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题组1　卫星变轨问题
1．我国“陆地探测四号01星”卫星入轨成功，可全天候扫描亚太地区．该卫星发射后先在椭圆过渡轨道运动，在近地点A的速度为vA，远地点P的速度为vP.飞行一定时间后在P点进入圆运行轨道，在圆运行轨道速度为vB.则(　　)
A．vA＞vP＝vB　　　 B．vA＞vB＞vP
C．vB＞vP＞vA D．vB＞vA＞vP
解析：选B.由开普勒第二定律可知，近地点速度大于远地点速度，即vA＞vP，因为从椭圆轨道变轨到圆周轨道，要在P点点火加速，故有vB＞vP，若以地球为圆心，以A点到圆心距离为半径作一圆轨道，该轨道半径比B点的半径小，由公式G＝m，得v＝，可知A点所在圆轨道的速度大于B点所在圆轨道的速度，A点所在圆轨道变成题图中的椭圆轨道需要点火加速，所以A点所在圆轨道的速度小于vA，可得vA＞vB，即vA＞vB＞vP.
2.小智利用元宇宙模拟载人飞船实现登月，飞船在轨道Ⅱ绕月球做匀速圆周运动，在M点变轨后进入登陆轨道Ⅰ，N点为登月着陆点，则下列说法正确的是(　　)
A．飞船在轨道Ⅱ的速度可能大于7.9 km/s
B．飞船在轨道Ⅱ经过M点时的速度小于在轨道Ⅰ经过M点时的速度
C．飞船在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期
D．小智登月后用一个弹簧测力计和一质量为m的砝码即可估测月球的质量
解析：选C.根据＝m，解得v＝，可知飞船在轨道Ⅱ的速度小于月球的第一宇宙速度，又因为地球的第一宇宙速度为7.9 km/s且大于月球的第一宇宙速度，所以飞船在轨道Ⅱ的速度小于7.9 km/s，故A错误；飞船在轨道Ⅱ经过M点时减速变轨可以进入轨道Ⅰ，所以飞船在轨道Ⅱ经过M点的速度大于在轨道Ⅰ经过M点时的速度，故B错误；根据＝mr，解得T＝，可知飞船在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期，故C正确；小智登月后用一个弹簧测力计和一质量为m的砝码，根据F＝mg，可以计算出月球表面的重力加速度g，月球半径未知，根据＝mg可知，不能估测月球的质量，故D错误．
题组2　卫星相距“最近”“最远”问题
3．(多选)“火星合日”是指火星、太阳、地球三者之间形成一条直线时，从地球的方位观察，火星位于太阳的正后方，火星被太阳完全遮蔽的现象，如图所示．已知地球、火星绕太阳运动的方向相同，若把火星和地球绕太阳运动的轨道视为圆，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，由此可知(　　)
A．“火星合日”每年都会出现至少一次
B．“火星合日”不是每年都会出现
C．火星的公转半径约为地球公转半径的 　倍
D．火星的公转半径约为地球公转半径的8倍
解析：选BC.根据题意有t－t＝2π，解得t＝＝2T地，故“火星合日”约每2年出现一次，B正确，A错误；根据G＝mr，得r＝，火星绕太阳公转周期约等于地球公转周期的2倍，则火星的公转半径约为地球公转半径的 　倍，C正确，D错误．
题组3　双星模型问题
4．宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称为双星系统．设某双星系统中A、B两星球绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示，A星球的轨道半径大于B星球的轨道半径，则(　　)
A．星球A受到的引力一定大于星球B受到的引力
B．星球A的周期一定大于星球B的周期
C．星球A的角速度一定大于星球B的角速度
D．星球A的向心加速度一定大于星球B的向心加速度
解析：选D.星球A受到的引力与星球B受到的引力就是二者之间的万有引力，大小相等，A错误；双星系统中两颗星的周期相等，角速度相等，B、C错误；根据a＝ω2r可知，半径大的向心加速度大，故星球A的向心加速度一定大于星球B的向心加速度，D正确．
5.(多选)经长期观测，人们在银河系中发现非常多的双星系统．如图所示为P、Q两颗恒星组成的双星系统，P、Q绕连线上一点O做圆周运动，测得P、Q两颗恒星间的距离为L，质量之比为3∶1，恒星Q的周期为T，下列说法正确的是(　　)
A．P做圆周运动的周期小于Q做圆周运动的周期
B．P、Q做圆周运动的半径之比为1∶3
C．P、Q做圆周运动的向心加速度之比为1∶3　
D．P、Q两颗恒星质量之和为
解析：选BCD.双星系统的角速度相同、周期相同，故A错误；双星系统中两颗星体之间的万有引力提供各自做圆周运动的向心力，有G＝mPω2rP＝mPrP＝mPaP，＝mQω2rQ＝mQ·rQ＝mQaQ，其中rP＋rQ＝L，解得mP＝，mQ＝，aP＝G，aQ＝，则有＝＝，＝＝，mP＋mQ＝，故B、C、D正确．
6.“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比m1∶m2＝3∶2，则可知(　　)
A．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
B．m1、m2做圆周运动的向心力之比为3∶2
C．m1、m2做圆周运动的半径之比为3∶2
D．m1、m2做圆周运动的线速度之比为2∶3
解析：选D.根据双星系统的特点可知，m1、m2做圆周运动的角速度相同，即角速度之比为1∶1，故A错误；万有引力提供向心力，由于相互作用的万有引力大小相等，所以m1、m2做圆周运动的向心力大小相等，即向心力之比为1∶1，故B错误；由于m1、m2做圆周运动的向心力大小相等，则有m1ω2r1＝m2ω2r2，可得m1、m2做圆周运动的半径之比r1∶r2＝m2∶m1＝2∶3，根据v＝ωr，由于角速度相等，则m1、m2做圆周运动的线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，故C错误，D正确．
7．如图，某卫星位于地月第二拉格朗日点，第二拉格朗日点是地月连线延长线上的一点，处于该位置上的卫星与月球同步绕地球公转．下列关于卫星的说法正确的是(　　)
A．卫星的周期大于月球的周期
B．卫星的角速度小于月球的角速度
C．卫星的线速度大于月球的线速度
D．卫星的向心加速度小于月球的向心加速度
解析：选C.由题知，处于该位置上的卫星与月球同步绕地球公转，可知卫星的周期等于月球的周期，卫星的角速度等于月球的角速度，故A、B错误；由于卫星的角速度等于月球的角速度，由题图可看出卫星绕地球公转的半径大于月球绕地球公转的半径，根据v＝ωr，可知卫星的线速度大于月球的线速度，故C正确；根据a＝ω2r，可知卫星的向心加速度大于月球的向心加速度，故D错误．
8.(多选)天文观测已经证实，三星系统是常见的，甚至在已知的大质量恒星群中占主导地位．如图所示，P、O、S三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，已知等边三角形边长为l，三颗星做匀速圆周运动的周期为T，引力常量为G，忽略其他星体对它们的引力作用，则(　　)
A．三颗星的质量可能不相等
B．三颗星的质量均为
C．三颗星的线速度大小均为
D．任意一颗星所受的向心力大小为
解析：选BC.根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，则这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，同理可得三颗星的质量一定相同，故A错误；轨道半径等于等边三角形外接圆的半径r＝l，设三颗星的质量为m，根据牛顿第二定律可得2cos 30°＝mr，解得三颗星的质量均为m＝，故B正确；线速度大小v＝＝，故C正确；任意一颗星所受的向心力大小Fn＝mr＝，故D错误．
9．(10分)如图所示，在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角α＝60°，设地球半径为R，地球表面两极处的重力加速度为g.
(1)求A做圆周运动的角速度ωA.(4分)
(2)已知地球自转周期为T，赤道上有一个航天测控站B，求A、B从相距最近到开始不能直接通信的间隔时间t(卫星信号传输时间可忽略).(6分)
解析：(1)设地球质量为M，卫星A的质量为m，A的轨道半径r＝
万有引力提供向心力G＝mωr，＝m0g
解得ωA＝.
(2)根据角度关系ωAt－t＝
解得t＝.
答案：(1) 　(2)(共33张PPT)
第三章 万有引力定律
第一节　认识天体运动
学习目标
1．了解人类对行星运动规律的认识历程．　
2.知道开普勒定律的内容．
3．能用开普勒定律分析一些简单的行星运动问题．
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、从地心说到日心说
1．地心说：________是静止不动的，位于宇宙中心，太阳、月亮以及其他行星都绕着________运动．
2．日心说：________是宇宙的中心，地球和其他行星都围绕________运动．
3．局限性：都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，而与丹麦天文学家第谷的观测数据不符．
地球
地球
太阳
太阳
二、开普勒定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是________，太阳处在________的一个________上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过_____________．
椭圆
椭圆
焦点
相等的面积
半长轴的三次方
周期的二次方
√
×　
×　
√
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　对开普勒定律的理解
1．行星的轨道问题
行星的轨道都是椭圆，如图甲所示．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图乙所示，即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳．
2．速度大小问题
(1)如图所示，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．

(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点．同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小．
√
角度1　对开普勒第一定律和第二定律的理解
火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．木星和火星绕太阳运行速度的大小始终不变
C．太阳在火星与木星公转的椭圆轨道的同一个焦点上
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
[解析]　根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行轨道的焦点位置，A错误；
根据开普勒第二定律可知，木星和火星绕太阳运行速度的大小不是始终不变，在离太阳较近时速度较大，离太阳较远时速度较小，B错误；
根据开普勒第一定律可知，太阳相对于所有行星轨道的位置是不变的，太阳在所有行星轨道的同一个焦点上，C正确；
根据开普勒第二定律可知，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积相等，但是不等于木星与太阳连线扫过的面积，D错误．
√
某行星绕太阳运动的轨道如图所示，则以下说法正确的是(　　)
A．该行星在a点的向心加速度比在b、c两点的都大
B．该行星在a点的速度比在b、c两点的速度都更小
C．行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积是不相等的
D．行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳在圆心上
根据开普勒第二定律可知近日点速度大、远日点速度小，所以该行星在a点的速度比在b、c两点的速度都更大，B错误；
由开普勒第二定律得，相等时间内太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积是相等的，C错误；
由开普勒第一定律可知，行星绕太阳做椭圆运动，太阳一定在椭圆的一个焦点上，D错误．
√
√
[解析]　k只与中心天体有关，与其他行星无关，故A正确；
T表示行星运动的公转周期，故B错误，C正确；
知识点二　开普勒定律的应用
√
[解析]　根据开普勒第二定律，近月点速度快，远月点速度慢，可知嫦娥六号在弧cbd上的平均速度小于在弧dac上的平均速度，弧cbd的长度为环月椭圆轨道周长的一半，故再经过二分之一周期它将位于轨道的bd之间．
√
√
太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示．(AU表示天文单位，1AU等于地球和太阳之间的平均距离)
项目 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
根据题中信息，下列说法正确的是(　　)
A．海王星相邻两次冲日的时间间隔不同
B．天王星相邻两次冲日的时间间隔最长
C.火星相邻两次冲日的时间间隔最长
D．木星相邻两次冲日的位置一定相同
根据前面选项分析可知，发生两次“行星冲日”的时间间隔是确定的，但是地外某颗行星相邻两次冲日的位置不一定相同，故D错误．
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(对开普勒定律的理解)(多选)下列对开普勒第二定律理解正确的是(　　)
A．行星绕太阳的运动，一定是匀速曲线运动
B．行星绕太阳的运动，一定是变速曲线运动
C．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度
√
解析：根据开普勒第二定律可知，行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等，故离太阳近时运动速度大，离太阳远时运动速度小，所以行星绕太阳运动时，一定是变速曲线运动．
√
2．(对开普勒定律的理解)(多选)经过71年的长途跋涉，编号为12P/Pons－Brooks的彗星(以下简称12P彗星)于2024年4月21日通过近日点。若只考虑12P彗星与太阳的作用力，下列说法正确的是(　　)
A．太阳处在12P彗星椭圆轨道的中心点上
B．12P彗星在近日点的速度比在远日点的速度大
C．12P彗星轨道半长轴的三次方与它公转周期的二次方的比值是一个定值
D．在远离太阳的过程中，12P彗星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积逐渐增大
√
解析：根据开普勒第一定律可知，太阳处在12P彗星椭圆轨道的焦点上，A错误；
根据开普勒第二定律可知，12P彗星在近日点的速度比在远日点的速度大，B正确；
根据开普勒第三定律可知，12P彗星轨道半长轴的三次方与它公转周期的二次方的比值是一个定值，C正确；
根据开普勒第二定律可知，在远离太阳的过程中，12P彗星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，D错误．
√
3．(开普勒定律的应用)某人造地球卫星绕地球运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，卫星在A点的速率比在B点的大，则地球位于(　　)
A．F2　　　　　　　　　 B．O
C．F1 D．B
解析：根据开普勒第二定律可知，地球和卫星的连线在相等的时间内扫过相同的面积，因为卫星在A点的速率比在B点的速率大，所以地球位于F2.
√
解析：由开普勒第二定律可知地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，故A错误；
地球经历春、夏、秋、冬，由题图可知是逆时针方向运行，冬至为近日点，运行速度最大，夏至为远日点，运行速度最小，所以从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故B错误；
根据开普勒第一定律可知，太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故C正确；第二节　认识万有引力定律
　 eq \a\vs4\al()
1．知道太阳与行星间存在引力．　2.能利用开普勒定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星之间引力的表达式．　3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件．　4.认识万有引力定律的普遍性，能应用万有引力定律解决实际问题．
一、行星绕日运动原因的探索
1．科学家的观点
(1)伽利略：行星的运动与地面物体的运动遵循不同的规律，行星运动是由“惯性”自行维持的．
(2)开普勒：行星的运动是由于太阳磁力吸引的缘故，磁力与距离成反比．
(3)笛卡儿：宇宙由不停旋转着的微粒所组成，微粒的运动形成旋涡，太阳和行星在各自的旋涡中心，行星旋涡带动卫星运动，太阳的旋涡带动行星和卫星一起运动．
(4)胡克：行星的运动是太阳引力的缘故，并且力的大小与到太阳距离的平方成反比．重力是由地球引力引起的．
2．英国天文学家雷恩和哈雷按照圆形轨道，对行星与太阳间的引力问题推导得出F引∝．牛顿将关于物体运动的研究成果整合起来，明确证明了行星在椭圆轨道所受的引力与它到太阳距离的平方成反比．
二、万有引力定律的发现
1．牛顿通过引入质点的概念并根据牛顿第三定律得出F引＝F引′∝．
2．以“平抛石头”思想实验和月球轨道附近自由落体运动位移的证明为基础，牛顿把引力推广到所有行星，乃至所有物体之间，由此发现了万有引力定律．
三、万有引力定律的表达式
1．万有引力定律的内容：宇宙间的一切物体都是互相吸引的．两个物体间引力的方向在它们的连线上．引力的大小与它们质量的乘积成正比，与它们之间距离的二次方成反比．
2．数学表达式：F＝G．
3．引力常量：首先由英国科学家卡文迪许利用扭秤实验装置测出．大小G＝6.67×10-11 N·m2/kg2.
判断下列说法是否正确．
(1)行星绕太阳运动的向心力来自太阳对行星的吸引力.(　　)
(2)把行星绕太阳的运动看作匀速圆周运动时，匀速圆周运动的规律同样适用于行星运动.(　　)
(3)太阳与行星间作用力的公式F＝G也适用于行星与它的卫星之间．(　　)
(4)两个普通物体间感受不到万有引力，这说明万有引力只存在于天体之间．(　　)
(5)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间.(　　)
(6)引力常量是牛顿首先测出的．(　　)
提示：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)×
知识点一　太阳和行星间的引力
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动．
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上．
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力
(2)太阳与行星间的引力
3．太阳与行星间的引力特点
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离．太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向．
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵循牛顿第三定律．
　(多选)下列关于太阳对行星的引力的说法正确的是(　　)
A．太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与太阳的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成反比
C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
[解析]　太阳对行星的引力规律是牛顿将开普勒行星运动定律结合圆周运动规律推导出来的，它不是实验得出的，太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，故A、D正确，C错误；根据太阳对行星的引力公式F＝G可知，太阳对行星的引力大小与行星的质量成正比，与行星和太阳间距离的二次方成反比，故B错误．
[答案]　AD
知识点二　月—地检验
1．检验目的：验证维持月球绕地球运动的力、使物体下落的力，与使地球绕太阳运动的力是同一种性质的力，遵循相同的规律．
2．理论分析：设地球半径为R，地球与月球间距离为r.对月—地系统有＝m月a月，对物—地系统有＝m物g，则a月＝g，已知r＝60 R，g＝9.8 m/s2，则a月＝g≈2.7×10-3 m/s2.
