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福建福州市台江区九校 2025-2026 学年高一下学期期中考试
数学试题
一、单选题
1 → →．已知平面向量 = (2, 1)， = (6,2 )，若向量 与 共线，则 = （ ）
A． 2 B．2 C．5 D 5．
4
2．复数 满足( + 1) i = 1 2i（i为虚数单位），则 的共轭复数的虚部是（ ）
A． 3 B． 3i C．1 D．i
3．圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的 3 倍，母线长为 15，圆台的侧面积为420π，则圆台较小
底面圆的半径为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．3
4．在 △ 中，D 为 的中点，E 为 上一点，则 + 2 = （ ）
A．0 B． C． D．2
5．如图，△ ′ ′ ′是一个平面图形的直观图，其中 △ ′ ′ ′是直角三角形，∠ ′ ′ ′ = 90 , ′ ′ = 2，则
原图形的面积是（ ）
A．4 B．4 2 C．8 D．8 2
6．已知向量 = ( ,1)， = (4, )，则“ > 0”是“向量 与 的夹角为锐角”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7 π．已知 △ 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且面积为 ．若 = 1， = 4且4 = cos + cos
，则 = （ ）
5π
A． B 7π C π π．
６ 12 ．6 D．3
8．平行四边形 中， = 4， = 2， = 4 2，点 在边 上，则 的取值范围是（ ）
A．[ 1,8] B．[ 1,4 + 2] C．[ 2,4 + 4 2] D．[ 2,0]
二、多选题
9．已知向量 = (1,3)， = (2, )， + ⊥ ，则（ ）
A． = (2, 3) B．向量 , 3π的夹角为 4
C．| + 1 | = 1 D． 在 方向上的投影向量是 1，22
10．下列说法正确的是（ ）
A． = | |2, ∈
B．i2025 = i
C．若| | = 1, ∈ ，则| 2|的最小值为 2
D．若 4 + 3i是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的根，则 = 8
11．对于 △ 有如下命题，其中正确的是（ ）
A．若sin2 + sin2 + cos2 < 1，则 △ 为钝角三角形
B．若 = π3, = 2 3，且 △ 有两解，则 的取值范围是( 3,2 3)
C．在 △ 中，若 > ，则不等式sin > sin 恒成立
D．在 △ 中，若 = 60°, 2 = ，则 △ 必是等边三角形
三、填空题
12．一个底面半径为 2cm 的圆柱形容器内盛有足量的水，能放入一个半径为 1cm 的实心铁球，沉入水底后，
水未溢出容器，则水面升高了________cm．
13．海上一观测站 测得南偏西60°的方向上有一艘停止待维修的商船 ，在商船 的正东方有一艘海盗船
正向它靠近，速度为每小时 90 海里，此时海盗船 距观测站10 7 海里，20 分钟后测得海盗船 位于距观测
站 20 海里的 处，再经___________分钟海盗船 到达商船 处．
14．如图，在 △ 中， = 3 , 是 上的一点，若 = + 1 + 1 9 ，则实数 的值为3
______________
四、解答题
15．已知复数 = (1 + i) 2 (2 + i) 2i( ∈ )．
(1)若 是纯虚数，求 的值；
(2)若 在复平面内所对应的点在第四象限，求 的取值范围．
16．如图，在平行四边形 中，E 为 的中点，设 = , = .
(1)用 , 表示 , , ；
(2)若 = 2, = 6，且∠ = 120°，求 .
17 1．如图，在 △ 中， = 2，cos = 3，点 D 在线段 BC 上.
(1) ∠ADC=3若 π4 ，求 AD 的长；
(2)若 BD=2DC，△ADC 的面积为4 2，求 AC 的长.
3
18．如图，在高为 2 的正三棱柱 1 1 1中， = 2, 是棱 的中点．
(1)求该正三棱柱的体积；
(2)求三棱锥 1 1 的体积；
(3)设 为棱 1 1的中点， 为棱 1上一点，求 + 的最小值．
19．“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题，该问题是：“在一个三角形内求作一点，
使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当 △ 的三个内角均
小于 120°时，使得∠ = ∠ = ∠ = 120°的点 O 即为费马点；当 △ 有一个内角大于或等于 120°
时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知 △ 的内角 A，B，C 所对的边分别为
a，b，c，且设点 P 为 △ 的费马点．
(1)若2sin sin + π = sin ，且 △ 面积为3 3．
3 3 4
（i）求角 B；
（ii）求 + + ；
(2) + 若cos2 = ， △ ， △ ， △ 的面积为 1，
1+ 2
2 2，2 3，求 的最小值．3
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C A D B C C C BD ABD
题号 11
答案 ACD
1．D
直接利用向量平行的坐标运算列方程求解．
【详解】因为向量 与 共线，所以6( 1) 2(2 ) = 0，
5
解得 = ．
4
故选：D．
2．C
= 1 2i【详解】由题意可得： 1 = (1 2i)i 1 = 3 i，所以 = 3 + ii ，所以复数 的共轭复数的虚部为 1. 1
3．A
设圆台的上下底面圆的半径分别为 , ，根据题意，求得 = 3 ，再利用圆台的侧面积公式，列出方程，即
可求解.
