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(共44张PPT)
第二章 机械振动
第1节 简谐运动及其图像
第2课时 简谐运动的描述
1
课堂 深度探究
2
随堂 巩固落实
PART
01
课堂 深度探究
知识点一 描述简谐运动的物理量
理想弹簧振子如图所示，点为它的平衡位置，其中、点关于 点对称。
（1）从振子某一时刻经过点开始计时，至下一次再经过 点的时间为一
个周期吗？
［提示］不是。经过一个周期振子一定从同一方向经过 点，即经过一个
周期，位移、速度均第一次同时与初始时刻相同。
（2）先后将振子拉到点和 点由静止释放，两种情况下振子振动的周期
相同吗？振子完成一次全振动通过的位移相同吗？路程相同吗？
［提示］周期相同，振动的周期取决于振动系统本身，与振幅无关。位移
相同，均为零。路程不相同，一个周期内振子通过的路程与振幅有关。
1.对全振动的理解
（1）物理量特征：位移、速度两者第一次同时与初始状态相同。
（2）时间特征：历时一个周期。
（3）路程特征：振幅的4倍。
（4）相位特征：增加 。
2.振幅与位移、路程、周期的关系
（1）振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅
与振动物体的最大位移相等，在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随
时间做周期性的变化。
（2）振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用
的定量关系：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。
（3）振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期（或频率）
是固定的，与振幅无关。
角度1
简谐运动物理量的分析
例1 关于描述简谐运动的物理量，下列说法正确的是( )
A.振幅等于四分之一个周期内路程的大小
B.周期是指振动物体从任一位置出发又回到这个位置所用的时间
C.一个全振动过程中，振子的位移大小等于振幅的四倍
D.频率是时， 内振动物体速度方向改变100次
解析：由于平衡位置附近速度较大，因此四分之一个周期内的路程不一定
等于振幅，A错误；周期指发生一次全振动所用的时间，B错误；一个全
振动过程中，位移为零，C错误；一个周期内速度方向改变2次，频率为
， 内速度方向改变100次，D正确。
√
例2 （2024·河北卷，T6）如图，一电动机带动轻
杆在竖直框架平面内匀速转动，轻杆一端固定在电
动机的转轴上，另一端悬挂一紫外光笔，转动时紫
外光始终竖直投射至水平铺开的感光纸上，沿垂直
A., B.,
C., D.,
于框架的方向匀速拖动感光纸，感光纸上就画出了描述光点振动的 图
像。已知轻杆在竖直面内长,电动机转速为 。该振动的圆频
率和光点在 内通过的路程分别为( )
√
解析：紫外光在纸上的投影做的是简谐运动，电动机的转速
，因此圆频率
，周期 ，简谐运动的振
幅即为轻杆的长度，通过的路程 。
例3 如图所示，将弹簧振子从平衡位置向右拉开 后放手，让它做简
谐运动，已知从放手到第一次回到平衡位置的时间为 。
（1）求弹簧振子的振幅、周期、频率。
解析：根据振幅的定义，可知振幅 ；由于一周期内有4个等时的
运动阶段，从最大位移处向平衡位置运动的时间为 ，所以周期
，频率 。
答案：
（2）求 内完成全振动的次数。
解析：因为，，所以 内完成了5次全振动。
答案：5
（3）求振子从开始运动经过 的位移的大小。
解析：经过，
振子经整数周期恰好回到原来位置（即右侧最大位移处），再经 振子正
向左经过平衡位置，所以 末振子的位移为0。
答案：0
（4）求振子经 通过的路程。
解析：由于振子在一个周期内运动的路程为4倍的振幅， ，
所以振子经过通过的路程 。
答案：
（5）若将弹簧振子从平衡位置向右拉开 后释放，则运动过程中的振
幅、周期、频率变为多大？
解析：由于振子振动的周期与振幅无关，所以振子的振幅变为 ，而周
期与频率均不变。
答案：振幅变为 ，而周期与频率均不变
角度2
利用振动图像分析简谐运动的物理量
例4 （2025·山东泰安市期中）如图所示的是某弹簧振子做简谐运动的
图像，下列描述正确的是( )
A.该振子的周期为
B.在到 时间内，振子的速度不断减小
C.在到 时间内，振子通过的路程为
D.在时，振子的速度沿 轴负方向
√
解析：该振子的周期为，故A错误；在到 时间内，振子向平衡
位置运动，速度不断增大，故B错误；在到 时间内，振子位于最
大位移附近，速度较小，通过的路程小于 ，故C错误；图像切线的斜
率代表速度，可知在时，振子的速度沿 轴负方向，故D正确。
知识点二 简谐运动对称性和周期性
1.简谐运动的对称性
如图所示，物体在点和点之间运动，点为平衡位置，和两点关于
点对称，则：
（1）时间的对称
①振动质点来回通过相同的两点间所用的时间相等，如 。
②质点经过关于平衡位置对称的等长的两线段所用的时间相等，图中
， 。
（2）速度的对称
①物体连续两次经过同一点（如 点）的速度大小相等，方向相反。
②物体经过关于点对称的两点（如点与 点）的速度大小相等，方向可
能相同，也可能相反。
（3）位移的对称
①物体经过同一点（如 点）时，位移相同。
②物体经过关于点对称的两点（如点与 点）时，位移大小相等，方向
相反。
2.简谐运动的周期性
简谐运动是一种周期性的运动，根据其周期性可作如下判断：
（1）若，则在、两时刻振动物体在同一位置，运动情况
完全相同。
（2）若，则在、两时刻，描述运动物体的物理量
、均大小相等，方向相反。
（3）若或，则当时刻物体到达最大
位移处时，时刻物体到达平衡位置；当时刻物体到达平衡位置时，
时刻物体到达最大位移处；当时刻物体在其他位置时，时刻物体到达
何处要视具体情况而定。
例5 质点做简谐运动，从质点经过某一位置时开始计时，下列说法正确的
是( )
A.当质点再次经过此位置时，经过的时间为一个周期
B.当质点的速度再次与零时刻的速度相同时，经过的时间为一个周期
C.当质点的位移再次与零时刻的位移相同时，经过的时间为一个周期
D.当质点经过的路程为振幅的2倍时，经过的时间为半个周期
√
解析：质点连续两次经过同一位置的时间不一定是一个周期，A错误；质
点同向经过关于平衡位置对称的两点速度相同，但经过的时间不为一个周
期，B错误；质点连续两次经过同一位置时，位移相同，但经历的时间一
般不等于一个周期，C错误；质点在任何半个周期内通过的路程一定是振
幅的2倍，D正确。
例6 （多选）弹簧振子做机械振动，若从平衡位置开始计时，经过
时，振子第一次经过点，又经过了，振子第二次经过 点，则到该
振子第三次经过 点可能还需要的时间为( )
A. B. C. D.
解析：假设振子从平衡位置开始向右运动，当 点在右侧时，由题意可知
，该振子第三次经过 点还需要的时间为
，当 点在左侧时，由题意可知
，可得，该振子第三次经过 点还需
要的时间为 。
√
√
知识点三 简谐运动的表达式
1.简谐运动的表达式：
式中表示振动质点相对于平衡位置的位移；表示振动的时间； 表示振
动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅。
2.各量的物理含义
（1）圆频率：表达式中的 称为简谐运动的圆频率，它表示简谐运动物
体振动的快慢。与周期及频率的关系为。
（2） 表示时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相。
代表做简谐运动的质点在时刻处在一个运动周期中的哪个状态，
所以代表简谐运动的相位。
3.从运动方程中得到的物理量
能够得到振幅、周期、圆频率和初相位，因此可应用运动方程和
对两个简谐运动比较周期、振幅和计算相位差。
例7 （多选）物体做简谐运动的振动位移 ，物
体做简谐运动的振动位移 。下列说法正确的是
( )
A.物体的振幅是，物体的振幅是
B.物体、的周期相等，为
C.物体振动的频率等于物体振动的频率
D.物体的相位始终超前物体的相位
√
√
解析：振幅是标量，、的振动范围分别是、 ，但振幅分别为
、，故A错误；周期是标量，、 的周期均为
，故B错误；因为，故 ，
故C正确；的相位始终超前的相位， 为定值，
故D正确。
综合一练
简谐运动的图像和位移表达式的综合分析
例8 （2025·江苏镇江市期中）一物体沿轴做简谐运动，振幅为 ，频
率为，在时，位移是 。
（1）试写出用正弦函数表示的振动方程。
解析：简谐运动振动方程的一般表达式为
根据题意可知
，
则有
将， 代入可得
则振动方程为 。
答案：
（2）画出简谐振动的 图像。（至少画一个周期）
解析：简谐振动的 图像如图所示。
答案：图见解析
（3） 内通过的路程是多少？
解析：周期
由于
则 内通过的路程
。
答案：
PART
02
随堂 巩固落实
1.（简谐运动的物理量）（2025·江苏淮安市期中）一弹簧振子完成10次全
振动通过的路程是 ，则此弹簧振子的振幅为( )
A. B. C. D.
解析：选B。弹簧振子一次全振动的路程等于4个振幅，10次全振动通过的
路程是40个振幅，即，可得 。
√
2.（利用图像分析简谐运动的物理量）某弹簧振子的
振动图像如图所示，下列说法正确的是( )
A.在图中 点对应的时刻，振子位移方向为负方向
B.在图中点对应的时刻，振子的速度方向指向 轴
的负方向
C.在前 内振子做了4次全振动
D.在前内振子通过的路程为
√
解析：选D。在题图中 点对应的时刻，振子向正向最大位移处运动，即
速度方向指向轴正方向，A、B错误；由题图可看出，周期 ，所以
在前 内经过两个周期，即振子完成两次全振动，所以通过的路程
，C错误，D正确。
3.（简谐运动的周期性和对称性）（多选）一个质点做简谐运动的图像如
图所示，下列结论正确的是( )
A.质点的振动频率为
B.在内质点通过的路程是
C.在第 末，质点的速度为0
D.在和 两时刻质点的速度方向
相同
√
√
解析：选。由题图读出周期为，则频率为 ，故
A错误；质点在一个周期内通过的路程是4个振幅， ，则在
内质点经过的路程是 ，故B正确；
在第 末，质点位于最大位移处，速度为0，故C正确；由题图看出，在
和 两时刻质点位移相同，由于两个时刻图线的切线方
向相反，所以速度方向相反，故D错误。
4.（简谐运动的表达式）物体做简谐运动，振幅为，周期为 ，
计时开始时振子位于正向最大位移处，它的位移公式是( )
A. B.
C. D.
解析：选A。由题意， 时，振子的位移是正向最大，即
，根据简谐振动的位移公式 ，
，，所以 ，所
以位移公式为 。
√
5.（简谐运动的图像和位移表达式）某做简谐运动的物体，其位移与时间
的变化关系式为 。
（1）求物体的振幅。
解析：简谐运动的表达式
比较题中所给表达式可知振幅 。
答案：
（2）求物体振动的频率。
解析：物体振动的频率
。
答案：
（3）求在时间 时，物体的位移大小。
解析： 时位移大小
。
答案：
（4）画出该物体简谐运动的图像。
解析：该物体简谐运动的周期
简谐运动图像如图所示。
答案：图见解析(共51张PPT)
阶段滚动检测卷（一）
（时间：75分钟 分值：100分）
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出
的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.如图所示，质量为、长为 的长木板静止在光滑水平面上，一个质量为
的物块（视为质点）以一定的初速度从左端冲上木板，最后物块与长木
板以共同的速度一起向右运动。现将长木板与物块作为一个系统，则此系
统从物块滑上长木板到物块与长木板以共同的速度一起向右运动的过程中
( )
A.动量守恒，机械能守恒 B.动量守恒，机械能不守恒
C.动量不守恒，机械能不守恒 D.动量不守恒，机械能守恒
解析：选B。物块和长木板组成的系统受到的合力为零，总动量守恒，另
外物块在长木板上相对滑动的过程中要摩擦生热，故系统机械能不守恒，
故B正确。
√
2.心电图仪甲通过一系列的传感手段，
可将与人心跳对应的生物电流情况记
录在匀速运动的坐标纸上。一台心电
图仪测得待检者心电图如图乙所示。
A. B. C. D.
解析：选B。心脏每次跳动的时间间隔 ，所以坐标纸的走纸
速度大小 。
医生测量时记下被检者的心率为60次/ ，则这台心电图仪输出坐标纸的
走纸速度大小为( )
√
3.在空中相同高度处以相同的速率分别抛出质量相同的三个小球。一个竖
直上抛，一个竖直下抛，一个平抛，若不计空气阻力，从三个小球抛出到
落地的过程中( )
A.三个球动量的变化率相同
B.下抛球和平抛球动量的变化量相同
C.上抛球动量变化量最小
D.三球落地时的动量相同
√
解析：选A。三个小球加速度相同，故速度变化率相同，可得三个球动量
的变化率相同，三个小球以相同的速率抛出，可知竖直上抛运动的物体运
动时间大于平抛运动的时间，平抛运动的时间大于竖直下抛运动的时间，
所以上抛运动的时间最长，根据动量定理知， ，可得上抛球动
量变化量最大，下抛球动量变化量最小，故A正确，B、C错误；根据动能
定理知 ，可知三球落地时速度的大小相等，由于平
抛运动的速度方向与上抛运动和下抛运动的速度方向不同，则动量不同，
故D错误。
4.学习了反冲原理之后，同学们利用饮料瓶制作了“水火
箭”。如图所示，瓶中装有一定量的水，其发射原理是通
过打气使瓶内空气压强增大，当橡皮塞与瓶口脱离时，
瓶内水向后喷出。静置于地面上的质量为 （含水）的
A.水火箭的原理与体操运动员在着地时要屈腿的原理是一样的
B.发射后，水火箭的速度大小
C.水火箭的推力来源于火箭外的空气对它的反作用力
D.水火箭上升到最大高度的过程中，重力的冲量为
“水火箭”释放升空，在极短的时间内，质量为的水以相对地面为 的速
度竖直向下喷出。重力加速度为 ，空气阻力不计，下列说法正确的是
( )
√
解析：选B。体操运动员在着地时屈腿可以延长着地时间，从而可以减小
地面对运动员的作用力，故A错误；由题意可得，由动量守恒定律可得
，解得水火箭获得的速度 ，故B正确；水火箭的
推力来源于向下喷出的水对它的反作用力，故C错误；水喷出后，水火箭
做竖直上抛运动，水火箭在空中上升的时间 ，重力的冲量
，故D错误。
5.以下物体不是做简谐运动的是( )
A.图甲中，将倾角为 的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开
B.图乙中，竖直浮在水中的均匀木筷，下端绕几圈铁丝，把木筷往上提起
一段距离后放手
C.图丙中，将光滑圆弧面上的小球从最低点移开很小一段距离，放手后，
小球在最低点左右运动
D.图丁中，倾角均为 的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两
斜面间来回运动
√
解析：选D。题图甲中，把倾角为 的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段
距离，然后松开，小球的往复运动，与弹簧振子的运动规律相似，满足
，为简谐运动，故A与题意不符；题图乙中，如果不考虑水的粘
滞阻力，木筷受到重力和水的浮力，重力恒定不变，浮力与排开水的体积
成正比，木筷静止时的位置看作平衡位置，由此可知以平衡位置为坐标原
点，木筷所受合力与其偏离平衡位置的位移成正比，且方向相反，则可以
判定木筷做简谐运动，故B与题意不符；题图丙中，小球受到重力和圆弧
面的支持力，重力恒定不变，支持力始终与运动方向垂直，与单摆的运动
类似，从而判定小球做简谐运动，故C与题意不符；题图丁中，倾角均为
的两光滑斜面，让小球在斜面某处从静止开始在两斜面间来回运动，重
力沿斜面的分力提供回复力，但该力大小不变，不与位移成正比，故小球
的运动不是简谐运动，故D与题意相符。
6.某同学做用单摆测定重力加速度的实验，为减小实
验误差，多次改变摆长，测量对应的单摆周期 ，用
多组实验数据绘制 图像如图所示。由图可知，
当地重力加速度大小为( )
A. B. C. D.
解析：选B。由题图知图像的斜率 ，单摆周期公式
，得，所以 ，变形得重力加速度大小
。
√
7.一名连同装备总质量为的航天员，在距离空间站 处与空间站相对静止。
装备中有一个高压气罐，能喷出气体从而使航天员相对于空间站运动。某
次航天员启动高压气罐，一次性向远离空间站的方向以速度 （以空间站
为参考系）喷出质量为的气体，使航天员在时间 内匀速返回空间站。
下列说法正确的是( )
A.若高压气罐喷出气体的速度变大但动量不变，则返回时间大于
B.若高压气罐喷出气体的质量不变但速度变大，则返回时间大于
C.喷出气体的质量
D.在喷气过程中，航天员、装备及气体所构成的系统机械能守恒
√
解析：选A。根据动量守恒定律有 ，解得
，若高压气源喷出气体的质量不变但速度变大，则 变大，故
返回时间小于，由 ，若高压气源喷出气体的速度变大但动量不
变，可知减小，得减小，则返回时间大于 ，故A正确，B错误；由
题意知，航天员的速度 ，喷气过程系统动量守恒，以航天员的速度
方向为正方向，由动量守恒定律得 ，解得
，故C错误；在喷气过程中，航天员、装备及气体
所构成的系统的动能增加，故系统机械能不守恒，故D错误。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题意，全部选对的得6分，选对但不全的
得3分，有错选的得0分。
8.下列关于简谐振动的说法正确的是( )
A.在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐振动的周期越小
B.弹簧振子做简谐振动时，振动系统的势能与动能之和保持不变
C.弹簧振子的速度和加速度方向始终相同
D.做简谐运动的物体，其频率固定，与振幅无关
√
√
解析：选。根据单摆周期公式 可知，单摆的周期与质量无关，
A错误；弹簧振子做简谐振动时，只有动能和势能参与转化，根据机械能
守恒条件可知，振动系统的势能与动能之和保持不变，B正确；弹簧振子
速度和加速度方向不一定相同，C错误；做简谐运动的物体的振动周期和
频率只与振动系统本身有关，与振幅无关，D正确。
9.一个质点经过平衡位置，在、 间做简谐运动，如图甲所示，它的振
动图像如图乙所示，设向右为正方向，下列说法正确的是( )
A. 时质点的加速度最大
B.时质点的加速度方向是
C.时质点由向 运动，加速度方向向左
D.在到 质点速度先增大后减小
解析：选。由图像可知， 时质点处于正向最大位移处，则加速度
为负向最大，故A正确； 时质点处于负向最大位移处，则加速度正向
最大，方向为，故B错误； 时质点从平衡位置向正向最大位移
处振动，加速度为负方向，则质点由向 运动，加速度方向向左，故C正
确；由于质点在平衡位置的速度最大，所以在到 质点速度先增
大后减小，故D正确。
√
√
√
10.用高压水枪清洗汽车的照片如图所示。设水枪喷出水
柱截面为圆形，直径为，水流速度为 ，水柱垂直于汽
车表面，水柱冲击汽车后沿原方向的速度为零。高压水枪
的质量为，手持高压水枪操作，已知水的密度为 。下
列说法正确的是( )
