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广西百色市县级市2024-2025学年八年级下学期期末检测数学试题
1．下列各数中，能使有意义的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
4．只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，有一个角为的一张直角三角形纸片，沿图中的中位线剪开后，不能拼成的四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
6．游戏中有数学智慧，找起点游戏规则：如图，从起点走九段相等直路后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，下列可助我们成功的一招是（　　）
A．每走完一段直路后沿向右偏方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏方向行走
D．每段直路要长
7．如图，数轴上的点A表示的数是1，点表示的数是5，于点，且，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是（　　）
A．6.5 B．6 C． D．5.8
8．学校准备选拔一名学生会主席，选拔规定：按笔试成绩占，面试成绩占，民主测评占确定最终成绩，下表是王洋所查询的成绩，则他的最终成绩是（　　）
姓名 笔试成绩 面试成绩 民主测评
王洋 88分 83分 85分
A．85.3分 B．85.4分 C．85.6分 D．86.0分
9．若方程没有实数根，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
10．已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
11．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在矩形纸片中，点是的中点，连接，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，以大于的等长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，且直线刚好经过点．若，则的长度是（　　）
A．1 B． C．2 D．
13．老师对八年级（1）班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，发现分至分这一组的频数是15，那么该分数段的频率是　 　．
14．从“和谐号”动车飞驰大江南北，到“复兴号”引领世界标准，中国高铁不断创造出举世瞩目的成就．作为中国铁路网中南北走向大动脉之一的京沪铁路，促进了沿海城市与内陆城市的经济发展，若在这条线路上某个区间往返行车需印制种高铁票，设该区间共设置个停车站，请根据题意列出一元二次方程并化为一般形式为　 　．
15．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为　 　．
16．下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律：
①；②；③；……
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为　 　．
17．计算：
（1）；
（2）．
18．解方程：
（1）；
（2）．
19．已知：如图，在中，，点D是的中点，过点A作，，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
20．【问题情景】某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数（次/分钟），分为如下五组，A组：，组：，组：，组：，组：．其中组数据为：78，96，84，82，98，96．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图回答下列问题：
（1）组数据的众数是_____，中位数是_____，平均数是_____；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）求组在扇形统计图中所占的圆心角的度数；
（4）一般运动后的适宜心率为（次/分钟），学校共有2500名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
21．端午节将近，某超市以25元/件的价格购进一批三角粽，计划以40元/件的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这批三角粽的销售量（件）与每件降低的价格（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若超市要想获利800元，且让顾客获得更大实惠，这批三角粽每件应降价多少元？
22．【问题背景】定义：如图，点，把线段分割成线段，，，若以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
【知识运用】
（1）已知点，把线段分割成线段，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
23．【问题情景】如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，点是的中点，连接，．
【证明与探究】
（1）求证：；
（2）请判断与的位置关系，并说明理由；
（3）作的中点，连接，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：使有意义，即，
解得：，
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，列不等式求解即可．
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不符合题意；
故选B．
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且含有未知数项的最高次幂为2次的整式方程，对选项逐个判断即可．
3．【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好．
故选：D
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的方差．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵这种正多边形的内角是，
