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湖南省衡阳市石鼓区多校 2024-2025学年八年级下学期6月期末联合考试数学试题
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．分式有意义的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故选：B．
【分析】
依据分式有意义的条件列出不等式，即可求解出结果.
2．人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的“0”的个数决定，据此得到答案.
3．点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点，它的横坐标为1，是正数，纵坐标为-2，是负数，
点位于第四象限，
故答案为：D.
【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号规律，掌握不同象限点的坐标符号特点是解题的关键，四个象限的坐标符号特点分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，我们结合该点坐标的符号，对照上述规律即可得到结论.
4．一支蜡烛长20cm.若点燃后每小时燃烧5cm.则燃烧剩余的长度y (cm) 与燃烧时间x(小时)之间的函数关系的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵蜡烛点燃前的初始长度为20cm，点燃后每小时会燃烧5cm，
∴整根蜡烛一共可以燃烧4小时，燃烧过程中蜡烛的长度会从初始的20cm逐渐减少到燃烧结束的0cm，
故答案为：C.
【分析】先根据题目条件得到蜡烛点燃前的初始长度，以及燃烧4小时后蜡烛的长度变化，再结合各个选项给出的函数图象，就可以做出正确判断.
5．若在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）
A．-5 B．-2 C．1 D．4
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，它的图象在每一支上，都随的增大而增大，
∴，
解得：，
故答案为：A.
【分析】本题需要结合反比例函数的性质：当时，它的图象在每一支上，都随的增大而增大，当时，它的图象在每一支上，都随的增大而减小，利用反比例函数的性质得到关于的一元一次不等式，解不等式得到的取值范围后，对照四个选项就能得到正确答案.
6．下列描述一次函数的图象与性质错误的是（　　）
A．点和都在此图象上 B．直线经过一、二、四象限
C．与正比例函数的图象平行 D．直线与轴的交点坐标是
【答案】D
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵当时，有，当时，有，
∴点和都在此图象上，故A正确，不符合题意；
B、∵一次函数，
∴，，
∴直线经过第一、二、四象限，故A正确，不符合题意；
C、∵一次函数，正比例函数，
∴它们的图象平行，故A正确，不符合题意；
D、∵当，有，
∴直线与轴的交点坐标是，故A错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】把和代入一次函数的解析式可判断A；由一次函数的性质可知当时，直线经过第一、二、四象限可判断B；由正比例函数的比例系数等于一次函数的比例系数，且可判断C；令，求出，可得与轴的交点坐标，可判断D．
7．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴，
∴一次函数的图象会经过第一、三、四象限，故A错误；B、∵反比例函数图象分布在第二、四象限，
∴，
∴一次函数的图象会经过第二、三、四象限，故B错误；
C、∵反比例函数图象分布在第二、四象限，
∴，
∴一次函数的图象会经过第二、三、四象限，故C正确；
D、∵反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴，
∴一次函数的图象会经过第一、三、四象限，故D错误；
故答案为：C．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握两类函数图象的性质规律，解题时先根据反比例函数图象所在象限判断出参数的符号，再结合一次函数的解析式判断一次函数图象经过的象限，最后将判断结果和选项的图象逐一对比，即可得到正确答案.
8．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形既是中心对称图形也是轴对称图形
B．矩形的对角线垂直
C．菱形的对角线相等
D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、平行四边形属于中心对称图形，将它绕对角线的交点旋转后可以与自身重合，但不存在对称轴，因此它不是轴对称图形，故A错误；
B、矩形的对角线满足相等且互相平分的性质，但只有特殊的矩形也就是正方形，对角线才互相垂直，一般矩形的对角线不垂直，故B错误；
C、菱形的对角线满足互相垂直且平分的性质，但只有特殊的菱形也就是正方形，对角线才相等，一般菱形的对角线不相等，故C错误；
D、如果一个四边形的对角线互相平分，可判定这个四边形是平行四边形，在此基础上对角线还互相垂直，可判定这个平行四边形是菱形，如果对角线再同时相等，即可判定这个菱形是正方形，故D正确；
故答案为：D．
【分析】本题主要考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质与判定，熟练掌握各类特殊四边形的判定定理和性质是解题的核心关键，逐一结合对应知识分析各个选项即可得到答案．
9．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
∴，
∵菱形的面积为，
∴，
故选：A．
【分析】
利用勾股定理和菱形的性质进行求解：先根据勾股定理计算出的长度，由此推得，最后结合等面积法即可求出最终结果.
