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广东省实验中学湛江学校2024-2025学年七年级下学期期末检测数学试卷
1．在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】A、不是由“基本图案”经过平移得到，故A不符合题意；
B、不是由“基本图案”经过平移得到，故B不符合题意；
C、是由“基本图案”经过平移得到，故C符合题意；
D、不是由“基本图案”经过平移得到，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据图形的平移：确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形，逐一判断即可解答.
2．的平方根是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：的平方根是．
故选C．
【分析】根据平方根的定义，若，则的算术平方根为，求解即可．
3．如图所示，点P到直线l的距离是（　　）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由点到直线的距离定义，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，
故选：B．
【分析】根据点到直线的距离为垂线段的长度，求解即可．
4．下列命题中，不正确的是（　　）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
C．垂直于同一直线的两条直线垂直
D．平行于同一直线的两条直线平行
【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意；
B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，不符合题意；
C：垂直于同一直线的两条直线平行，错误，不符合题意；
D：平行于同一直线的两条直线平行，正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据直线之间的关系逐项进行判断即可求出答案.
5．下列说法不一定成立的是（　　）
A．若a>b，则a+c>b+c B．若2a>-2b，则a>-b
C．若a>b，则ac2>bc2 D．若a【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】当c=0时，ac2=bc2=0，此时C不成立
故选C
【分析】根据不等式的基本性质，对选项判断，即可求解.
6．已知整数n满足：，参考下表数据，判断n的值为（　　）
m 43 44 45 46
1849 1936 2025 2116
A．43 B．44 C．45 D．46
【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：由表格数据可知，452=2025，442=1936，而1936＜2024＜2025，所以，即n=44.
故答案为：B.
【分析】若0＜b＜a，则.
7．已知点．若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（　　）
A．4 B． C．或4 D．或
【答案】C
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标
【解析】【解答】解：∵点M到两坐标轴的距离相等，∴
∴，
∴a=4或a=-1.
故选C．
【分析】根据题意可得，然后求解，得出a的值即可．
8．用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（　　）
A．600 B．500 C．300 D．200
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为a，b．
由题意可列方程组：，
解得：，
∴每块小长方形地砖的面积为．
故选：C．
【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，假设小长方形的长、宽分别为a，b，通过图形中大长方形的边长关系，列出二元一次方程组，求得a、b的值，进而求得面积，得到答案．
9．若满足方程组 的 与 互为相反数，则 的值为（　　）
A．11 B．-1 C．1 D．-11
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：y= -x，
代入方程组得： ，
消去x得： ，即3m+9=4m-2，
解得：m=11．
故答案为：A．
【分析】由x与y互为相反数，得出y=x，代入方程组计算即可求出m的值。
10．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；补角
【解析】【解答】解：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长交于
∴
故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④，
故选D.
【分析】根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可判断①；再根据补角可判断②；如图，延长交于K，根据直线平行性质可得，则，根据补角可得∠BEF，再根据角之间的关系即可求出答案.
11．的立方根为　 　．
【答案】
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴的立方根即为4的立方根，
∴的立方根为：，
故答案为：．
【分析】根据立方根的概念可得，再根据立方根的概念，求解即可．
12． 若，，则　 　．
【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，，
被开放数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，
，
故答案为：．
【分析】通过观察发现：被开放数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，据此可得答案.
13．如图，在中，，，现将沿着的方向平移到△的位置，若平移的距离为1，则图中的阴影部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：CC'=1，S△ABC=S△A'B'C'，
∵在Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC=4，
∴S△ABC=AC BC=8，∠ABC=45°，
∵BC'=BC-CC'=3，
∴C'D=BC'=3，
∴S△BC'D=BC' C'D=，
∴S阴影=S△ABC-S△BC'D=，
故答案为.
【分析】本题考查了平移的性质以及等腰直角三角形性质，由，在中，得到，，结合三角形的面积公式，得到与△的面积，即可得到答案.