3．实际观测：月球绕地球运动的周期T＝27.3天，地球与月球间距离r＝3.8×108 m，则月球运动的向心加速度a月＝r≈2.7×10-3 m/s2，与理论分析结果一致．
4．检验结果
理论分析与实际观测符合得很好．这表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力是同一种性质的力，遵循相同的规律．
　1687年牛顿在总结了前人研究成果的基础上推理得出了万有引力定律，并通过“月—地检验”，证明了地球对地面苹果的引力与地球对月球的引力具有相同的性质，遵循同样的规律．那么在已知月地距离约为地球半径60倍的情况下，要完成“月—地检验”，需要验证(　　)
A．月球表面的重力加速度约为地球表面的
B．苹果在月球表面受到的引力约为在地球表面的
C．地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的
D．月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的
[解析]　设地球质量为M，地球半径为R，月球质量为m月，苹果质量为m0，若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，则需验证G＝m月a月，G＝m0g，即＝，故D正确，A、B、C错误．
[答案]　D
知识点三　对万有引力定律的理解
　 eq \a\vs4\al()
无论是太阳与行星、地球与月球以及任何物体之间都存在万有引力．
(1)公式F＝G中r的含义是什么？
(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝G计算出来吗？
[提示]　(1)r指的是两个质点间的距离．
(2)不能．万有引力定律的表达式F＝G只适用于质点之间、质量分布均匀的球体之间的计算，形状不规则、质量分布不均匀的物体间的距离不易确定．
1．F＝G的适用条件
(1)万有引力定律的公式适用于计算质点间的相互作用，当两个物体间的距离比物体本身大得多时，可用此公式近似计算两物体间的万有引力．
(2)质量分布均匀的球体间的相互作用，可用此公式计算，式中r是两个球体球心间的距离．
(3)一个均匀球体与球外一个质点的万有引力也可用此公式计算，式中的r是球体球心到质点的距离．
2．引力常量G
(1)对G值的理解
①目前引力常量推荐的标准值G＝6.674 08(31)×10-11 N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10-11 N·m2/kg2.
②引力常量有单位，单位符号为N·m2/kg2.
③意义：在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互作用力．
④因为引力常量G很小，我们日常生活中接触的物体的质量又不是很大，所以我们很难察觉到物体之间的引力．
(2)引力常量的测定
扭秤实验装置是借助实验转换法，将小球和大球之间的万有引力测量转化为对金属丝扭转角度的测量；又利用横杆与光学仪器，将金属丝扭转角度的测量转化为对光斑在刻度尺上移动距离的测量；再借助实验放大法，通过光路放大光斑在刻度尺上移动的距离，以提高测量精度．
(3)引力常量测定的意义
①卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．
②引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值．
③卡文迪许扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效法，合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代．
角度1　万有引力定律的理解
　下列关于万有引力定律说法正确的是(　　)
A．牛顿发现了万有引力定律，伽利略测得了引力常量
B．两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力
C.根据表达式F＝G可知，当r趋近于零时，万有引力趋近于无穷大
D．根据表达式F＝G得G＝，由此可知引力常量G与F、r、m1、m2有关
[解析]　牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许利用扭秤实验测得了引力常量，故A错误；根据牛顿第三定律可知，两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力，故B正确；F＝G适用于两质点之间的万有引力，当r趋近于零时，两物体已经不能够看为质点，该表达式不适用，故C错误；根据F＝G可以得到G＝，但G是一个常量，该常量与F、r、m1、m2无关，故D错误．
[答案]　B
　(2025·梅州期末)从平原到高原过程中，地球对汽车的引力F随高度h的变化关系图像可能是(　　)
[解析]　设地球质量为M，地球半径为R，汽车质量为m，根据万有引力定律可得F＝.
[答案]　C
角度2　万有引力定律的应用
　(2025·惠州市期中)将月球视为质量分布均匀的球体，其质量为M，半径为R.嫦娥六号探测器在距月球表面高度为h的环月圆轨道做匀速圆周运动．下列说法正确的是(　　)
A．在该轨道上嫦娥六号探测器受到月球的万有引力大小为G
B．在该轨道上嫦娥六号探测器受到月球的万有引力大小为G
C.在该轨道上嫦娥六号探测器受到月球的万有引力大小为G
D．万有引力定律只适用于天体之间的相互作用
[解析]　在该轨道上嫦娥六号探测器到月心的距离为R＋h，受到月球的万有引力大小F＝G，故A、B错误，C正确；万有引力定律不仅适用于天体之间，故D错误．
[答案]　C
角度3　填补法的应用
　如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)(　　)
A．G　　　　　 B．G
C．G D．0
[解析]　设球的密度为ρ，若填满空腔，以为半径的球内的物质对m有吸引力，根据万有引力定律得F＝G，而πR3ρ＝M，整理可得F＝G，而根据对称性，挖去部分对m的吸引力恰好为零，因此大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为G.
[答案]　B
1．(太阳与行星间的引力)(多选)关于太阳与行星间的引力，下列说法正确的是(　　)
A．太阳与行星间的引力只与太阳与行星的质量有关
B．行星绕太阳沿椭圆轨道运动时，在近日点所受引力大，在远日点所受引力小
C．由F＝G可知，G＝，由此可见G与F和r2的乘积成正比，与m太和m的乘积成反比
D．行星绕太阳的椭圆轨道可近似看成圆轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力
解析：选BD.根据F＝可知，F与行星质量m、太阳质量m太和轨道半径r均有关，A错误；根据F＝G 知，太阳对行星的引力大小与m、r有关，对同一行星，r越小，F越大，r越大，F越小，故B正确；公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、m太和m均无关，可知C错误；通常的研究中，行星绕太阳的运动轨道可近似看成圆轨道，其向心力由太阳对行星的引力提供，D正确．
2．(对万有引力定律的理解)(多选)关于万有引力定律，下列说法正确的是(　　)
A．牛顿最早测出G值，使万有引力定律有了真正的实用价值
B．牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球的引力都遵从同样的规律
C．由F＝G可知，距离r一定时，m1与m2的乘积越大，相互作用的两个天体间的万有引力越大
D．引力常量G值的大小与中心天体选择有关
解析：选BC.最早测出G值的是卡文迪许，不是牛顿，故A错误；牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球的引力都遵从同样的规律，故B正确；由公式F＝G可知，G为常量，r一定时，m1与m2的乘积越大，F越大，故C正确；引力常量G是一个定值，它的大小与中心天体选择无关，故D错误．
3．(万有引力定律的应用)天宫二号是我国自主研发的第二个空间实验室，若天宫二号质量为m，在离地球表面高度为h的轨道上正常运行，地球质量为M、半径为R，G为引力常量，则地球对天宫二号万有引力的大小为(　　)
A．G B．G
C．G D．G
解析：选D.根据F＝G，题中r＝R＋h，则地球对天宫二号万有引力的大小为G.
4．(引力常量的测定)历史上，第一个在实验室测量出引力常量的科学家是(　　)
A．开普勒 B．哥白尼
C．卡文迪许 D．伽利略
解析：选C.卡文迪许在实验室利用扭秤实验首次测出了引力常量．题组1　太阳和行星间的引力
1．太阳与行星间的引力大小F＝G，其中G为比例系数，M和m分别为太阳和行星的质量，r为两者之间的距离，由此关系式可知G的单位是(　　)
A．N·m2/kg2　　　　 B．N·kg2/m2
C．m4/(kg·s2) D．kg·m/s2
解析：选A.太阳与行星间的引力大小F＝G，则G＝，故G的单位为＝＝.
2．关于太阳与行星间引力的公式F＝，下列说法正确的是(　　)
A．公式中的G是引力常量，是人为规定的
B．太阳与行星间的引力是一对平衡力
C．公式中的G是比例系数，与太阳、行星都没有关系
D．公式中的G是比例系数，与太阳的质量有关
解析：选C.太阳与行星间引力的公式F＝，公式中的G是引力常量，不是人为规定的，与太阳、行星都没有关系，故A、D错误，C正确；太阳与行星间的引力是一对相互作用力，故B错误．
题组2　月—地检验
3．“月—地检验”为万有引力定律的发现提供了事实依据．已知地球半径为R，地球中心与月球中心的距离r＝60R，下列说法正确的是(　　)
A．卡文迪许为了检验万有引力定律的正确性首次进行了“月—地检验”
B．“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是不同性质的力
C．月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等
D．由万有引力定律可知，月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度是地面重力加速度的
解析：选C.牛顿为了检验万有引力定律的正确性，首次进行了“月—地检验”，故A错误；“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同种性质的力，故B错误；月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等，所以证明了万有引力定律的正确性，故C正确；物体在地球表面所受的重力等于地球对物体的万有引力，则有mg＝，月球在引力提供的向心力作用下绕地球做匀速圆周运动，则有＝m月a，联立以上两式可得a∶g＝1∶3 600，即月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度是地面重力加速度的，故D错误．
题组3　对万有引力定律的理解
4．对于质量不同的两个物体间的万有引力，下列说法正确的是(　　)
A．质量大的物体受到的万有引力大
B．两个物体间的万有引力总是大小相等、方向相反的
C．两个物体间的距离越大，万有引力越大
D．当两个物体间的距离趋于零时，万有引力趋于无穷大
解析：选B.两个物体间的万有引力为相互作用力，由牛顿第三定律可知，两个物体间的万有引力总是大小相等、方向相反的，故A错误，B正确；由F＝G，两个物体间的距离越大，万有引力越小，故C错误；当两个物体间的距离趋于零时，两物体不能看成质点，公式F＝G不再适用，万有引力不趋于无穷大，故D错误．
5．如图所示，两质量均匀分布的小球半径分别为R1、R2，相距R，质量为m1、m2，则两球间的万有引力大小为(　　)
A．G eq \f(m1m2,R)　　　　　 B．G
C．G D．G eq \f(m1m2,R)
解析：选B.两质量均匀分布的小球可以看作质量位于球心的质点，则两球间的万有引力大小F＝G.
6．(2024·广西卷，T1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同．图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　)
A．a处最大
B．b处最大
C．c处最大
D．a、c处相等，b处最小
解析：选A.根据F＝G，可知题图中a处单位质量的海水受到月球的引力最大．
7．万有引力定律的发现，是17世纪自然科学最伟大的成果之一．它把地面上物体运动的规律和天体运动的规律统一起来，在天文学上和宇宙航行计算方面有着广泛的运用．现有两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力为F，若两球心间的距离变为原来的两倍，则此时两球间的万有引力变为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.两个质地均匀完全相同的实心球，它们间的万有引力为F，则有F＝G，两球心间的距离变为原来的两倍，则此时两球间的万有引力变为F′＝G，解得F′＝.
8．要使相距较远的两物体间的万有引力增加到原来的4倍，下列方法不可行的是(　　)
A．使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变
B．使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变
C．使两物体间的距离减小为原来的 ，质量不变
D．使两物体间的距离和两个物体质量都减小为原来的
解析：选D.根据万有引力定律公式F＝可知，使两物体的质量各变成原来的2倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，A不符合题意；根据万有引力定律公式F＝可知，使其中一个物体的质量增加到原来的4倍，距离不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，B不符合题意；根据万有引力定律公式F＝可知，使两物体间的距离减少为原来的 ，质量不变，两物体间的万有引力增加到原来的4倍，故可行，C不符合题意；根据万有引力定律公式F＝可知，使两物体间的距离和两个物体质量都减少为原来的，两物体间的万有引力不变，故不可行，D符合题意．
9．物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一.1687年牛顿发现了万有引力定律，但并没有得出引力常量．直到1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量．关于这段历史，下列说法错误的是(　　)
A.卡文迪许被称为“首个测量地球质量的人”
B．万有引力定律是牛顿和卡文迪许共同发现的
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
解析：选B.卡文迪许通过测出的引力常量进而测出了地球的质量，被称为“首个测量地球质量的人”，A正确；万有引力定律是牛顿发现的，B错误；实验利用了放大的原理，提高了测量的精确程度，C正确；引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小，D正确．
10．如图所示，三颗质量均为m的地球卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上．设地球质量为M，半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)
A．地球对一颗卫星的引力大小为
B．一颗卫星对地球的引力大小为
C．两颗卫星之间的引力大小为
D．三颗卫星对地球引力的合力大小为
解析：选C.根据题意，由万有引力定律可得，地球与每一颗卫星之间的引力大小F＝，故A、B错误；由几何关系可得，两颗卫星之间的距离d＝r，由万有引力定律可得，两颗卫星之间的引力大小F1＝＝，故C正确；卫星对地球的引力均沿卫星、地球间的连线向外，由于三颗卫星质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，根据几何关系可知，地球受到三个卫星的引力大小相等、方向成120°角，所以合力为0，故D错误．
11．设地球的质量均匀分布，地球半径为R.现在距离地面R处静止释放一个小物块，当小物块落到地面时，正好掉进一条贯穿地心的细直管道，则物体由静止开始运动到地球球心的过程中，关于加速度大小说法正确的是(　　)
A．一直变大 B．先变大后不变
C．先变大后变小 D．先不变后变小
解析：选C.设小物块到地面的高度为h，则其落到地面之前，有a＝＝＝可知，该过程加速度逐渐变大，根据质量均匀分布的球壳对球壳内任一位置处的物体的万有引力为零，可知小物体进入管道后a＝＝＝Gρπr，其中，r为小物块到地心的距离，可知该过程加速度变小．
12．如图所示，一质量分布均匀的球体，半径为R，现从其内部挖出一半径为的小球体，放置于原球体右侧位置，已知O1、O2、O3在一条直线上，且O2、O3相距2R，引力常量为G，挖出的小球体质量为m，则挖出的小球体跟球体剩余部分之间的万有引力大小为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.根据题意可知被挖出的小球体的体积为原球体的，质量也为原球体的，则原球体质量为8m.根据割补法可知，没挖之前球体对小球体的引力减去被挖部分对小球体的引力，就是剩余部分对小球体的引力，则挖出的小球体跟球体剩余部分之间的万有引力大小F＝－＝，故B正确，A、C、D错误．
13．(8分)如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R.如果从球的正中心挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方．求两球之间的引力大小．
解析：根据匀质球的质量与其半径的关系
M＝ρ×πR3
可知两部分的质量分别为
m＝ρ×π＝
M′＝M－m＝
根据万有引力定律，可得两球之间的引力
F＝G＝.
答案：(共25张PPT)
课后达标检测
√
√
太阳与行星间的引力是一对相互作用力，故B错误．
√
解析：牛顿为了检验万有引力定律的正确性，首次进行了“月—地检验”，故A错误；
“月—地检验”表明地面物体所受地球的引力与月球所受地球的引力是同种性质的力，故B错误；
月球由于受到地球对它的万有引力而产生的加速度与月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度相等，所以证明了万有引力定律的正确性，故C正确；
√
题组3　对万有引力定律的理解
4．对于质量不同的两个物体间的万有引力，下列说法正确的是(　　)
A．质量大的物体受到的万有引力大
B．两个物体间的万有引力总是大小相等、方向相反的
C．两个物体间的距离越大，万有引力越大
D．当两个物体间的距离趋于零时，万有引力趋于无穷大
解析：两个物体间的万有引力为相互作用力，由牛顿第三定律可知，两个物体间的万有引力总是大小相等、方向相反的，故A错误，B正确；
√
√
6．(2024·广西卷，T1)潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同．图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在(　　)
A．a处最大
B．b处最大
C．c处最大
D．a、c处相等，b处最小
√
√
√
9．物理学领域中具有普适性的一些常量，对物理学的发展有很大作用，引力常量就是其中之一.1687年牛顿发现了万有引力定律，但并没有得出引力常量．直到1798年，卡文迪许首次利用如图所示的装置，比较精确地测量出了引力常量．关于这段历史，下列说法错误的是(　　)
A.卡文迪许被称为“首个测量地球质量的人”
B．万有引力定律是牛顿和卡文迪许共同发现的
C．这个实验装置巧妙地利用放大原理，提高了测量精度
D．引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小
解析：卡文迪许通过测出的引力常量进而测出了地球的质量，被称为“首个测量地球质量的人”，A正确；
万有引力定律是牛顿发现的，B错误；
实验利用了放大的原理，提高了测量的精确程度，C正确；
引力常量不易测量的一个重要原因就是地面上普通物体间的引力太微小，D正确．
√
卫星对地球的引力均沿卫星、地球间的连线向外，由于三颗卫星质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，根据几何关系可知，地球受到三个卫星的引力大小相等、方向成120°角，所以合力为0，故D错误．
√
11．设地球的质量均匀分布，地球半径为R.现在距离地面R处静止释放一个小物块，当小物块落到地面时，正好掉进一条贯穿地心的细直管道，则物体由静止开始运动到地球球心的过程中，关于加速度大小说法正确的是(　　)
A．一直变大 B．先变大后不变
C．先变大后变小 D．先不变后变小
√
13．(8分)如图所示，一个质量为M的匀质实心球，半径为R.如果从球的正中心挖去一个直径为R的球，放在相距为d的地方．求两球之间的引力大小．1．关于行星运动的规律，下列说法正确的是(　　)
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的中心处
B．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大
C．离太阳的平均距离越大的行星，绕太阳公转的周期越大
D．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
解析：选C.根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的焦点处，故A错误；根据开普勒第二定律可知，行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小，故B错误；根据开普勒第三定律可知，离太阳的平均距离越大的行星，绕太阳公转的周期越大，故C正确；根据开普勒第二定律可知，对于同一行星，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误．
2．对于宇宙天体和开普勒定律的理解，下列说法正确的是(　　)
A．太阳是宇宙的中心，处于静止状态，地球及其他行星都绕太阳运动
B．行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
C．行星距离太阳越近，其运动速率越小
D．行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
解析：选B.由开普勒定律可知，所有行星绕太阳做椭圆运动，太阳不是宇宙的中心，太阳围绕银河系中心旋转，而银河系不过是宇宙中千亿个星系中微不足道的一个，故A错误；行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故B正确；根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速率越大，故C错误；根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径的三次方跟它公转周期的二次方成正比，故D错误．
3．百武彗星是人类第一次探测到发射X射线的彗星，它的近日点仅0.1 AU，周期很长(200年以上).已知地球的轨道半径为1 AU，只考虑行星与太阳间的作用力，下列说法正确的是(　　)
A．百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度小
B．百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径
C．太阳处在百武彗星椭圆轨道的中心点上
D．在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
解析：选B.由开普勒第二定律可知，百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大，故A错误；根据开普勒第三定律＝k可知，由于百武彗星轨道的周期大于地球公转周期，所以百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径，故B正确；太阳处在百武彗星椭圆轨道的焦点上，故C错误；由开普勒第二定律可知在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变，故D错误．
4．(2024·山东卷，T5)“鹊桥二号”中继星环绕月球运行，其24小时椭圆轨道的半长轴为a.已知地球同步卫星的轨道半径为r，则月球与地球质量之比可表示为(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D.“鹊桥二号”中继星在24小时椭圆轨道上运行时，由开普勒第三定律有＝k，对地球同步卫星由开普勒第三定律有＝k′，其中k、k′与中心天体质量成正比，则有＝＝，D正确．
5．已知两个行星的质量m1＝2m2，公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运动轨道的半长轴之比为(　　)
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
解析：选C.根据开普勒第三定律知＝k，又因为公转周期T1＝2T2，则它们绕太阳运动的轨道的半长轴之比为＝ eq \r(3,\f(T,T))＝.
