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新疆维吾尔自治区伊犁哈萨克自治州2025-2026学年第二学期期中质量检测高二数学试题
一、单选题
1．小明要从伊宁市去乌鲁木齐参加学科竞赛，他既可以选择坐火车，也可以选择乘飞机，火车每天有3趟，飞机每天有4次航班，那么小明在一天中从伊宁市去乌鲁木齐有多少种不同方法？（ ）
A．12 B． C．7 D．
2．下面求导正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．的展开式的第项的系数是（ ）．
A．210 B．－210 C．－252 D．252
4．2025年哈尔滨亚洲冬季运动会高山滑雪比赛的滑雪赛场中某一段滑道的示意图如图所示，综合考虑安全性和趣味性，在滑道最陡处点处的切线方程是，则（ ）
A．－1 B．－2 C．1 D．2
5．已知是函数的导函数，若，则（ ）
A． B． C．2 D．4
6．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有（ ）
A．8种 B．12种 C．16种 D．420
7．已知函数则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
10．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示．下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ）
A．
B．第3行到第10行的各行的第4个数之和为．
C．第15行中，第7个数与第8个数相等．
D．第0行到第行所有数之和为
11．已知函数，则下列说法中正确的有（ ）
A．
B．在处的切线方程为：
C．若函数，使得成立，则
D．
三、填空题
12．二项式的展开式中，常数项为__________．
13．已知函数，则函数的单调增区间为_____；单调减区间为_____；
14．“双减”政策实施以来，各地中小学纷纷开展丰富的课后活动.某校积极开展各种棋类益智活动，某项单人跳棋游戏的规则如下：如图所示，棋子的初始位置为①处，玩家每掷出一枚骰子，朝上一面的点数即为棋子沿棋盘实线顺时针方向前进的格子数，即玩家掷出的点数为 ，则棋子就按顺时针方向前进i个格子、一直循环下去，现在已知小明同学抛掷3次骰子后棋子恰好又回到起点①处，则其不同的走法数为_________.(用数字作答)
四、解答题
15．从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛.
(1)如果4人中男生女生各选2人，那么有多少种选法？
(2)如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法？
(3)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法？
16．已知函数在处有极值，且．
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
17．已知，
(1)求展开式中二项式系数和．
(2)求展开式中所有项的系数和．
(3)求．
18．已知函数．
(1)若，求曲线在处的切线方程；
(2)若恒成立，求的取值范围；
(3)若恒成立，求的取值范围．
19．设函数，记的导函数为．
(1)讨论的单调性；
(2)若对任意，都有，
①求实数和所满足的关系式，
②求实数的取值范围．
参考答案
1．C
【详解】由题意，根据分类加法计数原理，小明在一天中从伊宁市去乌鲁木齐有种不同方法.
2．D
【详解】根据基本初等函数的求导公式可知，，，，，故ABC错误，D正确.
3．C
【详解】二项式的展开式通项为
要求第6项，令，解得，
代入通项得第6项为：，化简得：
因此第项的系数为.
4．D
【详解】因为切线方程为，故且，
故.
5．B
【详解】由，得，
∴，得，
∴，则.
故选：B．
6．C
【详解】首先由乙和丙之间恰有2人，可知乙丙的站位分为两类：
①乙丙及中间2人占据前四位（即乙丙位置为第1位和第4位，顺序可互换）：
此时剩余的端点为第5位，因甲不在两端，故甲只能在乙丙中间的第2、3位中选择：
第一步，排列乙丙，共有种排法；
第二步，排列甲，从中间2个位置选1个，共有种排法；
第三步，剩余2个位置由剩余2人全排列，共有种排法；
由分步乘法计数原理，该类共有种排法。
②乙丙及中间2人占据后四位（即乙丙位置为第2位和第5位，顺序可互换）：
此时剩余的端点为第1位，因甲不在两端，故甲只能在乙丙中间的第3、4位中选择：
同理，该类的排法数也为种。
由分类加法计数原理，总排法数为.