14．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
如图，过点作，过点作，
，
，
，，，
，，
，，
，
故答案为：．
【分析】
过点作，过点作，利用平行线的性质（同旁内角互补，内错角相等）分别求出被分割的两个角的度数，最后求解即可．
15．若关于的不等式只有3个非负整数解，则的取值范围为　 　
【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵不等式只有3个非负整数解，即：，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】
求出不等式的解集，根据不等式只有3个非负整数解即为，得到关于a的不等式，求出的取值范围即可解答．
16．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，由①得x＜3；
由②得x≥0；
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组的求解口诀，得到不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
17．如图，已知，
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由可得，从而得到，根据可得，即可求证；
（2）根据可以得到，再根据，求得的余角即可．
18．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将先向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度）．
（1）在图中画出平移后的；
（2）直接写出各顶点的坐标；
（3）计算的面积．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）
（3）解：根据题意可得：
．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移方式，画出点A、B、C平移后的对应点，顺次连接即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置，确定其坐标即可；
（3）用割补法，矩形的面积减去三个直角三角形的面积，求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可知，；
（3）解：根据题意可得：
．
19．为了更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．校学生会随机抽取该校部分学生进行问卷调查．现得到如下信息：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查的学生人数是_______，对应的扇形圆心角的度数是______°；
（2）请根据题中已有的信息补全频数分布直方图；
（3）该校有1800名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数．
【答案】（1）60人，
（2）解：∵（人），∴补全图形如下：
（3）解：∵（人），
∴该校有1800名学生，估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数有840人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴这次抽样调查的学生人数是60人，
∵，
∴对应的扇形圆心角的度数是．
【分析】（1）根据B组人数以及B组所占百分比，可以求得总人数，用乘以C组的占比即可得到圆心角；
（2）用总人数减去其他几组的人数，求得D组人数，再补全图形即可；
（3）根据总人数，以及平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数的百分比，即可得到答案．
（1）解：∵，
∴这次抽样调查的学生人数是60人，
∵，
∴对应的扇形圆心角的度数是．
（2）∵（人），
∴补全图形如下：
．
（3）∵（人），
∴该校有1800名学生，估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数有840人．
20．在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元．
（1）求型、型设备每台各是多少万元；
（2）根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？
【答案】（1）解：设型设备万元台，型设备万元台，
依题意得：
解得
答：型设备每台万元，型设备每台万元．
（2）解： 设型设备购买台，则购买型设备台，
依题意得：
解得：，
又因为为正整数，所以的取值为，，
答：一共有种购买方案．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设型设备万元台，型设备万元台，根据相等关系“ 购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元 ”列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设型设备购买台，则购买型设备台，根据不等关系“ 购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的 ”列出不等式组并求得整数解即可．
（1）解：设型设备万元台，型设备万元台，
依题意得：
解得
答：型设备每台万元，型设备每台万元．
（2）设型设备购买台，则购买型设备台，
依题意得：
解得：，
又因为为正整数，所以的取值为，，
答：一共有种购买方案．
21．我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法．
（1）已知关于、y的二元一次方程组的解为，求关于、n的二元一次方程组的解；
（2）请用上面的换元法解方程组．
【答案】（1）解：设，则原方程组可化为
∵ 的解为
∴，
解之得；
（2）解：设，则原方程组可化为，
化简整理得，
解得，
∴，
解得．
【知识点】解二元一次方程组；整体思想
【解析】【分析】
（1）设，由原方程组的解为 即可得到，然后解方程组即可；
（2）设，得到，解得；然后解方程组，即可求解．
22．问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
（1）观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程．
（2）深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
（3）问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则．
【答案】（1）证明：如图，
过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴
.
∴
∴.
（3）127
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（3）解：如图，
：过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：．
【分析】（1）过点作平行，根据平行，即可得互相平行，即可得
相等，相等，即可得.
（2）过点作，根据平行线公理得，即可得，
等于，即可得.
（3）过点作，可得，即可得，根据得，即可得即可.
（1）证明：如图：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴
（3）解：如图：过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：．
23．如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．
（1）点的坐标为________；点的坐标为________．
（2）已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得与的面积相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
根据运动的情况可得，，
∴，
∵，
∴，
，
∵与的面积相等，
∴，解得，，
∴存在时，与的面积相等．
（3）解：，理由如下：
如图，
过点作交轴于点，
∵以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，同理得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；平行线的判定与性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，解得，，
∴，，
故答案为：；.
【分析】（1）根据，结合非负性即可求出的值，即可得，.
