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2025—2026学年八年级下册期末检测卷05
数 学
（测试范围：八年级下册浙教版2024，第1-5章）
（ 全卷满分120 分，考试时间120 分钟）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（每题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）．
A． B． C． D．
2．若二次根式有意义，则实数的值可以是（　　）
A．0 B． C． D．2
3．晓慧同学为了在明年的中考体育考试中取得最好的成绩，每天自己在家里练习一分钟仰卧起坐，妈妈统计了她连续六天内仰卧起坐的个数：28，25，30，27，30，26．按照“组内离差平方和达到最小”的方法分成两组，则组内离差平方和的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
4．关于的方程的两个根满足，则的值为（ ）
A．5 B． C． D．1
5．如图，在中，四边形为平行四边形，，，则平行四边形的周长为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．我国政府越来越关注民生问题，按相关部门要求，某种药品连续两次降价，每盒售价由原来的元降到元，平均降价率为（ ）．
A． B． C． D．
7．下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，，，点为边上任意一点，连接，将沿方向平移至，连接、，则的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．2
9．如图所示，点O是矩形的对角线的中点，点为的中点，连接、、．若，，则的周长为（ ）
A．40 B． C． D．56
10．如图，正方形的周长为，以它各边的中点为顶点作四边形，再以四边形各边的中点为顶点作四边形如此下去，则四边形的周长为（ ）
A． B． C． D．
填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．某人5次射击练习，命中的环数分别为6，10，7，x，9．若这组数据的平均数为8，则这组数据的方差为____．
12．若，则化简的结果是_______．
13．思维拓展：已知实数s，t分别满足，则____________
14．如图，将绕顶点B顺时针旋转到，当首次经过顶点C时，此时旋转角的度数等于，则的度数等于______°．
15．如图，在菱形中，，点E是边的中点，点P是对角线上的动点，连接、，则的最小值为___________．
16．如图，点为正方形的对角线上的任意一点，于点，于点，连接．若正方形的边长为，则的最小值为______．

三、解答题（第 17，18，19，20，21 题每题 8 分，第 22，23 题每题 10 分，第 24 题 12 分，共 72 分）
17．计算下列各题
(1)．
(2)．
18．解方程
(1)；
(2)；
(3)．
19．为了宣传“国家安全、人人有责”，学校组织了国家安全知识竞赛活动，并从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的测评成绩（成绩用x表示，且为的整数）进行整理、描述和分析（成绩分为四组，A：，B：，C：，D：）．下面给出了部分信息：
八年级20名学生的测评成绩：70，74，76，79，81，82，87，87，87，90，90，94，95，96，97，98，98，99，100，100．
九年级20名学生测评成绩在C组的是：83，84，86，87，89，89．
年级 平均数 中位数 众数 方差
八 89 90 b 83
九 89 a 92 81.8
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的______，_____，______；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识测评成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若成绩不低于90分为优秀，该校八年级有500名学生、九年级有600名学生，请估计该校八、九年级学生成绩达到优秀的人数共有多少？
20．【观察规律】
观察下列式子：，，
，
【类比分析】
(1)按照上述式子的书写格式，再接着写出两个同类型的式子；
【推理证明】
(2)用含n（，且n是正整数）的式子表示上述规律，并给出证明；
【创新应用】
(3)按此规律，若（a，b为正整数），求的值．
21．坐落于苏州金鸡湖畔的“苏州之眼”摩天轮，是全球八大太空舱摩天轮之一、也是亚洲最大的水上摩天轮，为纪念其正式运营，某电商平台推出一款“苏州之眼”摩天轮模型纪念品，引发文旅消费热潮．
(1)据统计，某电商平台2025年3月的销售量是3万件，2025年5月的销售量达到4.32万件．若月平均增长率相同，求月平均增长率；
(2)苏州观前街某实体店“苏州之眼”摩天轮模型的进价为每件65元，若售价定为每件75元，每天可售出20件，市场调研发现，售价每降低1元，每天销量可增加5件，为配合“江南文化节”推广，商家决定降价促销，同时尽量减少库存．若使每天销售后获利240元，售价应降低多少元
22．如图，是的中点，，交于点，，且．
(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)若，，，连接．求的长．
23．如图，在正方形中，，E为对角线上一动点，连接，过点作交于点，以，为邻边作矩形，连接．
(1)求证：矩形是正方形；
(2)探究之间的数量关系，直接作答无需证明．
24．综合探究
数学老师在课堂上给出了一个问题，让同学们探究．如图1，在中，，，点是线段上一动点（不与点重合），点是线段上一动点（不与点重合），且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，求．
(1)问题特殊化：如图2，当点运动到点时，的度数是________；
(2)探究问题：当点和点不重合时，上述结论是否仍然成立？请说明理由：
(3)拓展延伸：如图3，连接，若，当是等腰三角形时，请直接写出的面积．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B C D B C B C A
1．C
根据中心对称图形、轴对称图形的概念求解．
解：A、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
B、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；
C、该图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故正确；
D、该图案是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误．
2．D
解：∵二次根式有意义
∴被开方数满足
解得
观察选项，只有D选项满足条件．
3．B
先将数据从小到大排序，枚举所有合理分组，分别计算各组的组内离差平方和（组内每个数据与组平均数差的平方和），比较后得到最小值.
