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(共23张PPT)
课后达标检测
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2．(2025·茂名市期末)如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°.在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为(　　)
A．1∶1 B．4∶3
C．16∶9 D．9∶16
√
√
√
5．如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd.从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点．若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　)
A．b与c之间某一点 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
解析：过b作一条与水平面平行的直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v0水平抛出时，小球落在水平直线上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在所画水平线上一点，此点位于c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间．
√
题组2　平抛运动与其他运动的追及相遇问题
6．(多选)如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3 m/s 的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)
A．小球在空中飞行的时间为0.3 s
B．小球抛出点到斜面P点的水平距离为1.2 m　
C．小滑块沿斜面下滑的加速度为6 m/s2
D．小球抛出点到斜面底端的竖直高度为1.7 m　
√
由x＝v0t得小球抛出点到斜面P点的水平距离x＝1.2 m，B正确；
√
√
√
小球落到斜面上时，位移与水平方向夹角为45°，由平抛规律可知，速度与水平方向夹角满足tan α＝2tan 45°，故小球落到斜面上时，其速度方向与水平方向夹角为定值，故C正确；
小球落到圆弧面上时，其速度方向若与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线一定过圆心，又因为平抛运动中速度的反向延长线过水平位移的中点，则水平位移为2R，竖直位移为零，与平抛运动性质不符，故D错误．
10．(12分)(2025·惠州市期末)如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点．(空气阻力不计，重力加速度为g)
(1)求小球在空中飞行的时间及A、B间的距离．(6分)
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？(6分)
11．(14分)水平地面上有一高h＝4.2 m 的竖直墙，现将一小球以v0＝6.0 m/s的速度垂直于墙面水平抛出，已知抛出点与墙面的水平距离s＝3.6 m、离地面高H＝5.0 m，不计空气阻力，不计墙的厚度．重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小球碰墙点离地面的高度h1；(4分)
答案：3.2 m　
(2)小球碰墙时小球的速度大小；(4分)
解析：平抛运动在竖直方向上的分速度
vy＝gt＝10×0.6 m/s＝6 m/s
(3)为使小球能越过竖直墙，小球抛出时的初速度大小应满足的条件．(6分)
答案：　见解析专题提升课2　平抛运动的综合问题
微专题一　与斜面相关的平抛运动
角度1　对着斜面平抛
1．如果已知物体做平抛运动过程中某时刻的速度与斜面平行或垂直，可运用分解速度的方法，关键是找到速度方向与斜面倾角的关系，构建速度的矢量三角形．
水平速度vx＝v0，竖直速度vy＝gt
合速度v＝ eq \r(v＋v)，tan θ＝.
2．如果要求以最短位移打到斜面，过抛出点作斜面的垂线，交于A点，即落到A点的位移最小．相当于已知位移方向，分解位移，x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝＝.
　如图所示，以v0＝10 m/s的速度水平抛出的物体，飞行一段时间撞在斜面上，速度方向与斜面方向成60°角，g取10 m/s2，已知斜面倾角θ＝30°，以下结论正确的是(　　)
A．物体飞行时间是 s
B．物体撞击斜面时的速度大小为20 m/s
C．物体下降的高度是 m
D．物体飞行的水平位移为 m
[解析]　由几何关系可知，竖直速度vy＝v0tan 30°＝gt，则物体飞行时间t＝ s，故A错误；根据运动的分解，可得物体撞击斜面时的速度大小v＝＝ m/s，故B错误；根据竖直方向上的位移—时间公式，可得物体下降的距离h＝gt2＝×10×2 m＝ m，故C正确；根据水平方向上的运动学公式，可得物体飞行的水平位移x＝v0t＝10× m＝ m，故D错误．
[答案]　C
　(多选)(2025·广州高一期末)A、B两球从如图所示位置分别以v1和v2水平抛出(图中虚线为竖直线)，两球落在斜面上同一个位置，已知A球在空中运动位移最短，B球垂直打在斜面上，A、B两球在空中运动时间分别为t1和t2，忽略空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．t1＝2t2　　　　 B．t1＝t2
C．v2＝2v1 D．v2＝v1
[解析]　A球在空中运动位移最短，则有tan θ＝＝ eq \f(v1t1,\f(1,2)gt)＝，B球垂直打在斜面上，则有tan θ＝＝，又xA＝v1t1＝xB＝v2t2，联立可得t1＝t2，v2＝v1.
[答案]　BD
角度2　顺着斜面平抛
1．如果从斜面抛出的物体又落到斜面上，则位移平行于斜面，可运用分解位移的方法，关键是找到分位移与斜面倾角的关系，构建位移的矢量三角形．
水平位移x＝v0t
竖直位移y＝gt2
合位移s＝，tan θ＝.
2．若从斜面外开始平抛，沿斜面方向落入斜面，则速度方向与斜面相切，分解速度，vx＝v0，vy＝gt，tan α＝＝.
　(多选)跳台滑雪是一项极具挑战的运动．如图所示，运动员甲、乙经过一段时间加速后以不同初速度从O点水平飞出，甲落在P点，乙落在Q点．已知运动员甲、乙在水平方向的位移之比x甲∶x乙＝1∶2，忽略空气阻力，则运动员甲、乙(　　)
A．下落时间之比为1∶
B．下落时间之比为1∶2
C．初速度v甲∶v乙＝1∶
D．初速度v甲∶v乙＝∶1
[解析]　甲、乙做平抛运动的位移与水平方向的夹角相等，等于斜面倾角，设斜面倾角为θ，水平分位移为x，竖直分位移为h，则有tan θ＝，故h甲∶h乙＝x甲∶x乙＝1∶2，设平抛运动的时间为t，由竖直方向的自由落体运动规律得h＝gt2，解得＝＝，故A正确，B错误；设平抛运动的初速度大小为v，由水平方向的匀速直线运动知x＝vt，可得＝×＝×＝，故C正确，D错误．
[答案]　AC
微专题二　与曲面相关的抛体运动
1．抛出点和落点都在圆面上．如图甲所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道的A点以v0水平向右抛出，落在半圆形轨道上的C点．
　　
　　 　甲　　　 　　 　　乙
2．抛出点在圆面外，落点在圆面上．如图乙所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．
　(2025·深圳月考)如图所示为一半球形的碗，其中碗边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内．现将两个小球在M、N两点，分别以v1、v2的速度沿图示方向同时水平抛出，发现两球刚好落在碗上同一点Q，已知∠MOQ＝53°，不计空气阻力(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6).下列说法不正确的是(　　)
A.两球抛出的速度大小之比为1∶4
B．若仅增大v2，则两球将在落入碗中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在碗上同一点，两球抛出的速率之和就不变
D．若仅从N点水平抛出小球，无论如何改变抛出的速度，小球都不可能垂直打在碗上
[解析]　由几何知识可知，M的水平位移xM＝R－R cos 53°＝0.4R，N的水平位移xN＝R＋R cos 53°＝1.6R，由于二者在空中运动时间相等，所以二者的水平速度之比就等于其水平位移之比，即＝＝＝，A正确，不符合题意；若仅增大v2，水平运动的相遇时间变短，竖直方向上的位移会变小，故还没落在圆弧上，两小球可能在空中相遇，B正确，不符合题意；要使两小球落在圆弧的同一点上，则有xM＋xN＝2R，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向上的位移不同，故运动时间t不同，所以v1＋v2不是定值，C错误，符合题意；如果小球能够垂直打在碗上，速度反向延长线应过圆心，水平位移应为2R，应打到M点，但由平抛运动知识可知，小球不可能打到M点，D正确，不符合题意．
[答案]　C
微专题三　平抛运动中的追及相遇和临界极值问题
角度1　平抛运动中的追及相遇问题
　如图所示，在距地面高2l的A处以水平初速度v0＝3 m/s投掷飞镖．在与A点水平距离为l的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以同样大小的速度v0匀速上升，在升空过程中被飞镖击中．飞镖在飞行过程中受到的空气阻力不计，在计算过程中可将飞镖和气球视为质点．已知重力加速度g取10 m/s2，l＝0.9 m.
(1)求飞镖击中气球时飞行的时间t .
(2)求飞镖击中气球时的速度大小．
(3)掷飞镖和放气球两个动作之间的时间间隔Δt应为多少？
[解析]　(1)飞镖做的是平抛运动，由水平方向的匀速直线运动可得l＝v0t
所以t＝＝0.3 s.
(2)从飞镖飞出到击中气球过程中，对飞镖来说
l＝v0t，vy＝gt，v＝ eq \r(v＋v)
联立可得，飞镖击中气球时的速度v＝3 m/s.
(3)飞镖的竖直位移h＝gt2
气球上升的位移H＝2l－h
气球上升的时间t′＝
两个动作之间的时间间隔为Δt＝|t′－t|
联立解得Δt＝0.15 s.
[答案]　(1)0.3 s　(2)3 m/s　(3)0.15 s
角度2　平抛运动中的临界极值问题
1．问题特点
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点．
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点往往也是临界点．
2．求解思路
(1)画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件．
(2)分解速度或位移．
(3)列方程求解结果．
　(多选)如图所示，在某次比赛中，女排运动员将排球从底线A点的正上方以某一速度水平发出，排球正好擦着球网落在对方底线的B点上，且AB平行于边界CD.已知网高为h，球场的长度为s，不计空气阻力且排球可看成质点，则排球被发出时，击球点的高度H和水平初速度v分别为(　　)
A．H＝h　　　　　 B．H＝h
C．v＝ D．v＝
[解析]　平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，有s＝vt，则排球从初位置到球网的位置与排球从初位置到落地的时间之比为t1∶t2＝∶s＝1∶2，通过竖直方向上做自由落体运动，则有＝ eq \f(\f(1,2)gt,\f(1,2)gt)＝ eq \f(t,t)＝，解得H＝h，故A正确，B错误；球落在B点的过程中，有s＝vt2，所以水平初速度v＝＝＝，故C错误，D正确．
[答案]　AD(共20张PPT)
课后达标检测
√
题组1　平抛运动的性质和特点
1．在实际生活中，最接近抛体运动的是(　　)
A．手抛出的小石块
B．秋风吹落的树叶
C．在空中高速运动的炮弹
D．空中飞翔的纸飞机
解析：以一定的速度抛出的物体，只在重力作用下的运动，是抛体运动，如果有空气阻力，但空气的阻力跟重力相比可以忽略不计，也可以看成抛体运动．手抛出的小石块的运动最接近拋体运动，故A正确；
秋风吹落的树叶，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故B错误；
物体在空气中运动，速度越大，阻力也越大，在空中高速运动的炮弹，由于阻力的影响，实际轨迹不再是抛物线，因此不能看成抛体运动，故C错误；
空中飞翔的纸飞机，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故D错误．
√
2．做平抛运动的物体，在水平方向通过的最大距离取决于(　　)
A．物体所受的重力和抛出点的高度
B．物体的初速度和抛出点的高度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、高度和初速度
√
题组2　平抛运动规律的应用
3．(2024·海南卷，T3)在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽x＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，g取10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　)
A．0.5 m　　　　　　 B．5 m
C．10 m D．20 m
√
4．(2024·湖北卷，T3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方．将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
√
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√
竖直速度vy＝gt＝2v0，故A错误；
√
√
√
8．某同学玩飞镖游戏，如图所示，他将飞镖从镖盘正前上方某位置以速度v1水平投出后，经时间t1，飞镖击中靶心正上方某位置；第二次将飞镖从同一位置以速度v2水平投出后，经时间t2飞镖击中靶心正下方某位置．不计空气阻力，飞镖可视为质点，下列关系式正确的是(　　)
A．v1>v2，t1v2，t1>t2
C．v1t2
9．(12分)(2025·东莞市期末)某课外兴趣小组借助传感器，研究一小球做平抛运动的规律．小球水平抛出0.5 s时速度方向与竖直方向成45°角，落地时速度方向与竖直方向成30°角，小球可看作质点，重力加速度g取10 m/s2，求(结果可以保留根式)：
(1)小球做平抛运动的初速度大小；(4分)
解析：当小球抛出0.5 s后小球的竖直分速度vy1＝gt1＝5 m/s，水平方向的分速度v0＝vy1tan 45°＝5 m/s.　