10．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
【答案】B
【知识点】分式的值；坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：设，，，
∵矩形，
∴，，
∴，，，
∵，而，
∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；
故选：B．
【分析】设，，，得到，，，利用“特征值”的运算解答即可．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．）
11．　 　．
【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：3。
【分析】先运用零次幂公式计算 ，再运用负整数指数幂的性质计算 ，最后将两者结果相加。
12．分式方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
故答案为：.
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
13．射击队在某次射击比赛的选拔训练中，甲、乙两名运动员各项成绩比较突出，现决定从这两人中选取一人参加比赛，这两人选拔测试的10次射击成绩分析如表所示：
运动员 平均成绩（环） 方差
甲 9.1 0.69
乙 9.1 0.03
历次比赛经验说明，平均成绩在9.0环以上就很可能获得奖牌，若你是教练员并想确保取得这块奖牌，最有可能选择参加比赛（填“甲”或“乙”）．
【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为两人的平均成绩都是环，而乙的方差比甲小，
所以乙的成绩比甲稳定，
所以最有可能选择乙参加比赛.
故答案为：乙.
【分析】
结合平均数与方差的统计含义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小 进行判断即可得出结论.
14．如图，在中，，的度数为　 　．
【答案】110
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，且，
∴，
故答案为：110．
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，即可得出答案.
15．直线 与坐标轴所围成的三角形的面积是　 　.
【答案】6
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】令x=0，得y=-6，
令y=0，得x=2，
∴直线y=3x-6与坐标轴交点坐标分别为（0，-6），（2，0），
故直线y=3x-6与坐标轴围成三角形面积为 .
故填空答案：6.
【分析】分别令x、y为0，求出直线y=3x-6与坐标轴的交点坐标分别为（0，-6），（2，0），然后利用三角形的面积计算公式即可求出答案.
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形的对角线相交于原点O，
∴，
∴关于原点对称，
∵点A的坐标是，
∴点C的坐标是；
故答案为：．
【分析】
因为正方形的对角线互相垂直平分，且题目中正方形的对角线交于坐标原点，因此点A和点C关于原点对称，再结合关于原点对称的点的坐标特征，即可求出点C的坐标.
17．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴纵坐标都为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出的纵坐标都为，从而得点的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出关于的一元一次方程并解之即可.
18．如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是　 　．（填上所有满足条件的序号）
【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故①正确．
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故②正确．
∵，
∴四边形是菱形，
故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则．根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断①，②；根据菱形判定定理可判断③；再根据角之间的关系可得，则，根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断④.
三、解答题（本大题共8个小题，满分66分．第19~20题每题6分，第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26每题10分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
∵，
∴原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先计算分式的减法运算，最后再代入已知数值求出结果即可.
20．如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证：.
【答案】证明：因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=BC，.
又分别是、的中点，
所以BE=CF，所以（SAS），
所以（全等三角形的对应边相等）.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
先利用正方形的性质，结合点E、F分别是AB、BC中点的已知条件，通过边角边的判定定理证明，即可推导出对应边相等的结论.
21．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；
（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？
【答案】（1）
（2）解：
这组数据的平均数是8.36．
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人，
，
，
在这组数据中，8出现了17次，次数最多，
众数是8，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8，
中位数是，
故答案为：．
【分析】（1）根据6h的人数与占比可得a值，再根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以的占比即可求出答案.
