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贵州省遵义市播州区2026届九年级下学期中考第一次模拟考试数学试卷
1．下列气温中，温度最低的是（　　）
A． B． C． D．
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　）
A． B．
C． D．
3．2026年中央广播电视总台马年春晚的官方主题是“骐骥驰骋、势不可挡”，春晚直播期间，平均每分钟同时在线收看、收听3.25亿人．数据3.25亿用科学记数法表示（　　）
A． B． C． D．
4．在下列事件中，不可能事件是（　　）
A．明天的天气是晴天
B．从只有苹果的袋子中摸出梨
C．任意画一个正方形是轴对称图形
D．篮球运动员投篮一次，正好投中
5．如图1，是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
7．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
9．将直尺和按如图所示的方式放置，边与直尺的交点对应的刻度分别为和．若点分别是的中点，则边的长度是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在四边形中，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作直线交于点H，连接．若，，则的面积为（　　）
A． B．8 C． D．16
12．如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点方向以的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动，若运动时间为，的面积为．点P，Q在运动时，则y的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
13．若分式有意义，则的取值范围是　 　．
14．在如下电路图中，随机闭合开关，，中的两个，灯泡发亮的概率是　 　．
15．如图，小明同学将一块的直角三角尺放置在正方形中，以点C为圆心，为半径画弧，交于点F．若正方形的边长为，则弧的长为　 　．
16．如图，在四边形中，，点E在边上，连接，，，．若，则的长度为　 　．
17．计算
（1）计算：；
（2）解方程组：
①；
②．
18．为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告：
调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间
调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A．B．C．D．E．
调查方式 随机抽样调查
调查结果
备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是　 　；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是　 　；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议．
19．如图，反比例函数与一次函数相交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式及m的值；
（2）连接，求的面积．
20．如图，在中，点在边上，过点作交边于点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当四边形是菱形时，，，求菱形的边长．
21．如图1，遵义市余庆县飞龙湖呈现“湖连谷、湖中峡、峡湖相间”的独特风貌，也是“千里乌江画廊”上的核心景观区．某校九年级实践小组为绘制飞龙湖局部平面示意图，现需要测算A，B两岛间的实际距离，小组借助无人机等工具进行探究，所有测点均在同一竖直平面内．如图2，点D位于点A左侧水平岸上，测得为100m，点C为无人机航拍悬停点（在点D正上方），连接．
（1）在点C处测得，求的长；
（2）在点C处测得，求两岛A，B间的距离．
（参考数据：，，）
22．中国是茶的发源地，通过丝绸之路、茶马古道、海上贸易传至世界各地，深刻影响全球饮茶文化与贸易格局．某地举办品茶促销会，某经销店购进一批A，B两款茶杯的金额分别是1200元、900元，A款茶杯单价是B款茶杯的2倍，购进A款茶杯的数量比B款茶杯少50个．
（1）A，B两款茶杯的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该店准备再次购进A，B两款茶杯共100个，A款茶杯的数量不少于25个，总金额不超过765元，问如何进货？
23．如图，是的直径，直线与相切于点C，于点D，延长交于点P，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的度数；
（3）若，求的值．
24．【活动主题】
如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究．
【建立模型】
如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30．
（1）求抛物线的解析式；
（2）【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？
（3）在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围．
25．解决下列问题：
（1）【操作探究】如图①，在平行四边形中．作图：过的中点O作直线，分别交于点E，F；发现：与的数量关系为　 　．
（2）【初步应用】如图②，在平行四边形中，过点O作，交于点H，G，连接．判断四边形的形状并说明理由；
（3）【问题解决】如图③，在四边形中，，，点E，G分别在上，连接并延长交的延长线于点P，点O是的中点，连接并延长交于点F，连接．将线段所在的直线绕点E逆时针旋转交于点Q．当，，，时，求的长．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-3＜-1＜0＜6
故答案为：D.
【分析】首先比较-3＜-1＜0＜6，进而得出答案。
2．【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据三视图可得出该几何体为圆柱。
故答案为：C.
【分析】根据三视图即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 3.25亿=3.25×108.
故答案为：C.
【分析】首先考虑1亿是108，进而即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A： 明天的天气是晴天是随机事件，所以A不符合题意；
B： 从只有苹果的袋子中摸出梨是不可能事件，所以B不符合题意；
C： 任意画一个正方形是轴对称图形是必然事件，所以C不符合题意；
D： 篮球运动员投篮一次，正好投中是随机事件，所以D不合题意。
故答案为：B.