6．已知地球绕太阳运动的公转周期为1年，某行星绕太阳运行轨道的半长轴是地球的4倍，根据开普勒第三定律可求得该行星的公转周期为(　　)
A．16年 B．8年
C．4年 D．2年
解析：选B.设地球轨道的半长轴为r，根据开普勒第三定律得＝ eq \f(r3,T)，可得T＝8T地，则该行星的公转周期为8年．
7．如图所示，某颗小行星绕太阳依次从a→b→c→d→a运动．在轨道上这四个位置中，该行星运动速率最大的是(　　)
A．a　　　　　　　　 B．b
C．c D．d
解析：选A.根据开普勒第二定律可知，行星和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，则离太阳越近，行星运动速率越大，a位置离太阳最近，速率最大．
8．(2025·清远市期中)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨道如图所示，哈雷彗星最近出现在地球附近是1986年，预计下次将在2061年飞近地球，则哈雷彗星轨道的半长轴约为地球公转半径的(　　)
A．18倍 B．28倍
C．38倍 D．48倍
解析：选A.哈雷彗星的周期T＝2061年－1986年＝75年，根据开普勒第三定律可得＝ eq \f(r,T)，可得哈雷彗星轨道的半长轴与地球公转半径之比＝ eq \r(3,\f(T2,T))＝≈18.
9．(2025·深圳市期末)月球运行轨道为如图所示的绕地球E运动的椭圆轨道，地球E位于椭圆的一个焦点上．轨道上标记了月球经过相等时间间隔的位置．只考虑月球与地球间的相互作用，则下列说法正确的是(　　)
A．面积S1>S2
B．月球在轨道A点的速度小于在B点的速度
C．k＝，其中k为常数，a为椭圆半长轴
D．k＝，其中k为常数，b为椭圆半短轴
解析：选C.由开普勒第二定律知，月球经过相等时间间隔与地球连线所扫过的面积相等，则S1＝S2，且可得从近地点到远地点的过程中速度在逐渐减小，所以月球在轨道A点的速度大于在B点的速度，故A、B错误；由开普勒第三定律知，月球绕地球运动的轨道半长轴的三次方与公转周期的平方成正比，故C正确，D错误．
10．如图所示，地球卫星P绕地球做匀速圆周运动，地球相对卫星P的张角θ＝2α，相对另一卫星Q的张角为4α.则P与Q的周期之比为　(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.根据几何关系可知卫星P的轨道半径r1＝，卫星Q的轨道半径r2＝，根据开普勒第三定律＝k，可知P与Q的周期之比为 ，故D正确，A、B、C错误．
11．(多选)如图所示，土卫一(M)和土卫二(E)是土星(S)的两个卫星，土卫二绕土星的公转半径约为土卫一公转半径的2倍，某一时刻两卫星呈如图所示位置，且公转方向均为逆时针方向，则在土卫一公转一周的时间内，关于两卫星的位置关系，下列图像大致正确的是(　　)
解析：选AD.由开普勒第三定律可知 eq \f(r,T)＝ eq \f(r,T)，其中rE＝2rM，解得TE＝2TM，在土卫一公转一周的时间内，土卫二公转了＝≈0.35圈．
12．(10分)太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．当地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的时候，天文学称为“火星冲日”．已知火星公转半径与地球公转半径的比值为C(C为常数)，地球的公转周期为T，求：
(1)火星公转周期T火；(4分)
(2)相邻两次“火星冲日”的时间间隔Δt.(6分)
解析：(1)由开普勒第三定律得 eq \f(R,T)＝ eq \f(R,T2)
解得T火＝CT.
(2)由题意ω地Δt＝ω火Δt＋2π
由角速度和周期的关系得Δt＝Δt＋2π
解得Δt＝.
答案：(1)CT　(2)题组1　万有引力和重力的关系
1．已知质量分布均匀的球壳对内部任一质点的万有引力为零．若将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R，且不计地球自转．设地球表面上方高0.5R处的重力加速度为g1，地球表面下方深0.5R处的重力加速度为g2，则为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D.设地球的质量为M，密度为ρ，由于质量分布均匀球壳对其内部任一质点的万有引力为零，可知地球表面下方深0.5R处的重力加速度相当于半径为的球体产生的重力加速度，可得G＝mg2；在地球表面上方高0.5R处，根据万有引力等于重力得G＝mg1，又M′＝ρ×π·3，M＝ρ×π3，可得＝，故A、B、C错误，D正确．
2．(多选)有科学家正在研究架设从地面到太空的“太空梯”．若“太空梯”建在赤道上，人沿“太空梯”上升到h高度处时，恰好会感觉到自己“漂浮”起来．若人的质量为m，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球自转周期为T，则人在h高度处受到的万有引力的大小为(　　)
A．0 B．
C．mg D．
解析：选BD.在地球表面时有G＝mg，则GM＝gR2，人在h高度处受到的万有引力的大小 G＝，B正确；由题意可知人在h高度处受到的万有引力充当向心力，人处于完全失重状态，则有万有引力F＝m(R＋h)＝，A、C错误，D正确．
题组2　天体质量和密度的计算
3．已知地球半径为R，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，将地球视为质量均匀分布的球体，忽略地球自转的影响，则地球质量等于(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.地球表面重力与万有引力相等有G＝mg，可得地球质量M＝.
4．(多选)卡文迪许在实验室测引力常量G时，他风趣地说是在“称量地球的质量”．事实上，在测出引力常量G的大小后，人们便可根据相关观测数据对地球质量进行估算了．下面提供的几组数据中可以用来估算地球质量的是　(　　)
A．月球绕地球的运动周期及月球与地球的中心距离
B．人造地球卫星绕地球运行的周期和轨道半径
C．地球绕太阳运行的周期及地球到太阳的中心距离
D．地球表面的重力加速度和地球的半径
解析：选ABD.根据万有引力提供向心力有G＝mr，解得M＝，知道月球绕地球的运动周期及月球与地球的中心距离，可以求出地球的质量，故A正确；知道人造地球卫星绕地球运行的周期和轨道半径，可以求出地球的质量，故B正确；知道地球绕太阳运行的周期及地球到太阳的中心距离，只能求出太阳的质量，故C错误；根据近地表面重力和万有引力相等有mg＝G，解得M＝，知道地球表面的重力加速度和地球的半径可以求出地球的质量，故D正确．
5．已知引力常量为G，则在下列给出的各种情境中，能求出月球密度的是(　　)
A．在月球表面上让一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t
B．测出月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
C．发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期T
D．发射一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的探月飞船，测出飞船运行的周期T
解析：选D.由H和t可求得月球表面的重力加速度g＝，由mg＝，ρ＝，V＝πR3知ρ＝，要求得月球密度还需知道月球的半径，A错误；由G＝mr知M＝，只能测出中心天体的质量，即B、C中只能分别测出地球、月球的质量，B、C错误；当探月飞船贴近月球表面运行时，其轨道半径r可认为等于月球的半径R，故ρ＝＝·＝，D正确．
6．若月球绕地球的运动近似看作匀速圆周运动，并且已知月球绕地球运动的轨道半径r、绕地球运动的周期T，引力常量为G，由此可以知道(　　)
A．月球的质量m＝
B．地球的质量M＝
C．月球的平均密度ρ＝
D．地球的平均密度ρ′＝
解析：选B.根据万有引力提供向心力有G＝m，可知只能求出中心天体的质量，不能求出环绕天体的质量，解得地球的质量M＝，A错误，B正确；由于不知道月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平均密度， C、D错误．
7．若你站在月球上，用刻度尺测出某点距月球表面的高度为h，用秒表测出小球从该点由静止下落到月球表面的时间为t，已知月球的半径为R，引力常量为G，球的体积公式V＝πr3(其中r为球的半径)，则月球的平均密度为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.小球在月球表面做自由落体运动，有h＝g月t2，月球表面上的物体，受到的重力mg月＝G，其中月球的质量M＝ρV＝ρπR3，联立求得月球的平均密度ρ＝.
8．火星绕太阳运转可看成是匀速圆周运动，设火星运行轨道的半径为r，火星绕太阳一周的时间为T，引力常量为G，则下列说法正确的是(　　)
A.火星的质量m火＝
B．火星的向心加速度a火＝
C.太阳的平均密度ρ太＝
D．太阳的质量m太＝
解析：选B.由题知火星绕太阳做匀速圆周运动则有G＝m火r，解得m太＝，其中m太＝ρ太V，V＝πR，联立解得ρ太＝ eq \f(3πr3,GT2R) ，故A、C、D错误；火星绕太阳做匀速圆周运动，则火星的向心加速度a火＝，故B正确．
9．在月球上的航天员，手头有一个质量为m的砝码，如果已知引力常量G和月球半径R，若要估测月球质量M，则只需要一个(　　)
A．秒表 B．刻度尺
C．弹簧测力计 D．长1 m轻质细线
解析：选C.根据＝mg，又G月＝mg，联立解得M＝，可知只需用弹簧测力计测量出砝码的重力，即可估测出月球的质量．
10．假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，若地球表面上的质点与地心O的连线与赤道平面的夹角为60°.其他条件不变，则质点位置的向心加速度为(　　)
A．(g0－g) B．(g0－g)
C．(g0－g) D．g0－g
解析：选A.根据重力和万有引力的关系，在两极有G＝mg0，在赤道有G－mR＝mg，则在与赤道平面的夹角为60°的质点的向心加速度an＝·R cos 60°，解得an＝(g0－g).
11.某同学在地球表面测量一圆锥摆在水平面内做匀速圆周运动的周期，当摆长为L，稳定时圆周运动的圆心距离悬点为h，周期为T；某航天员登陆某星球后，在星球表面也做了同样的圆锥摆实验，当摆长也为L，稳定时圆周运动的圆心距离悬点为H时，周期也为T.若该星球的半径和地球半径相等，则该星球质量与地球质量之比为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.在地球根据小球的受力可知mg＝m，同理在该星球有mg′＝m，g′＝g，又mg＝G，M＝，故该星球质量与地球质量之比＝＝.
12.理论表明：黑洞质量M和其半径R的关系为＝，其中c为光速，G为引力常量．若观察到黑洞周围有一星体绕它做匀速圆周运动，速率为v，轨道半径为r，则可知(　　)
A．该黑洞的质量M＝
B．该黑洞的质量M＝
C．该黑洞的密度ρ＝
D．该黑洞的密度ρ＝
解析：选C.根据星体受到的万有引力提供向心力，有＝m，可得M＝，故A、B错误；该黑洞的密度ρ＝＝＝，根据题意＝，M＝，联立解得ρ＝，故C正确，D错误．
13．(12分)(2025·佛山市期末)已知某星球半径为R且质量分布均匀，星球两极表面的重力加速度大小为g，赤道表面重力加速度大小为ng(n<1)，引力常量为G.求：
(1)静止在该星球赤道水平面上质量为m的物体所受支持力FN大小；(4分)
(2)该星球的密度ρ；(4分)
(3)该星球自转的周期T.(4分)
解析：(1)根据平衡条件，静止在该星球赤道水平面上质量为m的物体所受支持力大小等于物体的重力，FN＝nmg.
(2)在星球两极表面，根据万有引力与重力的关系G＝mg
该星球的体积V＝πR3
该星球的密度ρ＝
联立解得ρ＝.
(3)对静止在该星球赤道水平面上质量为m的物体，根据牛顿第二定律mg－nmg＝mR
解得T＝2π.
答案：(1)nmg　(2)　(3)2π(共40张PPT)
第三节　万有引力定律的应用
学习目标
1．理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用．
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度．
3．理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解．
4．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法．
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、预测地球形状
1．地球由于自转作用呈________________扁平的椭球体．
2．万有引力与重力的关系
(1)万有引力可以分解为________________和物体随地球自转所需的________________．
(2)重力与纬度的关系：当物体从两极移向赤道时重力________________，而物体的质量不变，因此重力加速度g随之________________．
两极
重力
向心力
减小
减小
二、预测未知天体
1．已发现天体的轨道推算：1781年，英国天文学家赫歇尔用自制大型反射望远镜发现了太阳系的第七颗行星——________________之后，各国天文学家都对它进行了持续的观测，结果发现，天王星的运行轨道，与根据万有引力定律计算出来的轨道之间存在明显的偏差．
2．未知天体的发现：英国剑桥大学的青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒威耶结合万有引力计算，并将理论计算结果与实际观测数据反复对照，不断修正，终于在1845年分别独立推算出一颗新行星的运行轨道.1846年9月23日，柏林天文台的望远镜对准他们计算出来的轨道位置观测，发现了一颗新的行星——________________．
3．物理意义：海王星的发现，以及英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言的哈雷彗星“按时回归”，确立了万有引力定律的地位，充分显示了科学理论对实践的巨大指导作用．
天王星
海王星
万有引力
(2)地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，有m物g＝________________，由此可得地球的质量M地＝________________．
2．我们只要知道卫星或行星绕中心天体运动的周期及两者之间的距离，或天体半径及其表面重力加速度，就可以求出该中心天体的质量．
判断下列说法是否正确．
(1)地球表面的物体所受的重力必然等于地球对它的万有引力．(　　)
(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量.(　　)
(3)牛顿被称作第一个称出地球质量的人．(　　)
(4)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．(　　)
(5)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．(　　)
√
×　
×　
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一 　万有引力和重力的关系
如图所示，人站在地球(地球被视为规则的球体)的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置，人随地球的自转而做半径不同的匀速圆周运动，请思考：
(1)人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？
(2)人在地球的不同位置，哪个力提供向心力？大小相同吗？受到的重力大小一样吗？
[提示]万有引力的一个分力提供人随地球转动需要的向心力；在地球的不同位置，向心力不同；重力是万有引力的另一个分力，所以人在地球的不同位置，受的重力大小不一样．
如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上．如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．P、Q所受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的线速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
√
P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据v＝ωr，F向＝mω2r 可得，vP>vQ，F向P>F向Q，B、C错误；
万有引力的一个分力提供物体所受的重力，另外一个分力提供向心力，可得在赤道处重力最小，随着纬度的增加，向心力在减小，重力在增大，D错误．
√
知识点二　天体质量的计算
(2)“借助外援法”：借助绕中心天体(如地球)做圆周运动的行星或卫星的运动周期T和轨道半径r计算中心天体的质量，依据是万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力．
常见的情况如下：
√
角度1　“自力更生法”求天体质量
√
(2025·河源月考)假如你将来成为一名航天员，你驾驶一艘宇宙飞船飞临一未知星球，现当你关闭动力装置后，你的飞船贴着星球表面做匀速圆周运动飞行一周的时间为t，已知飞船的飞行速度大小为v，引力常量为G.求：
(1)该星球的半径R；
角度2　“借助外援法”求天体质量
(2)该星球的质量M；
(3)该星球表面的重力加速度g.
知识点三　天体密度的计算
√
√
载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设航天员登上月球后，以初速度v0水平抛出一个小球，测得小球经时间t垂直落到倾角为θ的斜坡上．已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求：
综合一练　万有引力定律和平抛运动的综合
(1)月球表面的重力加速度；
(2)月球的密度；
(3)人造卫星绕月球表面做匀速圆周运动的最小周期T.
