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广东省潮州市湘桥区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．要使二次根式有意义，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
2．12月4日为国家宪法日，某校开展“宪法进校园”法律知识竞赛，满分为10分，九年级1班9位学生的成绩如下(单位：分)：7、9、7、9、7、9、10、8、9，则这9位学生竞赛成绩的众数是（　　）
A．4分 B．7分 C．9分 D．10分
3．下列四组数为三角形的三边长，其中不能作为直角三角形三条边的是（　　）
A．6，8，10 B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，2，3
4．如图，平行四边形中，已知，则的值是（　　）
A．8 B．12 C．6 D．
5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．b B． C． D．
6．已知直角三角形的两条直角边长分别为1和2，则斜边长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
7．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．时，两架无人机都上升了
B．时，两架无人机的高度差为
C．乙无人机上升的速度为
D．时，甲无人机距离地面的高度是
8．已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．6
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．计算的结果是　 　．
12．小明参加某公司招聘考试，他的笔试成绩是80分，面试成绩是70分，其中笔试成绩占综合成绩的，面试成绩占综合成绩的，则小明的综合成绩为　 　．
13．如图，直线与直线在同一平面直角坐标系中相交于点，则不等式的解集是　 　．
14．如图，四边形是菱形，点A的坐标是，则点B的坐标为　 　．
15．“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为　 　．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分．
16．计算：
（1）；
（2）．
17．已知数a，b，c满足，请求的值．
18．本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分，根据图表，解答问题：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 7.5 7 7 2.8
八年级 a 8 b 2.35
（1）填空：表中的a＝ ，b＝ ；
（2）你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ；
（3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．小明以如图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度y（）与纸杯的个数x（个）之间是一次函数关系，有关数据如表．
纸杯个数x（个） 1 2 3 4 …
纸杯高度y（） 9 10 …
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）小明把杯子叠成如图1的一摞，放入高的柜子里（如图2）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？
20．如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求的长．
21．综合与实践
某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表．
课题 测量游乐园秋千
成员 组长：小明 组员：小华、小丽、小红
工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器
测量示意图 如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，垂直于地面，点A为秋千静止时在上的位置．过平台B、C分别作的垂线段、，即于点D，于点E．
测量数据 测量项目 测量大小
点B距地面高度
的长度
的长度
的大小
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千的长度．
（2）请求出秋千离地面的最小距离．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标；
（3）如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
23．小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究．
如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H．
（1）问题探究：
如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______；
（2）问题解决：
如图②，连接，求证：；
（3）拓展延伸：
如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式，再求出x的取值范围即可.
2．【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：7、9、7、9、7、9、10、8、9，
出现的次数最多，
这9位学生竞赛成绩的众数是9分．
故答案为：C．
【分析】利用众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵62+82=102，∴这三条边可以组成直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵32+42=52，∴这三条边可以组成直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵52+122=132，∴这三条边可以组成直角三角形，∴C不符合题意；
D、∵12+22≠32，∴这三条边不可以组成直角三角形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可得：，
故原式．
故选：D．
【分析】本题考查二次根式性质与数轴的综合应用，由数轴可判断 ，根据二次根式性质 ，将原式转化为绝对值形式，再结合 的符号去掉绝对值完成化简。
6．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边长为：．
故答案为：D．
【分析】本题考查勾股定理的直接应用，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，代入直角边长度计算即可求出斜边。
7．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，
A．时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故错误；
C．甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故错误；
B．时，两架无人机的高度差为：，故正确；
D．时，甲无人机距离地面的高度是，故错误；
故选：B．
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：从图上可以看出，一次函数、为常数，且的图象经过第二、三、四象限，
．
故答案为：A．
【分析】本题依据一次函数经过二、三、四象限，得出该一次函数为递减函数，即k＜0，而函数经过y的负半轴，即b＜0，从而得出答案。
9．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：设，则
根据折叠的性质，得
∵
∴
∴
设
在直角三角形中，根据勾股定理，得
解得
故选：C.