答案：5 m/s　
(2)小球抛出时距离地面的高度；(4分)
答案：3.75 m
(3)小球抛出点与落地点之间的水平距离．(4分)　
10．(12分)如图所示，光滑斜面长为10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以10 m/s的初速度水平射入．求：(g取10 m/s2)
(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；(6分)
解析：小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝ma
答案：20 m
(2)小球到达斜面底端时的速度大小．(6分)
答案：10 m/s第2课时　平抛运动的规律
平抛运动的规律
1．建立如图甲所示的直角坐标系．以抛出点为坐标原点O，以水平方向为x轴，正方向与初速度v0的方向相同；以竖直方向为y轴，正方向竖直向下．则物体在任一时刻t的位置坐标公式为
　
2．物体以初速度v0做平抛运动，经时间t到达点A.如图乙所示，物体在点A的速度方向沿点A的切线方向，其水平分速度vx和竖直分速度vy分别为
此时物体在点A速度的大小v＝__ eq \r(v＋v)，方向可以用合速度v的方向与x轴的夹角θ表示，即tan θ＝．
3．平抛运动的轨迹是一条抛物线．
判断下列说法是否正确．
(1)平抛运动是匀变速曲线运动．(　　)
(2)物体做平抛运动的时间由水平位移决定．(　　)
(3)物体做平抛运动的合速度方向可能竖直向下．(　　)
(4)物体做平抛运动时，在相等的时间内速度的变化量相等.(　　)
(5)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中运动的时间越长．(　　)
提示：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×
知识点一　平抛运动的性质和特点
　 eq \a\vs4\al()
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力．
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？运动轨迹如何？
(3)为了研究问题方便，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动？
[提示]　 (1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下．
(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
(3)可将平抛运动转化为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动．
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计．
(2)运动特点
①加速度：加速度为g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动．
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动．
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线．
(4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示．
　(2025·汕头市期末)如图，飞机沿水平方向匀速飞行，每隔相同时间释放一包裹，一段时间后包裹在空中的位置关系应为(　　)
[解析]　飞机沿水平方向做匀速直线运动，包裹做平抛运动，包裹水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，可知飞机与包裹在竖直方向始终位于同一条直线上，且在竖直方向上从上往下相邻包裹之间的间距逐渐增大，只有题图C符合要求．
[答案]　C
　(2025·汕头月考)在一个无风的下午，一个小孩子手拿小纸片放在嘴边，将小纸片水平吹出．已知此小孩的身高约为1.25 m，当g取10 m/s2时，下列说法正确的是(　　)
A．小纸片做平抛运动
B．小纸片的下落时间可能为0.5 s
C．小纸片的下落时间可能为3 s
D．小纸片不可能竖直落地
[解析]　由于小纸片很轻，受空气阻力影响较大，则不会做平抛运动，若只受重力，则h＝gt2，解得t＝0.5 s，但由于存在空气阻力作用，则下落时间大于0.5 s，可能为3 s，同时由于空气阻力作用，水平方向速度可能减小为零，则可能竖直落地，只有C符合题意．
[答案]　C
知识点二　平抛运动规律的应用
1．基本思路：研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法，即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动．
2．基本规律
项目 速度 位移
水平分运动 vx＝v0 x＝v0t
竖直分运动 vy＝gt y＝gt2
合运动 大小：v＝ eq \r(v＋(gt)2)方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：s＝方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝
图示
3.两个推论
(1)平抛运动某一时刻速度与水平方向夹角为θ，位移与水平方向夹角为α，则tan θ＝2tan α.
证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α.
(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点．
证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点．则 ＝v0t，＝＝gt2·＝v0t.
可见 ＝.
角度1　平抛运动基本规律的应用
　(2023·惠州统考期末)如图所示，从地面上方某点，将一小球以10 m/s的初速度沿水平方向抛出，小球经1 s落地，不计空气阻力，g取10 m/s2，则下列说法不正确的是(　　)
A．小球落地时速度大小为20 m/s
B．小球抛出点到落地点的水平距离为10 m
C．小球抛出点离地面的高度为5 m
D．小球落地时的速度方向与水平地面成45°角
[解析]　小球抛出点离地面的高度h＝gt2＝×10×1 m＝5 m，故C正确，不符合题意；小球抛出点到落地点的水平距离x＝v0t＝10×1 m＝10 m，故B正确，不符合题意；小球落地时竖直分速度vy＝gt＝10×1 m/s＝10 m/s，则小球落地时的速度v＝ eq \r(v＋v)＝10 m/s，故A错误，符合题意；设小球落地时速度方向与水平方向的夹角为α，则有tan α＝＝1，则α＝45°，故D正确，不符合题意．
[答案]　A
　将小球从O点以某一速度水平抛出，轨迹如图所示．经过A点时，速度与水平方向夹角为30°；经过B点时，速度与水平方向夹角为60°.由A到B点经历的时间为t，空气阻力忽略不计，重力加速度为g.求：
(1)小球从O点抛出的速度大小；
(2)O、B两点的高度差．
[解析]　(1)在A点的竖直速度vAy＝v0tan 30°
在B点的竖直速度vBy＝v0tan 60°
则vBy＝vAy＋gt，可得v0＝gt.
(2)根据vB＝2gh可得，h＝gt2.
[答案]　(1)gt　(2)gt2
角度2　平抛运动推论的应用
　如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t 到达地面，到达地面时速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g.下列说法正确的是(　　)
A．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θ
B．若小球初速度增大，则θ增大
C．仅使小球初速度增大，平抛运动的时间不变
D．小球在t时间内位移的方向与水平方向的夹角为
[解析]　小球落地时竖直方向的速度vy＝gt，根据题意可得tan θ＝，解得v0＝，A错误；根据tan θ＝可知，若小球初速度增大，则θ减小，B错误；竖直方向高度不变，根据h＝gt2可得t＝，故使小球初速度增大，平抛运动的时间不变，C正确；设在t时间内位移的方向与水平方向的夹角为α，根据平抛运动的推论可知，2tan α＝tan θ，则α≠，D错误．
[答案]　C
知识点三　类平抛运动
类平抛运动是指物体做曲线运动，其运动可以分解为互相垂直的两个方向的分运动：一个方向是匀速直线运动，另一个方向是在恒定合外力作用下的初速度为零的匀加速直线运动．
(1)类平抛运动的受力特点
物体所受的合外力为恒力，且与初速度方向垂直．
(2)类平抛运动的运动规律
初速度v0方向上：vx＝v0，x＝v0t.
合外力方向上：a＝，vy＝at，y＝at2.
　如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g，不计空气阻力)
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时初速度的大小v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
[解析]　(1)沿斜面向下的方向有
mg sin θ＝ma，l＝at2
联立解得t＝ .
(2)沿水平方向有b＝v0t
v0＝＝b .
(3)物块离开Q点时的速度大小
v＝ eq \r(v＋(at)2)＝ .
[答案]　(1) 　(2)b
(3)
eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．(平抛运动规律的应用)从距水平地面高5 m的位置，将小石块以某一速度水平抛出，落地时水平位移为10 m．不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，则小石块(　　)
A．在空中运动的时间为 s
B．水平初速度大小为10 m/s
C．落地时速度大小为20 m/s
D．空中运动的位移大小为15 m
解析：选B.根据平抛运动规律可知，小石块在水平方向做匀速直线运动，在竖直方向做自由落体运动，则在水平方向和竖直方向有x＝v0t，h＝gt2，代入题中数据解得t＝1 s，v0＝10 m/s，故A错误，B正确；落地时，竖直方向速度vy＝gt＝10 m/s，则落地速度大小v＝ eq \r(v＋v)＝10 m/s，故C错误；空中运动的位移大小x空＝＝5 m，故D错误．
2．(平抛运动规律的应用)(2025·广州市期末)如图，在某次飞镖比赛中，某一选手在距地高h、离靶面水平距离L处，将质量为m的飞镖以速度v0水平投出，结果飞镖落在靶心正下方．下列措施可使飞镖正中靶心的是(　　)
A.适当减小v0　　　 B．适当减小h
C．适当减小m D．适当减小L
解析：选D.飞镖竖直方向位移y＝gt2，水平方向位移L＝v0t，联立得y＝ eq \f(gL2,2v)，适当增大v0，或者减小L，则y减小，可使飞镖正中靶心．
3．(类平抛运动)(多选)(2025·广东梅州月考)如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1.B沿光滑斜面运动，落地点为P2.不计阻力，则从抛出点到落地点(　　)
A．A运动的时间长　 B．B运动的时间长
C．P1在x轴上较远 D．P2在x轴上较远
解析：选BD.A做平抛运动，运动的时间tA＝，B做类平抛运动，运动的时间tB＝，可知B运动的时间长，A错误，B正确；A水平位移xA＝v0，B水平位移xB＝v0，可知P2在x轴上较远，C错误，D正确．题组1　两个互成角度的直线运动的合运动
1．(多选)关于不在同一条直线上两个运动的合成，下列说法正确的是(　　)
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
D．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
解析：选BD.两个直线运动的合运动不一定是直线运动，故A错误；两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动，因为合加速度为零，合运动为匀速直线运动，故B正确；两个匀加速直线运动的合初速度方向与合加速度方向如果不在同一条直线上，则合运动为曲线运动，故C错误；两个初速度为零的匀加速直线运动，因为合初速度为零，合加速度不为零，则合运动是初速度为零的匀加速直线运动，故D正确．
2．两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2.关于它们的合运动的轨迹，下列说法正确的是(　　)
A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线
B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D．如果＝，那么轨迹一定是直线
解析：选D.物体做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与合速度的方向不在一条直线上．如果＝，那么合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上，D正确．
3．如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖．若该同学左手的运动为匀速直线运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速直线运动，则关于笔尖相对于黑板的运动，下列说法正确的是(　　)
A．笔尖做匀速直线运动
B．笔尖做匀变速直线运动
C．笔尖做匀变速曲线运动
D．图中笔尖的运动轨迹是一条斜向上的直线
解析：选C.笔尖同时参与了直尺竖直向上的匀速运动和水平向右、初速度为零的匀加速运动，合初速度向上，合加速度水平向右，笔尖相对于黑板的运动即实际运动，运动性质取决于合初速度与合加速度，由于合加速度恒定，所以是匀变速运动；合初速度与和合加速度不在同一直线上，所以轨迹是曲线；所以笔尖在做匀变速曲线运动，故A、B、D错误，C正确．
4．如图所示，在马戏表演中，人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，下列关于猴子相对地面的运动轨迹可能正确的是(　　)
解析：选B.人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，可知猴子的加速度方向竖直向上，由于猴子速度方向与加速度方向不在同一直线上，猴子做曲线运动，根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，可知猴子相对地面的运动轨迹可能正确的是图B.