【分析】根据事件的分类逐项进行分析即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAD=180°-110°=70°，
∵，
∴=∠BAD=70°。
故答案为：B.
【分析】首先根据邻补角定义可得出∠BAD=180°-110°=70°，进而根据平行线的性质即可得出=∠BAD=70°。
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
3x＞6，
∴x＞2
故答案为：A.
【分析】直接解不等式求其解集即可。
7．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A ：，所以A不正确；
B：左边两项不是同类项，不能合并，所以B不正确；
C ：，所以C不正确；
D：，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方可得出A不正确；根据合并同类项法则可得出B不正确；根据完全平方公式可得出C不正确；根据平方差公式可得出D正确。
8．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得
，，，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【分析】根据二次方程判别式，则方程有两个不相等的实数根.
9．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点分别是的中点，
∴AB=2MN，
∵对应的刻度分别为和．
∴MN=5cm，
∴AB=10cm。
故答案为：C.
【分析】根据对应的刻度分别为和．可得出MN=5cm，进而根据三角形中位线定理，即可得出AB=10cm。
10．【答案】D
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接BD，则根据题意得，∠CDB=∠CAB=25°，
∵AB是OO的直径，
∴∠ADB= 90°，
∴ ∠ADC= ∠ADB- ∠CDB =90°-25°=65°，
则∠D的度数是65°，
故答案为：D.
【分析】连接BD，首先根据圆周角定理可得出∠CDB=∠CAB=25°，根据圆周角定理的推论可得出∠ADB= 90°，进而即可得出∠ADC= ∠ADB- ∠CDB =90°-25°=65°。
11．【答案】A
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由基本作图可得出：AH⊥BC于H，
∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
∴AB=2BH=4，
∴AH=
∴的面积为：。
故答案为：A.
【分析】首先由基本作图可得出AH⊥BC，可得出AH的长度，进而根据三角形的面积计算公式即可得出的面积为：。
12．【答案】C
【知识点】分段函数；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OC，AD=BC=6cm，CD=AB=8cm，∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC == = 10(cm)，
∴ OA=OC= 5cm，
当P运动到点A时，x=5÷2=2.5(s)，
当P运动到点B时，x=（5+8)÷2=（s)
当Q运动到点D时，x=8÷1.5=(s)
当点P在AB上时，则2.5AP=(2x-5)cm，CQ=1.5xcm，
∴△CPQ的面积y=是一次函数，
当点P在OA上时，则0≤x≤2.5，OP=2xcm，CQ =1.5xcm，PC = OC +OP =(5 + 2x)cm，
过P作PH⊥CD于H，则PH//AD，
∴△CPH~△CAD，
∴则
∴PH=
∴△CPQ的面积y=
∴该函数对应的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=
∴当2.5くx≤时，该函数图象是y随x增大而增大的线段，
故选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理可得出AC == = 10(cm)，进而得出OA=OC= 5cm，然后分别求得当点P在OA上，即0≤x≤2.5时：△CPQ的面积y=；当点P在AB上，即2.513．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
14．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，可以闭合S1、S2或S1、S3或S2，S3，一共有3种情况，而闭合S1、S2或S1、S3时，灯泡可以发光，
∴能够让灯泡发亮的概率是：。
故答案为：.
【分析】分析线路图可得出随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，可以闭合S1、S2或S1、S3或S2，S3，一共有3种情况，而闭合S1、S2或S1、S3时，灯泡都可以发光，故而可得出答案为。
15．【答案】
【知识点】弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt中：由cos∠DCE=，且∠DCE=30°，CD= ，
∴cos30°=，
∴CE=，
连接CF，则CF=CE，
在Rt和Rt中：CD=CB，CF=CE，
∴RtRt
∴∠BCF=∠DCE=30°，
∴∠ECF=90°-30°-30°=30°，
∴ 弧的长=。
故答案为：.