【分析】本题考查矩形折叠问题，涉及矩形性质，平行线性质，等腰三角形判定及勾股定理.利用折叠性质得角相等，结合矩形对边平行推出等腰三角形，设未知数后在直角三角形中用勾股定理列方程求解，关键是梳理折叠前后角与边的关系，构建直角三角形模型.
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点E为的中点，，
∴，
∵F是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查正方形性质、全等三角形判定与勾股定理的综合，通过ASA证明 ，求出 和 的长度，再在 中用勾股定理计算 。
11．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
本题考查了二次根式的乘法运算，熟知二次根式的乘法法则是解题关键.
二次根式的乘法法则：；根据二次根式的乘法运算法则，代入数据计算即可得出答案．
12．【答案】76分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分），
故答案为：76分．
【分析】本题考查加权平均数的计算，用各项成绩分别乘以对应的权重，再将乘积相加，即可得到加权平均后的综合成绩。
13．【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意得，不等式的解集为函数的图象在函数的图象上方时对应的自变量的取值范围，
又∵直线与直线在同一平面直角坐标系中相交于点，
∴结合图象可得，．
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，不等式的解集是直线 图象在直线 图象上方时对应的 取值范围，结合两直线交点坐标可直接确定解集。
14．【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质与两点间距离公式，先根据点 坐标求出 的长度，再由菱形四边相等的性质得到 长度，结合点 在 轴上确定其坐标。
15．【答案】1
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵，
∴小正方形面积为1，
∴小正方形边长为1，
故答案为：1．
【分析】利用利用割补法求出小正方形面积为1，再利用正方形的面积公式及算术平方根求出其边长即可.
16．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)本题考查二次根式的混合运算，先依据二次根式乘除法则分别计算除法和乘法运算，再将两个结果相减得到最终值；
(2)本题考查乘法公式与二次根式混合运算，先用完全平方公式展开 ，用平方差公式计算 ，再合并同类项化简。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．【答案】解：∵，∴，，，
∴，，，
∴．
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查算术平方根、绝对值、平方数的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出 、、 的值，再代入代数式计算结果。
18．【答案】（1）7.5；7.5
（2）八，八年级成绩的方差小于七年级
（3）解：估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×＝1080（人）．
【知识点】用样本估计总体；统计表；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：由表可知，
八年级成绩的平均数a＝＝7.5，
所以a＝7.5；
八年级成绩最中间的2个数分别为7、8，
所以其中位数b＝＝7.5，
故答案为：7.5；7.5；
（2）解：八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级.
【分析】（1）利用平均数、中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“合格”的百分比，再乘以1200可得答案.
19．【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且），分别将，和，代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）根据题意，得，解得，
∵x为非负整数，
∴一摞最多能叠67个杯子，可以竖着一次性放进柜子里．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)本题考查待定系数法求一次函数解析式，设出一次函数一般式 ，代入两组 、 的对应值解方程组，求出 、 即可得到解析式；
(2)本题考查一次函数与一元一次不等式的应用，根据柜子高度列出不等式 ，求出 的最大整数解即为最多叠放的杯子数。
（1）解：设y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且），
分别将，和，代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）根据题意，得，
解得，
∵x为非负整数，
∴一摞最多能叠67个杯子，可以竖着一次性放进柜子里．
20．【答案】（1）解：四边形是菱形，
理由：∵，平分，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形.
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴4.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AB=BC，即可证出四边形是菱形；
（2）先证出是等边三角形，可得，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质求出，最后利用勾股定理求出DE的长即可.