题组2　运动的合成与分解
5．(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是(　　)
A．合运动的位移是分运动位移的矢量和
B．合运动的速度一定会比其中任何一个分速度大
C．合运动的时间与分运动的时间相等
D．若合运动是曲线运动，则分运动中至少有一个是曲线运动
解析：选AC.位移是矢量，合位移是分位移的矢量和，A正确；速度也是矢量，满足平行四边形定则，根据平行四边形的特点，合速度可以比分速度小，B错误；根据合运动与分运动的等时性知，C正确；两个直线运动的合运动也可以是曲线运动，例如，互成夹角的匀速直线运动与匀加速直线运动合成时，合运动是曲线运动，D错误．
6．骑射项目是运动会上常见的一种娱乐项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓射箭射击侧向的靶子目标M，其运动模型简化为如图所示的情境．假设运动员沿AB方向骑马的速度v1＝10 m/s，运动员静止时射出的弓箭速度v2＝4 m/s，直线跑道离固定目标M的最近距离d＝4 m，运动员射箭位置与靶子等高，且垂直于跑道AB方向射出弓箭．不计空气阻力和弓箭所受的重力，则运动员射出弓箭点的位置到O点的距离x为(　　)
A．8 m　　　　　　 B．10 m
C．12 m D．16 m
解析：选B.弓箭沿AB方向和垂直于AB方向均做匀速直线运动，有x＝v1t，d＝v2t，可知射出点在O点左侧，且到O点的距离x＝d＝10 m．
7．(多选)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R(R视为质点).将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点O以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．测出某时刻R的坐标为(4 cm，6 cm)，则此时(　　)
A．R的加速度大小为2 cm/s2
B．R的加速度大小为4 cm/s2
C．R的速度大小为4 cm/s
D．R的速度大小为5 cm/s
解析：选AD.y轴方向上，R做匀速直线运动，x轴方向上，R做初速度为零的匀加速直线运动，则y＝v0t＝6 cm，x＝at2＝4 cm，解得t＝2 s，a＝2 cm/s2，故A正确，B错误；x轴方向上，R的速度大小vx＝at＝4 cm/s，R的速度大小v＝ eq \r(v＋v)＝5 cm/s，故C错误，D正确．
8．如图所示，静止在光滑水平面上的小球的质量m＝0.5 kg，给小球一个大小v0＝5 m/s的初速度，同时对小球施加一与水平面平行的恒力F，其大小为1.5 N，方向与v0的夹角θ＝127°，取sin 37°＝0.6.以此为零时刻开始计时，则小球在运动过程中的最小速度为(　　)
A．0　　　　　　　　 B．3 m/s
C．4 m/s D．5 m/s
解析：选C.将速度沿着力的方向和垂直于力的方向分解，小球在垂直于力的方向上做匀速直线运动，当沿着力的方向速度减为零时小球的速度最小，为vmin＝v0cos (θ－90°)＝4 m/s，故C符合题意．
9．两端封闭的玻璃管中注满清水，迅速将管转至图示竖直位置，管内一个红蜡块立即以v1＝4 cm/s 的速度匀速上浮，此时使玻璃管沿x轴正方向移动，当玻璃管沿x轴(　　)
A．匀速运动时，红蜡块的轨迹是一条曲线
B．以v2＝3 cm/s速度匀速运动时，红蜡块的速度大小是7 cm/s
C．以v2＝3 cm/s速度匀速运动，2 s内红蜡块的位移大小是10 cm
D．由静止开始做a＝4 cm/s2的匀加速运动时，红蜡块的轨迹是一条直线
解析：选C.当玻璃管沿x轴匀速运动时，红蜡块的合运动为匀速直线运动，其轨迹是一条直线，故A错误；当玻璃管沿x轴以v2＝3 cm/s速度匀速运动时，红蜡块的速度大小v＝ eq \r(v＋v)＝5 cm/s，2 s内红蜡块的位移大小s＝vt＝10 cm，故B错误，C正确；当玻璃管沿x轴由静止开始做a＝4cm/s2的匀加速运动时，红蜡块的合运动为曲线运动，其轨迹是一条曲线，故D错误．
10．在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点(0，0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．前2 s内物体沿x轴做匀变速曲线运动
B．前2 s内物体的平均速度为2 m/s
C．4 s末物体坐标为(6 m，4 m)
D．2 s到4 s内物体做匀加速曲线运动，但加速度沿y轴方向
解析：选D.前2 s内，物体在y轴方向速度为零，在x轴方向做匀加速直线运动，前2 s内物体的平均速度为＝＝ m/s＝1 m/s，故A、B错误；在前2 s内，物体在x轴方向的位移x1＝×2×2 m＝2 m，在2 s到4 s内，x轴方向的位移x2＝2×2 m＝4 m，x方向的总位移s＝x1＋x2＝6 m，y轴方向位移y＝×2×2 m＝2 m，则4 s末物体的坐标为(6 m，2 m)，故C错误；在2 s到4 s内，物体在x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀加速直线运动，根据运动的合成得知，物体做匀加速曲线运动，加速度沿y轴方向，故D正确．
11．(2025·广州市期末)在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开始计时，以O为原点，设水平向右为x方向、竖直向上为y方向，重物沿x、y方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则重物　(　　)
A．在水平方向做匀变速直线运动
B．运动轨迹为抛物线
C．前8 s内的位移大小为24 m
D．在相等时间内的速度变化量不相等
解析：选B.x－t图像斜率代表速度，由题图甲可知斜率不变，故重物在水平方向做匀速直线运动，故A错误；由题图甲可知重物在水平方向的速度vx＝ m/s＝3 m/s，可知水平方向位移x＝3t，v－t图像斜率代表加速度，由题图乙可知重物在竖直方向上的加速度a＝ m/s2＝0.5 m/s2，可知竖直方向位移y＝at2＝0.25t2，联立以上得y＝x2，所以重物的运动轨迹为抛物线，故B正确；前8 s内水平方向位移大小x＝24 m，v－t图像与时间轴所围的面积表示位移，则前8 s内竖直方向位移大小y＝ m＝16 m，故合位移L＝＝8 m，故C错误；由以上分析可知，重物的加速度为0.5 m/s2，是恒定值，根据a＝，可知在相等时间内的速度变化量相等，故D错误．(共24张PPT)
课后达标检测
√
题组1　两个互成角度的直线运动的合运动
1．(多选)关于不在同一条直线上两个运动的合成，下列说法正确的是(　　)
A．两个直线运动的合运动一定是直线运动
B．两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C．两个匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
D．两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动一定是直线运动
√
解析：两个直线运动的合运动不一定是直线运动，故A错误；
两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动，因为合加速度为零，合运动为匀速直线运动，故B正确；
两个匀加速直线运动的合初速度方向与合加速度方向如果不在同一条直线上，则合运动为曲线运动，故C错误；
两个初速度为零的匀加速直线运动，因为合初速度为零，合加速度不为零，则合运动是初速度为零的匀加速直线运动，故D正确．
√
√
3．如图所示，某同学在研究运动的合成时做了下述活动：用左手沿黑板推动直尺竖直向上运动，运动中保持直尺水平，同时，用右手沿直尺向右移动笔尖．若该同学左手的运动为匀速直线运动，右手相对于直尺的运动为初速度为零的匀加速直线运动，则关于笔尖相对于黑板的运动，下列说法正确的是(　　)
A．笔尖做匀速直线运动
B．笔尖做匀变速直线运动
C．笔尖做匀变速曲线运动
D．图中笔尖的运动轨迹是一条斜向上的直线
解析：笔尖同时参与了直尺竖直向上的匀速运动和水平向右、初速度为零的匀加速运动，合初速度向上，合加速度水平向右，笔尖相对于黑板的运动即实际运动，运动性质取决于合初速度与合加速度，由于合加速度恒定，所以是匀变速运动；合初速度与和合加速度不在同一直线上，所以轨迹是曲线；所以笔尖在做匀变速曲线运动，故A、B、D错误，C正确．
√
4．如图所示，在马戏表演中，人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，下列关于猴子相对地面的运动轨迹可能正确的是(　　)
解析：人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，可知猴子的加速度方向竖直向上，由于猴子速度方向与加速度方向不在同一直线上，猴子做曲线运动，根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，可知猴子相对地面的运动轨迹可能正确的是图B.
√
题组2　运动的合成与分解
5．(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是(　　)
A．合运动的位移是分运动位移的矢量和
B．合运动的速度一定会比其中任何一个分速度大
C．合运动的时间与分运动的时间相等
D．若合运动是曲线运动，则分运动中至少有一个是曲线运动
√
解析：位移是矢量，合位移是分位移的矢量和，A正确；
速度也是矢量，满足平行四边形定则，根据平行四边形的特点，合速度可以比分速度小，B错误；
根据合运动与分运动的等时性知，C正确；
两个直线运动的合运动也可以是曲线运动，例如，互成夹角的匀速直线运动与匀加速直线运动合成时，合运动是曲线运动，D错误．
√
6．骑射项目是运动会上常见的一种娱乐项目，运动员骑在奔驰的马背上，弯弓射箭射击侧向的靶子目标M，其运动模型简化为如图所示的情境．假设运动员沿AB方向骑马的速度v1＝10 m/s，运动员静止时射出的弓箭速度v2＝4 m/s，直线跑道离固定目标M的最近距离d＝4 m，运动员射箭位置与靶子等高，且垂直于跑道AB方向射出弓箭．不计空气阻力和弓箭所受的重力，则运动员射出弓箭点的位置到O点的距离x为(　　)
A．8 m　　　　　　 B．10 m
C．12 m D．16 m
√
7．(多选)如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R(R视为质点).将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点O以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动．测出某时刻R的坐标为(4 cm，6 cm)，则此时(　　)
A．R的加速度大小为2 cm/s2
B．R的加速度大小为4 cm/s2
C．R的速度大小为4 cm/s
D．R的速度大小为5 cm/s
√
√
8．如图所示，静止在光滑水平面上的小球的质量m＝0.5 kg，给小球一个大小v0＝5 m/s的初速度，同时对小球施加一与水平面平行的恒力F，其大小为1.5 N，方向与v0的夹角θ＝127°，取sin 37°＝0.6.以此为零时刻开始计时，则小球在运动过程中的最小速度为(　　)
A．0　　　　　　　　 B．3 m/s
C．4 m/s D．5 m/s
解析：将速度沿着力的方向和垂直于力的方向分解，小球在垂直于力的方向上做匀速直线运动，当沿着力的方向速度减为零时小球的速度最小，为vmin＝v0cos (θ－90°)＝4 m/s，故C符合题意．
√
9．两端封闭的玻璃管中注满清水，迅速将管转至图示竖直位置，管内一个红蜡块立即以v1＝4 cm/s 的速度匀速上浮，此时使玻璃管沿x轴正方向移动，当玻璃管沿x轴(　　)
A．匀速运动时，红蜡块的轨迹是一条曲线
B．以v2＝3 cm/s速度匀速运动时，红蜡块的速度大小是7 cm/s
C．以v2＝3 cm/s速度匀速运动，2 s内红蜡块的位移大小是10 cm
D．由静止开始做a＝4 cm/s2的匀加速运动时，红蜡块的轨迹是一条直线
解析：当玻璃管沿x轴匀速运动时，红蜡块的合运动为匀速直线运动，其轨迹是一条直线，故A错误；
当玻璃管沿x轴由静止开始做a＝4cm/s2的匀加速运动时，红蜡块的合运动为曲线运动，其轨迹是一条曲线，故D错误．
√
10．在一光滑水平面内建立平面直角坐标系，一物体从t＝0时刻起，由坐标原点(0，0)开始运动，其沿x轴和y轴方向运动的速度—时间图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．前2 s内物体沿x轴做匀变速曲线运动
B．前2 s内物体的平均速度为2 m/s
C．4 s末物体坐标为(6 m，4 m)
D．2 s到4 s内物体做匀加速曲线运动，但加速度沿y轴方向
在2 s到4 s内，物体在x轴方向做匀速直线运动，y轴方向做匀加速直线运动，根据运动的合成得知，物体做匀加速曲线运动，加速度沿y轴方向，故D正确．
√
11．(2025·广州市期末)在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开始计时，以O为原点，设水平向右为x方向、竖直向上为y方向，重物沿x、y方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则重物　(　　)
A．在水平方向做匀变速直线运动
B．运动轨迹为抛物线
C．前8 s内的位移大小为24 m
D．在相等时间内的速度变化量不相等=
解析：x－t图像斜率代表速度，由题图甲可知斜率不变，故重物在水平方向做匀速直线运动，故A错误；第一节　曲线运动
　 eq \a\vs4\al()
1．知道什么是曲线运动，会确定曲线运动中速度的方向，知道曲线运动是变速运动．
2．知道物体做曲线运动的条件和特点．
3．理解物体所受合力、运动轨迹和速度方向之间的关系．
一、认识曲线运动
定义：我们将物体运动轨迹是曲线的运动，称为曲线运动．
二、物体做曲线运动的速度方向
1．如图所示，若质点沿曲线从点A运动到点B，过A、B两点作直线，这条直线称为曲线的割线．根据位移和速度的知识，质点在点A和点B之间的位移和平均速度的方向，都是从点A指向点B.设想点B逐渐向点A移动，割线AB不断变化，当点B非常接近点A时，割线AB就与过点A的切线重合，点A的速度方向与点A的切线方向一致．
2．在曲线运动中，质点在某一位置的速度方向与曲线在这一点的切线方向一致．
3．曲线运动的速度方向时刻都在改变，所以曲线运动是一种变速运动．
三、物体做曲线运动的条件
当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动．
判断下列说法是否正确．
(1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动．(　　)
(2)物体的速度不断改变，物体一定做曲线运动.(　　)
(3)做曲线运动的物体的速度与物体所受合外力不可能在同一条直线上．(　　)
(4)做曲线运动的物体所受合外力的方向一定是变化的．(　　)
(5)物体受恒力作用时不可能做曲线运动． (　　)
提示：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
知识点一　曲线运动的性质和特点
　 eq \a\vs4\al()