∴与之对应的外角为：，
∴正多边形的边数为：，即这种正多边形是正三角形．
故选：A．
【分析】根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除，再结合各正多边形的度数可求解即可．
5．【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；等腰梯形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：选项A：将剪开的小三角形与梯形的直角边拼接，可得到矩形，
因为中位线平行于底边，拼接后有三个直角，符合矩形特征；
选项B：将小三角形的斜边与梯形的斜腰拼接（非直角边拼接），
由于中位线长度是底边的一半，且三角形有一个角为，可拼成菱形（四条边相等）；
选项C：因为原三角形是有一个角为的直角三角形，
无论怎样拼接，都无法得到四个角都是且四条边都相等的正方形；
选项D：将小三角形的一条边与梯形的非平行边拼接，
利用中位线性质和平行关系，可拼成等腰梯形（两腰相等）．
故选：C．
【分析】根据中位线的性质和含30度直角三角形的性质，将直角三角形中位线部分与剩余部分进行拼接，分析能拼成的四边形形状，从而判断不能拼成的四边形．
6．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，从起点走九段相等直路之后回到起点的封闭图形是正九边形，
∵正九边形的每个外角的度数为：
∴每走完一段直路后沿向右偏方向行走，
故选：A．
【分析】根据题意可知，形成的封闭的图形是正九边形，求出正九边形的每个外内角的度数即可解决问题．
7．【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由图可得，，
∵，，
，
，
∴点D所表示的数为，
故选：B．
【分析】根据勾股定理可得，由题意可得，结合点A的位置，即可写出点D所表示的数．
8．【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分）
故选：C．
【分析】根据加权平均数的公式，求解即可．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程没有实数根，
∴，
解得；
∴的值可以是：，
故选：D．
【分析】根据方程没有实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
10．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再代入求解即可．
11．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点作轴于点
四边形是菱形
故选：C．
【分析】过点作轴于点，由题意可得，再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
12．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
连接
又直线经过点B，
，
又点E是的中点，
，
在矩形中，，
在中，，
．
故选：B．
【分析】根据题意可得是的垂直平分线，连接，则，再利用矩形的性质和勾股定理BC的长度，即可求解．
13．【答案】0.25
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：成绩在分之间的频率为．
故答案为：．
【分析】根据频率频数数据总和这个公式，求解即可．
14．【答案】
【知识点】根据数量关系列方程；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意：，
化为一般形式为：，
故答案为：．
【分析】根据题意可得，一元二次方程为，再转化为一般形式即可．
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：连接，如图：
在中，，
，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，
，即，
．
故答案为：．
【分析】连接，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，再根据三角形面积即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，
，
，
用含的式子表示为：，
故答案为：．
【分析】根据前3个等式的变换，总结规律即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】（1）计算乘除，化简每个式子，然后求解即可；
（2）根据二次根式的性质，零指数幂以及绝对值，化简每个式子，再求解即可．
（1）
．
（2）
．
18．【答案】（1）解：
，
或，
，．
（2）解：
方程化为一般形式为．
，，，
，
，
，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再提取公因式，直接求解即可．
（2）先将方程化为一般形式，再用公式法求解即可．
（1）解：
，
或，
，．
（2）解：
方程化为一般形式为．
，，，
，
，
，．
19．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，点D是的中点，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点D是的中点，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据， 可以得到四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质可得，即可证明结论；
（2）根据含30度直角三角形的性质求得，再由勾股定理得到，再证明，即可得答案．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，点D是的中点，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点D是的中点，
，
．
20．【答案】（1）96；90；89
（2）解：已知B组有6人，占比，则总人数为人．
A组有人，B组6人，D组有25人，E组有1人，
所以C组人数为人．
补全频数分布直方图，．
（3）解：因为C组有15人，总人数为50人，
所以C组在扇形统计图中所占的圆心角的度数为．
（4）解：适宜心率为，即C组和D组，C组有15人，D组有25人，共人．
因为，学校共有2500名学生，
所以达到适宜心率的学生大约有名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：B组数据为78，96，84，82，98，96，其中96出现了2次，出现的次数最多，所以众数是96．