21．【答案】（1）解：∵于点D，于点E，∴，
∵平台B处荡秋千到平台C处，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
在中，（）；
（2）解：由题意知，，，∴
（），
答：秋千离地面的最小距离为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以秋千高度测量为背景，综合考查全等三角形的判定与性质（AAS）以及勾股定理的实际应用。
（1）通过已知垂直条件和 OB = OC，结合等角的余角相等证明 △COE △ OBD，得到 CE = OD，再在 Rt△ OBD 中利用勾股定理求出 OB 的长度；
（2）根据秋千最低点时 OA 垂直于地面，用 OB 减去 OA（即减去秋千静止时的垂直高度）得到离地面的最小距离。
（1）解：∵于点D，于点E，
∴，
∵平台B处荡秋千到平台C处，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
在中，（）；
（2）由题意知，，，
∴
（），
答：秋千离地面的最小距离为．
22．【答案】（1）解：把点代入得，
，
把代入得，
，
直线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
，
在中，令，则，
，
∴
设，
，
，或
解得或，
或；
（3）点的坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形；一次函数中的面积问题
【解析】【解得】解：（3）在中，令，则，
，
，
设，
过Q作轴于，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为．
【分析】（1）将点E坐标代入可得，再根据待定系数法将点E坐标代入直线CD解析式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，根据两点间距离可得AD，设，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据y轴上点的坐标特征可得，根据两点间距离可得，设，过Q作轴于，根据等腰直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：把点代入得，
，
把代入得，
，
直线的解析式为；
（2）在中，令，则，
，
在中，令，则，
，
∴
设，
，
，或
解得或，
或；
（3）在中，令，则，
，
，
设，
过Q作轴于，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为．
23．【答案】（1），
（2）证明：∵正方形，矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（3）解：，
理由如下：连接，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，由（2）知：，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵点G为中点，
∴，；
故答案为：，.
【分析】（1）先证出四边形为矩形，利用矩形的性质可得，证出为等腰直角三角形，再结合点G为中点，即可得到，；
（2）先求出，，再结合，，求出，再证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）连接，先证出，利用全等三角形的性质可得，再求出，结合，证出垂直平分，再利用垂直平分线的性质、线段的和差及等量代换可得．
（1）解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵点G为中点，
∴，；
故答案为：，；
（2）∵正方形，矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3），理由如下：
连接，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，由（2）知：，
∴．
1 / 1广东省潮州市湘桥区2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．要使二次根式有意义，则的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式有意义，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】利用二次根式有意义的条件列出不等式，再求出x的取值范围即可.
2．12月4日为国家宪法日，某校开展“宪法进校园”法律知识竞赛，满分为10分，九年级1班9位学生的成绩如下(单位：分)：7、9、7、9、7、9、10、8、9，则这9位学生竞赛成绩的众数是（　　）
A．4分 B．7分 C．9分 D．10分
【答案】C
【知识点】众数
【解析】【解答】解：7、9、7、9、7、9、10、8、9，
出现的次数最多，
这9位学生竞赛成绩的众数是9分．
故答案为：C．
【分析】利用众数的定义及计算方法（众数是指在一组数据中出现次数最多的数值。众数有时不只一个，如果有两个或两个以上的数值出现次数相同且最多，则这些数值都是这组数据的众数）分析求解即可.
3．下列四组数为三角形的三边长，其中不能作为直角三角形三条边的是（　　）
A．6，8，10 B．3，4，5 C．5，12，13 D．1，2，3
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵62+82=102，∴这三条边可以组成直角三角形，∴A不符合题意；
B、∵32+42=52，∴这三条边可以组成直角三角形，∴B不符合题意；
C、∵52+122=132，∴这三条边可以组成直角三角形，∴C不符合题意；
D、∵12+22≠32，∴这三条边不可以组成直角三角形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用勾股定理的逆定理逐项分析判断即可.
4．如图，平行四边形中，已知，则的值是（　　）
A．8 B．12 C．6 D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形为平行四边形，
∴．
故答案为：C．
【分析】根据平行四边形性质即可求出答案.