（1）解：（人，
，
，
在这组数据中，8出现了17次，次数最多，
众数是8，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8，
中位数是，
故答案为：．
（2）这组数据的平均数是8.36．
（3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150．
22．如图，矩形的对角线，相交于点O，，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，求菱形的面积．
【答案】（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵矩形中，，，
∴，
由菱形和矩形的中心对称性可知：，
又∵，
∴，
∴菱形的面积是．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用定义判定四边形OCED是平行四边形，再利用矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD，再利用菱形的定义判定即可；
（2）先由矩形的性质结合勾股定理求出BC的长，则矩形ABCD面积可得，由于菱形是轴对称图形，即，由于矩形的对角线把矩形面积四等分，即．
（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵矩形中，，，
∴，
由菱形和矩形的中心对称性可知：，
又∵，
∴，
∴菱形的面积是．
23．新型消费引领时尚，绿色消费蔚然成风.2023年“十一”假期期间，全国高速公路服务区新能源汽车充电量创了历史新高，新能源汽车悄然走红．某汽车销售公司购进两种型号的新能源汽车，已知型新能源汽车的单价比型新能源汽车的单价贵4万元，用102万元购买型新能源汽车的数量和用78万元购买型新能源汽车的数量相同．
（1）型、型新能源汽车的单价分别是多少万元？
（2）该公司准备再次购进型和型新能源汽车共40辆，且购买型新能源汽车的数量不超过型新能源汽车数量的3倍．若厂家这两种型号的新能源汽车均打七折，则购买型和型新能源汽车各多少辆时花费最少？最少花费是多少万元？
【答案】（1）解：设型新能源汽车的单价为万元，则型新能源汽车的单价为万元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：型新能源汽车的单价是17万元，型新能源汽车的单价是13万元；
（2）解：设购买型新能源汽车辆，则购买型新能源汽车辆，共花费万元，
根据题意，得，
型新能源汽车的数量不超过型新能源汽车数量的3倍，
，
解得：，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，
∴，
答：购买型新能源汽车10辆、型新能源汽车30辆时花费最少，最少花费为392万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型新能源汽车的单价为万元，则型新能源汽车的单价为万元，根据“用102万元购买型新能源汽车的数量和用78万元购买型新能源汽车的数量相同”列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设购买型新能源汽车辆，则购买型新能源汽车辆，共花费万元，根据题意列出一次函数关系式，根据题意得出，进而根据一次函数的性质，即可求解．
（1）解：设型新能源汽车的单价为万元，则型新能源汽车的单价为万元．
依题意得．
解得．
经检验，是原方程的解，
则．
答：型新能源汽车的单价是17万元，型新能源汽车的单价是13万元．
（2）设购买型新能源汽车辆，则购买型新能源汽车辆，共花费万元．
根据题意得
型新能源汽车的数量不超过型新能源汽车数量的3倍，
，
解得．
，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，
此时．
答：购买型新能源汽车10辆、型新能源汽车30辆时花费最少，最少花费为392万元．
24．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
【答案】（1）解：将代入得，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）或
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
（2）
解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式的解集为：或．
【分析】
（1）先把点的坐标代入反比例函数的解析式，计算得到参数的值；接着再把点的横坐标代入已经求出参数的反比例函数解析式，算出点的纵坐标，得到点的完整坐标；最后将、两点的坐标同时代入一次函数解析式，联立方程即可求出一次函数的参数，得到一次函数解析式，完成这一问的解答。
（2）结合反比例函数和一次函数的图象位置关系，就可以直接得到对应问题的答案。
（3）先根据题目给出的和的面积数量关系，计算出点的纵坐标，再结合反比例函数解析式就能得到点P的坐标，解决这个问题.
（1）解：将代入得，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式的解集为：或．
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
25．【问题呈现】
四边形和都是正方形，直线，交于点P．
【问题解决】
（1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明；
【类比探究】
（2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角．
①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________．
【答案】解：（1），证明如下：
∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
∵点G在边AB上，
∴点E，A，D三点在同一条直线上，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①成立，理由如下：
如图，设交于点I，则，
∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（2）②如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）先证明与全等，由全等三角形的性质可得到，进而推出待证结论；
（2）①设PD与AB的交点为点I，根据对顶角相等可得，结合和全等得到的，即可推导出待证结论；
②连接，先根据勾股定理计算得到，再利用"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"这一性质即可求出最终结果.
