资源简介

2025-2026学年上海市浦东新区南汇中学高二（下）期中数学试卷
一、填空题（共12小题，每小题3分，满分36分）.
1．抛物线的焦点到准线的距离是　　．
2．若直线是双曲线的一条渐近线，则 　　 ．
3．函数，则　　 ．
4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 　　．
5．函数在区间，上的平均变化率为 　　．
6．若函数的图象在点，（2）处的切线方程是，则（2）（2） 　　 ．
7．已知随机变量的分布为，则　　 ．
8．从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则　　．
9．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为时，灯的深度为．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 　　．
10．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为 　　 ．
11．已知定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式的解集是　　 ．
12．在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，1为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为　　 ．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
13．已知事件与独立，若，则（B）（　　）
A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1
14．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（　　）
A． B． C． D．
15．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（　　）
A．函数在处取得极小值
B．函数在处取得极大值
C．在区间上单调递增
D．当，时，函数的最大值是
16．如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值．若点在曲线上，给出下列四个结论：①；②；③△面积的最大值为；④△周长的最小值为12；其中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④
三、解答题（第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）
17．袋中有3个红球，4个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察其颜色后放回．若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放2个红球；若取出的球是黑球，则将此黑球放回即可．
（1）求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率；
（2）求第二次取到红球的概率．
18．甲、乙两人进行某项比赛，采取三局两胜制，积分规则如下：比分为时，胜者积3分，败者积0分；比分为时，胜者积2分，败者积1分．设每局比赛甲取胜的概率均为．
（1）若甲以取胜的概率大于以取胜的概率，求的范围；
（2）若，求甲所得积分的分布列及数学期望．
19．某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成．经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于30米．设米，游乐场的面积为平方米．
（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
（2）求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，均不在轴上）．
（1）若△的周长为16，且的离心率为，求椭圆的方程；
（2）若，，直线被椭圆所截的弦长为，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点为椭圆的右顶点，过点（不同于点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求．
21．已知函数，．
（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，（2），求实数的值；
（2）设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围；
（3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
一、填空题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分）
1．抛物线的焦点到准线的距离是　4　．
[思路点拨]先根据抛物线的方程求出的值，即可得到答案．
解：由，知，而焦点到准线的距离就是．
故答案为：4．
2．若直线是双曲线的一条渐近线，则 　2　 ．
[思路点拨]先根据双曲线方程判断焦点位置，写出其渐近线方程，比较即得．
解：因双曲线的焦点在轴上，且，
故其渐近线方程为：，
又直线是双曲线的一条渐近线，
所以．
故答案为：2．
3．函数，则 ．
[思路点拨]根据导数的定义即可求解．
解：因为，所以，
故（2）．
故答案为：．
4．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 　　．