A.水柱对汽车的平均冲力为
B.高压水枪单位时间喷出的水的质量为
C.高压水枪喷出水柱的直径 减半时，水柱对汽车的平均冲力加倍
D.当高压水枪的出水速度变为原来2倍时，压强变为原来的4倍
√
√
√
解析：选。高压水枪单位时间喷出的水的质量 ，
由动量定理有， ，解得水柱对汽车的平均冲力
，所以A、B正确，C错误；高压水枪喷口的出水压强
，与面积无关，与速度的平方成正比，所以D正确。
三、非选择题：本题共5小题，共54分。
11.（10分）某同学在“用单摆测定重力加速度”的实验中进行了如下的操作。
（1）请选择正确的器材_____。
A.体积较小的钢球 B.体积较大的木球
C.无弹性的轻绳 D.有弹性、质量大的绳子
解析：为减小实验误差，应选择密度大而体积小的球作为摆球，故B错误，
A正确；实验过程单摆摆长应保持不变，摆线应选用无弹性的轻绳，故D
错误，C正确。
√
√
（2）用游标上有10个小格的游标卡尺测量摆球直径如图甲所示，摆球直
径为_____。利用刻度尺测得摆线长，则该单摆的摆长
______ 。
20.6
91.13
解析：由题图甲可知，游标卡尺的游标为10分度，且第6个小格与主尺对
齐，则摆球直径 ，该单
摆的摆长 。
（3）测量出多组周期、摆长数值后，画出 图
像如图乙所示，此图线斜率的物理意义是___。
A. B. C. D.
解析：由单摆的周期公式可得 ，
则图像的斜率的物理意义是 。
√
（4）与重力加速度的真实值比较，发现第（3）问中获得的测量结果偏大，
分析原因可能是___。
A.振幅偏小 B.将摆线长加直径当成了摆长
C.将摆线长当成了摆长 D.开始计时误记为
√
解析：设（3）问中图线斜率为，则，可得 ，重力加速度
的测量值与振幅无关，振幅偏小，不影响测量结果，故A错误；根据
结合数学知识可知，将摆线长加直径当成了摆长和将摆线
长当成了摆长都不会影响 的斜率，不影响测量结果，故B、C错误；
摆长相同的情况下，开始计时误记为 ，则周期偏小，则图线斜率偏
小，根据可知， 值偏大，故D正确。
（5）该小组的另一同学没有使用游标卡尺也测出了重力加速度。他采用
的方法是：先测出一摆线较长的单摆的振动周期 ，然后把摆线缩短适当
的长度，再测出其振动周期 。用该同学测出的物理量表达重力加速度
为 _ _____。
解析：根据题意，由单摆的周期公式可得 ，
，联立解得 。
12.（10分）“验证动量守恒定律”的实验装置可采用图甲或图乙的方法，两
个实验装置的区别在于：①悬挂重垂线的位置不同；②图甲中设计有一个
支柱（通过调整，可使两球的球心在同一水平线上，上面的小球被碰离开
后，支柱立即倒下），图乙中没有支柱，图甲中的入射小球 和被碰小球
做平抛运动的抛出点分别在通过、点的竖直线上，重垂线只确定了
点的位置。（球的质量为，球的质量为 ）
（1）采用图甲的实验装置时，用20分度的游标卡尺测量小球的直径如图
丙所示，则读数为______ 。
16.25
解析：该游标卡尺精确度为 ，故读数为
。
（2）实验中，两球质量需满足 ______（选填“大于”“小于”或“等于”）
。
大于
解析：由于碰撞后，二者速度需同向且向右，故需要大于 。
（3）比较这两个实验装置，下列说法正确的是______。
A.采用图甲的实验装置时，需要测出两小球的直径
B.采用图乙的实验装置时，需要测出两小球的直径
C.采用图乙的实验装置时，斜槽轨道末端的切线要求水平，而采用图甲的
实验装置则不需要
D.为了减小误差，无论哪个实验装置，都要求入射球每次都要从同一高度
由静止滚下
E.为了减小误差，采用图乙的实验装置时，应使斜槽末端水平部分尽量光滑
√
√
√
解析：采用题图甲的实验装置时，为测出入射球碰撞后的水平位移，需要
测出两小球的直径，故A正确；采用题图乙的实验装置时，不需要测出两
小球的直径，故B错误；无论采用哪个实验装置做实验，斜槽轨道末端的
切线都要求水平，故C错误；为了减小误差，无论哪个实验装置，都要求
入射球每次都要从同一高度由静止滚下，故D正确；采用题图乙的实验装
置时，碰撞后 要在水平面上继续运动一段距离后再做平抛运动，为减小
实验误差，应使斜槽末端水平部分尽量光滑，故 正确。
（4）若某同学按图乙做实验时所用小球的质量分别
为、 ，如图丁所示的实验记录
解析：若碰撞为弹性碰撞，碰撞过程中系统动量
守恒、机械能守恒，有 ，
答案：图见解析
纸上已标注了该实验的部分信息，若两球碰撞为弹性碰撞，请将碰后 球
落点的位置记为 标注在图丁中。
，解得 ，所以
碰后球落地点到点的距离与距离比为 ，标注位置如图。
（5）若用如图戊所示装置也可以验
证碰撞中的动量守恒，实验步骤与上
述实验类似。图戊中、、 到抛出
点的距离分别为、、 。若两
球相碰前后的动量守恒，其表达式可
表示为___。
A. B.
C. D.
√
解析：设抛出点到斜面落点距离为，斜面与竖直方向夹角为 ，则根据
平抛规律，，解得 ，由动量守恒
定律得 ，代入题中数据整理得
。
13.（8分）一弹簧振子甲的振动图像如图所示，试
解答以下问题：
（1）写出该振子在任意时刻的位移 的表达式。（4分）
解析：由题图可知，弹簧振子甲的振幅，周期 ，则
该振子在任意时刻的位移 的表达式为
当时，，解得
可得 。
答案：
（2）另有一弹簧振子乙也做简谐运动，振幅为 ，周期与甲相同，
乙的相位比甲落后，请写出乙在任意时刻的位移 的表达式。（4分）
解析：依题意，弹簧振子乙的振幅，周期 ，
则
又
该振子在任意时刻的位移 的表达式为
。
答案：
14.（12分）用轻绳连着小球，系于点，在 点
正下方有一滑块，滑块、 用轻质弹簧拴接，
初始时弹簧处于原长，原长为 ，如图所示，已知
的距离为，现保持轻绳伸直将小球拉至 点
等高处，由静止释放，小球到达最低点时刚好与滑块 发生正碰，之后
小球 反弹到达最高点时
离最低点高度为。已知、、 的质量分别为
、、，均可视为质点，重力加速度为 ，地面光滑。求：
（1）、碰撞前瞬间，小球速度的大小及、碰撞后瞬间，小球 和
滑块 速度的大小；（4分）
解析：设小球运动到最低点与滑块碰撞前的速度大小为，取小球 运
动到最低点时的重力势能为零，根据机械能守恒定律有
解得
设碰撞后小球反弹的速度大小为 ，同理有
解得
A、 碰撞过程，由动量守恒定律有
解得 。
答案：; ;
（2）弹簧的最大弹性势能；（4分）
解析：碰撞后当滑块与滑块 速度相等时轻质弹簧的弹性势能最大，根
据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律得
解得 。
答案：
（3）滑块 的最大速度的大小。（4分）
解析：弹簧再次恢复原长时，根据动量守恒定律有
根据机械能守恒定律有
解得 。
答案：
15.（14分）在光滑水平面上静置有质量均为
的木板和滑块，木板 上表面粗糙，滑
块上表面是光滑的圆弧，其始端 点切线水
平且与木板上表面平滑相接，如图所示。一可视为质点的物块 ，质量
也为，从木板的右端以初速度滑上木板，过 点时速度大小为
，又滑上滑块，最终恰好能滑到滑块圆弧的最高点 处。已知物块
与木板间的动摩擦因数为 ，重力加速度为 。求：
（1）物块滑到处时木板的速度 ；（2分）
解析：物块由点到点 时，取向左为正方向，由动量守恒定律得
其中
解得 ，方向向左。
答案： ，方向向左
（2）木板的长度 ；（4分）
解析：物块由点到点 过程中，根据动能定理得
解得 。
答案：
（3）滑块圆弧的半径 ；（4分）
解析：由点到点，滑块与物块 组成的系统在水平方向上动量守恒，
由动量守恒定律得
滑块与物块 组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得
联立解得 。
答案：
（4）滑块最终速度 的大小。（4分）
解析：设物块与滑块分离瞬间，二者的速度大小分别为、 ，在它
们相互作用的过程中，以向左为正方向，在水平方向上，由动量守恒定律
有
由能量守恒定律有
解得，
可见，物块与滑块交换速度，物块和木板都以 的速度做同方
向的匀速运动，无法再追上滑块，故滑块最终速度 。
答案：(共42张PPT)
第二章 机械振动
第1节 简谐运动及其图像
1.理解简谐运动的含义，能从简谐运动的图像中了解简谐运动的规律。 2.
知道什么是简谐运动的振幅、周期和频率，知道全振动的含义，理解周期
和频率的关系。 3.了解相位和相位差，知道简谐运动表达式的含义。 4.
能够利用振动图像分析和求解各物理量。 5.能够根据振动图像写出简谐运
动的表达式。
PART
01
课前知识梳理
一、机械振动
物体（或物体的某一部分）在某一位置两侧所做的①______运动，叫作机
械振动，通常简称为振动，这个位置称为②__________。
往复
平衡位置
二、简谐运动
1.弹簧振子：将弹簧上端固定，下端连接一个小球，小球可在竖直方向上
运动。弹簧的质量比小球的质量③________，可以忽略不计，若不计
④__________，这样的系统称为弹簧振子，其中小球称为⑤______。
小得多
空气阻力
振子
2.位移—时间图像
建立坐标系，横轴代表⑥______，纵轴代表小球⑦____________________，
它就是小球在平衡位置附近往复运动的位移—时间图像，称为弹簧振
子的振动图像。
时间
相对平衡位置的位移
3.简谐运动：如果质点的位移与时间的关系严格遵从正弦函数的规律，即
它的振动图像是一条正弦曲线，这样的运动叫作简谐运动。
三、描述简谐运动的物理量
1.振幅：振子离开平衡位置的⑧__________，用 表示。振幅是表示振动
强弱的物理量。
最大距离
2.全振动：振子从正向最大位移处经平衡位置运动到负向最大位移处，再从
负向最大位移处经平衡位置回到正向最大位移处，即振子完成一次全振动。
3.周期：振子每完成一次全振动所用的时间是⑨______的，这个时间叫作
振动的周期，单位秒 。
相同
4.频率：完成的⑩________的次数与所用时间的比，叫作振动的频率，单
位赫兹 。
5.周期和频率的关系：用表示周期，用表示频率，则有 __。
全振动
6.相位：表示振动步调的物理量。相位是描述做周期性运动的物体在各个
时刻所处状态的物理量。
四、简谐运动的表达式
，式中 表示振
动的振幅，和分别表示物体振动的周期和频率。其中“ ”是简
谐运动的相位，时的相位 叫作初相位，简称初相。当两个相同的
弹簧振子，从平衡位置拉开后，相隔不同时间放开，它们的振动步调将不
相同，即它们此刻的相位也就不同，或者说二者振动具有 ________。
相位差
判断下列说法是否正确。
（1）简谐运动是匀变速运动。( )
×
（2）弹簧振子每次经过平衡位置时，位移为0。( )
√
（3）简谐运动的图像描述的是振动质点的轨迹。( )
×
（4）只要质点的位移随时间按正弦规律变化，这个质点的运动就是简谐
运动。( )
√
（5）周期、频率是表示物体做简谐运动振动快慢程度的物理量。( )
√
（6）振子从离开某位置到重新回到该位置的过程不一定是一次全振动过
程。( )
√
（7）振子 个周期通过的路程一定等于1个振幅。( )
×
第1课时 简谐运动
1
课前知识梳理
2
课堂 深度探究
3
随堂 巩固落实
PART
02
课堂 深度探究
知识点一 对弹簧振子和简谐运动的理解
如图所示的装置，把小球向右拉开一段距离后释放，可以观察到小球左右
运动了一段时间，最终停止运动。
（1）小球的运动具有什么特点？为什么小球最终停止运动？
［提示］小球的运动具有往复性。小球因为受到阻力的作用最终停止运动。
（2）在横杆上涂上一层润滑油，重复刚才的实验，观察到的结果与第一
次实验有何不同？
［提示］小球往复运动的次数增多，运动时间变长。
（3）猜想：如果小球受到的阻力忽略不计，弹簧的质量比小球的质量小
得多，也忽略不计，实验结果如何？
［提示］小球将持续地做往复运动。
1.弹簧振子是理想化模型，实际装置能看成弹簧振子的条件如下：
（1）弹簧的质量比振子的质量小得多，可以认为质量集中于振子；
（2）阻力（摩擦力及空气阻力）足够小；
（3）振动中，弹簧形变始终处于弹性限度内。
2.简谐运动的位移
由平衡位置指向振子所在位置的有向线段。
3.简谐运动的速度
（1）物理含义：速度是描述振子在平衡位置附近振动快慢的物理量。
（2）特点：如图所示的是一弹簧振子的模型，点为平衡位置，小球在
、间做往复运动，振子在点速度最大，在、两点速度为0。
角度1
对弹簧振子的理解
例1 （多选）对于做简谐运动的弹簧振子，下述说法正确的是( )
A.振子通过平衡位置时，速度最大
B.振子在最大位移处时，速度最大
C.振子在连续两次通过同一位置时，位移相同
D.振子连续两次通过同一位置时，速度相同
解析：振子经过平衡位置时速度最大，A正确；振子在最大位移处时速度
最小，B错误；同一位置相对于平衡位置的位移相同，C正确；速度是矢
量，振子连续两次通过同一位置时速度大小相等，方向相反，即速度不同，
D错误。
√
√
角度2
水平方向的简谐运动
例2 如图所示，这是一弹簧振子，设向右为正方向， 为平衡位置，则
( )
A. 时，位移为负，速度为正
B. 时，位移为正，速度为负
C. 时，位移为负，速度为正
D. 时，位移为负，速度为正
解析：位移方向是从平衡位置指向振子所在位置的有向线段，而速度方向
要具体看弹簧振子的运动以及正方向的规定，规定向右为正方向，
位移为正，速度为负；位移为负，速度为负； 位移为正，速
度为正； 位移为负，速度为正。
√
角度3
竖方向的简谐运动
例3 如图所示， 弹簧下端悬挂一钢球，上端固定，组成一个振动系统，
用手把钢球向上托起一段距离，然后释放，下列说法正确的是( )
A.钢球运动的最高处为平衡位置
B.钢球运动的最低处为平衡位置
C.钢球速度为0处为平衡位置
D.钢球原来静止时的位置为平衡位置
解析：钢球振动的平衡位置应在钢球所受重力与弹力相等的位置，即钢球
原来静止时的位置，D正确。
√
知识点二 简谐运动的图像及应用
1.对简谐运动图像（图像）的认识
（1）图像形状：正（余）弦曲线。
（2）物理意义：表示振动质点在不同时刻偏离平衡位置的位移，是位移
随时间的变化规律。
2.获取信息
（1）任意时刻质点的位移的大小和方向。如图甲所示，质点在、时刻
的位移分别为和。
（2）任意时刻质点的振动方向：看下一时刻质点的位置，如图乙中质点
在位置时，下一时刻离平衡位置更远，故此刻质点沿 轴正方向振动。
（3）简谐运动中速度和位移的关系：看下一时刻质点的位置，判断是远
离还是衡位置。若远离平衡位置，则速度越来越小，位移越来越大，
若衡位置，则速度越来越大，位移越来越小，如图乙中质点在 位
置时，从正向位移处向着平衡位置运动，则速度为负且增大，位移正在减
小，质点在 位置时，从负向位移处远离平衡位置运动，则速度为负且减
小，位移正在增大。
角度1
简谐运动的图像特点
例4 如果质点的位移与时间关系遵从正
弦函数规律，这样的运动叫作简谐运动。
根据图中各图像可以判断出物体可能做
简谐运动的是( )
A.①② B.③④ C.①③ D.②④
解析：根据题意，振动图像与正弦函数
图像相似的①③的运动符合简谐运动的
特征，故A、B、D错误，C正确。
√
例5 如图甲所示，一弹簧振子在、 间振动，取向右为正方向，振子经
过点时为计时起点，其振动的 图像如图乙所示，则下列说法正确的
是( )
A.时刻振子在 点
B.时刻振子在 点
C.在到 时间内，振子的位移在增大
D.在到 时间内，振子的位移在减小
√
解析：振子在点和 点时位移最大，由于取向右为正方向，所以振子运
动到点有正向最大位移，运动到点有负向最大位移，则 时刻，振子在
点，时刻，振子在 点，故A、B错误；振子的位移以平衡位置为起点，
所以在到和到 时间内振子的位移都在增大，故C正确，D错误。
角度2
简谐运动图像的应用
例6 （多选）（2025·湖北孝感期中）一质点做简谐运动，其位移—时间
图像如图所示，由图像可知( )
A. 时，质点速度为正的最大值
B. 时，质点速度为0
C. 时，质点速度为正的最大值
D. 时，质点速度为0
√
√
√
解析：由图像可知， 时，质点处于平衡位置向负方向振动，则质点
速度为负的最大值，故A错误；由图像可知， 时，质点处于负的最大
位移位置，此时质点速度为0，故B正确；由图像可知， 时，质点处
于平衡位置向正方向振动，则质点速度为正的最大值，故C正确；由图像可
知， 时，质点处于正的最大位移位置，此时质点速度为0，故D正确。
例7 某弹簧振子的振动图像如图所示。根据图像判断，下列说法正确的是
( )
A.第 内振子相对于平衡位置的位移与速度方向相反
B.第末振子相对于平衡位置的位移为
C.第末和第 末振子相对于平衡位置的位移不相
同，瞬时速度方向相反
D.第内和第 内振子相对于平衡位置的位移方向
相同，瞬时速度方向相反
√
解析：第 内振子相对于平衡位置的位移为正方向，速度方向也为正方向，
A错误；第末振子在平衡位置，位移为0，B错误；第 末振子相对于
平衡位置的位移为，第末振子恰好过平衡位置，且正向 轴负
方向运动，而第末振子瞬时速度刚好为0，C错误；第内和第 内振
子相对于平衡位置的位移方向都是正方向，第 内瞬时速度方向为正方向，
第 内瞬时速度方向为负方向，D正确。
例8 如图是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的信息，回答下列
问题。
（1）质点离开平衡位置的最大距离有多大？
解析： 。
答案：
（2）在和 这两个时刻，质点的位置在哪里？质点向哪个方向运动？
解析：在，质点的位置坐标,在 时，质点的位置坐标
，在这两个时刻，质点都向 轴的负方向运动。
答案：见解析
（3）质点相对于平衡位置的位移方向在哪些时间内跟它的瞬时速度的方
向相同？在哪些时间内跟瞬时速度的方向相反？
解析：质点在前和到 相对于平衡位置的位移方向跟它的瞬时速度
方向相同；质点在到和到 相对于平衡位置的位移方向跟它的瞬
时速度方向相反。
答案：见解析
（4）质点在第 末的位移是多少？
解析：0。
答案：0
（5）质点在前 内运动的路程是多少？
解析： 。
答案：
PART
03
随堂 巩固落实
1.（机械振动）（多选）关于机械振动和平衡位置，以下说法正确的是
( )
A.平衡位置就是振动物体静止时的位置
B.机械振动的位移总是以平衡位置为起点的
C.机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大
D.机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远的位移
解析：选 。平衡位置是物体静止时的位置，与受力有关，不一定是振
动范围的中心；振动位移是以平衡位置为起点，到物体所在位置的有向线
段；振动位移随时间而变化，物体偏离平衡位置最远时，振动物体的位移
最大，而路程越大，位移不一定越大,所以A、B正确。
√
√
2.（简谐运动的理解）简谐运动是下列哪一种运动( )
A.匀变速运动 B.匀速直线运动
C.非匀变速运动 D.匀加速直线运动
解析：选C。简谐运动的 图像是一条正弦曲线，其图像的斜率既不是
定值，且随 也并非均匀变化，所以简谐运动是非匀变速运动，故C正确，
A、B、D错误。
√
3.（简谐运动的图像及应用）如图所示，弹簧振子在、 之间做简谐运
动。以平衡位置为原点，建立轴。向右为轴正方向。若振子位于
点时开始计时，则其振动图像为( )