（2）根据，得，根据运动的情况可得，，得，根据得，，根据与的面积相等，得.
（3）过点作交轴于点，以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，即可得，进一步得相等，根据平分，得，进一步推理得.
（1）解：根据题意得，
∵，
∴，解得，，
∴，，
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
根据运动的情况可得，，
∴，
∵，
∴，
，
若与的面积相等，
∴，解得，，
∴存在时，与的面积相等．
（3）解：，理由如下：
∵以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作交轴于点，
∴，
∴，同理，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
24．引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在中，，，请判断与 （填“是”或“否”） 为“等角三角形”．
（2）如图2，在中，为角平分线，，．
请你说明是的等角分割线．
【应用概念】：
（3）在中，若，是的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数．
【答案】（1）是；
（2）证明：在中，，，
，
为角平分线，
，
，，
，
在中，，，
，
，
，，，，
为的等角分割线；
（3）；；；
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形的角平分线；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
∴，，，
∴与两个三角形的三个角分别相等，
∴与是“等角三角形”；
故答案为：是；
（3）解：当是等腰三角形，如图2，时，，
，
；
此时与是“等角三角形”，
∴是的等角分割线；
当是等腰三角形，如图3，时，
∵，
∴，
当时，，
此时与是“等角三角形”，
∴是的等角分割线；
当是等腰三角形，时，
∵，
∴，，
∴，
若与是“等角三角形”，则，此时，，不符合题意，
当是等腰三角形，如图4，时，，
∵与是“等角三角形”
∴，
，
，
当是等腰三角形，如图5，时，，
∵与是“等角三角形”
∴，，
设，
则，
则，
∵
∴，
解得，
，
当是等腰三角形，如图5，时，，
∵与是“等角三角形”，而
∴，不合题意，
综上，的度数为；；；．
【分析】（1）根据“等角三角形”的定义，判断三角形的三个角是否相等即可求解；
（2）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线可得，再根据“ 等角分割线 ”的定义证明；
（3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求解计算即可．
1 / 1广东省实验中学湛江学校2024-2025学年七年级下学期期末检测数学试卷
1．在图示的四个汽车标志图案中，能用平移变换来分析其形成过程的图案是（　　）
A． B．
C． D．
2．的平方根是(　　)
A． B． C． D．
3．如图所示，点P到直线l的距离是（　　）
A．线段PA的长度 B．线段PB的长度
C．线段PC的长度 D．线段PD的长度
4．下列命题中，不正确的是（　　）
A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行
C．垂直于同一直线的两条直线垂直
D．平行于同一直线的两条直线平行
5．下列说法不一定成立的是（　　）
A．若a>b，则a+c>b+c B．若2a>-2b，则a>-b
C．若a>b，则ac2>bc2 D．若a6．已知整数n满足：，参考下表数据，判断n的值为（　　）
m 43 44 45 46
1849 1936 2025 2116
A．43 B．44 C．45 D．46
7．已知点．若点到两坐标轴的距离相等，则的值为（　　）
A．4 B． C．或4 D．或
8．用8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的面积是（　　）
A．600 B．500 C．300 D．200
9．若满足方程组 的 与 互为相反数，则 的值为（　　）
A．11 B．-1 C．1 D．-11
10．如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．的立方根为　 　．
12． 若，，则　 　．
13．如图，在中，，，现将沿着的方向平移到△的位置，若平移的距离为1，则图中的阴影部分的面积为　 　．
14．小明研究两条平行线间的拐点问题在生活中的应用，书桌上有一款长臂折叠护眼灯，其示意图如图所示，与桌面垂直．当发光的灯管恰好与桌面平行时，若，，则的度数为　 　．
15．若关于的不等式只有3个非负整数解，则的取值范围为　 　
16．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来．
17．如图，已知，
（1）试判断与的位置关系，并说明理由；
（2）若，求的度数．
18．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，将先向右平移6个单位长度，再向下平移6个单位长度得到（图中每个小方格边长均为1个单位长度）．
（1）在图中画出平移后的；
（2）直接写出各顶点的坐标；
（3）计算的面积．
19．为了更加扎实、有效地开展劳动教育，落实“五育并举”，某校倡议学生在家帮助父母做一些力所能及的家务．校学生会随机抽取该校部分学生进行问卷调查．现得到如下信息：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查的学生人数是_______，对应的扇形圆心角的度数是______°；
