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广西壮族自治区崇左市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．在实数范围内，若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．全体实数
2．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
3．如图，在中，，则的长是（　　）
A． B． C．2 D．
4．估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
6．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（　　）
A． B． C． D．
7．某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（　　）
A．85分 B．86分 C．87分 D．88分
8．菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对边平行
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
9．如图，在中，是的平分线，延长交的延长线于点．若，，则的长为（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
10．如图，在菱形中，若，则菱形的面积是（　　）
A．12 B．24 C．30 D．48
11．如图，在长、宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是，若设路宽为，则x应满足的方程是
A． B．
C． D．
12．如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．已知关于的一元二次方程有一个根为2，则　 　．
14．在交通行驶中，看到“停”，表示车主需要停下车让行，一般情况会出现在路口视线较差的地方，需停车观察后再通行，其形状是一个正八边形，则其中一个内角的度数为　 　．
15．数据102，99，101，98，100的方差是　 　．
16．在中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这样的三角形的面积是　 　
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）
（2）
18．为了深入学习贯彻党的二十届三中全会精神，某校举行了以“学三中全会精神，做新时代好少年”为主题的知识竞赛．现从八、九年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析(成绩用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．)，现在给出了部分信息如下：
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据：93，94，95．
九年级10名学生的竞赛成绩：81，83，85，89，90，95，99，99，99，100．
抽取的八、九年级学生竞赛成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数 92 92
中位数 b 92.5
众数 100 c
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：___________，___________，___________．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中抽取的哪个年级的学生对三中全会知识的掌握程度更好？请说明理由．（写出一条即可）
（3）若该校八、九年级各有300名学生参加了此次竞赛，请估计该校参加此次竞赛成绩()为优秀的学生总人数．
19．请阅读下列材料，并完成相应的任务：利用勾股定理可以得出两点间的距离公式，如图，平面直角坐标系内有两点，，那么，即两点间的距离．
例如：若点，，则．
（1）若点，，则___________；
（2）在（1）的条件下，已知点，判断的形状，并说明理由．
20．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程：
解：移项，得．
配方，得，
所以．
直接开平方，得，
所以，．
【问题解决】
（1）小明配方的依据是
A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则
（2）用配方法解方程：．
【拓展应用】
（3）已知x是实数，求代数式的最小值．
21．如图，点O是菱形的对角线的交点，，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如果，，连接，
①求出线段的长；
②求出菱形的面积．
22．
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率．
任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价．
任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由．
23．（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边上，，延长BC到点H，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，，求的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，，解得：
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
故选：D．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故 ，即：
，
故答案为：D.
【分析】由5 =25，6 =36，26在25-36之间，可知，据此作出判断即可.
5．【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，
∴四人的平均数相同，
∵甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，方差分别为，，，，
，
∴丙的射击测试成绩最稳定．
故选： C．
【分析】方差表示一组数据的波动情况，平均数相同的情况下，方差越小，数据越稳定.
6．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，解得：，
故选：．
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵（分），
∴该选手的平均得分是86分．
故选：B．
【分析】根据加权平均数公式计算解答即可．
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
菱形、正方形，矩形的对边相等，对边平行，对角线互相平分
只有菱形、正方形的对角线互相垂直
故答案为：D
【分析】根据菱形、正方形，矩形的性质逐项进行判断就可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由平行四边形的性质可得，，则；由角平分线的定义可得，等量代换得，即．
10．【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，交于点
在菱形中，，，
，，
，
，
菱形的面积．
故选：B．
【分析】连接，交于点，根据菱形性质可得，，，根据勾股定理 可得BD，再根据菱形面积即可求出答案.
11．【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设路宽为，根据题意可得：
，
故选A．
【分析】设路宽为，根据题意建立方程即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
又是正三角形，
，，
是等腰三角形，，
．
故选：C．
【分析】根据正方形性质可得，，再根据正三角形性质可得，，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
13．【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有一个根为2，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】将x=2代入方程可得关于c的一次方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】135
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：因为任何一个多边形的外角和都是，
所以正八边形的每个外角的度数是：，
所以其中一个内角的度数为．
故答案为：135．
【分析】根据正多边形外角性质即可求出答案.
15．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：该组数的平均数为，
∴该组数的方差为
故答案为：2．
【分析】根据方差定义即可求出答案.
16．【答案】54
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，为直角三角形，
这个三角形的面积是，
故答案为：54
【分析】根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，再根据三角形面积即可求出答案.