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
√
√
√
4．(万有引力的应用)(2025·佛山月考)关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法正确的是(　　)
A．天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律经过大量计算后发现的
B．预测哈雷彗星的回归是万有引力的成就之一
C．海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律经大量计算而发现的
D．冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的
解析：由行星的发现历史可知，天王星不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的，故A错误；
天文学家哈雷根据万有引力定律预言哈雷彗星的回归，预测哈雷彗星的回归是万有引力的成就之一，故B正确；
在18世纪已经发现的7颗行星中，人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一颗行星，是它的存在引起了上述偏差，英国剑桥大学的学生亚当斯和法国天文学家勒维耶各自独立计算出“新”星的轨道，1846年德国伽勒在预言位置的附近发现了“新”星——海王星，故C、D错误．专题提升课5　天体运动的热点问题
微专题一　卫星变轨与对接问题
1．变轨问题概述
(1)稳定运行
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即G＝m.
(2)变轨运行
当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和m不再相等，会出现以下两种情况：
①当F引＞m时，卫星做近心运动；
②当F引＜m时，卫星做离心运动．
2．两种常见形式
(1)渐变
由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动．
①关键要点：轨道半径r减小(近心运动).
这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径r将减小．
②各个物理参量的变化：当轨道半径r减小时，卫星线速度v、角速度ω、向心加速度a增大，周期T减小．
(2)突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道．
发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，在P点第一次点火加速，在短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．
3．对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示，低轨道飞船通过合理加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接．
(2)同一轨道上的飞船和空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．
角度1　卫星变轨原理
　(多选)(2025·东莞市期中)北京时间2024年5月3日17时27分，长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场点火升空，嫦娥六号顺利发射．如图所示，经多次变轨修正之后，探测器降落月球表面．下列说法正确的是(　　)
A．在地球上的发射速度一定大于第一宇宙速度
B．在P点由轨道1进入轨道2需要瞬间点火加速
C．在轨道1的运行周期小于轨道2的运行周期
D．经过Q点时的加速度大于经过P点时的加速度
[解析]　第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，故在地球上的发射速度一定大于第一宇宙速度，故A正确；卫星在轨道1上的P点处减速，使万有引力大于所需的向心力做近心运动，才能进入轨道2，故B错误；根据开普勒第三定律k＝，轨道1的半径大于轨道2的半长轴，可知在轨道1的运行周期大于轨道2的运行周期，故C错误；根据G＝ma，
可得a＝，Q点离月球较近，故经过Q点时的加速度大于经过P点时的加速度，故D正确．
[答案]　AD
角度2　飞船与空间站对接问题
　北京时间2025年7月16日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．后续，天舟九号货运飞船成功对接于空间站天和核心舱．若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是(　　)
A．对接前天舟九号的运行速率大于空间站组合体的运行速率
B．对接前天舟九号的向心加速度小于空间站组合体的向心加速度
C．天舟九号通过加速可实现与空间站组合体在原轨道上对接
D．天舟九号先减速后加速可实现与空间站组合体在原轨道上对接
[解析]　对接前两者在同一轨道上运动，由万有引力提供向心力可知G＝m＝ma，解得v＝，a＝G，同一轨道，运行速率、向心加速度相等，A、B错误；飞船与空间站在同一轨道上，此时飞船受到的万有引力等于向心力，若让飞船加速，则所需要的向心力变大，万有引力不变，所以飞船做离心运动，不能实现对接，C错误；天舟九号先减速做近心运动，进入较低的轨道，后加速做离心运动，轨道半径变大，可以实现对接，D正确．
[答案]　D
微专题二　卫星相距“最近”“最远”问题
两颗卫星在同一轨道平面内同向绕地球做匀速圆周运动，a卫星的角速度为ωa，b卫星的角速度为ωb.若某时刻两卫星正好同时通过地面同一点正上方，相距最近，如图甲所示．
(1)若经过时间t，两环绕天体与中心天体连线转过的角度相差2π的整数倍，则两环绕天体又相距最近，即满足＝2nπ(n＝1，2，3，…).
(2)若经过时间t，两环绕天体与中心天体连线转过的角度相差π的奇数倍，则两环绕天体相距最远(如图乙所示)，即满足＝π＋2nπ(n＝0，1，2，…).
　(2025·深圳月考)三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，此时A、B相距最近，如图所示．已知卫星B的运动周期为T，则(　　)
A.C加速可追上同一轨道上的A
B．A、C的向心加速度大于B的向心加速度
C．从图示时刻到A、B再次相距最近所需时间小于T
D．相同时间内，B与地心连线扫过的面积小于A与地心连线扫过的面积
[解析]　卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的卫星A，故A错误；根据万有引力提供向心力G＝ma，可得a＝，A、C的半径大，故A、C的向心加速度小于B的向心加速度，故B错误；A、B再次相距最近时，有t－t＝2π，可得t＝＞T，故C错误；根据万有引力提供向心力 G＝m，可得v＝，相同时间内，卫星与地心连线扫过的面积S＝r·vΔt＝Δt，由题图可知B的半径小，因此相同时间内，B与地心连线扫过的面积小于A与地心连线扫过的面积，故D正确．
[答案]　D
　(多选)赤道平面内的某颗卫星自西向东绕地球做圆周运动，该卫星离地面的高度小于地球同步卫星的高度，赤道上一观测者发现，该卫星连续两次出现在观测者正上方的最小时间间隔为t.已知地球自转周期为T0，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，由此可知该卫星绕地球运动的周期T和离地面的高度H为(　　)
A．T＝
B．T＝
C．H＝ eq \r(3,\f(gR2t2T,4π2（t＋T0）2)) －R
D．H＝ eq \r(3,\f(gR2t2T,4π2（t－T0）2)) －R
[解析]　设卫星的周期为T，则有t＝2π，解得T＝，由万有引力提供向心力有G＝m(R＋H)，又在地表处有g＝，联立解得H＝ eq \r(3,\f(gR2t2T,4π2（t＋T0）2)) －R.
[答案]　AC
微专题三　双星模型和多星模型
1．双星模型
(1)两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的某一点做圆周运动(如图所示).
(2)各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即G＝m1ωr1，G＝m2ωr2.
(3)两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2.两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L.
(4)两颗星到圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝，与星体运动的线速度成正比．
2．多星模型
(1)多颗星体在同一轨道平面上绕同一点做匀速圆周运动，每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供．
(2)每颗星体转动的方向都相同，运行周期、角速度都相等．
　红矮星与中子星组成双星系统，它们同时绕连线上的某点做匀速圆周运动．若两星相距L，红矮星的质量是中子星的n倍，中子星转一圈的时间为t，引力常量为G，则(　　)
A．红矮星的轨道半径为
B．红矮星的轨道半径为
C．红矮星和中子星的总质量为
D．红矮星和中子星的总质量为
[解析]　设红矮星的轨道半径为r1、质量为nm，中子星的轨道半径为r2、质量为m，则根据题意有r1＋r2＝L，由万有引力充当向心力有G＝nmr1，G＝mr2，联立以上各式解得r1＝，故A、B错误；根据以上分析可得nm＝，m＝，则可得nm＋m＝，故C错误，D正确．
[答案]　D
　(多选)如图所示，天文观测中观测到有质量相等的三颗天体位于边长为l的等边三角形ABC三个顶点上，三颗天体均做周期为T的匀速圆周运动．已知引力常量为G，不计其他天体对它们的影响，关于这个三星系统，下列说法正确的是(　　)
A．三颗天体的质量均为
B．三颗天体的质量均为
C．三颗天体线速度大小均为
D. 三颗天体线速度大小均为
[解析]　轨道半径等于等边三角形外接圆的半径，根据几何关系可知r＝l，根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，所以这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，三颗星的质量相同，设为M，则根据牛顿第二定律有2×cos 30°＝Mr，解得M＝，故A正确，B错误；根据牛顿第二定律有2×cos 30°＝M，解得线速度大小v＝，故C错误，D正确．
[答案]　AD第一节　认识天体运动
　 eq \a\vs4\al()
1．了解人类对行星运动规律的认识历程．　2.知道开普勒定律的内容．
3．能用开普勒定律分析一些简单的行星运动问题．
一、从地心说到日心说
1．地心说：地球是静止不动的，位于宇宙中心，太阳、月亮以及其他行星都绕着地球运动．
2．日心说：太阳是宇宙的中心，地球和其他行星都围绕太阳运动．
3．局限性：都把天体的运动看得很神圣，认为天体的运动必然是最完美、最和谐的匀速圆周运动，而与丹麦天文学家第谷的观测数据不符．
二、开普勒定律
1．开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．
2．开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积．
3．开普勒第三定律：所有行星的轨道半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方之比都相等．其表达式为 ＝k，其中r代表椭圆的半长轴，T代表行星的公转周期，k是一个与行星无关而与太阳有关的常量．
判断下列说法是否正确．
(1)各行星围绕太阳运动的速率是不变的．(　　)
(2)开普勒定律仅适用于行星绕太阳的运动.　(　　)
(3)行星轨道的半长轴越长，行星的公转周期越长．(　　)
(4)可近似认为地球围绕太阳做圆周运动.　(　　)
(5)行星绕太阳运动一周的时间内，它与太阳的距离是不变的．(　　)
(6)公式 ＝k，只适用于轨道是椭圆的运动.(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)×　(6)×
知识点一　对开普勒定律的理解
1．行星的轨道问题
行星的轨道都是椭圆，如图甲所示．不同行星绕太阳运动的椭圆轨道是不同的，太阳处在椭圆的一个焦点上，如图乙所示，即所有轨道都有一个共同的焦点——太阳．
2．速度大小问题
(1)如图所示，如果时间间隔相等，由开普勒第二定律知，面积SA＝SB，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速率越大．
(2)近日点、远日点分别是行星距离太阳的最近点、最远点．同一行星在近日点速度最大，在远日点速度最小．
3．公转周期的长短问题
(1)如图所示，由＝k知，椭圆轨道半长轴越长的行星，其公转周期越长．常量k与行星无关，只与太阳有关．
(2)该定律不仅适用于行星绕太阳的运动，也适用于卫星绕地球的运动，此时常量k与卫星无关，只与地球有关，也就是说k值大小由中心天体决定．
角度1　对开普勒第一定律和第二定律的理解
　火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，由开普勒行星运动定律可知(　　)
A．太阳位于木星运行轨道的中心
B．木星和火星绕太阳运行速度的大小始终不变
C．太阳在火星与木星公转的椭圆轨道的同一个焦点上
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
[解析]　根据开普勒第一定律可知，太阳位于木星运行轨道的焦点位置，A错误；根据开普勒第二定律可知，木星和火星绕太阳运行速度的大小不是始终不变，在离太阳较近时速度较大，离太阳较远时速度较小，B错误；根据开普勒第一定律可知，太阳相对于所有行星轨道的位置是不变的，太阳在所有行星轨道的同一个焦点上，C正确；根据开普勒第二定律可知，相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积相等，但是不等于木星与太阳连线扫过的面积，D错误．
[答案]　C
　某行星绕太阳运动的轨道如图所示，则以下说法正确的是(　　)
A．该行星在a点的向心加速度比在b、c两点的都大
B．该行星在a点的速度比在b、c两点的速度都更小
C．行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积是不相等的
D．行星绕太阳做匀速圆周运动，太阳在圆心上
[解析]　根据a＝得，该行星在a点的向心加速度比在b、c两点的都大，A正确；根据开普勒第二定律可知近日点速度大、远日点速度小，所以该行星在a点的速度比在b、c两点的速度都更大，B错误；由开普勒第二定律得，相等时间内太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积是相等的，C错误；由开普勒第一定律可知，行星绕太阳做椭圆运动，太阳一定在椭圆的一个焦点上，D错误．
[答案]　A
角度2　对开普勒第三定律的理解
　(多选)关于开普勒行星运动第三定律的公式＝k，以下理解正确的是(　　)
A.k是一个与中心天体有关、与其他行星无关的量
B．T表示行星运动的自转周期
C．T表示行星运动的公转周期
D．若地球绕太阳运转轨道的半长轴为a地，周期为T地；月球绕地球运转轨道的半长轴为a月，周期为T月，则 eq \f(a,T)＝ eq \f(a,T)
[解析]　k只与中心天体有关，与其他行星无关，故A正确；T表示行星运动的公转周期，故B错误，C正确；地球和月球不是绕同一个中心天体运动，所以 eq \f(a,T)≠ eq \f(a,T)，故D错误．
[答案]　AC
知识点二　开普勒定律的应用
1．适用范围：天体的运动可近似看成匀速圆周运动，开普勒第三定律既适用于做椭圆运动的天体，也适用于做圆周运动的天体．
2．应用：知道了行星到太阳的距离，就可以由开普勒第三定律计算或比较行星绕太阳运行的周期．反之，知道了行星的公转周期，也可以计算或比较其到太阳的距离．
3．k值：表达式 ＝k中的常数k，只与中心天体的质量有关．如研究行星绕太阳运动时，常数k只与太阳的质量有关，研究卫星绕地球运动时，常数k只与地球的质量有关．
角度1　开普勒第一定律和第二定律的应用
　(2025·东莞市期中)2024年5月，嫦娥六号探测器发射成功，开启了人类首次从月球背面采样之旅．如图，假设嫦娥六号在环月椭圆轨道上沿图中箭头方向运动，只受到月球的引力，ab为椭圆轨道长轴，cd为椭圆轨道短轴．某时刻嫦娥六号位于c点，则再经过二分之一周期它将位于轨道的(　　)
A．b点　　　　　　 B．d点
C．bd之间 D．ad之间
[解析]　根据开普勒第二定律，近月点速度快，远月点速度慢，可知嫦娥六号在弧cbd上的平均速度小于在弧dac上的平均速度，弧cbd的长度为环月椭圆轨道周长的一半，故再经过二分之一周期它将位于轨道的bd之间．
[答案]　C
角度2　开普勒第三定律的应用
　木星有4颗卫星是伽利略发现的，称为伽利略卫星，其中两颗卫星绕木星做圆周运动的周期之比为1∶4，则这两颗卫星的轨道半径之比为(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　卫星绕木星做圆周运动，根据开普勒第三定律有 eq \f(r,T)＝ eq \f(r,T)，解得＝.
[答案]　D
　太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动．地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”，已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如表所示．(AU表示天文单位，1AU等于地球和太阳之间的平均距离)
项目 地球 火星 木星 土星 天王星 海王星
轨道半径R/AU 1.0 1.5 5.2 9.5 19 30
根据题中信息，下列说法正确的是(　　)
A．海王星相邻两次冲日的时间间隔不同
B．天王星相邻两次冲日的时间间隔最长
C.火星相邻两次冲日的时间间隔最长
D．木星相邻两次冲日的位置一定相同
[解析]　由开普勒第三定律，有＝k，可知轨道半径较大的行星，其周期也长，设地球绕太阳运行的周期为T，地球外另一行星的周期为T′，两次冲日时间间隔为t，则θ1－θ2＝2π，t－t＝2π，解得t＝，可知海王星相邻两次冲日的时间间隔最短，火星相邻两次冲日的时间间隔最长，且对于确定的地外行星来说，相邻两次冲日的时间间隔相等，故A、B错误，C正确；根据前面选项分析可知，发生两次“行星冲日”的时间间隔是确定的，但是地外某颗行星相邻两次冲日的位置不一定相同，故D错误．
[答案]　C
eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．(对开普勒定律的理解)(多选)下列对开普勒第二定律理解正确的是(　　)
A．行星绕太阳的运动，一定是匀速曲线运动
B．行星绕太阳的运动，一定是变速曲线运动
C．行星绕太阳运动时，由于角速度相等，故在近日点处的线速度小于它在远日点处的线速度
D．行星绕太阳运动时，由于它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，故它在近日点的线速度大于它在远日点的线速度
解析：选BD.根据开普勒第二定律可知，行星与太阳连线在相等时间内扫过的面积相等，故离太阳近时运动速度大，离太阳远时运动速度小，所以行星绕太阳运动时，一定是变速曲线运动．
2．(对开普勒定律的理解)(多选)经过71年的长途跋涉，编号为12P/Pons－Brooks的彗星(以下简称12P彗星)于2024年4月21日通过近日点。若只考虑12P彗星与太阳的作用力，下列说法正确的是(　　)
A．太阳处在12P彗星椭圆轨道的中心点上
B．12P彗星在近日点的速度比在远日点的速度大
C．12P彗星轨道半长轴的三次方与它公转周期的二次方的比值是一个定值
D．在远离太阳的过程中，12P彗星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积逐渐增大
解析：选BC.根据开普勒第一定律可知，太阳处在12P彗星椭圆轨道的焦点上，A错误；根据开普勒第二定律可知，12P彗星在近日点的速度比在远日点的速度大，B正确；根据开普勒第三定律可知，12P彗星轨道半长轴的三次方与它公转周期的二次方的比值是一个定值，C正确；根据开普勒第二定律可知，在远离太阳的过程中，12P彗星与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等，D错误．
3．(开普勒定律的应用)某人造地球卫星绕地球运行的椭圆轨道如图所示，F1和F2是椭圆轨道的两个焦点，卫星在A点的速率比在B点的大，则地球位于(　　)
A．F2　　　　　　　　　 B．O
C．F1 D．B
解析：选A.根据开普勒第二定律可知，地球和卫星的连线在相等的时间内扫过相同的面积，因为卫星在A点的速率比在B点的速率大，所以地球位于F2.
