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陕西榆林市靖边中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题
一、单选题
1．4名同学分别报名参加学校的足球队、篮球队、乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，则不同的报名方法种数是（ ）
A．12 B．24 C．64 D．81
2．若随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．设，，，则（ ）
A． B． C． D．
4．若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则该二项式的展开式中常数项为（ ）
A．90 B．-90 C．180 D．-180
5．若服从两点分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知变量与变量的关系可以用模型（，为常数）拟合，设，变换后得到一组数据如下：
2 3 4 5 6
1.02 1.20 1.42 1.62 1.84
由上表可得经验回归方程为，则（ ）
A．0.206 B． C．0.596 D．
7．某学校参加社会实践活动的1名教师和甲、乙、丙、丁4名学生站成一排合影留念，在教师不站在两端的条件下，甲、乙相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．除以9的余数为（ ）
A．1 B．2 C．7 D．8
二、多选题
9．已知随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
10．若，则（ ）
A． B．
C． D．
11．将一枚质地均匀的硬币连续投掷次，定义随机变量为结果中连续出现正面的最大次数.若始终未出现正面，规定，例如，投掷结果为“正反正正”时，连续出现正面的次数为和，故，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．的展开式中，的系数为______
13．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有______种（用数字作答）.

14．一个袋子中装有形状大小完全相同的6个球，其中有2个红球，4个白球，从中随机逐一取球，每次抽取后不放回，记为抽完某一种颜色所有的球所需的次数，则的数学期望_________．
四、解答题
15．（1）甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有多少种？
（2）用0，1，2，3，4，5这6个数字可以组成多少个无重复数字的四位偶数？
16．随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表：
能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具
男员工 30 15
女员工 16 9
(1)根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？
(2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望．
附：，其中．
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．甲、乙、丙三人投篮，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，丙每次投中的概率为，设每人每次投篮是否命中相互之间没有影响.
(1)甲、乙每人投3次，试比较甲恰好投中1次的概率与乙恰好投中1次的概率的大小；
(2)丙投篮3次，当为何值时，丙恰好投中1次的概率最大，并求出最大值.
18．某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山．为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：）和材积量（单位：），得到如下数据：
样本号ｉ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和
根部横截面积 0.04 0.06 0.04 0.08 0.08 0.05 0.05 0.07 0.07 0.06 0.6
材积量 0.25 0.40 0.22 0.54 0.51 0.34 0.36 0.46 0.42 0.40 3.9
并计算得．
(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；
(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；
(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为．已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比．利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值．
附：相关系数．
19．甲口袋中装有3个红球，乙口袋中装有2个黄球和1个红球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复次这样的操作，记乙口袋中黄球个数为，恰有2个黄球的概率为，恰有1个黄球的概率为．
(1)求，和，；
(2)求的数学期望（用含有的式子表示）．
参考答案
1．D
【详解】由题意可知：每位同学均有3个运动队选择，
所以不同的报名方法种数是.
故选：D.
2．B
【详解】因为随机变量服从正态分布，即，
所以.
故选：B.
3．C
【详解】因为，，，
所以，所以．
故选：C.
4．C
【详解】由题意可知，二项式的展开式中一共有11项，所以，
设展开式第项为常数项，则，
，
，
该二项式的展开式中常数项为，
故选：C.
5．A
【详解】因为服从两点分布，所以，
已知，可得，解得，
那么，则.
6．D
【详解】由表格中数据得，
，
代入方程得，，解得，因此.
由两边取对数，得.
又，所以，，即.
故选：D
7．C
【详解】设“甲、乙相邻”为事件A，“教师不站在两端”为事件B，则“教师不站在两端且甲乙相邻”为事件，
因为两端不能站教师，教师只能从中间3个位置选1个，剩余4名学生全排列，
所以；
将甲乙看作1个整体，内部排列有种，此时共4个“元素”（甲乙整体、丙、丁、教师），
要求教师不站在两端，教师只能从4个元素排列的中间2个位置选1个，剩余3个元素全排列： ，
根据条件概率公式： .
8．C
【详解】因为 ，又因为 ，所以 ，
根据二项式定理，当，，时，则：
由于9是9的倍数，那么对于展开式中的每一项 （），
当 时， 是9的倍数，所以这些项都能被9整除，
当 时，该项为 ，
因为 展开式中除最后一项 外，其余各项都能被9整除，
所以 除以9的余数为 （因为余数要为正数），
则 除以9的余数就相当于 除以9的余数，，所以余数为7.
故选：C.
9．ACD
【详解】由题意可得，
则，，
故A，C，D均正确，B错误．
故选：ACD.
10．BCD
【详解】对于A： 令 ，代入原式左边得：，因此 ，A错误；
对于B： 令 ，代入原式左边得：，
因此 ，B正确；
对于C： 设 ，，
由得： （1）；
令 ，代入左边得：，即： （2）；
（1）（2）得 ，即 ，C正确；
对于D： 对原式两边关于求导，
左边导数为： ，
右边导数为：，
令 ，代入左边导数得： ，
即 ，D正确.
11．ABD
【详解】对于A，对应于连续次扔出正面，于是，A正确；
对于B，，，，，
则，B正确；
对于C，观察前次扔出连续的次正面并不等价于前次的以及接下来的.
严格计算：，，，C错误；
对于D，不妨设表示前次投掷中出现正面的次数，
于是，则，则，于是，D正确.
故选：ABD
12．
【详解】个因式，个因式中取，个因式中取，个因式中取，
即可得出含的项，
则的系数为，
故的系数为.
故答案为：.
13．
【详解】如图，用表示个区域，
分4步进行分析：
①，对于区域，有5种颜色可选；
②，对于区域，与区域相邻，有4种颜色可选；
③，对于区域，与、区域相邻，有3种颜色可选；
④，对于区域、，若与颜色相同，区域有3种颜色可选，
若与颜色不相同，区域有2种颜色可选，区域有2种颜色可选，
则区域、有种选择，
则不同的涂色方案有种.
故答案为：.