【详解】设圆台较小底面圆的半径为 ，较大的底面圆的半径为 ，
因为圆台的一个底面圆周长是另一个底面圆周长的 3 倍，
可得2π = 3 × 2π ，所以 = 3 ，
又因为圆台的侧面积为420π，可得 侧 = π( + ) = 4π × 15 = 420π，解得 = 7.
故选：A.
4．D
由已知，根据平面向量线性运算加减法法则可以直接进行求解.
【详解】由已知，D 为 的中点，所以 + = 2 ，
所以 + 2 = 2 2 = 2 .
故选：D.
5．B
还原 △ ，求出其边长即可求解直角三角形的面积.
【详解】如图， △ 的直观图是 ′ ′ ′，则 = ′ ′ = 2, = 2 ′ ′ = 4 2，
则 △ 1的面积为 = 42 2.
故选：B
6．C
由充分条件和必要条件的概念以及向量数量积的应用，进行判断即可.
【详解】若 // ，则 2 = 4，解得 =± 2．
若向量 与 的夹角为锐角，则 > 0且cos , ≠ 1，所以4 + > 0且 ≠ 2，解得 ∈ (0,2) ∪ (2, + ∞)．
故“ > 0”是“向量 与 的夹角为锐角”的必要不充分条件．
故选：C.
7．C
利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解．
2 2 2 2 2 2
【详解】在△ABC 中， cos + cos = + + + = = 1 sin 2 2 ，而 2 ，
由4 = cos + cos ，得2 sin = ，又 = 1， = π4，则 = 2 ，
由正弦定理得 2sin = sin = sin
π
4，解得sin =
1
，由 < ，得 < 2 ，
π
所以 = 6．
8．C
建立平面直角坐标系，设 ( , 2),(0 ≤ ≤ 4)，把 的取值范围转化为求二次函数的值域问题，即可
求得本题答案.
【详解】作 ⊥ ，垂足为 ，以点 为原点， , 所在直线为 轴， 轴建立如下图的平面直角坐标系.
cos∠ = 因为 4 2 2| | | | = = ，而0 < ∠ < π,所以∠ =
π
4， 4×2 2
在直角 △ 中，因为∠ = π4， = 2，所以 = = 2， = 4 2，
则 ( 2,0), (4 2,0)，设 ( , 2),(0 ≤ ≤ 4)，
所以 = ( 2 , 2), = (4 2 , 2)，
所以 =( 2 )(4 2 )+( 2) × ( 2)= 2 + (2 2 4) + 4 4 2，
因为二次函数开口向上，对称轴为 = 2 2，且0 ≤ ≤ 4，
所以当 = 2 2时， 取最小值 2，当 = 4时， 取最大值4 + 4 2，
所以 的取值范围是[ 2,4 + 4 2].