解：将数据从小到大排列得：，
当分组为，
则，
的平均数为，
，
∴，
当分组为时，同法可得：；
当分组为3个数和3个数时，要使“组内离差平方和达到最小”，则应分组为和，
第一组平均数，
，
第二组平均数，
，
总离差平方和；
当分组为时，同法可得，
当分组为时，同法可得；
组内离差平方和的最小值为.
4．C
利用一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求解出两个根，再代入求解．
解：∵方程的两根为，，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
代入得，，
解得．
5．D
本题主要考查平行四边形的性质，利用两直线平行，同位角相等，得到，所以，求出即可求出周长．
∵四边形为平行四边形，
∴，，,
∴，
∵
∴
∴，
∵,
∴
∴平行四边形的周长为．
6．B
设平均降价率为，根据两次降价后的价格关系列方程求解即可．
解：设平均降价率为，
根据题意，可列方程：，
整理，得，
解得，（舍去），
∴平均降价率为．
7．C
解：对选项A：，计算正确．
对选项B：，计算正确．
对选项C：与的被开方数不同，不是同类二次根式，不能合并，原式计算错误．
对选项D：由平方差公式得，计算正确．
8．B
作于点，作，当，即点在处时，的值最小，为的长，利用勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，求出，即可得到答案．
解：如图，作于点，作，当，即点在处时，的值最小，为的长，
，，，
，
由平移得，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
的最小值为．
9．C
先求出的长，根据直角三角形的性质可得，再利用勾股定理可得的长，然后根据三角形的中位线定理可得，由此即可得．
解：∵四边形是矩形，且，，
∴，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
又∵点是的中点，点为的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴的周长为．
10．A
由题意易得，则有，然后可得正方形的周长为，同理可得正方形的周长为，进而根据规律可进行求解．
解：∵四边形是正方形，且周长为，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴，
∴正方形的周长为，
同理可得正方形的周长为，
由此可知：正方形的周长为．
11．2
先根据平均数的定义求出的值，再根据方差计算公式求解即可．
解：由题意得，，
∴，
∴这组数据的方差为．
12．3
解：∵，
∴，
∴
．
13．
根据题意可知s与是方程的两个根，由根与系数的关系分别求出两根的和与两根的积，代入代数式即可求出代数式的值．
解：∵，
∴，
方程两边除以得到：，
即，
∴s与是方程的两个根，
∴，，
∴，
故的值为．
14．69
由旋转的性质得出，由等腰三角形的性质得出，即可求解．
解：∵将绕顶点B顺时针旋转到，
∴，
∴，
∴．
15．
如图，连接PB，BE，，交于点，证明，，即当点与点重合时，的值最小，最小值为的长，再进一步求解即可．
解：如图，连接PB，BE，，BE交于点，
点与点关于菱形的对角线对称，
，
，即当点与点重合时，的值最小，最小值为的长．
在菱形中，，，，
∴，
是等边三角形．
是的中点，
．
，
，
，
的最小值为．
16．3
通过连接，利用矩形的性质转化线段关系，从而证明，当时，取得最小值，即取得最小值，据此求解即可．
解：如图，连接．
四边形是正方形，
∴，，
，，
，
四边形是矩形，
，
当时，取得最小值，即取得最小值，
∵正方形的边长为，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴的最小值为3．
17．(1)
(2)
（1）解：
；
（2）解：
．
18．(1)，
(2)，
(3)，
（1）解：，
移项得：，
方程两边同除以2得：，
开平方得：，
解得：，；
（2）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，；
（3）解：，
，，，
∴，
∴，
即，．
19．(1)88，87，40
(2)九年级学生的知识测评成绩更好，两个年级的平均数相同，九年级的众数高于八年级，方差小于八年级
(3)515人
（1）根据众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数、众数、方差的意义求解即可；
（3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可．
（1）解：根据扇形图可知，九年级测评成绩在A、B的人数为（人），
又20名学生测评成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值，
所以中位数，
根据数据，八年级20名学生的测评成绩中，87出现次数最多，
所以众数，
九年级20名学生测评成绩在D组的人数是，
∴，
∴；
（2）解：九年级学生的知识测评成绩更好，
因为两个年级的平均数相同，九年级的众数高于八年级，方差小于八年级，
故九年级的学生测评成绩更好．
（3）解：（人）．
答：估计该校八、九年级学生参加此次知识测评成绩达到优秀的共有515人．
20．(1)
，
(2)
（，为正整数），证明见解析
(3)
（1）按照给定格式，可得符合规律的两个式子；
（2）先根据已知式子的特征总结出通用规律，再利用二次根式的化简性质证明规律；
（3）由总结的规律可知，，，即可求得答案．