14．
【详解】由题可得：可能取值为：，
：表示前两次都抽到红色，,
：表示前两次都抽到一红一白，第三次抽完红球，,
：表示前三次都抽到一红两白，第四次抽完红球，或者前四次抽的全是白色,
：表示前四次都抽到一红三白，第五次抽完红球，或者前四次抽到一红三白，第五次抽完白球，
则,
所以
15．（1）60；（2）156
【详解】（1）从5种课外读物中任取1种为甲乙共同的，有5种方法；
再从余下4种中取1种给甲，有4种方法；最后从3种中取1种给乙，有3种方法，
所以这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（种）；
（2）若末位为，则可组成个无重复数字的四位偶数；
若末位不为，则可组成个无重复数字的四位偶数；
共可组成个无重复数字的四位偶数.
16．(1)性别与使用AI工具的熟练度无关；
(2)
0 1 2 3
数学期望为1.
【详解】（1）设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关，
由统计表得，
则，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关.
（2）男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为，
按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4，
因此的可能取值为，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
数学期望.
17．(1)甲恰好投中1次的概率大.
(2)，最大值为.
【详解】（1）甲恰好投中1次的概率为，
乙恰好投中1次的概率为，
所以甲恰好投中1次的概率大.
（2）丙恰好投中1次的概率为.
令.
求导得：.
由，解得，故在上单调递增：
由，解得，故在上单调递减，
所以.
所以当时，丙恰好投中1次的概率最大，最大值为.
18．(1)；
(2)
(3)
【详解】（1）样本中10棵这种树木的根部横截面积的平均值
样本中10棵这种树木的材积量的平均值
据此可估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积为，
平均一棵的材积量为
（2）
则
（3）设该林区这种树木的总材积量的估计值为，
又已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比，
可得，解之得．
则该林区这种树木的总材积量估计为
19．(1)
(2)
【详解】（1）依题意，，，
，
.
（2）设某次操作前乙口袋中有个黄球，其中．
则甲口袋中有个黄球，乙口袋中有个红球，甲口袋中有个红球．
一次操作中，乙口袋中黄球数增加的概率为，乙口袋中黄球数减少的概率为．
因此，在已知的条件下，
两边取期望，得．
令，则．又，所以，即．
故，从而．

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