如图所示，将塑料板切割成6块，放置在水平平铺的白纸上，组成弯曲的凹槽轨道．把蘸有墨水的小球从入口O处滚入轨道，让小球沿着轨道运动．当小球从出口C处离开轨道时，会在白纸上留下印迹，记录小球经过出口C时的运动方向．逐段拆去轨道，将出口分别改为B和A，用同样的方法记录小球经过出口B和A时的运动方向．思考小球在经过A、B、C三个出口时的运动方向与曲线轨道的形状有什么关系．
[提示]　小球离开轨道出口后，在白纸上留下的印迹呈一条直线，并且与曲线轨道相切．这说明小球在曲线轨道出口处的运动方向沿着该点的切线方向．
1．曲线运动的速度方向
曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向．
2．曲线运动是变速运动
由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化．
3．曲线运动的分类
(1)匀变速曲线运动：加速度恒定的曲线运动，即物体在恒力作用下的曲线运动．
(2)变加速曲线运动：加速度不断变化的曲线运动，即物体在变力作用下的曲线运动．
角度1　曲线运动的特点
　当一个物体做曲线运动时(　　)
A．其速度方向一定发生变化
B．其速度的大小一定发生变化
C．其运动位移一定在增大
D．其加速度大小一定发生变化
[解析]　曲线运动中物体的速度方向沿曲线在这一点的切线方向，速度方向一定是时刻变化的，故A正确；物体做曲线运动时，速度大小是可以不变的，故B错误；物体做曲线运动时，其位移可以为0，可以增大，也可以减小，故C错误；物体做曲线运动时，也可以受到恒力的作用，其加速度也可能是恒定不变的，故D错误．
[答案]　A
　跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”．如图为运动员高台跳水过程中头部的运动轨迹示意图，a、b、c、d为轨迹上的四个点，则经过哪个点时头部的速度方向与入水时的速度v的方向最接近(　　)
A．a点　 B．b点　　
C．c点　 D．d点
[解析]　根据物体做曲线运动时速度方向为该点的切线方向可知，经过c点时头部的速度方向与入水时的速度v的方向最接近．
[答案]　C
角度2　曲线运动的性质
　(2025·广州市期中)某质点在一段时间内做曲线运动，则在此时间段内(　　)
A．速度可以不变，加速度一定在不断变化
B．合力一定是变力
C．加速度一定不为零
D．不可能是一种匀变速运动
[解析]　做曲线运动的物体速度方向一定变化，即速度一定变化，加速度一定不为零，但是加速度不一定变化，故A错误，C正确；物体做曲线运动时，合力不一定是变力，故B错误；曲线运动也可能是一种匀变速运动，故D错误．
[答案]　C
知识点二　物体做曲线运动的条件
　 eq \a\vs4\al()
如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度．为便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线．图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边．
(1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
(2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
[提示]　(1)钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同．
(2)钢球做曲线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上．
物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合外力与速度方向不共线．
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线．
　下列说法正确的是(　　)
A．物体受到的合外力方向与速度方向相同时，物体就做匀加速直线运动
B．物体受到的合外力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动
C.物体做曲线运动时，加速度和合力方向可能不同
D．受恒力作用的物体，不可能做曲线运动
[解析]　物体受到的合外力大小恒定，方向与速度方向相同时，物体做匀加速直线运动，故A错误；物体受到的合外力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动，故B正确；根据牛顿第二定律可知，物体做曲线运动时加速度和合力方向相同，故C错误；受恒力作用的物体，可能做曲线运动，故D错误．
[答案]　B
　(2025·中山市期末)一个物体在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下做匀速直线运动．若保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后(　　)
A．可能做匀变速曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C．可能继续做匀速直线运动
D．在相等时间内速度的变化量一定不相等
[解析]　物体做匀速直线运动的速度方向与F3的方向关系不明确，可能是相同、相反或不在同一条直线上，故保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后可能做匀变速曲线运动，或匀变速直线运动，不可能继续做匀速直线运动，故A正确，B、C错误；保持F1、F2不变，突然撤去F3，即之后的合力大小为F3，方向与F3的方向相反，故物体所受的合外力为恒力，根据牛顿第二定律可知F＝ma，物体的加速度恒定不变，根据Δv＝aΔt可知，在相等时间内速度的变化量一定相等，故D错误．
[答案]　A
知识点三　运动轨迹、物体所受合力和速度的关系
1．合外力与运动轨迹的关系
曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，即合力指向轨迹的凹侧．
2．确定曲线运动的轨迹的方法
(1)做曲线运动的物体，运动轨迹不断改变，其改变后的轨迹处在运动方向与合外力方向构成的夹角之间，且偏向合外力所指的一侧．
(2)若物体在恒力作用下做曲线运动，则物体的运动轨迹越来越接近力的方向，但不会与其同向．
3．合外力与速率的关系
若合力方向与速度方向的夹角为α，则
　某质点从A点沿图中的曲线运动到B点，质点受力的大小为F.经过B点时，下列说法正确的是(　　)
A．若力的方向突然与原来方向相反，它从B点开始可能沿图中虚线a运动
B．若力的方向突然与原来方向相反，它从B点开始可能沿图中虚线b运动
C.若力的方向突然沿B点切线向左，它从B点开始可能沿图中虚线c运动
D．若力的大小突然变为0，它从B点开始可能沿图中虚线d运动
[解析]　质点从A点沿题图中的曲线运动到B点，曲线向右弯曲，可知F的方向指向轨迹的凹面，当F的方向与原来方向相反之后就指向原轨迹的凸面，所以从B点后质点的运动轨迹在B点上方为轨迹的凹面，所以改变F后质点的轨迹可能沿虚线a，b不符合题意，故A正确，B错误；若力的方向突然沿B点切线向左，与该点处速度方向在同一直线，则质点可能沿虚线b运动，故C错误；若力的大小突然变为0，质点从B点开始做匀速直线运动，即沿虚线b运动，故D错误．
[答案]　A
　(2023·辽宁卷，T1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
[解析]　篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误；当篮球的速度斜向右上方时，A选项符合条件，故A正确．
[答案]　A
1．(曲线运动的性质和特点)下列关于曲线运动的说法正确的是(　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．速度变化的运动一定是曲线运动
C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D．加速度变化的运动一定是曲线运动
解析：选A.做曲线运动的物体，速度方向为曲线上点的切线方向，时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，故A正确；匀变速直线运动的速度时刻改变，故B错误；物体做曲线运动的条件是物体所受合力的方向与速度方向不共线，合力大小可以不变也可以变化，因此加速度的大小可以不变也可以变化，所以加速度恒定的运动可能是曲线运动，加速度变化的运动不一定是曲线运动，故C、D错误．
2．(曲线运动的性质和特点)投篮时，篮球在空中运动的轨迹如图所示．将篮球视为质点，则篮球在图中相应位置时所标的速度方向正确的是(　　)
A．v1　　 B．v2　　　C．v3　　 D．v4
解析：选C.根据曲线运动的轨迹与速度方向的特征可知，v3的速度方向正确，A、B、D错误，C正确．
3．(物体做曲线运动的条件)(2025·佛山市期末)在2024年11月珠海航展上，中国自主研制的新一代隐身战斗机歼 35A首次公开亮相．如图所示，歼 35A表演时先水平向左飞行，再沿曲线 abc飞行．若飞行轨迹在同一竖直面内且飞行速率不变，下列说法正确的是(　　)
A.歼 35A在表演中做匀速运动
B．歼 35A在ab段做变速运动
C．歼 35A在ab段所受合力为零
D．歼 35A在bc段的加速度方向与速度方向在同一条直线上
解析：选B.歼 35A在abc段做曲线运动，速度方向时刻改变，不是匀速运动，A错误；歼 35A在ab段做曲线运动，速度方向改变，是变速运动，所受合力不为零，B正确，C错误；歼 35A在bc段做曲线运动，加速度方向与速度方向不在同一条直线上，D错误．
4．(运动轨迹、物体所受合力和速度的关系)在足球场上罚任意球时，高水平运动员踢出的足球在飞行中绕过“人墙”，飞向球门，使守门员难以扑救，如图所示．关于足球在飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法正确的是　(　　)
A．合外力的方向与速度方向在一条直线上
B．合外力方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
D．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向
解析：选C.足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向，合外力方向指向轨迹内侧，故C正确．(共34张PPT)
第2课时　平抛运动的规律
课前知识梳理
PART
01
第一部分
v0t
3．平抛运动的轨迹是一条________．
v0
gt
抛物线
√
×　
判断下列说法是否正确．
(1)平抛运动是匀变速曲线运动．(　　)
(2)物体做平抛运动的时间由水平位移决定．(　　)
(3)物体做平抛运动的合速度方向可能竖直向下．(　　)
(4)物体做平抛运动时，在相等的时间内速度的变化量相等.(　　)
(5)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中运动的时间越长．(　　)
×　
√
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　平抛运动的性质和特点
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力．

(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
[提示]　因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下．
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？运动轨迹如何？
[提示]　飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
(3)为了研究问题方便，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动？
[提示]　可将平抛运动转化为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动．
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动．
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计．
(2)运动特点
①加速度：加速度为g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动．
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动．
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线．
(4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示．
√
(2025·汕头市期末)如图，飞机沿水平方向匀速飞行，每隔相同时间释放一包裹，一段时间后包裹在空中的位置关系应为(　　)
[解析]　飞机沿水平方向做匀速直线运动，包裹做平抛运动，包裹水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，可知飞机与包裹在竖直方向始终位于同一条直线上，且在竖直方向上从上往下相邻包裹之间的间距逐渐增大，只有题图C符合要求．
√
(2025·汕头月考)在一个无风的下午，一个小孩子手拿小纸片放在嘴边，将小纸片水平吹出．已知此小孩的身高约为1.25 m，当g取10 m/s2时，下列说法正确的是(　　)
A．小纸片做平抛运动
B．小纸片的下落时间可能为0.5 s
C．小纸片的下落时间可能为3 s
D．小纸片不可能竖直落地
知识点二　平抛运动规律的应用
1．基本思路：研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法，即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动．
2．基本规律
√
(2023·惠州统考期末)如图所示，从地面上方某点，将一小球以10 m/s的初速度沿水平方向抛出，小球经1 s落地，不计空气阻力，g取10 m/s2，则下列说法不正确的是(　　)
A．小球落地时速度大小为20 m/s
B．小球抛出点到落地点的水平距离为10 m
C．小球抛出点离地面的高度为5 m
D．小球落地时的速度方向与水平地面成45°角
角度1　平抛运动基本规律的应用
小球抛出点到落地点的水平距离x＝v0t＝10×1 m＝10 m，故B正确，不符合题意；
将小球从O点以某一速度水平抛出，轨迹如图所示．经过A点时，速度与水平方向夹角为30°；经过B点时，速度与水平方向夹角为60°.由A到B点经历的时间为t，空气阻力忽略不计，重力加速度为g.求：
(1)小球从O点抛出的速度大小；
(2)O、B两点的高度差．
√
角度2　平抛运动推论的应用
知识点三　类平抛运动
如图所示的光滑固定斜面长为l、宽为b、倾角为θ，一物块(可看成质点)沿斜面左上方顶点P水平射入，恰好从底端Q点离开斜面，试求：(重力加速度为g，不计空气阻力)
(1)物块由P运动到Q所用的时间t；
(2)物块由P点水平射入时初速度的大小v0；
(3)物块离开Q点时速度的大小v.