【分析】首先通过解Rt可得出CE=2，进而根据HL可得出RtRt，即可得出∠BCF=∠DCE=30°，进而得出∠ECF=90°-30°-30°=30°，然后根据弧长计算公式即可得出弧的长=。
16．【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CE，过点E作EF⊥AB于点F，并在∠BEF内部作∠BEG=∠EBA，
∵∠ADC=90°，CD=CE，
∴是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45°，
∵，
∴∠CEB=60°-45°=15°=∠EBA，
∴CE∥BF，
∵∠CBA=90°，∴∠ECB=90°，
又因为EF⊥AB于点F，
∴∠EFB=90°，
∴四边形EFBC是矩形，
∴EC=BF，EF=BC=，
在直角三角形BEF中，∠BEF=90°-15°=75°，
∴∠AEF=180°-60°-75°=45°，
∴三角形AEF是等腰直角三角形，
∴AE=，
∵∠BEG=∠EBA=15°，
∴∠EGF=30°，
∴EG=，FG=，
∴BG=EG=，
∴BF=FG+BG=+，
∴EC=BF=+，
∴DE=，
∴AD=AE+DE=2+=
故答案为：.
【分析】连接CE，过点E作EF⊥AB于点F，并在∠BEF内部作∠BEG=∠EBA，首先可证得是等腰直角三角形，得出∠DEC=45°，进而得出∠CEB=60°-45°=15°=∠EBA，可得出CE∥BF，进而可证得四边形EFBC是矩形，从而得出EF=BC=，进一步通过角度运算得出三角形AEF是等腰直角三角形，可得出AE=2，进而通过解直角三角形EFG，可得出EG，FG的长度，进一步得出EC=BF=+，再根据等腰直角三角形的性质得出DE=，进一步即可得出AD=AE+DE=2+=
17．【答案】（1）解：原式
（2）解：①，（1）+（2）得，
解得，
把代入（1）得，
解得，
∴原方程组的解为；
②解：，
把（1）代入（2）得，
解得，
把代入（1）得，
∴原方程组的解为
【知识点】有理数的乘方法则；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）首先根据乘方的意义，特殊锐角的三角函数值，以及算术平方根的意义进行化简，进一步及逆行有理数的混合运算即可；
（2）①利用加减消元法解方程组即可；
②利用代入消元法解方程组即可。
18．【答案】（1）60；
（2）解：被抽取学生中，C组人数为（人），
故可补画频数分布直方图，如下图所示：
（3）解：建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来．
【知识点】全面调查与抽样调查；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）解：，
即本次调查的样本容量是60；
，
∴在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是；
故第1空答案为：60；第1空答案为：36°；
【分析】（1）用A的人数除以它所占的比例即可得出本次调查的样本容量；360°乘D组所占的比例，即可得出D组对应的圆心角的度数 ；
（2）用样本容量减去其它各组的人数，即可得出C组人数，并补全频数统计图即可；
（3）答案不唯一，符合题意即可。比如：建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来．
19．【答案】（1）解：将点代入，得
∴反比例函数解析式为；
将点代入，得
解得．
（2）解：如图，设一次函数分别与x轴，y轴相交于点，，
对于，令，则；令，，
∴，，
∴，，
∵，，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出 反比例函数的解析式 ，进一步根据一次函数或反比例函数图象上的点的特征，即可得出m的值；
（2）首先求得一次函数与x轴，y轴的交点坐标，进而根据三角形的面积计算公式及割补法即可得出。
20．【答案】（1）证明：，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当四边形是菱形时，
设，由得：，
，
，
，
，
解得：，
即：菱形的边长为．
【知识点】平行线的判定；平行线的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的判定得出，进而根据平行四边形的定义即可得出结论；
（2）根据四边形是菱形，设设，由得：，进而根据，可得出，进而得出，即，解得，即菱形的边长为．
21．【答案】（1）解：在中，，
依题意，
，
即：的长为100m；
（2）解：在中，，，
，
，
，
．
即A、B两岛的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可得出的长为100m；
（2）解可得出，进而得出．
22．【答案】（1）解：设B款茶杯的单价为x元，则A款茶杯的单价为2x元．
根据题意，得：，
解得：
经检验，是原分式方程的解．
，
答：A款茶杯的单价为12元，B款茶杯的单价为6元．
（2）解：设购进A款茶杯a个，则购进B款茶杯个，
依题意得：，
解得：
又∵a取正整数，
∴a可取25，26，27．
即：有三种进货方案
方案一：购进A款茶杯25个，B款茶杯75个；
方案二：购进A款茶杯26个，B款茶杯74个；
方案三：购进A款茶杯27个，B款茶杯73个．
【知识点】分式方程的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设B款茶杯的单价为x元，则A款茶杯的单价为2x元．根据 购进A款茶杯的数量比B款茶杯少50个． 可得出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A款茶杯a个，则购进B款茶杯个，根据A款茶杯的数量不少于25个，总金额不超过765元， 可得出不等式组，解不等式组得出a的取值范围，并进一步求其正整数解，即可得出购货方案。