A. B. C. D.
解析：选A。由题意，向右为轴的正方向，振子位于 点时开始计时，因
此 时，振子的位移为正的最大值，振动图像为余弦函数图像，A正确。
√
4.（简谐运动的图像及应用）（多选）一质点做简谐运动的图像如图所示，
下列说法正确的是( )
A. 时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
B. 时刻振子的位移最大
C. 时刻振子正通过平衡位置向正方向运动
D.该图像是从平衡位置计时画出的
√
√
解析：选。从图像可以看出， 时刻，振子在正的最大位移处，因
此是从正的最大位移处开始计时画出的图像，D错误； 时刻以后振子的
位移为负，因此该时刻振子正通过平衡位置向负方向运动，A错误； 时
刻振子在负的最大位移处，因此可以说 时刻振子的位移最大，B正确；
时刻以后，振子的位移为正，所以该时刻振子正通过平衡位置向正方向
运动，C正确。(共22张PPT)
课后达标检测
题组1
对回复力的理解
1.简谐运动中，下列各组物理量方向始终相反的是( )
A.回复力与位移 B.位移与速度 C.加速度与速度 D.回复力与速度
解析：选A。根据可知，回复力与位移 方向始终相反，而位移
与速度、加速度与速度、回复力与速度均可能相同，可能相反。
√
2.下列关于振动物体所受回复力的说法正确的是( )
A.回复力是指物体受到的指向平衡位置的力
B.回复力是指物体所受的合外力
C.回复力只可能是弹力
D.回复力可以做功
解析：选D。回复力可以是由多个力合成的，也可以是某个力的分力，指
向平衡位置的力不一定就是回复力，故A错误；合外力中部分提供回复力，
其他的力可能提供其他效果力，故B错误；回复力是以力的作用效果命名
的，可以是重力、弹力或摩擦力，也可以是几个力的合力，故C错误；回
复力可以做功，故D正确。
√
3.弹簧振子在光滑水平面上做简谐运动，在振子向平衡位置运动的过程中
( )
A.振子所受的回复力逐渐增大 B.振子的位移逐渐增大
C.振子的速度逐渐减小 D.振子的加速度逐渐减小
解析：选D。振子的位移为由平衡位置指向振动物体所在位置的有向线段，
因向平衡位置运动时位移逐渐减小，而回复力与位移成正比，故回复力也
减小，A、B错误；由牛顿第二定律 得，加速度也减小，物体向平衡
位置运动时，回复力与速度方向一致，故物体的速度逐渐增大，D正确，
C错误。
√
题组2
简谐运动中物理量的分析
4.做简谐运动的物体每次通过同一位置时，可能不相同的物理量是( )
A.位移 B.速度 C.动能 D.回复力
解析：选B。位移是从初位置指向末位置的有向线段，则做简谐运动的物
体每次通过同一位置时，位移相同，故A不符合题意；做简谐运动的物体
每次通过同一位置时，速度大小相同，方向可能相反，故B符合题意；做
简谐运动的物体每次通过同一位置时，速度大小相同，则动能相同，故C
不符合题意；做简谐运动的物体回复力与位移成正比，则做简谐运动的物
体每次通过同一位置时，回复力相同，故D不符合题意。
√
5.（2025·山东济南月考）某弹簧振子在前 内的振动图像如图所示，则
下列说法不正确的是( )
A.振动周期为，振幅为
B.第 末振子的速度为零，加速度为正向的最大值
C.从第末到第 末振子的位移增加，振子在做
加速度减小的减速运动
D.第 末振子的势能最小
√
解析：选C。由题图可知，振动周期为，振幅为 ，故A正确，不符
合题意；第 末振子达到负的最大位移处，其速度为零，加速度为正向的
最大值，故B正确，不符合题意；从第末到第 末振子的位移增加，振
子在做加速度增大的减速运动，故C错误，符合题意；第 末振子处于平
衡位置，速度最大，动能最大，势能最小，故D正确，不符合题意。
6.把图中倾角为 的光滑斜面上的小球沿斜面拉下一段距离，然后松开，
假设空气阻力可忽略不计。下列说法正确的是( )
A.小球的运动是简谐运动
B.小球振动的回复力由弹簧的弹力提供
C.振动中小球的机械能守恒
D.小球经过平衡位置时小球动能最大，弹簧的弹性势
能最小
√
解析：选A。小球在平衡位置时 ，设沿着斜面向下为正方
向，小球在平衡位移以下 处受的合外力
，则小球所受的合力即回复力与球偏
离平衡位置位移大小成正比，方向相反，可知小球的运动是简谐运动，故
A正确；根据A选项分析可知，小球的回复力由弹簧的弹力与重力沿斜面
向下的分力的合力提供，故B错误；小球与弹簧组成系统机械能守恒，小
球的机械能不守恒，故C错误；根据简谐运动的性质可知小球经过平衡位
置时动能是最大的，弹簧的拉力大小等于小球重力沿斜面向下的分力，弹
簧处于伸长状态，弹性势能不是最小，故D错误。
7.如图所示的是弹簧振子在、之间做简谐运动， 为平衡位置，则下列
说法不正确的是( )
A.振子的位移增大的过程中，弹力做负功
B.振子的速度增大的过程中，弹力做正功
C.振子的加速度增大的过程中，弹力做正功
D.振子从点出发到再次回到 点的过程中，弹力做的总功为零
√
解析：选C。根据回复力 ，回复力与位移方向相反，指向平衡位
置，对于弹簧振子，弹力充当回复力，振子的位移增大的过程中，弹力做
负功，故A正确；振子的速度增大的过程中，位移减小，弹力方向与运动
方向一致，弹力做正功，故B正确；根据回复力 ，振子的加速度
增大的过程，位移增大，弹力方向与运动方向相反，弹力做负功，故C错
误；振子从点出发到再次回到 点的过程中，速度大小不变，动能不变，
弹力做的总功为零，故D正确。
8.水平弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示。已知弹簧的劲度系数为
，下列说法正确的是( )
A.图中时刻，振子所受的回复力大小为
B.图中时刻，振子向 轴负方向振动
C.从到，振子通过路程为
D.从到 ，振子所受弹力冲量为零
√
解析：选A。题图中 时刻，振子的回复力大小
，振子向 轴正方向振动，故A正确，B错
误；由于振子振动的周期为，从到，即 ，等于四分之
一周期，此过程中振子的平均速度大于前 内的平均速度，因此振子通
过路程大于，故C错误；和 两时刻，振子的速度最大，
但方向相反，则从到 时间内，振子所受弹力冲量大小不为零，
故D错误。
9.（2025·四川成都市期中）图甲是用拉力传感器和弹簧振子制作的一个振
动装置，拉力传感器记录了振子在竖直方向振动时所受轻弹簧施加的拉力
，图乙是拉力随时间变化的正弦曲线，重力加速度大小为 。下列说
法正确的是( )
A.振子的重力为
B.振子的振动周期为
C. 时刻，振子的动能为零
D. 时，轻弹簧处于原长，振子的加速度为0
√
解析：选A。 时刻，振子处于平衡位置，加速度为0，则振子的重力
为 ，振子的动能最大，故A正确，C错误；由题图乙可知振子的振动周
期为，故B错误； 时，拉力为零，弹簧处于原长，振子位于
最大位移处，加速度最大，大小为 ，故D错误。
10.图甲为光滑水平面上的弹簧振子，以平衡位置为原点，在、 之间
做简谐运动，某时刻开始计时，以向右为正方向，其偏离平衡位置的位移
随时间 变化的图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A.该弹簧振子的振幅为 B.该振动系统的振动周期为
C.时，弹簧振子动能最大 D. 时，弹簧处于压缩状态
√
解析：选D。由题图乙可知，弹簧振子的振幅为 ，故A错误；振动系
统的振动周期，故B错误； 时，弹簧振子
不在平衡位置，动能不是最大，故C错误； 点为平衡位置，即弹簧原长
处，点右边位移为正，弹簧处于拉伸状态，相反， 点左边位移为负，
弹簧处于压缩状态，而 时，弹簧振子位移为负，则弹簧处于压缩
状态，故D正确。
11.图甲为用手机和轻弹簧制作的一个振动装置。手机加速度传感器记录了
手机在竖直方向的振动情况，以向上为正方向，得到手机振动过程中加速
度随时间 变化的曲线为正弦曲线，如图乙所示。下列说法正确的是
( )
A. 时，弹簧弹力为0
B. 时，手机位于平衡位置下方
C.从至 ，手机的动能增大
D.改变手机振动的振幅，加速度随时间
的变化周期将发生改变
√
解析：选B。 时，手机加速度为0，即手机处于平衡状态，则弹簧弹
力，A错误；时，手机的加速度为正，根据 可知
手机位于平衡位置下方，B正确；从至 ，手机的加速度增大，
手机从平衡位置向最大位移处运动，速度减小，动能减小，C错误；对于
同一个振子，其振动周期与振幅无关，改变手机振动的振幅，加速度随时
间的变化周期不变，D错误。
12.（12分）（2025·海南省直辖县级单位期中）如图
所示，光滑水平面上放有一个弹簧振子。已知振子滑
（1）滑块的加速度的最大值 为多少？（4分）
解析：在点加速度最大，由 可得
。
答案：
块的质量，弹簧劲度系数 ，将振子滑块从平衡
位置向左移到点，由静止释放后在、间运动，设系统在 处时
具有的弹性势能为 。
（2）求滑块的最大速度 。（4分）
解析：系统的机械能守恒
得 。
答案：
（3）求滑块完成5次全振动时走过的路程 。（4分）
解析：滑块完成5次全振动时走过的路程 。
答案：(共38张PPT)
第二章 机械振动
第4节 实验：用单摆测量重力加速度
1
课前知识梳理
2
典例 分类讲解
3
随堂 巩固落实
PART
01
课前知识梳理
一、实验原理
单摆在做简谐运动过程中的周期跟摆长和当地的重力加速度有关，跟摆球
的质量和振动的幅度无关。根据单摆的周期公式，可得 。
只要测出摆长和周期，就可以计算出当地的重力加速度值。
二、实验器材
细线、带孔小球、铁架台、刻度尺、游标卡尺和停表等。
三、实验步骤
1.让一根不易伸长的细线的一端穿过小球的小孔，然后打一
个比小孔大的线结。线的另一端固定在铁架台上，如图所示，
把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由
下垂。
2.用长的刻度尺量出悬线长度，用游标卡尺量出摆球的直径 ，摆长
。
3.把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度（ 左右）后释放。为了使摆球
只在一个竖直平面内摆动，要从静止释放摆球且不要旋转。从摆球某次通
过平衡位置时启动停表开始计时，数出摆球通过平衡位置的次数
（摆球第一次过平衡位置记为零）。用停表记下所用的时间 ，则单摆振
动的周期 。
4.根据单摆的周期公式，计算出重力加速度。
5.改变摆长，多做几次实验，计算出每次实验得到的重力加速度值。
6.把测得的数据和计算结果填入下表中，求出几次实验得到的重力加速度
的平均值，即可把它看作本地区的重力加速度。
实验次数
1
2
3
7.可以做更多次实验，由多组、值在坐标纸上作出 图像，利用图
线的斜率，算出重力加速度 。
四、注意事项
1.实验所用的单摆应符合理论要求，即线要细、轻、不易伸长，摆球要体
积小、质量大（密度大），并且最大偏角不超过 。
2.单摆悬线上端要固定，即用铁夹夹紧，以免摆球摆动时摆线长度不稳定。
3.测量单摆周期时，应从摆球经过平衡位置（即最低点）时开始计时，以
后摆球从同一方向通过平衡位置时进行计数，且在数“0”的同时按下秒表，
开始计时、计数。
4.摆动时，要使之保持在同一个平面内运动，不要形成圆锥摆。
PART
02
典例 分类讲解
题型一 教材原型实验
例1 （2024·广西卷，T11）单摆可作为研究简谐运动的理想模型。
（1）制作单摆时，在图甲、图乙两种单摆的悬挂方式中，选择图甲方式
的目的是要保持摆动中______不变。
摆长
解析：选择题图甲方式的目的是要保持摆动中摆长不变。
（2）用游标卡尺测量摆球直径，测得读数如图丙，则摆球直径为_____
。
1.06
解析：摆球直径 。
（3）若将一个周期为的单摆，从平衡位置拉开 的角度释放，忽略空
气阻力，摆球的振动可看为简谐运动。当地重力加速度为 ，以释放时刻
作为计时起点，则摆球偏离平衡位置的位移与时间 的关系为
_ ___________________。
解析：根据单摆的周期公式，可得单摆的摆长 ，从平衡
位置拉开 的角度处释放，可得振幅 ，以该位置为计时起点，
根据简谐运动规律可得摆球偏离平衡位置的位移与时间 的关系为
。
例2 （2025·天津十二区重点校月考）某学习小组利用如图甲所示的装置
测量当地的重力加速度。
（1）某同学测定的 的数值比当地公认值大，造成这种情况的原因可能是
_____。
A.开始计时时，过早按下秒表
B.实验时误将49次全振动记为50次
C.测摆长时摆线拉得过紧
D.摆线上端悬点未固定，振动中出现松动，使摆线长度增加了
√
√
解析：由单摆周期公式，可得重力加速度 ，开始计时
时，过早按下秒表，则周期测量值偏大，使得重力加速度测量值偏小，故
A错误；实验时误将49次全振动记为50次，则周期测量值偏小，使得重力
加速度测量值偏大，故B正确；测摆长时摆线拉得过紧，则摆长测量值偏
大，使得重力加速度测量值偏大，故C正确；摆线上端悬点未固定，振动
中出现松动，使摆线长度增加了，则摆长测量值偏小，使得重力加速度测
量值偏小，故D错误。
（2）测量小球直径时游标卡尺如图乙所示，其读数为_____ 。
1.20
解析：10分度游标卡尺的精确值为 ，由题图乙可知读数为
。
（3）实验中，测出不同摆长对应的周期值，作出
图像，如图丙所示，已知图线上、 两点的坐标分别为
、，可求出 _ _________。
解析：由单摆周期公式，得 ，可知图
像斜率，可得 。
题型二 教材实验创新
例3 （2025·福建泉州市南平市月考）一同学利用如图所示装
置来测定当地的重力加速度。已知光滑圆弧凹槽 的半径
为，为圆弧轨道最低点，、等高， 很小。钢球的半
径为，当钢球经过圆弧轨道最低点 时，钢球的球心恰好经
过光电门（图中未画出）。现将钢球从 点由静止释放，沿
凹槽 自由往复运动，当光电门第一次被挡光时计数为“0”
（1）钢球往复运动的周期为___。
解析：根据题意可得，解得钢球往复运动的周期 。
并开始计时，之后每挡光一次计数增加1，当计数为20时，计时为 。
（2）钢球在圆弧轨道上的运动与单摆运动相似，根据“用单摆测量重力加
速度”实验原理，可得当地的重力加速度的表达式为 __________。
解析：根据题意可知，单摆的摆长 ，结合单摆周期公式有
，结合上述解得 。
（3）由于在计数时误将“19”计为“20”，由此测得重力加速度值与真实值
相比______（选填“偏大”或“偏小”）。
偏大
解析：由于计数失误使测量的周期偏小，根据上述可知，测得重力加速度
值与真实值相比偏大。
例4 （2025·河北邯郸市期中）某同学利
用如图甲所示的装置测量当地的重力加
速度以及一磁性小球的大小，长度为 的
细线将该磁性小球悬挂于 点，小球平衡
时在其正下方放置一智能手机，打开手
机的测磁软件可以记录附近磁感应强度大小，将小球由平衡位置拉开一个
角度 ，然后由静止释放，手机同时描绘出附近磁感应强度随时
间变化的图像，如图乙所示。
（1）根据图乙可知，单摆的周期____ 。
1.6
解析：根据单摆的运动规律一个周期内应该有两个磁感应强度的最大值，
由题图乙可得出，单摆的周期 。
（2）改变摆线长度，测出多组细线长 和对应振动
周期，作出图像如图丙所示，已知 取
，由图可知，重力加速度_____ 。
（结果保留3位有效数字）
9.86
解析：根据单摆周期公式，解得 ，根据图线的斜
率，可得重力加速度 。
（3）图像与横轴的交点坐标，则小球的直径___ 。
（结果保留1位有效数字）
2
解析：根据图像的截距，结合图像的斜率可得，小球的直径
。
PART
03
随堂 巩固落实
1.在做“用单摆测量重力加速度”的实验时。
（1）下列给出的材料中应选择_____作为摆球与摆线，组成单摆。
A.木球 B.铁球
C.柔软不易伸长的丝线 D.粗棉线
解析：为减小空气阻力对实验的影响，应选用密度大而体积小的球作为摆
球，A错误，B正确；摆线应选长度不易发生变化的线作为摆线，D错误，
C正确。
√
√
（2）在测定单摆摆长时，下列的各项操作正确的是___。
A.装好单摆，抓住摆球，用力拉紧，测出摆线悬点到摆球球心之间的距离
B.让单摆自由下垂，测出摆线长度再加上摆球直径
C.取下摆线，测出摆线长度后再加上摆球半径
D.测出小球直径，把单摆固定后，让小球自然下垂，用刻度尺量出摆线的
长度，再加上小球的半径
解析：单摆摆长等于摆球半径与摆线长度之和，应先测出摆球直径，然后
把单摆悬挂好，再测出摆线长度，摆球半径与摆线长度之和是单摆摆长，
D正确。
√
（3）实验测得重力加速度的值较当地重力加速度的值偏大，可能的原因
是___。
A.摆球的质量偏大
B.单摆振动的振幅偏小
C.计算摆长时没有加上摆球的半径值
D.将实际振动次数次误记成 次
√
解析：由单摆周期公式解得 ；重力加速度与摆球质量无
关，A错误；重力加速度与振幅无关，B错误；算摆长时没有加上摆球的
半径值，摆长偏小，重力加速度的测量值偏小，C错误； 将实际振动次数
次误记成次，根据知所测周期 偏小，重力加速度的测量值
偏大，D正确。
（4）用摆长和周期计算重力加速度的公式是 _ ____。
解析：由单摆周期公式，解得 。
2.（2025·江苏扬州大学附属中学校考）小明同学在学完单摆知识后，在家
中利用手机等现有器材自主开展探究本地重力加速度的实验，实验装置图
如图甲所示：
（1）选择好器材，将符合实验要求的摆球用
细线悬挂在固定装置的横杆上，则悬挂方式
应采用___。
C
解析：如果采用A、B两种方式固定单摆，单摆在摆动过程中，单摆的悬
点不固定，摆长会发生变化，采用题图C所示方式单摆的悬点固定，单摆
摆动过程中摆长不变。
（2）本实验测量周期时应从摆球____________（选填“在最高点时”或“在
最低点时”）开始计时。
在最低点时
解析：为了减小误差，本实验测量周期时应从摆球在最低点时开始计时。
（3）手机2用于计时（计时格式为：分：秒：毫
秒），手机1用于录像。经过正确的实验操作，完成
录像，然后从视频中截取小球摆线第1次与竖线重合
和第21次与竖线重合时的图片如乙、丙所示，则该
单摆的周期___ （结果保留1位有效数字）。
2
解析：单摆的周期 。
（4）因为家中无游标卡尺，无法测量小球的直径 ，实
验中将摆线长作为摆长，测得多组周期和 的数据，作
出 图像如图丁所示。
①实验得到的图像是___（选填“”“”或“ ”）；
解析：依题意，有
整理可得
可知实验得到的图像是 。
②实验测得当地重力加速度约为_____ （结果保留3位有效数字）。
9.86
解析：由图线斜率的物理意义，可得 ，
解得 。(共23张PPT)
课后达标检测
题组1
描述简谐运动的物理量
1.（2025·山东烟台市期中）下列关于简谐运动的振幅、周期和频率的说法
正确的是( )
A.物体位于平衡位置时，一定处于平衡状态
B.振幅是矢量，方向从平衡位置指向最大位移处
C.简谐运动的振幅越大，则其运动的周期一定越长
D.做简谐运动的物体，其频率与振幅无关，由振动系统本身的性质决定
√
解析：选D。处于平衡位置，也不一定处于平衡状态，比如单摆
（下节讲），故A错误；振幅是标量，故B错误；做简谐振动的物体其周
期和频率是一定的，由振动系统本身的性质决定，与振幅无关，所以振幅
增大，周期和频率保持不变，故C错误，D正确。
2.一个做简谐运动的质点，它的振幅是，频率是 ，该质点从平
衡位置开始经过 后，位移的大小和经过的路程为( )
A.、 B.、
C.0、 D.0、
解析：选B。质点的振动周期，故时间 ，所
以末质点在正向的最大位移处，位移大小为 ，质点通过的路程
为 ，B正确。
√
3.有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩 后释放让
它振动，第二次把弹簧压缩 后释放让它振动，则先后两次振动的周期之
比和振幅之比分别为( )
A., B., C., D.,
解析：选B。弹簧的压缩量即为振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即
振幅，故振幅之比为 ；而对同一振动系统，其周期与振幅无关，故周
期之比为 ，B正确。
√
题组2
简谐运动的周期性和对称性
4.如图所示，弹簧振子在、间振动，为平衡位置， ，
若振子从到的运动时间是 ，则下列说法正确的是( )
A.振子从经到 完成一次全振动
B.振动周期是，振幅是
C.经过两次全振动，振子通过的路程是
D.从开始经过，振子通过的路程是
√
解析：选D。振子从 仅完成了半次全振动，所以周期
，振幅 ，弹簧振子在一次全振动过程中
通过的路程为，所以两次全振动中通过路程为， 的
时间为，所以振子通过的路程为 ，故D正确，A、B、C错误。
5.如图所示，一质点做简谐运动， 点为平衡位置，质点先后以相同的速
度依次通过、两点，历时，质点通过点后再经过又第2次通过
点，在这内质点通过的总路程为 ，则质点的振动周期和振幅分别
为( )