将B组数据从小到大排列为78，82，84，96，96，98，数据个数为6，是偶数，中间两个数是84和96，则中位数是．
B组数据的平均数为．
故答案为：96；90；89；
【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的求解方法，直接求解即可；
（2）确定出C组的人数，补图即可；
（3）根据C组的人数和总数，求出所占的百分比，最后乘以，即可求出对应的扇形圆心角；
（4）根据样本估计总体的方法求解，即可．
（1）B组数据为78，96，84，82，98，96，其中96出现了2次，出现的次数最多，所以众数是96．
将B组数据从小到大排列为78，82，84，96，96，98，数据个数为6，是偶数，中间两个数是84和96，则中位数是．
B组数据的平均数为．
故答案为：96；90；89；
（2）已知B组有6人，占比，
则总人数为人．
A组有人，B组6人，D组有25人，E组有1人，
所以C组人数为人．
补全频数分布直方图，．
（3）解：因为C组有15人，总人数为50人，
所以C组在扇形统计图中所占的圆心角的度数为．
（4）解：适宜心率为，即C组和D组，C组有15人，D组有25人，共人．
因为，学校共有2500名学生，
所以达到适宜心率的学生大约有名．
21．【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，则由题图象得
，解得
与之间的函数关系式为．
（2）依题意得，
整理得，
解得，．
让顾客获得更大实惠，
取．
答：这批三角粽每件应降价7元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系式为，代入点的坐标，求解即可．
（2）根据总利润=每千克的利润×销量，列一元二次方程，解方程即可．
（1）解：设与之间的函数关系式为，则由题图象得
，解得
与之间的函数关系式为．
（2）依题意得，
整理得，
解得，．
让顾客获得更大实惠，
取．
答：这批三角粽每件应降价7元．
22．【答案】（1）解：点，是线段的勾股分割点．理由如下：
，，
，
以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，
点，是线段的勾股分割点．
（2）解：设，则．
点，是线段的勾股分割点，且为直角边，
①当为斜边时，则，即
，
解得；
②当为斜边时，则，即
，
解得．
综上所述，的长为12或13．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据“ 勾股分割点 ”的定义，进行判断即可；
（2）设，分两种强开，分为斜边和为斜边，再根据“ 勾股分割点 ”的定义，列方程求解即可．
（1）解：点，是线段的勾股分割点．理由如下：
，，
，
以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，
点，是线段的勾股分割点．
（2）设，则．
点，是线段的勾股分割点，且为直角边，
①当为斜边时，则，即
，
解得；
②当为斜边时，则，即
，
解得．
综上所述，的长为12或13．
23．【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，．
又，
．
（2）解：．理由如下：
如图1．四边形是正方形，
，，
．
点是的中点，
，
，
，
．
，
，
，即，
．
（3）解：如图2，连接．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线．
，
．
在中
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1） 正方形可得，，利用证三角形全等即可；
（2）根据平行线的性质可得，再利用直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到，再根据全等三角形的性质可得，即可求解．；
（3）连接，根据中位线的性质可得，再利用勾股定理求解即可．
（1）证明：四边形是正方形，
，．
又，
．
（2）解：．理由如下：
如图1．四边形是正方形，
，，
．
点是的中点，
，
，
，
．
，
，
，即，
．
（3）解：如图2，连接．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线．
，
．
在中
．
1 / 1广西百色市县级市2024-2025学年八年级下学期期末检测数学试题
1．下列各数中，能使有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：使有意义，即，
解得：，
故选：D．
【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数是非负数，列不等式求解即可．
2．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
B、是一元二次方程，符合题意；
C、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
D、没有二次项，不是一元二次方程，不符合题意；
故选B．
【分析】根据一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且含有未知数项的最高次幂为2次的整式方程，对选项逐个判断即可．
3．要判断一个学生的数学考试成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】D
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：方差是衡量波动大小的量，方差越小则波动越小，稳定性也越好．
故选：D
【分析】根据方差的意义：方差是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．标准差是方差的平方根，也能反映数据的波动性；故要判断他的数学成绩是否稳定，那么需要知道他最近连续几次数学考试成绩的方差．此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用．
4．只用一种正多边形密铺时，如果每个顶点处有6个这种正多边形相拼接，那么这个正多边形是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；平面镶嵌（密铺）；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵这种正多边形的内角是，
∴与之对应的外角为：，
∴正多边形的边数为：，即这种正多边形是正三角形．
故选：A．