（2）请根据题中已有的信息补全频数分布直方图；
（3）该校有1800名学生，根据抽样调查结果，请你估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数．
20．在党的二十大报告中，强调了教育、科技、人才是全面建设社会主义现代化国家的基础性、战略性支撑．某校为提升教学质量，计划购买、两种型号的教学设备．已知购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元．
（1）求型、型设备每台各是多少万元；
（2）根据该校的实际情况，需购买、两种型号的教学设备共台，要求购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的，那么该校共有几种购买方案？
21．我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法．
（1）已知关于、y的二元一次方程组的解为，求关于、n的二元一次方程组的解；
（2）请用上面的换元法解方程组．
22．问题情境：如图，，点在直线上，点在直线上，点在直线，之间，连接，．勤奋小组的同学们对该图形进行了研究．
（1）观察猜想：小明猜想，他过点作，如图，请帮他完成证明过程．
（2）深入探究：小华在帮助小明完善解题过程时，发现用同样的辅助线还可以得到，，之间的关系，请写出这三个角度间满足的关系并完成证明．
（3）问题解决：图3是天文爱好者小夏在观察北斗七星时所拍摄的画面，绘制北斗七星的位置图时将北斗七星摇光、开阳、玉衡、天权、天玑、天璇、天枢分别标为，并连接．绘制过程中发现摇光、开阳所在的直线与天玑、天璇所在的直线几乎平行（如图）（因为距离地球很远，所以近似看作）．结合上面的探究过程，若，则．
23．如图，以直角的直角顶点为原点，以，所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，点，满足．
（1）点的坐标为________；点的坐标为________．
（2）已知坐标轴上有两动点，同时出发，点从点出发沿轴负方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点从点出发沿轴正方向以每秒个单位长度的速度匀速移动，点到达点整个运动随之结束．的中点的坐标是，设运动时间为秒．问：是否存在这样的，使得与的面积相等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若，点是第二象限中一点，并且轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，当点在线段上运动的过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论．
24．引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形．若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
【理解概念】：
（1）如图1，在中，，，请判断与 （填“是”或“否”） 为“等角三角形”．
（2）如图2，在中，为角平分线，，．
请你说明是的等角分割线．
【应用概念】：
（3）在中，若，是的等角分割线，请你直接写出所有可能的度数．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】A、不是由“基本图案”经过平移得到，故A不符合题意；
B、不是由“基本图案”经过平移得到，故B不符合题意；
C、是由“基本图案”经过平移得到，故C符合题意；
D、不是由“基本图案”经过平移得到，故D不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据图形的平移：确定一个基本图案按照一定的方向平移一定的距离组成的图形就是经过平移得到的图形，逐一判断即可解答.
2．【答案】C
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】解：的平方根是．
故选C．
【分析】根据平方根的定义，若，则的算术平方根为，求解即可．
3．【答案】B
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：由点到直线的距离定义，点P到直线l的距离是线段PB 的长度，
故选：B．
【分析】根据点到直线的距离为垂线段的长度，求解即可．
4．【答案】C
【知识点】平面中直线位置关系
【解析】【解答】解：A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，正确，不符合题意；
B：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，正确，不符合题意；
C：垂直于同一直线的两条直线平行，错误，不符合题意；
D：平行于同一直线的两条直线平行，正确，不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据直线之间的关系逐项进行判断即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】当c=0时，ac2=bc2=0，此时C不成立
故选C
【分析】根据不等式的基本性质，对选项判断，即可求解.
6．【答案】B
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：由表格数据可知，452=2025，442=1936，而1936＜2024＜2025，所以，即n=44.
故答案为：B.
【分析】若0＜b＜a，则.
7．【答案】C
【知识点】解含绝对值符号的一元一次方程；点的坐标
【解析】【解答】解：∵点M到两坐标轴的距离相等，∴
∴，
∴a=4或a=-1.