A. B. C. D.
解析：选B。由题意知，质点由点运动到点用时，由 点到右侧最大
位移处用时，所以质点由点到右侧最大位移处用时，即周期为 ；
根据题意，结合题图可知， 点到右侧最大位移处的距离（即振幅）为
。
√
题组3
简谐运动的表达式
6.两个简谐运动的表达式分别为和 ，
它们的振幅之比、频率之比是( )
A.， B.， C.， D.，
解析：选A。由题意知，， ，
，则， ，故A正确，B、C、
D错误。
√
7.（多选）一简谐运动的振动方程为。式中位移 的单
位是 ，则( )
A.振动的振幅为 B.振动的频率为
C.振动的初相 D.时的位移为
解析：选。对比简谐运动表达式
可知，振动的振幅，，初相 ，A、B、C正确；
时的位移 ，D错误。
√
√
√
题组4
简谐运动的图像
8.（2025·山东日照市期中）一个有小孔的小球连接在轻弹簧的一端，弹簧
的另一端固定，把小球套在光滑的杆上，能够自由滑动，静止时小球位于
点。现将小球向左推至点后由静止释放，如图甲所示，小球将在、
两点之间做简谐运动，运动图像如图乙所示。下列说法正确的是( )
A.小球做简谐运动的周期为，振幅为
B.小球从运动到 的过程中，速度先减小后增大
C.小球运动到点时，加速度的方向指向 点
D.小球在任意的时间内运动的路程均为
解析：选C。根据题图乙可知，小球做简谐运动的周期为 ，振幅为
，故A错误；小球从运动到 的过程中，弹力对小球先做正功后做负
功,故小球速度先增大后减小，故B错误；小球运动到 点时，所受弹力指
向点，故加速度的方向指向 点，故C正确；小球只有从平衡位置或最大
位移处开始计时时,的时间内运动的路程才为 ，故D错误。
√
9.（多选）（2025·山东烟台市期中）如图所示的
是一弹簧振子的振动图像，下列说法正确的是
( )
A.该弹簧振子的周期为
B.该弹簧振子的振幅为
C.该弹簧振子在前的总路程是
D.该弹簧振子在前的总位移是
解析：选。由题图可得，弹簧振子的振幅 ，该弹簧振子的周
期，故A错误，B正确；前经过了 个周期，则位移
，总路程 ，故C正确，D错误。
√
√
10.某弹簧振子在水平方向上做简谐运动，周期
，它的振动图像如图所示，图线上的
点对应的时刻为 ，下列说法正确的是( )
A.时刻振子的运动方向沿 轴负向
B.
C.前时间内振子所经过的路程为
D.前时间内振子运动的位移为
√
解析：选B。由题图可知，时刻振子的运动方向沿 轴正向，故A错误；
由题图可知,又 ,联立解得
,故B正确；由题图可知，前 时间内振子所
经过的路程，故C错误；前 时
间内振子运动的位移 ,故D错误。
11.如图所示，实线为质点甲做简谐运动的振动图像，虚线为质点乙做简谐
运动的振动图像。下列说法正确的是( )
A.甲的周期是
B.甲的频率是
C. 时，质点乙的速度为0
D.时，甲、乙的相位差的绝对值是
√
解析：选D。根据振动图像可看出甲、乙的周期均为 ，则频率
，故A、B错误； 时，质点乙在平衡位置，速度最
大，故C错误；根据图像可知，甲的振动方程 ，乙的振动方
程，则 时，甲、乙的相位差为
，故D正确。
12.（2025·贵州黔东南州期中）如图所示
的是扬声器纸盆中心做简谐运动的振动图
像，下列判断正确的是( )
A. 时刻纸盆中心的速度最大
B. 时刻纸盆中心的加速度最大
C.在前 时间内纸盆中心的速度方向与加速度方向相同
D.纸盆中心做简谐运动的方程为
√
解析：选D。 时刻纸盆中心位于最大位移处，速度为0，加
速度最大，故A错误； 时刻纸盆中心位于平衡位置，速度最
大，加速度为0，故B错误；在前 时间内纸盆中心向最大位移处
运动，处于减速状态，所以速度方向与加速度方向相反，故C错误；根据
题图知角速度 ，振幅
，纸盆中心做简谐运动的方程为
，故D正确。
13.（14分）如图所示的是一弹簧振子的振
动图像，完成以下问题。
（1）求该振子振动的振幅、周期、频率。
（4分）
解析：由振动图像可得振子振动的振幅
周期
频率 。
答案：; ;
（2）该振子在前 内的总位移是多少？路程是多少？（4分）
解析：振子经过一个周期位移是零，路程为，前 刚好经过
了25个周期，所以前振子总位移 ，振子路程
。
答案：0;
（3）写出该振子简谐运动的表达式，计算 时振子的位移。（6分）
解析：初相位
圆频率
故该振子做简谐运动的表达式为
由简谐运动的表达式，可知当 时振子的位移
。
答案：;(共22张PPT)
课后达标检测
题组1
阻尼振动
1.一单摆做阻尼振动，则在振动过程中( )
A.振幅越来越小，周期也越来越小
B.振幅越来越小，周期不变
C.在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变
D.振动过程中，机械能不守恒，频率减小
√
解析：选B。单摆做阻尼振动，根据周期公式 知，周期与振幅无
关，故A错误，B正确；单摆做阻尼振动过程中，振幅逐渐减小，振动的
能量也在减少，即机械能不守恒，通过某一位置的机械能越来越小，由于
周期不变，则频率不变，故C、D错误。
2.（多选）将测力传感器接到计算机上可以测量快速变化的力，将单摆挂
在测力传感器的探头上，测力探头与计算机连接，用此方法测得的单摆摆
动过程中摆线上拉力的大小随时间变化的曲线如图所示，取 。
某同学由此图像提供的信息做出了下列判断，其中正确的是( )
A.摆球的周期 B.单摆的摆长
C. 时摆球正经过最低点 D.摆球运动过程中周期越来越小
√
√
解析：选。由题图可知，单摆两次拉力极大值的时间差为 ，所以单
摆的振动周期为，A错误；根据单摆的周期公式 可得摆长
，B正确； 时摆线的拉力最大，所以摆球正经过最低点，
C正确；摆线拉力的极大值发生变化，说明摆球在最低点时的速度发生了
变化，所以摆球做阻尼振动，振幅越来越小，由于周期与振幅无关，所以
单摆的周期不变，D错误。
题组2
受迫振动
3.（多选）下列说法正确的是( )
A.实际的振动必然是阻尼振动
B.在外力作用下的振动是受迫振动
C.阻尼振动的振幅越来越小
D.受迫振动稳定后频率与自身物理条件无关
解析：选 。实际的振动，必须不断克服外界阻力做功而消耗能量，振
幅会逐渐减小，必然是阻尼振动，A、C正确；只有在周期性外力
（驱动力）的作用下，物体所做的振动才是受迫振动，B错误；受迫振动
稳定后的频率由驱动力的频率决定，与自身物理条件无关，D正确。
√
√
√
4.如图所示，两个弹簧振子悬挂在同一支架上，已知甲弹簧振子的固有频
率为，乙弹簧振子的固有频率为 ，当支架在受到竖直方向且频
率为 的驱动力作用做受迫振动时，则两个弹簧振子的振动情况是
( )
A.甲的振幅较大，且振动频率为
B.甲的振幅较大，且振动频率为
C.乙的振幅较大，且振动频率为
D.乙的振幅较大，且振动频率为
解析：选B。支架在竖直方向且频率为 的驱动力作用下做受迫振动时，
甲、乙两个弹簧振子都做受迫振动，它们振动的频率都等于驱动力的频率
，由于甲的固有频率接近于驱动力的频率，所以甲的振幅较大。
√
5.如图所示的装置中，弹簧振子的固有频率是 。现匀速
转动把手，给弹簧振子以周期性的驱动力，测得弹簧振子振
动达到稳定时的频率为 ,则把手转动的频率为( )
A. B. C. D.
解析：选A。根据受迫振动的频率等于驱动力的频率知，A正确。
√
题组3
共振现象及应用
6.一台洗衣机的脱水桶正常工作时非常稳定，当切断电源后，发现洗衣机
先是振动越来越剧烈，然后振动逐渐减弱，下列说法不正确的是( )
A.洗衣机做的是受迫振动
B.正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率大
C.正常工作时，洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固有频率小
D.当洗衣机振动最剧烈时，脱水桶的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率
解析：选C。洗衣机在脱水桶的驱动下振动，属于受迫振动，故A正确；
正常工作时，洗衣机非常稳定，故洗衣机脱水桶运转的频率比洗衣机的固
有频率大，故B正确，C错误；当洗衣机振动最剧烈时，为共振，此时脱
水桶的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率，故D正确。
√
7.如图所示，汽车的车身与轮胎间装有弹簧和减震器，某车车身—弹簧系
统的固有频率为，当汽车匀速通过学校门口水平路面上间距为
的若干减速带时，下列说法正确的是( )
A.汽车行驶的速度越大，颠簸得越厉害
B.汽车行驶的速度越小，颠簸得越厉害
C.当汽车以 的速度行驶时，颠簸得最厉害
D.当汽车以 的速度行驶时，颠簸得最厉害
解析：选D。根据，可得当汽车以 的
速度行驶时，过减速带的频率与汽车的固有频率相同，发生共振，汽车颠
簸得最厉害。
√
8.（2025·河北邯郸市期中）在古代典籍中有大量关于共振
现象的记录，比如《庄子》中记载了中国古代的乐器的各
弦间发生的共振现象。关于受迫振动与共振现象，下列说
法正确的是( )
A.仿古盥洗用的脸盆，用手摩擦盆耳，到一定节奏时会溅起水花，这是共
振现象
B.喇叭常放在音箱内是利用共振现象，受迫振动是共振的一种特殊情况
C.为消除共振现象，应使驱动力的频率与物体的固有频率相差越小越好
D.耳朵凑近空热水瓶口能听到嗡嗡的声音不属于共振现象
√
解析：选A。仿古盥洗用的脸盆，用手摩擦盆耳，到一定节奏时会溅起水
花，这是共振现象，A正确；喇叭常放在音箱内是利用共振现象，做受迫
振动的物体，当驱动力的频率与固有频率相等时，振幅最大的现象叫共振，
所以共振是受迫振动的一种特殊情况，B错误；根据共振条件可知，为消
除共振现象，应使驱动力的频率与物体的固有频率相差越大越好，C错误；
热水瓶的空气柱有一定长度，对应一定的振动频率，符合此频率的声波信
号因共振而绵延不绝，故总能听到嗡嗡的声音，空热水瓶口能听到嗡嗡的
声音，属于共振现象，D错误。
9.（多选）（2025·广东梅州市曾宪梓中学校考）小说里“狮子吼”是一门用
声音给敌人造成巨大伤害的功夫，网络游戏中也将“狮子吼”设为物理攻击，
某电影中主人公一声“狮子吼”可将桌上的杯子震碎。用手指轻弹同样的杯
子，杯子发出清脆的声音，测得声音频率为 。结合所学知识推断电
影中主人公发出的“狮子吼”的攻击原理及声波的特点，下列说法可能的是
( )
A.“狮子吼”引发了共振现象
B.“狮子吼”的频率应该远小于
C.“狮子吼”的音量一定很大
D.“狮子吼”的频率应该接近
√
√
解析：选 。“狮子吼”使被攻击的物体发生受迫振动，其振动频率等于
“狮子吼”声波的频率，当“狮子吼”的频率接近或等于物体的固有频率时，
物体发生共振，振幅达到最大，从而使物体被破坏，A正确，C错误；由
题意可知杯子的固有频率为 ，所以主人公发出的“狮子吼”的频率应
该接近或等于 ，B错误，D正确。
10.下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动系统
的固有频率为 ，则( )
驱动力频率/ 30 40 50 60 70 80
受迫振动振幅/ 10.2 16.8 27.2 28.1 16.5 8.3
A. B.
C. D.以上三个都不对
解析：选B。固有频率等于驱动力的频率时，振幅最大，固有频率越接近
驱动力频率，振幅越大；表格中当驱动力频率为和 时，振幅最
大，说明固有频率在到 之间，故B正确。
√
11.如图所示的装置中，在曲轴上悬挂一个弹簧振子，若不转动把手 ，
让其上下振动，周期为，若使把手以周期 匀速转动，当运
动都稳定后，则( )
A.弹簧振子的振动周期为
B.弹簧振子的振动周期为
C.要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速减小
D.要使弹簧振子的振幅增大，可让把手转速增大
√
解析：选D。弹簧振子在把手作用下做受迫振动，因此振动周期等于驱动
力的周期，等于 ，故A、B错误；驱动力的周期与弹簧振子的固有周期
越接近，振幅越大，由于，欲使振幅增大，应使 减小，即转速
应增大，故C错误，D正确。
12.（多选）（2025·山东日照市期中）如图所示，
一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的小圆柱带动
一个形支架在竖直方向振动， 形支架下面系着一
个弹簧和小球组成的固有周期为 的振动系统。现
使圆盘以频率 匀速转动，经过一段时间后，小球
振动达到稳定。下列判断正确的是( )
A.时，小球振动的周期为
B.时，小球振动的周期为
C. 越大，小球振动的振幅就越大
D.小球振动的振幅最大时，一定为
√
√
解析：选。当时，小球振动的周期，
时，小球振动的周期，故A错误，B正确；当 时，
小球振动的周期为 ，与弹簧和小球组成的系统的固有周期相等，此时小
球产生共振，振幅最大，故C错误，D正确。
13.（8分）火车在铁轨上行驶，每经过一次接轨处会受到一次震动，使得
车厢在弹簧上上下振动。弹簧自由振动个周期，所用时间 ，
当火车以 的速率行驶时，车厢的振幅最大。求：
（1）弹簧自由振动的圆频率 ；（4分）
解析：根据题意可得，弹簧振动的周期
则 。
答案：
（2）相邻两个接轨处的长度 。（4分）
解析：当火车以 的速率行驶时，车厢的振幅最大，则
。
答案：(共41张PPT)
第二章 机械振动
第2节 简谐运动的回复力及能量
1.知道回复力的概念，会分析其特点和来源。
2.会分析简谐运动中回复力、加速度、位移、速度、动能、势能等各物理
量的变化。
3.能理解简谐运动中机械能守恒，知道能量大小与振幅有关。
4.对于水平弹簧振子，能定性说明弹性势能与动能的转化过程。
5.能够结合振动图像分析振子振动的动力学问题。
1
课前知识梳理
2
课堂 深度探究
3
随堂 巩固落实
PART
01
课前知识梳理
一、回复力
1.定义：当小球偏离平衡位置时，都会受到一个指向①__________的力，
这个力叫作回复力。
2.方向特点：总是指向②__________。
平衡位置
平衡位置
3.作用效果：把物体拉回到平衡位置。
4.表达式：③_____。即弹簧振子所受的合力 ④______于振子偏离平
衡位置的距离 ，力的方向跟振子位移方向⑤______，总指向平衡位置。
正比
相反
二、简谐运动的能量转化
1.水平弹簧振子中，当振子在平衡位置时，弹簧伸长量（或压缩量）为零，
振子速度⑥______，此时弹性势能⑦______，动能有最大值为
；振子相对平衡位置位移最大时，弹簧伸长量（或压缩量）
⑧______，振子速度⑨______，此时弹性势能达最大值为 ，动能为
零。
最大
为零
最大
为零
2.弹簧的势能和振子的动能之和就是振动系统的总机械能 ，如果不考虑
摩擦和空气阻力， 振动系统的总机械能守恒。即
。
3.简谐运动的能量图像
4.实际上任何物体的振动过程都不可
避免有能量的损失，简谐运动只是一
种理想情况。
判断下列说法是否正确。
（1）简谐运动的回复力可以是恒力。( )
×
（2）回复力的方向总是跟位移的方向相反。( )
√
（3）回复力的方向总是与速度方向相反。( )
×
（4）弹簧振子在运动过程中机械能守恒。( )
√
（5）通过速度的增减变化情况，能判断回复力大小的变化情况。( )
√
PART
02
课堂 深度探究
知识点一 对回复力的理解
水平方向的弹簧振子模型如图所示。
（1）当振子离开 点后，是什么力使其回到平衡位置？
［提示］当振子离开点后，受到弹簧的弹力总是指向
点，作为回复力，使其回到平衡位置。
（2）使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置的位移的大小及方向
有何关系？
［提示］由胡克定律可知，使振子回到平衡位置的力与振子离开平衡位置
的位移大小成正比，方向总是指向平衡位置，即与位移方向相反。
1.回复力是指将振动的物体拉回到平衡位置的力，是按照力的作用效果来
命名的。可能是一个力的分力，也可能是几个力的合力。
2.简谐运动的回复力的特点
（1）由 知，简谐运动的回复力大小与振子的位移大小成正比，
回复力的方向与位移的方向相反，即回复力的方向总是指向平衡位置。
（2）公式中的 指的是回复力与位移的比例系数，而不一定是弹
簧的劲度系数，系数 由振动系统自身决定。
（3）根据牛顿第二定律得， ，表明弹簧振子做简谐运动时
振子的加速度大小也与位移大小成正比，加速度方向与位移方向相反。
角度1
简谐运动的性质
例1 物体做简谐运动时，下列叙述正确的是( )
A.平衡位置就是回复力为零的位置
B.处于平衡位置的物体，一定处于平衡状态
C.物体到达平衡位置时，合力一定为零
D.物体到达平衡位置时，回复力不一定为零
解析：平衡位置是回复力等于零的位置，但此时物体不一定处于平衡状态，
即物体所受合力不一定为零。
√
例2 （多选）如图所示，弹簧振子在光滑水平杆上的、 之间做往复运
动， 为平衡位置，下列说法正确的是( )
A.弹簧振子运动过程中受重力、支持力和弹簧弹力的作用
B.弹簧振子运动过程中受重力、支持力、弹簧弹力和回复力作用
C.振子由向 运动过程中，回复力逐渐增大
D.振子由向 运动过程中，回复力的方向指向平衡位置
√
√
解析：在水平方向上振动的弹簧振子所受的力有重力、支持力、弹簧的弹
力，故A正确，B错误；振子由向运动过程中，位移 减小，根据公式
可知，回复力减小，故C错误；振子由向 运动过程中，回复力
的方向与位移方向相反，指向平衡位置，故D正确。
例3 （2025·四川达州市期中）如图所示，下列四种场景中的运动一定不
是简谐运动的是( )
