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河北唐山市第十一中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
1．复数的虚部为（ ）
A． B． C．1 D．3
2．已知四边形中，，并且，则四边形是（ ）
A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．长方形
3．一个几何体由5个面围成，则该几何体可能是（ ）
A．三棱锥 B．四棱柱 C．三棱台 D．五棱锥
4．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则（ ）
A．5 B． C． D．
6．在中，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．在中，三个内角，，所对的边分别为，，，已知，，则=（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在正三棱锥中，，侧棱长为4，过点C的平面与侧棱AB，AD分别交于，，则的周长的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
二、多选题
9．设为复数（为虚数单位），下列命题正确的有（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
10．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知，，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．的面积为
C． D．
11．如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（ ）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
三、填空题
12．的化简结果为________.
13．已知复数z满足：，则复数 __________.
14．如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为_______．
四、解答题
15．（1）设，其中，为实数，求，的值；
（2）设复数，其中. 所对应的点在复平面的第四象限内，求的取值范围.
16．（1）已知平面向量，的夹角为，且，，求的值；
（2）平面内给定两个向量，．
①求，夹角的余弦值；
②求．
17．在中，，，．
(1)求A的大小；
(2)求外接圆的半径与内切圆的半径．
18．如图，三棱柱内接于一个圆柱，且底面是正三角形，圆柱的体积是，底面直径与母线长相等．
(1)求圆柱的底面半径；
(2)求三棱柱的体积．
19．的内角的对边分别为，已知
(1)求角的大小；
(2)若，，判断三角形形状．
参考答案
1．C
解：，
故复数的虚部为．
2．A
【详解】由题意，四边形中，
因为，可得且，所以四边形为平行四边形，
又因为，可得，
所以四边形为菱形.
故选：A.
3．C
【详解】三棱锥由4个面围成，四棱柱和五棱锥均由6个面围成，三棱台由5个面围成．
故选：C.
4．C
【详解】由正弦定理可得．
故选：C
5．A
【详解】.
故选：A
6．A
【详解】由，得.
.
7．D
【详解】由，得，即.
由余弦定理得.
中，，所以.
8．C
【详解】根据题意，把正三棱锥侧面沿展开，
所以的周长为，
在正三棱锥中，，侧棱长为4，
所以，
， ，
故选：C.
9．ACD
【详解】对于A选项，若，则，故A对；
对于B选项，不妨取，则，但不是实数，故B错；
对于C选项，若，则，可得或，故C对；
对于D选项，若，则，故D对．
10．AB
【详解】对于A，根据余弦定理，
得，因此，故A正确；
对于B，根据三角形面积公式，
可得，故B正确；
对于C，根据正弦定理，，
可得，故C不正确；
对于D，因为，
所以，故D不正确．
故选：AB.
11．ABC
【详解】对于A：圆柱的侧面积为，所以A选项正确．
对于B：圆锥的侧面积为，所以B选项正确．
对于C：圆锥的体积为，圆柱的体积为，
球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，所以C选项正确．
对于D：球的表面积为，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，所以圆锥的表面积最小，故D错误.
故选：ABC.
12．
【详解】.
13．
【详解】由，得.
14．
【详解】由题意，所以，可得为直角三角形，
所以，
根据题意，将直观图还原为原图，如图所示，
可得为直角三角形，其中，
由勾股定理得，
所以的周长为．
故答案为：.
15．（1）， （2）
【详解】（1）由，得，
所以，.
（2）复数在复平面内对应的点的坐标为.
由题意知，解得，所以，
故的取值范围为：.
16．（1）
（2）①；②
【详解】（1）.
（2）①.
②，
则.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由余弦定理得，
因为，所以．
（2）设外接圆的半径与内切圆的半径分别为，，由正弦定理得，则．
的面积，
由，得．
18．(1)2；
(2)
【详解】（1）设圆柱的底面圆直径为，则该圆柱的高为，其体积，解得，
所以圆柱的底面半径为2.
（2）由（1）知，正外接圆半径为2，则边长，
所以三棱柱的体积.
19．(1)
(2)是等腰直角三角形
【详解】（1）已知，由正弦定理将边化为角可得，
即，
可得，
因为，所以，则，
那么，
因为是三角形内角，所以，等式两边同时除以可得，
即，
又因为，所以；
（2）已知，由余弦定理，代入可得：，即，
化简得，所以，又，则，
由余弦定理，已知，，，
则，所以，
因为，且，所以是等腰直角三角形.

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