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浙教版2024 八年级下册
八年级数学下册期末检测卷04
（浙教版2024，测试范围：第1-5章） 试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.9 轴对称图形的识别；中心对称图形的识别
2 0.8 求离差平方和；求一组数据的平均数；求方差
3 0.68 最简二次根式的判断；化为最简二次根式
4 0.79 求平行线间的距离；在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行
5 0.65 一元二次方程的定义；根据一元二次方程根的情况求参数
6 0.65 通过对完全平方公式变形求值；二次根式的混合运算；已知字母的值，化简求值
7 0.64 因式分解法解一元二次方程；与图形有关的问题(一元二次方程的应用)
8 0.78 求众数；折线统计图；求一组数据的平均数；求中位数
9 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；等腰三角形的性质和判定
10 0.5 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据正方形的性质证明；利用平行四边形性质和判定证明
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
12 0.65 由一元二次方程的定义求参数
13 0.65 求方差；求一组数据的平均数
14 0.65 垂线段最短；利用平行四边形的判定与性质求解
15 0.65 营销问题(一元二次方程的应用)
16 0.55 全等的性质和SAS综合（SAS）；矩形与折叠问题；等腰三角形的性质和判定；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
三、解答题
17 0.76 实数的混合运算；零指数幂；二次根式的混合运算
18 0.76 解一元二次方程——配方法；因式分解法解一元二次方程
19 0.65 画箱线图；求四分位数；求中位数
20 0.75 二次根式的应用；利用二次根式的性质化简
21 0.62 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
22 0.62 与三角形中位线有关的证明；线段垂直平分线的性质；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
23 0.65 全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）；根据矩形的性质与判定求线段长；等边三角形的判定和性质；证明四边形是平行四边形
24 0.4 全等的性质和HL综合（HL）；矩形与折叠问题；函数解析式；正方形折叠问题；根据正方形的性质与判定求线段长；用勾股定理解三角形2025—2026学年八年级下册期末检测卷04
数 学
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列食品标识中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．求一组数据方差的算式为：对于这组数据，下列说法错误的是（ ）
A．n的值为5 B．平均数是7
C．离差平方和是5 D．方差是
3．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，已知直线，直线l分别与a、b、c相交于点A、B、C，且．若，则直线a、c之间的距离为（ ）．
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ）
A．且 B． C．且 D．
6．已知，则代数式的值为（ ）
A．14 B．30 C．35 D．48
7．如图，在长为，宽为的长方形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为，则道路的宽为（ ）m
A．2 B．3 C．4 D．1
8．如图是某班去年1～8月份全班同学每月的课外阅读总量折线统计图，关于这8个月每月的课外阅读总量，下列说法正确的是（ ）
A．中位数是58本 B．众数是83本
C．平均数是50本 D．有6个月的月课外阅读总量在50本以上
9．如图，在中，，D是中点，平分，，垂足为E，连接，若，则的长为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
10．如图，在正方形中，E、F、G、H分别为，，，边上的动点，且．设，，，，则下列结论正确的是（）
A． B．
C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．若代数式有意义，则的取值应满足_________．
12．关于x的方程是一元二次方程，则m的值为______．
13．求一组数据方差的算式为：，则该组数据的平均数为________．
14．如图，在锐角中，点是边上的动点，连接，以为邻边作，若的面积是，则的最小值为_____．
15．承龙马精神，赴崭新征程．某网店销售一种与马有关的手办，成本价是5元/个，在销售中发现，当这种手办的价格定为7元/个时，每天可卖出160个，在此基础上，单价每提高1元，每天就少卖20个，若该网店一天销售这种手办所获得的利润是420元，为了让顾客得到优惠，价格应定为__________元/个．
16．如图，矩形中，，，为中点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕为，点对应点，连接．以下结论中，所有正确结论的序号是_______．
①；
②；
③；
④为直线上一个动点，连接，，则的最小值为．
三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算．
(1)
(2)
(3)
18．解方程：
