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山东日照市 2025-2026 学年高一下学期期中考试数学试题
一、单选题
2π
1．在平面直角坐标系内，角- 的顶点在坐标原点，始边为 x 轴正半轴，则其终边在（ ）
3
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
π
2．已知某扇形的圆心角为 ，半径为 4，则该扇形的面积为（ ）
3
2π 4π 8π 16π
A． B． C． D．
3 3 3 3
3．已知a 、 b R ，“ sina = sin b ”是“a = b + 2kπ k Z ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3π
4．若a + b = 且a kπ
π π
+ ， b mπ + m,k Z ，则 1- tana 1- tan b = （ ）
4 2 2
A．-2 2 B． 3 C．1 D．2
5 π 21．已知a 是第二象限角， cos -a ÷ = ，则 cos
π
a -

÷ =（ ）
è 2 7 è 6
A 21 B 7 C 3 21 D 7．- ．- ．- ．
14 7 14 7
6．已知函数 f x = sinwx w > 0 ，f x1 = 0，f x2 =1，且 x1 - x
π
2 的最小值为 ，则w =（ ）4
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知 f (x) = x sin x ,若 f (sina ) < f (sin b ) ,则一定有（ ）
A． cos2a > cos2b B． cos2a < cos2b C． sina > sin b D． sina < sin b
r r r r r r r r r r
8．已知向量a，b 满足 a =1， a ×b = a - b .当a与b 的夹角最大时， b = （ ）
A． 2 2 B．2 C． 3 D． 2
二、多选题
r r r
9．已知向量 a = 1,-2 ，b = -1,1 ， c = 2,3 ，则下列说法正确的是（ ）
r r r r r
A． a + c = 10 B．b × a - c = -6
r r
C 26
r r r
．b 与 c 夹角的余弦值为 D． a ^ c - b
26
10．已知函数 f x = Asin wx +j π A > 0,w > 0, j < ÷的部分图象如图所示，阴影部分的面积为 4π，则下
è 2
列说法正确的有（ ）
A．函数 f x 的最小正周期为 π
2π
B．函数 f x 的一条对称轴为 x =
3
C．将函数 f x π π 向右平移 3 个单位长度得到函数 g x = 2sin 2x - ÷è 6
é3π ù
D．函数 f x 在区间 ê , πú 上单调递增 4
11．记函数 fk x = sin2k 2x + cos2k 2x k 2, k N* ，则（ ）
A． fk x
π
的一个周期为
2
π
B é ù．函数 f2 x 在区间 ê0, ú 上单调递增 8
π
C．函数 fk x 的图象关于直线 x = - 对称8
1
D．当 k 3时，0 fk x - fk +1 x f4 k -1 x
三、填空题
12．已知角a 的顶点在坐标原点，始边为 x轴正半轴，终边经过点 P 2, -1 ，则 sina = ______．
π π 2π
13．函数 f x = A sin w x + j w > 0, -π < j < 0 在一个周期内的图象经过 ,0÷、 ,1 、 ,0 三点．写
è 6 è 4 ÷ ÷ è 3
出一个符合条件的函数 f x 的解析式 f x = ______．
uuur uuur
14 3．已知正n边形 A1A2 × × × An 内接于单位圆O，且满足OA1 ×OAi i =1,2,L, n 的顶点 Ai 共有n-3个，若2
uuur uuuur uuur uuuur
正三角形 PMN 的顶点M 、 N 在圆O上，则 PA1 + PA2 + PA3 + ×××+ PAn 的最大值为______．
四、解答题
15．已知函数 f x = 3 cos x - sin x sin x 1+ ．2
π
(1)求 f ÷的值；
è 3
(2)求函数 f x 的最小正周期及单调递减区间．
f x sin π x cos π 16．已知函数 = + ÷ + x + 3 sin x cos x ．
è 4 è 4 ÷
7π
(1) f π a 2 2若 + ÷ = - ，且 π < a < ，求 sin a 的值；
è12 2 3 6
A
(2)在VABC f

中，若 ÷ =1，求 sin B + sin C 的取值范围．
è 2
17．如图，有一块矩形铁皮 ABCD，其中 AB = t t 4 ，AD = 4，阴影部分 AMN 是一个半径为3的扇形．设
这个扇形已经腐蚀不能使用，但其余部分均完好，工人师傅想在未被腐蚀的部分截下一块其边落在BC 与
CD上的矩形铁皮PQCR ，使点 P 在弧M N 上．设 MAP = q
0 π q 2 ÷
，矩形PQCR 的面积的表达式为
è
f q ．
(1) t 6 f q - 9sinqcosq + 18sinq当 = 时，设 g q = - sin2 q ，求 g q 的值域；
12
(2)当 t = 4时，求 f q 的最小值，并求出当 f q 取得最小值时，所对应的 sinq 的值．
18．已知函数 f x = 3cos2wx - sin wx 3 + π

