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四川省成都市温江区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．正多边形的一个外角等于，这个多边形的边数是（　　）
A． B． C． D．
4．分式有意义的条件是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
6．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点．若，，则的周长为（　　）
A．20 B．18 C．16 D．15
8．如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（　　）
A．45 B．44 C．43 D．42
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
9．分解因式： 　 　．
10．已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是　 　．
11．如图，ABC中，，点D在AC上，DC=4cm，将线段DC沿CB方向平移得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则EBF的周长是　 　cm.
12．如图，的三边、、的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则　 　．
13．如图，菱形中，，，，垂足分别为B，D，若，则　 　．
14．如图，将绕点A逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为　 　．
15．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，，，则　 　度．
16．若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为　 　．
17．已知：，，，则的值为　 　.
18．如图，以为底边的等腰，点D，E，G分别在，，上，且，延长至点F，使得当，时，　 　．
三、计算题：本大题共1小题，共8分．
19．解方程：．
四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．（1）分解因式：；
（2）解不等式组：．
21．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，，
（1）将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出；
（2）请画出关于y轴对称的；
（3）将绕着原点O顺时针旋转，得到，请直接写出，，的坐标．
22．先化简：，再从，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
23．如图，已知矩形，，，在上取两点E、（在F左边），以为边作等边三角形，使顶点P在上，分别交于点G、．
（1）求的边长；
（2）若的边在线段上移动．试猜想：与有什么数量关系？并证明你猜想的结论．
24．为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究．数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能源汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异．信息如表所示：
燃油车 油箱容积：50升 油价：8元/升 续航里程：a千米 新能源车 电池容量：80千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米
据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元．
（1）燃油车和新能源车续航里程a为多少千米？
（2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
25．如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为边的中点，与交于点G，与交于点H，，
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的周长．
26．已知：在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B、C重合），以为边作正方形，连接．
（1）如图1，当点D在线段上时，求证：．
（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段的反向延长线上时，且点A、F分别在直线的两侧，其它条件不变，若连接正方形对角线，交点为O，连接，探究的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选D．
【分析】根据一个图形沿某条直线折叠后，两侧部分能够完全重合的图形我们叫作轴对称图形；中心对称：一个图形绕某个固定点旋转180°后，能够与原图形完全重合的图形我们叫作中心对称图形，据此逐项分析即可.
2．【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．中等号右边不是积的形式，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．符合因式分解的定义，符合题意；
D．中等号右边不是积的形式，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，对每个选项进行分析判断．
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的概念
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个外角等于，
∴这个多边形的边数是，
故选：．
【分析】根据正多边形的外角和为，利用外角度数计算边数即可.
4．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-5≠0，
∴x≠5，
故答案为：D.
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0.
5．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
平行四边形菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故选：B．
【分析】根据菱形的判定定理即可判断A项；根据矩形的判定定理即可判断B项；根据矩形的判定定理即可判断C项；根据菱形的判定定理即可判断D项.
6．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，
由题意可得，，
故选：．
【分析】设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，根据"千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同"据此列出方程.
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，，
，
的周长.
故选：D .
【分析】由作图可知垂直平分线段，则，结合和三角形周长计算公式利用线段间的数量关系即可求解.
8．【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设数学书还可以摆m本，根据题意得：
，
解得：，
∵m为整数，
∴数学书最多还可以摆43本．
故选：C．
【分析】设数学书还可以摆m本，根据题意"书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书"列出不等式，解不等式即可.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y 2 )
故答案为：x ( y + 2 ) ( y 2 )
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
10．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象可知函数与轴交于，且随增大而减小，
∴当，有，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】要求不等式的解集，只需观察函数在轴下方的图像，找到函数值小于0时自变量的取值范围即可得到答案．
11．【答案】13
【知识点】等腰三角形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵CD沿CB平移7cm至EF
故答案为：13
【分析】本题考查平移的性质，以及等腰三角形的性质，根据平移的性质，得到，求得，再由等腰三角形的性质，结合，即可求解.