(1)
(2)
19．某电商平台有A和B两个合作物流公司．2026年第一季度，这两个物流公司分别负责配送12批次的同款商品，配送时效（单位：小时）如下：
A公司：4.77，3.98，4.88，4.89，2.15，3.85，3.64，3.21，3.18，2.02，4.11，4.10．
B公司：3.18，3.84，3.99，3.67，3.40、3.60，4.10，4.21，4.15，4.44，3.87，3.91．
某运营经理想要利用四分位数分析A、B两个物流公司的配送效率．统计表为他统计的两个公司配送时效数据的四分位数（单位：小时）：
公司
A 3.195 a 4.44
B b 3.890 c
请根据以上信息完成下列问题：
(1)表中______，______，______；
(2)运营经理基于四分位数绘制了A、B两公司的箱线图如图所示，请你根据箱线图对A、B两个物流公司的配送水平从时效快慢和稳定性方面作出评价．
20．观察下列等式，解答问题：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；…
(1)请直接写出第6个等式 （不用化简）；
(2)根据上述规律猜想：若n为正整数，请用含n的式子表示第n个等式，并给予证明；
(3)请利用（2）的结论计算：．
21．随着“科技兴农，智慧农业”理念的普及，农业无人机正逐渐成为现代农业的重要装备．
(1)某品牌农业无人机2026年1月份销售量为3千架．随着春耕备耕需求激增，该品牌无人机的销售量逐月递增，3月份的销售量达到4.32千架．求从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率．
(2)某农业科技服务公司购进一批农业无人机进行出售，进价为1.5万元/架，出售一段时间后发现：当售价为2.5万元/架时，平均每周售出80架；售价每降低0.05万元，平均每周多售出1架，若该公司计划下调售价使平均每周的利润达到45万元．求下调后每架无人机的售价．
22．如图，在四边形中，是的中点，垂直平分交于点，．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，求的长．
23．如图，在中，，，是的中点，是线段延长线上一动点，过点作，与线段的延长线交于点，连接、．
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若四边形是矩形，，，求的值；
(3)若，试判断四边形是什么样的四边形，并证明你的结论．
24．综合与实践课上，同学们以“折纸”为主题开展数学活动．将矩形对折，使点落在边上的点处，得到折痕，点和点分别在线段和线段上，折痕与对角线交于点．打开铺平，得到图．
(1)若点与点重合，，，求折痕的长度；
(2)若矩形变成边长为的正方形，其他条件不变，如图．
当点为的中点时，线段_______；
若，，请求出关于的函数，并求出自变量的取值范围．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C B C A B A A D A
1．C
解：A、该图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故不符合题意；
B、该图形绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意；
C、该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形，故符合题意；
D、该图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形，故不符合题意．
2．C
先从方差算式中提取原数据，再根据定义逐一计算各选项，判断得到错误说法．
解：∵方差算式中共有5个平方项，
∴，
∴A选项说法正确，不符合题意；
原数据为6，8，8，6，7计算平均数得：
，
∴B选项说法正确，不符合题意；
将平均数代入：
；
∴离差平方和为4，不是5
∴C选项说法错误，符合题意．
，
∴D选项说法正确，不符合题意；
3．B
根据最简二次根式的两个判定条件判断即可，两个条件为：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
解：A：的被开方数含分母，不是最简二次根式；
B：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式；
C：，被开方数9是能开得尽方的平方数，不是最简二次根式；
D：，被开方数12含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式．
4．C
根据平行线的性质，若一条直线垂直于平行线中的一条，则它也垂直于其余平行线，从而确定直线l 是直线 a、b、c的公垂线，进而得出直线 a、c 之间的距离即为线段的长．
解：∵，，
∴，（在同一平面内，垂直于平行线中一条直线的直线必垂直于其余直线）．
∴ 线段 的长度即为直线 a、c 之间的距离．
∵ 点 A、B、C 在直线 l 上，且，
∴，
∴ 直线 a、c之间的距离为．
5．A
根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为0，即，根据根的判别式可得，据此求解即可．
解：∵方程是关于x的一元二次方程，且有两个实数根，
∴，即．
解得且．
6．B
因为已知，所以先对其进行变形，求出的值，同时推导的整式关系式，用于降次．如果得到的整式关系式，那么利用该关系式对进行降次化简，最后将降次后的结果与的计算结果合并，代入求值．
解：已知 ，
移项，得 ，
两边平方，得，
展开得，
∴ ，
∴，
∴
．
对 分母有理化，
∴
∴ 原式．
7．A
利用平移的性质，将道路平移到矩形边缘，使草坪拼成一个新的矩形，根据面积公式列一元二次方程求解．
解：设道路的宽为，根据题意，利用平移法可将草坪拼成一个长为，宽为的矩形，
∴，
整理得，即，
解得，，
∵道路宽不能超过矩形的宽，即，
∴不合题意，舍去.