故选：C
9．BD
根据向量的坐标运算，即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A， ∵ = (1,3)， = (2, )， ∴ + = 3，3 + ，
∵ + ⊥ ，
∴ 3 × 1 + 3 × (3 + ) = 0， = 4， = (2, 4)，故 A 错误；
B cos , = =
1×2 3×4
对于 ， 2| = ， | | | 10 20 2
由于 , ∈ [0,π] 3π，则向量 ， 的夹角为 B4 ，故 正确；
对于 C ∵ + 1， = (1,3) + (1, 2) = (2,1)2 ，
∴ | + 1 | = 5，故 C 错误；2
对于 D， 1在 方向上的投影向量为 | 2| = = ( 1,2)，故 D2 正确．
故选：BD．
10．ABD
设 = + i， , ∈ ，计算出| |2 = 判断 A；利用复数单位的幂运算判断 B；设 = + i， , ∈ ，
得到 2 + 2 = 1，| 2| = 4 + 5，根据 1 ≤ ≤ 1，得到| 2|的最小值为 1 判断 C，先求出二次方程
的另一个根，然后利用韦达定理求得 = 8判断 D．
【详解】设 = + i， , ∈ ，则 = i，
又| |2 = 2 2 + 2 = 2 + 2， = ( + i)( i) = 2 + 2，
所以 = | |2, ∈ 成立，所以 A 正确．
i2025 = i2024+1 = i，所以 B 正确．
设 = + i， , ∈ ，由于| | = 1，则 2 + 2 = 1，即 2 + 2 = 1，
故| 2| = ( 2)2 + 2 = ( 2)2 + 1 2 = 4 + 5，
由 2 + 2 = 1，得 1 ≤ ≤ 1，则 4 + 5 ≥ 1，
故当 = 1时，| 2|的最小值为 1，所以 C 不正确．
因为 4 + 3i是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的根，
所以 4 3i也是关于 的方程 2 + + = 0( , ∈ )的根，
则 = 4 3i 4 + 3i = 8，则 = 8，所以 D 正确．
故选：ABD．
11．ACD
由正弦定理将角化边，再由余弦定理可得cos < 0，判断出角 为钝角，判断 A；由三角形有两解的充要条
件列表达式，可得 的范围，判断 B；由正弦定理判断 C；由余弦定理可得 = ，判断出△ABC 的形状，判
断 D．
【详解】A 中，sin2 + sin2 + cos2 < 1，即sin2 + sin2 < sin2 ，
2+ 2 2
由正弦定理可得 2 + 2 < 2，由余弦定理可得cos = < 02 ，
因为 ∈ (0,π)，所以 ∈ π ,π ，即 为钝角，所以该三角形为钝角三角形，故 A 正确；
2
B π中，若 = 3, = 2 3，且△ABC 有两解，则 sin < < ，即2 3 ×
3 < < 2
2 3，
即 的范围为(3,2 3)，所以 B 错误；
C 中，在△ABC 中， > ，由大角对大边得 > ，由正弦定理可得sin > sin 成立，所以 C 正确；
D 中，若 = 60°, 2 = ，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos = 2 + 2 ，
即 = 2 + 2 ，即( )2 = 0，所以 = ，所以△ABC 必是等边三角形，故 D 正确．
12 1．3
利用上升水的体积等于实心铁球的体积计算即可得.
【详解】设水面升高了 cm，由题意知π 22 = 4π 133 ，解得： =
1.
3
13 40． 3
根据图示：在 △ 中，利用余弦定理求得∠ ，从而得到∠ ，然后在 △ 中，利用正弦定理求得
，然后再根据速度求出时间.
【详解】如图所示：
在 △ 中， = 10 7, = 20, = 30，
2+ 2 2 1
由余弦定理得：cos∠ = =2 2，
所以∠ = 60 ，则∠ = 120 ，
在 △ 中，∠ = 30 ,∠ = 30 ，
∴ = = 20
20
所以 = × 60 = 4090 3 ，
40
即再经 3 分钟海盗船 到达商船 处．
40
故答案为： 3
14 1．3
利用平面向量共线的推论直接计算即可．
【详解】因为 = 3 ， = + 1 + 19 ，3
所以 = + 1 + 13 ．3
因为
1 1
三点共线，所以 + 1 + = 1 =
3 3
，解得 3．
15．(1)0
(2)( 1,0)
【详解】（1）由复数 = (1 + i) 2 (2 + i) 2i = ( 2 2 ) + ( 2 2)i，
2
2 = 0
因为复数 是纯虚数，则满足 2 2 ≠ 0 ，解得 = 0或 = 2（舍去），
所以实数 的值为0.
（2）由复数 = ( 2 2 ) + ( 2 2)i，
2
若 2 > 0在复平面内所对应的点在第四象限，则满足 2 2 < 0 ，解得 1 < < 0，
所以实数 的取值范围为( 1,0).
16．(1) = + ， = 12 ， =
1
2
(2) 17
（1）由向量对应线段的数量、位置关系用 , 表示出 , , 即可；
（2）由（1）及向量数量积的运算律可得 = 2 + 1 1 2 .2 2 ，结合已知即可求值
【详解】（1）由 = + = + = + ， = 1 = 1 = 1 = 1 = + =2 2 2 2 ，
1 = 12 2 ，
所以 = + ， = 12
1
， = .2
（2）由（1）知： = ( + ) ( 1 ) = 2 + 1 2 2
1 2
2 ，
1 1
又 = 2, = 6，且∠ = 120°，则 = 4 + × 12 × ( ) 18 = 17.2 2
17 8．(1)3
(2)4 2
（1）在 △ 中，由正弦定理即可求解；
（2）由 △ ，得到 △ ，结合三角形面积公式求得 = 6，再由余弦定理即可求解.
