资源简介

重庆市巴蜀中学 2026届高三 5月高考模拟考试
数学试题
★祝大家学习生活愉快★
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分，每小题只有一个选项符合要求
1.若集合M= -2,-1,0,1,2,3 ,N= x∣x=2k-1,k∈Z ,则M∩N=
A. -1,0,1 B. 1,3 C. -2,0,2 D. -1,1,3
x
2.函数 y= 4-2x+1 的定义域是
A. -1,2 B. 2,+∞
C. -∞,-1 ∪ -1,2 D. -∞,-1 ∪ 2,+∞
3.在等比数列 an 中,命题 A :数列 an 的首项 a1> 0且公比 q> 1 ,命题 B :数列 an 是递增数列.则命题
A是命题 B的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.将一个半径为 1的铁球熔化后,浇铸成一个正四棱台形状的铁锭,若这个铁锭的上、下底面边长分别为 1
和 2 ,则它的高为
A. 4π B. 8π C. 16π D. 32π7 7 7 7
5.已知 A -2,0 , B 1,0 ,若直线 3x- 4y+m= 0上存在点 P满足 PA = 2 PB ,则实数m的最大值是
A. - 26 B. - 16 C. 4 D. 14
6.我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了影长 l与太阳天顶距 θ 0°≤θ<90° 的
对应数表,这是世界数学史上较早的一张正切函数表.根据三角学知识可知,晷影长 l等于表高 h与太阳
天顶距 θ正切值的乘积,即 l= htanθ.对同一“表高”测量两次,第一次和第二次太阳天顶距分别为 α , β ,
若第一次的“晷影长”是“表高”的 2倍,且 tan 1 α-β = 3 ,则第二次的“晷影长”是“表高”的
A. 23 倍 B. 1倍 C.
5
2 倍 D.
7
2 倍
7.已知函数 f x = lg x2+1-x ,若 f a + f b-1 = 0 ,则 a2+ b2的最小值是
A. 1 B. 2 C. 14 D.
1
2
数学试题 第 1 页 共 4 页
2 2
8.已知 P是椭圆 E : x + y2 2 = 1 a>b>0 上一点，F1，F2是椭圆的两个焦点，∠F1PF2= 60°，∠PF1F2=a b
3∠PF2F1 ,则椭圆 E的离心率为
A. 1 2 3 32 B. 2 C. 2 D. 3
二、多选题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
9.已知向量 a= -1,2 , b= 3,4 ，则下列说法正确的是