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
√
2．(平抛运动规律的应用)(2025·广州市期末)如图，在某次飞镖比赛中，某一选手在距地高h、离靶面水平距离L处，将质量为m的飞镖以速度v0水平投出，结果飞镖落在靶心正下方．下列措施可使飞镖正中靶心的是(　　)
A.适当减小v0　　　 B．适当减小h
C．适当减小m D．适当减小L
√
3．(类平抛运动)(多选)(2025·广东梅州月考)如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1.B沿光滑斜面运动，落地点为P2.不计阻力，则从抛出点到落地点(　　)
A．A运动的时间长　 B．B运动的时间长
C．P1在x轴上较远 D．P2在x轴上较远
√第四节　生活和生产中的抛体运动
　 eq \a\vs4\al()
1．知道什么是抛体运动．　2.会对各种抛体运动进行分类．　3.能用运动的合成与分解解决生产生活中的抛体问题．
一、抛体运动
1．定义：将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在重力作用下物体所做的运动称为抛体运动．
2．分类：根据初速度方向是竖直向上、竖直向下、水平或与水平方向成一定的夹角，抛体运动可分为竖直上抛、竖直下抛、平抛和斜抛．
二、喷泉
1．柱形喷泉的水柱由无数的水珠构成，如果忽略水珠在运动过程中受到的空气阻力，则水珠仅受重力作用，可将柱形喷泉中水珠的运动视为竖直上抛运动．
2．运动过程：先做竖直向上的匀减速运动，上升到最高点后又做自由落体运动，整个过程的加速度始终为g.
3．基本规律(选竖直向上为正方向)
(1)速度公式：v＝v0－gt；
(2)位移公式：h＝v0t－gt2；
(3)速度位移公式：v2－v＝－2gh.
三、传送带输送
在自动化生产中，常常需要利用传送带将物品准确地抛落到相应的位置，需要应用抛体运动的相关知识．
四、跳远
1．跳远是国际田径竞赛中的重要项目，把人视作质点，人从起跳到落地，在忽略空气阻力的情况下，只受重力的作用，人体做斜抛运动．
2．借鉴探究平抛运动时运动合成与分解的方法，可以将斜抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动．
3．初速度和轨迹
水平分速度vx＝v0cos θ，竖直分速度vy＝v0sin θ.
判断下列说法是否正确．
(1)竖直上抛是匀变速直线运动．(　　)
(2)竖直向上抛出的物体一定做竖直上抛运动.(　　)
(3)自由落体和竖直上抛加速度大小均为g.(　　)
(4)斜抛运动和平抛运动在竖直方向上做的都是自由落体运动．(　　)
(5)斜抛运动和平抛运动在水平方向上做的都是匀速直线运动．(　　)
(6)斜抛运动和平抛运动的加速度相同．(　　)
提示：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√
知识点一　竖直上抛运动
1．运动性质：上升阶段为匀减速直线运动，下降阶段为自由落体运动，整个过程是匀变速直线运动．
2．竖直上抛运动的重要特性
作出竖直上抛运动的过程图，如图所示，结合图分析，可知竖直上抛运动具有对称性和多解性．
(1)对称性
①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO.
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB＝－vB′，vA＝－vA′.
(2)多解性
通过某一点对应两个时刻，即：物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段．
3．几个典型的关系
(1)物体上升到最高点所用的时间与物体从最高点落回到原抛出点所用的时间相等，t上＝t下＝.
(2)物体从抛出点开始到再次落回抛出点所用的时间必为上升时间或下降时间的2倍，t＝.
(3)竖直上抛运动的最大高度h＝ eq \f(v,2g).
4．竖直上抛问题的处理方法
(1)分段法：可以把竖直上抛运动分成上升阶段的匀减速直线运动和下降阶段的自由落体运动处理．
上升阶段：v＝v0－gt，h＝v0t－gt2.下落阶段：v＝gt，h＝gt2.分段法虽然过程麻烦，但物体的运动状态清晰．
(2)全程法：取整个过程分析，选竖直向上为正方向，将竖直上抛运动视为初速度为v0、加速度为－g的匀变速直线运动，则有v＝v0－gt，h＝v0t－gt2.
①v>0，上升阶段；v<0，下落阶段；
②h>0，在抛出点上方；h<0，在抛出点下方．
使用全程法时关键要注意各量的正负方向，弄清物理含义．
　以15 m/s的初速度从地面竖直上抛一物体，空气阻力不计，g取10 m/s2，以下说法正确的是(　　)
A．运动过程加速度不断变化
B．从抛出到上升至最高点的时间为1 s
C．上升的最大高度为22.5 m
D．从抛出至落回原处的时间为3 s
[解析]　物体在做竖直上抛运动时，只受重力，则加速度保持不变，A错误；上升过程物体做匀减速直线运动，由v＝gt可得，上升时间t＝＝ s＝1.5 s，B错误；上升的最大高度h＝＝ m＝11.25 m，C错误；上升和下降过程为互逆过程，时间相等，故从抛出至落回原处的时间为3 s，D正确．
[答案]　D
　(2025·湛江月考)如图，一小船以1.0 m/s的速度匀速前行，站在船上的人竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为0.45 m．假定抛接小球时人手的高度不变，不计空气阻力，g取10 m/s2，则下列分析正确的是(　　)
A．小球的初速度大小为9 m/s
B．小球上升的时间为3 s
C．小球到达最高点时速度为零
D．从小球被抛出到再次落入手中，小船前进了0.6 m
[解析]　小球抛出时的竖直速度vy＝＝3 m/s，则抛出时的初速度大小v0＝ eq \r(v＋v)＝ m/s，A错误；小球上升的时间t＝＝0.3 s，B错误；小球到达最高点时水平速度不为零，则速度不为零，C错误；从小球被抛出到再次落入手中，小船前进了x＝vx·2t＝0.6 m，D正确．
[答案]　D
知识点二　生活中的平抛运动
生产、生活及体育运动中有些物体水平飞出，常可理想化为平抛运动，处理方法依然为“化曲为直”，将其分解成水平方向和竖直方向的两个直线运动．但在该类问题中，某一物理量(如初速度、高度等)往往有一定的限制，在解决这类问题时，确定临界状态，画好运动轨迹，是解决问题的关键．
　(多选)如图所示的是乒乓球发射器示意图，发射口距桌面高度为0.45 m，假定乒乓球水平射出，落在桌面上与发射口水平距离为2.4 m的P点，飞行过程中未触网，不计空气阻力，g取10 m/s2，则(　　)
A．球下落的加速度逐渐变大
B．球从发射口到桌面的时间为0.3 s
C．球从发射口射出后速度不变
D．球从发射口射出的速率为8 m/s
[解析]　不计空气阻力，球下落的加速度为g，A错误；由h＝gt2，得t＝ ＝0.3 s，B正确；由x＝v0t，解得球的初速度v0＝8 m/s，D正确；球的竖直分速度增大，所以合速度增大，C错误．
[答案]　BD
　农民在精选谷种时，常用一种叫“风车”的农具进行分选．在同一风力作用下，谷种和瘪谷都从洞口水平飞出，结果谷种和瘪谷落地点不同，自然分开，如图所示．若不计空气阻力，对这一现象，下列分析正确的是(　　)
A．谷种飞出洞口时的速度比瘪谷飞出洞口时的速度大些
B．谷种和瘪谷飞出洞口后都做匀变速曲线运动
C．谷种和瘪谷从飞出洞口到落地的时间不相同
D．M处是瘪谷，N处为谷种
[解析]　瘪谷的质量小于谷种的质量，在风力的推动下，瘪谷获得的速度比谷种的速度大．两者落地的时间都由竖直高度决定，由h＝gt2，得t＝ ，可见两者落地时间相同，而水平位移x＝v0t＝v0，可见瘪谷的水平位移大，则M处是谷种，N处为瘪谷．B正确．
[答案]　B
知识点三　斜抛运动
1．斜抛运动的规律
(1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
(2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图所示)
①水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0.
②竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
(3)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动．
①速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ
vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt.
②位移公式：x＝v0t cos θ
y＝v0t sin θ－gt2.
2．斜抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间．
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等．
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称．
3．射高和射程
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝.
(2)射高：h＝ eq \f(v0,2g)＝ eq \f(vsin 2θ,2g).
(3)射程：s＝v0t cos θ＝ eq \f(2vsin θcos θ,g)＝ eq \f(vsin 2θ,g).
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，smax＝ eq \f(v,g).
角度1　对斜抛运动的理解
　如图是物体做斜抛运动的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点．下列叙述正确的是(不计空气阻力)(　　)
A.物体在C点速度为零
B．物体在A点的速度与物体在B点的速度相同
C．物体在A点、B点的水平速度均大于物体在C点的水平速度
D．物体在A、B、C各点的加速度都相同
[解析]　斜抛运动在水平方向分运动是匀速直线运动，即水平速度不变，物体在C点具有水平方向的速度，物体在A点、B点的水平速度均等于物体在C点的速度，故A、C错误；速度是矢量，既有大小也有方向，由斜抛运动的对称性可知A、B两点的速度大小相等，方向不同，物体在A点的速度与物体在B点的速度不相同，故B错误；斜抛运动的物体只受到重力的作用，即加速度恒为g，故D正确．
[答案]　D
角度2　斜抛运动基本规律的应用
　将小球从O点以v0＝5 m/s的初速度斜向上抛出，小球经过与O点等高的A点后落地．已知v0与水平方向夹角为53°，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.求小球从O点到A点的：
(1)运动时间t；
(2)水平位移x.
[解析]　(1)小球的初速度在竖直方向上的分速度v0y＝v0·sin 53°
从O点到A点，小球在竖直方向上向上运动与向下运动的时间相等，运动时间t＝2·
解得t＝0.8 s.
(2)小球的初速度在水平方向上的分速度
v0x＝v0cos 53°
水平位移x＝v0xt
解得x＝2.4 m.