7．B
【详解】函数的定义域为，求导得：
令，解得。
当时，，单调递增；当时，，单调递减。
注意到，且，
又函数在上单调递减，所以，即.
8．A
解：设，，则，
因为，，所以，则在上单调递减，
由，则，
两边同除以得，
又因为在上单调递减，所以，解得，
因此，不等式的解集为.
9．ABD
【详解】由函数的导函数图象知，当或时，；当或时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，
则函数的单调递减区间为，单调递增区间为，AB正确；
函数在，5处取得极小值，在处取得极大值，C错误，D正确.
10．AD
【详解】位于第行，第个数，故，故A正确；
第3行到第10行的各行的第4个数之和为，故B错误；
第15行中，第7个数与第8个数分别为，不相等，故C错误；
第行的所有数之和为，则第0行到第行所有数之和为，故D正确.
11．ABD
【详解】由题意得：，故A正确；
又，所以，故D正确；
，所以，所以，故B正确；
由，又，
所以，即，令，
由，使得成立，即，
所以，令，解得，
由，，
所以在单调递增，在单调递减，
所以，所以，即，故C错误.
12．
【详解】，
当时，，
常数项为，
故答案为：.
13． ，
【详解】易得，，，
由得；得且，
故函数的单调增区间为，单调减区间为，
14．27
【详解】根据题意可知抛掷3次骰子后恰好回到起点①处需要8步或16步，所以3次投掷骰子的点数之和为8或16，则3次投掷的点数可以为1，1，6；1，2，5；1，3，4；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6；
当点数为1，1，6；2，2，4；2，3，3；4，6，6；5，5，6时，有种情况；
当点数为1，2，5；1，3，4时，有种情况；
综上可得不同的走法数为12+15=27.
故答案为：27.
15．(1)60
(2)21
(3)91
【详解】（1）根据题意，如果4人中男生女生各选2人，那么有种选法
（2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么剩下7人人选2人，共有中选法；
（3）从9人中人选4人，共有种，
而男生中的甲和女生中的乙都不在内，共有种，
所以男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有种
16．(1)
(2)最大值为46，最小值为10．
【详解】（1）（1），
（2），
联立（1）、（2）解得，
当时，代入恒成立，
所以原函数不存在极值，此组值舍去.所以．
（2）当时，，
当或时单调递增，
当时，单调递减．
又因为所以，
所以的最大值为46，最小值为10．
17．(1)
(2)1
(3)4052
【详解】（1）由题意，展开式中二项式系数和为.
（2）令，得，
即展开式中所有项的系数和为1.
（3）由，
对等式两边同时关于求导，
得．
在上式中，令，得，
则.
18．(1)
(2)
(3)．
【详解】（1）若，则，，
求导得，则，
所以曲线在处的切线方程为，即．
（2）因为恒成立，且，得恒成立，
令则求最大值.，
当，单调递增；
当，单调递减，
所以在处取得极大值，也是最大值，所以．
（3）不等式，
令函数，而函数都是上的增函数，
则函数是上的增函数，不等式，
则，即，令函数，
求导得，当时，；
当时，，因此函数在上单调递增，
在上单调递减，，则，即，
所以的取值范围为．
19．(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增
(2)①；②
【详解】（1）由题意得 ，则，
①当，即时，，所以在上单调递增；
②当时，令，则；
当时，，则单调递减；
当时，，则单调递增.
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.
（2）①对任意，都有，
则当时，；当时，；
当时，不等式恒成立，
由此可知，是函数的一个零点，即，
所以，即，即实数和满足的关系式为.
②由①知，则，问题转化为当时，且当时，，
此时，
若，则当时，，
与时，矛盾，
若，则，
此时在上为减函数，在上为增函数，且，
故当时，且当时，，符合题设要求；
若，此时，
由的单调性可得
若即，则，
故为上的增函数，而，
故当时，且当时，，符合题设要求；
若即，故，而，
，结合的单调性可得时，，
故在上为减函数，故时，，
这与时，矛盾，
综上所述，实数的取值范围是.

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