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案.
（2）根据二次根式的乘法，结合实数的绝对值即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．【答案】（1），，
（2）解：八年级抽取的学生对三中全会知识的掌握程度更好，
理由：八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数大于九年级抽取的学生竞赛成绩的中位数，（理由不唯一，合理即可）；
（3）解：（名），
答：此次竞赛成绩为优秀的学生的总人数约是240名．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：依题意，，
，
八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，
将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是94，95，
因此中位数，
九年级生的竞赛成绩中99分的最多，则众数；
故答案为：40；94.5；99
【分析】（1）根据1减去其他组的占比可得a值，再根据中位数，众数的定义可得b，c值.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
（3）根据300乘以对应占比即可求出答案.
（1）解：依题意，，
，
八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，
将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是94，95，
因此中位数，
九年级生的竞赛成绩中99分的最多，则众数；
故答案为：40；94.5；99
（2）解：八年级抽取的学生对三中全会知识的掌握程度更好，
理由：八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数大于九年级抽取的学生竞赛成绩的中位数，（理由不唯一，合理即可）；
（3）解：（名），
答：此次竞赛成绩为优秀的学生的总人数约是240名．
19．【答案】（1）
（2）解：是直角三角形，理由如下：
，，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
故答案为：；
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得CE，DE，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（1）解：根据题意可得：，
故答案为：；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
，，
∴，
∴是直角三角形．
20．【答案】解：（1）A；
（2），
移项得：，
二次项系数化为1得：，
配方得，即，
直接开平方得，
所以；
（3），
∵无论x取什么数，都有，
，
∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式．
故选：A．
【分析】
本题围绕配方法的核心应用展开，重点考查完全平方公式的理解、配方法解一元二次方程的步骤以及配方法在代数式最值求解中的运用，能否灵活运用完全平方公式完成配方，是解决这类问题的核心突破口.
（1）结合小明的配方操作流程，可直接判断其运算依据；
（2）按照配方法的标准步骤，先将方程二次项系数化为1，再配方转化为，最后通过直接开平方法完成求解；
（3）对代数式进行配方，将其整理为的形式，结合完全平方式的非负性，可推出，进而确定代数式的最小值.
21．【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：①∵四边形是菱形，
∴，，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴在Rt△ACE中，．
②菱形的面积为：．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理，结合菱形的性质即可求出答案.
（2）①根据菱形性质，，根据矩形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
②根据菱形面积即可求出答案.
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：①∵四边形是菱形，
∴，，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴在Rt△ACE中，．
②菱形的面积为：．
22．【答案】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又 ∵要尽量减少库存，
，
答：下调后每个手办的售价为50元．
任务3：设下调后每个手办的售价为元，
则，
整理得：，
，
故平均每天不能获利2100元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务3：设下调后每个手办的售价为元，根据题意建立方程，根据二次方程判别式，根据二次方程无解，即可求出答案.
23．【答案】证明：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质即可求出答案.
（3）延长到点，使，连接，根据菱形性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据等边三角形判定定理及性质，结合边之间的关系即可求出答案.
1 / 1广西壮族自治区崇左市2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑）
1．在实数范围内，若二次根式有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．全体实数
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意，，解得：
故选：B．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
2．一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
，
该方程有两个不相等的实数根，
故选：B．
【分析】根据二次方程判别式，可得方程有两个不相等的实数根.
3．如图，在中，，则的长是（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
故选：D．
【分析】根据勾股定理即可求出答案.
4．估计 的值在（　　）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故 ，即：
，
故答案为：D.
【分析】由5 =25，6 =36，26在25-36之间，可知，据此作出判断即可.
5．甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】C
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，
∴四人的平均数相同，
∵甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，方差分别为，，，，
，
∴丙的射击测试成绩最稳定．
故选： C．
【分析】方差表示一组数据的波动情况，平均数相同的情况下，方差越小，数据越稳定.
6．若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，解得：，
故选：．
【分析】根据一元二次方程的定义即可求出答案.