4．(开普勒定律的应用)地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气如图所示，下列说法正确的是(　　)
A.夏至时地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积最大
B．从冬至到春分的运行时间等于从春分到夏至的运行时间
C．太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上
D．若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，＝k，则地球和火星对应的k值不同
解析：选C.由开普勒第二定律可知地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，故A错误；地球经历春、夏、秋、冬，由题图可知是逆时针方向运行，冬至为近日点，运行速度最大，夏至为远日点，运行速度最小，所以从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故B错误；根据开普勒第一定律可知，太阳既在地球公转轨道的焦点上，也在火星公转轨道的焦点上，故C正确；若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，＝k，则地球和火星对应的k值是相同的，故D错误．(共23张PPT)
课后达标检测
√
1．关于行星运动的规律，下列说法正确的是(　　)
A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的中心处
B．行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越大
C．离太阳的平均距离越大的行星，绕太阳公转的周期越大
D．不同轨道上的行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等
解析：根据开普勒第一定律可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的焦点处，故A错误；
根据开普勒第二定律可知，行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小，故B错误；
根据开普勒第三定律可知，离太阳的平均距离越大的行星，绕太阳公转的周期越大，故C正确；
根据开普勒第二定律可知，对于同一行星，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，故D错误．
√
2．对于宇宙天体和开普勒定律的理解，下列说法正确的是(　　)
A．太阳是宇宙的中心，处于静止状态，地球及其他行星都绕太阳运动
B．行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上
C．行星距离太阳越近，其运动速率越小
D．行星围绕太阳运动的轨道半径跟它公转周期成正比
解析：由开普勒定律可知，所有行星绕太阳做椭圆运动，太阳不是宇宙的中心，太阳围绕银河系中心旋转，而银河系不过是宇宙中千亿个星系中微不足道的一个，故A错误；
行星围绕太阳运动的轨迹是椭圆，太阳处于椭圆的一个焦点上，故B正确；
根据开普勒第二定律，行星距离太阳越近，其运动速率越大，故C错误；
根据开普勒第三定律，行星围绕太阳运动的轨道半径的三次方跟它公转周期的二次方成正比，故D错误．
√
3．百武彗星是人类第一次探测到发射X射线的彗星，它的近日点仅0.1 AU，周期很长(200年以上).已知地球的轨道半径为1 AU，只考虑行星与太阳间的作用力，下列说法正确的是(　　)
A．百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度小
B．百武彗星轨道的半长轴大于地球的轨道半径
C．太阳处在百武彗星椭圆轨道的中心点上
D．在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积逐渐增大
解析：由开普勒第二定律可知，百武彗星在近日点的速度比在远日点的速度大，故A错误；
太阳处在百武彗星椭圆轨道的焦点上，故C错误；
由开普勒第二定律可知在远离太阳的过程中，百武彗星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积不变，故D错误．
√
√
√
6．已知地球绕太阳运动的公转周期为1年，某行星绕太阳运行轨道的半长轴是地球的4倍，根据开普勒第三定律可求得该行星的公转周期为(　　)
A．16年 B．8年
C．4年 D．2年
√
7．如图所示，某颗小行星绕太阳依次从a→b→c→d→a运动．在轨道上这四个位置中，该行星运动速率最大的是(　　)
A．a　　　　　　　　 B．b
C．c D．d
解析：根据开普勒第二定律可知，行星和太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，则离太阳越近，行星运动速率越大，a位置离太阳最近，速率最大．
√
8．(2025·清远市期中)地球和哈雷彗星绕太阳运行的轨道如图所示，哈雷彗星最近出现在地球附近是1986年，预计下次将在2061年飞近地球，则哈雷彗星轨道的半长轴约为地球公转半径的(　　)
A．18倍 B．28倍
C．38倍 D．48倍
√
解析：由开普勒第二定律知，月球经过相等时间间隔与地球连线所扫过的面积相等，则S1＝S2，且可得从近地点到远地点的过程中速度在逐渐减小，所以月球在轨道A点的速度大于在B点的速度，故A、B错误；
由开普勒第三定律知，月球绕地球运动的轨道半长轴的三次方与公转周期的平方成正比，故C正确，D错误．
√
√
11．(多选)如图所示，土卫一(M)和土卫二(E)是土星(S)的两个卫星，土卫二绕土星的公转半径约为土卫一公转半径的2倍，某一时刻两卫星呈如图所示位置，且公转方向均为逆时针方向，则在土卫一公转一周的时间内，关于两卫星的位置关系，下列图像大致正确的是(　　)
√
答案：CT　
(2)相邻两次“火星冲日”的时间间隔Δt.(6分)(共41张PPT)
第二节　认识万有引力定律
学习目标
1．知道太阳与行星间存在引力．　
2.能利用开普勒定律和牛顿第三定律推导出太阳与行星之间引力的表达式．　
3.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件．　
4.认识万有引力定律的普遍性，能应用万有引力定律解决实际问题．
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、行星绕日运动原因的探索
1．科学家的观点
(1)伽利略：行星的运动与地面物体的运动遵循不同的规律，行星运动是由“惯性”自行维持的．
(2)开普勒：行星的运动是由于太阳磁力吸引的缘故，磁力与距离成反比．
(3)笛卡儿：宇宙由不停旋转着的微粒所组成，微粒的运动形成旋涡，太阳和行星在各自的旋涡中心，行星旋涡带动卫星运动，太阳的旋涡带动行星和卫星一起运动．
(4)胡克：行星的运动是太阳引力的缘故，并且力的大小与到太阳距离的平方成反比．重力是由地球引力引起的．
2．英国天文学家雷恩和哈雷按照圆形轨道，对行星与太阳间的引力问题推导得出________．牛顿将关于物体运动的研究成果整合起来，明确证明了行星在椭圆轨道所受的引力与它到太阳距离的平方成________．
反比
二、万有引力定律的发现
1．牛顿通过引入质点的概念并根据牛顿第三定律得出_________________．
2．以“平抛石头”思想实验和月球轨道附近自由落体运动位移的证明为基础，牛顿把引力推广到所有行星，乃至所有物体之间，由此发现了万有引力定律．
三、万有引力定律的表达式
1．万有引力定律的内容：宇宙间的一切物体都是互相________的．两个物体间引力的方向在它们的连线上．引力的大小与它们质量的乘积成________，与它们之间距离的二次方成________．
吸引
正比
反比
2．数学表达式：F＝________
3．引力常量：首先由英国科学家___________利用扭秤实验装置测出．大小G＝6.67×10-11 N·m2/kg2.
卡文迪许
√
×　
√
√
×　
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　太阳和行星间的引力
1．两个理想化模型
(1)匀速圆周运动模型：由于太阳系中行星绕太阳做椭圆运动的轨迹的两个焦点靠得很近，行星的运动轨迹非常接近圆，所以将行星的运动看成匀速圆周运动．
(2)质点模型：由于天体间的距离很远，研究天体间的引力时将天体看成质点，即天体的质量集中在球心上．
2．推导过程
(1)太阳对行星的引力
(2)太阳与行星间的引力
3．太阳与行星间的引力特点
(1)太阳与行星间的引力大小与三个因素有关：太阳质量、行星质量、太阳与行星间的距离．太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线方向．
(2)太阳与行星间的引力是相互的，遵循牛顿第三定律．
√
(多选)下列关于太阳对行星的引力的说法正确的是(　　)
A．太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力
B．太阳对行星的引力大小与太阳的质量成正比，与行星和太阳间的距离的二次方成反比
C．太阳对行星的引力规律是由实验得出的
D．太阳对行星的引力规律是由开普勒行星运动定律和行星绕太阳做匀速圆周运动的规律推导出来的
√
[解析]　太阳对行星的引力规律是牛顿将开普勒行星运动定律结合圆周运动规律推导出来的，它不是实验得出的，太阳对行星的引力提供行星做匀速圆周运动的向心力，故A、D正确，C错误；
知识点二　月—地检验
√
知识点三　对万有引力定律的理解
[提示]　r指的是两个质点间的距离．
2．引力常量G
(1)对G值的理解
①目前引力常量推荐的标准值G＝6.674 08(31)×10-11 N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10-11 N·m2/kg2.
②引力常量有单位，单位符号为N·m2/kg2.
③意义：在数值上等于两个质量都是1 kg的质点相距1 m时的相互作用力．
④因为引力常量G很小，我们日常生活中接触的物体的质量又不是很大，所以我们很难察觉到物体之间的引力．
(2)引力常量的测定

扭秤实验装置是借助实验转换法，将小球和大球之间的万有引力测量转化为对金属丝扭转角度的测量；又利用横杆与光学仪器，将金属丝扭转角度的测量转化为对光斑在刻度尺上移动距离的测量；再借助实验放大法，通过光路放大光斑在刻度尺上移动的距离，以提高测量精度．
(3)引力常量测定的意义
①卡文迪许利用扭秤装置通过改变小球的质量和距离，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性．
②引力常量的确定使万有引力定律能够进行定量的计算，显示出真正的实用价值．
③卡文迪许扭秤实验是物理学上非常著名和重要的实验，扭秤实验巧妙地利用等效法，合理地将微小量进行放大，开创了测量弱力的新时代．
√
[解析]　牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许利用扭秤实验测得了引力常量，故A错误；
根据牛顿第三定律可知，两物体间的万有引力总是大小相等、方向相反，是一对作用力和反作用力，故B正确；
√
(2025·梅州期末)从平原到高原过程中，地球对汽车的引力F随高度h的变化关系图像可能是(　　)
√
万有引力定律不仅适用于天体之间，故D错误．
√
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
√
公式中G为比例系数，是一常量，与F、r、m太和m均无关，可知C错误；
通常的研究中，行星绕太阳的运动轨道可近似看成圆轨道，其向心力由太阳对行星的引力提供，D正确．
√
√
解析：最早测出G值的是卡文迪许，不是牛顿，故A错误；
牛顿通过“月—地检验”发现地面物体、月球所受地球的引力都遵从同样的规律，故B正确；
引力常量G是一个定值，它的大小与中心天体选择无关，故D错误．
√
√
4．(引力常量的测定)历史上，第一个在实验室测量出引力常量的科学家是(　　)
A．开普勒 B．哥白尼
C．卡文迪许 D．伽利略
解析：卡文迪许在实验室利用扭秤实验首次测出了引力常量．(共21张PPT)
课后达标检测
√
题组1　对宇宙速度的理解
1．某探月飞行器发射后进入离近月点约100公里的环月轨道．关于该飞行器的发射速度，下列说法正确的是(　　)
A．小于第一宇宙速度
B．介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C．介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间
D．大于第三宇宙速度
解析：该飞行器进入离近月点约100公里的环月轨道后，仍围绕地球做椭圆运动，未摆脱地球的引力束缚，故该飞行器的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故B正确，A、C、D错误．
√
√
√
题组2　卫星运行规律的分析
4．中国空间站运行周期约为90分钟．北斗系统的GEO卫星是地球静止卫星，空间站和GEO卫星绕地球均可视为匀速圆周运动，下列说法正确的是　(　　)
A．GEO卫星可以在地面任何一点的正上方，但离地心的距离是一定的
B．空间站的轨道半径比GEO卫星的轨道半径大
C.空间站的线速度比GEO卫星的线速度大
D．空间站的向心加速度比GEO卫星的向心加速度小
解析：北斗系统的GEO卫星是地球静止卫星，根据静止卫星规律可知，GEO卫星位于赤道正上方，离地心的距离是一定的，故A错误；
√
5．如图所示，在梦天实验舱航天员演示奇妙“乒乓球”实验过程中，小水球“漂”在空中来回运动而未“下落”，则小水球(　　)
A．处于超重状态
B．处于完全失重状态
C．处于平衡状态
D．不受地球引力作用
解析：因万有引力充当做圆周运动的向心力，则小水球“漂”在空中来回运动而未“下落”，小水球处于完全失重状态，但仍受地球的引力作用．
√
6．羲和号是我国首颗可24小时全天候对太阳进行观测的试验卫星．可认为羲和号绕地球做匀速圆周运动，每24小时绕地球运行n圈(n>1)，轨道平面与赤道平面垂直，轨道如图所示．关于羲和号，下列说法正确的是(　　)
A．线速度大于第一宇宙速度
B．角速度大于地球同步卫星的角速度
C．向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
D．发射速度大于第二宇宙速度
解析：地球第一宇宙速度等于地面表面轨道卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，则羲和号的线速度小于第一宇宙速度，故A错误；
羲和号的发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，故D错误．
√
题组3　近地卫星、静止卫星和赤道上物体
7．下列关于地球静止卫星的说法正确的是(　　)
A．静止卫星定点在地球上空某处，各个静止卫星的角速度相同，但线速度可以不同
B．不同国家发射静止卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面内
C．为避免静止卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同轨道上
D．静止卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上
不同国家发射静止卫星的地点不同，但轨道固定不变，所以这些卫星轨道一定在同一平面内，故B错误；
静止卫星运行轨道为位于地球赤道平面上空圆形轨道，轨道固定不变，故C错误；
由上分析可知，静止卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上，故D正确．
√
8．如图所示，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b绕地球做匀速圆周运动，卫星c是地球静止卫星，则(　　)
A．a的线速度小于第一宇宙速度
B．a的向心加速度等于重力加速度
C.b的运行周期比c的运行周期大
D．b的向心加速度比c的向心加速度小
√
9．有科幻作品提及太空电梯，设想中太空电梯可连接地球赤道上的固定基地与其正上方同步轨道上的空间站B，若升降舱A因出现故障被迫留在图示位置，下列说法正确的是(　　)
A．太空电梯上各点线速度大小均相同
B．升降舱A的角速度大于空间站B的角速度
C．升降舱A的周期等于空间站B的周期
D．若升降舱A突然脱离电梯，将做离心运动
解析：根据题意可知，太空电梯上各点角速度大小均相同，根据v＝rω可知，升降舱A的角速度等于空间站B的角速度，线速度大小不相同，故A、B错误；
√
√
解析：由题知，冒险家是以无动力状态在近地轨道绕行观察，即运行轨道的半径等于星球半径，故星球第一宇宙速度为v，故C正确，不符合题意；
12．(8分)(2025·东莞市期中)已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响(此时可认为重力与万有引力相等)，地球视为均匀球体．物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度叫作第一宇宙速度．
(1)计算地球的质量M.(4分)
(2)计算第一宇宙速度的大小v1.(4分)(共43张PPT)
第四节　宇宙速度与航天
学习目标
1．了解人造地球卫星的最初构想，会推导第一宇宙速度．　2.知道同步卫星和其他卫星的区别，会分析人造地球卫星的受力和运动情况并解决涉及人造地球卫星运动的较简单的问题．　3.了解发射速度与环绕速度的区别与联系，理解天体运动中的能量观．　4.会应用万有引力定律分析卫星运行规律．
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、宇宙速度
1．第一宇宙速度：我们把航天器在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度________________km/s称为第一宇宙速度，也叫环绕速度．
2．第二宇宙速度：使航天器挣脱________________的引力，不再绕________________运行，而是绕太阳运动或飞向其他行星的最小发射速度________________km/s称为第二宇宙速度，又叫逃逸速度．
3．第三宇宙速度：使航天器挣脱________________的引力，飞出太阳系，其发射速度至少要达到________________km/s，这一速度称为第三宇宙速度．
7.9
地球
地球
11.2
太阳
16.7
二、人造地球卫星
1．定义：人造地球卫星是指环绕________________在宇宙空间轨道上运行的无人航天器．
2．分类：通信卫星、测地卫星、气象卫星、科学卫星等．
地球
3．北斗卫星导航系统
(1)北斗卫星导航系统是由中国自主建设、独立运行的卫星导航系统，是为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务的国家重要空间基础设施
(2)静止轨道卫星是指与地球________________的卫星，这种卫星是地球同步卫星的一种，它的轨道平面与________________平面重合，并且位于赤道上空一定的高度上．
相对静止
赤道
三、遨游太空
1．1961年4月12日，人类首次遨游太空．
2．2003年10月15日，中国首次载人航天飞行圆满完成．
3．2017年4月22日，中国航天事业正式迈进“空间站”时代．
4．2021年“天和”核心舱的成功发射与入轨，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段．
判断下列说法是否正确．
(1)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s.(　　)
(2)在地面上发射火星探测器的速度应为11.2 km/s(3)要发射离开太阳系的探测器，所需发射速度至少为16.7 km/s.(　　)
(4)要发射一颗月球卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s.(　　)
(5)地球的静止卫星一定位于赤道的正上方.　(　　)
(6)地球同步卫星的周期与地球自转的周期相同．　(　　)
√
×　
√
√
√
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　对宇宙速度的理解
发射卫星，要有足够大的速度才行．
(1)怎样求地球的第一宇宙速度？不同星球的第一宇宙速度是否相同？
(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
[提示]轨道越高，需要的发射速度越大．
1．第一宇宙速度：第一宇宙速度是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动的速度．
2．第一宇宙速度的两种推导方法
对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R≈6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，g取9.8 m/s2.