A. B. C. D.
解析：物体在跟位移大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下的
振动，叫简谐运动。选项C的图中，物体在两侧斜面上受到的力均为恒力，
不与位移的大小成正比，所以选项C中的运动一定不是简谐运动。
√
角度2
简谐运动的证明
例4 （2025·安徽合肥市期中）如图所示，轻弹簧竖直放置，下端固定在水
平地面上，上端拴接一质量为 的可视为质点的小球，小球从弹簧的原长
处由静止释放。已知弹簧的劲度系数为，重力加速度为 ，不计空气阻力。
（1）证明：小球在竖直方向上做简谐运动。
解析：当小球在平衡位置时，对小球受力分析，有
以小球的平衡位置为坐标原点，竖直向下为正方向建立坐标系，小球相对
平衡位置的位移为 时，小球受到的回复力
即小球的运动为简谐振动。
答案：见解析
（2）求小球运动过程中弹簧的最大压缩量 。
解析：小球由静止释放时有
达到最大压缩量时有
解得
故最大压缩量 。
答案：
知识点二 简谐运动中物理量的分析
水平弹簧振子如图所示，振子在、 之间往复运动。
（1）从到 的运动过程中，振子的动能如何变化？弹簧弹性势能如何变
化？振动系统的总机械能是否变化？
［提示］从到 的运动过程中，振子的动能先增大后减小；弹簧的弹性
势能先减小后增大；总机械能保持不变。
（2）如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能是否增大？
振动系统的机械能是否增大？
［提示］如果把振子振动的振幅增大，振子回到平衡位置的动能增大，系
统的机械能增大。
（3）实际的振动系统有空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？理想化的
弹簧振动系统，忽略空气阻力和摩擦阻力，能量是否损失？
［提示］实际的振动系统，能量逐渐减小，有损失；理想化的弹簧振动系
统，能量不变。
1.水平的弹簧振子运动时，弹性势能与动能相互转化。弹性势能最小时，
动能最大；弹性势能最大时，动能最小。
2.设振子的振动周期为 ，根据水平弹簧振子图，分析各个
物理量的变化关系如下：
振子的运动 周期
位移 方向 向右 向左 向左 向右
大小 减小 增大 减小 增大
回复力 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
振子的运动 周期
加速度 方向 向左 向右 向右 向左
大小 减小 增大 减小 增大
速度 方向 向左 向左 向右 向右
大小 增大 减小 增大 减小
振子的动能 增大 减小 增大 减小
弹簧的势能 减小 增大 减小 增大
系统总能量 不变 不变 不变 不变 —
续表
3.根据，由变化，分析和 的变化。根据简谐运动机械能
守恒，变化影响弹性势能的变化，由可知 的变化。
4.由于位移 的变化具有周期性和对称性，回复力、加速度、动能、势能
的变化也具有对称性和周期性。
角度1
简谐运动中的物理量变化分析
例5 关于水平方向上做简谐运动的弹簧振子受力和运动的特点，下列说法
正确的是( )
A.物体越衡位置，加速度越大
B.弹力的方向总指向平衡位置
C.物体速度的方向跟离开平衡位置的位移的方向总是相同的
D.物体的加速度的方向跟速度的方向始终相反
√
解析：根据 可知，物体越衡位置时，位移越小，回复力越
小，加速度越小，故A错误；弹力的方向即回复力方向，总是指向平衡位
置，故B正确；当物体运动方向指向平衡位置时，速度方向与位移方向相
反，当物体运动方向背离平衡位置时，速度方向与位移方向相同，根据
可知位移的方向总跟加速度方向相反，所以物体的加速度的方向
跟速度的方向可能相同也可能相反，故C、D错误。
例6 （多选）（2025·辽宁锦州渤海大学附中期中）如图甲所示，光滑水
平面上一水平弹簧振子做简谐运动，其振动图像如图乙所示。已知弹簧的
劲度系数为 ，下列说法正确的是( )
A.图乙中 点，振子所受的回复力大
小为
B.图乙中点，振子的速度方向指向
轴的正方向
C.弹簧振子的振幅等于
D. 时间内，振子做了4次全振动
√
√
解析：弹簧振子的回复力为弹簧的弹力，根据题图乙可看出 点位移为
，所以,在点，振子所受的回复力大小为 ，
故A正确；题图乙中点，振子正在向 轴的正方向运动，所以速度方向指
向 轴的正方向，故B正确；振幅指振动的最大位移，从题图乙中纵坐标可
看出，弹簧振子的振幅等于 ，故C错误；从题图乙中可看出，振子
的周期为，个周期振子做1次全振动，所以 时间内，振子做了2次
全振动，故D错误。
角度2
简谐运动中的能量分析
例7 某个弹簧振子做简谐运动的振动图像如图所示，由图像可知( )
A.在 时，由于位移为零，所以振动能量为零
B.在 时，振子具有最大势能
C.在 时，振子具有的能量尚未达到最大值
D.在 时，振子的动能最大
√
解析：振幅指的是振子能达到的最大位移，虽然在某些时刻位移小于振幅，
但整个过程中振幅是不变的，并且在 末振子的位移为零，势能为零，
动能最大，故A错误；在 末振子的位移最大，故动能为零，势能最大，
故B正确；振子系统机械能守恒，动能和势能相互转化，故振子的动能和
势能之和是不变的， 末振子的位移最大，故动能为零，最小，故C、
D错误。
例8 （多选）如图所示，一轻质弹簧上端固定于天花板上，下端悬挂一物
块组成一个沿竖直方向振动的弹簧振子。当物块处于静止状态时重力势能
为零，弹簧处于原长时弹性势能为零。现将该物块向下拉一小段距离后放
手，此后振子在竖直方向上做简谐运动，不计空气阻力。下列判断正确的
是( )
A.弹簧振子在平衡位置时，弹力与重力大小相等、方向相反
B.弹簧振子在平衡位置时，弹簧的弹性势能为零
C.弹簧振子经过平衡位置时，振动系统的重力势能最小
D.弹簧振子在振动过程中，振动系统的机械能守恒
√
√
解析：弹簧振子只受重力和弹簧的弹力，当在平衡位置时，弹力与重力大
小相等、方向相反，此时振子受力平衡，弹簧处于伸长状态，弹性势能不
为零，故A正确，B错误； 振子经平衡位置时，速度最大时，振动系统的
势能最小，并不是重力势能最小，故C错误；振子在振动过程中，只有重
力和弹簧的弹力做功，则振动系统的机械能守恒，故D正确。
PART
03
随堂 巩固落实
1.（回复力）（多选）如图所示，弹簧振子 上放一个物
块，在与一起做简谐运动的过程中，关于 受力的说
法中正确的是( )
A.物块 受重力、支持力及弹簧对它的恒定的弹力
B.物块 受重力、支持力及弹簧对它的大小和方向都随时间变化的弹力
C.物块做简谐振动的回复力是 对它的摩擦力
D.物块受重力、支持力及 对它的大小和方向都随时间变化的摩擦力
解析：选。物块 做简谐运动，在水平方向其合外力不断变化，具体受
力情况为：竖直方向上受到的重力和支持力是一对平衡力，水平方向只有
物体对它的摩擦力作用，摩擦力提供回复力，C、D正确。
√
√
2.（简谐运动中物理量的分析）把一个小球套在光滑细杆上，球与轻弹簧
相连组成弹簧振子，小球沿杆在水平方向做简谐运动，它围绕平衡位置
在、 间振动，如图所示，下列结论正确的是( )
A.小球在 位置时，动能最大，加速度最小
B.小球在、 位置时，动能最大，加速度最大
C.小球从经到 的过程中，回复力一直做正功
D.小球从到 的过程中，振子振动的能量不断增加
√
解析：选A。小球在平衡位置 时，弹簧处于原长，弹性势能为0，动能最
大，位移为0，加速度为0，A正确；在最大位移、 处，动能为0，加速
度最大，B错误；由到，回复力做正功，由到 ，回复力做负功，C错
误；由到 ，动能增加，弹性势能减少，总能量不变，D错误。
3.（简谐运动中物理量的分析）（2025·江苏镇江市期
中）弹簧振子以点为平衡位置在、 两点之间做简
（1）振子振动的振幅；
解析：弹簧振子以点为平衡位置在、 两点之间做简谐运动，则振幅
解得 。
答案：
谐运动，、相距，某时刻振子处于点，经过 ，振子首次到
达 点，求：
（2）振子在 内通过的路程及位移的大小；
解析：由于某时刻振子处于点，经过，振子首次到达 点，则有
解得
由于
可知，振子在 内通过的路程
结合上述解得
振子运动时间等于周期的整数倍，即振子回到了出发点，可知振子的位移为0。
答案： 0
（3）振子在点的加速度大小跟它距点处 点的加速度大小的比值。
解析：根据简谐运动的特征，其回复力大小与相对于平衡位置的位移大小
成正比，则有 ，
解得 。
答案：(共48张PPT)
第二章 机械振动
第3节 单 摆
1.知道什么是单摆及单摆做简谐运动的条件。
2.会分析单摆做简谐运动的回复力以及摆球所受的合外力。
3.知道单摆的周期跟什么因素有关，理解单摆的周期公式，并能用来进行
有关的计算。
1
课前知识梳理
2
课堂 深度探究
3
随堂 巩固落实
PART
01
课前知识梳理
一、单摆及其运动规律
1.单摆：用细线悬挂着小球，若忽略悬挂小球的细线长度的①__________
和②______，且线长比球的直径③________，这样的装置就叫作单摆。单
摆是实际摆的理想化模型。
微小变化
质量
大得多
2.单摆的振动：拉开摆球，使它偏离平衡位置一个小角度，然后放开，摆
球将沿着以平衡位置为中心的一段圆弧做往复运动，这就是单摆的振动。
3.单摆的回复力
（1）来源：重力沿圆弧④__________的分力提供了使球沿圆弧振动的回
复力。
（2）特点：当偏角 很小时（ 为 左右）弧线与 轴近似重合，
，所以单摆的回复力为。其中为摆长， 为摆球偏离
⑤__________的位移，负号表示回复力与位移 的方向⑥______。在偏角
较小的情况下，单摆摆球所受的回复力与偏离平衡位置的位移成⑦______，
这与弹簧振子受的回复力形式相同。
（3）运动规律：单摆在偏角很小时的振动是⑧______运动。
切线方向
平衡位置
相反
正比
简谐
二、单摆的周期
1.提出：单摆做简谐运动的周期公式是荷兰物理学家⑨________首先提出的。
2.单摆做简谐运动的周期跟摆长的二次方根成正比，跟重力加速度 的
二次方根成反比，跟⑩______、摆球的 ______无关。
3.周期公式： _ ______。
惠更斯
振幅
质量
判断下列说法是否正确。
（1）制作单摆的摆球越大越好。( )
×
（2）单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。( )
×
（3）单摆的回复力是重力的分力。( )
√
（4）单摆的周期与摆球的质量无关。( )
√
（5）单摆的振幅越小，周期越小。( )
×
（6）摆线越长时，单摆的周期越长。( )
√
PART
02
课堂 深度探究
知识点一 单摆的回复力
1.判断以下摆动模型是不是单摆，为
什么？
［提示］模型①不是单摆，因为橡皮
筋伸长不可忽略。模型②不是单摆，
因为绳子质量不可忽略。模型③不是
单摆，因为绳长没有远大于球的直径。模型④不是单摆，因为悬点不固定，
因而摆长在发生变化。模型⑤是单摆。
2.如图所示，一根细线上端固定，下端连接一个金属
小球，用手使小球偏离竖直方向一个很小的夹角，然
后由静止释放，小球在、 间来回摆动，不计空气
的阻力。
（1）小球的平衡位置在哪里？
［提示］小球静止时的位置 点为平衡位置。
（2）小球摆动过程中受到哪些力的作用？什么力提供向心力？什么力提
供回复力？
［提示］小球受重力和细线的拉力作用。细线的拉力和重力沿细线方向的
分力的合力提供向心力。重力沿切线方向的分力提供小球振动的回复力。
（3）小球经过平衡位置时回复力为零，合外力也为零吗？
［提示］小球经过平衡位置时，做圆周运动，其合外力不为零。
1.实际的摆可以看成单摆的条件
（1）形变要求：当摆线的形变量比摆线的长度小得多时,摆线的伸缩可以
忽略。可把摆线看成不可伸长的线。
（2）质量要求：摆线质量与摆球质量相比小得多,这时可以认为摆线是没
有质量的。
（3）长度要求：摆球的直径与摆线的长度相比可以忽略时,可把摆球看成
质点。
（4）受力要求：忽略摆动过程中摆球所受空气阻力的作用。
2.单摆运动特点
（1）摆球以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度
，半径方向都有向心力。
（2）摆球以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平
衡位置，沿轨迹的切线方向上都有回复力。
3.摆球的受力
（1）任意位置
如图所示， ，的作用就是提供摆球绕 做变
速圆周运动的向心力；，的作用是提供摆球以 为
中心做往复运动的回复力。
（2）平衡位置
摆球经过平衡位置时，，，此时应大于， 提供向心
力，因此，在平衡位置，回复力，与 相符。
4.两点说明
（1）所谓平衡位置，是指摆球静止时，摆线拉力与小球所受重力平衡的
位置，并不是指摆动过程中的受力平衡位置。实际上，在摆动过程中，摆
球受力不可能平衡。
（2）回复力是由摆球受到的重力沿圆弧切线方向的分力 提供
的，不可误认为回复力是重力与摆线拉力的合力。
例1 关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是( )
A.摆球经过平衡位置时所受合力为0
B.摆球所受合力的大小跟摆球相对于平衡位置的位移大小成正比
C.只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力
D.摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力
√
解析：摆球经过平衡位置时，回复力为0，但由于摆球做圆周运动，经过
平衡位置，合力不为0，合力提供向心力，方向指向悬点，A错误；摆球所
受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，此时，重力沿摆线方向的分
力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆
球相对于平衡位置的位移大小不成正比，B错误；根据牛顿第二定律可知，
摆球在最大位移处时，速度为0，向心加速度为0，重力沿摆线方向的分力
等于摆线对摆球的拉力，回复力等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置
时，速度不为0，向心加速度不为0，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆
球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故C正确，D错误。
例2 如图所示，一个单摆在做简谐运动，关于摆球的运动，
下列说法正确的是( )
A.单摆摆动到 点时，回复力为零，加速度不为零
B.摆球从到 的过程中，机械能增大
C.摆球向右经过点和向左经过 点时，速度相同
D.减小单摆的振幅，单摆的周期会减小
√
解析：单摆摆动到 点时，只受重力和绳子的拉力，回复力为零，但是拉
力大于重力，摆球具有向上的向心加速度，故A正确；摆球从到 的过程
中，只有重力做功，机械能保持不变，故B错误；摆球向右经过 点和向
左经过 点时，速度大小相等，但方向相反，故C错误；单摆的周期只与
摆长和当地的重力加速度有关，与振幅无关，所以周期不变，故D错误。
知识点二 单摆的周期公式
1.由于单摆的回复力是由摆球的重力沿圆弧切线方向的分力提供的，那么
是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？
［提示］ 不是。摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质
量有关，即 ，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由
决定，与摆球的质量无关。
2.把单摆从赤道处移至两极处时，要保证单摆的周期不变，应如何调整摆长？
［提示］ 两极处重力加速度大于赤道处重力加速度，由 知，应
增大摆长，才能使周期不变。
1.摆长 的确定：实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆
球球心的长度，即，为摆线长， 为摆球直径。
2.重力加速度 的变化：若单摆系统只处在重力场中且悬点处于静止状
态，由单摆所处的空间位置决定，即，式中 为物体到地心的距
离，为地球的质量， 随所在位置的高度的变化而变化。另外，在不同
星球上和也是变化的，所以也不同，取 只是在地球表面附
近时的取值。
角度1
单摆周期公式的应用
例3 （2025·山东日照市期中）周期是 的单摆叫秒摆。地面上某秒摆的
摆长为，振幅为 ，被火星探测器携带至火星表面。已知火星表面的重力
加速度为（ 为地球表面的重力加速度）。如果在火星表面，仍然保
持该秒摆的周期是 ，则可以( )
A.仅将摆长调整为 B.仅将摆长调整为
C.仅将振幅调整为 D.仅将振幅调整为
√
解析：根据单摆的周期 可知，单摆的周期与摆长及重力加速度
有关，与振幅无关，在地球表面上 ，在火星表面
，根据题意可知，单摆的周期不变，故有 ，
解得 ，A、C、D错误，B正确。
例4 在“用单摆测重力加速度的大小”实验中，小明作出摆
线长与周期的图像如图所示，图像的斜率为 ，
截距为 ，则当地的重力加速度大小为( )
