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广东省佛山市南海区2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷
1．如图是某隧道的限高标志，规定通过的车辆高度不能超过，则通过该隧道的车高的范围可表示为（　　）
A． B． C． D．
2．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
3．下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，点平移后的坐标为，则点平移的方向是（　　）
A．向左 B．向右 C．向上 D．向下
5．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（　　）
A．的平分线上 B．边的高上
C．边的垂直平分线上 D．边的中线上
6．如图，在四边形中，．添加下列条件，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．AD//BC
7．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
9．某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（　　）册．
A． B． C． D．
10．如图，四边形中，点E、F、G、H分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（　　）
A．只与、的长有关 B．只与、的长有关
C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关
11．在中，若，则是　 　三角形．
12．一次函数与的图象，如图，则的解集是　 　．
13．请写一个分式，使它满足当时，分式无意义，当时，它的值为0，这个分式可以是　 　．
14．如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中　 　．
15．如图，在中，点P在内部，，于点P，，，求阴影部分的面积为　 　．
16．解不等式：，并把解集表示在数轴上．
17．化简：，并在中选择一个合适的值，代入求分式的值．
18．如图，，E是上的一点，且，，求证：．
19．观察下面算式的规律，解决问题；
①；②；③；④．
（1）根据以上规律写出第⑤个等式： ；
（2）通过上面的算式，小明得出了一个结论：两个相差2的奇数的平方差一定是8的倍数．请你证明这个结论．
20．操作与实践：已知．
（1）尺规作图：作，使得与关于点中心对称，点和点的对应点分别是点和点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）已知点是线段上的动点，连接，延长与交于点．根据题意，把图形补充完整，判断四边形的形状，并证明．
21．花店计划从花场购进甲、乙两种花卉，其中乙花卉的进价比甲花卉的进价少5元/箱，用96元购买的乙花卉的数量与用102元购买的甲花卉的数量相同，运输过程中甲花卉的数量会损失，乙花卉的数量会损失．
（1）求甲、乙花卉的进价；
（2）如果花店在进价的基础上提高作为售价，假设花店计划只购进甲、乙其中的一款花束．此时：如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；花店为了不亏本，应该选择购买 花卉．（填“甲”或“乙”或“任意一款”）；
（3）现花店打算只购买乙花卉，请通过计算说明乙花卉的售价每箱最低应提高百分之几，才能使得花店获得至少的利润？（精确到）
22．综合与实践
综合与实践课上，老师设计“电车充电计费”为主题的综合实践活动．
【材料一】随着电动汽车的普及，某公司购入一台电动商务车（每次充电75度）和一台电动货车（每次充电210度），充电桩充电速度为每小时30度，每次必须连续充满电．
充电时段 该时段的充电收费标准（元/度）
货车 商务车
0时时
6时时
12时时
18时时
【材料二】充电过程中，不同的时段，不同车型，对应每小时的收费标准有所不同，如上表所示：
【材料三】公司仅有一个充电桩，每次仅能为一辆车充电．假设每次充电均在电量完全耗尽后立即开始，并连续充至满电．为了研究更合理的充电安排，进行以下任务：
任务一：如果在0时时开始充电，有两种充电方案：
方案A：先充商务车，再充货车；方案B：先充货车，再充商务车；
比较两种充电方案那种更省钱？
任务二：设为电车开始充电的时刻，
商务车充电的费用记作元，货车充电的费用记作元．
（1）当为5时至6时中的某一个时刻，直接写出商务车充电的费用与充电的时刻之间的函数关系式： ；
（2）当为7时至8时中的某一个时刻，直接写出货车充电的费用与充电的时刻之间的函数关系式： ；
（3）根据①②所列的函数关系式，说明为何“开始时间越晚，费用越高”，并提出包含数学依据的优化建议．
23．综合与探究：
折纸作为融合生活实践与数学探究的活动，其折叠过程生动展现了对称性、等长线段、等角关系及图形全等等几何原理．综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．
如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点的对应点为．
【探究1】如图2，当与重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程；
证明：沿翻折至，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
= ，
；
【探究2】如题图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长；
【探究3】如图4，若，当刚好落在点的中点上时，是的中点，连接，若是直角三角形，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，故C正确．
故答案为：C．
【分析】根据 不能超过，即可得出 。
2．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】依据分式的性质“分式的分子分母同时乘以或除以同一个非零的数或式子，分式的值不变”逐项判定解题即可．
3．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：、，左边为多项式，右边是与的乘积，属于因式分解，不符合题意；
、，右边为与的和，未完全转化为积的形式，不属于因式分解，符合题意；
、，左边是完全平方式，分解为的平方，属于因式分解，不符合题意；