（1）解：按照给定格式，可得符合规律的两个式子：
，
；
（2）解：规律为：（，为正整数），
证明： ∵左边，右边，
∴左边右边，等式成立；
（3）解：由（2）可知，（，为正整数），
∵（a，b为正整数），
∴，，
∴，
．
21．(1)月平均增长率为；
(2)售价应降低4元．
（1）设出未知数，利用“初始销量×(1+月平均增长率) =最终销量”列一元二次方程，舍去不符合题意的负根，即可得到结果．
（2）设出降价金额，分别表示出每件商品的利润和降价后的销量，利用“总利润=每件利润×销量”列一元二次方程，结合“尽量减少库存”的要求，选择符合题意的解即可．
（1）解：设月平均增长率为x，
根据题意得，
解得：，（舍去）
答：月均增长率为．
（2）解：设售价应降低x元，则每件盈利为元，即元，销量为：件，
由题意得，，
解得，，
尽量减少库存，
，即售价应降低4元．
答：若使每天销售后获利240元，售价应降低4元．
22．(1)见解析
(2)
（1）根据三角形中位线定理得，即，然后结合得到四边形是平行四边形；
（2）根据三角形中位线定理，由平行四边形的性质可得，而，，根据勾股定理得．
（1）证明：∵，交于点，，
∴是的中点，
∵是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：∵是的中位线，，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，，
∴．
23．(1)见解析
(2)
（1）过点E作于点，于点，先根据角平分线的性质得到，然后证明四边形是矩形，得到，从而得到，然后证明得到，即可证明矩形是正方形；
（2）证明得，进而推出，由此利用勾股定理求解即可．
（1）证明：如图所示，过点E作于点，于点，
∴，
∵四边形是正方形，
，
∵，，
．
∵，
∴四边形是矩形．
．
∵
．
．
．
．
∴矩形是正方形；
（2）解：．
证明：∵四边形是正方形，四边形是正方形，
，，．
．
，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴．
24．(1)
(2)成立，理由见解析
(3)4或
（1）由旋转的性质结合等边对等角以及三角形的外角性质求解即可；
（2）在上截取，连接，证明，推出，，再求得，据此求解即可；
（3）分三种情况讨论，结合图形求解即可．
（1）解：当点运动到点时，
∴，
∴点是的中点，由旋转的性质得，，
∴，
∴，即；
（2）解：成立，理由如下，
在上截取，连接，
由旋转的性质得，，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由（2）知，
∵，，
∴，
∴，
当时，
∴，则，
∵，，
∴，
∴；
当时，作于点，
∵，
∴是等腰直角三角形，
同理，
∴；
当时，
点在延长线上，不符合题意；
综上，的面积为4或．(共5张PPT)
浙教版2024 八年级下册
八年级数学下册期末检测卷05
（浙教版2024，测试范围：第1-5章） 试卷分析
二、知识点分布
一、单选题
1 0.95 轴对称图形的识别；中心对称图形的识别
2 0.85 二次根式有意义的条件；求一元一次不等式的解集
3 0.65 求离差平方和
4 0.77 解一元二次方程——直接开平方法；一元二次方程的根与系数的关系
5 0.65 根据等角对等边求边长；利用平行四边形的性质求解
6 0.71 增长率问题(一元二次方程的应用)
7 0.7 二次根式的乘法；二次根式的除法；同类二次根式
8 0.5 利用平移的性质求解；垂线段最短；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形
9 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；斜边的中线等于斜边的一半；根据矩形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
10 0.65 根据正方形的性质求线段长
二、知识点分布
二、填空题
11 0.85 求方差；已知 平均数求未知数据的值
12 0.73 利用二次根式的性质化简；带有字母的绝对值化简问题
13 0.65 一元二次方程的根与系数的关系
14 0.65 根据旋转的性质求解；等边对等角；利用平行四边形的性质求解
15 0.65 化为最简二次根式；等边三角形的判定和性质；用勾股定理解三角形；利用菱形的性质求线段长
16 0.65 根据矩形的性质求线段长；根据正方形的性质求线段长；用勾股定理解三角形
二、知识点分布
三、解答题
17 0.72 二次根式的混合运算
18 0.67 解一元二次方程——直接开平方法；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
19 0.61 求众数；根据方差判断稳定性；由样本所占百分比估计总体的数量；求中位数
20 0.65 利用二次根式的性质化简；数字类规律探索
21 0.72 增长率问题(一元二次方程的应用)；营销问题(一元二次方程的应用)
22 0.65 与三角形中位线有关的求解问题；与三角形中位线有关的证明；利用平行四边形的性质求解；证明四边形是平行四边形；用勾股定理解三角形；利用平行四边形的判定与性质求解
23 0.55 全等三角形综合问题；角平分线的性质定理；根据正方形的性质与判定证明；用勾股定理解三角形
24 0.32 全等的性质和SAS综合（SAS）；根据旋转的性质求解；等腰三角形的性质和判定；等边对等角；三角形的外角的定义及性质；用勾股定理解三角形

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