A. B. C. D.
解析：根据单摆的周期公式,其中 为摆球半径，变形可得
,根据图像的斜率可知,解得 。
√
角度2
单摆的振动图像
例5 （多选）如图甲所示，小明做摆
角较小的单摆实验， 是它的平衡位
置，、 是摆球所能到达的左右最
远位置，小明通过实验测出当地重力
A.此单摆的振动频率是 B.单摆的摆长约为
C.仅改变摆球质量，单摆周期不变 D.时刻，摆球位于 点
加速度 ，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图像如图乙所
示，设图中单摆向右振动为正方向，则下列说法正确的是( )
√
√
√
解析：由题图乙可知，此单摆的周期 ，则此单摆的振动频率
，故A错误；根据单摆周期公式 ，可得单摆的摆
长 ，仅改变摆球质量，单摆周期不变，故B、C正确；
时刻，由题图乙可知，摆球位于负向最大位移处，题图中单摆向右
振动为正方向，则摆球位于 点，故D正确。
知识点三 单摆模型的拓展
1.等效摆长类
突破口：等效摆长为小球球心到等效悬点间的
距离。
（1）双线摆：图（a）中甲、乙在垂直于纸面方向摆起来效果是相同的，
所以甲摆的摆长为 ，这就是等效摆长。其周期
。图（b）中，乙在垂直于纸面方
向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。
（2）圆弧摆：如图（c）所示，光滑圆弧的半径为 ，小球在圆弧面上做
往复运动时，等效为摆长为的单摆做简谐运动，要求 。
2.等效重力加速度类
突破口：等效重力等于小球静止时所受拉力。
（1）等效重力加速度等于等效重力与小球的质量之比,如图所
示，等效重力 ，等效重力加速度
。
（2）在加速度竖直向上的电梯中，等效重力加速度 ，在加速
度竖直向下的电梯中，等效重力加速度 。
角度1
等效摆长
例6 如图所示，三根细线在点处打结，、端固定在同一水平面上相距为
的两点上，使成直角三角形， ，已知线长是，下端
点系着一个小球，下列说法正确的是（以下皆指小角度摆动，小球可视为质
点）( )
A.让小球在纸面内振动，周期
B.让小球垂直于纸面振动，周期
C.让小球在纸面内振动，周期
D.让小球垂直于纸面振动，周期
√
解析：让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为 ，
周期 ；让小球垂直于纸面振动，在偏角很小时，单摆做简谐运
动，摆长为，周期 。
角度2
等效重力加速度
例7 如图所示,在倾角为 的光滑斜面上,将一摆长
为的单摆上端固定在点,平衡位置在 点做简谐
运动时,周期为多少？
解析：分析摆球在斜面上不摆动时,摆线的拉力
则单摆的“等效重力加速度”
单摆的周期为 。
答案：
综合一练
单摆模型的动力学和能量分析
例8 如图所示，一单摆的摆长为，摆球质量为，最低点 处固定一竖直
挡板。将摆球从点拉至点，与竖直方向夹角为，从 点无
初速度释放摆球。摆球与挡板发生弹性正碰，碰撞时间极短。摆球从 点
开始释放到第一次回到点经历的时间为 。求：
（1）摆球撞击挡板的速度大小 ；
解析：摆球从 点开始释放到运动到最低点的过程，根据动能定理可得
解得 。
答案：
（2）摆球运动至最低点时摆线上的拉力大小 ；
解析：在最低点，根据牛顿第二定律可得
所以 。
答案：
（3）当地的重力加速度大小 。
解析：根据单摆的周期公式
所以 。
答案：
PART
03
随堂 巩固落实
1.（单摆的回复力）（2025·上海闵行区期中）关于单摆，以下说法不正确
的是( )
A.单摆装置是研究机械振动的物理模型
B.用细线悬挂一个小球，细线要质量很轻，且不可伸长；小球要质量较大，
体积较小
C.将细线的上端缠绕在铁架台上的水平横杆上，这样单摆装置就架设完成了
D.单摆在摆角小于 时，它的机械振动可以看作简谐振动
√
解析：选C。单摆运动是机械振动，所以单摆装置是研究机械振动的物理
模型，故A正确，不符合题意；用细线悬挂一个小球，细线要质量很轻，
且不可伸长，小球要质量较大，体积较小，可以有效减小空气阻力的影响，
故B正确，不符合题意；将细线的上端缠绕在铁架台上的水平横杆上是错
误的，这样会导致摆动的过程中，摆长发生变化，故C错误，符合题意；
单摆在摆角小于 时，它的机械振动可以看作简谐振动，故D正确，不符
合题意。
2.（单摆的周期公式）关于单摆，下列说法正确的是( )
A.摆球的振幅越小，周期越小
B.单摆做简谐振动时，其运动周期与摆长无关
C.伽利略通过对单摆的深入研究，得到了单摆周期公式
D.将钟摆由海南移至青岛，为保证钟摆走时的准确，需要将钟摆摆长调长些
√
解析：选D。根据单摆的周期公式可知，单摆的周期取决于摆长和当地的
重力加速度，与单摆的振幅无关，故A、B错误；根据物理学史可知，伽
利略得出了单摆的同时性，是惠更斯得出单摆的周期公式，故C错误；
，将钟摆由海南移至青岛，重力加速度增大，为保证钟摆走时
的准确，需要将钟摆摆长调长些，故D正确。
3.（单摆的周期公式）（2024·甘肃卷，T5）如图为某单摆的振动图像，重
力加速度取 ，下列说法正确的是( )
A.摆长为 ，起始时刻速度最大
B.摆长为 ，起始时刻速度为零
C.摆长为，、 点的速度相同
D.摆长为，、 点的速度相同
解析：选C。根据题图可知，单摆的周期 ，
结合可得单摆的摆长 ，起始时刻，单摆的位移最大，
加速度最大，速度为零，、两点速度大小相等，方向相反，、 两点
速度相同，A、B、D错误，C正确。
√
4.（单摆模型的拓展）（多选）（2025·安徽合肥市期中）如图所示，光滑
圆弧槽半径为（未知），为最低点，到的距离远远小于，小球 位
于点的正上方，且到点的距离为。若同时释放小球、 ，则要使两
小球和在点相遇（小球和可视为质点）， 的可能值为( )
A. B. C. D.
√
√
解析：选。小球做简谐运动，根据题意得 ，
或 ，
解得或 ，当
时，则有或 。(共42张PPT)
章末过关检测（二）
（时间：75分钟 分值：100分）
一、单项选择题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出
的四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.简谐运动既是最基本也是最简单的一种机械振动。关于简谐运动的表达式、
回复力和能量，下列说法正确的是( )
A.简谐运动位移的一般函数表达式中， 表示频率，
表示相位
B.单摆做简谐运动过程中的回复力是单摆受到重力沿圆弧切线方向的分力
C.水平弹簧振子做简谐运动时系统的能量做周期性变化
D.简谐运动的回复力可以是方向不变而大小变化的力，也可以是大小不变
而方向改变的力
√
解析：选B。简谐运动位移的一般函数表达式中，
表示圆频率， 表示初相位， 表示相位，A错误；在单摆运动中
并不是合外力提供回复力，只是沿切线方向上的合力提供回复力，半径方
向上的合力提供向心力，B正确；振动能量是振动系统的动能和势能的总
和，虽然振动能量中动能和势能不断相互转化，但是总和保持不变，C错
误；简谐运动的回复力与质点偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是
指向平衡位置，大小、方向都在改变，D错误。
2.一个做简谐运动的质点，先后以同样大小的速度通过相距的、
两点，且由到的过程中速度方向不变，历时。过 点后再经过
，质点以方向相反、大小相同的速度再次通过 点，则质点振动
的周期是( )
A. B. C. D.
√
解析：选C。根据题意，由振动的对称性可知，的中点（设为 ）为平
衡位置，、两点对称分布于点两侧。质点从平衡位置向右运动到
的时间应为，质点从 向右到达右方最大位移处
（设为）的时间，所以质点从到 的时间
，所以 ，C正确。
3.如图甲所示，弹簧振子在水平方向上做简谐
运动，其振动图像如图乙所示。已知弹簧的劲
度系数为 ，则( )
A.在 时，振子的位移和速度方向相同
B.在时，振子所受的回复力大小为
C.在 时，弹簧振子的动能最大
D.振子的振动方程为
√
解析：选D。由题图乙可知，在 时，振子正从正的最大位移处向
平衡位置运动，位移和速度方向相反，A错误；在时刻 ，
振子所受的回复力大小，B错误；在 时，
弹簧振子位于负的最大位移处，速度为零，动能最小，C错误；由题图乙
可知，振动周期， ，振子的振动方程为
，D正确。
4.一弹簧振子的位移随时间变化的关系式为，位移
的单位为，时间的单位为 ，则( )
A.弹簧振子的振幅为
B.弹簧振子的周期为
C.在 时，振子的运动速度最大
D.在时，振子的位移为
√
解析：选D。弹簧振子的振幅为 ，A错误；弹簧振子的周期
，B错误；在时， ，此时振子的
位移最大，则振子的运动速度为零，C错误；在 时，振子的位移
，D正确。
5.如图所示，在斜面上有一个弹簧振子，从 点由静止
释放，点为振动的平衡位置，振动物体在、 两点
之间做简谐运动，不计一切摩擦，下列说法正确的是
( )
A.振动物体在 点时，弹簧处于原长，弹簧振子的弹性势能为零
B.在振动物体运动的过程中，由弹簧弹力充当回复力
C.振动物体在点时弹簧的弹性势能一定比振动物体在 点时的大
D.振动物体从向 运动的过程中，其速度和加速度方向始终相同
√
解析：选C。点为简谐运动的平衡位置，则振动物体在 点时受到的合外
力为零，则重力沿斜面向下的分力与弹簧弹力平衡，可知此时弹簧处于伸
长状态，弹性势能大于零，A错误；在振动物体运动的过程中，由弹簧弹
力与重力沿斜面向下的分力的合力充当回复力，B错误；在简谐运动过程
中，机械能的总量不变，在、 两点时，振动物体的动能均为零，且振
动物体在点时的重力势能比在点时的小，则振动物体在 点时弹簧的弹
性势能一定比振动物体在点时的大，C正确；振动物体从到 做加速运
动，速度和加速度方向相同，从向 运动的过程中，振动物体的速度减
小，则速度和加速度方向相反，D错误。
6.如图甲所示，悬挂在竖直方向上的
弹簧振子，在、 两点之间做简谐
运动，点为平衡位置。振子到达
点开始计时。以竖直向上为正方向，
A.振子在 点受到的弹簧弹力等于零
B.振子做简谐运动的表达式为
C.到的时间内，振子通过的路程为
D.和 时，振子的速度不同，但加速度大小相等
在一个周期内的振动图像如图乙所示，下列说法正确的是( )
√
解析：选C。振子在 点受到的回复力为零，此时弹簧弹力等于振子自身
重力大小，故A错误；由题图乙可得，振子的振幅 ，初相位
，周期，则圆频率 ，所以振子做简谐
运动的表达式为，故B错误；由题图乙可知
时刻振子在平衡位置，时刻振子到达最大位移处，所以在 到
的时间内，振子通过的路程为 ，故C正确；根据简谐振动的对称
性可知，在和 时，振子的速度相同，加速度大小相等，
故D错误。
7.图甲中，一只小鸟站在树枝上与树枝一起上下振动，小鸟振动的 图
像如图乙所示，速度向下为正。下列说法正确的是( )
A.时刻小鸟的速度方向向上 B. 时刻树枝对小鸟弹力最大
C.时刻小鸟的加速度最大 D. 时刻小鸟处在最低点
√
解析：选C。根据题图乙可知， 时刻，速度为正，由于速度向下为正
方向，所以小鸟的速度方向向下，故A错误； 时刻小鸟的速度最大，此
时小鸟受力平衡，即所受弹力等于重力，此后小鸟向下做减速运动，树枝
对其弹力逐渐增大，故时刻，树枝对其弹力未达到最大，故B错误；
时刻小鸟的速度为0，这一瞬间停止了向下的运动，即将向上运动，根据
简谐运动的特征可知，此时加速度方向向上，达到最大值，故C正确；
时刻小鸟向上运动到了最大速度后向上做减速运动，故此时在平衡位置处，
不是最低点，故D错误。
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出
的四个选项中，有多项符合题意，全部选对的得6分，选对但不全的
得3分，有错选的得0分。
8.如图所示，装有砂粒的试管竖直浮于水面上静止。将试管竖直提起少许
后由静止释放，可以观察到试管上下振动。以下说法正确的是( )
A.试管静止时，试管所在的位置就是它的中心位置
B.试管的机械振动是简谐振动
C.以中心位置为位移的起点，重力与浮力的合力是试管做机械振动
的回复力，回复力与位移的大小成正比，与位移的方向相反
D.振动过程中试管（含砂粒）的机械能守恒
√
√
√
解析：选 。试管静止时，试管所在的位置就是振动的中心位置，也是
平衡位置，故A正确；设水的密度为 ，装有砂粒的试管质量为 ，横截
面积为，开始静止时浸入水中的深度为 ，在平衡位置静止时有
，规定竖直向下为正方向，当在平衡位置下方 处时，
位移为，此时合力 ，方向竖直向上，
则回复力（其中 为常数），所以试管的机械振动是简谐
振动，故B正确；以中心位置即平衡位置为位移的起点，重力与浮力的合
力是试管做机械振动的回复力，回复力与位移的大小成正比，与位移的方
向相反，故C正确；振动过程中浮力做功，机械能不守恒，故D错误。
9.图甲是一个单摆振动的情形，是它的平衡位置，、 是摆球所能到达
的最远位置，设摆球向右运动为正方向，图乙是这个单摆的振动图像，由
此可知( )
A.单摆振动的频率为
B.时摆球位于 点
C.时摆球位于平衡位置 ，
加速度为零
D.若当地的重力加速度 ，
则这个单摆的摆长是
√
√
√
解析：选。由振动图像可知，该单摆的周期为 ，故频率为
，故A正确；由于规定摆球向右运动为正方向，
且点为摆球所能到达的左边最远位置，故由振动图像可知， 时摆球
位于点，故B正确；由振动图像可知，时摆球位于平衡位置 ，
但摆球受到的合力不为零，所以加速度不为零，故C错误；根据单摆的周
期公式可得,把、 代入计算得
，故D正确。
10.、 两个质点做简谐运动的振动图像如图所示，下列说法正确的是
( )
A.、的振幅之比是
B.、的振动周期之比是
C.、在前 内经过的路程之比
是
D.时刻，、 的位移大小
之比是
√
√
√
解析：选。由振动图像可知的振幅为，的振幅为 ，则
、的振幅之比是，故A正确；由振动图像可知的周期为，
的周期为，则、的周期之比是，故B正确；在前内 完成
一个周期的振动，则路程为， 完成两个周期的振动，则路程也为
，故路程之比是，故C正确；和 离开平衡位置的位移方程为
，，则时刻，、 的
位移分别为，，则、的位移大小之比是 ，
故D错误。
三、非选择题：本题共5小题，共54分。
11.（8分）某实验小组用两根等长细线制作了图甲所示的双线摆来测定当
地的重力加速度，已知图中细线长度均为，与水平方向夹角均为 。
（1）关于本实验，下列说法正确的是___。
A.摆球应选择质量大些、体积小些的球
B.摆线要选择细些的、伸缩性小些的线，并且尽量短一些
C.为了使摆的周期大一些以方便测量，应使摆球从摆角较大的位置释放
D.测量周期时应从摆球到达最高点开始计时，并记录多次全振动所用的总
时间
√
解析：为了减小空气阻力的影响，实验中摆球应选择质量大些、体积小些
的球，故A正确；为了减小实验误差，摆线要选择细些的、伸缩性小些的
线，并且适当长一些，故B错误；为了确保单摆近似做简谐运动，应使摆
球从摆角较小的位置释放，故C错误；测量周期时应从摆球到达最低点开
始计时，并记录多次全振动所用的总时间，故D错误。
（2）他们用游标卡尺测得摆球的直径如图乙所示，则该摆球的直径
______ 。
1.430
解析：根据游标卡尺的读数为主尺读数与游标尺读数之和，所以摆球的直径
。
（3）他们将摆球沿垂直于纸面向外拉开一个较小角度后释放，然后用秒
表测出次全振动的总时间 ，则双线摆的振动周期为__，当地的重力加速
度 _________________。（用题中所给及所测物理量符号表示）
解析：由于测出次全振动的总时间，则双线摆的振动周期
根据单摆周期公式有
所以 。
（4）该小组改变两根细线的长度，测出多组双线摆的摆长和振动周期 ，
作出多组实验 图像，则这些图像的截距______（选填“相同”或“不
同”）。
相同
解析：由以上分析可得
所以多组实验 图像的截距相同。
12.（8分）如图（a）所示，某兴趣小组用单摆测
量重力加速度。选用的实验器材有：智能手机、
小球、细线、铁架台、夹子、游标卡尺、刻度尺
等，实验操作如下：
①用铁夹将细线上端固定在铁架台上，将小球竖
直悬挂。
②用刻度尺测出摆线的长度为 ，用游标卡尺测出
小球直径为 。
③将智能手机置于小球平衡位置的正下方，启用某 中的“近距秒表”功能。
④将小球由平衡位置拉开一个角度 ，静止释放，软件同时描绘出
小球与手机间距离随时间变化的图像，如图（b）所示。
请回答下列问题：
（1）根据图（b）可知，单摆的周期___ 。
2
解析：根据单摆的运动规律一个周期内应该有两个小球与手机间距离的最
小值，由题图（b）可得出，单摆的周期 。
（2）重力加速度 的表达式为_ _____________（用测得的物理量符号表示）。
解析：根据单摆周期公式可得，，解得重力加速度 的表达式
为 。
（3）改变摆线长度，重复步骤②、③、④的操作，可以得到多组和 的
值，进一步描绘出如图（c）所示的图像，若图线的斜率为 ，则重
力加速度的测量值为______。
解析：由（2）问中重力加速度的表达式可得 ，结合题图（c）
的图像，可知该图像以为横坐标，则图线的斜率 ，可知重力加速
度的测量值 。
13.（12分）如图所示的是一质点做简谐运动的
图像。在时，质点的位移等于 。
（1）求该质点的振幅、周期和频率。（4分）
解析：由题图可知，该质点的振幅为 ，周期
为，频率 。
答案：; ;
（2）求 时，质点的速度方向。（4分）
解析：由题图可知， 时，质点位于平衡位置上方，向正向最大
位移运动，所以速度方向沿 轴正方向。
答案：沿 轴正方向
（3）求出该质点的振动方程。（4分）
解析：质点的振动方程为
其中，
依题意，在时，质点的位移等于，可知
解得
即 。
答案：
14.（12分）如图所示，一细线上端固定，下端悬挂一金属球在、、
之间做简谐振动，其中是简谐振动的平衡位置，、 是球的最大位移处。
已知细线长为，球直径为、质量为，重力加速度大小为 。
（1）从点开始计时，求球第二次经过点时间 。（4分）
解析：根据单摆周期公式得
球再次经过点的时间
解得 。
答案：
（2）已知球在点时细线的拉力大小为，求球经过 点时细线上拉力大
小 。（8分）
解析：设小球在点时，细线和竖直方向的夹角为 ，则
从点到 点，根据动能定理得
球运动到 点时有
解得 。
答案：
15.（14分）如图所示，弹簧振子在竖直方向的、 两点之间做简
谐运动。小球位于点时开始计时，经过首次到达 点。若以小
球的平衡位置为坐标原点，以竖直向下为正方向建立坐标轴 ，
用表示小球相对于平衡位置的位移。已知、两点相距 ，
弹簧劲度系数，小球质量，重力加速度
取 。
（1）请写出小球位移随时间 变化的关系式。（4分）
解析：根据已知条件，可知小球做简谐运动的振幅
振动周期
根据
可得
小球经过点开始计时，故当时，，故
可得 。
答案：
（2）求内小球通过的路程及 末小球位移的大小。（4分）
解析：从小球经过处开始计时，一个周期内小球通过的路程 ，所
以 （3.5个周期）内通过的路程
小球在内运动3.5个周期，故末位于点，所以 。
答案：;
（3）求小球运动至 点时，其所受回复力的大小。（6分）
解析：小球在竖直面内做简谐运动，设其在平衡位置时弹簧的形变量为 ，
则有
当小球位于 点时，小球受到重力以及向下的弹力，则
。
答案：(共21张PPT)
课后达标检测
题组1
弹簧振子和简谐运动
1.（多选）下列运动中属于机械振动的是( )
A.树枝在风的作用下运动 B.竖直向上抛出的物体的运动
C.说话时声带的运动 D.爆炸声引起窗扇的运动
解析：选 。物体在平衡位置附近所做的往复运动属于机械振动，故A、
C、D正确；竖直向上抛出的物体到最高点后返回落地，不具有运动的往
复性，因此不属于机械振动，故B错误。
√
√
√
2.（多选）弹簧振子在振动过程中，每一次经过同一位置时，都具有相同
的( )
A.位移 B.加速度 C.速度 D.动量
解析：选。弹簧振子在振动过程中，每一次经过同一位置时，位移 相
同，根据 ，可知加速度相同；速度的大小是相等的，但是速度
方向不一定相同，根据 ，可知动量的大小是相等的，但是动量方
向不一定相同。
√
√
3.关于简谐运动，下列说法正确的是( )
A.位移的方向总是指向平衡位置
B.速度方向可能与位移方向相同，也可能与位移方向相反
C.位移方向总是与速度方向相反
D.速度方向与位移方向相同
解析：选B。位移的方向总是背离平衡位置，故A错误；速度方向可能与
位移方向相同，也可能与位移方向相反，故B正确，C、D错误。
√
4.（多选）如图所示，有一弹簧振子，点为平衡位置，当振子从 点运动
到 点时，相对于平衡位置( )
A.振子的位移大小为
B.振子的位移大小为
C.振子的位移方向向左
D.振子从点运动到 点过程中，加速度方向与速度
方向相同
√
√
解析：选。当振子从点运动到 点时，相对于平衡位置，振子的位移
大小为，振子的位移方向向右，故A、C错误，B正确；振子从 点运动
到点过程中，加速度方向指向 ，即加速度方向向左，速度方向向左，
所以加速度方向与速度方向相同，故D正确。
5.（多选）如图所示的是一弹簧振子， 为平衡位置，
设向右为正方向，振子在、 之间振动时( )
A.位移为负，速度为正 B. 位移为正，加速度为负
C.位移为负，加速度为正 D. 位移为负，速度为负
解析：选。时，振子在 点的左侧向右运动，其位移是负值，
速度是正值，故A正确；时，振子在 点的右侧向右运动，其位移和
速度都是正值，而加速度指向左侧，是负值，故B正确； 时，振子
在 点的右侧向左运动，其位移是正值，加速度指向左侧，是负值，故C
错误；时，振子在 点的左侧向左运动，其位移是负值，速度是负
值，故D正确。
√
√
√
题组2
简谐运动的图像
6.一质点做简谐运动的图像如图所示，该质点在
时刻( )
A.速度为正、位移为正 B.速度为负、位移为负
C.速度为负、位移为正 D.速度为正、位移为负
解析：选A。根据简谐运动的图像可知该质点在 时刻位移为正，
速度沿 轴正向，为正。
√
7.（2025·山东临沂市期中）如图所示，将一根吸管下端封闭后放
置一定量的沙粒，使其竖直浮在水杯中。将吸管向下压一段距离，
然后由静止释放并开始计时，吸管就在水中上下振动，在一段时
间内吸管在竖直方向上的运动可近似看作简谐运动。若取竖直向
下为正方向，图中描述吸管振动的图像正确的是( )