26．定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为．
（1）已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________；
（2）两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式；
（3）直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”．
①若为整数，求点的坐标；
②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1），
（2）解：将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
根据定义，的“友谊点”的坐标为，
∵两点关于轴对称，
∴点的坐标为，
将代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：①∵直线 不经过第二象限，
∴，
解得：，
又∵为整数，
∴的值为2，
根据题意，直线的“友谊点”的坐标为，
∴点的坐标为；
②点的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得点的“友谊直线”的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的“友谊点”的坐标为，
故答案为：，.
（3）②当时，，
∴点的坐标为，
当时，有，
解得：，
∴点的坐标为，
∵直线不经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或.
【分析】（1）根据新定义可得点的“友谊直线”的解析式，再根据的纵坐标都为-2可得直线的解析式，从而得到直线的“友谊点”的坐标；
（2）利用待定系数法得到直线解析式为，则的坐标为，点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可；
（3）①根据直线不经过第二象限，得到，则的值为2，由定义可得的坐标为，则点的坐标为．
②求出点的坐标为，点的坐标为，根据，得到，则，再分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时， 三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同讨论求解即可．
（1）解：由题意得，点的“友谊直线”的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的“友谊点”的坐标为．
（2）解：将代入，得，解得，
∴直线解析式为，
根据定义，的“友谊点”的坐标为，
∵两点关于轴对称，
∴点的坐标为，
将代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：①∵直线不经过第二象限，
∴，
解得，
又∵为整数，
∴的值为2，
根据题意，直线的“友谊点”的坐标为，
∴点的坐标为．
②当时，，
∴点的坐标为，
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∵直线不经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
1 / 1湖南省衡阳市石鼓区多校 2024-2025学年八年级下学期6月期末联合考试数学试题
一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）
1．分式有意义的条件是（　　）
A． B． C． D．
2．人体内一种细胞的直径约为微米，相当于米，数字用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．点所在的象限是（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．一支蜡烛长20cm.若点燃后每小时燃烧5cm.则燃烧剩余的长度y (cm) 与燃烧时间x(小时)之间的函数关系的图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
5．若在反比例函数图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k的值可以是（　　）
A．-5 B．-2 C．1 D．4
6．下列描述一次函数的图象与性质错误的是（　　）
A．点和都在此图象上 B．直线经过一、二、四象限
C．与正比例函数的图象平行 D．直线与轴的交点坐标是
7．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系内的图象大致位置是（　　）
A． B．
C． D．
8．下列说法正确的是（　　）
A．平行四边形既是中心对称图形也是轴对称图形
B．矩形的对角线垂直
C．菱形的对角线相等
D．对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形
9．如图，四边形是菱形，，，于点，则的长是（　　）
A． B． C． D．
10．在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”．如图，矩形位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．）
11．　 　．
12．分式方程的解为　 　．
13．射击队在某次射击比赛的选拔训练中，甲、乙两名运动员各项成绩比较突出，现决定从这两人中选取一人参加比赛，这两人选拔测试的10次射击成绩分析如表所示：
运动员 平均成绩（环） 方差
甲 9.1 0.69
乙 9.1 0.03
历次比赛经验说明，平均成绩在9.0环以上就很可能获得奖牌，若你是教练员并想确保取得这块奖牌，最有可能选择参加比赛（填“甲”或“乙”）．
14．如图，在中，，的度数为　 　．
15．直线 与坐标轴所围成的三角形的面积是　 　.
16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的对角线相交于原点O．若点A的坐标是，则点C的坐标是　 　．
17．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为　 　．
18．如图，将平行四边形的边延长线到点，使，连接，交于点．添加一个条件，使四边形是矩形．下列四个条件：①；②；③；④中，你认为可选择的是　 　．（填上所有满足条件的序号）
三、解答题（本大题共8个小题，满分66分．第19~20题每题6分，第21~22题每题8分，第23~24题每题9分，第25~26每题10分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连结、. 求证：.