【详解】（1）在 △ 中， ∵ cos = 1, ∴ sin = 2 2.3 3
在 △ 中，由正弦定理得 =sin∠ sin ，
又 ∵ = 2,∠ = π4,sin =
2 2，
3
2 2
sin 2 × 3 8∴ = sin∠ = = 3 .2
2
（2） ∵ = 2 , ∴ △ = 2 △ , △ = 3 △ .
又 ∵ 4 2△ = , ∴ △ = 43 2.
∵ 1 1△ = sin = × 2 × × 2 22 2 ，3
解得： = 6
在 △ 中，由余弦定理得 2 = 2 + 2 2 cos = 4 + 36 24 × 1 = 323 ，
所以 = 4 2.
18．(1)2 3；
(2)2 3；
3
(3) 13．
（1）由正三棱柱的体积公式求解即可；
（2）由 1 1 的体积等于 1 1 1 1 1 1 1 1，分别求出 1 , 1 ,
1 1 1的体积代入即可得出答案.
（3）将侧面 1 1绕 1旋转至与侧面 1 1共面，如图所示,当 , , 三点共线时， + 取得最小值，
求解即可.
【详解】（1）因为 3△ = × 2 × 2 =4 3，
所以 1 1 1 = △ 1 = 3 × 2 = 2 3．
1 1
（2）因为 1 = 1 = × △ 1 =
3
3 2 ，3
1 1 1 1 = × △ 1 =
2 3
3 ，3
所以 2 3 1 1 = 1 1 1 1 1 1 1 1 = 3
（3）将侧面 1 1绕 1旋转至与侧面 1 1共面，如图所示．
当 , , 三点共线时， + 取得最小值，
且最小值为 22 + (2 + 1)2 = 13．
19．(1) π（i） = 3；（ii） + + =
3
2
(2) 3 1．
（1）（i）利用两角和的正弦公式和sin = sin( + )即可求解；
（ii 2π）由（i）得 P 为 △ 内的费马点，即∠ = ∠ = ∠ = △ 3 33 ，利用 面积为 得4
+ + = 3，即可求解；
2 cos2 = + 1+cos + （ ）由 = cos = 2 利用二倍角的余弦公式有 2 ，即 ，利用正弦定理有sin cos = sin ，2 2
sin cos = 0 1+ 2
π
即 ，从而求出角 ，利用面积公式得 = + ，再由正弦定理即可得 =
sin
3
， =3 sin
sin π
6
π ，最后利用均值不等式即可求解.sin
2
【详解】（1）（i）∵2sin sin + π = 3sin ，sin = sin π ( + ) = sin( + )，3
∴2sin 1 sin + 3 cos = 3sin( + ) = 3(sin cos + cos sin )，2 2
∴sin sin = 3cos sin ，
在 △ 中，sin ≠ 0，∴sin = 3cos ，∴tan = 3，
又 ∈ (0,π)，∴ = π3．
（ii）∵ = π3，∴ △ 不存在大于等于 120°的角，∴P 为 △ 内的费马点．
所以∠ = ∠ = ∠ = 2π3 ，
∵ = 1 sin2π + 1 sin2π + 1 sin2π = 3 3
2 3 2 3 2 3 ，4
∴ + + = 3，
∴ + + = | 2π 2π 2π || |cos +3 | || |cos +3 | || |cos 3
= 1
2 | || | + | || | + | || | =
3
2．
（2）∵cos2 = + 1+cos + 2 ，∴ = ，即 cos = ，2 2 2
在 △ 中有正弦定理得sin cos = sin ，sin = sin π ( + ) = sin( + )，
∴sin cos = sin( + ) = sin cos + cos sin ，∴sin cos = 0，
在 △ 中，sin ≠ 0，∴cos = 0，
又 ∈ (0,π) π，∴ = 2．
1+
1 2π
2 sin +
1 sin 2π
∴ = 2 3 2 3 = + 1 ，3 sin 2π 2 3
设∠ = ， ∈ 0, π
π
，则在 △ 由正弦定理得， = sin 3 ，2 sin
sin π
在 △ 由正弦定理得， = 6 ，sin π
2
∴
π
1+ 2 = sin
π sin
3
+
6 = 3π tan +
1 1 ≥ 1，
3 sin sin 2 tan
3
2
tan = 1 ∈ π = π当且仅当 ， 0, ， 4时等号成立．2
∴ 1+ 2 的最小值为 3 1．3

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