[思路点拨]根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解．
解：因为方程表示焦点在轴上的椭圆，
所以，解得，
即实数的取值范围为．
故答案为：
5．函数在区间，上的平均变化率为 　1　．
[思路点拨]根据题意，利用平均变化率计算即可．
解：根据题意，函数，
则其在区间，上的平均变化率为．
故答案为：1．
6．若函数的图象在点，（2）处的切线方程是，则（2）（2） 　3　 ．
[思路点拨]利用导数的几何意义得（2），将代入切线方程得（2）
解：因为的图象在点，（2）处的切线方程是，
所以（2），且（2），
所以（2）（2）．
故答案为：3．
7．已知随机变量的分布为，则 ．
[思路点拨]利用方差公式可求方差．
解：由题意，，
故．
故答案为：．
8．从3，4，5，6，7，8，9中任取两个不同的数，事件为“取到的两个数的和为偶数”，事件为“取到的两个数均为偶数”，则　　．
[思路点拨]用列举法，可得事件包含的基本事件有9个，事件包含的基本事件有3个，用古典概型计算公式算出（A）、，再由条件概率公式加以计算，可得的值．
解：事件：取到的两个数之和为偶数，所包含的基本事件有：、、，、，，，，，
（A），
事件：取到的两个数均为偶数，所包含的基本事件有，，，
，
由条件概率公式，可得．
故答案为：．
9．如图，探照灯反射镜由抛物线的一部分绕对称轴旋转而成，光源位于抛物线的焦点处，这样可以保证发出的光线经过反射之后平行射出．已知当灯口圆的直径为时，灯的深度为．为了使反射的光更亮，增大反射镜的面积，将灯口圆的直径增大到，并且保持光源与顶点的距离不变，此时探照灯的深度为 　60.5　 ．
[思路点拨]由已知建系求出抛物线的方程，然后根据题意即可求解．
解：在反射镜的轴截面上建立平面直角坐标系，以抛物线的顶点为原点，以旋转轴为轴（抛物线开口方向是轴的正方向），
则可设抛物线的标准方程为
灯口圆与轴截面在第一象限内的交点的坐标为，
代入抛物线方程得，解得，
所以抛物线方程为，光源应安置在与顶点相距处，
当灯口圆的直径增大到时，灯口圆与轴截面在第一象限的交点的纵坐标变为，
故将代入中，求得，
此时，探照灯的深度为．
10．在平面直角坐标系中，已知椭圆的上、下顶点分别为，，右焦点为，线段的延长线与交于点，若，则的离心率为 ．
[思路点拨]先写出直线的方程，由，得点的纵坐标为，再代入直线的方程，可得点的坐标，然后代入椭圆方程化简求解即可．
解：由题意知，，，，
所以直线的方程为，即，
若，则点的纵坐标为，
代入，得，解得，
所以，，
又点在椭圆上，
所以，整理得，
所以离心率．
故答案为：．
11．已知定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式的解集是， ．
[思路点拨]先根据条件，构造辅助函数，求导判断出在上单调递增；再将原不等式等价变形为（5），结合定义域与单调性，解不等式组即可得到解集．
解：构造函数，
则，
因为，，所以，
所以在上单调递增，
不等式，
可化为（5），
即（5），所以，解得，
所以不等式的解集是，．
故答案为：，．
12．在平面直角坐标系中，圆是以原点为圆心，1为半径的圆，直线与抛物线和圆分别相切于，两点，当最小时，的值为 ．
[思路点拨]先利用抛物线切线方程与圆相切的条件，用点到直线距离公式建立关于切点横坐标与的关系式，再由切线长公式表示出，通过基本不等式求最值的代数式，求出最小值成立的条件，最后回代算出．
解：因为抛物线和圆均关于轴对称，
因此只需研究与抛物线切于第一象限的直线，此时，因此，
设，，则直线的方程为，即，
因为直线与圆相切，则，化简得，
因为，
因此
，
当且仅当，即，即时，等号成立，
此时．
故答案为：．
二、选择题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）
13．已知事件与独立，若，则（B）（　　）
A．0.34 B．0.68 C．0.32 D．1
[思路点拨]根据相互独立事件和条件概率的公式求解．
解：因为事件与独立，所以（A）（B），
由条件概率的计算公式可得，．
故选：．
14．若方程表示双曲线，则此双曲线的虚轴长等于（　　）
A． B． C． D．
[思路点拨]根据双曲线标准方程直接求解．
解：方程，即为，
由方程表示双曲线，可得，
所以，，
所以虚轴长为．
故选：．
15．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（　　）
A．函数在处取得极小值
B．函数在处取得极大值
C．在区间上单调递增
D．当，时，函数的最大值是
[思路点拨]直接根据导数的正负判断函数的单调性及极值和最值可得．
解：由图可知当时，；当时，，因此函数在处取得极大值，故选项错误；
由图可知当时，；当时，，因此不是函数的极值点，故选项错误；
由图可知时，，因此函数在区间上单调递减，故选项错误；
当，时，，因此函数在区间，上单调递减，因此函数的最大值是，故选项正确．
故选：．
16．如图，造型为“”的曲线称为双纽线，其对称中心为坐标原点，且曲线上的点满足：到点和的距离之积为定值．若点在曲线上，给出下列四个结论：①；②；③△面积的最大值为；④△周长的最小值为12；其中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①②③ B．②③ C．①③④ D．①②③④
[思路点拨]根据给定条件，求出曲线的方程，结合曲线过原点求出，再结合基本不等式及二次函数逐项求解判断．
【解答】解；根据题意，，所以，
根据曲线过原点，那么可得，①正确；
，
当且仅当时取等号，解得，所以，
，所以，
解得，所以，②正确；
令，根据，那么可得，
那么，
当且仅当时，有最大值，，③正确；
，当且仅当，即时取等号，
因此在三角形中，，因此，
因此周长，因此三角形周长的最小值不是12，④错误．
故选：．
三、解答题（第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分）
