)见解析；
(3)．
本题主要考查了平行线的性质，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系．
过点作，根据平行线的性质可知，，根据角之间的关系可以求出；
过点作，过点作，设，，根据平行线的性质可证，，从而可得：，即可得到：，从而可证结论成立；
设，，可得：，，根据平行线的性质可证：，又因为，从而可得：．
（1）解：如下图所示，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）证明：如下图所示，过点作，过点作，
，
，，
，
，
，
，
，
平分，平分，
，，
设，，
则，，
又，，
，，
，
，
，
，
，
；
（3）解：设，，
，，
，，
平分，平分，
，，
如下图所示，过点作，
，
，
，
，
，
，
，
由可知，，
，
，
，
即，
．
36．(1)；
(2)，证明见解析
(3)
(4)或
本题考查了坐标与图形，平移的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）根据坐标平移的特点填空即可；
（2）由平移的性质可知，，，得到，再结合角平分线的定义，得出，即可得出结论；
（3）根据题意得出，进而根据三角形的面积公式求得，结合题意，即可求解；
（4）分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在延长线上时，过点作，根据平行线的性质分别求解即可．
（1）解：由题意可知，将线段先向上平移2个单位长度，再向右平移2个单位长度得到线段，使点的对应点为点C，点的对应点为点D，
则点C的坐标是，点D的坐标是，
故答案为：；；
（2）解：，证明如下：
由平移的性质可知，，，
，
，
平分，
，即，
，
．
（3）解：∵，，
∴，
∴，
又∵在线段上运动，点D的坐标是，
∴，
∴．
（4）解：①如图，当点在线段上时，过点作交于点，
，
由平移的性质可知，
，
，
，
；
②如图，当点在延长线上时，过点作，
，
由平移的性质可知，
，
，
，
，即；
综上可知，，与的数量关系为或．
37．(1)，，
(2)
(3)所有满足条件的点Q坐标为或或
（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解；
（2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解；
（3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可．
（1）解：在中，当时，，即，
当时，，解得，即，
∴，，
∴，
设，则，
由折叠的性质可得，，
∴，
由勾股定理可得：，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：设直线的表达式为，
由（1）可得：，，
代入表达式可得，
解得，
∴直线的表达式为，
联立，解得，
∴，
∴；
（3）解：由（1）（2）可得：，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴为直角三角形，且，
∵与全等（点P与点C不重合），
∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图：
，
∵，
∴，
把代入可得，，
此时；
当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图：
，
由题意可得：，，
∴，
∵，
∴，
把代入可得，，
此时；
当点在上时，
∵点与点不重合，
∴不存在；
当点在上时，当，如图：
，
∵，
∴，
∴把代入可得，，
此时；
综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或．
本题考查了一次函数综合，全等三角形的性质，勾股定理，勾股定理逆定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．
38．(1)，，
(2)证明见解析
(3)证明见解析
（1）由非负数的性质求解，，如图1，过点作轴于点，证明，可得，，再进一步可得答案；
（2）如图中，证明即可得到结论；
（3）如图3中，过点作于点，过点作于点．证明，，，设，而，，可得，,,，进一步利用面积公式解答即可.
（1）解：∵，
∴，，
解得：，，
∴，，
如图1，过点作轴于点．
，，
，，
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
.
（2）证明：如图中，
，，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
.
（3）证明：如图3中，过点作于点，过点作于点．
，
，，
，
在和中，
，
，
，
同法可证，，
，
在和中，
，
，
，，
设，而，，
∵，，
，,,
∴，
∴，
∴，
∵A 点到x轴、y轴的距离相等，
∴，
∴.
本题考查的是坐标与图形，非负数的性质，全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键.

展开更多......

收起↑