资源简介

2026 年九年级学业水平第三次模拟考试数学试题
考试时间 120 分钟 满分 150 分
第 Ⅰ 卷（选择题 共 40 分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.25 的算术平方根是（ ）
A. B. 5 C. 5 D.±5
2.如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ ）
A. 三棱柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 球
3.鹊山调蓄水库是济南市最大的城市供水基础设施，总库容量约 4600 万立方米。将数据 4600 用科学记数法表示为（ ）
A.46×102 B.4.6×103 C.4.6×104 D.0.46×104
4.如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，若∠1=40 ，则∠2的度数是（ ）
A.140 B.80 C.70 D.40
5.若一个多边形的内角和为900 ，则这个多边形是（ ）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
6.已知x2+2mx+m2 1=0是关于x的一元二次方程，其中m为实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断根的情况
7.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车。酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值R与呼气酒精浓度K之间的关系如图所示。下列说法中不正确的是（ ）
A. 当K=10时，R=60 B. R随K的增大而减小
C. R是K的函数 D. 图中曲线是反比例函数的图象
8.周末，小明和小亮乘坐同一辆出租车去科技馆，该车可供乘客乘坐的座位有三个：副驾驶座A，后排左座B和后排右座C。若小明和小亮每人随机选择其中一个座位，则他们恰好同坐后排座位的概率为（ ）
A. B. C. D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，按如下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交BC于点D；②以点B为圆心，以BD的长为半径作弧，交AB于点E。根据以上作图，若点P是直线MN上的动点，点F是线段AC上的动点，连接PE，PF，则PE+PF的最小值为（ ）
A. B. 3 C. D.
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点( 3,0)，其顶点坐标为( 1,m)。有以下结论：①abc>0；②3a+c=0；③若y≥c，则x的取值范围为x≤ 2或x≥0；④b+c=m；⑤若y≥x 4a对任意实数x恒成立，则a的取值范围为a≥。其中正确的有（ ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.要使分式有意义，则x的取值范围是__________。
12.如图 1，投壶是中国古代的一种投掷游戏。某调查小组统计了游戏参与者小颖在同一条件下投中的次数，并绘制了如图 2 所示的折线统计图，由此可以估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为__________（结果精确到 0.1）。
13.如图，在平面直角坐标系中，□OABC的顶点A，C的坐标分别为(4,0)，(2,3)，若以原点O为位似中心作一个四边形OA′B′C′，使它与四边形OABC位似，且它与四边形OABC的相似比为1:3，则顶点B在第一象限内的对应点B′的坐标是__________。
14.甲、乙两人计划沿同一条笔直公路匀速骑行，甲先出发，骑行 10 千米后，乙再从同一出发地沿同一方向出发。甲、乙两人各自到出发地的距离s（km）与乙的骑车时间t（h）的关系如图所示，则当乙追上甲时，乙到出发地的距离为__________km。
15.如图，在菱形纸片ABCD中，∠B=150 ，点O是其对角线AC的中点，将纸片沿过点O的直线l折叠，使点A落在点E处，点B落在线段OC上的点F处，若CP=2，则AC=__________。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分 7 分）计算： 12026++( ) 1 2cos60 +∣1 ∣。
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：并写出它的最小整数解。
18.（本小题满分 7 分）如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM=AB，BN⊥AM，垂足为N。求证：AD=BN。
19.（本小题满分 8 分）图 1 是我们在野餐、露营等户外活动中常用的装备 —— 天幕帐篷。图 2 为某款天幕帐篷搭建完成后的侧面示意图，支撑杆AB与地面l垂直，右侧幕布AN与支撑杆AB的夹角为51.7 ，右侧风绳DN与幕布AN在同一直线上，太阳光线与地面l的夹角为66.5 ，幕布AM与AN遮挡太阳光线形成影子PQ。已知AB=2.74m，AN=2m。
（1）求右侧幕布边缘点N到支撑杆AB的距离；
（2）求支撑杆AB右侧的影子BQ的长度。
（结果精确到 0.01m，参考数据：sin51.7 ≈0.785，cos51.7 ≈0.620，tan51.7 ≈1.266，sin66.5 ≈0.917，cos66.5 ≈0.399，tan66.5 ≈2.300）