5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（　　）
A．b B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：由数轴可得：，
故原式．
故选：D．
【分析】本题考查二次根式性质与数轴的综合应用，由数轴可判断 ，根据二次根式性质 ，将原式转化为绝对值形式，再结合 的符号去掉绝对值完成化简。
6．已知直角三角形的两条直角边长分别为1和2，则斜边长为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：由勾股定理得，斜边长为：．
故答案为：D．
【分析】本题考查勾股定理的直接应用，直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方，代入直角边长度计算即可求出斜边。
7．甲无人机从地面起飞，乙无人机从距离地面高的楼顶起飞，两架无人机同时匀速上升．甲、乙两架无人机所在的位置距离地面的高度y（单位：m）与无人机上升的时间x（单位：s）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．时，两架无人机都上升了
B．时，两架无人机的高度差为
C．乙无人机上升的速度为
D．时，甲无人机距离地面的高度是
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可得，
A．时，甲无人机上升了，乙无人机上升了，故错误；
C．甲无人机的速度为：，乙无人机的速度为：，故错误；
B．时，两架无人机的高度差为：，故正确；
D．时，甲无人机距离地面的高度是，故错误；
故选：B．
【分析】根据函数图象信息逐项进行判断即可求出答案.
8．已知一次函数的图像如图所示，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：从图上可以看出，一次函数、为常数，且的图象经过第二、三、四象限，
．
故答案为：A．
【分析】本题依据一次函数经过二、三、四象限，得出该一次函数为递减函数，即k＜0，而函数经过y的负半轴，即b＜0，从而得出答案。
9．如图，已知矩形沿着直线折叠，使点C落在处，交于E，，则的长为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-折叠问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：设，则
根据折叠的性质，得
∵
∴
∴
设
在直角三角形中，根据勾股定理，得
解得
故选：C.
【分析】本题考查矩形折叠问题，涉及矩形性质，平行线性质，等腰三角形判定及勾股定理.利用折叠性质得角相等，结合矩形对边平行推出等腰三角形，设未知数后在直角三角形中用勾股定理列方程求解，关键是梳理折叠前后角与边的关系，构建直角三角形模型.
10．如图，在正方形中，点E是边的中点，连接，点F是的中点，连接并延长，交边于点G，点H在边上，已知，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．6
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∵点E为的中点，，
∴，
∵F是的中点，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】本题考查正方形性质、全等三角形判定与勾股定理的综合，通过ASA证明 ，求出 和 的长度，再在 中用勾股定理计算 。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
本题考查了二次根式的乘法运算，熟知二次根式的乘法法则是解题关键.
二次根式的乘法法则：；根据二次根式的乘法运算法则，代入数据计算即可得出答案．
12．小明参加某公司招聘考试，他的笔试成绩是80分，面试成绩是70分，其中笔试成绩占综合成绩的，面试成绩占综合成绩的，则小明的综合成绩为　 　．
【答案】76分
【知识点】加权平均数及其计算
【解析】【解答】解：（分），
故答案为：76分．
【分析】本题考查加权平均数的计算，用各项成绩分别乘以对应的权重，再将乘积相加，即可得到加权平均后的综合成绩。
13．如图，直线与直线在同一平面直角坐标系中相交于点，则不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意得，不等式的解集为函数的图象在函数的图象上方时对应的自变量的取值范围，
又∵直线与直线在同一平面直角坐标系中相交于点，
∴结合图象可得，．
故答案为：．
【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，不等式的解集是直线 图象在直线 图象上方时对应的 取值范围，结合两直线交点坐标可直接确定解集。
14．如图，四边形是菱形，点A的坐标是，则点B的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵点A的坐标是，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴点B的坐标为，
故答案为：．
【分析】本题考查菱形的性质与两点间距离公式，先根据点 坐标求出 的长度，再由菱形四边相等的性质得到 长度，结合点 在 轴上确定其坐标。
15．“赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为　 　．
【答案】1
【知识点】几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【解答】解：∵，
∴小正方形面积为1，
∴小正方形边长为1，
故答案为：1．
【分析】利用利用割补法求出小正方形面积为1，再利用正方形的面积公式及算术平方根求出其边长即可.