【分析】根据一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除，再结合各正多边形的度数可求解即可．
5．如图，有一个角为的一张直角三角形纸片，沿图中的中位线剪开后，不能拼成的四边形是（　　）
A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形
【答案】C
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定；等腰梯形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：选项A：将剪开的小三角形与梯形的直角边拼接，可得到矩形，
因为中位线平行于底边，拼接后有三个直角，符合矩形特征；
选项B：将小三角形的斜边与梯形的斜腰拼接（非直角边拼接），
由于中位线长度是底边的一半，且三角形有一个角为，可拼成菱形（四条边相等）；
选项C：因为原三角形是有一个角为的直角三角形，
无论怎样拼接，都无法得到四个角都是且四条边都相等的正方形；
选项D：将小三角形的一条边与梯形的非平行边拼接，
利用中位线性质和平行关系，可拼成等腰梯形（两腰相等）．
故选：C．
【分析】根据中位线的性质和含30度直角三角形的性质，将直角三角形中位线部分与剩余部分进行拼接，分析能拼成的四边形形状，从而判断不能拼成的四边形．
6．游戏中有数学智慧，找起点游戏规则：如图，从起点走九段相等直路后回到起点，要求每走完一段直路后向右边偏行，成功的招数不止一招，下列可助我们成功的一招是（　　）
A．每走完一段直路后沿向右偏方向行走
B．每段直路要短
C．每走完一段直路后沿向右偏方向行走
D．每段直路要长
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意可知，从起点走九段相等直路之后回到起点的封闭图形是正九边形，
∵正九边形的每个外角的度数为：
∴每走完一段直路后沿向右偏方向行走，
故选：A．
【分析】根据题意可知，形成的封闭的图形是正九边形，求出正九边形的每个外内角的度数即可解决问题．
7．如图，数轴上的点A表示的数是1，点表示的数是5，于点，且，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是（　　）
A．6.5 B．6 C． D．5.8
【答案】B
【知识点】实数在数轴上的表示；勾股定理；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：由图可得，，
∵，，
，
，
∴点D所表示的数为，
故选：B．
【分析】根据勾股定理可得，由题意可得，结合点A的位置，即可写出点D所表示的数．
8．学校准备选拔一名学生会主席，选拔规定：按笔试成绩占，面试成绩占，民主测评占确定最终成绩，下表是王洋所查询的成绩，则他的最终成绩是（　　）
姓名 笔试成绩 面试成绩 民主测评
王洋 88分 83分 85分
A．85.3分 B．85.4分 C．85.6分 D．86.0分
【答案】C
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分）
故选：C．
【分析】根据加权平均数的公式，求解即可．
9．若方程没有实数根，则的值可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【解答】解：∵方程没有实数根，
∴，
解得；
∴的值可以是：，
故选：D．
【分析】根据方程没有实数根，则判别式，解不等式即可求出答案.
10．已知，是方程的两个实数根，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵是方程的两个实数根，
∴，
∴，
故选A．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系可得，再代入求解即可．
11．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，点，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过点作轴于点
四边形是菱形
故选：C．
【分析】过点作轴于点，由题意可得，再根据含30度直角三角形的性质以及勾股定理求解即可．
12．如图，在矩形纸片中，点是的中点，连接，按以下步骤作图：①分别以点和点为圆心，以大于的等长为半径作弧，两弧相交于点和点；②作直线，且直线刚好经过点．若，则的长度是（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
连接
又直线经过点B，
，
又点E是的中点，
，
在矩形中，，
在中，，
．
故选：B．
【分析】根据题意可得是的垂直平分线，连接，则，再利用矩形的性质和勾股定理BC的长度，即可求解．
13．老师对八年级（1）班60名同学的一次数学测验成绩进行统计，发现分至分这一组的频数是15，那么该分数段的频率是　 　．
【答案】0.25
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：成绩在分之间的频率为．
故答案为：．
【分析】根据频率频数数据总和这个公式，求解即可．
14．从“和谐号”动车飞驰大江南北，到“复兴号”引领世界标准，中国高铁不断创造出举世瞩目的成就．作为中国铁路网中南北走向大动脉之一的京沪铁路，促进了沿海城市与内陆城市的经济发展，若在这条线路上某个区间往返行车需印制种高铁票，设该区间共设置个停车站，请根据题意列出一元二次方程并化为一般形式为　 　．
【答案】
【知识点】根据数量关系列方程；列一元二次方程
【解析】【解答】解：根据题意：，
化为一般形式为：，
故答案为：．
【分析】根据题意可得，一元二次方程为，再转化为一般形式即可．
15．如图，在中，，P为边上一动点，于E，于F，M为中点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；等积变换
【解析】【解答】解：连接，如图：
在中，，
，
∴是直角三角形，且，
∵，，
∴四边形是矩形，
∴．
∵M是的中点，
∴，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，
，即，
．
故答案为：．
【分析】连接，根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，且，再根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，根据直角三角形斜边上的中线性质可得，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即时，最短，同样也最短，再根据三角形面积即可求出答案.