20.（本小题满分 8 分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，连接AD，CD，BC，∠BAD=2∠ADC。过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点E，延长DA，交CE于F。
（1）求证：DF⊥CE；
（2）当AF=6，cos∠BCD=时，求⊙O半径的长。
21.（本小题满分 9 分）
历下区积极推动校园体育场地向社会开放，让居民在家门口就能享受到优质、安全的健身环境。为了解学校体育场地的使用情况，某校数学兴趣小组在本校体育场内随机抽取部分来健身的居民进行调查，获得了他们在该体育场内每周的平均锻炼时长（锻炼时长用t表示，单位：h），并对数据进行统计整理。数据分为 5 组：A 组：t<2；B 组：2≤t<3；C 组：3≤t<4；D 组：4≤t<5；E 组：5≤t。下面给出了部分信息：
a. 不完整的居民每周平均锻炼时长的频数分布直方图和扇形统计图如下：
b. C 组的数据：3.0,3.1,3.1,3.2,3.3,3.3,3.4,3.5,3.7,3.7,3.8,3.9。
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求本次随机调查的居民总人数；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中 E 组所对应的圆心角为________度；
（4）本次抽取居民的每周平均锻炼时长的中位数为________小时；
（5）若附近有 1200 名居民来本校体育场锻炼，估计每周平均锻炼时长不少于 3 小时的居民人数。
22.（本小题满分 10 分）
为扎实推进校园劳动教育实践活动，某校决定采购绿植 A 与绿植 B，用于开展班级绿植栽培、校园绿化养护等劳动实践课程。已知购买 2 盆绿植 A 和 1 盆绿植 B 共需 50 元，购买 5 盆绿植 A 和 3 盆绿植 B 共需 130 元。
（1）求每盆绿植 A 的价格和每盆绿植 B 的价格；
（2）学校计划购买绿植 A 和绿植 B 共 60 盆，绿植 A 的盆数不少于绿植 B 的盆数的，且商家给出了两种绿植均打八折的优惠。问购买绿植 A 多少盆时花费最少？最少花费是多少元？
23.（本小题满分 10 分）正比例函数y=3x与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(m,6)。
（1）求反比例函数表达式；
（2）平移线段OA得线段O′A′，其中点A的对应点为点A′，点O的对应点为O′。
①如图 1，若点O′在x轴上，线段O′A′与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C，当=时，求O′的坐标；
②如图 2，若点O′在反比例函数y=(x>0)的图象上，连接OO′，AA′，当四边形OO′A′A的面积为 18 时，求O′的坐标。
24.（本小题满分 12 分）二次函数y= x2+bx+c的图象经过点A(3,0)，点B(0,)。
（1）求二次函数的表达式和顶点C的坐标；
（2）过点D(0, 3)作x轴的平行线，与二次函数y= x2+bx+c的图象在第四象限内交于点H。动点E从点A开始沿线段AB向点B运动，速度为每秒个单位长度；动点F从点D开始沿线段DH向点H运动，速度为每秒 1 个单位长度。已知E，F两动点同时运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒。
①如图 1，作直线EF，当直线EF与x轴垂直时，判断直线EF是否经过点C，并说明理由；
②如图 2，连接EF，点G是EF的中点，点M是抛物线上一动点，当四边形ACMG是平行四边形时，求t的值。
25.（本小题满分 12 分）在矩形ABCD中，AD=2AB，点E在边AD上（不与点D重合），点F在边BC上，点G在边CD的延长线上，且∠FEG=90 。
（1）如图 1，当点E与点A重合时，连接FG，求tan∠EGF的值；
（2）当点E不与点A重合时，在线段EF上取一点H，使得=，连接GH。
①如图 2，求证：=；
②如图 3，连接BH，若DG=3AE，求的值。
答案
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.25 的算术平方根是（ B ）
A. B. 5 C. 5 D.±5
2.如图是某几何体的三视图，则该几何体是（ A ）
A. 三棱柱 B. 圆锥 C. 长方体 D. 球
3.鹊山调蓄水库是济南市最大的城市供水基础设施，总库容量约 4600 万立方米。将数据 4600 用科学记数法表示为（ B ）
A.46×102 B.4.6×103 C.4.6×104 D.0.46×104
4.如图，已知直线AB∥CD，EG平分∠BEF，若∠1=40 ，则∠2的度数是（ C ）
A.140 B.80 C.70 D.40
5.若一个多边形的内角和为900 ，则这个多边形是（ D ）
A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 七边形
6.已知x2+2mx+m2 1=0是关于x的一元二次方程，其中m为实数，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ A ）
A. 有两个不相等的实数根
B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根
D. 无法判断根的情况
7.呼气式酒精测试仪中装有酒精气体传感器，可用于检测驾驶员是否酒后驾车。酒精气体传感器是一种气敏电阻，其阻值R与呼气酒精浓度K之间的关系如图所示。下列说法中不正确的是（ D ）
A. 当K=10时，R=60 B. R随K的增大而减小
C. R是K的函数 D. 图中曲线是反比例函数的图象
8.周末，小明和小亮乘坐同一辆出租车去科技馆，该车可供乘客乘坐的座位有三个：副驾驶座A，后排左座B和后排右座C。若小明和小亮每人随机选择其中一个座位，则他们恰好同坐后排座位的概率为（ D ）