7．某校举行“珍爱生命”演讲比赛，已知某位选手的“演讲内容”、“语言表达”和“形象风度”这三项得分分别为90分，85分，80分，若按的比例计算平均得分，则该选手的平均得分是（　　）
A．85分 B．86分 C．87分 D．88分
【答案】B
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：∵（分），
∴该选手的平均得分是86分．
故选：B．
【分析】根据加权平均数公式计算解答即可．
8．菱形、正方形一定具有而矩形不一定具有的性质是（　　）
A．对边相等 B．对边平行
C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可得：
菱形、正方形，矩形的对边相等，对边平行，对角线互相平分
只有菱形、正方形的对角线互相垂直
故答案为：D
【分析】根据菱形、正方形，矩形的性质逐项进行判断就可求出答案.
9．如图，在中，是的平分线，延长交的延长线于点．若，，则的长为（　　）
A．12 B．15 C．18 D．21
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形
∴，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】
由平行四边形的性质可得，，则；由角平分线的定义可得，等量代换得，即．
10．如图，在菱形中，若，则菱形的面积是（　　）
A．12 B．24 C．30 D．48
【答案】B
【知识点】菱形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，交于点
在菱形中，，，
，，
，
，
菱形的面积．
故选：B．
【分析】连接，交于点，根据菱形性质可得，，，根据勾股定理 可得BD，再根据菱形面积即可求出答案.
11．如图，在长、宽的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路（如图中阴影部分），要使空白部分面积是，若设路宽为，则x应满足的方程是
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设路宽为，根据题意可得：
，
故选A．
【分析】设路宽为，根据题意建立方程即可求出答案.
12．如图，在正方形的外侧作等边，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：四边形是正方形，
，，
又是正三角形，
，，
是等腰三角形，，
．
故选：C．
【分析】根据正方形性质可得，，再根据正三角形性质可得，，根据等腰三角形判定定理可得是等腰三角形，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．已知关于的一元二次方程有一个根为2，则　 　．
【答案】6
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有一个根为2，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】将x=2代入方程可得关于c的一次方程，解方程即可求出答案.
14．在交通行驶中，看到“停”，表示车主需要停下车让行，一般情况会出现在路口视线较差的地方，需停车观察后再通行，其形状是一个正八边形，则其中一个内角的度数为　 　．
【答案】135
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：因为任何一个多边形的外角和都是，
所以正八边形的每个外角的度数是：，
所以其中一个内角的度数为．
故答案为：135．
【分析】根据正多边形外角性质即可求出答案.
15．数据102，99，101，98，100的方差是　 　．
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：该组数的平均数为，
∴该组数的方差为
故答案为：2．
【分析】根据方差定义即可求出答案.
16．在中，若其三条边的长度分别为9、12、15，则这样的三角形的面积是　 　
【答案】54
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：，为直角三角形，
这个三角形的面积是，
故答案为：54
【分析】根据勾股定理逆定理可得为直角三角形，再根据三角形面积即可求出答案.
三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的混合运算；实数的绝对值
【解析】【分析】（1）根据二次根式的加减即可求出答案.
（2）根据二次根式的乘法，结合实数的绝对值即可求出答案.
（1）解：
；
（2）解：
．
18．为了深入学习贯彻党的二十届三中全会精神，某校举行了以“学三中全会精神，做新时代好少年”为主题的知识竞赛．现从八、九年级学生中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析(成绩用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．)，现在给出了部分信息如下：
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据：93，94，95．
九年级10名学生的竞赛成绩：81，83，85，89，90，95，99，99，99，100．
抽取的八、九年级学生竞赛成绩统计表
年级 八年级 九年级
平均数 92 92
中位数 b 92.5
众数 100 c
根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：___________，___________，___________．
（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中抽取的哪个年级的学生对三中全会知识的掌握程度更好？请说明理由．（写出一条即可）
（3）若该校八、九年级各有300名学生参加了此次竞赛，请估计该校参加此次竞赛成绩()为优秀的学生总人数．
【答案】（1），，
（2）解：八年级抽取的学生对三中全会知识的掌握程度更好，
理由：八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数大于九年级抽取的学生竞赛成绩的中位数，（理由不唯一，合理即可）；
（3）解：（名），
答：此次竞赛成绩为优秀的学生的总人数约是240名．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：依题意，，
，
八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，
将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是94，95，
因此中位数，
九年级生的竞赛成绩中99分的最多，则众数；
故答案为：40；94.5；99
【分析】（1）根据1减去其他组的占比可得a值，再根据中位数，众数的定义可得b，c值.
（2）根据各统计量的意义即可求出答案.
（3）根据300乘以对应占比即可求出答案.