16．下面是小颖根据学习“数与式”积累的经验，通过“由特殊到一般”的方法探（第15题图）究二次根式的运算规律：
①；②；③；……
如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律为　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的性质与化简；探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：，
，
，
用含的式子表示为：，
故答案为：．
【分析】根据前3个等式的变换，总结规律即可求出答案.
17．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
．
（2）解：
．
【知识点】零指数幂；二次根式的混合运算；求有理数的绝对值的方法
【解析】【分析】（1）计算乘除，化简每个式子，然后求解即可；
（2）根据二次根式的性质，零指数幂以及绝对值，化简每个式子，再求解即可．
（1）
．
（2）
．
18．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：
，
或，
，．
（2）解：
方程化为一般形式为．
，，，
，
，
，．
【知识点】配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，再提取公因式，直接求解即可．
（2）先将方程化为一般形式，再用公式法求解即可．
（1）解：
，
或，
，．
（2）解：
方程化为一般形式为．
，，，
，
，
，．
19．已知：如图，在中，，点D是的中点，过点A作，，连接，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，点D是的中点，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点D是的中点，
，
．
【知识点】含30°角的直角三角形；菱形的判定；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据， 可以得到四边形是平行四边形，再根据直角三角形的性质可得，即可证明结论；
（2）根据含30度直角三角形的性质求得，再由勾股定理得到，再证明，即可得答案．
（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
，点D是的中点，
，
平行四边形是菱形．
（2）解：，，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
点D是的中点，
，
．
20．【问题情景】某班学生以跨学科主题学习为载体，综合运用体育、数学、生物学等知识，研究体育课的运动负荷．在体育课基本部分运动后，测量统计了部分学生的心率情况，按心率次数（次/分钟），分为如下五组，A组：，组：，组：，组：，组：．其中组数据为：78，96，84，82，98，96．根据统计数据绘制了不完整的统计图（如图所示），请结合统计图回答下列问题：
（1）组数据的众数是_____，中位数是_____，平均数是_____；
（2）补全学生心率频数分布直方图；
（3）求组在扇形统计图中所占的圆心角的度数；
（4）一般运动后的适宜心率为（次/分钟），学校共有2500名学生，请你依据此次跨学科研究结果，估计大约有多少名学生达到适宜心率？
【答案】（1）96；90；89
（2）解：已知B组有6人，占比，则总人数为人．
A组有人，B组6人，D组有25人，E组有1人，
所以C组人数为人．
补全频数分布直方图，．
（3）解：因为C组有15人，总人数为50人，
所以C组在扇形统计图中所占的圆心角的度数为．
（4）解：适宜心率为，即C组和D组，C组有15人，D组有25人，共人．
因为，学校共有2500名学生，
所以达到适宜心率的学生大约有名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：B组数据为78，96，84，82，98，96，其中96出现了2次，出现的次数最多，所以众数是96．
将B组数据从小到大排列为78，82，84，96，96，98，数据个数为6，是偶数，中间两个数是84和96，则中位数是．
B组数据的平均数为．
故答案为：96；90；89；
【分析】（1）根据众数、中位数、平均数的求解方法，直接求解即可；
（2）确定出C组的人数，补图即可；
（3）根据C组的人数和总数，求出所占的百分比，最后乘以，即可求出对应的扇形圆心角；
（4）根据样本估计总体的方法求解，即可．