A. B. C. D.
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，按如下步骤作图：①分别以点A和B为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交BC于点D；②以点B为圆心，以BD的长为半径作弧，交AB于点E。根据以上作图，若点P是直线MN上的动点，点F是线段AC上的动点，连接PE，PF，则PE+PF的最小值为（ C ）
A. B. 3 C. D.
10.如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点( 3,0)，其顶点坐标为( 1,m)。有以下结论：①abc>0；②3a+c=0；③若y≥c，则x的取值范围为x≤ 2或x≥0；④b+c=m；⑤若y≥x 4a对任意实数x恒成立，则a的取值范围为a≥。其中正确的有（ A ）
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分）
11.要使分式有意义，则x的取值范围是____x≠1______。
12.如图 1，投壶是中国古代的一种投掷游戏。某调查小组统计了游戏参与者小颖在同一条件下投中的次数，并绘制了如图 2 所示的折线统计图，由此可以估计小颖在投壶游戏中一次投中的概率为__________（结果精确到 0.1）。
13.如图，在平面直角坐标系中，□OABC的顶点A，C的坐标分别为(4,0)，(2,3)，若以原点O为位似中心作一个四边形OA′B′C′，使它与四边形OABC位似，且它与四边形OABC的相似比为1:3，则顶点B在第一象限内的对应点B′的坐标是_____（2，1）_____。
14.甲、乙两人计划沿同一条笔直公路匀速骑行，甲先出发，骑行 10 千米后，乙再从同一出发地沿同一方向出发。甲、乙两人各自到出发地的距离s（km）与乙的骑车时间t（h）的关系如图所示，则当乙追上甲时，乙到出发地的距离为__________km。
15.如图，在菱形纸片ABCD中，∠B=150 ，点O是其对角线AC的中点，将纸片沿过点O的直线l折叠，使点A落在点E处，点B落在线段OC上的点F处，若CP=2，则AC=____2______。
三、解答题（本大题共 10 个小题，共 90 分。请写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分 7 分）计算： 12026++( ) 1 2cos60 +∣1 ∣。
=﹣1+2﹣2﹣1+ 1
=﹣3+
17.（本小题满分 7 分）解不等式组：并写出它的最小整数解。
解：由①得：x≥ 1
由②得：x>
∴ 不等式组的解集为：x>
∴ 最小整数解为：0
18.（本小题满分 7 分）如图，在矩形ABCD中，点M在CD上，AM=AB，BN⊥AM，垂足为N。求证：AD=BN。
证明：在矩形ABCD中，
∵∠D=90 ，DM∥AB
∵BN⊥AM
∴∠BNA=90 =∠D
∵DM∥AB
∴∠DAM=∠MAB
又∵AM=AB
∴△DAM≌△NBA (AAS)
∴AD=BN
19.（本小题满分 8 分）图 1 是我们在野餐、露营等户外活动中常用的装备 —— 天幕帐篷。图 2 为某款天幕帐篷搭建完成后的侧面示意图，支撑杆AB与地面l垂直，右侧幕布AN与支撑杆AB的夹角为51.7 ，右侧风绳DN与幕布AN在同一直线上，太阳光线与地面l的夹角为66.5 ，幕布AM与AN遮挡太阳光线形成影子PQ。已知AB=2.74m，AN=2m。
（1）求右侧幕布边缘点N到支撑杆AB的距离；
（2）求支撑杆AB右侧的影子BQ的长度。
（结果精确到 0.01m，参考数据：sin51.7 ≈0.785，cos51.7 ≈0.620，tan51.7 ≈1.266，sin66.5 ≈0.917，cos66.5 ≈0.399，tan66.5 ≈2.300）