故选C．
【分析】根据题意可得，然后求解，得出a的值即可．
8．【答案】C
【知识点】二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小长方形的长、宽分别为a，b．
由题意可列方程组：，
解得：，
∴每块小长方形地砖的面积为．
故选：C．
【分析】本题考查二元一次方程组在几何问题中的应用，假设小长方形的长、宽分别为a，b，通过图形中大长方形的边长关系，列出二元一次方程组，求得a、b的值，进而求得面积，得到答案．
9．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意得：y= -x，
代入方程组得： ，
消去x得： ，即3m+9=4m-2，
解得：m=11．
故答案为：A．
【分析】由x与y互为相反数，得出y=x，代入方程组计算即可求出m的值。
10．【答案】D
【知识点】角的运算；平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；补角
【解析】【解答】解：由题意得：
故①符合题意；
故②符合题意；
如图，延长交于
∴
故③④符合题意；
综上：符合题意的有①②③④，
故选D.
【分析】根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可判断①；再根据补角可判断②；如图，延长交于K，根据直线平行性质可得，则，根据补角可得∠BEF，再根据角之间的关系即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】立方根的概念与表示；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴的立方根即为4的立方根，
∴的立方根为：，
故答案为：．
【分析】根据立方根的概念可得，再根据立方根的概念，求解即可．
12．【答案】
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：，，
被开放数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，
，
故答案为：．
【分析】通过观察发现：被开放数小数点每向右移动2位，其算术平方根的小数点向右移动1位，据此可得答案.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；平移的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：CC'=1，S△ABC=S△A'B'C'，
∵在Rt△ABC中∠C=90°，AC=BC=4，
∴S△ABC=AC BC=8，∠ABC=45°，
∵BC'=BC-CC'=3，
∴C'D=BC'=3，
∴S△BC'D=BC' C'D=，
∴S阴影=S△ABC-S△BC'D=，
故答案为.
【分析】本题考查了平移的性质以及等腰直角三角形性质，由，在中，得到，，结合三角形的面积公式，得到与△的面积，即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
如图，过点作，过点作，
，
，
，，，
，，
，，
，
故答案为：．
【分析】
过点作，过点作，利用平行线的性质（同旁内角互补，内错角相等）分别求出被分割的两个角的度数，最后求解即可．
15．【答案】
【知识点】一元一次不等式的特殊解；解一元一次不等式组；一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵不等式只有3个非负整数解，即：，
∴，
∴；
故答案为：．
【分析】
求出不等式的解集，根据不等式只有3个非负整数解即为，得到关于a的不等式，求出的取值范围即可解答．
16．【答案】解：，由①得x＜3；
由②得x≥0；
∴不等式组的解集为0≤x＜3，
不等式组的解集在数轴上表示为：
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组的求解口诀，得到不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可．
17．【答案】（1）解：，理由如下：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴．
【知识点】平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）由可得，从而得到，根据可得，即可求证；
（2）根据可以得到，再根据，求得的余角即可．
18．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）
（3）解：根据题意可得：
．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平移方式，画出点A、B、C平移后的对应点，顺次连接即可；
（2）根据各点在坐标系中的位置，确定其坐标即可；
（3）用割补法，矩形的面积减去三个直角三角形的面积，求解即可．
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解：由图可知，；
（3）解：根据题意可得：
．
19．【答案】（1）60人，
（2）解：∵（人），∴补全图形如下：
（3）解：∵（人），
∴该校有1800名学生，估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数有840人．
【知识点】频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴这次抽样调查的学生人数是60人，
∵，
∴对应的扇形圆心角的度数是．
【分析】（1）根据B组人数以及B组所占百分比，可以求得总人数，用乘以C组的占比即可得到圆心角；
（2）用总人数减去其他几组的人数，求得D组人数，再补全图形即可；
（3）根据总人数，以及平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数的百分比，即可得到答案．
（1）解：∵，
∴这次抽样调查的学生人数是60人，
∵，
∴对应的扇形圆心角的度数是．
（2）∵（人），
∴补全图形如下：
．
（3）∵（人），
∴该校有1800名学生，估计该校平均每周做家务的时间不少于3小时的学生人数有840人．
20．【答案】（1）解：设型设备万元台，型设备万元台，
依题意得：
解得
答：型设备每台万元，型设备每台万元．
（2）解： 设型设备购买台，则购买型设备台，
依题意得：
解得：，
又因为为正整数，所以的取值为，，
答：一共有种购买方案．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】
（1）设型设备万元台，型设备万元台，根据相等关系“ 购买台型设备和台型设备共需万元；购买台型设备和台型设备共需万元 ”列出二元一次方程组并求解即可；
（2）设型设备购买台，则购买型设备台，根据不等关系“ 购买的总费用不超过万元，并且型设备的数量不少于型设备数量的 ”列出不等式组并求得整数解即可．
（1）解：设型设备万元台，型设备万元台，
依题意得：
解得
答：型设备每台万元，型设备每台万元．
（2）设型设备购买台，则购买型设备台，
依题意得：
解得：，
又因为为正整数，所以的取值为，，
答：一共有种购买方案．
21．【答案】（1）解：设，则原方程组可化为
∵ 的解为
∴，
解之得；
（2）解：设，则原方程组可化为，
化简整理得，
解得，
∴，
解得．
【知识点】解二元一次方程组；整体思想
【解析】【分析】
（1）设，由原方程组的解为 即可得到，然后解方程组即可；
（2）设，得到，解得；然后解方程组，即可求解．
22．【答案】（1）证明：如图，
过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图，
过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴
.