（1）B组数据为78，96，84，82，98，96，其中96出现了2次，出现的次数最多，所以众数是96．
将B组数据从小到大排列为78，82，84，96，96，98，数据个数为6，是偶数，中间两个数是84和96，则中位数是．
B组数据的平均数为．
故答案为：96；90；89；
（2）已知B组有6人，占比，
则总人数为人．
A组有人，B组6人，D组有25人，E组有1人，
所以C组人数为人．
补全频数分布直方图，．
（3）解：因为C组有15人，总人数为50人，
所以C组在扇形统计图中所占的圆心角的度数为．
（4）解：适宜心率为，即C组和D组，C组有15人，D组有25人，共人．
因为，学校共有2500名学生，
所以达到适宜心率的学生大约有名．
21．端午节将近，某超市以25元/件的价格购进一批三角粽，计划以40元/件的价格销售，为了让顾客得到实惠，现决定降价销售，已知这批三角粽的销售量（件）与每件降低的价格（元）（）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）若超市要想获利800元，且让顾客获得更大实惠，这批三角粽每件应降价多少元？
【答案】（1）解：设与之间的函数关系式为，则由题图象得
，解得
与之间的函数关系式为．
（2）依题意得，
整理得，
解得，．
让顾客获得更大实惠，
取．
答：这批三角粽每件应降价7元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设与之间的函数关系式为，代入点的坐标，求解即可．
（2）根据总利润=每千克的利润×销量，列一元二次方程，解方程即可．
（1）解：设与之间的函数关系式为，则由题图象得
，解得
与之间的函数关系式为．
（2）依题意得，
整理得，
解得，．
让顾客获得更大实惠，
取．
答：这批三角粽每件应降价7元．
22．【问题背景】定义：如图，点，把线段分割成线段，，，若以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点．
【知识运用】
（1）已知点，把线段分割成线段，，，若，，，则点，是线段的勾股分割点吗？请说明理由；
（2）已知点，是线段的勾股分割点，且为直角边，若，，求的长．
【答案】（1）解：点，是线段的勾股分割点．理由如下：
，，
，
以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，
点，是线段的勾股分割点．
（2）解：设，则．
点，是线段的勾股分割点，且为直角边，
①当为斜边时，则，即
，
解得；
②当为斜边时，则，即
，
解得．
综上所述，的长为12或13．
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据“ 勾股分割点 ”的定义，进行判断即可；
（2）设，分两种强开，分为斜边和为斜边，再根据“ 勾股分割点 ”的定义，列方程求解即可．
（1）解：点，是线段的勾股分割点．理由如下：
，，
，
以线段，，为边的三角形是一个直角三角形，
点，是线段的勾股分割点．
（2）设，则．
点，是线段的勾股分割点，且为直角边，
①当为斜边时，则，即
，
解得；
②当为斜边时，则，即
，
解得．
综上所述，的长为12或13．
23．【问题情景】如图，已知正方形，，点在边上，射线交于点，交射线于点，点是的中点，连接，．
【证明与探究】
（1）求证：；
（2）请判断与的位置关系，并说明理由；
（3）作的中点，连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是正方形，
，．
又，
．
（2）解：．理由如下：
如图1．四边形是正方形，
，，
．
点是的中点，
，
，
，
．
，
，
，即，
．
（3）解：如图2，连接．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线．
，
．
在中
．
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1） 正方形可得，，利用证三角形全等即可；
（2）根据平行线的性质可得，再利用直角三角形的性质以及等腰三角形的性质得到，再根据全等三角形的性质可得，即可求解．；
（3）连接，根据中位线的性质可得，再利用勾股定理求解即可．
（1）证明：四边形是正方形，
，．
又，
．
（2）解：．理由如下：
如图1．四边形是正方形，
，，
．
点是的中点，
，
，
，
．
，
，
，即，
．
（3）解：如图2，连接．
点是的中点，点是的中点，
是的中位线．
，
．
在中
．
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