A. B. C. D.
解析：选A。吸管在水中做简谐运动，位移随时间变化的图像是正弦或余
弦曲线，吸管下压一段距离，然后由静止释放并开始计时，取竖直向下为
正方向，则初始时刻，吸管的位移为正向最大。
√
8.下列选项中的 图像中，不属于简谐运动的是( )
A. B. C. D.
解析：选D。简谐运动的 图线应该是正弦函数形式的图线，D项符合
题意。
√
9.如图甲所示，弹簧振子运动的最左端（最右端 ）距离平衡位置的距
离为 ，规定向右为正方向，其振动图像如图乙所示，下列说法正确的是
( )
A.图中应为
B.0到时间内振子由向 运动
C.到时间内振子由向 运动
D.0到时间内与到 时间内振子运
动方向相反
√
解析：选A。结合题图甲、乙可知 时刻振子的位移为正值且最大，振子
位于，故应为，故A正确；0到 时间内位移为正值，且逐渐增大，则
振子由向运动，故B错误；到 时间内位移为正值，且逐渐减小，则
振子由向运动，故C错误；0到 时间内振子先沿正方向运动到正的最
大位移处，再沿负方向运动到位移为零处，到 时间内先沿负方向运动
到负的最大位移处，再沿正方向运动到位移为零处，故D错误。
10.（多选）图为获取弹簧振子的位移—时间图像的一种
方法，改变纸带运动的速度，下列说法正确的是( )
A.如果纸带不动，作出的振动图像仍然是正弦函数曲线
B.如果纸带不动，作出的振动图像是一段线段
C.图示时刻，振子正经过平衡位置向右运动
D.若纸带运动的速度不恒定，则纸带上描出的仍然是简
谐运动的图像
√
√
解析：选 。当纸带不动时，描出的只是振子在平衡位置两侧往复运动的
轨迹，即一段线段，A错误，B正确；由振动图像可以看出，图示时刻振
子正由平衡位置向右运动，C正确；只有当纸带匀速运动时，运动时间才
与纸带运动的位移成正比，振动图像才是正弦或余弦函数曲线，而简谐运
动的图像一定是正弦或余弦函数曲线，D错误。
11.图甲为一弹簧振子的振动图像，
规定向右为正方向，试根据图像分析
以下问题：
（1）如图乙所示，振子振动的起始
位置是___，从起始位置开始，振子
向____（选填“右”或“左”）运动。
右
解析：如题图乙所示，振子振动的起始位置是 ，从起始位置开始，振子
向右运动。
（2）在图乙中，找出图甲中的、、、、 各点对应振动过程中的位
置，即对应___，对应___，对应___，对应___， 对应___。
解析：在题图乙中，题图甲中的对应，对应，对应，对应，
对应 。
（3）在时，振子的速度方向与时振子的速度方向______；
到 内振子的速度大小的变化情况是__________。
相反
逐渐增大
解析：在时振子的速度方向沿轴负方向， 时振子的速度方向
沿轴正方向，则两时刻振子速度方向相反；到 内振子向平衡位置运
动，则速度大小逐渐增大。
（4）振子在前 内的位移等于___。
0
解析：振子在前 内回到原来的位置，则位移等于0。
12.（16分）如图所示，这是某质点做简谐运动的振动图像。根据图像中的
信息，回答下列问题。
（1）质点离开平衡位置的最大距离有多大？（2分）
解析：质点离开平衡位置的最大距离等于最大位移的大小，由题图看出，
此距离为 。
答案：
（2）质点在末和 末的位移大小分别是多少？（4分）
解析：质点在末的位移,末的位移 。
答案： 0
（3）质点在和 末向什么方向运动？（4分）
解析：质点位移为正， 后的一段时间，位移逐渐减小，故质点在
向负方向运动，同理可知， 末质点也向负方向运动。
答案：负方向 负方向
（4）质点在前 内的运动路程是多少？（6分）
解析：前质点先是由平衡位置沿正方向运动了 ，又返回平衡位
置，最后又到达负方向处，故内的总路程为 。
答案：(共23张PPT)
课后达标检测
题组1
单摆的回复力来源
1.（多选）单摆是为研究振动而抽象出的理想化模型,其理想化条件是
( )
A.摆线质量不计
B.摆线不伸缩
C.摆球的直径比摆线长度小得多
D.只要是单摆的运动就是一种简谐运动
√
√
√
解析：选 。单摆由摆线和摆球组成,摆线只计长度不计质量,摆球只计
质量不计大小,且摆线不伸缩,A、B、C正确；把单摆的运动作为简谐运动
来处理是有条件的,只有在摆角很小的情况下才能视单摆的运动为简谐运动，
D错误。
2.关于单摆，下列说法正确的是( )
A.摆球运动的回复力是摆线拉力与重力的合力
B.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点时，加速度是不变的
C.摆球在运动过程中加速度方向始终指向平衡位置
D.摆球经过平衡位置时，加速度为0
√
解析：选B。摆球在运动过程中的回复力是摆球所受重力沿圆弧切线方向
的分力，而不是摆线的拉力和重力的合力，故A错误；摆球在运动过程中，
经过轨迹上的同一点时，受力不变，故加速度相同，故B正确；摆球在运
动过程中，回复力产生的加速度的方向始终指向平衡位置，而向心加速度
指向悬点，合成后，方向在变化，故C错误；单摆过平衡位置时，由于具
有向心加速度，所受的合力指向悬点，不为0，故D错误。
3.图中点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至 点，
此时细线处于张紧状态，释放摆球，摆球将在竖直平面内的、
之间来回摆动， 点为运动中的最低位置，则在摆动过程中
( )
A.摆球受到重力、拉力、向心力、回复力四个力的作用
B.摆球在点和 点处，速度为零，合力与回复力也为零
C.摆球在 点处，速度最大，细线拉力也最大
D.摆球在 点处，速度最大，回复力也最大
√
解析：选C。摆球在运动过程中只受到重力和拉力作用，向心力、回复力
为按效果命名的力，A错误；摆球在摆动过程中，在最高点、 处速度为
零，回复力最大，合力不为零，在最低点 处，速度最大，回复力为零，
细线的拉力最大，C正确，B、D错误。
题组2
单摆的周期公式
4.（多选）下列关于单摆运动的说法正确的是( )
A.在山脚下走时准确的摆钟移到高山上走时将变快
B.一单摆做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的回复力增大
C.单摆的周期与摆球质量、振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关
D.单摆做简谐运动时，在平衡位置处位移为零，加速度也为零
√
√
解析：选。将摆钟从山脚移到高山上时，摆钟所在位置的重力加速度
变小，根据 可知，摆钟振动的周期变大，走时变慢，A错误；摆
球做简谐运动，在偏角增大的过程中，摆球的位移增大，摆球受到的回复
力增大，B正确；根据单摆的周期公式 可知，单摆的周期与摆球
质量、振幅无关，与摆长和当地的重力加速度有关，C正确；单摆做简谐
运动时，在平衡位置处位移为零，有向心加速度，故加速度不为零，D错
误。
5.（2025·江苏南京市期中）图甲是一个单摆振动的情形， 是它的平衡位
置，、 是摆球所能到达的最高点。规定向右为正方向，图乙是其振动
图像。，取 ，下列说法正确的是( )
A.摆球摆到平衡位置 点时合力为零
B.在到 时间内，小球的动
能逐渐增大
C.时摆球位于 点
D.此单摆的摆长约为
√
解析：选D。摆球摆到平衡位置 点时具有向上的向心加速度，绳拉力大
于重力，合力不为零，故A错误；在到 时间内，图线切线的斜率
逐渐减小，小球的速度减小，动能减小，故B错误；由于向右为正方向，
时摆球位移达到正向最大，所以摆球位于 点，故C错误；由题
图乙可知，单摆的周期为，根据单摆周期公式 ，可得
，故D正确。
6.甲、乙两个单摆在同一地理位置做简谐振动的图
像分别如图线甲、乙所示，根据图像所提供的信息
来判断，下列说法正确的是( )
A.甲的周期为 B.乙的周期为
C.甲、乙的摆长之比为 D.前内乙的路程为
解析：选A。由图像可知，甲的周期关系为，解得 ，
A正确；由图像可知，乙的周期，B错误；根据 可解
得，C错误；前 内乙的路程
，D错误。
√
题组3
单摆模型的拓展
7.（2025·贵州黔东南州期中）如图所示，竖直面内的光滑圆弧槽上，两个
小球甲、乙（均视为质点）同时由静止释放，其中小球甲的初位置离圆槽
最低点 较远些，小球甲、乙运动的弧长远小于圆弧槽的半径。关于小球
甲、乙相遇时的情景，下列说法正确的是( )
A.小球甲、乙的速度相同，相遇点在 点左方
B.小球乙的速度更小，相遇点在 点
C.小球甲的速度更大，相遇点在 点右方
D.无法确定小球甲、乙的速度大小关系，因为两小
球的质量关系未知
√
解析：选B。小球甲、乙运动的弧长远小于圆弧槽的半径，可知它们的运
动可看成是简谐运动，根据周期公式 ，可知小球甲、乙从释放
至运动到点所用的时间均为，则小球甲、乙在 点相遇，根据机械能
守恒定律可得，解得 ，由于小球甲的下落高度较
大，所以相遇时小球甲的速度较大，故B正确，A、C、D错误。
8.某同学在探究单摆运动时，图甲是用力传感器对单摆运动过程进行测量
的装置图，图乙是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的 图像，则以
下说法正确的是( )
A.单摆振动周期 B.
C.时刻摆球速度最大 D. 时刻摆球经过最低点
解析：选D。由题图乙可知，单摆振动周期 ，故A错
误；拉力最小时，摆球处于最大位移处，绳拉力等于重力沿绳方向的分量，
即，故B错误； 时刻摆球所受拉力最小，则摆球处于
最大位移处，速度最小，故C错误； 时刻摆球所受拉力最大，则
摆球经过最低点，故D正确。
√
9.（10分）图甲是一个单摆振动的情
形，是它的平衡位置，、 是摆球
所能到达的最远位置。规定向左为正
方向。图乙是这个单摆的振动图像。
根据图像回答：
（1）单摆振动的频率多大？（3分）
解析：由题图乙知周期 ，则频率
。
答案：
（2） 时刻摆球在何位置？（3分）
解析：由题图乙知，0时刻摆球在负向最大位移处，因向左为正方向，所
以摆球在 点。
答案： 点
（3）若当地的重力加速度取， ，试求这个摆的摆长
（结果保留3位有效数字）。（4分）
解析：由周期公式 ，
解得 。
答案：
10.（10分）（2025·山东烟台市期中）甲、乙两个单摆在同一地点摆动的
振动图像如图所示。
（1）写出甲、乙两个单摆位移随时间的变化关系式。（6分）
解析：根据图像可知
，
甲的振幅为，乙的振幅为 ，根据
将图像中的坐标代入，解得
。
答案：见解析
（2）求甲、乙两个单摆的摆长之比。（4分）
解析：根据可知，
解得 。
答案：(共30张PPT)
课后达标检测
1.在做“用单摆测定重力加速度”的实验时：
（1）如图甲所示，用游标卡尺测得小球的直径______ 。
19.85
解析：用游标卡尺测得小球的直径
。
（2）若某同学测出多组单摆的摆长和运动周期 ，作
出图像，就可以求出当地的重力加速度 。理论
上 图像是一条过坐标原点的直线，某同学根据
实验数据作出的图像如图乙所示。
①造成图像不过坐标原点的原因可能是___。（填正确选项前的字母）
A.周期测量偏大 B.周期测量偏小 C.摆长测量偏小 D.摆长测量偏大
解析：将图像向右平移就会通过原点，所以相同周期下摆长偏小 ，
造成图像不过坐标原点的原因可能是忽略了球的半径，导致摆长偏小。
√
②由图像求出的重力加速度_____。（ 取 ，结果保留3位
有效数字）
9.86
解析：根据单摆的周期公式
可得
结合图像，有
解得 。
2.（2025·四川绵阳市期中）用如图甲所示实验装置做“单摆测重力加速度”
的实验。
（1）为了减小测量误差，下列做法正确的是___（选填字母代号）。
A.将钢球换成塑料球
B.在摆球经过平衡位置时开始计时
C.把摆球从平衡位置拉开一个很大的角度后释放
D.测量摆球完成一次全振动的时间，根据公式计算重力加速度
√
解析：为了提高实验精确度，小球应选用密度比较大的，故A错误；为了
提高实验精确度，需要在摆球经过平衡位置时开始计时，故B正确；用单
摆测重力加速度的实验中，只有在一个比较小的角度下摆动才可以看成简
谐振动，才可以用单摆的周期公式进行计算，所以实验时应当把摆球从平
衡位置拉开一个较小的角度后释放，故C错误；在测量单摆的周期时，不
能用测量一次全振动的时间作为单摆的周期，应当用统计规律去测量其周
期，再根据公式计算重力加速度 ，故D错误。
（2）若测得的重力加速度 值偏小，可能的原因是___（填字母代号）。
A.把悬点到摆球下端的长度记为摆长
B.把摆线的长度记为摆长
C.测量摆线长度时拉得过紧
D.实验中误将摆球经过平衡位置49次记为50次
√
解析：由单摆周期公式可知， ；如果把悬点到摆球下端
的长度记为摆长， 偏大，得到的重力加速度值偏大，故A错误；把摆线的
长度记为摆长，则偏小， 偏小，故B正确；测量摆线长度时拉得过紧，
则测量的摆长偏大， 偏大，故C错误；实验中误将摆球经过平衡位置49
次记为50次，会使得周期 偏小，从而得到的重力加速度值偏大，故D错误。
（3）某同学用单摆测量重力加速度的大小，他测量摆线
的长度和对应的周期，得到多组数据，作出了 图
像，如图乙所示。他认为根据图线可求得重力加速度
，则从理论上分析，他求得的重力加速度
______（选填“大于”“等于”或“小于”）真实值。
等于
解析：设单摆摆长为,根据周期公式，可得 ，
图像的斜率为，则，另一方面根据图像得 ，整理
后得 ，则测量值等于实际值。
（4）该同学画出了单摆做简谐运动时的振动图像
如图丙所示，则摆线偏离竖直方向的最大摆角的正
弦值约为_____（结果保留1位有效数字， 取10，
取 ）。
0.04
解析：由题图丙可知周期为，根据单摆周期公式 ，得
，振幅为，则 。
3.某同学在成都的家里用单摆测定重力加速度大小，实验装置如图甲所示。
（1）下列措施能提高该测量精确程度的是_____。（填标号）
A.悬线偏离竖直方向的夹角尽可能大
B.摆球选用体积小、质量大的钢球
C.摆球经过最低点时开始计时
D.测量一次全振动的时间即作为单摆的周期
解析：单摆做简谐运动的摆角 ，故A错误；摆球选用体积小、质量
大的钢球，能减小空气阻力，故B正确；摆球经过最低点时开始计时，误
差更小，故C正确；测量30到50次全振动的总时间来计算周期误差更小，
故D错误。
√
√
（2）摆球在摆动过程中，摆球经过________（选填“最高点”或“最低点”）
时悬线的拉力最大。若摆球经过该位置时悬线断了，摆球将做______运动。
最低点
平抛
解析：摆球在摆动过程中，摆球经过最低点时悬线的拉力最大；若摆球经
过该位置时悬线断了，摆球将做平抛运动。
（3）测出摆长及单摆完成次全振动所用的时间 ，则重力加速度大小
_______（用、、、 表示）。
解析：单摆的周期
由，得 。
（4）为提高结果的精确度，该同学测出多组实验数
据作出图像（为单摆的周期， 为摆长）如图
乙所示，由图像可以求出成都当地的重力加速度大小
_____（保留3位有效数字，取 ）。
9.77
解析：由，得
所以图线斜率的物理意义为，由图线斜率得
解得 。
4.（2025·山东泰安市期中）小明同学想用单摆来测重
力加速度，设计的实验装置如图甲所示，在摆球的平
衡位置处安放一个光电门，连接数字计时器。记录小
球第1次经过光电门到第次经过光电门的时间间隔 。
（1）下列说法正确的是___。（单选，填正确答案标号）
A.当摆球运动到平衡位置时开始计时
B.可选择有弹性的细绳作为摆线
C.摆球全振动的周期为
解析：在摆球摆到最低点即平衡位置时开始计时，可以减小实验误差，故
A正确；不能选择弹性绳，因为弹性绳在运动中长度会发生变化，故B错
误；小球第1次经过光电门到第次经过光电门的时间间隔为 ，则摆球全
振动的周期 ，故C错误。
√
（2）在摆球自然悬垂的情况下，用毫米刻度尺测得从
悬点至摆球顶端的长度为 ，再用螺旋测微器测量摆球
直径（图乙所示），摆球直径______ 。
7.885
解析：摆球直径
。
（3）实验中该同学测得的重力加速度经查证明显小于当地的重力加速度
值，下列原因可能的是___。（单选，填正确答案标号）
A.摆球的振幅偏小
B.计算时使用 作为摆长
C.摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，没注意到摆线长度
增加了
√
解析：根据，解得重力加速度的大小 ，重力加速度测量
与振幅无关，故A错误；计算时使用 作为摆长，导致代入摆长偏大，
则重力加速度测量值偏大，故B错误；摆线上端未牢固地系于悬点，实验
过程中出现松动，没注意到摆线长度增加了，则代入计算的摆长偏小，则
重力加速度测量值偏小，故C正确。
5.某实验小组利用一固定光滑的圆弧面测量当地的重力加速
度，圆弧面如图甲所示，图中虚线为圆弧面最低处，圆弧
面半径为 ，某同学取一小铁球进行实验。
（1）用游标卡尺测量小铁球的直径，示数如图乙
所示，则小铁球的直径_____ 。
1.66
解析：小铁球的直径
。
（2）该同学将小铁球从槽中虚线左侧接近虚线处由静止释放， ，小
铁球的运动可等效为一单摆。当小铁球第一次经过虚线处开始用秒表计时，
并计数为1，当计数为50时，所用的时间为，则等效单摆的周期 ___。
解析：相邻两次经过虚线处所用的时间为半个周期，故 ，解得
。
（3）更换半径不同的金属球进行实验，正确操作，根据
实验记录的数据，绘制的 图像如图丙所示，图中图
线的横、纵截距分别为、，则当地的重力加速度
_____，圆弧面的半径___。（用、 表示）
解析：摆球的周期，变形得 ，结合图像可得
，，解得， 。
6.某同学用图甲所示的装置研究单摆运
动的规律，让摆球在竖直平面内做摆动，
用力传感器得到细线对摆球拉力 的大小
随时间 变化的图线如图乙所示，且从最
（1）用游标卡尺测量摆球的直径如图丙所示，
则小球的直径为______ 。
10.60
解析：用游标卡尺测量摆球的直径为
。
低点开始计时。由图乙中所给的数据结合力学规律回答下列问题。
（2）若某同学测得的重力加速度数值大于当地重力加速度的数值，则引
起这一误差的原因可能是___。
A.误将摆线长当作摆长