、，利用平方差公式分解为两个一次因式的乘积，属于因式分解，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。逐项进行分析判断，即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点经平移后对应点为，则点平移的方向和距离为向左平移1个单位，
故答案为：A．
【分析】根据0-1=-1，-1-（-1）=0，即可得出点平移的方向和距离为向左平移1个单位。
5．【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：作射线，
由题意得，，，，
平分，
故选：A．
【分析】作射线，根据角平分线判定定理即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：，AD//BC，满足平行四边形的定义。
故答案为：D。
【分析】根据平行四边形的判定，逐项进行分析判断，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
8．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=CD(三线合一)
∴DC=cm，
∵∠E = 30°
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°
∴∠CDE=∠E
所以CD=CE=2cm
故选：B．
【分析】根据等边三角形性质可得AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，根据等腰三角形三线合一性质可得AD=CD=，根据三角形外角性质可得∠CDE，再根据等角对等边即可求出答案.
9．【答案】B
【知识点】分式的概念；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：这种图书的库存量是：（册），
故答案为：B．
【分析】根据销售额÷单价=销量，即可得出 该书店这种图书的库存量是（册）。
10．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点E、F、G、H分别是线段、、、的中点，
，，，，
四边形EGFH的周长，
故选∶B．
【分析】根据三角形中位线定义可得，，，，再根据四边形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
11．【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，又，
∴，
即，
∴为直角三角形；
故答案为：直角．
【分析】根据三角形内角和定理及 ， 通过计算可得出其中一个内角∠A=90°，即可得出答案。
12．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得：不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】结合函数图象可得出当x＜-1时，函数的图象在函数的图象 上边，即可得出的解集是．
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得，满足题意的分式可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】当时，分式无意义， 可得出分母中含有因式x+1；根据 当时，它的值为0， 可得出分子中含有因式x-2，故而可得出答案（答案不唯一）。
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正五边形的外角和为360°，∴，
，
故答案为：．
【分析】根据正五边形的外角和为360°，可得，再根据三角形的内角和定理即可求解．
15．【答案】36
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点A作于点H，
∵，，，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】我们先过点A作，交BC于点H。首先在直角三角形中，借助勾股定理就能算出BC的长度为10；再结合等腰三角形三线合一的性质，能够得到，接下来再用一次勾股定理，就可以算出高AH的长度为12。最后利用三角形面积公式计算，可以得到阴影部分的面积满足关系：，即可得到最终结果。
16．【答案】解：
数轴上表示解集
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解不等式的一般步骤解不等式求得解集，然后再在数轴上正确表示出来即可。
17．【答案】解：
，
∵要使分式有意义，m取2
∴当时，
原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】第一步先对分式的分子和分母，把能够进行因式分解的部分分解因式，之后完成约分操作，就可以得到化简后的式子，最后根据分式的意义选择合适的数值，并代入求值计算出结果即可。
18．【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．【答案】（1）
（2）证明：设两个连续的奇数为，则：
，
为整数，
两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：∵①；②；③；④，
∴第⑤个等式为：；
故答案为：
【分析】（1）观察题目给出的一系列等式，归纳总结其变化规律，即可写出第⑤个等式；
（2）先设两个连续奇数分别为，再利用平方差公式对它们的平方差化简计算，可得到，据此即可对猜想加以证明判断。
（1）解：∵①；②；③；④，
∴第⑤个等式为：；
（2）证明：设两个连续的奇数为，则：
，
为整数，
两个连续奇数的平方差是8的倍数．
20．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形
补全图形如下：
和关于点中心对称，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）我们可以通过反向延长，再分别在延长线上截取，最后连接，即可得到所求作的边；
（2）先按照题目的要求补全对应的图形，再结合平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质即可完成证明。
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）补全图形如下：
和关于点中心对称，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