[答案]　(1)0.8 s　(2)2.4 m
eq \o(\s\up7(),\s\do5(　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　))
1．(竖直上抛)某同学身高1.7 m，在学校秋季运动会上参加跳高比赛，采用背跃式，身体横着越过2.10 m的横杆，获得了冠军．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度至少约为(g取10 m/s2)(　　)
A．9 m/s B．8 m/s
C．5 m/s D．3 m/s
解析：选C.从起跳到跳过横杆，学生重心提高了x＝2.1 m－ m＝1.25 m，根据速度与位移的关系，起跳时竖直向上的速度至少为v＝＝ m/s＝5 m/s，A、B、D错误，C正确．
2．(生活中的抛体运动)(多选)刀削面因其风味独特，驰名中外．刀削面全凭刀削，因此得名．如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿，面片便飞向锅里，若面团到锅的上沿的竖直距离为0.8 m，最近的水平距离为0.5 m，锅的半径为0.5 m．要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度可以是下列选项中的(g取10 m/s2)(　　)
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
解析：选BC.根据h＝gt2得，t＝ ＝ s＝0.4 s；因为平抛运动的水平位移0.5 m＜x＜1.5 m，根据x＝vt知，初速度的范围为1.25 m/s＜v＜3.75 m/s.故B、C正确，A、D错误．
3．(斜抛运动规律的应用)(2025·梅州期末)“打水漂”是一种常见的娱乐活动，以一定的高度水平扔出的瓦片，会反复在水面上弹跳前进，假设瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是(　　)
解析：选C.瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，可知瓦片竖直上升的高度逐渐减小，根据t＝2，可知瓦片在空中的时间逐渐减小，水平方向有x＝vxt，可知瓦片在空中通过水平位移逐渐减小，C正确．第三节　平抛运动
　 eq \a\vs4\al()
1．掌握实验描绘平抛运动轨迹和探究平抛运动规律的方法．
2．理解平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，知道其轨迹是抛物线．
3．掌握平抛运动的处理方法及其运动规律．
第1课时　探究平抛运动
一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，仅在重力作用下物体所做的运动叫作平抛运动．
2．条件：(1)初速度沿水平方向；
(2)只受重力的作用．
3．性质：平抛运动是曲线运动，所受合力(重力)恒定，故平抛运动为加速度为g的匀变速曲线运动．
二、实验思路
平抛运动的轨迹是曲线，根据运动的合成与分解，可以把复杂的平抛运动分解为两个相对简单的直线运动，即设计实验分别研究平抛运动在水平方向和竖直方向的分运动的特点．
由力的独立作用原理推测出做平抛运动的物体在两个方向上的运动情况：
(1)在水平方向上物体不受力的作用，做匀速直线运动；
(2)在竖直方向上物体只受竖直向下的重力作用，初速度为零，做自由落体运动．
三、实验方案
方案一：在如图所示的实验中，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；同时B球被释放，自由下落，做自由落体运动．观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后．
分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复这个实验，记录实验现象．
方案二
如图所示，在一块竖直放置的平板上固定着两个相同的弧形轨道A和B，用于发射钢球．
两弧形轨道出口处水平，其上分别安装了一个电磁铁C和D.在轨道A出口处有一个碰撞开关S，可控制电磁铁E电源的通断．从轨道A射出的钢球做平抛运动，从轨道B射出的钢球做匀速直线运动，从电磁铁E处释放的钢球做自由落体运动．
(1)研究平抛运动水平方向分运动的特点
①使电磁铁C和D分别相对各自轨道出口水平线处于相同高度．把两个钢球分别吸在电磁铁C、D上．切断电源，使两个钢球以相同的初速度同时水平射出．
②改变电磁铁C、D与各自轨道出口水平线的相对高度，并确保高度相等．
③多次重复以上步骤．观察实验现象，并分析平抛运动水平方向分运动的特点．
(2)研究平抛运动竖直方向分运动的特点
①把两个钢球分别吸在电磁铁C、E上，并确保电磁铁E上的钢球与轨道A出口处于同一高度，释放轨道A的钢球．钢球在水平出口处碰撞开关S，切断电磁铁E的电源，使钢球从电磁铁E处释放．
②改变电磁铁E的位置，让其从N向M移动．
③多次重复以上步骤．观察实验现象，并分析平抛运动竖直方向分运动的特点．
(3)结论：平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动，在竖直方向的分运动是自由落体运动．
方案三：频闪照相法
1．通过频闪照相的方法获得小球做平抛运动时的频闪照片；
小球做平抛运动的频闪照片
2．以抛出点为原点，建立直角坐标系；
3．通过频闪照片描出小球经过相等时间间隔所到达的位置；
4．测出T、2T、3T…时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，并填入表格；
抛出时间 T 2T 3T 4T 5T
水平位移
竖直位移
结论 水平分运动特点
竖直分运动特点
5.分析数据得出小球水平分运动和竖直分运动的特点．
四、计算平抛运动的初速度
1．平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x及竖直位移y，就可求出初速度v0.
因x＝v0t，y＝gt2，故v0＝x .
2．平抛轨迹残缺(即无抛出点)
在轨迹上任取三点A、B、C(如图所示)，使A、B间及B、C间的水平距离相等，由平抛运动的规律可知A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2，所以t＝，所以初速度v0＝＝x .
题型一　平抛运动规律的探究
　某学习小组做探究平抛运动规律的实验．
(1)在图甲中用小锤敲击弹性金属片，观察到a、b两个小球同时落地，则说明平抛运动在竖直方向上做________运动．
(2)在图乙中将相同的两个小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，切断电源，P、Q同时沿着相同的斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做________运动．
(3)利用频闪相机拍摄图甲中a小球运动过程，经处理后得到如图丙所示的点迹图像．图中O为坐标原点，B点在两坐标线交点，坐标xB＝40 cm，yB＝20 cm，A、C点均在坐标线的中点．重力加速度g取10 m/s2，则平抛小球在B点处的瞬时速度大小vB＝________m/s(结果保留根式).
[解析]　(1)由于任意高度，做平抛运动和自由落体运动的两个小球都会同时落地，说明平抛运动在竖直方向上做自由落体运动．
(2)在题图乙中同时断电后P、Q两个小球同时沿着斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做匀速直线运动．
(3)根据题图丙中的几何关系可知，A点的纵坐标为5 cm，B点的纵坐标为20 cm，C点的纵坐标为45 cm
因此A、B的竖直距离yAB＝15 cm＝0.15 m
B、C之间的竖直距离yBC＝25 cm＝0.25 m
则竖直方向上，由运动学公式可知yBC－yAB＝gT2
vBy＝
在水平方向上v0＝
则vB＝ eq \r(v＋v)
解得vB＝2 m/s.
[答案]　(1)自由落体　(2)匀速直线　(3)2
　用如图所示的实验方案来研究平抛运动的特点．在一块竖直放置的背景板上固定两个弧形轨道A、B，用于释放小铁球，斜槽末端切线均水平，板上还装有三个电磁铁C、D、E，其中电磁铁C、D可分别沿轨道A、B移动．在轨道A出口处有一个碰撞开关S，用以控制电磁铁E的电源通断，电磁铁E可以沿水平杆MN移动，当它吸上小铁球时，该小铁球中心与从轨道A射出的小铁球中心在同一水平线上．
调节球3的位置多次实验，发现球1和球3总是在空中相碰，则说明球1________；调节电磁铁C、D到斜槽末端等高的不同位置，发现球1和球2总能相碰，则说明球1________．
A．竖直方向做匀速直线运动
B．竖直方向做自由落体运动
C．水平方向做匀加速直线运动
D．水平方向做匀速直线运动
[解析]　调节球3的位置多次实验，发现球1和球3总是在空中相碰，则说明两球在竖直方向的运动完全相同，则球1在竖直方向做自由落体运动，故选B；调节电磁铁C、D到斜槽末端等高的不同位置，发现球1和球2总能相碰，则说明两球在水平方向的运动相同，则球1水平方向做匀速直线运动．
[答案]　B　D
题型二　描迹法研究平抛运动
　在做“探究平抛运动的特点”的实验时，通过描点法画出小球做平抛运动的轨迹，实验装置如图所示．
(1)实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是________．
A．铅垂线 B．秒表
C．弹簧测力计 D．天平
(2)实验时将固定有斜槽的木板放在实验桌上，实验前要检查斜槽末端是否水平，请简述你的检查方法：
________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
(3)关于这个实验，下列说法正确的是_____________．
A．小球释放的初始位置越高越好
B．每次小球要从同一高度由静止释放
C．实验前要用铅垂线检查坐标纸上的竖线是否竖直
D．小球的平抛运动要靠近木板但不接触
(4)实验时，坐标纸应当固定在竖直的木板上，图中坐标纸的固定情况与斜槽末端的关系正确的是__________．
[解析]　(1)实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，还需要的是铅垂线，故选A.
(2)将小球放在斜槽末端的任意位置，小球静止不动，则斜槽末端水平(或用水平仪检查斜槽末端是否水平).
(3)小球释放的初始位置并非越高越好，若是太高，则导致水平抛出的速度太大，实验难以操作，故A错误；因为要画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得相同的初速度，故B正确；小球在竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速运动，为了正确描绘其轨迹，必须使坐标纸上的竖线是竖直的，故C正确；实验要求小球滚下时不能碰到木板平面，避免因摩擦而使运动轨迹改变，最后轨迹应连成平滑的曲线，故D正确．
(4)斜槽末端是水平的，小球做平抛运动，要分解为水平方向和竖直方向的分运动，故方格纸应该水平、竖直，坐标原点应该与小球在斜槽末端静止时在木板上的投影重合，故C正确，A、B、D错误．
[答案]　(1)A　(2)将小球放在斜槽末端的任意位置，小球静止不动，则斜槽末端水平(或用水平仪检查斜槽末端是否水平)　(3)BCD　(4)C
　用如图甲所示装置研究平抛运动．将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直硬板上，钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点，移动挡板，从同一位置重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点，即可描出钢球做平抛运动的轨迹，进而研究平抛运动的规律．
根据实验原理，回答以下问题：
(1)实验前，应将小球放在斜槽末端，根据小球的运动情况，调节支脚螺丝，使斜槽末端________．
(2)该实验中，在取下白纸前，应确定坐标原点O的位置，并建立直角坐标系，下列图像中坐标原点和坐标系的建立正确的是________．
(3)该实验中，将白纸换成方格纸，每个小方格边长L＝5 cm.实验记录了小球在运动中的3个点迹，如图乙所示，则小球在B点的速度大小是__________m/s(重力加速度g取10 m/s2，结果保留2位有效数字).
[解析]　(1)实验前，应将小球放在斜槽末端，根据小球的运动情况，调节支脚螺丝，使斜槽末端水平．
(2)该实验中坐标原点O的位置，应该是小球在斜槽末端时球心的投影点，y轴用重垂线来确定，故C正确，A、B错误．
(3)相邻两点间的时间间隔
T＝ ＝ ＝ s＝0.1 s
B点的竖直速度vy＝＝ m/s＝1.5 m/s
水平速度v0＝＝ m/s＝2 m/s
则B点的速度vB＝ eq \r(v＋v)＝2.5 m/s.
[答案]　(1)水平　(2)C　(3)2.5
题型三　实验拓展创新
　如图所示，小明利用家中物品制作了一个研究平抛运动规律的装置．在水平桌面上用硬练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动．实验步骤如下：
a．将贴好白纸的案板竖直放置于P处；
b．将小钢球沾上墨水后由静止释放，小球飞出后碰到案板并在白纸上留下痕迹B；
c．将案板从P处靠近书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹A；
d．将案板从P处远离书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹C；
e．用刻度尺量出A、B、C三点的距离hAB＝0.15 m，hBC＝0.25 m，通过以上数据即可粗略求出小球离开书桌时初速度的大小．重力加速度g取10 m/s2，回答下列问题：
(1)关于实验操作，下列说法正确的是________．
A．书桌要调整水平
B．小球每次都从同一位置由静止释放
C．必须用秒表记录时间
D．案板可以不竖直放置
(2)根据实验数据，可得小球离开桌面时初速度的大小v0＝________m/s.
(3)若因为操作不当，把案板从P处靠近书桌平移0.1 m后，案板没有竖直，向右倾斜一较小角度，其他操作无误，则求出的离开桌面时初速度比实际值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”).
[解析]　(1)要保证小球做平抛运动，书桌要调整水平，A正确；由于要记录小球的运动轨迹，必须重复多次，才能画出几个点，因此为了保证每次平抛的轨迹相同，所以要求小球每次从同一高度释放，B正确；本实验测量小球轨迹即可，无需测量时间，C错误；案板必须竖直放置，以防止打到案板上的点之间的水平位移不同， D错误．
(2)根据竖直方向做自由落体运动，有Δh＝gT2
可得T＝ ＝0.1 s
水平方向做匀速直线运动，可得v0＝＝1 m/s.