方法一：
方法二：
√
关于第一宇宙速度，下列说法正确的是　(　　)
A．第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的最小速度
B．第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度
C．第一宇宙速度是地球同步卫星环绕地球做匀速圆周运动的速度
D．不同行星的第一宇宙速度都是相同的
角度1　对宇宙速度的理解
地球同步卫星在地球的高空运行，所以它的线速度小于第一宇宙速度，所以C错误；
(2025·广东省合格考模拟)如图所示，在地面附近要发射一颗绕地球运行的卫星，发射速度(　　)
A．v＝7.9 km/s　　　　　　　
B．v＝11.2 km/s
C．7.9 km/s≤v<11.2 km/s
D．11.2 km/s≤v<16.7 km/s
[解析]　要发射一颗绕地球运行的卫星，发射速度既不能低于第一宇宙速度，否则无法发射成功；也不能超过第二宇宙速度，否则将会克服地球引力，永远离开地球，故发射速度v的取值范围为7.9 km/s≤v<11.2 km/s.
√
(2025·深圳期中)航天员在某星球表面高h处以某速度水平抛出一个小球，小球经过时间t落在星球表面．该星球的质量为M，引力常量为G，星球表面的空气阻力不计，忽略星球的自转．求：
(1)该星球的半径R；
角度2　第一宇宙速度的求解
(2)该星球的第一宇宙速度的大小v.
知识点二　卫星运行规律分析
如图所示，在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动．
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点？
[提示]　轨道平面过地心．
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度等跟什么因素有关呢？
[提示]与轨道半径有关．
1．卫星运动遵循的规律：卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心在椭圆的一个焦点上，卫星的周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律．
2．卫星轨道的圆心：卫星绕地球沿圆形轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心是卫星圆轨道的圆心．
3.卫星的轨道：卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如静止卫星)，可以通过两极上空(如极地卫星)，也可以和赤道平面成任意角度．
“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是　(　　)
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
√
[解析]　根据题述，火星冬季时长为地球的1.88倍，可知火星绕太阳运动的周期是地球的1.88倍，由开普勒第三定律可知，火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径比地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径大，C错误；
√
√
√
知识点三　近地卫星、静止卫星和赤道上物体
2．地球静止卫星
(1)概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球静止卫星．
(2)特点
①确定的转动方向：和地球自转方向一致．
②确定的周期：和地球自转周期相同，即T＝24 h.
③确定的角速度：等于地球自转的角速度．
④确定的轨道平面：所有的静止卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合．
⑤确定的高度：离地面高度固定不变(3.6×104 km).
⑥确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1×103 m/s).
静止卫星是与地球自转同步的人造地球卫星，它位于赤道正上方，而且(　　)
A．运行速度可按需要取值
B．运行周期可按需要取值
C．到地心的距离是一确定的值
D．可以位于任何城市的上空
√
根据v＝ωr可知运行速度大小一定，故A错误．
北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．其中北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，北斗—M3为一颗中圆地球轨道卫星(轨道半径小于静止轨道半径)，下列说法正确的是(　　)
A．北斗—G4和北斗—IGSO2都相对地面静止
B．北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等
C．北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于高度三次方之比
D. 北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度小
√
[解析]　北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，可知北斗—G4相对地面静止；北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，则北斗—IGSO2的周期等于地球自转周期，但北斗—IGSO2相对地面不是静止的，故A错误．
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(对第一宇宙速度的求解)恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为(　　)
A．7.9 km/s　　　　　 B．16.7 km/s
C．2.9×104 km/s D．5.8×104 km/s
√
√
解析：火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，但还在太阳系内，发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度，A、B错误，C正确；
√
3．(卫星运行规律的分析)(2025·佛山市期末)如图所示，A表示地球静止卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道表面上的一个物体，关于它们的线速度、角速度、运行周期和加速度的比较，下列关系式正确的是　(　　)
A．ωA>ωB>ωC　　　 B．vB>vC>vA
C．aB>aA>aC D．TA>TC>TB
√
4．(近地卫星、静止卫星和赤道上物体)(2025·茂名期中)如图，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和静止轨道通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列判断正确的是(　　)
A．v1>v2>v3 B．v2>v3>v1
C．a2>a1>a3 D．a11．理解“称量地球质量”的基本思路，了解万有引力定律在天文学上的重要应用．
2．会用万有引力定律计算天体的质量和密度．
3．理解计算太阳质量的基本思路，能将天体问题中的对象和过程转换成相关模型后进行求解．
4．掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法．
一、预测地球形状
1．地球由于自转作用呈两极扁平的椭球体．
2．万有引力与重力的关系
(1)万有引力可以分解为重力和物体随地球自转所需的向心力．
(2)重力与纬度的关系：当物体从两极移向赤道时重力减小，而物体的质量不变，因此重力加速度g随之减小．
二、预测未知天体
1．已发现天体的轨道推算：1781年，英国天文学家赫歇尔用自制大型反射望远镜发现了太阳系的第七颗行星——天王星之后，各国天文学家都对它进行了持续的观测，结果发现，天王星的运行轨道，与根据万有引力定律计算出来的轨道之间存在明显的偏差．
2．未知天体的发现：英国剑桥大学的青年学生亚当斯和法国青年天文学家勒威耶结合万有引力计算，并将理论计算结果与实际观测数据反复对照，不断修正，终于在1845年分别独立推算出一颗新行星的运行轨道.1846年9月23日，柏林天文台的望远镜对准他们计算出来的轨道位置观测，发现了一颗新的行星——海王星．
3．物理意义：海王星的发现，以及英国天文学家哈雷根据万有引力定律预言的哈雷彗星“按时回归”，确立了万有引力定律的地位，充分显示了科学理论对实践的巨大指导作用．
三、估算天体的质量
1．估算地球的质量
(1)因为月球绕地球做匀速圆周运动所需的向心力由它们之间的万有引力提供，所以G＝m月r.由此可得地球的质量M地＝．
(2)地球表面的物体受到的重力近似等于地球对物体的万有引力，有m物g＝G，由此可得地球的质量M地＝．
2．我们只要知道卫星或行星绕中心天体运动的周期及两者之间的距离，或天体半径及其表面重力加速度，就可以求出该中心天体的质量．
判断下列说法是否正确．
(1)地球表面的物体所受的重力必然等于地球对它的万有引力．(　　)
(2)若只知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的半径，则可以求出太阳的质量.(　　)
(3)牛顿被称作第一个称出地球质量的人．(　　)
(4)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量．(　　)
(5)海王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的．(　　)
提示：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
知识点一　万有引力和重力的关系
如图所示，人站在地球(地球被视为规则的球体)的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置，人随地球的自转而做半径不同的匀速圆周运动，请思考：
(1)人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？
(2)人在地球的不同位置，哪个力提供向心力？大小相同吗？受到的重力大小一样吗？
[提示]　(1)根据万有引力定律F＝G可知，人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样．
(2)万有引力的一个分力提供人随地球转动需要的向心力；在地球的不同位置，向心力不同；重力是万有引力的另一个分力，所以人在地球的不同位置，受的重力大小不一样．
1．重力为地球引力的分力
如图甲所示，设地球的质量为m地、半径为R，A处物体的质量为m，则物体受到地球吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G.
图中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力，F2就是物体所受的重力mg，故一般情况下，mg＜G.
eq \o(\s\up7(),\s\do5(甲)) 　 eq \o(\s\up7(),\s\do5(　乙))
2．重力和万有引力的大小关系
(1)重力与纬度的关系如图乙所示．
①在赤道：F－FN＝mrω2，FN＝mg，故mg＝G－mrω2，由于F向＝mrω2最大，则mg最小．
②在两极：由于F向＝mrω2＝0，故mg＝G最大．
③在地面上其他位置，mg＜G，向心力F1＝mrω2，随着纬度的增大而减小，重力逐渐增大，直到等于地球对物体的万有引力．
(2)重力、重力加速度与高度的关系．
由于地球的自转角速度很小，所以一般情况下可忽略自转的影响．
①在地球表面：mg＝G，g＝，g为常数．
②在距地面h处：mg′＝G，g′＝，高度h越大，重力越小，重力加速度g′越小．
　如图所示，P、Q是质量均为m的两个质点，分别置于地球表面不同纬度上．如果把地球看成是一个质量分布均匀的球体，P、Q两质点随地球自转做匀速圆周运动，则下列说法正确的是(　　)
A．P、Q所受地球引力大小相等
B．P、Q做圆周运动的向心力大小相等
C．P、Q做圆周运动的线速度大小相等
D．P、Q两质点的重力大小相等
[解析]　设地球质量为M，半径为R，P、Q两质点所受地球引力都是F＝，A正确；P、Q都随地球一起转动，其角速度一样大，但P的轨道半径大于Q的轨道半径，根据v＝ωr，F向＝mω2r 可得，vP>vQ，F向P>F向Q，B、C错误；万有引力的一个分力提供物体所受的重力，另外一个分力提供向心力，可得在赤道处重力最小，随着纬度的增加，向心力在减小，重力在增大，D错误．
[答案]　A
　(2025·茂名一中期末)天文学家发现遥远星空中的某颗半径为R绕通过两极的轴自转的行星两极处的重力加速度为g，而赤道处的重力加速度为两极处重力加速度的，则该行星自转的角速度为(　　)
A． 　　　　　 B．
C． D.
[解析]　对于该行星两极处的物体m，可得＝mg，对于赤道处的物体m′，可得G－m′ω2R＝m′·g，解得该行星自转的角速度ω＝ .
[答案]　B
知识点二　天体质量的计算
天体质量的计算
(1)“自力更生法”：若已知天体(如地球)的半径R和表面的重力加速度g，根据物体的重力近似等于天体对物体的万有引力，得mg＝G，解得天体质量m地＝，因g、R是天体自身的参量，故称“自力更生法”．
(2)“借助外援法”：借助绕中心天体(如地球)做圆周运动的行星或卫星的运动周期T和轨道半径r计算中心天体的质量，依据是万有引力提供行星或卫星做圆周运动的向心力．
常见的情况如下：
万有引力提供向心力 中心天体的质量 说明
G＝m M＝ r为行星(或卫星)的轨道半径，v、ω、T为行星(或卫星)的线速度、角速度和周期
G＝mrω2 M＝
G＝mr M＝
角度1　“自力更生法”求天体质量
　如果你站在月球上，由静止释放质量为m的物体，物体在t秒内下落了h米，若已知月球的半径为R、引力常量为G，根据以上给出的物理量得出月球的质量为(　　)
A．mg　 B．　　
C．　 D．
[解析]　物体做自由落体运动有h＝g月t2，根据万有引力与重力的关系G＝mg月，解得月球的质量M＝.
[答案]　B
　假如人类发现了某星球，人类登上该星球后，进行了如下实验：在固定的竖直光滑圆轨道内部，一小球恰好能做完整的圆周运动，小球在最高点时的速度为v，轨道半径为r.若已测得该星球的半径为R，引力常量为G，则该星球的质量为(　　)
A． B．
C． D．
[解析]　设小球的质量为m，该星球的质量为M，该星球表面的重力加速度为g，因小球恰好做完整的圆周运动，由牛顿第二定律以及向心力公式可得mg＝，解得g＝，对于该星球表面质量为m′的物体，万有引力近似等于其重力，即m′g＝，由此可得M＝.
[答案]　D
角度2　“借助外援法”求天体质量
　(2025·河源月考)假如你将来成为一名航天员，你驾驶一艘宇宙飞船飞临一未知星球，现当你关闭动力装置后，你的飞船贴着星球表面做匀速圆周运动飞行一周的时间为t，已知飞船的飞行速度大小为v，引力常量为G.求：
(1)该星球的半径R；
(2)该星球的质量M；
(3)该星球表面的重力加速度g.
[解析]　(1)根据题意，飞船飞行一周有2πR＝vt
解得R＝.
(2)根据题意，由星球对飞船的万有引力提供向心力有G＝m
解得星球质量M＝.
(3)根据题意，在星球表面有G＝m1g
解得星球表面的重力加速度g＝.
[答案]　(1)　(2)　(3)
知识点三　天体密度的计算
　天体密度的计算
(1)利用天体表面的重力加速度求天体密度，由mg＝G 和M＝ρ·，得ρ＝.
(2)利用天体的卫星求天体密度
若已知中心天体的半径R、环绕天体的卫星的运转周期T、轨道半径r，则可得G＝mr，中心天体质量M＝ρ·πR3，联立可得ρ＝.当卫星环绕天体表面运动时，卫星的轨道半径r可认为等于天体半径R，则ρ＝.
　(2025·海南卷，T6)嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为(　　)
A．　　　　 B．
C． D．(1＋k)3
[解析]　设月球半径为R，质量为M，对嫦娥六号，根据G＝m·(k＋1)R，月球的体积V＝πR3，月球的平均密度ρ＝，联立可得ρ＝(1＋k)3.
[答案]　D
　(2025·安徽马鞍山市期中)在未来的某一天，我国载人探月飞船嫦娥x号飞临月球，先在月球表面附近的圆轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，然后逐渐调整并安全登月．航天员出舱后沿竖直方向做了一次跳跃，不计空气阻力，他腾空的高度为h，腾空时间为t，引力常量为G.由此可计算出(　　)
A．月球的质量为
B．月球的半径为
C．月球的平均密度为
D．飞船在近月圆轨道上运行的线速度大小为
[解析]　根据h＝g，解得g＝，根据mg＝G，G＝mR，M＝ρ·πR3，解得R＝，M＝，ρ＝，A、C错误，B正确；根据v＝，解得v＝，D错误．
[答案]　B
综合一练　万有引力定律和平抛运动的综合
　载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标．假设航天员登上月球后，以初速度v0水平抛出一个小球，测得小球经时间t垂直落到倾角为θ的斜坡上．已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求：
(1)月球表面的重力加速度；
(2)月球的密度；
(3)人造卫星绕月球表面做匀速圆周运动的最小周期T.
[解析]　(1)以初速度v0水平抛出一个小球，测得小球经时间t垂直落到倾角为θ的斜坡上，则有tan θ＝，vy＝gt
解得月球表面的重力加速度g＝.
(2)假设月球表面一物体质量为m，有G＝mg
又M＝ρ·πR3
联立解得月球的密度ρ＝.
(3)人造卫星绕月球表面做匀速圆周运动的最小周期等于卫星靠近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，由万有引力提供向心力有
G＝mR
联立解得T＝2π.
[答案]　(1)　(2)
(3)2π
1．(万有引力和重力的关系)航天员在中国空间站内进行了太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)
A．0　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选B.由G＝mg得，g＝，故B正确．
2．(天体质量的计算)我国火星探测器天问一号实现了对火星的环绕运行，若其绕火星做匀速圆周运动的线速度大小为v，周期为T，引力常量为G，则火星的质量为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A.天问一号绕火星做匀速圆周运动的线速度大小为v，周期为T，则有天问一号绕火星做匀速圆周运动的轨道半径r＝，根据万有引力提供向心力有G＝m，联立解得火星的质量M＝.
3．(天体密度的计算)地球表面重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G.下列关于地球密度的估算式正确的是(　　)
A．ρ＝ B．ρ＝
C．ρ＝ D．ρ＝
解析：选A.忽略地球自转，地球表面重力等于万有引力，由G＝mg得M＝，地球的密度ρ＝，又V＝πR3，联立可得ρ＝，故A正确，B、C、D错误．
4．(万有引力的应用)(2025·佛山月考)关于万有引力定律应用于天文学研究的历史事实，下列说法正确的是(　　)
A．天王星、海王星和冥王星，都是运用万有引力定律经过大量计算后发现的
B．预测哈雷彗星的回归是万有引力的成就之一
C．海王星是牛顿运用自己发现的万有引力定律经大量计算而发现的
D．冥王星是英国剑桥大学的学生亚当斯和勒维耶合作研究后共同发现的
解析：选B.由行星的发现历史可知，天王星不是根据万有引力定律计算出轨道而发现的，故A错误；天文学家哈雷根据万有引力定律预言哈雷彗星的回归，预测哈雷彗星的回归是万有引力的成就之一，故B正确；在18世纪已经发现的7颗行星中，人们发现第七颗行星——天王星的运动轨道总是同根据万有引力定律计算出来的结果有比较大的偏差，于是有人推测，在天王星轨道外还有一颗行星，是它的存在引起了上述偏差，英国剑桥大学的学生亚当斯和法国天文学家勒维耶各自独立计算出“新”星的轨道，1846年德国伽勒在预言位置的附近发现了“新”星——海王星，故C、D错误．(共24张PPT)
专题提升课5　
天体运动的热点问题
专题深度剖析
PART
01
第一部分
1．变轨问题概述
微专题一　卫星变轨与对接问题
2．两种常见形式
(1)渐变
由于某个因素的影响使卫星的轨道半径发生缓慢的变化，由于半径变化缓慢，卫星每一周的运动仍可以看成是匀速圆周运动．
①关键要点：轨道半径r减小(近心运动).