21．为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；
（2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；
（3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？
22．如图，矩形的对角线，相交于点O，，．
（1）求证：四边形为菱形；
（2）若，求菱形的面积．
23．新型消费引领时尚，绿色消费蔚然成风.2023年“十一”假期期间，全国高速公路服务区新能源汽车充电量创了历史新高，新能源汽车悄然走红．某汽车销售公司购进两种型号的新能源汽车，已知型新能源汽车的单价比型新能源汽车的单价贵4万元，用102万元购买型新能源汽车的数量和用78万元购买型新能源汽车的数量相同．
（1）型、型新能源汽车的单价分别是多少万元？
（2）该公司准备再次购进型和型新能源汽车共40辆，且购买型新能源汽车的数量不超过型新能源汽车数量的3倍．若厂家这两种型号的新能源汽车均打七折，则购买型和型新能源汽车各多少辆时花费最少？最少花费是多少万元？
24．如图，一次函数（）的图象与反比例函数（）的图象交于点，，且一次函数与轴，轴分别交于点C，D．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）根据图象直接写出不等式的解集；
（3）在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得，求点的坐标．
25．【问题呈现】
四边形和都是正方形，直线，交于点P．
【问题解决】
（1）如图1，点G在边上，判断线段和的关系，并证明；
【类比探究】
（2）如图2，将正方形绕点A逆时针旋转一个锐角．
①（1）中线段和的关系是否仍成立？说明理由；
②若正方形的边长为，对角线与的交点为O，在正方形的旋转过程中，请直接写出点P与点O的距离________．
26．定义：对于平面直角坐标系中的点和直线，我们称点是直线的“友谊点”，直线是点的“友谊直线”．特别地，当时，直线（为常数）的“友谊点”为．
（1）已知点，则点的“友谊直线”的解析式为______________；直线的“友谊点”的坐标为_________________；
（2）两点关于轴对称，且点的“友谊直线”经过点和点，求该直线的解析式；
（3）直线不经过第二象限，为直线的“友谊点”．
①若为整数，求点的坐标；
②直线与轴，轴分别相交于两点，，为平面内一点，当以为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵分式有意义，
∴，
解得，
故选：B．
【分析】
依据分式有意义的条件列出不等式，即可求解出结果.
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的“0”的个数决定，据此得到答案.
3．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点，它的横坐标为1，是正数，纵坐标为-2，是负数，
点位于第四象限，
故答案为：D.
【分析】本题考查平面直角坐标系中各象限内点的坐标的符号规律，掌握不同象限点的坐标符号特点是解题的关键，四个象限的坐标符号特点分别为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，我们结合该点坐标的符号，对照上述规律即可得到结论.
4．【答案】C
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：∵蜡烛点燃前的初始长度为20cm，点燃后每小时会燃烧5cm，
∴整根蜡烛一共可以燃烧4小时，燃烧过程中蜡烛的长度会从初始的20cm逐渐减少到燃烧结束的0cm，
故答案为：C.
【分析】先根据题目条件得到蜡烛点燃前的初始长度，以及燃烧4小时后蜡烛的长度变化，再结合各个选项给出的函数图象，就可以做出正确判断.
5．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数，它的图象在每一支上，都随的增大而增大，
∴，
解得：，
故答案为：A.
【分析】本题需要结合反比例函数的性质：当时，它的图象在每一支上，都随的增大而增大，当时，它的图象在每一支上，都随的增大而减小，利用反比例函数的性质得到关于的一元一次不等式，解不等式得到的取值范围后，对照四个选项就能得到正确答案.