B.误将摆线长与球的直径之和当作摆长
C.误将次全振动次数计为 次
D.摆线上端未牢固地系于悬点，实验过程中出现松动，使摆线长度增加了
√
解析：根据可得 ，误将摆线长当作摆长，则测得的重力
加速度偏小，A错误；误将摆线长与球的直径之和当作摆长，则测得的重
力加速度偏大，B正确；误将次全振动次数计为 次，则周期测量值
偏大，则测得的重力加速度偏小，C错误；摆线上端未牢固地系于悬点，
实验过程中出现松动，使摆线长度增加了，而计算重力加速度时仍用原来
的摆长值，则测得的重力加速度偏小，D错误。
（3）由图像得该单摆的运动周期 ____。
解析：由图像得该单摆的运动周期 。
（4）摆球的质量_____。取， 取
0.05
解析：单摆的周期 ，
解得
设单摆的最大摆角为 ，在最高点时
在最低点时，对摆球受力分析
从最高点到最低点由动能定理得
由以上三式联立得
代入数据得 。(共3张PPT)
第二章 机械振动
章末知识网络建构
驱动力
越小
最大
内容索引
感谢观看
本课件由水浒传媒出品，仅限教学使用，
所有权和著作权归本
公司所有，任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！
受力特征：回复力F=①
弹簧振子
基本模型
单摆(0<5°)
简谐运动
概念：振幅、周期和频率
描述
单摆周期：T=②
x-t图像：正弦或余弦曲线
机
械振
振动能：动能和势能之和；机械能守恒
特征：振幅递减
阻尼振动
原因：振动能逐渐转化为其他形式的能
定义：周期性的③
作用下的振动
f=∫驱，跟固无关
受迫振动
特征
f与f固相差④
振幅A越大
共振：f驱=f固时，振幅A⑤
实验：用单摆测量重力加速度(共46张PPT)
第二章 机械振动
第5节 阻尼振动 受迫振动
1.知道阻尼振动和阻尼振动能量的转化情况。 2.知道什么是受迫振动及产
生条件，掌握物体做受迫振动的特点。 3.知道共振现象，掌握产生共振的
条件，知道常见的共振的应用和危害。
1
课前知识梳理
2
课堂 深度探究
3
随堂 巩固落实
PART
01
课前知识梳理
一、阻尼振动
1.阻尼振动：系统在振动过程中受到摩擦及空气阻力等的作用，振动逐渐
①______，即振幅逐渐②______，振动能量逐步转变为其他能量，这种振
动叫作阻尼振动。
减弱
变小
2.自由振动：系统不受外力作用，只在自身③________作用下的振动，称
为自由振动。
3.无阻尼振动：理想情况下（即不受任何阻力，没有能量损耗）自由振动
的振幅④__________ 。
4.固有频率：自由振动的频率，叫作系统的固有频率。固有频率由
⑤_________________决定。
回复力
保持不变
系统本身的特征
二、受迫振动
1.驱动力：如果用⑥________的外力作用于振动系统，补偿系统的能量损
耗，使系统持续等幅地振动下去，这种⑦________的外力叫作⑧________。
2.受迫振动：系统在⑨________作用下的振动叫作受迫振动。
周期性
周期性
驱动力
驱动力
3.受迫振动的频率：大量实验表明，物体做受迫振动时，振动稳定后的频
率跟物体的⑩
__________没有关系，而是等于 ________的频率。
固有频率
驱动力
三、共振
1.驱动力的频率 ______振动物体的固有频率时，受迫振动的振幅
_______，这种现象叫作共振。
2.当驱动力的频率 ______振动物体的固有频率 时，振幅最大；驱动
力的频率跟固有频率 相差 ______，振幅越小。
等于
最大
等于
越大
四、共振的应用和防止
1.共振的应用：在应用共振时，驱动力频率接近或等于振动系统的
___________。例如转速计、共振筛。
固有频率
2.共振的防止：在防止共振时，驱动力频率与系统的 __________相差越
大越好。例如：部队过桥时用便步；火车过桥时减速；轮船航行时，改变
航向或航速。目的都是使驱动力的频率 ______振动系统的固有频率。
固有频率
远离
判断下列说法是否正确。
（1）阻尼振动是机械能不断减小的振动，它一定不是简谐运动。( )
√
（2）单摆的振幅越来越小，是因为其能量在不断消失。( )
×
（3）在外力作用下的振动就是受迫振动。( )
×
（4）受迫振动的频率与振动系统的固有频率无关。( )
√
（5）驱动力频率越大，振幅越大。( )
×
（6）共振只有害处没有好处。( )
×
PART
02
课堂 深度探究
知识点一 阻尼振动
如图所示的实验装置为一挂在曲轴上的弹簧振子，匀速摇动手柄，下面的
弹簧振子就会振动起来。实际动手做一下，然后回答以下几个问题：
（1）在不忽略空气阻力的情况下，如果手柄不动而用手拉动一下振子，
从振幅角度看弹簧振子的振动属于什么振动？若转动手柄，弹簧振子的振
动属于什么振动？
［提示］阻尼振动 受迫振动
（2）用不同的转速匀速转动手柄，弹簧振子的振动有何不同？这能说明
什么问题？
［提示］转速不同时弹簧振子振动快慢不同，说明弹簧振子振动的周期和
频率由手柄转速决定。
1.对阻尼振动的理解
（1）同一简谐运动能量的大小由振幅大小确定。
（2）阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅
减小得越快。
（3）物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构
特点所决定，并不会随振幅的减小而变化。如用力敲锣，由于锣受到空气
的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱，但音调不变。
（4）阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它
当成简谐运动来处理。
2.无阻尼振动（等幅振动）
如果振动物体从外界取得能量，恰好能补偿能量损失，这时它的振幅将保
持不变，称为无阻尼振动。
例1 单摆做阻尼振动的振动图像如图所示，下列说法正确的是( )
A.摆球时刻的动能等于 时刻的动能
B.摆球时刻的势能等于 时刻的势能
C.振动过程中摆球的动能不断减小
D.振动过程中摆球的势能不断减小
√
解析：在、 两时刻，摆球的位移相等，即摆球偏离平衡位置的高度相
等，所以在两时刻的势能是相等的，故B正确；摆球在 时刻的机械能大
于时刻的机械能，但是在、两时刻的势能是相等的，所以摆球在 时
刻的动能大于 时刻的动能，故A错误；振动过程中摆球的动能随着位移
的增大而减小，随着位移的减小而增大，故C错误；振动过程中摆球的势
能随着位移的增大而增大，随着位移的减小而减小，故D错误。
知识点二 受迫振动
自由振动、阻尼振动和受迫振动的比较
振动类型 自由振动 阻尼振动 受迫振动
产生条件 不受阻力作用 受阻力作用 受驱动力作用
频率 固有频率 固有频率 驱动力频率
振幅 不变 减小 大小变化不确定
振动图像 ____________________________________ ___________________________________ 形状不确定
振动类型 自由振动 阻尼振动 受迫振动
实例 弹簧振子振动， 单摆做小角度摆 动 敲锣打鼓发出的声音 越来越弱，是因为振 幅越来越小 扬声器纸盆振动
发声，钟摆的摆
动
续表
例2 （2025·贵州铜仁高二月考）如图所示的是受迫
振动的演示装置，在一根张紧的绳子上悬挂几个摆
球，可以用一个单摆（称为“驱动摆”）驱动另外几
个单摆。 下列说法正确的是( )
A.某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度一定相同
B.如果驱动摆的摆长为，则其他单摆的振动周期都等于
C.驱动摆只把振动形式传播给其他单摆，不传播能量
D.如果某个单摆的摆长等于驱动摆的摆长，则这个单摆的周期最大
√
解析：某个单摆摆动过程中多次通过同一位置时，速度大小相等但方向可
能不同，故A错误；如果驱动摆的摆长为 ，根据单摆的周期公式有
，而其他单摆都做受迫振动，故其振动周期都等于驱动摆的周
期，B正确，D错误；受迫振动不仅传播运动形式，还传播能量和信息，
故C错误。
例3 如图所示，在曲轴上悬挂一个弹簧振子，如果转动把手，曲轴可以带
动弹簧振子上下振动。
（1）开始时不转动把手，而用手往下拉振子，然后放手让振子上下振动，
测得振子在 内完成20次全振动，振子做什么振动？其固有周期和固有
频率各是多少？若考虑摩擦和空气阻力，振子做什么振动？
解析：用手往下拉振子使振子获得一定能量，放手后，振子因所受回复力
与位移成正比，方向与位移方向相反 ，所以做自由振动，其周
期和频率是由它本身的结构性质决定的，称固有周期 和固有频率
，根据题意， 。由于
摩擦和空气阻力的存在，振子克服摩擦力和阻力做功消耗能量，使其振幅
越来越小，故振动为阻尼振动。
答案：自由振动 阻尼振动
（2）在振子正常振动过程中，以转速 匀速转动把手，振子的振动稳
定后，振子做什么运动？其周期是多少？
解析：由于把手转动的转速为 ，它给弹簧振子的驱动力频率
，周期 ，故振子做受迫振动。振动达稳定状态后，
其频率（或周期）等于驱动力的频率（或周期），而跟固有频率（或周期）
无关。即， 。
答案：受迫振动
知识点三 共振现象及应用
洗衣机在衣服脱水完毕关闭电源后，脱水桶还要转动一会才能停下来。在
关闭电源后，发现洗衣机先振动得比较弱，有一阵子振动得很剧烈，然后
振动慢慢减弱直至停下来。
（1）开始时，洗衣机为什么振动比较弱？
［提示］开始时，脱水桶转动的频率远高于洗衣机的固有频率，振幅较小，
振动比较弱。
（2）期间剧烈振动的原因是什么？
［提示］当洗衣机脱水桶转动的频率等于洗衣机的固有频率时发生共振，
振动剧烈。
1.共振条件
（1）从受力角度来看：驱动力的频率跟物体的固有频率越接近，使物体
振幅增大的力的作用次数就越多，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，
它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而使振幅达到最大。
（2）从功能关系来看：当驱动力的频率越接近物体的固有频率时，驱动
力对物体做正功越多，振幅就越大。当驱动力的频率等于物体的固有频率
时，驱动力始终对物体做正功，从而使振幅达到最大。
2.共振曲线
（1）两坐标轴的意义
纵轴：受迫振动的振幅；横轴：驱动力频率。
（2） 的意义：表示固有频率。
（3）认识曲线形状：，共振；或，振幅较小；与
相差越大，振幅越小。
（4）结论：驱动力的频率越接近振动系统的固有频率 ，受迫振动的振
幅越大，反之振幅越小。
3.共振的应用和防止
（1）利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于系统的固有频率。
实例：共振筛、音箱、小提琴与二胡等乐器设置的共鸣箱、建筑工地上浇
铸混凝土时使用的振捣器、跳水运动员做起跳动作的“颠板”过程等。
（2）防止共振时，应使驱动力的频率与系统的固有频率不同，而且相差
越大越好。
实例：火车过桥时要放慢速度、军队过桥时用便步行走、轮船航行时要看
波浪的打击方向而改变轮船的航向和速度、机器运转时为了防止共振要调
节转速等。
角度1
共振现象的理解
例4 关于受迫振动、共振，下列说法正确的是( )
A.做受迫振动的物体的频率与固有频率相等，与驱动力的频率无关
B.为了防止共振产生危害，建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的固有
频率的差别
C.驱动力频率与固有频率之差越小，振幅越小，二者之差越大，振幅越大
D.快艇上的机关炮正连续向敌人射击时的振动是共振现象
√
解析：做受迫振动的物体的振动频率与物体的固有频率无关，它总是等于
驱动力的频率，故A错误；建厂房时要考虑厂房的固有频率与机器的固有
频率的差别，防止共振损坏建筑，故B正确；驱动力频率与固有频率之差
越小，越容易引起共振，则振幅越大，二者之差越大，振幅越小，故C错
误；快艇上的机关炮正连续向敌人射击时的振动与机枪在射击时的反冲运
动有关，与共振无关，故D错误。
角度2
共振曲线的理解
例5 一个单摆做受迫振动，其共振曲线（振幅与驱动力的频率 的关系）
如图所示，则( )
A.此单摆的固有周期约为
B.此单摆的摆长约为
C.若单摆的固有频率增大，说明摆长增大了
D.若共振曲线的峰值将向右移动，说明摆长增大了
√
解析：由共振曲线可知，当驱动力的频率与固有频率相同时其振幅最大，
所以由题图可知单摆的固有频率为 ，根据周期与频率的关系可知，
周期解得，故A错误；由单摆的周期公式有 ,解得
，故B正确；由单摆的周期公式有 ,若摆长增大，则单摆
的周期也变大，根据周期与频率的关系有 ,其频率变小，即摆长变大，
单摆的固有频率变小，故C错误；若共振曲线的峰值向右移，说明单摆的
固有频率增大，由上述的周期与频率公式可知其单摆的周期变小，结合单
摆的周期公式 ,可知其摆长变短，故D错误。
角度3
共振现象的应用
例6 公路上的减速带用于降低车速。一辆汽车悬架的固有频率为 ，
驶过某路面上的一排减速带，相邻减速带的间距为 ，则( )
A.汽车颠簸的频率始终为
B.汽车速度越大，颠簸得越厉害
C.汽车速度越大，汽车悬架的固有频率越大
D.当汽车以 的速度行驶时颠簸得最厉害
√
解析：设汽车速度为，经过间距为的减速带时，时间 ，驱
动力的频率 ，汽车颠簸的频率还与速度有关，故A错误；汽车
的固有周期，则汽车的速度 ，则
当汽车速度为 时，汽车发生共振现象，颠簸得最厉害，故B错误，
D正确；汽车悬架的固有频率与汽车悬架的刚度和悬架弹簧支承的质量有
关，与汽车速度无关，故C错误。
例7 （2025·江苏盐城期中）2024年9月16日7点30分前后，“贝碧嘉”的中心
登陆上海浦东临港新城，成为1949年以来登陆上海的最强台风，安装在上
海中心大厦第125层的千吨“慧眼”阻尼器（如图甲所示，简化模型如图乙
所示）明显晃动，“吸收”了大厦振动的部分能量，使大厦晃动逐渐减弱。
下列说法正确的是( )
A.阻尼器的摆动频率始终不变
B.阻尼器的悬索越长，减震效果越好
C.阻尼器只能在大风天气下发挥作用，对地
震不能发挥作用
D.大厦晃动频率与阻尼器的固有频率相同时，
阻尼器摆幅最大
解析：阻尼器做受迫振动，摆动频率与大厦晃动频率相同，故A错误；大
厦晃动频率与阻尼器的固有频率相同时，阻尼器发生共振现象，摆幅达到
最大值，此时阻尼器吸收能量最多，减震效果最好，故B错误，D正确；
阻尼器还能对地震的横波成分有一定的减震效果，故C错误。
√
PART
03
随堂 巩固落实
1.（阻尼振动）（2025·江苏苏州高二月考）一单摆做阻尼振动的位移—时
间图像如图所示，下列说法正确的是( )
A.阻尼振动是一种受迫振动
B.摆球在时刻的势能大于 时刻的势能
C.摆球在时刻的动能大于 时刻的动能
D.摆球在与 时刻的机械能相等
√
解析：选C。阻尼振动不是一种受迫振动，故A错误；摆球在与 时刻位
移大小相等即单摆所处高度相同，则重力势能相同，故B错误；由于阻力
影响，单摆要克服阻力做功，在运动过程中机械能一直逐渐减小，故 时
刻的机械能大于时刻的机械能，而两时刻的重力势能相等，则 时刻的
动能大于 时刻的动能，故C正确，D错误。
2.（受迫振动）如图所示，在一条张紧的绳子上挂着、、、 四个摆球，
让摆先振动，其余各摆在的驱动下也逐步振动起来。用手使 静止，然
后再松手，则( )
A.摆球、的振动周期相同 B.摆球 将一直保持静止
C.摆球的振幅会逐渐减小直至静止 D.摆球 自始至终不振动
√
解析：选C。由题意，让摆先振动，其余各摆在 的驱动下做受迫振动也
将逐步振动起来,且它们的振动周期均等于的振动周期，使 静止后，驱
动力消失，根据单摆的周期公式可知，由于、 的摆长不同，所以各自振
动的周期不同，故A、D错误；由于松手后，、、 三个摆球仍然在摆
动，通过绳子对提供驱动力，所以 将摆动，不可能一直保持静止，故B
错误；由题图可知，由于摆球做受迫振动时的摆长与 摆球的摆长最接近，
所以可知做受迫振动时的振幅最大，用手使静止，然后再松手， 在其
他摆球的影响下，将做阻尼振动，振幅将会逐渐减小直至静止，故C正确。
3.（共振现象及应用）（2025·山东烟台市期中）下列说法正确的是( )
A.洗衣机工作时机壳的振动频率等于其固有频率
B.为了防止桥梁发生共振而坍塌，部队要齐步通过桥梁
C.在某节目中歌手利用歌声震碎玻璃杯，属于声音的共振现象
D.路面共振破碎机停止工作后，水泥路面振动的频率随着振幅减小而减小
解析：选C。洗衣机工作时，为使其保持稳定，不发生共振，机壳的振动
频率不能等于其固有频率，故A错误；部队要便步通过桥梁，避免桥梁发
生共振，故B错误；在某节目中歌手利用歌声震碎玻璃杯，属于声音的共
振现象，故C正确；路面共振破碎机停止工作后，水泥路面振动的振幅减
小，但频率是不变的，故D错误。
√
4.（共振现象及应用）（多选）
（2025·安徽黄山市模拟）把一个筛子
用四根弹簧支撑起来，筛子上装一个
电动偏心轮，它每转一周，给筛子一
个驱动力，这就做成了一个共振筛，
A.降低输入电压 B.增加输入电压
C.更换劲度系数更大的弹簧 D.更换劲度系数更小的弹簧
如图甲所示。该共振筛的共振曲线如图乙所示。已知增大电压，可使偏心
轮转速提高；增加弹簧的劲度系数，可减小筛子的固有周期。现在，在某
电压下偏心轮的转速是 。为使共振筛的振幅增大，以下做法可行
的是( )
√
√
解析：选。如题图乙可知，筛子的固有频率 ，现在某电压
下偏心轮的转速是，频率 ，固
有频率小于驱动力的频率，为使共振筛的振幅增大，可以减小驱动力的频
率，则偏心轮的转速应减小，应降低输入电压，A正确，B错误；为使共
振筛的振幅增大，可以使固有频率增大，则固有周期减小，即增加弹簧的
劲度系数，C正确，D错误。

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