(3)案板没有竖直，向右倾斜一较小角度，则测得的hAB比实际距离小，则得到的时间T偏大，根据v0＝可知，计算的初速度偏小．
[答案]　(1)AB　(2)1　(3)偏小(共23张PPT)
专题提升课2　平抛运动的综合问题
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　与斜面相关的平抛运动
√
√
√
角度2　顺着斜面平抛
1．如果从斜面抛出的物体又落到斜面上，则位移平行于斜面，可运用分解位移的方法，关键是找到分位移与斜面倾角的关系，构建位移的矢量三角形．
√
√
微专题二　与曲面相关的抛体运动
1．抛出点和落点都在圆面上．如图甲所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道的A点以v0水平向右抛出，落在半圆形轨道上的C点．
甲
乙
2．抛出点在圆面外，落点在圆面上．如图乙所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点．
√
(2025·深圳月考)如图所示为一半球形的碗，其中碗边缘两点M、N与圆心等高且在同一竖直面内．现将两个小球在M、N两点，分别以v1、v2的速度沿图示方向同时水平抛出，发现两球刚好落在碗上同一点Q，已知∠MOQ＝53°，不计空气阻力(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6).下列说法不正确的是(　　)
A.两球抛出的速度大小之比为1∶4
B．若仅增大v2，则两球将在落入碗中之前相撞
C．两球的初速度无论怎样变化，只要落在碗上同一点，两球抛出的速率之和就不变
D．若仅从N点水平抛出小球，无论如何改变抛出的速度，小球都不可能垂直打在碗上
若仅增大v2，水平运动的相遇时间变短，竖直方向上的位移会变小，故还没落在圆弧上，两小球可能在空中相遇，B正确，不符合题意；
要使两小球落在圆弧的同一点上，则有xM＋xN＝2R，即(v1＋v2)t＝2R，落点不同，竖直方向上的位移不同，故运动时间t不同，所以v1＋v2不是定值，C错误，符合题意；
如果小球能够垂直打在碗上，速度反向延长线应过圆心，水平位移应为2R，应打到M点，但由平抛运动知识可知，小球不可能打到M点，D正确，不符合题意．
微专题三　平抛运动中的追及相遇和临界极值问题
如图所示，在距地面高2l的A处以水平初速度v0＝3 m/s投掷飞镖．在与A点水平距离为l的水平地面上的B点有一个气球，选择适当时机让气球以同样大小的速度v0匀速上升，在升空过程中被飞镖击中．飞镖在飞行过程中受到的空气阻力不计，在计算过程中可将飞镖和气球视为质点．已知重力加速度g取10 m/s2，l＝0.9 m.
角度1　平抛运动中的追及相遇问题
(1)求飞镖击中气球时飞行的时间t .
(2)求飞镖击中气球时的速度大小．
[答案]　0.3 s　
(3)掷飞镖和放气球两个动作之间的时间间隔Δt应为多少？
两个动作之间的时间间隔为Δt＝|t′－t|
联立解得Δt＝0.15 s.
[答案]　0.15 s
角度2　平抛运动中的临界极值问题
1．问题特点
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点．
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点往往也是临界点．
2．求解思路
(1)画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件．
(2)分解速度或位移．
(3)列方程求解结果．
√
√题组1　竖直上抛运动
1．竖直向上抛出一只小球，3 s落回抛出点，不计空气阻力，则球的初速度是(　　)
A．10 m/s　　　　　　 B．30 m/s
C．15 m/s D．20 m/s
解析：选C.根据竖直上抛运动的上升和下降过程具有对称性，所以下降过程的时间为1.5 s，则球的初速度是v＝gt＝10×1.5 m/s＝15 m/s，故C正确，A、B、D错误．
2．蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动．为了测量运动员跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网所受的压力，并在计算机上作出压力—时间图像，如图所示．设运动员在空中运动时可视为质点，则运动员跃起的最大高度是(g取10 m/s2，不计空气阻力)(　　)
A．1.8 m B．3.6 m
C．5.0 m D．7.2 m
解析：选C.由题图可知运动员每次在空中运动的时间t＝2.0 s，故运动员跃起的最大高度Hm＝g·＝5.0 m，C正确．
题组2　生活中的平抛运动
3．如图所示，某人向放在水平地面上的垃圾桶中水平扔废球，结果废球恰好擦着桶的右侧边缘飞到地面上，不计空气阻力．为了能把废球扔进垃圾桶中，则此人水平抛球时，可以做出的调整为(　　)
A．初速度不变，抛出点在原位置正上方
B．初速度不变，抛出点在原位置正右侧
C．减小初速度，抛出点在原位置正上方
D．增大初速度，抛出点在原位置正上方
解析：选C.设废球做平抛运动的初速度为v0，抛出点离桶的高度为h，水平位移为x，则平抛运动的时间t＝，水平位移x＝v0t＝v0，由上式分析可知，初速度大小不变，要减小水平位移x，应降低抛出点高度，所以抛球时抛出点应调到原位置正下方，A错误；若初速度不变，抛出点在原位置正右侧，则不可能把废球扔进垃圾桶，B错误；减小初速度，若抛出点位置不变，则水平位移减小，若抛出点在原位置正上方，则水平位移可能减小，可能把废球扔进垃圾桶，C正确；增大初速度，抛出点在原位置正上方时，水平位移增大，不可能把废球扔进垃圾桶中，D错误．
4．跳台滑雪以其特有的惊险性、刺激性成为历届冬奥会中备受关注的项目之一，目前的世界纪录已经超过了250米．如图所示，某运动员在比赛中以v0＝30 m/s的水平速度从倾角为30°的斜坡顶端飞出(可近似视为平抛运动)，当地重力加速度g取10 m/s2.当该运动员再次落到斜坡上时，落点与斜坡顶端的高度差约为(　　)
A．60 m B．90 m
C．120 m D．150 m
解析：选A.由题意知，运动员做平抛运动，从斜坡顶端飞出又落到斜坡上，则根据平抛运动规律有tan 30°＝＝＝，解得t＝2 s，则其落点与坡顶的高度差为h＝gt2＝×10×(2)2 m＝60 m，A正确．
题组3　斜抛运动
5．如图所示，将一小球从水平地面以不同角度、相同大小的初速度v0抛出，不计空气阻力，则从抛出到落地的过程中，小球的初速度方向与地面间夹角较大时(　　)
A．水平射程一定较大
B．落地速度一定较大
C．在空中运动时间一定较长
D．在相同时间内速度变化量一定较大
解析：选C.设小球运动时间为t，则根据斜抛的运动规律有x＝v0cos θ·t，v0sin θ＝g·，解得t＝，x＝ eq \f(vsin 2θ,g)，可知θ＝45°时，水平射程最大；小球的初速度方向与地面间夹角较大时在空中运动时间一定较长；根据对称性可知，落地速度v＝＝v0，则落地速度不变，故A、B错误，C正确．小球做斜抛运动，加速度为重力加速度，所以小球的初速度方向与地面间夹角较大时，在相同时间内速度变化量不变，故D错误．
6．如图所示，小明从同一高度将相同的A、B两个篮球先后抛出，篮球恰好都能垂直打在篮板上的P点．已知篮球A、B抛出时与水平方向的夹角分别为θA、θB，运动时间分别为tA、tB，抛出时初速度的大小分别为v0A、v0B，不计空气阻力．下列说法正确的是(　　)
A．θA＝θB　　　　　　 B．θA<θB
C．tA解析：选D.将两篮球的运动过程的逆过程看作平抛运动，因为竖直高度相同，根据vy＝可知竖直速度相同，有vyA＝vyB，根据t＝可知运动时间相同，有tA＝tB，因A的水平位移小，根据v0＝知其水平速度较小，即v0AθB，故D正确．
7．(多选)铅球比赛中，某选手把铅球投掷出去，铅球的飞行轨迹如图所示．已知从a点投掷出去时，初速度大小为v0，与水平方向的夹角为45°，铅球最终落到c点时速度大小为v，与地面的夹角为60°.重力加速度为g，不计空气阻力．下列判断正确的是(　　)
A．铅球初、末速度大小之比＝
B．铅球初、末速度大小之比＝
C．铅球从抛出到落地经历的时间t＝
D．铅球从抛出到落地经历的时间t＝
解析：选AD.铅球做斜抛运动，水平方向上分运动为匀速直线运动，则有v0cos 45°＝v cos 60°，解得＝，故A正确，B错误；铅球竖直方向上做竖直上抛运动，则有－v sin 60°＝v0sin 45°－gt，解得t＝，故C错误，D正确．
8．(多选)如图甲所示的是农场扬场机分离谷物示意图．某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上．不计空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　)
A．谷粒1和谷粒2在水平方向都做匀速直线运动
B．谷粒1和谷粒2在竖直方向都做自由落体运动
C．谷粒2从O到P的运动时间大于谷粒1从O到P的运动时间
D．谷粒2从O到P的运动时间等于谷粒1从O到P的运动时间
解析：选AC.谷粒1做平抛运动，谷粒2做斜抛运动，故谷粒1和谷粒2在水平方向都做匀速直线运动，故A正确；谷粒1在竖直方向做自由落体运动，有h＝gt，谷粒2在竖直方向做竖直上抛运动，设谷粒2的初速度与水平方向的夹角为θ，有h＝－v2t2sin θ＋gt，可得t2>t1，故C正确，B、D错误．
9．在自由式滑雪比赛中，图甲是运动员从3 m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图乙是运动员在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力且运动员可视为质点，则运动员(　　)
A．在空中相同时间内的位移相等
B．在空中相同时间内的速度变化量相等
C．冲出跳台的速度大小为14 m/s
D．在空中运动的时间为2.8 s
解析：选B.运动员在空中做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，在空中相同时间内的水平位移相等，竖直位移不相等，所以在空中相同时间内的位移不相等，故A错误；根据Δv＝gt，可知在空中相同时间内的速度变化量相等，故B正确；根据图像可知，1.4 s末上升到最高点，根据vy＝gt1，可知冲出跳台的竖直分速度大小vy＝14 m/s，则冲出跳台的速度大小满足v0＝ eq \r(v＋v)>vy＝14 m/s，故C错误；上升的高度h＝t1＝9.8 m，则下降的时间t2＝＝ s＝1.6 s，在空中运动的时间T＝t1＋t2＝3 s，故D错误．
10．(16分)(2025·广州市月考)从某高处以6 m/s的初速度、与水平方向成30°角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g取10 m/s2)求：
(1)石子在空中运动的时间；(4分)
(2)石子的水平位移大小；(4分)
(3)石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度；(4分)
(4)抛出点离地面的高度．(4分)
解析：(1)如图所示
石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则
＝tan 60°＝
即vy＝vx＝v0cos 30°＝9 m/s
取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，则
－vy＝v0sin 30°－gt
得t＝1.2 s.
(2)石子在水平方向上做匀速直线运动
x＝v0t cos 30°＝ m.
(3)当石子速度的竖直分量减为0时，到达最大高度处，则
v0y＝v0sin 30°＝3 m/s
由v＝2gh
得h＝0.45 m.
(4)抛出点离地面的高度
h1＝|v0t sin 30°－gt2|＝3.6 m.