∴
∴.
（3）127
【知识点】平行公理及推论；平行线的判定与性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（3）解：如图，
：过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：．
【分析】（1）过点作平行，根据平行，即可得互相平行，即可得
相等，相等，即可得.
（2）过点作，根据平行线公理得，即可得，
等于，即可得.
（3）过点作，可得，即可得，根据得，即可得即可.
（1）证明：如图：过点作，
∵，
∴，
∴
∴．
（2）证明：如图：过点作，
∵，
∴，
∴，
∴．
∴
（3）解：如图：过点作，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴由（1）的结论可知，
故答案为：．
23．【答案】（1）；
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
根据运动的情况可得，，
∴，
∵，
∴，
，
∵与的面积相等，
∴，解得，，
∴存在时，与的面积相等．
（3）解：，理由如下：
如图，
过点作交轴于点，
∵以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，同理得，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【知识点】坐标与图形性质；平行线的判定与性质；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；平行线的应用-证明问题
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，解得，，
∴，，
故答案为：；.
【分析】（1）根据，结合非负性即可求出的值，即可得，.
（2）根据，得，根据运动的情况可得，，得，根据得，，根据与的面积相等，得.
（3）过点作交轴于点，以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，即可得，进一步得相等，根据平分，得，进一步推理得.
（1）解：根据题意得，
∵，
∴，解得，，
∴，，
（2）解：由（1）可知，，，
∴，
根据运动的情况可得，，
∴，
∵，
∴，
，
若与的面积相等，
∴，解得，，
∴存在时，与的面积相等．
（3）解：，理由如下：
∵以所在直线为轴和轴建立平面直角坐标系，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
如图所示，过点作交轴于点，
∴，
∴，同理，，
∵，
∴，
∴，即，
∴．
24．【答案】（1）是；
（2）证明：在中，，，
，
为角平分线，
，
，，
，
在中，，，
，
，
，，，，
为的等角分割线；
（3）；；；
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质；三角形的角平分线；分类讨论
【解析】【解答】（1）解：在中，，，
∴，，，
∴与两个三角形的三个角分别相等，
∴与是“等角三角形”；
故答案为：是；
（3）解：当是等腰三角形，如图2，时，，
，
；
此时与是“等角三角形”，
∴是的等角分割线；
当是等腰三角形，如图3，时，
∵，
∴，
当时，，
此时与是“等角三角形”，
∴是的等角分割线；
当是等腰三角形，时，
∵，
∴，，
∴，
若与是“等角三角形”，则，此时，，不符合题意，
当是等腰三角形，如图4，时，，
∵与是“等角三角形”
∴，
，
，
当是等腰三角形，如图5，时，，
∵与是“等角三角形”
∴，，
设，
则，
则，
∵
∴，
解得，
，
当是等腰三角形，如图5，时，，
∵与是“等角三角形”，而
∴，不合题意，
综上，的度数为；；；．
【分析】（1）根据“等角三角形”的定义，判断三角形的三个角是否相等即可求解；
（2）先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线可得，再根据“ 等角分割线 ”的定义证明；
（3）分是等腰三角形，、和是等腰三角形，、四种情况，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求解计算即可．
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