÷cos
π 3
2
wx - ÷ - (w > 0)，若 f x 的最小正周期为 π．
è è 2 2
(1)求 f x 的解析式；
(2)若函数 g x = f 2 x π π- af x a+ é ù在 ê- , ú上有三个不同零点x1， x2 ， x3 ，且 x4 6 4 1
< x2 < x3．

①求实数a取值范围；
②若 2x
π
1 + x2 > -
2
，证明 2 f x1 + f x2 >1．4
19．已知VABC 为边长为 4 3 的等边三角形，O 为VABC 的重心．
uuur uuur uuur(1)求OB × OA + OC 的值；
uuur
(2)P 为平面内一点，满足 OP =1．
uuur uuur r uuur uuur
（ⅰ）若OB + OB1 = 0，求 PB + PB1 的取值范围；
uuur uuur uuuur r x z
（ⅱ）已知点 M 为边 AC 的中点，且存在实数 x，y，z，使得 xPA + yPB + zPM = 0，求出当 y 最大时的 x + y
的值．
参考答案
1．C
2．C
3．B
4．D
5．A
6．B
7．A
8．D.
9．AC
10．ABD
11．ACD
12 5．-
5
2sin 2x π 13 2 3 2π ． - 3 ÷
（或 sin 4x - ）è 3 ÷è 3
14． 48
1
15．（1）因为 f x = 3 cos x - sin x sin x + = 3 sin x cos x - sin2 x 1+2 2
3 sin 2x 1- cos 2x 1 3 sin 2x 1 cos 2x π= - + = + = sin 2x + ÷，2 2 2 2 2 è 6
f π sin 2 π π sin 5π 1所以 ÷ = + = = .
è 3 è 3 6 ÷ 6 2
（2）由（1）可知， f x sin 2x π= +

÷，
è 6
所以函数 f x 2π的最小正周期为T = = π ，
2
π
由 + 2kπ 2x
π 3π
+ + 2kπ k Z π，得 + kπ x 2π + kπ k Z ，
2 6 2 6 3
所以函数 f x é π 2π ù的单调递减区间为 ê + kπ, + kπú k Z . 6 3
f (x) = sin p + x p ÷cos + x ÷ + 3 sin x cos x
1
= sin 2
p x 3 + ÷÷ + sin 2x
è 4 è 4 2
16 è
è 4 2
．（1）
1
= sin p 2x 3 sin 2x 1 cos 2x 3+ + = + sin 2x = sin 2x p+
2 ÷è 2 2 2 2 è 6 ÷
f π a 2 2已知 + ÷ = - ，代入化简后的 f x ：
è12 2 3
sin 2 π a π 2 2 + ÷ + ÷ = - sin
π π 2 2 π 2 2
+a +
= - sin
12 2 6 3 6 6 ÷ 3
a + ÷ = -
è è è è 3 3
已知 π < a
7π 4π a π 3π< ，则 < + < ，该区间内余弦值为负：
6 3 3 2
2

cos a
π 2 2 1+ ÷ = - 1- - = -
è 3
3 ÷÷è 3
sina sin é a π π ù= ê + ÷ - ú
è 3 3

= sin π π a +

÷cos - cos
a π sin π 2 2 1 1 3 -2 2 + 3 + ÷ = - ÷ - - ÷ =
è 3 3 è 3 3 3 ÷è 2 è 3 2 6
f A A π（2）已知 ÷ =1

，即 sin 2 × + ÷ =1nsin
A π+ =1
è 2 2 6 ÷ è è 6
π π π
在VABC中，0 < A < π ，故 A + = ，得 A = ，
6 2 3
2π 2π
则B + C = ，C = - B
2π
，且0 < B < .
3 3 3
sin B + sin C = sin B sin 2π+ - B

÷ = sin B + sin
2π cos B - cos 2π sin B
è 3 3 3
= sin B 3+ cos B 1 3+ sin B = sin B 3+ cos B = 3 sin B π+
2 2 2 2 6 ֏
0 B 2π π由 < < ，得 < B
π 5π
+ < ，
3 6 6 6
sin B π+ 1 ù
ù
故 ÷ ,1ú ，因此 3sin
B π+ 3 , 3
è 6 2 6 ÷
2 ú è è è
17．（1）
过 P 作PE ^ AB ，垂足为E，由题意可得：PE = 3sinq ， AE = 3cosq ，
所以PQ = AB - AE = t - 3cosq ，PR = AD - PE = 4 - 3sinq
π
所以矩形PQCR 的面积 f q = PR × PQ = 4 - 3sinq t - 3cosq 0 q ÷，
è 2
当 t = 6时，
4 - 3sinq 6 - 3cosq - 9sinq cosq +18sinqg q = - sin2 q
12
24 -12cosq -18sinq + 9sinq cosq - 9sinq cosq +18sinq
= - sin2 q
12
= 2 - cosq - 1- cos2 q = cos2 q - cosq +1 0 q π ÷，
è 2
π
令 cosq u
é ù
= ，因为q 0,
ê 2 ú
，所以u 0,1 ，