∴道路的宽为．
8．A
本题考查了中位数、众数、平均数的计算及数据统计，掌握中位数是排序后中间两数的平均数，众数是出现次数最多的数，平均数是总和除以个数是解题的关键．
先整理个月阅读总量数据，再分别计算中位数、众数、平均数，统计本以上的月份数，逐一验证选项．
解：从折线图中读取月的阅读量：．
A、将数据从小到大排序为，共个数，中位数是第、个数的平均数，即，A正确，符合题意；
B、出现次，次数最多，众数是本，B错误，不符合题意；
C、平均数为 （本），C错误，不符合题意；
D、阅读量在本以上的有，共个月，D错误，不符合题意；
故选：A．
9．D
延长交于点F，证明，再利用三角形中位线求解即可；
解：延长交于点F，
∵平分，，
∴，
，
∴，
∴，，
∵D是中点，
∴，
∴,
∵，
，
故
故；
10．A
过点作交于，过点作交于，根据正方形的性质及平行四边形的判定和性质得出四边形是平行四边形，，同理可得四边形是平行四边形，，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形求解即可．
解：过点作交于，过点作交于，交于点O，
四边形是正方形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
同理可得四边形是平行四边形，
，
，，，
，
，
又，
，
在和中
，
，
由图可知，，
，
，
．
11．
根据分式和二次根式有意义的条件列出不等式，求解不等式即可得到的取值范围．
解：由题意得：且，
解得：．
12．
根据一元二次方程中未知数的最高次数为2，可得，根据二次项系数不为0，可得，据此求解即可．
解：由一元二次方程的定义得
解得，
即，
解得，
因此的值为．
13．13
根据方差的计算公式，得到这组数据，根据平均数的计算公式进行计算即可．
解：由题意，平均数为：．
14．3
利用三角形的面积公式求出的高，再根据平行四边形的性质对边相等，将求的最小值转化为求的最小值，点到直线垂线段最短，所以当与的高重合时，取得最小值．
解：如图所示，过点作垂直，交于点，
∵的面积是，
∴，解得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴当最小时，也最小，
当与重合时，最小值为，即的最小值为．
15．8
先设出价格提高的金额，分别表示出单个手办的利润和每天的销售量，根据总利润等于单个利润乘以销售量列出一元二次方程，求解后根据“让顾客得到优惠”的条件选取符合要求的解即可．
解：设每个手办的单价提高元，则定价为元/个，单个手办的利润为元，每天的销售量为个，
根据题意，可得：，
整理得：，
因式分解得：，
解得：，，
当时，定价为元/个，
当时，定价为元/个，
因为要让顾客得到优惠，因此选择较低的定价元/个．
16．②③
①由翻折的性质，，在中利用勾股定理列方程，即可求解；
②由，是等腰三角形与三角形外角和定理，即可证得结论；
③根据两直线平行，内错角相等可知，，，即可证得结论；
④由翻折的性质，四边形与四边形关于轴对称，与关于轴对称，连接，，由三角形两边之和大于第三边，得到的最小值为，利用勾股定理即可求解．
解：①由翻折的性质，，
因为四边形是矩形，
所以，，，
因为为中点，所以，
设，，
在中，，，
解得，结论错误；
②为中点，作交于，连接，
因为四边形是矩形，
所以，，，
所以，
，
所以四边形，是矩形，
在与中，
，
所以，
所以，
在中，，
所以，
所以，结论正确；
③因为，
所以，，
所以，结论正确；
④由翻折的性质，四边形与四边形关于轴对称，
与关于轴对称，连接，，
所以，
所以，
所以当三点共线时，的最小值为，
此时在中，，结论错误．
17．(1)9
(2)2
(3)
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
18．(1)，
(2)，
（1）解：
或
解得，；
（2）解：
解得，．
19．(1)，，
(2)通过箱线图可知，A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健．
（1）根据四分位数和中位数的计算公式进行计算即可；
（2）从箱线图获取信息作答即可．
（1）解：将A公司的数据排序：2.02，2.15，3.18，3.21，3.64，3.85，3.98，4.10，4.11，4.77，4.88，4.89，
∵第6个和第7个数据分别为3.85，3.98，
∴；
B公司的数据排序：3.18，3.40、3.60，3.67，3.84，3.87，3.91，3.99，4.10，4.15，4.21，4.44，