6．【答案】D
【知识点】一次函数的图象；两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、∵当时，有，当时，有，
∴点和都在此图象上，故A正确，不符合题意；
B、∵一次函数，
∴，，
∴直线经过第一、二、四象限，故A正确，不符合题意；
C、∵一次函数，正比例函数，
∴它们的图象平行，故A正确，不符合题意；
D、∵当，有，
∴直线与轴的交点坐标是，故A错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】把和代入一次函数的解析式可判断A；由一次函数的性质可知当时，直线经过第一、二、四象限可判断B；由正比例函数的比例系数等于一次函数的比例系数，且可判断C；令，求出，可得与轴的交点坐标，可判断D．
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、∵反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴，
∴一次函数的图象会经过第一、三、四象限，故A错误；B、∵反比例函数图象分布在第二、四象限，
∴，
∴一次函数的图象会经过第二、三、四象限，故B错误；
C、∵反比例函数图象分布在第二、四象限，
∴，
∴一次函数的图象会经过第二、三、四象限，故C正确；
D、∵反比例函数图象分布在第一、三象限，
∴，
∴一次函数的图象会经过第一、三、四象限，故D错误；
故答案为：C．
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握两类函数图象的性质规律，解题时先根据反比例函数图象所在象限判断出参数的符号，再结合一次函数的解析式判断一次函数图象经过的象限，最后将判断结果和选项的图象逐一对比，即可得到正确答案.
8．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的判定；轴对称图形
【解析】【解答】解：A、平行四边形属于中心对称图形，将它绕对角线的交点旋转后可以与自身重合，但不存在对称轴，因此它不是轴对称图形，故A错误；
B、矩形的对角线满足相等且互相平分的性质，但只有特殊的矩形也就是正方形，对角线才互相垂直，一般矩形的对角线不垂直，故B错误；
C、菱形的对角线满足互相垂直且平分的性质，但只有特殊的菱形也就是正方形，对角线才相等，一般菱形的对角线不相等，故C错误；
D、如果一个四边形的对角线互相平分，可判定这个四边形是平行四边形，在此基础上对角线还互相垂直，可判定这个平行四边形是菱形，如果对角线再同时相等，即可判定这个菱形是正方形，故D正确；
故答案为：D．
【分析】本题主要考查平行四边形、矩形、菱形和正方形的性质与判定，熟练掌握各类特殊四边形的判定定理和性质是解题的核心关键，逐一结合对应知识分析各个选项即可得到答案．
9．【答案】A
【知识点】菱形的性质；平行四边形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，，，
∴，，，
在中，，
∴，
∵菱形的面积为，
∴，
故选：A．
【分析】
利用勾股定理和菱形的性质进行求解：先根据勾股定理计算出的长度，由此推得，最后结合等面积法即可求出最终结果.
10．【答案】B
【知识点】分式的值；坐标与图形性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：设，，，
∵矩形，
∴，，
∴，，，
∵，而，
∴该矩形四个顶点中“特征值”最小的是点B；
故选：B．
【分析】设，，，得到，，，利用“特征值”的运算解答即可．
11．【答案】3
【知识点】零指数幂；负整数指数幂
【解析】【解答】解：，
故答案为：3。
【分析】先运用零次幂公式计算 ，再运用负整数指数幂的性质计算 ，最后将两者结果相加。
12．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：∵，
∴两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
∴原分式方程的解为，
故答案为：.
【分析】先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解．
13．【答案】乙
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：因为两人的平均成绩都是环，而乙的方差比甲小，
所以乙的成绩比甲稳定，
所以最有可能选择乙参加比赛.
故答案为：乙.
【分析】
结合平均数与方差的统计含义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小 进行判断即可得出结论.
14．【答案】110
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，且，
∴，
故答案为：110．
【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，即可得出答案.
15．【答案】6
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】令x=0，得y=-6，
令y=0，得x=2，
∴直线y=3x-6与坐标轴交点坐标分别为（0，-6），（2，0），
故直线y=3x-6与坐标轴围成三角形面积为 .
故填空答案：6.
【分析】分别令x、y为0，求出直线y=3x-6与坐标轴的交点坐标分别为（0，-6），（2，0），然后利用三角形的面积计算公式即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；正方形的性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵正方形的对角线相交于原点O，
∴，
∴关于原点对称，
∵点A的坐标是，
∴点C的坐标是；
故答案为：．
【分析】
因为正方形的对角线互相垂直平分，且题目中正方形的对角线交于坐标原点，因此点A和点C关于原点对称，再结合关于原点对称的点的坐标特征，即可求出点C的坐标.