．
21．【答案】（1）解：设甲花卉进价为x元/箱，则乙花卉进价为元/箱
根据题意得：
解之得：
经检验：方程的解
所以乙花卉的进价为：（元/箱）
答：甲花卉进价为85元/箱，则乙花卉进价为80元/箱。
（2）解：，，甲
（3）解：设乙花卉每箱应提高a
答：乙花卉的售价每箱最低应提高．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）解：如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为元，如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为元，
∵
∴应该选择甲花卉；
故答案为：，，甲
【分析】（1）设甲花卉进价为x元/箱，则乙花卉进价为元/箱，根据 用96元购买的乙花卉的数量与用102元购买的甲花卉的数量相同， 可列出分式方程，解方程求解即可；
（2）按照题目给出的条件列出对应的代数式即可求解；
（3）先设乙种花卉每箱的提价幅度为a，再结合题意列出不等式，解不等式后即可得到结果。
（1）解：设甲花卉进价为x元/箱，则乙花卉进价为元/箱
根据题意得：
解之得：
经检验：方程的解
所以乙花卉的进价为：（元/箱）
答：甲花卉进价为85元/箱，则乙花卉进价为80元/箱
（2）如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为元，
如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为元，
∵
∴应该选择甲花卉；
（3）设乙花卉每箱应提高a
答：乙花卉的售价每箱最低应提高．
22．【答案】解：任务一：商务车充电一次需要（小时），
货车充电一次需要（小时）；
方案A：商务车：（元），
货车：（元），
总费用：（元），
方案B：货车：（元），
商务车：（元），
总费用：（元），
所以，方案B更省钱；
任务二：（1）；（2）；
（3）无论是还是中的都大于，所以都是随着x的增大而增大的，所以开始时间越晚，充电过程覆盖高费率时段的比例越高．例如，商务车在5时开始充电，仅1小时为低费率；若6时开始，则全部为高费率．所以给出的数学优化建议是：尽早开始充电；调整充电顺序，结合和的k值的差异，表示货车费用增长更快，应优先固定货车充电时间至更低费率时段．
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式；列一次函数关系式；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【解答】任务二：（1）；
（2）；
故答案为：（1）；（2）；
【分析】任务一：我们先分别计算出两种方案下的总花费，再对比两个花费的大小就能得出结论；
任务二：（1）按照题目给出的条件就可以写出对应的函数解析式；
（2）同样根据题意就可以得到对应的函数解析式；
（3）最后结合一次函数的增减性就可以分析得出结论。
23．【答案】解：【探究1】；；；；；；；
【探究2】延长与交于点M，
在四边形是平行四边形中，，
，
折叠得到，
，
，
，
设
，
，
点是CB的中点，
，
在和中，
，
，，
，
，
，解得，
∴；
【探究3】∵当刚好落在点的中点上时，是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，；
当时，，
如图，当在下方时，交于，
，
，
则，
，
∴，
，
∵刚好落在点的中点上，
；
如图，当在上方时，直线交于，
，
，
则，
，
，
∴，
，
∵刚好落在点的中点上，
；
当时，由折叠可得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴
；
当时，同理可证是矩形，
∴，
∵，
∴，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】【探究1】证明：沿翻折至，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；；；；；；；
【分析】【探究1】：结合图形，按照证明过程的推导逻辑，即可完成对应填空；
【探究2】 延长，与相交于点M。根据折叠的性质可得，由此可推出
。设那么可得，接下来可证明，根据全等三角形的性质得到，，最后结合这一等量关系列出方程，即可求解；
【探究3】 分别根据、、三种情况分类讨论，画出对应图形后，结合勾股定理与折叠的性质，就可以计算得到结果．
1 / 1广东省佛山市南海区2024-2025学年下学期期末考试八年级数学试卷
1．如图是某隧道的限高标志，规定通过的车辆高度不能超过，则通过该隧道的车高的范围可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意得：，故C正确．
故答案为：C．
【分析】根据 不能超过，即可得出 。
2．根据分式的基本性质，分式可变形为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】依据分式的性质“分式的分子分母同时乘以或除以同一个非零的数或式子，分式的值不变”逐项判定解题即可．
3．下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：、，左边为多项式，右边是与的乘积，属于因式分解，不符合题意；
、，右边为与的和，未完全转化为积的形式，不属于因式分解，符合题意；
、，左边是完全平方式，分解为的平方，属于因式分解，不符合题意；
、，利用平方差公式分解为两个一次因式的乘积，属于因式分解，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式。逐项进行分析判断，即可得出答案。
4．在平面直角坐标系中，点平移后的坐标为，则点平移的方向是（　　）
A．向左 B．向右 C．向上 D．向下
【答案】A
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；用坐标表示平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点经平移后对应点为，则点平移的方向和距离为向左平移1个单位，
故答案为：A．
【分析】根据0-1=-1，-1-（-1）=0，即可得出点平移的方向和距离为向左平移1个单位。
5．两个完全一样的三角板如图摆放，它们的顶点重合于点，则点一定在（　　）
A．的平分线上 B．边的高上
C．边的垂直平分线上 D．边的中线上
【答案】A
【知识点】角平分线的判定
【解析】【解答】解：作射线，
由题意得，，，，
平分，
故选：A．
【分析】作射线，根据角平分线判定定理即可求出答案.