A. a b B. a ⊥ a -b

C. a b 5 D. a b 3 4与 夹角的余弦值为 5 在 上的投影向量为 5 , 5
10.一个正四面体的四个面上分别标以数字 1 , 2 , 3 , 4 ,将其随机抛掷两次,记与地面接触面上的数字依次
为 x1 , x2 ,事件 A : “x1= 2”,事件 B : “x2= 3”,事件C : “x1x2= 6”,事件D : “x1+ x2= 5”,则
A. A与 B互斥 B. C D C. A+ B=D D. B与D相互独立
x
11.已知函数 f x = xe x ,数列 x 满足: e
xn+1= f x , n∈N * , x = 1且 ,下列说法正确的是
e -1 n n 1 2
A. 当 x> 0时, f x > 1 B. xn> 0
C. 1 xn 是递增数列 D. exn-1 < 2n-1
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分
12. 1已知 i是虚数单位,复数 z = 2- i ,则 z z
= .
13. a已知首项和公差都不为 0的等差数列 a ,其前 n项和为 S ,且 1
+a2 = 1 , a则 3+a4n n S = .3 2 S5
14. π当 x∈ 0,π 时,曲线 y= sin ωx- 3 ω>0 的图象与曲线 y= sinx的图象有唯一交点,则正实数ω的
取值范围是 .
四、解答题：本题共 5小题，共 77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.已知△ABC中,内角 A , B ,C的对边分别为 a , b , c ,满足 a2+ c2= b2+ 2ac.
(1)求 B；
(2)若 bcos2A+ 2acosAcosB= 0，D是 BC边上一点，且∠BAC= 3∠BAD AB BC，求 2 的值.AD
数学试题 第 2 页 共 4 页
16.如图，在四棱台 ABCD- A1B1C1D1中，AD BC，∠ADD1= 90°，∠BCD= 60°；AD=DC= BD1= 2，A1D1
=DD1= BC= 1.
(1)证明:DD1⊥平面 ABCD ;
(2)求平面 A1ADD1与平面 B1BCC1夹角的余弦值.
D1 C1
A1 B1
D C
A B
17.已知函数 f x = 1-2x lnx+ ax- 1.
(1)若 a= 1 ,求 f x 的最大值;
(2)若 f x 有两个零点，求实数 a的取值范围.
数学试题 第 3 页 共 4 页
18.已知一个不透明的箱子内装有大小质地一样,只有颜色不同的 6个小球,其中 4个红球, 2个白球,现从箱
子内不放回地逐一依次取球,当箱子内的小球颜色只剩一种时就停止取球.用 X表示停止取球时取出的
两种颜色小球的个数之和,用 Y表示停止取球时箱子内剩余的白球个数.
(1)求 P X=4 ；
(2)求 P X+Y≤5 ；
(3)求 Y的分布列及期望.
19.已知抛物线 x2= 4y , F为其焦点，P x0,y0 为抛物线外一点，过 P作抛物线的切线，切点分别为 A，B，点
C为抛物线弧 AB上的动点,抛物线在C处的切线分别交 PA , PB于点D , E.
(1)证明: AF ， PF ， BF 成等比数列；
(2)若过点 P 3,-2 作抛物线的两条切线 PA , PB，分别交 x轴于M，N两点，求△PMN的外接圆方程；
(3)当 P x0,y0 为一给定的定点时,求四边形 ABED面积的最小值 (结果用 x0 , y0表示).
数学试题 第 4 页 共 4 页
参考答案
1. D
【解析】N为奇数集合,M中的奇数有-1 , 1 , 3 ,所以M∩N= -1,1,3 .
2. C
4-2x 4-2x≥0
【解析】要使函数 y= x+1 有意义,则 x+1≠0 ,解得 x≤ 2且 x≠-1.
3. A
【解析】当 a1> 0 , q> 1时,则 an+1- an= a qn-11 q-1 > 0 ,即 an+1> an ,所以数列 an 为递增数列,若数
1
列 an 为递增数列,不妨取 a1=-2 , q= 2 ,此时数列为:-2 ,-1 ,-
1
2 ,-
1
4 , ,是递增数列,但是不满
足 a1> 0 , q> 1 ,综上可知, A能推出 B , B不能推出 A ,所以命题 A是命题 B的充分不必要条件.
4. A
4
【解析】球的体积为V = 31 3 πr =
4π
3 ,
1
设铁锭的高为 h ,则正四棱台的体积为V = 122 3 +2
2+ 1×4 h=
7h
3 ,由V
4π 7h 4π
1=V2 ,可得 3 = 3 ,解得 h= 7 .
5. C
【解析】设 P x,y ,则 x+2 2 +y2= 2 x-1 2 +y2 ,平方化简得 x-2 2 + y2= 4 ,问题转化为直线 3x
3×2-4×0+m
- 4y+m= 0与圆 x-2 2 + y2= 4有公共点,∴