1）过N作NH⊥AB于点H
在Rt△AHN中，sin51.7 =
∴HN=2×0.785=1.57m
（2）作NG⊥BD于点G
∴∠NGB=90
∵∠NHB=∠ABD=90
∴ 四边形HBGN为矩形
∴HN=BG=1.57，HB=NG
在Rt△AHN中，cos51.7 =
∴AH=2×0.62=1.24
∴BH=AB AH=2.74 1.24=1.5
∴NG=HB=1.5
在Rt△NGQ中，tan66.5 =
∴QG==
∴BQ=BG QG=1.57 ≈0.92m
20.（本小题满分 8 分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上不同于A，B的两点，连接AD，CD，BC，∠BAD=2∠ADC。过点C作⊙O的切线，交BA延长线于点E，延长DA，交CE于F。
（1）求证：DF⊥CE；
（2）当AF=6，cos∠BCD=时，求⊙O半径的长。
（1）证明：连接OC，
∵CE是⊙O的切线，
∴OC⊥EC，即∠OCE=90
∵OA=OC，
∴∠COA=2∠ADC
又∵∠BAD=2∠ADC，
∴∠COA=∠BAD
∴OC∥AD
∴∠AFE=∠OCE=90 ，即DF⊥CE
（2）解：
∵弧BD=弧BD，
∴∠BAD=∠BCD
∵cos∠BCD=，
∴cos∠BAD=
在Rt△AFE中，=，
已知AF=6，
∴AE=10
设⊙O的半径为r，则OC=r，OE=r+10
∵OC∥DF，
∴△EOC∽△EAF
∴=，
即=
解得：r=15
21.（本小题满分 9 分）
历下区积极推动校园体育场地向社会开放，让居民在家门口就能享受到优质、安全的健身环境。为了解学校体育场地的使用情况，某校数学兴趣小组在本校体育场内随机抽取部分来健身的居民进行调查，获得了他们在该体育场内每周的平均锻炼时长（锻炼时长用t表示，单位：h），并对数据进行统计整理。数据分为 5 组：A 组：t<2；B 组：2≤t<3；C 组：3≤t<4；D 组：4≤t<5；E 组：5≤t。下面给出了部分信息：
a. 不完整的居民每周平均锻炼时长的频数分布直方图和扇形统计图如下：
b. C 组的数据：3.0,3.1,3.1,3.2,3.3,3.3,3.4,3.5,3.7,3.7,3.8,3.9。
请根据以上信息完成下列问题：
（1）求本次随机调查的居民总人数；
（2）请补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中 E 组所对应的圆心角为________度；
（4）本次抽取居民的每周平均锻炼时长的中位数为________小时；
（5）若附近有 1200 名居民来本校体育场锻炼，估计每周平均锻炼时长不少于 3 小时的居民人数。
（1）总人数：4÷10%=40（人）
（2）40 4 8 12 5=11（人），补全 C 组频数为 11（直方图略）
（3）扇形统计图中 E 组对应的圆心角：45
（4）本次抽取居民的每周平均锻炼时长的中位数为：3.1小时
（5）估计每周平均锻炼时长不少于 3 小时的居民人数：1200×=840（人）
答：40人。
22.（本小题满分 10 分）
为扎实推进校园劳动教育实践活动，某校决定采购绿植 A 与绿植 B，用于开展班级绿植栽培、校园绿化养护等劳动实践课程。已知购买 2 盆绿植 A 和 1 盆绿植 B 共需 50 元，购买 5 盆绿植 A 和 3 盆绿植 B 共需 130 元。
（1）求每盆绿植 A 的价格和每盆绿植 B 的价格；
（2）学校计划购买绿植 A 和绿植 B 共 60 盆，绿植 A 的盆数不少于绿植 B 的盆数的，且商家给出了两种绿植均打八折的优惠。问购买绿植 A 多少盆时花费最少？最少花费是多少元？
（1）设绿植 A 每盆x元，绿植 B 每盆y元，
由题意得：
解得：
答：绿植 A 每盆 20 元，绿植 B 每盆 10 元。
（2）设购买绿植 A m盆，则绿植 B 为(60 m)盆，