6．如图，在四边形中，．添加下列条件，能判定四边形是平行四边形的是（　　）
A． B． C． D．AD//BC
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：，AD//BC，满足平行四边形的定义。
故答案为：D。
【分析】根据平行四边形的判定，逐项进行分析判断，即可得出答案。
7．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、该图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．
【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形.
8．如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且，则CE的长是（　　）
A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：∵△ABC是等边三角形，
∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，
∵BD平分∠ABC，
∴AD=CD(三线合一)
∴DC=cm，
∵∠E = 30°
∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°
∴∠CDE=∠E
所以CD=CE=2cm
故选：B．
【分析】根据等边三角形性质可得AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，根据等腰三角形三线合一性质可得AD=CD=，根据三角形外角性质可得∠CDE，再根据等角对等边即可求出答案.
9．某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册元，现每册降价元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（　　）册．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的概念；用代数式表示实际问题中的数量关系
【解析】【解答】解：这种图书的库存量是：（册），
故答案为：B．
【分析】根据销售额÷单价=销量，即可得出 该书店这种图书的库存量是（册）。
10．如图，四边形中，点E、F、G、H分别是线段、、、的中点，则四边形的周长（　　）
A．只与、的长有关 B．只与、的长有关
C．只与、的长有关 D．与四边形各边的长都有关
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：点E、F、G、H分别是线段、、、的中点，
，，，，
四边形EGFH的周长，
故选∶B．
【分析】根据三角形中位线定义可得，，，，再根据四边形周长，结合边之间的关系即可求出答案.
11．在中，若，则是　 　三角形．
【答案】直角
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵，又，
∴，
即，
∴为直角三角形；
故答案为：直角．
【分析】根据三角形内角和定理及 ， 通过计算可得出其中一个内角∠A=90°，即可得出答案。
12．一次函数与的图象，如图，则的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象得：不等式的解集是．
故答案为：．
【分析】结合函数图象可得出当x＜-1时，函数的图象在函数的图象 上边，即可得出的解集是．
13．请写一个分式，使它满足当时，分式无意义，当时，它的值为0，这个分式可以是　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意得，满足题意的分式可以为．
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】当时，分式无意义， 可得出分母中含有因式x+1；根据 当时，它的值为0， 可得出分子中含有因式x-2，故而可得出答案（答案不唯一）。
14．如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵正五边形的外角和为360°，∴，
，
故答案为：．
【分析】根据正五边形的外角和为360°，可得，再根据三角形的内角和定理即可求解．
15．如图，在中，点P在内部，，于点P，，，求阴影部分的面积为　 　．
【答案】36
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；等腰三角形的判定与性质；几何图形的面积计算-割补法；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，过点A作于点H，
∵，，，
∴，
∵，
∴是等腰三角形，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】我们先过点A作，交BC于点H。首先在直角三角形中，借助勾股定理就能算出BC的长度为10；再结合等腰三角形三线合一的性质，能够得到，接下来再用一次勾股定理，就可以算出高AH的长度为12。最后利用三角形面积公式计算，可以得到阴影部分的面积满足关系：，即可得到最终结果。
16．解不等式：，并把解集表示在数轴上．