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题8分，第17题6分，第18题7分，共21分．
16．计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的混合运算
【解析】【分析】(1)本题考查二次根式的混合运算，先依据二次根式乘除法则分别计算除法和乘法运算，再将两个结果相减得到最终值；
(2)本题考查乘法公式与二次根式混合运算，先用完全平方公式展开 ，用平方差公式计算 ，再合并同类项化简。
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
17．已知数a，b，c满足，请求的值．
【答案】解：∵，∴，，，
∴，，，
∴．
【知识点】偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】本题考查算术平方根、绝对值、平方数的非负性，几个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出 、、 的值，再代入代数式计算结果。
18．本学期某校举行了有关垃圾分类知识测试活动，并从该校七年级和八年级中各随机抽取40名学生的测试成绩，整理如下：小明将样本中的成绩进行了数据处理，如表为数据处理的一部分，根据图表，解答问题：
年级 平均数 众数 中位数 方差
七年级 7.5 7 7 2.8
八年级 a 8 b 2.35
（1）填空：表中的a＝ ，b＝ ；
（2）你认为 年级的成绩更加稳定，理由是 ；
（3）若规定6分及6分以上为合格，该校八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？
【答案】（1）7.5；7.5
（2）八，八年级成绩的方差小于七年级
（3）解：估计参如此次测试活动成绩合格的学生人数是1200×＝1080（人）．
【知识点】用样本估计总体；统计表；条形统计图
【解析】【解答】（1）解：由表可知，
八年级成绩的平均数a＝＝7.5，
所以a＝7.5；
八年级成绩最中间的2个数分别为7、8，
所以其中位数b＝＝7.5，
故答案为：7.5；7.5；
（2）解：八年级的成绩更加稳定，理由是八年级成绩的方差小于七年级，
故答案为：八，八年级成绩的方差小于七年级.
【分析】（1）利用平均数、中位数的定义及计算方法分析求解即可；
（2）利用方差的性质（方差越大，这组数据的波动越大，离散程度越大，稳定性也越小）及计算方法分析求解即可；
（3）先求出“合格”的百分比，再乘以1200可得答案.
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．小明以如图1的方式叠纸杯时发现：叠在一起的纸杯的高度y（）与纸杯的个数x（个）之间是一次函数关系，有关数据如表．
纸杯个数x（个） 1 2 3 4 …
纸杯高度y（） 9 10 …
（1）求y与x之间的函数表达式．
（2）小明把杯子叠成如图1的一摞，放入高的柜子里（如图2）．请帮小明算一算，一摞最多能叠几个杯子，可以竖着一次性放进柜子里？
【答案】（1）解：设y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且），分别将，和，代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）根据题意，得，解得，
∵x为非负整数，
∴一摞最多能叠67个杯子，可以竖着一次性放进柜子里．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】(1)本题考查待定系数法求一次函数解析式，设出一次函数一般式 ，代入两组 、 的对应值解方程组，求出 、 即可得到解析式；
(2)本题考查一次函数与一元一次不等式的应用，根据柜子高度列出不等式 ，求出 的最大整数解即为最多叠放的杯子数。
（1）解：设y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且），
分别将，和，代入，
得，
解得，
∴y与x之间的函数表达式为；
（2）根据题意，得，
解得，
∵x为非负整数，
∴一摞最多能叠67个杯子，可以竖着一次性放进柜子里．
20．如图，在等腰中，，平分，过点A作交的延长线于D，连接，过点D作交的延长线于E．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若，求的长．
【答案】（1）解：四边形是菱形，
理由：∵，平分，
∴，
∵
∴
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形.
（2）解：∵平分，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴4.
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AB=BC，即可证出四边形是菱形；
（2）先证出是等边三角形，可得，再结合，利用含30°角的直角三角形的性质求出，最后利用勾股定理求出DE的长即可.