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作，，分别垂直于，，，垂足分别为D，F，E．
∵平分，
∴．
同理，
∴．
∵的三边的长分别为40，50，60，
∴
，
故答案为：．
【分析】过点O作，，分别垂直于，，，垂足分别为D，F，E，根据角平分线性质可得，，则，再根据三角形面积即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接交于O，则，，
由菱形性质可知，，，
，
是等边三角形，，
，
∴，
由勾股定理可知
，
，
，
，
，，
，
∵，，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质即可证明是等边三角形，然后利用"ASA"证明≌，得，最后利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
14．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD=150°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B=（180°-∠BAD）=15°，
故答案为15°．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAD=150°、AD=AB，再结合三点共线的条件确定△BAD为等腰三角形，最后利用等腰三角形性质和三角形内角和定理计算得到∠B的度数。
15．【答案】26
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
，
，
平分，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到：，最后根据三角形内角和定理得到，进而即可求解.
16．【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：将分式方程的两边都乘以，得，
解得：，
由于分式方程的解为正整数，
，
即，
又分式方程的增根是，
，
即，
因此的奇数且，
解不等式得，，
关于x的不等式的解集为，
∴不等式组的解集为
由于不等式组有且只有3个整数解，
，
解得，
或或，
因此符合条件的所有整数a的和为
故答案为：．
【分析】根据分式方程的解法解得，根据题意即可知道，然后根据分式方程的增根得到，进而得到a的取值范围为的奇数且，然后解不等式组得到 ，进而即可求解.
17．【答案】-2
【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
整理得，①，②，③，
①+②+③得，，
∴，
∴，
∴
故答案为：-2.
【分析】先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值.
18．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，以为底边的等腰，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
、是等腰直角三角形，
，
作于M，连接，如图所示：
则是等腰直角三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即D，F两点间的距离为，
故答案为：
【分析】根据题意易知、是等腰直角三角形，进而求出，作于M，连接，则是等腰直角三角形，由勾股定理得出，得出，在中，由勾股定理求出即可．
19．【答案】解：方程两边都乘，
得：，
解得：，
经检验是方程的解，
原方程的解为．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】分式方程两边同乘3(x+1)化为整式方程，解方程求出x的值并检验解答即可.
20．【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为．
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先提取公因式得到，然后计算即可；
（2）分别解不等式①、②，然后根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"得到公共解集即可.
21．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】解：（3）如图，即为所求．
由图可得，
．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）如图，即为所求．
由图可得，
．
22．【答案】解：
，
，，
，，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的运算法则化简得到原式为，再选取使分式有意义的x值代入求值即可．
23．【答案】（1）解：如图所示，过P作于
四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
是等边三角形，
，
∴，
∴，
∴，
的边长为2；
（2）解：如图所示，取的中点O，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过P作于，证明四边形是矩形，得到，由等边三角形的性质得到，然后根据勾股定理可得，则，，据此可得答案；
（2）取的中点O，连接，求出，证明是等边三角形，得到，则，再证明，得到，则，可求出，则．
（1）解：如图所示，过P作于
四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
是等边三角形，
，
∴，
∴，
∴，
的边长为2；
（2）解：，证明如下：
如图所示，取的中点O，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：燃油车和新能源车续航里程a为640千米．
（2）解：由（1）可得：燃油车每千米的行驶费用为：元，
新能源车每千米的行驶费用为元，
设每年行驶的里程为m千米，
由题意得：，
解得：，
答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元，再根据"燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元"据此列出方程，求解即可；
（2）根据（1）所求求出两种车每千米的行驶费用，设每年行驶的里程为m千米，进而列出不等式，解不等式即可求解.
（1）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：燃油车和新能源车续航里程a为640千米．
（2）解：由（1）可得：燃油车每千米的行驶费用为：元，
新能源车每千米的行驶费用为元，
设每年行驶的里程为m千米，
由题意得：，
解得：，
答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低．
25．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，，
为的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：为边的中点，
，
四边形是平行四边形；
，
，，
，
，
，
，
的周长

【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和线段中点的定义得到，，进而利用"SAS"证明，则，然后再根据等边三角形的性质和角之间的数量关系即可得到，，进而利用"AAS"证明，则，进而即可求证；
（2）根据线段中点的定义求出AF的长度，然后根据平行四边形的性质求出AG的长度，再根据含30°角的直角三角形的性质求出BC的长度，然后在中利用勾股定理求出EG的长度，最后直接计算即可.
（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，，
为的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：为边的中点，
，
四边形是平行四边形；
，
，，
，
，
，
，
的周长
26．【答案】（1）证明：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）；
（3）解：，，
，
则，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
则为直角三角形，
为中点，
，
在正方形中，，
，
是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）
，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
【分析】（1）根据题意和正方形的性质得到：，，利用'SAS'证明，得到，即可得证；
（2）根据题意和正方形的性质得到：，，利用'SAS'证明，得到，即可得证；
（3）根据题意和正方形的性质得到：，，利用'SAS'证明，得到，则，即可得到为直角三角形，然后根据直角三角形中斜边上的中点和正方形的性质即可求解.