这种变轨运动的起因是阻力使卫星速度减小，所需要的向心力减小了，而万有引力大小没有变，因此卫星将做近心运动，即轨道半径r将减小．
②各个物理参量的变化：当轨道半径r减小时，卫星线速度v、角速度ω、向心加速度a增大，周期T减小．
(2)突变
由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其到达预定的轨道．
发射同步卫星时，通常先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1，在P点第一次点火加速，在短时间内将速率由v1增加到v2，使卫星进入椭圆轨道Ⅱ；卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动．
3．对接问题
(1)低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示，低轨道飞船通过合理加速，沿椭圆轨道(做离心运动)追上高轨道空间站与其完成对接．
(2)同一轨道上的飞船和空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度．
√
(多选)(2025·东莞市期中)北京时间2024年5月3日17时27分，长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场点火升空，嫦娥六号顺利发射．如图所示，经多次变轨修正之后，探测器降落月球表面．下列说法正确的是(　　)
A．在地球上的发射速度一定大于第一宇宙速度
B．在P点由轨道1进入轨道2需要瞬间点火加速
C．在轨道1的运行周期小于轨道2的运行周期
D．经过Q点时的加速度大于经过P点时的加速度
角度1　卫星变轨原理
√
[解析]　第一宇宙速度是发射卫星的最小速度，故在地球上的发射速度一定大于第一宇宙速度，故A正确；
卫星在轨道1上的P点处减速，使万有引力大于所需的向心力做近心运动，才能进入轨道2，故B错误；
√
北京时间2025年7月16日，搭载天舟九号货运飞船的长征七号遥十运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，发射取得圆满成功．后续，天舟九号货运飞船成功对接于空间站天和核心舱．若对接前两者在同一轨道上运动，下列说法正确的是(　　)
A．对接前天舟九号的运行速率大于空间站组合体的运行速率
B．对接前天舟九号的向心加速度小于空间站组合体的向心加速度
C．天舟九号通过加速可实现与空间站组合体在原轨道上对接
D．天舟九号先减速后加速可实现与空间站组合体在原轨道上对接
角度2　飞船与空间站对接问题
飞船与空间站在同一轨道上，此时飞船受到的万有引力等于向心力，若让飞船加速，则所需要的向心力变大，万有引力不变，所以飞船做离心运动，不能实现对接，C错误；
天舟九号先减速做近心运动，进入较低的轨道，后加速做离心运动，轨道半径变大，可以实现对接，D正确．
微专题二　卫星相距“最近”“最远”问题
√
(2025·深圳月考)三颗人造卫星A、B、C都在赤道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，此时A、B相距最近，如图所示．已知卫星B的运动周期为T，则(　　)
A.C加速可追上同一轨道上的A
B．A、C的向心加速度大于B的向心加速度
C．从图示时刻到A、B再次相距最近所需时间小于T
D．相同时间内，B与地心连线扫过的面积小于A与地心连线扫过的面积
[解析]　卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上同一轨道上的卫星A，故A错误；
√
√
1．双星模型
(1)两个离得比较近的天体，在彼此间的引力作用下绕两者连线上的某一点做圆周运动(如图所示).
微专题三　双星模型和多星模型
2．多星模型
(1)多颗星体在同一轨道平面上绕同一点做匀速圆周运动，每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供．
(2)每颗星体转动的方向都相同，运行周期、角速度都相等．
√第四节　宇宙速度与航天
1．了解人造地球卫星的最初构想，会推导第一宇宙速度．　2.知道同步卫星和其他卫星的区别，会分析人造地球卫星的受力和运动情况并解决涉及人造地球卫星运动的较简单的问题．　3.了解发射速度与环绕速度的区别与联系，理解天体运动中的能量观．　4.会应用万有引力定律分析卫星运行规律．
一、宇宙速度
1．第一宇宙速度：我们把航天器在地面附近绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度7.9km/s称为第一宇宙速度，也叫环绕速度．
2．第二宇宙速度：使航天器挣脱地球的引力，不再绕地球运行，而是绕太阳运动或飞向其他
行星的最小发射速度11.2km/s称为第二宇宙速度，又叫逃逸速度．
3．第三宇宙速度：使航天器挣脱太阳的引力，飞出太阳系，其发射速度至少要达到16.7km/s，这一速度称为第三宇宙速度．
二、人造地球卫星
1．定义：人造地球卫星是指环绕地球在宇宙空间轨道上运行的无人航天器．
2．分类：通信卫星、测地卫星、气象卫星、科学卫星等．
3．北斗卫星导航系统
(1)北斗卫星导航系统是由中国自主建设、独立运行的卫星导航系统，是为全球用户提供全天候、全天时、高精度的定位、导航和授时服务的国家重要空间基础设施．
(2)静止轨道卫星是指与地球相对静止的卫星，这种卫星是地球同步卫星的一种，它的轨道平面与赤道平面重合，并且位于赤道上空一定的高度上．
三、遨游太空
1．1961年4月12日，人类首次遨游太空．
2．2003年10月15日，中国首次载人航天飞行圆满完成．
3．2017年4月22日，中国航天事业正式迈进“空间站”时代．
4．2021年“天和”核心舱的成功发射与入轨，标志着我国空间站建造进入全面实施阶段．
判断下列说法是否正确．
(1)在地面上发射人造卫星的最小速度是7.9 km/s.(　　)
(2)在地面上发射火星探测器的速度应为11.2 km/s(3)要发射离开太阳系的探测器，所需发射速度至少为16.7 km/s.(　　)
(4)要发射一颗月球卫星，在地面的发射速度应大于16.7 km/s.(　　)
(5)地球的静止卫星一定位于赤道的正上方.　(　　)
(6)地球同步卫星的周期与地球自转的周期相同．　(　　)
提示：(1)√　(2)√　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√
知识点一　对宇宙速度的理解
发射卫星，要有足够大的速度才行．
(1)怎样求地球的第一宇宙速度？不同星球的第一宇宙速度是否相同？
(2)把卫星发射到更高的轨道上需要的发射速度越大还是越小？
[提示]　(1)根据G＝m，得v＝；可见第一宇宙速度由地球的质量和半径决定，不同星球的第一宇宙速度不同．
(2)轨道越高，需要的发射速度越大．
1．第一宇宙速度：第一宇宙速度是人造卫星近地环绕地球做匀速圆周运动的速度．
2．第一宇宙速度的两种推导方法
对于近地人造卫星，轨道半径r近似等于地球半径R≈6 400 km，卫星在轨道处所受的万有引力近似等于卫星在地面上所受的重力，g取9.8 m/s2.
方法一：
方法二：
3．决定因素
由第一宇宙速度的计算式v＝可以看出，第一宇宙速度的值由中心天体决定，第一宇宙速度的大小取决于中心天体的质量M和半径R，与卫星无关．
4．对第一宇宙速度的理解
(1)“最小发射速度”：向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星困难，因为发射卫星要克服地球对它的引力．近地轨道是人造卫星的最低运行轨道，而近地轨道的发射速度就是第一宇宙速度，所以第一宇宙速度是发射人造卫星的最小速度．
(2)“最大环绕速度”：在所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星中，近地卫星的轨道半径最小，由G＝m可得v＝，轨道半径越小，线速度越大，所以在这些卫星中，第一宇宙速度是所有环绕地球做匀速圆周运动的卫星的最大环绕速度．
角度1　对宇宙速度的理解
　关于第一宇宙速度，下列说法正确的是　(　　)
A．第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的最小速度
B．第一宇宙速度是人造地球卫星环绕地球做匀速圆周运动的最大速度
C．第一宇宙速度是地球同步卫星环绕地球做匀速圆周运动的速度
D．不同行星的第一宇宙速度都是相同的
[解析]　第一宇宙速度的大小等于在地面附近运行的卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度，卫星做圆周运动的向心力由地球对它的万有引力提供，由G＝m可得v＝　，可见卫星的高度越高，则其环绕地球做匀速圆周运动的线速度越小，所以靠近地球表面运行的卫星(h可忽略)的线速度最大，所以A错误，B正确；地球同步卫星在地球的高空运行，所以它的线速度小于第一宇宙速度，所以C错误；行星的第一宇宙速度v＝　，式中的M、R为行星的质量、半径，不同行星的质量和半径不同，所以不同行星的第一宇宙速度一般不同，D错误．
[答案]　B
　(2025·广东省合格考模拟)如图所示，在地面附近要发射一颗绕地球运行的卫星，发射速度(　　)
A．v＝7.9 km/s　　　　　　　
B．v＝11.2 km/s
C．7.9 km/s≤v<11.2 km/s
D．11.2 km/s≤v<16.7 km/s
[解析]　要发射一颗绕地球运行的卫星，发射速度既不能低于第一宇宙速度，否则无法发射成功；也不能超过第二宇宙速度，否则将会克服地球引力，永远离开地球，故发射速度v的取值范围为7.9 km/s≤v<11.2 km/s.
[答案]　C
角度2　第一宇宙速度的求解
　(2025·深圳期中)航天员在某星球表面高h处以某速度水平抛出一个小球，小球经过时间t落在星球表面．该星球的质量为M，引力常量为G，星球表面的空气阻力不计，忽略星球的自转．求：
(1)该星球的半径R；
(2)该星球的第一宇宙速度的大小v.
[解析]　(1)设该星球表面附近的重力加速度大小为g，小球在竖直方向做自由落体运动，有h＝gt2
解得g＝
设该星球表面上有一物体的质量为m，忽略星球自转，万有引力等于重力，有G＝mg
解得R＝t.
(2)设某卫星的质量为m′，该卫星在星球表面附近运行，有m′g＝m′
解得v＝.
[答案]　(1)t　(2)
知识点二　卫星运行规律分析
如图所示，在地球的周围，有许多的卫星在不同的轨道上绕地球转动．
(1)这些卫星的轨道平面有什么特点？
(2)这些卫星的线速度、角速度、周期、向心加速度等跟什么因素有关呢？
[提示]　(1)轨道平面过地心．
(2)与轨道半径有关．
1．卫星运动遵循的规律：卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心在椭圆的一个焦点上，卫星的周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定律．
2．卫星轨道的圆心：卫星绕地球沿圆形轨道运动时，因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引力指向地心，所以地心是卫星圆轨道的圆心．
3.卫星的轨道：卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如静止卫星)，可以通过两极上空(如极地卫星)，也可以和赤道平面成任意角度．
4．运行参量
(1)由G＝m得v＝ ，h越大，轨道半径越大，线速度越小．
(2)由G＝mω2(R＋h)得ω＝，h越大，轨道半径越大，角速度越小．
(3)由G＝m(R＋h)得T＝，h越大，轨道半径越大，周期越大．
(4)由G＝ma得a＝，h越大，轨道半径越大，向心加速度越小．
　“祝融号”火星车需要“休眠”以度过火星寒冷的冬季．假设火星和地球的冬季是各自公转周期的四分之一，且火星的冬季时长约为地球的1.88倍．火星和地球绕太阳的公转均可视为匀速圆周运动．下列关于火星、地球公转的说法正确的是　(　　)
A．火星公转的线速度比地球的大
B．火星公转的角速度比地球的大
C．火星公转的半径比地球的小
D．火星公转的加速度比地球的小
[解析]　根据题述，火星冬季时长为地球的1.88倍，可知火星绕太阳运动的周期是地球的1.88倍，由开普勒第三定律可知，火星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径比地球绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径大，C错误；由G＝m，解得v＝，由r火>r地可得v火r地可得ω火<ω地，B错误；由G＝ma，解得a＝，由r火>r地可得a火[答案]　D
　(多选)(2025·广东高一期末)如图所示，甲、乙两颗卫星以相同的轨道半径分别绕半径相同、质量为M和2M的A、B两颗行星做匀速圆周运动， 忽略行星的自转， 下列说法正确的是(　　)
A．甲、乙两颗卫星的线速度大小之比为1∶
B．甲、乙两颗卫星的周期之比为1∶
C．A、B两颗行星的地表重力加速度之比为1∶2　
D．A、B两颗行星的第一宇宙速度之比为1∶　
[解析]　由万有引力提供向心力，有G＝m得v＝，可知甲、乙两颗卫星的线速度大小之比为1∶，故A正确；由万有引力提供向心力，有G＝mr得T＝，可知甲、乙两颗卫星的周期之比为∶1，故B错误；假设在两行星表面有一质量为m′的物体，由重力等于万有引力有m′g＝G得g＝，A、B两颗行星的地表重力加速度之比为1∶2，故C正确；设行星的第一宇宙速度为v1，由公式G＝m0 eq \f(v,R) 得v1＝，所以A、B两颗行星的第一宇宙速度之比为1∶，故D正确．
[答案]　ACD
知识点三　近地卫星、静止卫星和赤道上物体
1．三者比较
(1)轨道半径：近地卫星与赤道上物体的轨道半径相同，均等于地球半径，静止卫星的轨道半径较大．
(2)运行周期：静止卫星与赤道上物体的运行周期相同，由T＝2π可知，近地卫星的周期小于静止卫星的周期．
(3)向心力：近地卫星和静止卫星都只受万有引力作用，由万有引力提供向心力，满足由万有引力提供向心力的天体的运行规律．赤道上的物体由万有引力和地面支持力的合力提供向心力，它的运动规律不同于卫星的运动规律．
(4)向心加速度：由a＝G知，静止卫星的加速度小于近地卫星的加速度．由a＝ω2r＝r知，静止卫星的加速度大于赤道上物体的加速度．
2．地球静止卫星
(1)概念：相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星，叫作地球静止卫星．
(2)特点
①确定的转动方向：和地球自转方向一致．
②确定的周期：和地球自转周期相同，即T＝24 h.
③确定的角速度：等于地球自转的角速度．
④确定的轨道平面：所有的静止卫星都在赤道的正上方，其轨道平面必须与赤道平面重合．
⑤确定的高度：离地面高度固定不变(3.6×104 km).
⑥确定的环绕速率：线速度大小一定(3.1×103 m/s).
　静止卫星是与地球自转同步的人造地球卫星，它位于赤道正上方，而且(　　)
A．运行速度可按需要取值
B．运行周期可按需要取值
C．到地心的距离是一确定的值
D．可以位于任何城市的上空
[解析]　地球静止卫星的特点是周期、角速度与地球自转同期、角速度相同，故B错误；由G＝mω2r得r＝，可知静止卫星的轨道半径是固定的，只能在赤道上空，离地高度固定，故C正确，D错误；根据v＝ωr可知运行速度大小一定，故A错误．
[答案]　C
　北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统．其中北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，北斗—M3为一颗中圆地球轨道卫星(轨道半径小于静止轨道半径)，下列说法正确的是(　　)
A．北斗—G4和北斗—IGSO2都相对地面静止
B．北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等
C．北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于高度三次方之比
D. 北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度小
[解析]　北斗—G4为一颗地球静止轨道卫星，可知北斗—G4相对地面静止；北斗—IGSO2为一颗倾斜同步轨道卫星，则北斗—IGSO2的周期等于地球自转周期，但北斗—IGSO2相对地面不是静止的，故A错误．根据＝mr可得T＝，由于北斗—G4和北斗—IGSO2的周期相等，则北斗—G4和北斗—IGSO2的轨道半径相等，故B正确．根据开普勒第三定律＝k，可知北斗—M3与北斗—G4的周期平方之比等于轨道半径三次方之比，故C错误．根据＝m可得v＝，由于中圆地球轨道卫星轨道半径小于静止轨道半径，则北斗—M3的线速度比北斗—IGSO2的线速度大，故D错误．
[答案]　B
1．(对第一宇宙速度的求解)恒星演化发展到一定阶段，可能成为恒星世界的“侏儒”——中子星．中子星的半径较小，一般在7～20 km，但它的密度大得惊人．若某中子星的半径为10 km，密度为1.2×1017 kg/m3，那么该中子星上的第一宇宙速度约为(　　)
A．7.9 km/s　　　　　 B．16.7 km/s
C．2.9×104 km/s D．5.8×104 km/s
解析：选D.中子星上的第一宇宙速度即为它表面处的飞行器的环绕速度．飞行器的轨道半径近似认为是该中子星的半径，且中子星对飞行器的万有引力充当向心力，由G＝m，得v＝ ，又M＝ρV＝ρ，得v＝r ，代入数据解得v≈5.8×107 m/s＝5.8×104 km/s.