21．综合与实践
某校“综合与实践”小组开展了测量游乐园秋千高度的实践活动．他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量，测量结果如表．
课题 测量游乐园秋千
成员 组长：小明 组员：小华、小丽、小红
工具 卷尺（受卷尺长度限制，无法直接测量秋千长度），量角器
测量示意图 如图所示，平台B处荡秋千到平台C处，垂直于地面，点A为秋千静止时在上的位置．过平台B、C分别作的垂线段、，即于点D，于点E．
测量数据 测量项目 测量大小
点B距地面高度
的长度
的长度
的大小
（1）根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出秋千的长度．
（2）请求出秋千离地面的最小距离．
【答案】（1）解：∵于点D，于点E，∴，
∵平台B处荡秋千到平台C处，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
在中，（）；
（2）解：由题意知，，，∴
（），
答：秋千离地面的最小距离为．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的应用；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】本题以秋千高度测量为背景，综合考查全等三角形的判定与性质（AAS）以及勾股定理的实际应用。
（1）通过已知垂直条件和 OB = OC，结合等角的余角相等证明 △COE △ OBD，得到 CE = OD，再在 Rt△ OBD 中利用勾股定理求出 OB 的长度；
（2）根据秋千最低点时 OA 垂直于地面，用 OB 减去 OA（即减去秋千静止时的垂直高度）得到离地面的最小距离。
（1）解：∵于点D，于点E，
∴，
∵平台B处荡秋千到平台C处，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
在中，（）；
（2）由题意知，，，
∴
（），
答：秋千离地面的最小距离为．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．如图1，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线与x轴、y轴分别交于D，C两点，并与直线相交于点．
（1）求直线的解析式；
（2）如图2，若P为直线上一动点，的面积，求点P的坐标；
（3）如图3，直线上一点Q位于第三象限，以为斜边向右侧作等腰直角，直角顶点H恰好落在x轴上，请直接写出Q点的坐标．
【答案】（1）解：把点代入得，
，
把代入得，
，
直线的解析式为；
（2）解：在中，令，则，
，
在中，令，则，
，
∴
设，
，
，或
解得或，
或；
（3）点的坐标为
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰直角三角形；一次函数中的面积问题
【解析】【解得】解：（3）在中，令，则，
，
，
设，
过Q作轴于，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为．
【分析】（1）将点E坐标代入可得，再根据待定系数法将点E坐标代入直线CD解析式即可求出答案.
（2）根据坐标轴上点的坐标特征可得，，根据两点间距离可得AD，设，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
（3）根据y轴上点的坐标特征可得，根据两点间距离可得，设，过Q作轴于，根据等腰直角三角形性质可得，再根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：把点代入得，
，
把代入得，
，
直线的解析式为；
（2）在中，令，则，
，
在中，令，则，
，
∴
设，
，
，或
解得或，
或；
（3）在中，令，则，
，
，
设，
过Q作轴于，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，
，
，
解得，
点的坐标为．
23．小星学习了正方形的相关知识后，对正方形进行了探究．
如图，为正方形的一条对角线，点E为上任意一点（点E不与点B，D重合），点G为中点，过点E作交边于点F，延长交于点H．
（1）问题探究：
如图①，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______；
（2）问题解决：
如图②，连接，求证：；
（3）拓展延伸：
如图③，连接并延长交于点M、连接，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1），
（2）证明：∵正方形，矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴.
（3）解：，
理由如下：连接，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，由（2）知：，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；矩形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】（1）解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵点G为中点，
∴，；
故答案为：，.
【分析】（1）先证出四边形为矩形，利用矩形的性质可得，证出为等腰直角三角形，再结合点G为中点，即可得到，；
（2）先求出，，再结合，，求出，再证出，最后利用全等三角形的性质可得；
（3）连接，先证出，利用全等三角形的性质可得，再求出，结合，证出垂直平分，再利用垂直平分线的性质、线段的和差及等量代换可得．
（1）解：∵正方形，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∵点G为中点，
∴，；
故答案为：，；
（2）∵正方形，矩形，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（3），理由如下：
连接，
∵为等腰直角三角形，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即：，
∴，
∵，
∴垂直平分，
∴，
∵，由（2）知：，
∴．
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