（1）证明：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：
，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
则，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
则为直角三角形，
为中点，
，
在正方形中，，
，
是等腰三角形．
1 / 1四川省成都市温江区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在下列艺术字中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误；
D．是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．
故选D．
【分析】根据一个图形沿某条直线折叠后，两侧部分能够完全重合的图形我们叫作轴对称图形；中心对称：一个图形绕某个固定点旋转180°后，能够与原图形完全重合的图形我们叫作中心对称图形，据此逐项分析即可.
2．下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A．中等号右边不是积的形式，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．符合因式分解的定义，符合题意；
D．中等号右边不是积的形式，不符合题意．
故选：C．
【分析】根据因式分解的定义：因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，对每个选项进行分析判断．
3．正多边形的一个外角等于，这个多边形的边数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的概念
【解析】【解答】解：∵正多边形的一个外角等于，
∴这个多边形的边数是，
故选：．
【分析】根据正多边形的外角和为，利用外角度数计算边数即可.
4．分式有意义的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴x-5≠0，
∴x≠5，
故答案为：D.
【分析】分式有意义的条件是分母不等于0.
5．如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，若要使平行四边形成为矩形，需要添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：A、四边形是平行四边形，，
平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，
平行四边形是矩形，符合题意；
C、四边形是平行四边形，，
平行四边形菱形，不能判定是矩形，不符合题意；
D、四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
平行四边形是菱形，不能判定是矩形，不符合题意，
故选：B．
【分析】根据菱形的判定定理即可判断A项；根据矩形的判定定理即可判断B项；根据矩形的判定定理即可判断C项；根据菱形的判定定理即可判断D项.
6．古代建筑中，榫卯结构至关重要，它通过凸出的榫和凹进的卯精密配合连接，使得建筑物连接牢固且难以松动．工匠们制作了一种特定的榫卯组合，每个榫需要的木材比每个卯需要的木材多千克．已知用千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同．设制作1个榫需要的木材为千克，符合题意的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，
由题意可得，，
故选：．
【分析】设制作个榫需要的木材为千克，则每个卯需要的木材为千克，根据"千克木材制作榫的数量与用千克木材制作卯的数量相同"据此列出方程.
7．如图，在中，以点A为圆心，的长为半径作圆弧交于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接交于点．若，，则的周长为（　　）
A．20 B．18 C．16 D．15
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可知垂直平分线段，，
，
的周长.
故选：D .
【分析】由作图可知垂直平分线段，则，结合和三角形周长计算公式利用线段间的数量关系即可求解.
8．如图，书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚．如果书架上已摆放30本语文书，那么数学书最多还可以摆的本数为（　　）
A．45 B．44 C．43 D．42
【答案】C
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设数学书还可以摆m本，根据题意得：
，
解得：，
∵m为整数，
∴数学书最多还可以摆43本．
故选：C．
【分析】设数学书还可以摆m本，根据题意"书架长，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书"列出不等式，解不等式即可.
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分．
9．分解因式： 　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=x（y2-4）=x ( y + 2 ) ( y 2 )
故答案为：x ( y + 2 ) ( y 2 )
【分析】观察此多项式的特点，有公因式x，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可。
10．已知一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：根据函数图象可知函数与轴交于，且随增大而减小，
∴当，有，
∴不等式的解集是，
故答案为：．
【分析】要求不等式的解集，只需观察函数在轴下方的图像，找到函数值小于0时自变量的取值范围即可得到答案．
11．如图，ABC中，，点D在AC上，DC=4cm，将线段DC沿CB方向平移得到线段EF，点E、F分别落在边AB、BC上，则EBF的周长是　 　cm.
【答案】13
【知识点】等腰三角形的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：∵CD沿CB平移7cm至EF
故答案为：13
【分析】本题考查平移的性质，以及等腰三角形的性质，根据平移的性质，得到，求得，再由等腰三角形的性质，结合，即可求解.
12．如图，的三边、、的长分别为40、50、60，其三条角平分线交于点O，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点O作，，分别垂直于，，，垂足分别为D，F，E．
∵平分，
∴．
同理，
∴．
∵的三边的长分别为40，50，60，
∴
，
故答案为：．
【分析】过点O作，，分别垂直于，，，垂足分别为D，F，E，根据角平分线性质可得，，则，再根据三角形面积即可求出答案.