5 ≤ 2 ,化简得 m+6 ≤ 10 ,解得-16≤
m≤ 4 ,∴实数m的最大值为 4.
6. B
1
【解析】由第一次的“晷影长”是“表高”的 2倍得, tanα= 2 ,又 tan α-β = 3 ,∴ tanβ= tan α- α-β
1
tanα- tan α-β 2-= = 3 1 = 1,∴第二次的“晷影长”是“表高”的 1倍.1+ tanαtan α-β 1+2× 3
7. D
【解析】∵ f x + f -x = lg x2+1-x + lg x2+1+x = 0,∴ f x 是奇函数,又∵ f x 在 R上单调
递减，f a + f b-1 = 0 ,∴ f a =- f b-1 = f 1-b ,∴ a= 1- b，即 a+ b= 1，∴ a2+ b2≥
1 1 1
2 a+b
2 = 2 ,当且仅当 a= b= 2 时,等号成立.
8. D
F F
【解析】设∠PF1F2= α , ∠PF2F1= β ,则 α= 90° , 2c
1 2
即 β= 30° ,所以离心率 e= 2a = = PF1 + PF2
3
sin∠F1PF2 2 3
sinα+sinβ = 1 =+1 3
.
2
9. BCD

【解析】由 a= -1,2 , b= 3,4 ,-1× 4- 2× 3=-10≠ 0 , a 则 与 b不平行,故选项 A错误;

a - b= -4,-2 , a a -b = 4- 4= 0 , a ⊥ a 则 -b ,故选项 B正确;
a b a b
a b=-1× 3+ 2× 4= 5 , a = -1 2 +22= 5 , b = 32+42= 5 , cos< a , b>= = =
a b 5 5
参考答案 1 页 共 6 页
5 ,故选项C正确;
5
a