（1）解：依题意，，
，
八年级组的有2人，组的有1人，组有3人，
将这10人的成绩从小到大排列，处在中间位置的两个数是94，95，
因此中位数，
九年级生的竞赛成绩中99分的最多，则众数；
故答案为：40；94.5；99
（2）解：八年级抽取的学生对三中全会知识的掌握程度更好，
理由：八年级抽取的学生竞赛成绩的中位数大于九年级抽取的学生竞赛成绩的中位数，（理由不唯一，合理即可）；
（3）解：（名），
答：此次竞赛成绩为优秀的学生的总人数约是240名．
19．请阅读下列材料，并完成相应的任务：利用勾股定理可以得出两点间的距离公式，如图，平面直角坐标系内有两点，，那么，即两点间的距离．
例如：若点，，则．
（1）若点，，则___________；
（2）在（1）的条件下，已知点，判断的形状，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：是直角三角形，理由如下：
，，
∴，
∴是直角三角形．
【知识点】勾股定理的逆定理；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
故答案为：；
【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案.
（2）根据两点间距离可得CE，DE，再根据勾股定理逆定理即可求出答案.
（1）解：根据题意可得：，
故答案为：；
（2）解：是直角三角形，理由如下：
，，
∴，
∴是直角三角形．
20．【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用这种方法可以解决很多数学问题．下面是小明同学用配方法解一元二次方程的过程：
解：移项，得．
配方，得，
所以．
直接开平方，得，
所以，．
【问题解决】
（1）小明配方的依据是
A．完全平方公式 B．平方差公式 C．多项式与多项式乘法法则
（2）用配方法解方程：．
【拓展应用】
（3）已知x是实数，求代数式的最小值．
【答案】解：（1）A；
（2），
移项得：，
二次项系数化为1得：，
配方得，即，
直接开平方得，
所以；
（3），
∵无论x取什么数，都有，
，
∴当时，有最小值4，即代数式的最小值是4．
【知识点】完全平方公式及运用；配方法解一元二次方程；配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）方程两边同时加上1，方程左边变成，即，右边变成2，则依据是完全平方公式．
故选：A．
【分析】
本题围绕配方法的核心应用展开，重点考查完全平方公式的理解、配方法解一元二次方程的步骤以及配方法在代数式最值求解中的运用，能否灵活运用完全平方公式完成配方，是解决这类问题的核心突破口.
（1）结合小明的配方操作流程，可直接判断其运算依据；
（2）按照配方法的标准步骤，先将方程二次项系数化为1，再配方转化为，最后通过直接开平方法完成求解；
（3）对代数式进行配方，将其整理为的形式，结合完全平方式的非负性，可推出，进而确定代数式的最小值.
21．如图，点O是菱形的对角线的交点，，，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）如果，，连接，
①求出线段的长；
②求出菱形的面积．
【答案】（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：①∵四边形是菱形，
∴，，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴在Rt△ACE中，．
②菱形的面积为：．
【知识点】菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据矩形判定定理，结合菱形的性质即可求出答案.
（2）①根据菱形性质，，根据矩形性质可得，，再根据勾股定理即可求出答案.
②根据菱形面积即可求出答案.
（1）证明：∵，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：①∵四边形是菱形，
∴，，
由（1）可知，四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴在Rt△ACE中，．
②菱形的面积为：．
22．
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率．
任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价．
任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由．
【答案】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又 ∵要尽量减少库存，
，
答：下调后每个手办的售价为50元．
任务3：设下调后每个手办的售价为元，
则，
整理得：，
，
故平均每天不能获利2100元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务3：设下调后每个手办的售价为元，根据题意建立方程，根据二次方程判别式，根据二次方程无解，即可求出答案.
23．（1）如图1，在正方形中，点E，F分别在边上，AE⊥DF，垂足为点G．求证：．
【问题解决】
（2）如图2，在正方形中，点E，F分别在边上，，延长BC到点H，使，连接．求证：．
【类比迁移】
（3）如图3，在菱形中，点E，F分别在边上，，，，求的长．
【答案】证明：（1）∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
∴；
（2）证明：四边形是正方形，
，，，
，
，
，
又，
，
点在的延长线上，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，延长到点，使，连接，
四边形是菱形，
，，
，
，
，，
，
，
是等边三角形，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形性质可得，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据正方形性质可得，，，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据直线平行性质即可求出答案.
（3）延长到点，使，连接，根据菱形性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据等边三角形判定定理及性质，结合边之间的关系即可求出答案.
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