由题意得：m≥(60 m)，解得m≥15
总花费：W=20×0.8m+10×0.8(60 m)=8m+480
∵8>0，
∴W随m增大而增大，
∴当m=15时，花费最少，Wmin=8×15+480=600元
答：购买绿植 A 15 盆时花费最少，最少为 600 元。
23.（本小题满分 10 分）正比例函数y=3x与反比例函数y=(x>0)的图象交于点A(m,6)。
（1）求反比例函数表达式；
（2）平移线段OA得线段O′A′，其中点A的对应点为点A′，点O的对应点为O′。
①如图 1，若点O′在x轴上，线段O′A′与反比例函数y=(x>0)的图象交于点C，当=时，求O′的坐标；
②如图 2，若点O′在反比例函数y=(x>0)的图象上，连接OO′，AA′，当四边形OO′A′A的面积为 18 时，求O′的坐标。
（1）正比例函数y=3x过点A(m,6)，
∴6=3m，解得m=2，即A(2,6)
将A(2,6)代入反比例函数y=，
得k=12
∴反比例函数表达式：y=
（2）① 平移线段OA得O′A′，点O′在x轴上，
过点C作CN⊥x轴于N，由平移性质知CN∥A′M（A′M⊥x轴，A′M=6）
∵=
∴=，
得CN=2
代入反比例函数y=，
得x=6，即C(6,2)
由平移距离为6 =，
得O′(,0)
② 设O′(n,)，则A′(n+2,+6)，四边形OO′A′A为平行四边形，面积为 18，
解得n=4或n=1，即O′(4,3)或(1,12)
24.（本小题满分 12 分）二次函数y= x2+bx+c的图象经过点A(3,0)，点B(0,)。
（1）求二次函数的表达式和顶点C的坐标；
（2）过点D(0, 3)作x轴的平行线，与二次函数y= x2+bx+c的图象在第四象限内交于点H。动点E从点A开始沿线段AB向点B运动，速度为每秒个单位长度；动点F从点D开始沿线段DH向点H运动，速度为每秒 1 个单位长度。已知E，F两动点同时运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点E的运动时间为t秒。
①如图 1，作直线EF，当直线EF与x轴垂直时，判断直线EF是否经过点C，并说明理由；
②如图 2，连接EF，点G是EF的中点，点M是抛物线上一动点，当四边形ACMG是平行四边形时，求t的值。
（1）将A(3,0)、B(0,)代入y= x2+bx+c，
解得：，
∴二次函数表达式：y= x2+x+，顶点C(1,2)
（2）① 动点E从A向B运动，速度个单位 / 秒，
直线AB的解析式为y= x+，
E的坐标为(3 2t,t)，F的坐标为(t, 3)，
当EF与x轴垂直时，3 2t=t，解得t=1，此时F(1, 3)，直线EF为x=1，经过顶点C(1,2)，故直线EF经过点C。
② 设G为EF中点，坐标为(,)，
设M(m, m2+m+)，由平行四边形对角线中点重合，
列方程解得：t= 5+2（负根舍去）
25.（本小题满分 12 分）在矩形ABCD中，AD=2AB，点E在边AD上（不与点D重合），点F在边BC上，点G在边CD的延长线上，且∠FEG=90 。
（1）如图 1，当点E与点A重合时，连接FG，求tan∠EGF的值；
（2）当点E不与点A重合时，在线段EF上取一点H，使得=，连接GH。
①如图 2，求证：=；
②如图 3，连接BH，若DG=3AE，求的值。
（1）当E与A重合时，∠FEG=90 ，
可证△GDE∽△FBE，得==2，
在Rt△EGF中，tan∠EGF==
（2）① 过E作EQ⊥BC于Q，则EQ=AB，
由∠FEG=90 ，可证△GED∽△FEQ，
得=，结合AD=2AB=2EQ，=，
可证=
② 过H作HM⊥AD于M，HN⊥BC于N，
设AE=m，则DG=3m，
由①得EM=ED，MH=AB，
计算得BH=m，
∴=

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