b b = 5 × b 1

5 5 = 5 b=
3
5 ,
4 , a 5 即 在 b上的投影向量为 b b
3 , 45 5 ,故选项D正确.
10. BD
【解析】设样本空间Ω= x1,x2 ∣1≤x1,x2≤4,x1,x2∈Z ,则事件 A= 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 ,事
件 B= 1,3 , 2,3 , 3,3 , 4,3 ,事件C= 2,3 , 3,2 ,事件D= 1,4 , 2,3 , 3,2 , 4,1 ,
事件 A与 B有可能同时发生,故选项 A错误;
显然C D ,故选项 B正确;
事件 A+ B= 2,1 , 2,2 , 2,3 , 2,4 , 1,3 , 3,3 , 4,3 ≠D ,故选项C错误;
P B = 4 = 1 4 1 116 4 , P D = 16 = 4 , P BD = 16 = P B P D ,故选项D正确.
11. ABD
【解析】设 g x = xex- ex-1 , x> 0 ,则 g x = xex> 0 ,∴ g x 在 0,+∞ 上单调递增,
x
∴ g x > g 0 = 0 ,即 xex- ex-1 > 0 , xex> ex-1 ,∵ x> 0时, ex- 1> 0 ,∴ f x = xex > 1 ,故选e -1
项 A正确;
∵ x1= 1 x2 x32 > 0 ,∴ e = f x1 > 1 ,∴ x2> 0 ,∵ x2> 0,∴ e = f x2 > 1 ,∴ x3> 0,
以此类推, xn> 0 n∈N * ,故选项 B正确;
x exn∵ x - x = lnexn+1 n xnn+1 n - xn= ln x - lne = ln
xn
e n-1 ex
,
n-1
令 h x = x- ex-1 ,则 h x = 1- ex ,当 x> 0时, h x < 0 ,∴ h x 在 0,+∞ 单减,
即 h x < h 0 = 0 ,即 x+ 1- ex< 0 x>0 ,
∴ 0< x< ex- 1 ,∴ 0< xx < 1 ,∴ ln
xn
e -1 ex
< 0 ,∴ x
n-1 n+1
- xn< 0,
故数列 xn 是递减数列,故选项C错误;
由题意 ex1-1 = e- 1< 1= 121-1
,
xn
下证 exn+1-1 1 < exn2 -1 , n∈N
* :∵ x > 0 , x只需证 nen x - 1<
1
exn2 -1 ,e n-1
即证 exn 2 - 2xnexn- 1> 0,
令 t x = ex 2 - 2xex- 1 x>0 ,则 t x = 2 ex 2 - 2 ex+xex = 2ex ex-x-1 ,
当 x> 0时, ex- x- 1> 0,∴ t x > 0 ,∴ t x 在 0,+∞ 上单调递增,
又 t 0 = 0 ,故对任意的 x> 0 , t x > 0,∴ t xn > 0,
即 exn+1-1 < 1 exn-1 , n∈N * ,∴ 1 exn-1 < exn-1-1 1 < exn-2-1 1 < < ex1-1 < 1 , n∈N *2 2 22 2n-1 2n-1
,故选项D正确.
12. 15
1 1 1 1
【解析】由 z = 2- i可得 = 2- i = 5 z
z = ,∴ z z= z 2=
5 5
.
13. 715
【解析】因为 an 是等差数列,
a
且 1
+a2
S =
1
2 , a
a +a +d 1
设 n 的公差为 d ,则有 1 1
3 3a
=
1+3d 2
,整理得 a1=
参考答案 2 页 共 6 页
d a3+a4 = a1+2d+a1+3d 2a1+5d 2d+5d 7d 7,则 S5 5a1+10d
= 5a1+10d
= 5d+10d = 15d = 15 .
14. 1 4 3 , 3
π π
【解析】由 0≤ x≤ π ,得- 3 ≤ωx- 3 ≤ωπ-
π
3 ,
π
要使两曲线有唯一交点,则 0≤ωπ- 3 < π,解得
1 ≤ω< 4 , ω∈ 1 43 3 故 3 , 3 .
15. (1) ∵ a2+ c2- b2= 2ac ,∴ 2accosB= 2ac ,∴ cosB= 22 , (4分)
∵ 0< B< π ,∴ B= π4 . (6分)
(2) ∵ bcos2A+ 2acosAcosB= 0，
∴ sinBcos2A+ 2sinAcosAcosB= 0 ,∴ 2RsinBcos2A+ 2 2RsinAcosAcosB= 0,
∴ sinBcos2A+ cosBsin2A= 0 ,∴ sin B+2A = 0 ,∴ B+ 2A= π. (8分)
又因为 A+ B+C= π ,∴ A=C= 3π8 ;
∵∠BAC= 3∠BAD ,∴∠BAD= π8 ,
∴∠ADB= π-∠BAD-∠ABD= π- π π 5π8 - 4 = 8 ,
在△ABC中,∵ A=C ,∴ BA= BC,
△ABD ∵ AB = AD ,∴ AB AD在 中, sin∠ADB sinB 5π = π , (10分)sin 8 sin 4
2
sin 5π 1 1-cos 5π 12 1+cos π
∴ AB BC = AB2 =
8 = 2 4 2 4 π 2
AD AD2 2 2
= = 1+ cos = 1+ .(13分)
sin π 2 1 4 24 2 2
16. (1)证明:如图，连接 BD，
D1 C1
A1 B1
D C
A B
在△BCD中，BC= 1，CD= 2，∠BCD= 60°,
由余弦定理得, BD2= 12+ 22- 2× 1× 2× cos60° = 3,
则 BD= 3. (3分)
在△BDD1中, BD= 3 ,DD1= 1 , BD1= 2,
∴ BD2+DD21= BD21 ,∴DD1⊥ BD. (5分)
∵DD1⊥ AD, AD∩ BD=D,
∴DD1⊥平面 ABCD. (7分)
(2)解:由 (1)知CD2= BC2+ BD2，
∴ BC⊥ BD,
∵ AD BC ,∴ AD⊥ BD.
又∵DD1⊥平面 ABCD,
参考答案 3 页 共 6 页

故以 DA DB,DD1 为正交基底建立空间直角坐标系,如图, (9分)
z
D1 C1
A1 B1
D C
A B y
x
则D 0,0,0 , B 0, 3 ,0 ,C -1, 3 ,0 1 3 ,C1 - 2 , 2 ,1

BC= -1,0,0 1 3 ,CC1= 2 ,- 2 ,1 ,

设平面 B1BCC1的法向量为 n= x,y,z ,

n BC=-x=0则 ,取 y= 2 ,得 x= 0 , z= 3,n CC1= 1 32 x- 2 y+z=0
∴ n = 0,2, 3 , (12分)