17．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，
∴纵坐标都为，
∵在反比例函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】先求出的纵坐标都为，从而得点的坐标，进而用代数式表达的长度，然后根据列出关于的一元一次方程并解之即可.
18．【答案】①②④
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；矩形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故①正确．
∵，，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故②正确．
∵，
∴四边形是菱形，
故③错误；
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形，
故④正确．
故答案为：①②④．
【分析】根据平行四边形性质可得，，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则．根据直线平行性质可得，则，根据等角对等边可得，再根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断①，②；根据菱形判定定理可判断③；再根据角之间的关系可得，则，根据边之间的关系可得，再根据矩形判定定理可判断④.
19．【答案】解：原式
∵，
∴原式
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先计算分式的减法运算，最后再代入已知数值求出结果即可.
20．【答案】证明：因为四边形ABCD是正方形，
所以AB=BC，.
又分别是、的中点，
所以BE=CF，所以（SAS），
所以（全等三角形的对应边相等）.
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
先利用正方形的性质，结合点E、F分别是AB、BC中点的已知条件，通过边角边的判定定理证明，即可推导出对应边相等的结论.
21．【答案】（1）
（2）解：
这组数据的平均数是8.36．
（3）解：在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；平均数及其计算；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人，
，
，
在这组数据中，8出现了17次，次数最多，
众数是8，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8，
中位数是，
故答案为：．
【分析】（1）根据6h的人数与占比可得a值，再根据众数，中位数的定义即可求出答案.
（2）根据平均数的定义即可求出答案.
（3）根据总人数乘以的占比即可求出答案.
（1）解：（人，
，
，
在这组数据中，8出现了17次，次数最多，
众数是8，
将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8，
中位数是，
故答案为：．
（2）这组数据的平均数是8.36．
（3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，
根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有．
估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150．
22．【答案】（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵矩形中，，，
∴，
由菱形和矩形的中心对称性可知：，
又∵，
∴，
∴菱形的面积是．
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；矩形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）先利用定义判定四边形OCED是平行四边形，再利用矩形的对角线互相平分且相等可得OC＝OD，再利用菱形的定义判定即可；
（2）先由矩形的性质结合勾股定理求出BC的长，则矩形ABCD面积可得，由于菱形是轴对称图形，即，由于矩形的对角线把矩形面积四等分，即．
（1）解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
（2）解：∵矩形中，，，
∴，
由菱形和矩形的中心对称性可知：，
又∵，
∴，
∴菱形的面积是．
23．【答案】（1）解：设型新能源汽车的单价为万元，则型新能源汽车的单价为万元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
∴，
答：型新能源汽车的单价是17万元，型新能源汽车的单价是13万元；
（2）解：设购买型新能源汽车辆，则购买型新能源汽车辆，共花费万元，
根据题意，得，
型新能源汽车的数量不超过型新能源汽车数量的3倍，
，
解得：，
，
随的增大而增大，
当时，取得最小值，
∴，
答：购买型新能源汽车10辆、型新能源汽车30辆时花费最少，最少花费为392万元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设型新能源汽车的单价为万元，则型新能源汽车的单价为万元，根据“用102万元购买型新能源汽车的数量和用78万元购买型新能源汽车的数量相同”列出分式方程，解方程并检验，即可求解；
（2）设购买型新能源汽车辆，则购买型新能源汽车辆，共花费万元，根据题意列出一次函数关系式，根据题意得出，进而根据一次函数的性质，即可求解．
（1）解：设型新能源汽车的单价为万元，则型新能源汽车的单价为万元．
依题意得．
解得．
经检验，是原方程的解，
则．
答：型新能源汽车的单价是17万元，型新能源汽车的单价是13万元．
（2）设购买型新能源汽车辆，则购买型新能源汽车辆，共花费万元．
根据题意得
型新能源汽车的数量不超过型新能源汽车数量的3倍，
，
解得．
，
随的增大而增大．
当时，取得最小值，
此时．
答：购买型新能源汽车10辆、型新能源汽车30辆时花费最少，最少花费为392万元．
24．【答案】（1）解：将代入得，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）或
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．

【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【解答】
（2）
解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式的解集为：或．
【分析】
（1）先把点的坐标代入反比例函数的解析式，计算得到参数的值；接着再把点的横坐标代入已经求出参数的反比例函数解析式，算出点的纵坐标，得到点的完整坐标；最后将、两点的坐标同时代入一次函数解析式，联立方程即可求出一次函数的参数，得到一次函数解析式，完成这一问的解答。
（2）结合反比例函数和一次函数的图象位置关系，就可以直接得到对应问题的答案。
（3）先根据题目给出的和的面积数量关系，计算出点的纵坐标，再结合反比例函数解析式就能得到点P的坐标，解决这个问题.