23．【答案】（1）证明：连接 ，
直线 与圆 相切于点 ，
，
，
，
，
，
，
，即 平分 ；
（2）解：设 ，
，
，
由（1）知 平分 ，
，
，
，
，
在 中，，
即 ，解得 ，
，
在 中，；
（3）解：如图，过点 作 于点 ，
，，
，
，
又 ，，且 ，
，
在 中，，
设 ，则 ，
，，
，
在 中，，设 ，
，
，
由 得 ，
，即 ，
，
在 中，，
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；求余弦值；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）连接 ，首先根据切线的性质可得出，进而得出，根据平行线的性质可得出，再根据等边对等角可得出，进而得出，即 平分 ；
（2）设 ，则，再根据（1）的结论 平分 ，可得出，在 中，，即 ，解得 ，进一步，进而即可得出；
（3）如图，过点 作 于点 ，在 中，，设 ，则 ，可得出，在 中，，设 ，可得出，由勾股定理可得出，解得，即 ，进而得出，在 中，即可得出。
24．【答案】（1）解：∵抛物线过点，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线过且顶点的横坐标为30，
∴，即，解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：∵在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线最低点到轴的水平距离为30，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
当时，，
，
∴另一端能挂到距原点50处高14的灯杆上；
（3）解：∵：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵：，
∴抛物线经过点，
∴将和代入中得：，解得：；
将和代入中得：，解得：，
∵射线与抛物线和抛物线都有交点，
∴的取值范围为：．
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出 抛物线的解析式；
（2）首先根据待定系数法得出抛物线的解析式为：．进而求出当时，，通过比较大小，即可得出答案；
（3）首先可求出抛物线的顶点坐标为，然后根据二次函数上的点可判断得出抛物线经过点，然后根据和利用待定系数法可得出 （）k=，进而再将和代入中得k=，进而即可得出的取值范围为：．
25．【答案】（1）
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形
，，，
∴，
又∵O是的中点，
，
而，
，
，
同理：，
，
．
同理可得：．
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：如图，过点C作交的延长线于点M，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴四边形是矩形，
由题意可知：，
∴，
∴，
∵，
，
，
设，，则
同（1）可得：
在中，，
解得：（舍去负值）
，
，
，
又，，
，
而，
∵
，
，
即：
解得：．
，
即的长为．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）解：作图如下：
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵过的中点O作直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得出，再结合，，根据ASA即可得出，可得出，进一步根据等式的性质即可得出；
（2）四边形是菱形由（1）可得；同理可证，可得出FH=EG，同理FG=EH，即可得出四边形是平行四边形，进而根据，即可得出四边形是菱形；
（3）如图，过点C作交的延长线于点M，可证得四边形是矩形，进而得出，进而得出，设，，则，同（1）可得：，进一步在中根据勾股定理即可得出在，，即，解方程求解，进一步得出CM和DM的长度，再根据，可得出，即：，进一步得出AG的长度，进一步即可得出。
1 / 1贵州省遵义市播州区2026届九年级下学期中考第一次模拟考试数学试卷
1．下列气温中，温度最低的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：-3＜-1＜0＜6
故答案为：D.
【分析】首先比较-3＜-1＜0＜6，进而得出答案。
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据三视图可得出该几何体为圆柱。
故答案为：C.
【分析】根据三视图即可得出答案。
3．2026年中央广播电视总台马年春晚的官方主题是“骐骥驰骋、势不可挡”，春晚直播期间，平均每分钟同时在线收看、收听3.25亿人．数据3.25亿用科学记数法表示（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 3.25亿=3.25×108.
故答案为：C.
【分析】首先考虑1亿是108，进而即可得出答案。
4．在下列事件中，不可能事件是（　　）
A．明天的天气是晴天
B．从只有苹果的袋子中摸出梨
C．任意画一个正方形是轴对称图形
D．篮球运动员投篮一次，正好投中
【答案】B
【知识点】事件的分类；事件发生的可能性
【解析】【解答】解：A： 明天的天气是晴天是随机事件，所以A不符合题意；
B： 从只有苹果的袋子中摸出梨是不可能事件，所以B不符合题意；
C： 任意画一个正方形是轴对称图形是必然事件，所以C不符合题意；
D： 篮球运动员投篮一次，正好投中是随机事件，所以D不合题意。
故答案为：B.