13．如图，菱形中，，，，垂足分别为B，D，若，则　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：如图，连接交于O，则，，
由菱形性质可知，，，
，
是等边三角形，，
，
∴，
由勾股定理可知
，
，
，
，
，，
，
∵，，
≌，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】根据菱形的性质即可证明是等边三角形，然后利用"ASA"证明≌，得，最后利用含30度角的直角三角形的性质即可解决问题．
14．如图，将绕点A逆时针旋转，得到，这时点恰好在同一直线上，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针旋转150°，得到△ADE，
∴∠BAD=150°，AD=AB，
∵点B，C，D恰好在同一直线上，
∴△BAD是顶角为150°的等腰三角形，
∴∠B=∠BDA，
∴∠B=（180°-∠BAD）=15°，
故答案为15°．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAD=150°、AD=AB，再结合三点共线的条件确定△BAD为等腰三角形，最后利用等腰三角形性质和三角形内角和定理计算得到∠B的度数。
15．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点E，，，则　 　度．
【答案】26
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：是的垂直平分线，
，
，
，
平分，
，
，
，
解得，
故答案为：．
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，得到，根据角平分线的定义得到：，最后根据三角形内角和定理得到，进而即可求解.
16．若关于x的方程有正整数解，且关于x的不等式组有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为　 　．
【答案】
【知识点】分式方程的解及检验；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：将分式方程的两边都乘以，得，
解得：，
由于分式方程的解为正整数，
，
即，
又分式方程的增根是，
，
即，
因此的奇数且，
解不等式得，，
关于x的不等式的解集为，
∴不等式组的解集为
由于不等式组有且只有3个整数解，
，
解得，
或或，
因此符合条件的所有整数a的和为
故答案为：．
【分析】根据分式方程的解法解得，根据题意即可知道，然后根据分式方程的增根得到，进而得到a的取值范围为的奇数且，然后解不等式组得到 ，进而即可求解.
17．已知：，，，则的值为　 　.
【答案】-2
【知识点】分式的化简求值-倒数法
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，，，
整理得，①，②，③，
①+②+③得，，
∴，
∴，
∴
故答案为：-2.
【分析】先将该题中所有分式的分子和分母颠倒位置，化简后求出的值，从而得出代数式的值.
18．如图，以为底边的等腰，点D，E，G分别在，，上，且，延长至点F，使得当，时，　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：，以为底边的等腰，
∴，
∵，
，
∵，
∴，
、是等腰直角三角形，
，
作于M，连接，如图所示：
则是等腰直角三角形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
即D，F两点间的距离为，
故答案为：
【分析】根据题意易知、是等腰直角三角形，进而求出，作于M，连接，则是等腰直角三角形，由勾股定理得出，得出，在中，由勾股定理求出即可．
三、计算题：本大题共1小题，共8分．
19．解方程：．
【答案】解：方程两边都乘，
得：，
解得：，
经检验是方程的解，
原方程的解为．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】分式方程两边同乘3(x+1)化为整式方程，解方程求出x的值并检验解答即可.
四、解答题：本题共7小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
20．（1）分解因式：；
（2）解不等式组：．
【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得，，
解不等式②得，，
所以不等式组的解集为．
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；解一元一次不等式组
【解析】【分析】（1）先提取公因式得到，然后计算即可；
（2）分别解不等式①、②，然后根据"同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到"得到公共解集即可.