17．袋中有3个红球，4个黑球，每次随机地从袋中取出一个球，观察其颜色后放回．若取出的球是红球，则将此红球放回后，再往袋中另放2个红球；若取出的球是黑球，则将此黑球放回即可．
（1）求在第一次取到红球的条件下，第二次取到黑球的概率；
（2）求第二次取到红球的概率．
[思路点拨]（1）根据题意，设事件第一次取到红球，事件第一次取到黑球，事件第二次取到红球，事件第二次取到黑球，分析第一次取到红球时，袋中球的情况，由古典概型公式计算可得答案；
（2）根据题意，由全概率公式可得，计算可得答案．
解：（1）根据题意，设事件第一次取到红球，事件第一次取到黑球，事件第二次取到红球，事件第二次取到黑球，
若第一次取到红球，袋中有5个红球，4个黑球，
则，
（2）根据题意，由全概率公式：
．
18．甲、乙两人进行某项比赛，采取三局两胜制，积分规则如下：比分为时，胜者积3分，败者积0分；比分为时，胜者积2分，败者积1分．设每局比赛甲取胜的概率均为．
（1）若甲以取胜的概率大于以取胜的概率，求的范围；
（2）若，求甲所得积分的分布列及数学期望．
[思路点拨]（1）根据独立事件概率的乘法公式，分析比分为和结束时的情况，求出事件概率，列出不等式，求出结果即可；
（2）根据比分情况，写出随机变量的所有取值，再根据独立事件概率的乘法公式，逐一求出事件概率，进而写出分布列，求出数学期望．
解：（1）每局比赛甲取胜的概率为，进行3局比赛，
若甲以取胜，则第三局甲胜，前两局甲胜一局，此时概率为，
若甲以取胜，则前两局甲胜，此时概率为，
则，因为，解得，
所以的范围为．
（2）可知随机变量可能的取值有0，1，2，3，
当时，，
，
，
，
所以甲所得积分的分布列为：
0 1 2 3
数学期望为．
19．某公园有一块如图所示的区域，该场地由线段、、及曲线段围成．经测量，，米，曲线是以为对称轴的抛物线的一部分，点到、的距离都是50米．现拟在该区域建设一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点，分别在线段，上，且该游乐场最短边长不低于30米．设米，游乐场的面积为平方米．
（1）试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程；
（2）求面积关于的函数解析式，并计算面积的最大值（结果精确到．
[思路点拨]（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，然后根据题意求解析式即可；
（2）分别求出在不同线段上的解析式，然后计算面积；在不同情况计算最大值，然后比较两个最大值就可以得到面积最大值．
解：（1）以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴，
建立平面直角坐标系．如图所示：
则，，，
设曲线段所在抛物线的方程为．
由题意可知，点和在此抛物线上，
所以，
故，，
所以曲线段的方程为：；
（2）因为点在曲线段上，
所以，
所以，
所以，
令，
又因为，
得，（舍去）．
当时，；当时，，
因此当时，是极大值，也是最大值；
所以当时，取得最大值，最大值为．
20．已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与交于，两点，均不在轴上）．
（1）若△的周长为16，且的离心率为，求椭圆的方程；
（2）若，，直线被椭圆所截的弦长为，求的值；
（3）在（1）的条件下，若点为椭圆的右顶点，过点（不同于点且斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点（点在，之间），若点为线段上的点，满足，且，求．
[思路点拨]（1）根据椭圆的概念和离心率的概念，求出椭圆的参数，写出标准方程；
（2）根据直线和椭圆的位置关系，以及椭圆的弦长公式，求出参数值即可；
（3）根据直线和椭圆的位置关系，联立方程组，根据韦达定理，求出参数值．
解：（1）根据题意作出示意图如下图所示：
，得，
，得，
则，
标准方程为；
（2）标准方程为，
设直线与椭圆的交点为，，，，
，消去得，
△时，即时，
，
弦长，
则，得；
（3）根据题意作出示意图如下图所示：
设，，，，直线的方程为，
，消去得，
△时，，
设点，，
易知，
则，得，
则，所以，
，则，所以，
则，化简得，解得或（舍，
所以．
21．已知函数，．
（1）若经过点的直线与函数的图像相切于点，（2），求实数的值；
（2）设，若函数在区间为严格递减函数时，求实数的取值范围；
（3）对于（2）中的函数，若函数有两个极值点为，，且不等式恒成立，求实数的取值范围．
[思路点拨]（1）由题意，对函数进行求导，根据导数的几何意义进行求解即可；
（2）对函数进行求导，将函数在区间为严格递减函数，转化成在区间上恒成立，构造函数，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性和极值，结合端点值即可求解；
（3）将函数有两个极值点为，，转化成方程在上有两个不同的根，根据根的判别式求出的取值范围，将不等式恒成立，转化成恒成立，通过构造函数，将问题转化成函数极值问题，进而即可求解．
解：（1）已知，函数定义域为，
可得，
此时（2），
因为经过点，（2）的切线经过原点，
所以，
即，
解得；
（2）因为，函数定义域为，
可得，
若函数在区间为严格递减函数，
此时在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，
又，（4），
所以，
则实数的取值范围为，；
（3）若函数有两个极值点为，，
即在上有两个不同的根，
此时方程在上有两个不同的根，
需满足△，且，，
解得，
若不等式恒成立，
即恒成立，
因为
，
不妨设（a），函数定义域为，
可得（a），
因为，
所以（a），（a）单调递减，
此时（a）（4），
则，
故实数的取值范围为，．

展开更多......

收起↑