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安徽芜湖市第一中学 2025-2026 学年高二第二学期期中教学质量检测数学
试题
一、单选题
f (x) f (1) 1 lim f (1- 2026Dx) - f (1)1．定义在 R 上的函数 ，若 = ，则 =（ ）
2026 Dx 0 Dx
1
A．-1 B．- C．2 D．4
2
2． x - 2y + 2z 3 展开式中， xyz 的系数为（ ）
A． -32 B．32 C．-24 D．24
3．下列运算正确的是（ ）

A． sin π π ÷ = cos B． 4x = x × 4x-1
è 12 12
C x-5． 1= - x-6 1D． log 6x =5 xln6
x
4．已知函数 f x = ln x +1 - x ，则 y = f x 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．离散型随机变量 X 的分布列如下：
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若E X = 2.7，则下列结论错误的是（ ）
A．m + n = 0.5 B．E 3X -1 = 7.1
C．D X = 0.81 D．P X > 2 = 0.5
6．已知函数 f x = x+1 ex ，方程 f x = a a R 解的个数有两个，则a的取值范围为（ ）
a 1 1A． < - 2 B．- 2 < a < 0 C． a
1 1
= - 2 或 a 0 D． a > -e e e e2
7．某空间站由 A， B ，C 三个舱构成，某次实验需要 5 名宇航员同时在 3 个舱中开展，每个人只能去 1 个
舱，每个舱至少安排 1 名宇航员，其中宇航员甲只能去 A舱，则不同的安排方法的种数为（ ）
A．35 B．36 C．42 D．50
b -1
8．已知函数 f (x) = xex - ax - bex + ab(a > 0) ，若 f (x) 0，则 最大值为（ ）
a
A． e-2 B． e-1 C． e D． e2
二、多选题
9．下列不等式中，在 0, + 上恒成立的是（ ）
A． 2x > x2 B． sin x < x C． ex
1
> 2x D． ln x 1- x
10．已知事件 A，B，且P A 1 P B A 1= ， = ，P B A 3= ，则（ ）3 5 5
A．P B A 2 1= B．P AB =5 15
P AB 2 P B 4C． = D． =
5 15
11．已知函数 f x = ln x 2-1- ，则下列结论正确的是（ ）
x -1
A． f x 的单调递增区间是 0,1 ， 1, +
B． f x 的值域为R
C． f log2026 2027 + f log2027 2026 =1
b
D．若 f a e +1= - b， a 0,1 ，b 0, + ，则 aeb =1 .
eb -1
三、填空题
12．已知曲线 y = x + lnx 在点 1,1 2处的切线与曲线 y = ax + 2a + 3 x +1只有一个公共点，则 a = __________.
13．某小微企业制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是1.6p r 2 分，其中 r（单位：cm）是瓶子
的半径，已知每出售 1mL 的饮料，可获利 0.4 分，且能制作的瓶子的最大半径为 6cm，当每瓶饮料的利润
最大时，瓶子的半径为______cm．
14 1+ 2026x 100 + 2026 - x 100．已知 = a0 + a1x + a2x2 +L+ a x99 10099 + a100x ，若存在 k 0,1, 2,L,100 使得
ak < 0，则 k的最大值为__________．
四、解答题
15．已知函数 f (x)
1
= x3 - 3x2 +10x +1．
3
(1)求曲线 y = f (x) 在( 0, 1)处的切线方程；
(2)若 P 是曲线 y = f (x) 上一动点，求 y = f (x) 在 P 处的切线 l 的倾斜角q 的取值范围．
16．某学校有 A，B 两家餐厅，经过统计分析发现：学生第一天会随机地选择一家餐厅用餐，然后前一天选
3
择了 A
1
餐厅的学生第二天选择 A 餐厅的概率为 4 ，选择 B 餐厅的概率为 ；前一天选择 B 餐厅的学生第二4
A 1 1天选择 餐厅的概率为 p2 ，选择 B 餐厅的概率也是 2 ，如此往复.记同学甲第 n 天选择 B 餐厅的概率为 n .
(1)求同学甲第二天选择 B 餐厅的概率；
3
(2) ì ü证明：数列 í pn - 为等比数列，并求出 pn .
5
17．已知函数 f (x)
m
= x2 - x - ln x (m R) .
2
(1)当m = 2 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(2)若"x > 0，不等式 f (x) > x2 恒成立，求实数m 的取值范围.
18．一辆汽车上有n个座位，编号从 1 到n．现在编号为 1 到n的乘客依次上车，编号为 1 的乘客比较顽皮，
上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为 2 的乘客上了车后会先看看 2 号座位有没有人，如果有，
那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果 2 号座位没有人，那么他就在 2 号座位坐下，
编号为 3 及后面的乘客的选择座位方式与 2 号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机
等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上．
(1)当 n = 4时，求 4 号乘客坐在编号 4 号座位上的概率 P ；
(2)当 n = 4时，设 X 为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为 i 的乘客坐在了编号为 i 的座位上为
坐在了自己的座位上），求随机变量 X 的期望．
19．已知函数 f x = ax - ex +1 .
(1)讨论 f x 的极值；
(2)已知 a >1，函数 f (x) 有两个不同的零点 x1, x2 x1 < x2 和一个极值点 x0 ，记 A x1, f x1 ， B x2 , f x2 ，
C x0 , f x0 ，试判断 AC 与 BC 的大小关系，并说明理由.
参考答案
1．A
2．C
3．D
4．C
5．D
6．B
7．D
8．A
9．BCD
10．ABC
11．ABD
12 1．0或 2
13．6
14．49
15．（1）方法一：由导数的定义及几何意义可得
1 3 2 ù
f (0) lim f (Δx) - f (0)
(Δx) - 3(Δx) +10Δx 1 ú
= = lim 3 = lim éê (Δx)
2 - 3Δx +10 ÷ú =10．Δx 0 Δx Δx 0 Δx Δx 0 3 ú