2 1则函数 y = u - u +1，其对称轴为u = ，
2
u 1
2
当 = 1 1 3时， y
2 min
= ÷ - +1 = ，
è 2 2 4
3 3
当u
é ù é ù
= 0 或1时， ymax =1，所以 g q ê ,1ú，即函数 g q 的值域为 ,1 . 4 ê 4 ú
（2）因为 f q = 4 - 3sinq t - 3cosq 0 q
π
÷，
è 2
当 t = 4时， f q = 4 - 3sinq 4 - 3cosq = 16 - 12 sinq + cosq + 9sinqcosq
=16 -12 sinq + cosq 9+ sinq + cosq 2 -1 9= sinq + cos 2q - 12 sinq + cosq 23+2 2 2
9 2
= sin
4 7 7
q + cosq -
2 3 ÷
+ .
è 2 2
4 2
当且仅当 sinq + cosq = ，即 sinq + 1 - sin2 4q = ,1 - sin2 4q = - sinq

3 3 3 ֏
2sin2 8 sin 7q - q + = 0
3 9 ，解得 sinq
4 + 2
= 或 sinq 4 - 2= 时，等号成立．
6 6
所以 f q 7的最小值是 ，当 f q 取得最小值时，所对应的 sinq 4 + 2 4 - 2的值是 或 ．
2 6 6
18．（1）由函数 f x = 3cos2wx 3 π 3- sin wx + π ÷cos2 wx - ÷ -è è 2 2
2 3 1+ cos 2wx= 3cos wx + coswx sinwx 3 1- = + sin 2wx 3-
2 2 2 2
3
= cos 2wx 1 π+ sin 2wx = sin 2wx +
2 2 3 ÷
，
è
因为 f x 2π的最小正周期为 π，所以 = π，即w = 1，
2w
所以 f x = sin 2x
π
+ ÷ .
è 3
（2）①由（1）知 g x = sin2 π 2x + - a sin
2x π+ a+ ，
è 3 ÷ ÷ è 3 4
π x π π 5π由- ，可得0 2x + ，
6 4 3 6
t = sin 2x π+ g t = t 2令 ÷ ，则 - at
a
+ ，0 t 1，
è 3 4
g x π π= sin2 2x + - a sin 2x + a é π π ù若函数 3 ÷ ÷ + 在è è 3 4 ê
- , ú有三个零点， 6 4
sin2 2x π a sin 2x π a é π π ù即 + ÷ - + ÷ + = 0在 ê- , ú有三个不相等的实数根，è 3 è 3 4 6 4
即关于 t的方程 t 2
a
- at + = 0须有两个不同的实根，
4
é 1 é1
在区间 ê0, ÷内有一个实根，另一个实根在 ,12 ê2 ÷
内，

é1
或一个实根是1，另一个实根在 ê ,1÷内， 2

（i）当一个根在 0,
1 1
÷ ，另一个根在 ,1÷，
è 2 è 2
ì a
ì g 0 > 0 > 0
4

故 íg
1
÷ < 0
1 1
， í - a
a
+ < 0 4
2 ，解
1 < a < ，
è 4 2 4 3
g 1 > 0 1 a a - + > 0 4
a
（ii）当一个根为0时，即 = 0，所以 a = 0 ，
4
此时方程为 t 2 = 0，所以 t = 0，不合题意，
1 1
（iii 1）当一个根是 ，即 - a
a
+ = 0，解得 a =12 ，4 2 4
2 1 1
此时方程为 t - t + = 0， t = ，不合题意；
4 2
1 a 4
（iv）当一个根是1，另一个实根在 ,1÷，由1- a + = 0，可得 a = ，
è 2 4 3
2 4
此时方程为 t - t
1 1
+ = 0，解得 t =1或 t = ，
3 3 3
1 1
当 t =1时，对应的一个 x的解，当 t = [0, ) 也对应一个 x的解，
3 2
共有两个解，不满足有三个不同的零点，不合题意，
4
综上可得，实数a的取值范围是 1, ÷ ；
è 3
π
②由 2x1 + x > -
π
2 ，可得 2x4 1
> - - x
4 2
，
2x π π x π π所以 1 + > - - + = - x ，3 4 2 3 12 2
2x π π π π π π π π π+ 0, 2x + , x - , - x 0, 因为 1 ÷， 2 ÷ ，即 2 ÷，3 6 3 6 2 12 12 12 2 6 ÷
，
è è è è
sin 2x π sin π所以 1 + ÷ > - x