【答案】解：
数轴上表示解集
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【分析】根据解不等式的一般步骤解不等式求得解集，然后再在数轴上正确表示出来即可。
17．化简：，并在中选择一个合适的值，代入求分式的值．
【答案】解：
，
∵要使分式有意义，m取2
∴当时，
原式
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】第一步先对分式的分子和分母，把能够进行因式分解的部分分解因式，之后完成约分操作，就可以得到化简后的式子，最后根据分式的意义选择合适的数值，并代入求值计算出结果即可。
18．如图，，E是上的一点，且，，求证：．
【答案】证明：∵，
∴，
∵，
∴在和中，
，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；等腰三角形的性质
【解析】【分析】根据等角对等边可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
19．观察下面算式的规律，解决问题；
①；②；③；④．
（1）根据以上规律写出第⑤个等式： ；
（2）通过上面的算式，小明得出了一个结论：两个相差2的奇数的平方差一定是8的倍数．请你证明这个结论．
【答案】（1）
（2）证明：设两个连续的奇数为，则：
，
为整数，
两个连续奇数的平方差是8的倍数．
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律；因式分解的应用-判断整除
【解析】【解答】解：∵①；②；③；④，
∴第⑤个等式为：；
故答案为：
【分析】（1）观察题目给出的一系列等式，归纳总结其变化规律，即可写出第⑤个等式；
（2）先设两个连续奇数分别为，再利用平方差公式对它们的平方差化简计算，可得到，据此即可对猜想加以证明判断。
（1）解：∵①；②；③；④，
∴第⑤个等式为：；
（2）证明：设两个连续的奇数为，则：
，
为整数，
两个连续奇数的平方差是8的倍数．
20．操作与实践：已知．
（1）尺规作图：作，使得与关于点中心对称，点和点的对应点分别是点和点；（保留作图痕迹，不要求写作法）
（2）已知点是线段上的动点，连接，延长与交于点．根据题意，把图形补充完整，判断四边形的形状，并证明．
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）证明：四边形是平行四边形
补全图形如下：
和关于点中心对称，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）我们可以通过反向延长，再分别在延长线上截取，最后连接，即可得到所求作的边；
（2）先按照题目的要求补全对应的图形，再结合平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质即可完成证明。
（1）解：如图所示：即为所求；
（2）补全图形如下：
和关于点中心对称，
四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
．
21．花店计划从花场购进甲、乙两种花卉，其中乙花卉的进价比甲花卉的进价少5元/箱，用96元购买的乙花卉的数量与用102元购买的甲花卉的数量相同，运输过程中甲花卉的数量会损失，乙花卉的数量会损失．
（1）求甲、乙花卉的进价；
（2）如果花店在进价的基础上提高作为售价，假设花店计划只购进甲、乙其中的一款花束．此时：如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为 元（用含的代数式表示，无需化简）；花店为了不亏本，应该选择购买 花卉．（填“甲”或“乙”或“任意一款”）；
（3）现花店打算只购买乙花卉，请通过计算说明乙花卉的售价每箱最低应提高百分之几，才能使得花店获得至少的利润？（精确到）
【答案】（1）解：设甲花卉进价为x元/箱，则乙花卉进价为元/箱
根据题意得：
解之得：
经检验：方程的解
所以乙花卉的进价为：（元/箱）
答：甲花卉进价为85元/箱，则乙花卉进价为80元/箱。
（2）解：，，甲
（3）解：设乙花卉每箱应提高a
答：乙花卉的售价每箱最低应提高．
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）解：如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为元，如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为元，
∵
∴应该选择甲花卉；
故答案为：，，甲
【分析】（1）设甲花卉进价为x元/箱，则乙花卉进价为元/箱，根据 用96元购买的乙花卉的数量与用102元购买的甲花卉的数量相同， 可列出分式方程，解方程求解即可；
（2）按照题目给出的条件列出对应的代数式即可求解；
（3）先设乙种花卉每箱的提价幅度为a，再结合题意列出不等式，解不等式后即可得到结果。
（1）解：设甲花卉进价为x元/箱，则乙花卉进价为元/箱
根据题意得：
解之得：
经检验：方程的解
所以乙花卉的进价为：（元/箱）
答：甲花卉进价为85元/箱，则乙花卉进价为80元/箱
（2）如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为元，