【分析】根据事件的分类逐项进行分析即可得出答案。
5．如图1，是一张可以折叠的椅子，将它打开后的截面如图2所示．若，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；邻补角
【解析】【解答】解：∵，
∴∠BAD=180°-110°=70°，
∵，
∴=∠BAD=70°。
故答案为：B.
【分析】首先根据邻补角定义可得出∠BAD=180°-110°=70°，进而根据平行线的性质即可得出=∠BAD=70°。
6．不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解： ，
3x＞6，
∴x＞2
故答案为：A.
【分析】直接解不等式求其解集即可。
7．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A ：，所以A不正确；
B：左边两项不是同类项，不能合并，所以B不正确；
C ：，所以C不正确；
D：，所以D正确。
故答案为：D.
【分析】根据积的乘方可得出A不正确；根据合并同类项法则可得出B不正确；根据完全平方公式可得出C不正确；根据平方差公式可得出D正确。
8．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意得
，，，
，
原方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
【分析】根据二次方程判别式，则方程有两个不相等的实数根.
9．将直尺和按如图所示的方式放置，边与直尺的交点对应的刻度分别为和．若点分别是的中点，则边的长度是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵ 点分别是的中点，
∴AB=2MN，
∵对应的刻度分别为和．
∴MN=5cm，
∴AB=10cm。
故答案为：C.
【分析】根据对应的刻度分别为和．可得出MN=5cm，进而根据三角形中位线定理，即可得出AB=10cm。
10．如图，在中，弦与直径相交，连接．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，连接BD，则根据题意得，∠CDB=∠CAB=25°，
∵AB是OO的直径，
∴∠ADB= 90°，
∴ ∠ADC= ∠ADB- ∠CDB =90°-25°=65°，
则∠D的度数是65°，
故答案为：D.
【分析】连接BD，首先根据圆周角定理可得出∠CDB=∠CAB=25°，根据圆周角定理的推论可得出∠ADB= 90°，进而即可得出∠ADC= ∠ADB- ∠CDB =90°-25°=65°。
11．如图，在四边形中，，．按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧，交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点P；③作直线交于点H，连接．若，，则的面积为（　　）
A． B．8 C． D．16
【答案】A
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：由基本作图可得出：AH⊥BC于H，
∵∠B=60°，
∴∠BAH=30°，
∴AB=2BH=4，
∴AH=
∴的面积为：。
故答案为：A.
【分析】首先由基本作图可得出AH⊥BC，可得出AH的长度，进而根据三角形的面积计算公式即可得出的面积为：。
12．如图，在矩形中，对角线相交于点O，，，动点P从点O出发沿方向以的速度运动，同时点Q从点方向以的速度运动．当点Q到达点D时，P，Q同时停止运动，若运动时间为，的面积为．点P，Q在运动时，则y的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】分段函数；二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系；动点问题的函数图象；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OC，AD=BC=6cm，CD=AB=8cm，∠ABC=∠ADC=90°，
∴AC == = 10(cm)，
∴ OA=OC= 5cm，
当P运动到点A时，x=5÷2=2.5(s)，
当P运动到点B时，x=（5+8)÷2=（s)
当Q运动到点D时，x=8÷1.5=(s)
当点P在AB上时，则2.5AP=(2x-5)cm，CQ=1.5xcm，
∴△CPQ的面积y=是一次函数，
当点P在OA上时，则0≤x≤2.5，OP=2xcm，CQ =1.5xcm，PC = OC +OP =(5 + 2x)cm，
过P作PH⊥CD于H，则PH//AD，
∴△CPH~△CAD，
∴则
∴PH=
∴△CPQ的面积y=
∴该函数对应的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=
∴当2.5くx≤时，该函数图象是y随x增大而增大的线段，
故选项C符合题意.
故答案为：C.
【分析】首先根据矩形的性质及勾股定理可得出AC == = 10(cm)，进而得出OA=OC= 5cm，然后分别求得当点P在OA上，即0≤x≤2.5时：△CPQ的面积y=；当点P在AB上，即2.513．若分式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得：．
故答案为：．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
14．在如下电路图中，随机闭合开关，，中的两个，灯泡发亮的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，可以闭合S1、S2或S1、S3或S2，S3，一共有3种情况，而闭合S1、S2或S1、S3时，灯泡可以发光，
∴能够让灯泡发亮的概率是：。
故答案为：.