（1）解：将代入得，
∴，
反比例函数的解析式为，
将代入得，，
点的坐标为．
将点和点的坐标代入得，
，
解得，
一次函数的解析式为；
（2）解：根据所给函数图象可知，
当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即，
不等式的解集为：或．
（3）解：将代入得，，
点的坐标为，
，
．
将代入得，，
点的坐标为，
，
解得．
∵点在第三象限，
∴，
将代入得，，
点坐标为．
25．【答案】解：（1），证明如下：
∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
∵点G在边AB上，
∴点E，A，D三点在同一条直线上，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）①成立，理由如下：
如图，设交于点I，则，
∵四边形和是正方形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（2）②如图，连接．
∵，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是正方形，
∴
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）先证明与全等，由全等三角形的性质可得到，进而推出待证结论；
（2）①设PD与AB的交点为点I，根据对顶角相等可得，结合和全等得到的，即可推导出待证结论；
②连接，先根据勾股定理计算得到，再利用"直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"这一性质即可求出最终结果.
26．【答案】（1），
（2）解：将代入，得，
解得：，
∴直线解析式为，
根据定义，的“友谊点”的坐标为，
∵两点关于轴对称，
∴点的坐标为，
将代入，得，
解得：，
∴直线的解析式为；
（3）解：①∵直线 不经过第二象限，
∴，
解得：，
又∵为整数，
∴的值为2，
根据题意，直线的“友谊点”的坐标为，
∴点的坐标为；
②点的坐标为或或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；平行四边形的性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（1）根据题意，得点的“友谊直线”的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的“友谊点”的坐标为，
故答案为：，.
（3）②当时，，
∴点的坐标为，
当时，有，
解得：，
∴点的坐标为，
∵直线不经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或.
【分析】（1）根据新定义可得点的“友谊直线”的解析式，再根据的纵坐标都为-2可得直线的解析式，从而得到直线的“友谊点”的坐标；
（2）利用待定系数法得到直线解析式为，则的坐标为，点的坐标为，据此利用待定系数法求解即可；
（3）①根据直线不经过第二象限，得到，则的值为2，由定义可得的坐标为，则点的坐标为．
②求出点的坐标为，点的坐标为，根据，得到，则，再分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时， 三种情况根据平行四边形对角线中点坐标相同讨论求解即可．
（1）解：由题意得，点的“友谊直线”的解析式为，
∵，
∴直线的解析式为，
∴直线的“友谊点”的坐标为．
（2）解：将代入，得，解得，
∴直线解析式为，
根据定义，的“友谊点”的坐标为，
∵两点关于轴对称，
∴点的坐标为，
将代入，得，
解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：①∵直线不经过第二象限，
∴，
解得，
又∵为整数，
∴的值为2，
根据题意，直线的“友谊点”的坐标为，
∴点的坐标为．
②当时，，
∴点的坐标为，
当时，即，
解得，
∴点的坐标为，
∵直线不经过第二象限，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴，
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
当为对角线时，则，
∴，
∴点N的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
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