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彭山一中2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题
一、单选题（每题5分，共40分）
1．若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A．2 B．1 C．2或1 D．0或1
2．的值为（ ）
A． B． C．0 D．
3．已知，则（ ）
A．1 B． C． D．
4．如图所示，矩形是水平放置一个平面图形的直观图，其中，则原图形的面积为（ ）
A．12 B．
C．24 D．
5．如图所示，为测量一棵树的高度，在地面上选取A，B两点（A，B，H三点共线），从A，B两点分别测得树尖P的仰角为，，且A，B两点之间的距离为，则树的高度为（ ）
A． B． C． D．
6．为了得到函数的图象，只需将的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知平面向量，且.已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每题6分，共18分）
9．关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（ ）
A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行
B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线
C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行
D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点
10．已知函数的部分图像如图所示，则（ ）
B．
C．直线是函数图象的一条对称轴
D．在的值域为
11．在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足.下列说法正确的有（ ）
A．
B．的取值范围为
C．取值范围为
D．若的平分线交于，，，则
三、填空题（每题5分，共15分）
12．若复数，则___________
13．已知向量，，且，则k =______.
14．在锐角△ABC中，，则的最小值为__________.
四、解答题（15题13分，16、17题15分，18、19题17分，共77分）
15．已知向量.
(1)若，求的值；
(2)记，求函数的最大值和最小值及对应的的值.
16．（1）求值：；
（2）已知都是锐角，，求的值.
17．已知分别为△ABC三个内角的对边，且．
(1)求；
(2)若是边的中点，，求△ABC面积的最大值．
18．如图所示正四棱锥，，，为侧棱上的点，且，求：
(1)正四棱锥的表面积；
(2)若为的中点，求证：平面；
(3)侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
19．在凸四边形中，．
(1)若，，，四点共圆，，，．
①求四边形的面积；
②求的值；
(2)若，，，求的值．
《彭山一中2025-2026学年高一下学期5月阶段检测数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 A B D A C C B D BD ACD ABD
12． 13． 14．10
15．【详解】（1）由向量.
因为，所以 ，解得，
又因为，所以；
（2）由，
因为，所以，
当时，即时，；
当时，即时， ．
16．【详解】（1）
；
（2）∵是锐角，；
∵都是锐角，，所以.
，，
.
17．【详解】（1）方法1：由正弦定理可化为
，
∴，∴．
∵，∴，
∵，∴．
方法2：∵，由余弦定理得
，
化简可得，∴，
∵，∴．
（2）∵为边中点，∴，
∴，
∵，∴，
∵（当且仅当时等号成立），
∵，
∴，∴面积的最大值为．
18．【详解】（1）在正四棱锥中，，
则正四棱锥侧面的高为，
所以正四棱锥的表面积为；
（2）如图，连接交于点O，连接，则O为AC的中点，
当M为SA的中点时，，
又平面平面，
所以平面；
（3）在侧棱上存在点E，使得平面，满足.
理由如下：
取的中点Q，由，得，
过Q作的平行线交于E，连接，，
中，有，又平面，平面，
所以平面，由，得.
又，又平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，而平面，
所以平面.
19【详解】（1）①因为，，，四点共圆且，
所以，则，
在中由余弦定理，又，
所以，解得（负值舍去），
所以，则，
在中由余弦定理，又，
所以，解得或（舍去），
所以，
所以，
所以；
②由①在中由余弦定理，
即，则，
所以，
在中由余弦定理，
即，则，
所以，
即，所以，
所以.
（2）设，，则，则，，
又，所以，
在中，由正弦定理可得，
即，
∴，即，
∴
，
故，
又，解得，
又由正弦定理有，
故，
所以.
1

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