【分析】分析线路图可得出随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，可以闭合S1、S2或S1、S3或S2，S3，一共有3种情况，而闭合S1、S2或S1、S3时，灯泡都可以发光，故而可得出答案为。
15．如图，小明同学将一块的直角三角尺放置在正方形中，以点C为圆心，为半径画弧，交于点F．若正方形的边长为，则弧的长为　 　．
【答案】
【知识点】弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt中：由cos∠DCE=，且∠DCE=30°，CD= ，
∴cos30°=，
∴CE=，
连接CF，则CF=CE，
在Rt和Rt中：CD=CB，CF=CE，
∴RtRt
∴∠BCF=∠DCE=30°，
∴∠ECF=90°-30°-30°=30°，
∴ 弧的长=。
故答案为：.
【分析】首先通过解Rt可得出CE=2，进而根据HL可得出RtRt，即可得出∠BCF=∠DCE=30°，进而得出∠ECF=90°-30°-30°=30°，然后根据弧长计算公式即可得出弧的长=。
16．如图，在四边形中，，点E在边上，连接，，，．若，则的长度为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连接CE，过点E作EF⊥AB于点F，并在∠BEF内部作∠BEG=∠EBA，
∵∠ADC=90°，CD=CE，
∴是等腰直角三角形，
∴∠DEC=45°，
∵，
∴∠CEB=60°-45°=15°=∠EBA，
∴CE∥BF，
∵∠CBA=90°，∴∠ECB=90°，
又因为EF⊥AB于点F，
∴∠EFB=90°，
∴四边形EFBC是矩形，
∴EC=BF，EF=BC=，
在直角三角形BEF中，∠BEF=90°-15°=75°，
∴∠AEF=180°-60°-75°=45°，
∴三角形AEF是等腰直角三角形，
∴AE=，
∵∠BEG=∠EBA=15°，
∴∠EGF=30°，
∴EG=，FG=，
∴BG=EG=，
∴BF=FG+BG=+，
∴EC=BF=+，
∴DE=，
∴AD=AE+DE=2+=
故答案为：.
【分析】连接CE，过点E作EF⊥AB于点F，并在∠BEF内部作∠BEG=∠EBA，首先可证得是等腰直角三角形，得出∠DEC=45°，进而得出∠CEB=60°-45°=15°=∠EBA，可得出CE∥BF，进而可证得四边形EFBC是矩形，从而得出EF=BC=，进一步通过角度运算得出三角形AEF是等腰直角三角形，可得出AE=2，进而通过解直角三角形EFG，可得出EG，FG的长度，进一步得出EC=BF=+，再根据等腰直角三角形的性质得出DE=，进一步即可得出AD=AE+DE=2+=
17．计算
（1）计算：；
（2）解方程组：
①；
②．
【答案】（1）解：原式
（2）解：①，（1）+（2）得，
解得，
把代入（1）得，
解得，
∴原方程组的解为；
②解：，
把（1）代入（2）得，
解得，
把代入（1）得，
∴原方程组的解为
【知识点】有理数的乘方法则；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）首先根据乘方的意义，特殊锐角的三角函数值，以及算术平方根的意义进行化简，进一步及逆行有理数的混合运算即可；
（2）①利用加减消元法解方程组即可；
②利用代入消元法解方程组即可。
18．为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告：
调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间
调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A．B．C．D．E．
调查方式 随机抽样调查
调查结果
备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟
结合调查信息，回答下列问题：
（1）本次调查的样本容量是　 　；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是　 　；
（2）将频数分布直方图补充完整；
（3）根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议．
【答案】（1）60；
（2）解：被抽取学生中，C组人数为（人），
故可补画频数分布直方图，如下图所示：
（3）解：建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来．
【知识点】全面调查与抽样调查；抽样调查的可靠性；用样本估计总体；频数（率）分布直方图；扇形统计图
【解析】【解答】解：（1）解：，
即本次调查的样本容量是60；
，
∴在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是；
故第1空答案为：60；第1空答案为：36°；