21．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，，
（1）将向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到，请画出；
（2）请画出关于y轴对称的；
（3）将绕着原点O顺时针旋转，得到，请直接写出，，的坐标．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，即为所求．
（3）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图-画给定对称轴的对称图形
【解析】【解答】解：（3）如图，即为所求．
由图可得，
．
【分析】（1）根据平移的性质作图即可．
（2）根据轴对称的性质作图即可．
（3）根据旋转的性质作图，即可得出答案．
（1）解：如图，即为所求．
（2）如图，即为所求．
（3）如图，即为所求．
由图可得，
．
22．先化简：，再从，0，1中选择一个合适的数作为x的值代入求值．
【答案】解：
，
，，
，，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】根据分式的运算法则化简得到原式为，再选取使分式有意义的x值代入求值即可．
23．如图，已知矩形，，，在上取两点E、（在F左边），以为边作等边三角形，使顶点P在上，分别交于点G、．
（1）求的边长；
（2）若的边在线段上移动．试猜想：与有什么数量关系？并证明你猜想的结论．
【答案】（1）解：如图所示，过P作于
四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
是等边三角形，
，
∴，
∴，
∴，
的边长为2；
（2）解：如图所示，取的中点O，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）过P作于，证明四边形是矩形，得到，由等边三角形的性质得到，然后根据勾股定理可得，则，，据此可得答案；
（2）取的中点O，连接，求出，证明是等边三角形，得到，则，再证明，得到，则，可求出，则．
（1）解：如图所示，过P作于
四边形是矩形，
∴，
又∵，
∴四边形是矩形，
，
是等边三角形，
，
∴，
∴，
∴，
的边长为2；
（2）解：，证明如下：
如图所示，取的中点O，连接，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵是等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
24．为响应国家“双碳”战略，某中学数学小组针对燃油汽车与新能源汽车的经济性展开课题研究．数学小组针对价格相近的国产燃油汽车与新能源汽车进行使用费用对比分析，探究其经济性差异．信息如表所示：
燃油车 油箱容积：50升 油价：8元/升 续航里程：a千米 新能源车 电池容量：80千瓦时 电价：元/千瓦时 续航里程：a千米
据调查，燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元．
（1）燃油车和新能源车续航里程a为多少千米？
（2）若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4000元和7300元，则每年行驶里程在什么范围时，新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【答案】（1）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：燃油车和新能源车续航里程a为640千米．
（2）解：由（1）可得：燃油车每千米的行驶费用为：元，
新能源车每千米的行驶费用为元，
设每年行驶的里程为m千米，
由题意得：，
解得：，
答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】（1）燃油车每千米的行驶费用为元，新能源车每千米的行驶费用为元，再根据"燃油车每千米的行驶费用比新能源车多元"据此列出方程，求解即可；
（2）根据（1）所求求出两种车每千米的行驶费用，设每年行驶的里程为m千米，进而列出不等式，解不等式即可求解.
（1）解：由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：燃油车和新能源车续航里程a为640千米．
（2）解：由（1）可得：燃油车每千米的行驶费用为：元，
新能源车每千米的行驶费用为元，
设每年行驶的里程为m千米，
由题意得：，
解得：，
答：每年行驶里程超过6000千米时，新能源车的年费用更低．
25．如图，分别以的斜边，直角边为边向外作等边和等边，F为边的中点，与交于点G，与交于点H，，
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，求的周长．
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，，
为的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：为边的中点，
，
四边形是平行四边形；
，
，，
，
，
，
，
的周长

【知识点】等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和线段中点的定义得到，，进而利用"SAS"证明，则，然后再根据等边三角形的性质和角之间的数量关系即可得到，，进而利用"AAS"证明，则，进而即可求证；
（2）根据线段中点的定义求出AF的长度，然后根据平行四边形的性质求出AG的长度，再根据含30°角的直角三角形的性质求出BC的长度，然后在中利用勾股定理求出EG的长度，最后直接计算即可.
（1）证明：是等边三角形，
，，
，
，，
为的中点，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为平行四边形；
（2）解：为边的中点，
，
四边形是平行四边形；
，
，，
，
，
，
，
的周长
26．已知：在中，，，点D为直线上一动点（点D不与B、C重合），以为边作正方形，连接．
（1）如图1，当点D在线段上时，求证：．
（2）如图2，当点D在线段的延长线上时，其它条件不变，请直接写出三条线段之间的关系；
（3）如图3，当点D在线段的反向延长线上时，且点A、F分别在直线的两侧，其它条件不变，若连接正方形对角线，交点为O，连接，探究的形状，并说明理由．
【答案】（1）证明：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）；
（3）解：，，
，
则，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
则为直角三角形，
为中点，
，
在正方形中，，
，
是等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（2）
，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
【分析】（1）根据题意和正方形的性质得到：，，利用'SAS'证明，得到，即可得证；
（2）根据题意和正方形的性质得到：，，利用'SAS'证明，得到，即可得证；
（3）根据题意和正方形的性质得到：，，利用'SAS'证明，得到，则，即可得到为直角三角形，然后根据直角三角形中斜边上的中点和正方形的性质即可求解.
（1）证明：，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：
，，
，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
；
（3）解：，，
，
则，
四边形是正方形，
，，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
则为直角三角形，
为中点，
，
在正方形中，，
，
是等腰三角形．
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