，
è 3 2 ÷ è12
1 cos π 2x 1 sin 2x π- - - +
所以 sin2 2x π sin2 π
6 2 ÷ 2 ÷+ > - x = è = è 3 ， 1
è 3 ÷ 2 ÷ è12 2 2
2
所以 2 f x1 + f x2 >1 .
uuur uuur uuur r
19．（1）因为O为VABC 的重心，所以OA + OB + OC = 0 .
uuur uuur uuur
因此OA+OC = -OB，
uuur uuur uuur uuur所以OB × OA + OC = OB × uuur-OB = - OB 2 .
3
等边三角形 ABC 的边长为 4 3 ，它的高为 4 3 × = 6 .
2
2 2
重心到顶点的距离等于中线长的 ，所以OB = ×6 = 4 .
3 3
uuur uuur uuur故OB × OA + OC = -42 = -16 .
uuur uuur r uuur uuur
（2）（ⅰ）由OB + OB1 = 0，得OB1 = -OB .
所以 B ，B1关于点O对称，且OB = OB1 = 4 .
又 OP =1．设 BOP =q ，则 B1OP = π -q .
在△BOP中，由余弦定理得PB2 = OB2 + OP2 - 2 ×OB ×OPcosq =17 -8cosq .
在VB OP 2 2 21 中，由余弦定理得PB1 = OB1 + OP - 2 ×OB1 ×OPcos π -q =17 + 8cosq .
令 t = cosq ，则-1 t 1，于是PB + PB1 = 17 -8t + 17 + 8t .
设u = PB + PB1 .
则u2 = 34 + 2 17 -8t 17 + 8t = 34 + 2 289 - 64t 2
因为0 t 2 1，所以 225 289 - 64t 2 289 .
从而15 289 - 64t 2 17 .
所以64 u2 68 .
又u > 0，故8 u 2 17 .
即 PB + PB é8,2 17 ù1 .
（ⅱ）以O为原点，建立平面直角坐标系，取 A 0,4 , B -2 3, -2 ,C 2 3, -2 .
则M 为 AC 的中点，所以M 3,1 .
设P u,v ，由 OP =1，得u2 + v2 =1 .
uuur uuur uuuur r
由 xPA + yPB + zPM = 0 .
可得 x 0 - u, 4 - v + y -2 3 - u,-2 - v + z 3 - u,1- v = 0,0 .
整理得 x + y + z u,v = x 0,4 + y -2 3, -2 + z 3,1 .
x
若 x + y + z = 0，则结合上式可得 x = y = z = 0，此时 y 无意义，不合题意．
因此 x + y + z 0．
由于 x y
x z
， ， z 同乘同一个非零常数时， y 和 x y 都不变，所以可令
x + y + z =1 .
+
于是 u,v = x 0,4 + y -2 3, -2 + z 3,1 .
对横坐标、纵坐标分别比较，得u = -2 3y + 3z , v = 4x - 2y + z .
又 x + y + z =1 .
3 1 3 1 1 2 3 1
解这个方程组，得 x = - u + v ， y = - u - v + ， z = + u - v .
12 4 12 12 3 3 6 6
因为u2 + v2 =1，所以可设u = cosq ,v = sinq .
x - 3cosq + 3sinq
于是 = .
y 4 - 3cosq - sinq
这里分母 4 - 3cosq - sinq 4 - 2 = 2 > 0 .
x x
所以可以直接比较 的大小．设 = ky y .
则- 3cosq + 3sinq = k 4 - 3cosq - sinq .
整理得 3 k -1 cosq + k + 3 sinq = 4k .
左边是形如 Acosq + Bsinq 的式子，它的最大值为 A2 + B2 ，所以要使上式有解，必须满足
4k 3 k -1 2 + k + 3 2 .
两边平方，得16k 2 3 k -1 2 + k + 3 2 .
化简得16k 2 4k 2 +12 .
所以 k 2 1 .
x
因此 1y .
当P 0,1 1 1 1时，即u = 0 ，v =1，有 x = , y = , z = .
4 4 2
x
此时 = 1y .
1
x z
所以 y 的最大值为 1．此时
= 2 =1 .
x + y 1 1+
4 4

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