【分析】（1）用A的人数除以它所占的比例即可得出本次调查的样本容量；360°乘D组所占的比例，即可得出D组对应的圆心角的度数 ；
（2）用样本容量减去其它各组的人数，即可得出C组人数，并补全频数统计图即可；
（3）答案不唯一，符合题意即可。比如：建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来．
19．如图，反比例函数与一次函数相交于，两点．
（1）求反比例函数的解析式及m的值；
（2）连接，求的面积．
【答案】（1）解：将点代入，得
∴反比例函数解析式为；
将点代入，得
解得．
（2）解：如图，设一次函数分别与x轴，y轴相交于点，，
对于，令，则；令，，
∴，，
∴，，
∵，，
．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可得出 反比例函数的解析式 ，进一步根据一次函数或反比例函数图象上的点的特征，即可得出m的值；
（2）首先求得一次函数与x轴，y轴的交点坐标，进而根据三角形的面积计算公式及割补法即可得出。
20．如图，在中，点在边上，过点作交边于点，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）当四边形是菱形时，，，求菱形的边长．
【答案】（1）证明：，
，
又，
∴四边形是平行四边形；
（2）解：当四边形是菱形时，
设，由得：，
，
，
，
，
解得：，
即：菱形的边长为．
【知识点】平行线的判定；平行线的判定与性质；菱形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）首先根据平行线的判定得出，进而根据平行四边形的定义即可得出结论；
（2）根据四边形是菱形，设设，由得：，进而根据，可得出，进而得出，即，解得，即菱形的边长为．
21．如图1，遵义市余庆县飞龙湖呈现“湖连谷、湖中峡、峡湖相间”的独特风貌，也是“千里乌江画廊”上的核心景观区．某校九年级实践小组为绘制飞龙湖局部平面示意图，现需要测算A，B两岛间的实际距离，小组借助无人机等工具进行探究，所有测点均在同一竖直平面内．如图2，点D位于点A左侧水平岸上，测得为100m，点C为无人机航拍悬停点（在点D正上方），连接．
（1）在点C处测得，求的长；
（2）在点C处测得，求两岛A，B间的距离．
（参考数据：，，）
【答案】（1）解：在中，，
依题意，
，
即：的长为100m；
（2）解：在中，，，
，
，
，
．
即A、B两岛的距离约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质即可得出的长为100m；
（2）解可得出，进而得出．
22．中国是茶的发源地，通过丝绸之路、茶马古道、海上贸易传至世界各地，深刻影响全球饮茶文化与贸易格局．某地举办品茶促销会，某经销店购进一批A，B两款茶杯的金额分别是1200元、900元，A款茶杯单价是B款茶杯的2倍，购进A款茶杯的数量比B款茶杯少50个．
（1）A，B两款茶杯的单价分别是多少元？
（2）为满足消费者需求，该店准备再次购进A，B两款茶杯共100个，A款茶杯的数量不少于25个，总金额不超过765元，问如何进货？
【答案】（1）解：设B款茶杯的单价为x元，则A款茶杯的单价为2x元．
根据题意，得：，
解得：
经检验，是原分式方程的解．
，
答：A款茶杯的单价为12元，B款茶杯的单价为6元．
（2）解：设购进A款茶杯a个，则购进B款茶杯个，
依题意得：，
解得：
又∵a取正整数，
∴a可取25，26，27．
即：有三种进货方案
方案一：购进A款茶杯25个，B款茶杯75个；
方案二：购进A款茶杯26个，B款茶杯74个；
方案三：购进A款茶杯27个，B款茶杯73个．
【知识点】分式方程的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设B款茶杯的单价为x元，则A款茶杯的单价为2x元．根据 购进A款茶杯的数量比B款茶杯少50个． 可得出分式方程，解方程即可；
（2）设购进A款茶杯a个，则购进B款茶杯个，根据A款茶杯的数量不少于25个，总金额不超过765元， 可得出不等式组，解不等式组得出a的取值范围，并进一步求其正整数解，即可得出购货方案。
23．如图，是的直径，直线与相切于点C，于点D，延长交于点P，连接．
（1）求证：平分；
（2）若，求的度数；
（3）若，求的值．
【答案】（1）证明：连接 ，
直线 与圆 相切于点 ，
，
，
，
，
，
，
，即 平分 ；
（2）解：设 ，
，
，
由（1）知 平分 ，
，
，
，
，
在 中，，
即 ，解得 ，
，
在 中，；
（3）解：如图，过点 作 于点 ，
，，
，
，
又 ，，且 ，
，
在 中，，
设 ，则 ，
，，
，
在 中，，设 ，
，
，
由 得 ，
，即 ，
，
在 中，，