如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为元，
∵
∴应该选择甲花卉；
（3）设乙花卉每箱应提高a
答：乙花卉的售价每箱最低应提高．
22．综合与实践
综合与实践课上，老师设计“电车充电计费”为主题的综合实践活动．
【材料一】随着电动汽车的普及，某公司购入一台电动商务车（每次充电75度）和一台电动货车（每次充电210度），充电桩充电速度为每小时30度，每次必须连续充满电．
充电时段 该时段的充电收费标准（元/度）
货车 商务车
0时时
6时时
12时时
18时时
【材料二】充电过程中，不同的时段，不同车型，对应每小时的收费标准有所不同，如上表所示：
【材料三】公司仅有一个充电桩，每次仅能为一辆车充电．假设每次充电均在电量完全耗尽后立即开始，并连续充至满电．为了研究更合理的充电安排，进行以下任务：
任务一：如果在0时时开始充电，有两种充电方案：
方案A：先充商务车，再充货车；方案B：先充货车，再充商务车；
比较两种充电方案那种更省钱？
任务二：设为电车开始充电的时刻，
商务车充电的费用记作元，货车充电的费用记作元．
（1）当为5时至6时中的某一个时刻，直接写出商务车充电的费用与充电的时刻之间的函数关系式： ；
（2）当为7时至8时中的某一个时刻，直接写出货车充电的费用与充电的时刻之间的函数关系式： ；
（3）根据①②所列的函数关系式，说明为何“开始时间越晚，费用越高”，并提出包含数学依据的优化建议．
【答案】解：任务一：商务车充电一次需要（小时），
货车充电一次需要（小时）；
方案A：商务车：（元），
货车：（元），
总费用：（元），
方案B：货车：（元），
商务车：（元），
总费用：（元），
所以，方案B更省钱；
任务二：（1）；（2）；
（3）无论是还是中的都大于，所以都是随着x的增大而增大的，所以开始时间越晚，充电过程覆盖高费率时段的比例越高．例如，商务车在5时开始充电，仅1小时为低费率；若6时开始，则全部为高费率．所以给出的数学优化建议是：尽早开始充电；调整充电顺序，结合和的k值的差异，表示货车费用增长更快，应优先固定货车充电时间至更低费率时段．
【知识点】函数值；待定系数法求一次函数解析式；列一次函数关系式；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【解答】任务二：（1）；
（2）；
故答案为：（1）；（2）；
【分析】任务一：我们先分别计算出两种方案下的总花费，再对比两个花费的大小就能得出结论；
任务二：（1）按照题目给出的条件就可以写出对应的函数解析式；
（2）同样根据题意就可以得到对应的函数解析式；
（3）最后结合一次函数的增减性就可以分析得出结论。
23．综合与探究：
折纸作为融合生活实践与数学探究的活动，其折叠过程生动展现了对称性、等长线段、等角关系及图形全等等几何原理．综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．
如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点的对应点为．
【探究1】如图2，当与重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程；
证明：沿翻折至，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
= ，
；
【探究2】如题图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长；
【探究3】如图4，若，当刚好落在点的中点上时，是的中点，连接，若是直角三角形，直接写出的长．
【答案】解：【探究1】；；；；；；；
【探究2】延长与交于点M，
在四边形是平行四边形中，，
，
折叠得到，
，
，
，
设
，
，
点是CB的中点，
，
在和中，
，
，，
，
，
，解得，
∴；
【探究3】∵当刚好落在点的中点上时，是的中点，
∴，，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，；
当时，，
如图，当在下方时，交于，
，
，
则，
，
∴，
，
∵刚好落在点的中点上，
；
如图，当在上方时，直线交于，
，
，
则，
，
，
∴，
，
∵刚好落在点的中点上，
；
当时，由折叠可得，，
∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，，
∴
；
当时，同理可证是矩形，
∴，
∵，
∴，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】【探究1】证明：沿翻折至，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
在平行四边形中，，
，
，
，
，
，
，
；
故答案为：；；；；；；；
【分析】【探究1】：结合图形，按照证明过程的推导逻辑，即可完成对应填空；
【探究2】 延长，与相交于点M。根据折叠的性质可得，由此可推出
。设那么可得，接下来可证明，根据全等三角形的性质得到，，最后结合这一等量关系列出方程，即可求解；
【探究3】 分别根据、、三种情况分类讨论，画出对应图形后，结合勾股定理与折叠的性质，就可以计算得到结果．
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