又DB= 0, 3 ,0 是平面 AADD1的一个法向量, (13分)
记平面 ADD1与平面 B1BCC1的夹角为 θ,

DB n
则 cosθ= = 2 3 = 2 7 ,
DB n 3× 7 7
∴ ADD B BCC 2 7平面 1与平面 1 1的夹角的余弦值为 7 . (15分)
17. (1)a= 1时, f x = 1-2x lnx+ x- 1,
f x =-2lnx+ 1-2x x + 1=
1
x - 2lnx- 1, (2分)
f x 在 0,+∞ 上单调递减,注意到 f 1 = 0,
∴当 0< x< 1时, f x > 0 , f x 单调递增;
当 x> 1时, f x < 0 , f x 单调递减, (5分)
∴ f x 在 0,1 上单调递增,在 1,+∞ 上单调递减,
∴ f x max= f 1 = 0. (7分)
(2) f 1 x = x - 2lnx- 2+ a，f
x 在 0,+∞ 上单调递减，
注意到 x> 0且 x→ 0时, f x →+∞ ; x→+∞时, f x →-∞,
∴存在唯一 x0∈ 0,+∞ ,使 f x0 = 0且 f x 在 0,x0 上单调递增,在 x0,+∞ 上单调递减,
注意到 x> 0且 x→ 0及 x→+∞时, f x →-∞,
∴要使 f x 有两个零点,只需 f x0 = 1-2x0 lnx0+ ax0- 1> 0, (9分)
∵ f x 10 = x - 2lnx0- 2+ a= 0 ,则 a= 2lnx -
1
0 x + 2,0 0
代入上式得 1-2x0 lnx0+ 2lnx0- 1x +2 x0- 1> 0 ,化简得 lnx0+ 2x0- 2> 0 , (12分)0
设 g x = lnx+ 2x- 2 ,则 g x 在 0,+∞ 上单调递增,注意到 g 1 = 0,
∴当 x0> 1时, lnx0+ 2x0- 2> 0.
参考答案 4 页 共 6 页
设 h x = 2lnx- 1x + 2 ,则 h x 在 1,+∞ 单调递增,故 h x > h 1 = 1 ,∴ a> 1,
∴若 f x 有两个零点,则实数 a的取值范围是 1,+∞ . (15分)
18. (1)事件“X= 4”包含箱子内剩余 2个白球或剩余 2个红球，
2 2
剩余 2个白球的概率 p1=
C2 = 1 A2 2 1
C2 15
(或 p1= 2 = 30 = 15 ),6 A6
C1 3 1 A2C1 24 1
剩余 2个红球的概率 p2= 32 = 15 = 5 (或 p =
4 2
C 2 A3
= 120 = 5 )6 6
P X=4 = p + p = 1故 1 2 15 +
1 = 45 15 . (5分)
(2)当 Y= 0时，X= 2 , 3 , 4 , 5满足，
当 Y= 1时，X= 5不满足条件，当 Y= 2时，X= 4不满足条件，
2
P X=2,Y=0 =
C2 = 1 ,C26 15
1 1
P X=3,Y=0 =
C2C1 = 2
C26 15
,
C1P X=4,Y=0 = 3C
1
1
3 1
C2
= =
6 15 5
,
C1P X=5,Y=0 = 4C
1
1 = 4 ,C26 15
故 P X+Y≤5 = 1 + 2 3 4 2 15 15 + 15 + 15 = 3 . (11分)
(3)Y的可能取值是 Y= 0 , 1 , 2，
2 1
P Y=0 =
C5 = 2 ( P Y=0 = C4 = 4 = 2 C2 3
或 1 6 3 ),6 C6
1 1
P C C 4
1 1
Y=1 = 4 12 = 15 (或 P Y=1 =
C4C2 = 4 ),
C A26 6 15
P Y=2 = C
2 2
22 =
1
15 (或 P Y=2 =
A2 = 1
C A26 6 15
),
故 Y的分布列是:
Y 0 1 2
P 2 4 13 5 15
2 4 1 2
则 Y的数学期望 E Y = 0× 3 + 1× 15 + 2× 15 = 5 . (17分)
2
19. (1)证明:设 A x1,y1 , B x2,y , y=
x x
2 4 , y = 2 ，
则 A x点处的切线 PA方程为 y- y 11= 2 x-x1 ,即 x1x= 2 y+y1 ,
同理 B点处 PB的切线方程为 x2x= 2 y+y2 ,
因为 PA、PB均过点 P ,故 lAB : x0x= 2 y+y0 , (2分)
1AB : x0x= 2 y+y0 代入抛物线方程 x2= 4y ,得 x2- 2x0x+ 4y0= 0,
x1+ x2= 2x0 , x1x2= 4y0,
2 2
AF BF = 1+y1 1+y = 1+ x1 1+ x 22 4 4 = x20+ y0-1 2 = PF 2得证.(4分)
参考答案 5 页 共 6 页
(2)解:M x12 ,0 ，N
x2
2 ,0 ，
1AB : 3x= 2 y-2 代入抛物线方程 x2= 4y ,得 x2- 6x- 8= 0 ;
MN x= x1+x所以 的中垂线为 24 =
3
2 ,
MP的中垂线为 y+ 1= 6-x1 x1+64 x- 4 ,
令 x= 3 x x 12 得圆心纵坐标为-
2 1
4 4 - 1=- 2 , (7分)
设圆的方程为 x2+ y2- 3x+ y+ F= 0 ,因为过点 P 3,-2 ,所以 F=-2,
解得 x2+ y2- 3x+ y- 2= 0. (9分)
另解:
设过 P 3,-2 的抛物线的切线方程为 y= k x-3 - 2,
代入抛物线方程得 x2- 4kx+ 12k+ 8= 0,
Δ= 16k2- 48k- 32= 0 , k1+ k2= 3 , k1k2=-2,
xM= 3+ 2 , x 2k N= 3+ k ,1 2
2 k +k
x + x = 6+ 2 + 2 = 6+ 1 2 = 3 , x x = 3+ 2M N k k k k M N k 3+
2
1 2 1 2 1 k2 =-2,
可设圆的方程为 x-x x-x + y2+ Ey= 0 ,即 x2- 3x- 2+ y2M N + Ey= 0,
由圆过点 P 3,-2 ,所以 E= 1,
所以圆的方程为 x2+ y2- 3x+ y- 2= 0.
(3)解:设C x3,y3 , I : x x= 2 y+y
x +x
，得D 1 3 , x1x3DE 3 3 2 4 ，
E x2+x3 , x2x同理可得 32 4 ,
S 1△PAB= 2 x1-x0 y2-y0 - x2-x0 y1-y0
= 1 14 x -x 4y -x
2 = x2-4y 4y -x22 1 0 0 2 0 0 0 0 . (12分)
S 1 x1+x3ΔPDE= 2 2 -x0
x2x3 -y - x2+x3 x1x34 0 2 -x0 4 -y0
1 2 2= - x3 + y0 - x0x3 = 2- x3 + y x x 0 x 0x32 2 1 8 2 4 x0 4y0 8 2 - 4 x1t= x
2 2
3 + y0 - x0x3 = x3 x1+x2 x记 1x28 2 4 8 - 8 x3+ 8 x1t为关于开口向上的二次函数，则当 x3= x1时，t= 0，当 x3= x2时，t= 0，
所以 t< 0,
2 y
所以 * = x2-4y
x3 0 x0x3 1
0 0 8 + 2 - 4 ≤ 8 x20-4y0 x20-4y = 0 x3=x0 ,
3 3S 2 2ABED= SΔPAB- SΔPDE≥ 8 x0-4y0 . (17分)
参考答案 6 页 共 6 页

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