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的性质；求余弦值；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）连接 ，首先根据切线的性质可得出，进而得出，根据平行线的性质可得出，再根据等边对等角可得出，进而得出，即 平分 ；
（2）设 ，则，再根据（1）的结论 平分 ，可得出，在 中，，即 ，解得 ，进一步，进而即可得出；
（3）如图，过点 作 于点 ，在 中，，设 ，则 ，可得出，在 中，，设 ，可得出，由勾股定理可得出，解得，即 ，进而得出，在 中，即可得出。
24．【活动主题】
如图1，位于贵州安顺关岭自治县的花江峡谷大桥被称为“横竖”世界第一，已打造“云端景区”，成为贵州桥旅新地标．某兴趣小组进行桥梁（模型）装饰设计探究．
【建立模型】
如图2，钢缆主拱呈抛物线，以点（左桥墩与桥面交点）为原点建立平面直角坐标系，抛物线经过，，顶点的横坐标为30．
（1）求抛物线的解析式；
（2）【设计应用】在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，抛物线最低点到轴的水平距离为30，另一端能否挂到与原点水平距离50处，高14的灯杆上？
（3）在灯带点处安装一个彩色射灯，射灯光线交抛物线于点，设射线的解析式为（）．彩灯射线以点为旋转中心，从抛物线最低点处顺时针方向旋转，与抛物线，都有交点时，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线过且顶点的横坐标为30，
∴，即，解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）解：∵在轴上点处挂一条与抛物线形状相同的抛物线灯带，
∴设抛物线的解析式为：，
∵抛物线最低点到轴的水平距离为30，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为：．
当时，，
，
∴另一端能挂到距原点50处高14的灯杆上；
（3）解：∵：，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵：，
∴抛物线经过点，
∴将和代入中得：，解得：；
将和代入中得：，解得：，
∵射线与抛物线和抛物线都有交点，
∴的取值范围为：．
【知识点】函数值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）根据待定系数法即可得出 抛物线的解析式；
（2）首先根据待定系数法得出抛物线的解析式为：．进而求出当时，，通过比较大小，即可得出答案；
（3）首先可求出抛物线的顶点坐标为，然后根据二次函数上的点可判断得出抛物线经过点，然后根据和利用待定系数法可得出 （）k=，进而再将和代入中得k=，进而即可得出的取值范围为：．
25．解决下列问题：
（1）【操作探究】如图①，在平行四边形中．作图：过的中点O作直线，分别交于点E，F；发现：与的数量关系为　 　．
（2）【初步应用】如图②，在平行四边形中，过点O作，交于点H，G，连接．判断四边形的形状并说明理由；
（3）【问题解决】如图③，在四边形中，，，点E，G分别在上，连接并延长交的延长线于点P，点O是的中点，连接并延长交于点F，连接．将线段所在的直线绕点E逆时针旋转交于点Q．当，，，时，求的长．
【答案】（1）
（2）解：四边形是菱形，理由如下：
∵四边形是平行四边形
，，，
∴，
又∵O是的中点，
，
而，
，
，
同理：，
，
．
同理可得：．
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形；
（3）解：如图，过点C作交的延长线于点M，
∴，
∵，，
∴，
∴
∴四边形是矩形，
由题意可知：，
∴，
∴，
∵，
，
，
设，，则
同（1）可得：
在中，，
解得：（舍去负值）
，
，
，
又，，
，
而，
∵
，
，
即：
解得：．
，
即的长为．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）解：作图如下：
∵平行四边形，
∴，，
∴，
∵过的中点O作直线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：；
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得出，再结合，，根据ASA即可得出，可得出，进一步根据等式的性质即可得出；
（2）四边形是菱形由（1）可得；同理可证，可得出FH=EG，同理FG=EH，即可得出四边形是平行四边形，进而根据，即可得出四边形是菱形；
（3）如图，过点C作交的延长线于点M，可证得四边形是矩形，进而得出，进而得出，设，，则，同（1）可得：，进一步在中根据勾股定理即可得出在，，即，解方程求解，进一步得出CM和DM的长度，再根据，可得出，即：，进一步得出AG的长度，进一步即可得出。
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