2．(对宇宙速度的理解)(多选)已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的.下列关于火星探测器的说法正确的是(　　)
A．发射速度只要大于第一宇宙速度即可
B．发射速度只有达到第三宇宙速度才可以
C．发射速度应大于第二宇宙速度且小于第三宇宙速度
D．环绕火星运行的最大速度约为地球第一宇宙速度的
解析：选CD.火星探测器前往火星，脱离地球引力束缚，但还在太阳系内，发射速度应大于第二宇宙速度、小于第三宇宙速度，A、B错误，C正确；绕火星运行的最大速度即为火星的第一宇宙速度，由G＝m得v＝，已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的，可得火星的第一宇宙速度与地球第一宇宙速度之比＝＝＝，D正确．
3．(卫星运行规律的分析)(2025·佛山市期末)如图所示，A表示地球静止卫星，B为运行轨道比A低的一颗卫星，C为地球赤道表面上的一个物体，关于它们的线速度、角速度、运行周期和加速度的比较，下列关系式正确的是　(　　)
A．ωA>ωB>ωC　　　 B．vB>vC>vA
C．aB>aA>aC D．TA>TC>TB
解析：选C.地球静止卫星与赤道共平面且相对赤道上的物体静止，因此地球静止卫星的周期与赤道上物体随地球自转的周期相同，即ωA＝ωC，TA＝TC，由v＝ωr，a＝ω2r，可得vA>vC，aA>aC，根据G＝m＝mω2r＝mr＝ma，可得v＝，ω＝，T＝，a＝，显然vB>vA，ωB>ωA，TBaA，综合可得ωA＝ωC<ωB，TA＝TC>TB，vB>vA>vC，aB>aA>aC，故A、B、D错误，C正确．
4．(近地卫星、静止卫星和赤道上物体)(2025·茂名期中)如图，地球赤道上的山丘e、近地资源卫星p和静止轨道通信卫星q均在赤道平面上绕地心做匀速圆周运动．设e、p、q速率分别为v1、v2、v3，向心加速度分别为a1、a2、a3，则下列判断正确的是(　　)
A．v1>v2>v3 B．v2>v3>v1
C．a2>a1>a3 D．a1解析：选B.山丘e与静止轨道通信卫星q转动周期相等，根据v＝可知，由于山丘e的轨道半径小于静止轨道通信卫星q的轨道半径，故v3>v1；根据卫星的万有引力提供向心力有＝m，解得v＝，由于近地资源卫星的轨道半径小于静止轨道通信卫星q的轨道半径，故近地资源卫星的线速度大于静止轨道通信卫星的线速度，即v2>v3；故v2>v3>v1，故A错误，B正确．根据a＝ω2r＝可知，由于山丘e的轨道半径小于静止轨道通信卫星q的轨道半径，故山丘e的向心加速度小于静止轨道通信卫星q的向心加速度，即a11．某探月飞行器发射后进入离近月点约100公里的环月轨道．关于该飞行器的发射速度，下列说法正确的是(　　)
A．小于第一宇宙速度
B．介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间
C．介于第二宇宙速度和第三宇宙速度之间
D．大于第三宇宙速度
解析：选B.该飞行器进入离近月点约100公里的环月轨道后，仍围绕地球做椭圆运动，未摆脱地球的引力束缚，故该飞行器的发射速度介于第一宇宙速度和第二宇宙速度之间，故B正确，A、C、D错误．
2．设某探月卫星的轨道是圆形的，且贴近月球表面．已知月球的质量约为地球质量的 ，月球的半径约为地球半径的 ，地球上的第一宇宙速度约为7.9 km/s，则该探月卫星绕月运行的最大速率约为　(　　)
A．0.4 km/s　　　　　 B．1.8 km/s
C．11 km/s D．36 km/s
解析：选B.星球的第一宇宙速度即为围绕星球做圆周运动的轨道半径为该星球半径时的环绕速度，由万有引力提供向心力即可得出这一最大环绕速度．卫星所需的向心力由万有引力提供，即G＝m，得v＝ ，又由＝、＝，故月球和地球上第一宇宙速度之比＝，故v月＝7.9× km/s≈1.8 km/s，B正确．
3．已知某半径为r0的质量分布均匀的天体，测得它的一个卫星的圆轨道半径为r，卫星运行的周期为T.则在该天体表面的第一宇宙速度的大小是(　　)
A． B． eq \r(\f(4π2r3,T2r))
C． eq \r(\f(4π2r3,T2r)) D． eq \r(\f(4π2r2,T2r))
解析：选A.卫星做圆周运动，由万有引力提供向心力得＝mr，解得GM＝，根据第一宇宙速度的定义 eq \f(GMm,r) ＝m，解得v＝.
题组2　卫星运行规律的分析
4．中国空间站运行周期约为90分钟．北斗系统的GEO卫星是地球静止卫星，空间站和GEO卫星绕地球均可视为匀速圆周运动，下列说法正确的是　(　　)
A．GEO卫星可以在地面任何一点的正上方，但离地心的距离是一定的
B．空间站的轨道半径比GEO卫星的轨道半径大
C.空间站的线速度比GEO卫星的线速度大
D．空间站的向心加速度比GEO卫星的向心加速度小
解析：选C.北斗系统的GEO卫星是地球静止卫星，根据静止卫星规律可知，GEO卫星位于赤道正上方，离地心的距离是一定的，故A错误；根据开普勒第三定律k＝可知空间站的轨道半径比GEO卫星的轨道半径小，故B错误；根据万有引力提供向心力有G＝m，可得v＝，可知空间站的线速度比GEO卫星的线速度大，故C正确；根据万有引力提供向心力有G＝ma，可得a＝，空间站的向心加速度比GEO卫星的向心加速度大，故D错误．
5．如图所示，在梦天实验舱航天员演示奇妙“乒乓球”实验过程中，小水球“漂”在空中来回运动而未“下落”，则小水球(　　)
A．处于超重状态
B．处于完全失重状态
C．处于平衡状态
D．不受地球引力作用
解析：选B.因万有引力充当做圆周运动的向心力，则小水球“漂”在空中来回运动而未“下落”，小水球处于完全失重状态，但仍受地球的引力作用．
6．羲和号是我国首颗可24小时全天候对太阳进行观测的试验卫星．可认为羲和号绕地球做匀速圆周运动，每24小时绕地球运行n圈(n>1)，轨道平面与赤道平面垂直，轨道如图所示．关于羲和号，下列说法正确的是(　　)
A．线速度大于第一宇宙速度
B．角速度大于地球同步卫星的角速度
C．向心加速度小于地球同步卫星的向心加速度
D．发射速度大于第二宇宙速度
解析：选B.地球第一宇宙速度等于地面表面轨道卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大运行速度，则羲和号的线速度小于第一宇宙速度，故A错误；根据万有引力提供向心力可得＝mr＝mω2r＝ma，可得T＝，ω＝，a＝，由题意可知羲和号的周期小于同步卫星的周期，则羲和号的轨道半径小于同步卫星的轨道半径，羲和号的角速度大于地球同步卫星的角速度，羲和号的向心加速度大于地球同步卫星的向心加速度，故B正确，C错误；羲和号的发射速度大于第一宇宙速度小于第二宇宙速度，故D错误．
题组3　近地卫星、静止卫星和赤道上物体
7．下列关于地球静止卫星的说法正确的是(　　)
A．静止卫星定点在地球上空某处，各个静止卫星的角速度相同，但线速度可以不同
B．不同国家发射静止卫星的地点不同，这些卫星的轨道不一定在同一平面内
C．为避免静止卫星在轨道上相撞，应使它们运行在不同轨道上
D．静止卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上
解析：选D.静止卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力可得＝mω2r，解得r＝，由于各个静止卫星的角速度相同，则轨道半径相同，根据v＝ωr可知它们的线速度大小相同，故A错误；不同国家发射静止卫星的地点不同，但轨道固定不变，所以这些卫星轨道一定在同一平面内，故B错误；静止卫星运行轨道为位于地球赤道平面上空圆形轨道，轨道固定不变，故C错误；由上分析可知，静止卫星只能运行在赤道上空某一恒定高度上，故D正确．
8．如图所示，卫星a还未发射，在地球赤道上随地球表面一起转动，卫星b绕地球做匀速圆周运动，卫星c是地球静止卫星，则(　　)
A．a的线速度小于第一宇宙速度
B．a的向心加速度等于重力加速度
C.b的运行周期比c的运行周期大
D．b的向心加速度比c的向心加速度小
解析：选A.根据题意可知a、c角速度相等，根据v＝ωr可知a的线速度小于c的线速度，对于绕地球做圆周运动的物体，根据G＝m，可得v＝，当卫星贴近地球表面做圆周运动时，卫星的线速度等于第一宇宙速度，可知c的线速度小于第一宇宙速度，则a的线速度小于第一宇宙速度，故A正确；根据an＝ω2r可知a的向心加速度小于c的向心加速度，对于绕地球做圆周运动的物体，根据G＝man，可得an＝，可知b的向心加速度比c的向心加速度大，当卫星贴近地球表面做圆周运动时，卫星的加速度等于重力加速度g，则c的向心加速度小于重力加速度g，可得a的向心加速度小于重力加速度 ，故B、D错误；根据万有引力提供向心力可得G＝mr，可得T＝2π，可知b的运行周期比c的运行周期短，故C错误．
9．有科幻作品提及太空电梯，设想中太空电梯可连接地球赤道上的固定基地与其正上方同步轨道上的空间站B，若升降舱A因出现故障被迫留在图示位置，下列说法正确的是(　　)
A．太空电梯上各点线速度大小均相同
B．升降舱A的角速度大于空间站B的角速度
C．升降舱A的周期等于空间站B的周期
D．若升降舱A突然脱离电梯，将做离心运动
解析：选C.根据题意可知，太空电梯上各点角速度大小均相同，根据v＝rω可知，升降舱A的角速度等于空间站B的角速度，线速度大小不相同，故A、B错误；根据T＝可知，升降舱A的周期等于空间站B的周期，故C正确；根据G＝mω2r可知，升降舱A所在位置的卫星角速度大于现在升降舱A的角速度，所以若升降舱A突然脱离电梯，万有引力大于所需向心力，将做近心运动，故D错误．
10．地球赤道上的物体重力加速度为g，物体在赤道上随地球自转的向心加速度为a，要使赤道上的物体“飘”起来，则地球转动的角速度应为原来的(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B.设地球原来自转的角速度为ω1，地球半径为R，用F表示地球对赤道上的物体的万有引力，N表示地面对物体的支持力，由牛顿第二定律有F－N＝mωR＝ma，而物体受到的支持力与物体的重力平衡，所以有N＝G＝mg，当赤道上的物体刚刚“飘起来”时，由万有引力提供向心力，设此时地球转动的角速度为ω2，则有F＝mωR，联立以上三式可得＝.
11．一次宇宙冒险家到达一个未知星球，首先以无动力状态在近地轨道绕行观察，飞行速度为v，测得环绕周期为T.下列计算不正确的是　(　　)
A．星球质量为
B．星球半径为
C.星球第一宇宙速度为v
D．星球表面重力加速度为
解析：选A.由题知，冒险家是以无动力状态在近地轨道绕行观察，即运行轨道的半径等于星球半径，故星球第一宇宙速度为v，故C正确，不符合题意；根据v＝解得r＝，根据万有引力定律有G＝m，解得M＝，故A错误，符合题意，B正确，不符合题意；在星球表面有G＝mg，根据万有引力定律有G＝m，联立解得g＝，故D正确，不符合题意．
12．(8分)(2025·东莞市期中)已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑地球自转的影响(此时可认为重力与万有引力相等)，地球视为均匀球体．物体在地球附近绕地球做匀速圆周运动的速度叫作第一宇宙速度．
(1)计算地球的质量M.(4分)
(2)计算第一宇宙速度的大小v1.(4分)
解析：(1)根据题意可知，在地球表面的物体重力等于受到的万有引力，则有
G＝mg
解得M＝.
(2)根据题意，由万有引力提供向心力有G＝m eq \f(v,R)
又有G＝mg
联立解得v1＝.
答案：(1)　(2)(共20张PPT)
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√
题组1　卫星变轨问题
1．我国“陆地探测四号01星”卫星入轨成功，可全天候扫描亚太地区．该卫星发射后先在椭圆过渡轨道运动，在近地点A的速度为vA，远地点P的速度为vP.飞行一定时间后在P点进入圆运行轨道，在圆运行轨道速度为vB.则(　　)
A．vA＞vP＝vB　　　 B．vA＞vB＞vP
C．vB＞vP＞vA D．vB＞vA＞vP
√
2.小智利用元宇宙模拟载人飞船实现登月，飞船在轨道Ⅱ绕月球做匀速圆周运动，在M点变轨后进入登陆轨道Ⅰ，N点为登月着陆点，则下列说法正确的是(　　)
A．飞船在轨道Ⅱ的速度可能大于7.9 km/s
B．飞船在轨道Ⅱ经过M点时的速度小于在轨道Ⅰ经过M点时的速度
C．飞船在轨道Ⅱ上的运行周期大于在轨道Ⅰ上的运行周期
D．小智登月后用一个弹簧测力计和一质量为m的砝码即可估测月球的质量
飞船在轨道Ⅱ经过M点时减速变轨可以进入轨道Ⅰ，所以飞船在轨道Ⅱ经过M点的速度大于在轨道Ⅰ经过M点时的速度，故B错误；
√
√
√
题组3　双星模型问题
4．宇宙中两颗靠得比较近的恒星，只受到彼此之间的万有引力作用互相绕转，称为双星系统．设某双星系统中A、B两星球绕其连线上的某点O做匀速圆周运动，如图所示，A星球的轨道半径大于B星球的轨道半径，则(　　)
A．星球A受到的引力一定大于星球B受到的引力
B．星球A的周期一定大于星球B的周期
C．星球A的角速度一定大于星球B的角速度
D．星球A的向心加速度一定大于星球B的向心加速度
解析：星球A受到的引力与星球B受到的引力就是二者之间的万有引力，大小相等，A错误；
双星系统中两颗星的周期相等，角速度相等，B、C错误；
根据a＝ω2r可知，半径大的向心加速度大，故星球A的向心加速度一定大于星球B的向心加速度，D正确．
√
√
√
解析：双星系统的角速度相同、周期相同，故A错误；
√
6.“双星系统”由两颗相距较近的恒星组成，每个恒星的线度远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离其他天体．如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动．现测得两颗星之间的距离为L，质量之比m1∶m2＝3∶2，则可知(　　)
A．m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
B．m1、m2做圆周运动的向心力之比为3∶2
C．m1、m2做圆周运动的半径之比为3∶2
D．m1、m2做圆周运动的线速度之比为2∶3
解析：根据双星系统的特点可知，m1、m2做圆周运动的角速度相同，即角速度之比为1∶1，故A错误；
万有引力提供向心力，由于相互作用的万有引力大小相等，所以m1、m2做圆周运动的向心力大小相等，即向心力之比为1∶1，故B错误；
由于m1、m2做圆周运动的向心力大小相等，则有m1ω2r1＝m2ω2r2，可得m1、m2做圆周运动的半径之比r1∶r2＝m2∶m1＝2∶3，根据v＝ωr，由于角速度相等，则m1、m2做圆周运动的线速度之比v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，故C错误，D正确．
√
7．如图，某卫星位于地月第二拉格朗日点，第二拉格朗日点是地月连线延长线上的一点，处于该位置上的卫星与月球同步绕地球公转．下列关于卫星的说法正确的是(　　)
A．卫星的周期大于月球的周期
B．卫星的角速度小于月球的角速度
C．卫星的线速度大于月球的线速度
D．卫星的向心加速度小于月球的向心加速度
解析：由题知，处于该位置上的卫星与月球同步绕地球公转，可知卫星的周期等于月球的周期，卫星的角速度等于月球的角速度，故A、B错误；
由于卫星的角速度等于月球的角速度，由题图可看出卫星绕地球公转的半径大于月球绕地球公转的半径，根据v＝ωr，可知卫星的线速度大于月球的线速度，故C正确；
根据a＝ω2r，可知卫星的向心加速度大于月球的向心加速度，故D错误．
√
√
解析：根据题意可知其中任意两颗星对第三颗星的合力指向圆心，则这两颗星对第三颗星的万有引力等大，由于这两颗星到第三颗星的距离相同，故这两颗星的质量相同，同理可得三颗星的质量一定相同，故A错误；
9．(10分)如图所示，在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角α＝60°，设地球半径为R，地球表面两极处的重力加速度为g.
(1)求A做圆周运动的角速度ωA.(4分)
(2)已知地球自转周期为T，赤道上有一个航天测控站B，求A、B从相距最近到开始不能直接通信的间隔时间t(卫星信号传输时间可忽略).(6分)(共26张PPT)
课后达标检测
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题组1　万有引力和重力的关系
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4．(多选)卡文迪许在实验室测引力常量G时，他风趣地说是在“称量地球的质量”．事实上，在测出引力常量G的大小后，人们便可根据相关观测数据对地球质量进行估算了．下面提供的几组数据中可以用来估算地球质量的是　(　　)
A．月球绕地球的运动周期及月球与地球的中心距离
B．人造地球卫星绕地球运行的周期和轨道半径
C．地球绕太阳运行的周期及地球到太阳的中心距离
D．地球表面的重力加速度和地球的半径
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知道人造地球卫星绕地球运行的周期和轨道半径，可以求出地球的质量，故B正确；
知道地球绕太阳运行的周期及地球到太阳的中心距离，只能求出太阳的质量，故C错误；
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5．已知引力常量为G，则在下列给出的各种情境中，能求出月球密度的是(　　)
A．在月球表面上让一个小球做自由落体运动，测出下落的高度H和时间t
B．测出月球绕地球做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r
C．发射一颗绕月球做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r和卫星的周期T
D．发射一颗贴近月球表面绕月球做匀速圆周运动的探月飞船，测出飞船运行的周期T
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由于不知道月球和地球的半径大小，所以无法求出它们的平均密度，C、D错误．
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9．在月球上的航天员，手头有一个质量为m的砝码，如果已知引力常量G和月球半径R，若要估测月球质量M，则只需要一个(　　)
A．秒表 B．刻度尺
C．弹簧测力计 D．长1 m轻质细线
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13．(12分)(2025·佛山市期末)已知某星球半径为R且质量分布均匀，星球两极表面的重力加速度大小为g，赤道表面重力加速度大小为ng(n<1)，引力常量为G.求：
(1)静止在该星球赤道水平面上质量为m的物体所受支持力FN大小；(4分)
解析：根据平衡条件，静止在该星球赤道水平面上质量为m的物体所受支持力大小等于物体的重力，FN＝nmg.
答案：nmg
(2)该星球的密度ρ；(4分)
(3)该星球自转的周期T.(4分)

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