方法二： f (x) = x2 - 6x +10，则 f (0) =10
所以在 P(0,1)处的切线方程为 y -1 = f (0)(x - 0)，整理得 y =10x +1
（2）设P x, y ，在 P 处的切线斜率为 f x = x2 - 6x +10，
即 k = f (x) = (x - 3)2 +1 1，由斜率 k = tanq ， k 1，
且q [0,π) q
é π π
得， ê ,4 2 ÷
.

16．（1）设Bi = “同学甲第 i 天选择 B 餐厅”， i =1,2,3,× × ×n
1
根据题意可知：P B1 = ， P B2 B1 1= ，P B B 32 1 = .2 2 4
由全概率公式可得
P B P B P B B P B P B B 1 1 1 3 52 = 1 2 1 + 1 2 1 = + =2 2 2 4 8
5
即同学甲第二天选择 B 餐厅的概率为 .
8
（2 *）设Bn = “甲第 n 天选择 B 餐厅”，则 pn = P Bn ，P Bn =1- pn ， n N ，
当 n 2时，由全概率公式可得
pn = P Bn = P BnBn-1 + P Bn Bn-1
= P Bn-1 P Bn | Bn-1 + P Bn-1 P Bn | Bn-1
1
= p 3n-1 + 1- p
1 3
n-1 = - p2 4 4 n-1 + 4
1 3
则 pn = - pn-1 + ，4 4
3 1 3 3 1 3
整理得 pn - = - p

5 4 n-1
+ - = - pn-1 -4 5 4 ֏ 5
3 1
又因为 p1 - = - 0，5 10
ì 3ü 1 1
所以 í pn - 是以- 为首项，- 为公比的等比数列，
5 10 4
p 3 1 1
n-1
所以 n = - -