∵第3个和第4个数据为3.60和3.67，第9个和第10个数据为4.10和4.15，
∴；
（2）解：由图可知：A物流公司的产品配送时效的中位数与B物流公司相差不大，故可知两个公司的配送时效基本一样，但A物流公司的产品配送时效明显比B物流公司的配送时效的波动性大，即B物流公司的配送时效更稳健．
20．(1)
(2)第n个等式：，证明见解析
(3)2026
（1）观察已知条件中的等式，找出等式中数字的变化规律，写出答案即可；
（2）根据（1）中发现的规律，用含n的式子表示第n个等式，然后通过对左边进行化简证明等式成立即可；
（3）利用（2）中得出的规律对所求式子进行化简，然后计算即可．
（1）解：∵第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
第5个等式：；
第6个等式：；
（2）解：由（1）及题意可得：第n个等式：，
证明：∵n为正整数，
∴
，
∴；
（3）解：
．
21．(1)
(2)2万元
（1）设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x，再根据3月份销售量列出方程，求出解；
（2）设每架无人机的价格下调a万元，根据利润等于单位利润乘以销售量列出方程，求出解即可．
（1）解：设从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得，（不合题意，舍去）．
答：从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长率为；
（2）解：设每架无人机的价格下调a万元，由题意得：，
化简得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴（万元）．
答：下调后每架无人机的售价为2万元．
22．(1)见解析
(2)
（1）易得是的中位线，则，结合，即可得出结论；
（2）根据三角形的中位线定理，平行四边形的性质，得到，勾股定理求出的长即可．
（1）解：∵垂直平分交于点，
∴，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，，
∴，
又∵，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：∵四边形为平行四边形，
∴，
由（1）可知：，
∴，
∵垂直平分交于点，，
∴．
23．(1)见解析；
(2)；
(3)四边形是矩形，证明见解析．
（1）判断出，即可得出结论；
（2）根据矩形的性质，证明为等边三角形，即可得出结论；
（3）利用等边三角形的性质及（1）的结论证明，继而可得出结论．
（1）证明：∵，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴；
（3）解：四边形是矩形，
∵四边形是平行四边形．
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴四边形是矩形．
24．(1)折痕的长为；
(2)；关于的函数关系式为．
（）当点与点重合，此时与重合，连接，，由四边形是矩形，则，，，通过折叠性质可得，，设，则，由勾股定理得，即，然后求出的值即可；
（）如图，过作于点，作于点，连接，则，证明四边形是正方形，则，证明，所以，可证是等腰直角三角形，通过勾股定理得，然后求出，，从而可得；
如图，过作于点，作于点，连接，则，由折叠性质可知，同得是等腰直角三角形，，由四边形是正方形，得，通过勾股定理得，，所以，通过勾股定理可得，则，从而得，故关于的函数关系式为．
（1）解：当点与点重合，此时与重合，
如图，连接，，
∵四边形是矩形，
∴，，，
由折叠性质可得，，，
∴，
∴，
设，则，
由勾股定理得，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴，
∴折痕的长为；
（2）解：如图，过作于点，作于点，连接，则，
由折叠性质可知，，
∵四边形是正方形，
∴，平分，
∴，
∴四边形是矩形，
∵平分，，，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
当点为的中点时，
∴，
∴，
∴；
如图，过作于点，作于点，连接，则，
由折叠性质可知，，
同得是等腰直角三角形，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
，
∵，
∴，
∴，
∴关于的函数关系式为．

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