÷ .5 10 è 4
17．（1）函数 f (x)
m
= x2 - x - ln x 的定义域为 (0, + )，
2
1 (2x +1)(x -1)
当m = 2 时， f (x) = x2 - x - ln x ，所以 f (x) = 2x -1- = ，
x x
当 x (0,1)时， f (x) < 0 ， f (x) 在( 0, 1)上为减函数，
当 x (1,+ )时， f (x) > 0， f (x) 在 (1,+ )上为增函数，
综上所述： f (x) 在( 0, 1)上为减函数，在 (1,+ )上为增函数；
（2）若"x > 0，不等式 f (x) > x2 恒成立，
m 1 1 ln x m (1 1 ln x则 > + + 对 x > 0均成立，所以 > + + )
2 x x2 2 x x2 max
g(x) 1 1 ln x令 = + + ，
x x2
g (x) 1 x - 2x ln x 1 1- 2ln x 1- 2ln x - x则 = - 2 + 2 2 = - 2 + 3 =x (x ) x x x3 ，
令 h(x) =1- 2ln x - x，显然 h(x) =1- 2ln x - x为 (0, + )上的减函数，
又 h(1) =1- 2ln1-1 = 0，
所以 x (0,1)， h(x) > 0， g (x) > 0则 g (x) 在( 0, 1)上为增函数，
当 x (1,+ )时， h(x) < 0， g (x) < 0则 g (x) 在 (1,+ )上为减函数，
所以 g(x)max = g(1) 1
1 ln1
= + + = 2 m，所以 > 2，所以m > 4 ，
1 1 2
所以实数m 的取值范围为 (4, + ) .
18．（1）设 1 号乘客坐在 i 号位上时，4 号乘客坐在 4 号位的概率为Pi ，
则P = P1 + P2 + P3 + P4 ，
1 1 1 1
P 1
1
1 = ，P2 = + =4 4 è 3 3 2 ÷
，
8
P 1 1 13 = = ，P4 = 0，4 2 8
P 1 1 1 1所以 = + + + 0 = .
4 8 8 2
（2）随机变量 X 所有可能的取值为 0，1，2，4；
P X 1 6= 4 = = ，
4 24
P X = 2 1 1 1 1 1 11= + + 1 = ，
4 3 4 2 4 24
P X 1 1 1 1 1 1 1 6=1 = + 1+ = ，
4 3 2 4 3 4 2 24
P X 0 1 1 1 1= = = ，
4 3 2 24
6 11 6 1 13
所以E X = 4 + 2 + 1+ 0 = .
24 24 24 24 6
19．（1）由 f x = ax - ex +1 x，得 f x = a - e ，
当 a 0时，对任意 x - ,+ ， f x < 0，
所以 f x 在 - , + 单调递减，无极值；
当 a > 0时，令 f x > 0，得 x < ln a；令 f x < 0，得 x > ln a .
f x 在 - , ln a 单调递增，在 ln a, + 单调递减，
函数 f x 在 x = ln a处取得极大值，极大值为 a ln a - a +1，无极小值，
综上所述， a 0时，无极值；
a > 0时，在 x = ln a处取得极大值，极大值为 a ln a - a +1，无极小值；
（2） a >1，函数 f x 有两个不同的零点 x1, x2 x1 < x2 和一个极值点 x0 ，
由（1）知 f x 在 - , ln a 单调递增，在 ln a, + 单调递减，
故 x0 = ln a 为 f x 的极大值点，极大值 f ln a = a ln a - a +1，
令m a = a ln a - a +1， a (1, + ) .
则m a = ln a > 0，故m(a)在 (1,+ )单调递增，故 f (ln a) = m(a) > m(1) = 0，
又注意到 f (0) = 0，故 x = 0为 f x 的一个零点，
此外 f (2 ln a) = 2a ln a - a2 +1 = n(a)， a (1, + )，
则 n a = 2(ln a +1- a) ，记 s(a) = ln a +1- a ， a (1, + )，
则 s a 1 1- a= -1 = < 0，所以 s(a)在 (1,+ )上单调递减，所以 s(a) < s(1) = 0，
a a
即 n a < 0，故 n(a) 在 1, + 单调递减，故"a 1, + ， f (2 ln a) = n(a) < n(1) = 0 .
由零点存在性定理，知 f x 有零点 t ln a, 2 ln a ，因为 ln a > 0，所以 x1 = 0, x2 = t ，
则 A 0,0 ，B x2 ,0 ，C ln a, f (ln a) .
设D ln a,0 ，则 BD = x2 - ln a, AD = ln a ，显然 x2 < 2ln a， x2 - ln a < ln a ，
所以 BD < AD ，
CD为VABC 2 2 2 2的高，由勾股定理得 BC = BD + CD , AC = AD + CD ，
故 BC < AC .

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