答案：(1)1.2 s　(2) m　(3)0.45 m
(4)3.6 m(共38张PPT)
第一章 抛体运动
第一节　曲线运动
学习目标
1．知道什么是曲线运动，会确定曲线运动中速度的方向，知道曲线运动是变速运动．
2．知道物体做曲线运动的条件和特点．
3．理解物体所受合力、运动轨迹和速度方向之间的关系．
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、认识曲线运动
定义：我们将物体运动轨迹是________的运动，称为曲线运动．
曲线
二、物体做曲线运动的速度方向
1．如图所示，若质点沿曲线从点A运动到点B，过A、B两点作直线，这条直线称为曲线的割线．根据位移和速度的知识，质点在点A和点B之间的位移和平均速度的方向，都是从点A指向点B.设想点B逐渐向点A移动，割线AB不断变化，当点B非常接近点A时，割线AB就与过点A的切线重合，点A的速度方向与点A的________方向一致．
切线
2．在曲线运动中，质点在某一位置的速度方向与曲线在这一点的________一致．
3．曲线运动的速度________时刻都在改变，所以曲线运动是一种____________．
切线方向
方向
变速运动
三、物体做曲线运动的条件
当物体所受合外力的方向跟它的速度方向__________________时，物体做曲线运动．
不在同一直线上
√
×　
判断下列说法是否正确．
(1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动．(　　)
(2)物体的速度不断改变，物体一定做曲线运动.(　　)
(3)做曲线运动的物体的速度与物体所受合外力不可能在同一条直线上．(　　)
(4)做曲线运动的物体所受合外力的方向一定是变化的．(　　)
(5)物体受恒力作用时不可能做曲线运动． (　　)
√
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　曲线运动的性质和特点
如图所示，将塑料板切割成6块，放置在水平平铺的白纸上，组成弯曲的凹槽轨道．把蘸有墨水的小球从入口O处滚入轨道，让小球沿着轨道运动．当小球从出口C处离开轨道时，会在白纸上留下印迹，记录小球经过出口C时的运动方向．逐段拆去轨道，将出口分别改为B和A，用同样的方法记录小球经过出口B和A时的运动方向．思考小球在经过A、B、C三个出口时的运动方向与曲线轨道的形状有什么关系．
[提示]　小球离开轨道出口后，在白纸上留下的印迹呈一条直线，并且与曲线轨道相切．这说明小球在曲线轨道出口处的运动方向沿着该点的切线方向．
1．曲线运动的速度方向
曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向．
2．曲线运动是变速运动
由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化．
3．曲线运动的分类
(1)匀变速曲线运动：加速度恒定的曲线运动，即物体在恒力作用下的曲线运动．
(2)变加速曲线运动：加速度不断变化的曲线运动，即物体在变力作用下的曲线运动．
√
角度1　曲线运动的特点
当一个物体做曲线运动时(　　)
A．其速度方向一定发生变化
B．其速度的大小一定发生变化
C．其运动位移一定在增大
D．其加速度大小一定发生变化
[解析]　曲线运动中物体的速度方向沿曲线在这一点的切线方向，速度方向一定是时刻变化的，故A正确；
物体做曲线运动时，速度大小是可以不变的，故B错误；
物体做曲线运动时，其位移可以为0，可以增大，也可以减小，故C错误；
物体做曲线运动时，也可以受到恒力的作用，其加速度也可能是恒定不变的，故D错误．
√
跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”．如图为运动员高台跳水过程中头部的运动轨迹示意图，a、b、c、d为轨迹上的四个点，则经过哪个点时头部的速度方向与入水时的速度v的方向最接近(　　)
A．a点　 B．b点　　
C．c点　 D．d点
[解析]　根据物体做曲线运动时速度方向为该点的切线方向可知，经过c点时头部的速度方向与入水时的速度v的方向最接近．
√
角度2　曲线运动的性质
(2025·广州市期中)某质点在一段时间内做曲线运动，则在此时间段内(　　)
A．速度可以不变，加速度一定在不断变化
B．合力一定是变力
C．加速度一定不为零
D．不可能是一种匀变速运动
[解析]　做曲线运动的物体速度方向一定变化，即速度一定变化，加速度一定不为零，但是加速度不一定变化，故A错误，C正确；
物体做曲线运动时，合力不一定是变力，故B错误；
曲线运动也可能是一种匀变速运动，故D错误．
知识点二　物体做曲线运动的条件
如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度．为便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线．图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边．
(1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
[提示]　钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向相同．
(2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向有什么关系？
[提示]　钢球做曲线运动，钢球的运动方向与所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上．
物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合外力与速度方向不共线．
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线．
√
下列说法正确的是(　　)
A．物体受到的合外力方向与速度方向相同时，物体就做匀加速直线运动
B．物体受到的合外力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动
C.物体做曲线运动时，加速度和合力方向可能不同
D．受恒力作用的物体，不可能做曲线运动
[解析]　物体受到的合外力大小恒定，方向与速度方向相同时，物体做匀加速直线运动，故A错误；
物体受到的合外力方向与速度方向不共线时，物体做曲线运动，故B正确；
根据牛顿第二定律可知，物体做曲线运动时加速度和合力方向相同，故C错误；
受恒力作用的物体，可能做曲线运动，故D错误．
√
(2025·中山市期末)一个物体在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下做匀速直线运动．若保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后(　　)
A．可能做匀变速曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C．可能继续做匀速直线运动
D．在相等时间内速度的变化量一定不相等
[解析]　物体做匀速直线运动的速度方向与F3的方向关系不明确，可能是相同、相反或不在同一条直线上，故保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后可能做匀变速曲线运动，或匀变速直线运动，不可能继续做匀速直线运动，故A正确，B、C错误；
保持F1、F2不变，突然撤去F3，即之后的合力大小为F3，方向与F3的方向相反，故物体所受的合外力为恒力，根据牛顿第二定律可知F＝ma，物体的加速度恒定不变，根据Δv＝aΔt可知，在相等时间内速度的变化量一定相等，故D错误．
知识点三　运动轨迹、物体所受合力和速度的关系
1．合外力与运动轨迹的关系
曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，即合力指向轨迹的凹侧．
2．确定曲线运动的轨迹的方法
(1)做曲线运动的物体，运动轨迹不断改变，其改变后的轨迹处在运动方向与合外力方向构成的夹角之间，且偏向合外力所指的一侧．
(2)若物体在恒力作用下做曲线运动，则物体的运动轨迹越来越接近力的方向，但不会与其同向．
3．合外力与速率的关系
若合力方向与速度方向的夹角为α，则
√
某质点从A点沿图中的曲线运动到B点，质点受力的大小为F.经过B点时，下列说法正确的是(　　)
A．若力的方向突然与原来方向相反，它从B点开始可能沿图中虚线a运动
B．若力的方向突然与原来方向相反，它从B点开始可能沿图中虚线b运动
C.若力的方向突然沿B点切线向左，它从B点开始可能沿图中虚线c运动
D．若力的大小突然变为0，它从B点开始可能沿图中虚线d运动
[解析]　质点从A点沿题图中的曲线运动到B点，曲线向右弯曲，可知F的方向指向轨迹的凹面，当F的方向与原来方向相反之后就指向原轨迹的凸面，所以从B点后质点的运动轨迹在B点上方为轨迹的凹面，所以改变F后质点的轨迹可能沿虚线a，b不符合题意，故A正确，B错误；
若力的方向突然沿B点切线向左，与该点处速度方向在同一直线，则质点可能沿虚线b运动，故C错误；
若力的大小突然变为0，质点从B点开始做匀速直线运动，即沿虚线b运动，故D错误．
√
(2023·辽宁卷，T1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
[解析]　篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误；
当篮球的速度斜向右上方时，A选项符合条件，故A正确．
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(曲线运动的性质和特点)下列关于曲线运动的说法正确的是(　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．速度变化的运动一定是曲线运动
C．加速度恒定的运动不可能是曲线运动
D．加速度变化的运动一定是曲线运动
解析：做曲线运动的物体，速度方向为曲线上点的切线方向，时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，故A正确；
匀变速直线运动的速度时刻改变，故B错误；
物体做曲线运动的条件是物体所受合力的方向与速度方向不共线，合力大小可以不变也可以变化，因此加速度的大小可以不变也可以变化，所以加速度恒定的运动可能是曲线运动，加速度变化的运动不一定是曲线运动，故C、D错误．
√
2．(曲线运动的性质和特点)投篮时，篮球在空中运动的轨迹如图所示．将篮球视为质点，则篮球在图中相应位置时所标的速度方向正确的是(　　)
A．v1　　 B．v2　　　
C．v3　　 D．v4
解析：根据曲线运动的轨迹与速度方向的特征可知，v3的速度方向正确，A、B、D错误，C正确．
√
3．(物体做曲线运动的条件)(2025·佛山市期末)在2024年11月珠海航展上，中国自主研制的新一代隐身战斗机歼-35A首次公开亮相．如图所示，歼-35A表演时先水平向左飞行，再沿曲线 abc飞行．若飞行轨迹在同一竖直面内且飞行速率不变，下列说法正确的是(　　)
A.歼-35A在表演中做匀速运动
B．歼-35A在ab段做变速运动
C．歼-35A在ab段所受合力为零
D．歼-35A在bc段的加速度方向与速度方向在同一条直线上
解析：歼-35A在abc段做曲线运动，速度方向时刻改变，不是匀速运动，A错误；
歼-35A在ab段做曲线运动，速度方向改变，是变速运动，所受合力不为零，B正确，C错误；
歼-35A在bc段做曲线运动，加速度方向与速度方向不在同一条直线上，D错误．
√
4．(运动轨迹、物体所受合力和速度的关系)在足球场上罚任意球时，高水平运动员踢出的足球在飞行中绕过“人墙”，飞向球门，使守门员难以扑救，如图所示．关于足球在飞行过程中的受力方向和速度方向，下列说法正确的是　(　　)
A．合外力的方向与速度方向在一条直线上
B．合外力方向沿轨迹切线方向，速度方向指向轨迹内侧
C．合外力方向指向轨迹内侧，速度方向沿轨迹切线方向
D．合外力方向指向轨迹外侧，速度方向沿轨迹切线方向
解析：足球做曲线运动，则其速度方向为轨迹的切线方向，合外力方向指向轨迹内侧，故C正确．(共39张PPT)
第四节　生活和生产中的抛体运动
学习目标
1．知道什么是抛体运动．　
2.会对各种抛体运动进行分类．　
3.能用运动的合成与分解解决生产生活中的抛体问题．
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、抛体运动
1．定义：将物体以一定的初速度向空中抛出，仅在________作用下物体所做的运动称为抛体运动．
2．分类：根据初速度方向是竖直向上、竖直向下、水平或与水平方向成一定的夹角，抛体运动可分为竖直上抛、__________、平抛和________．
重力
竖直下抛
斜抛
二、喷泉
1．柱形喷泉的水柱由无数的水珠构成，如果忽略水珠在运动过程中受到的空气阻力，则水珠仅受________作用，可将柱形喷泉中水珠的运动视为_________________．
2．运动过程：先做竖直向上的匀减速运动，上升到最高点后又做自由落体运动，整个过程的加速度始终为g.
重力
竖直上抛运动
三、传送带输送
在自动化生产中，常常需要利用传送带将物品准确地抛落到相应的位置，需要应用抛体运动的相关知识．
四、跳远
1．跳远是国际田径竞赛中的重要项目，把人视作质点，人从起跳到落地，在忽略空气阻力的情况下，只受_____________，人体做斜抛运动．
2．借鉴探究平抛运动时运动合成与分解的方法，可以将斜抛运动分解为水平方向的________运动和竖直方向的________运动．
重力的作用
匀速直线
竖直上抛
3．初速度和轨迹
水平分速度vx＝v0cos θ，竖直分速度vy＝v0sin θ.
√
×　
判断下列说法是否正确．
(1)竖直上抛是匀变速直线运动．(　　)
(2)竖直向上抛出的物体一定做竖直上抛运动.(　　)
(3)自由落体和竖直上抛加速度大小均为g.(　　)
(4)斜抛运动和平抛运动在竖直方向上做的都是自由落体运动．(　　)
(5)斜抛运动和平抛运动在水平方向上做的都是匀速直线运动．(　　)
(6)斜抛运动和平抛运动的加速度相同．(　　)
√
×　
√
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　竖直上抛运动
1．运动性质：上升阶段为匀减速直线运动，下降阶段为自由落体运动，整个过程是匀变速直线运动．
2．竖直上抛运动的重要特性
作出竖直上抛运动的过程图，如图所示，结合图分析，可知竖直上抛运动具有对称性和多解性．
(1)对称性
①时间对称性：对同一段距离，上升过程和下降过程时间相等，tAB＝tBA，tOC＝tCO.
②速度对称性：上升过程和下降过程通过同一点时速度大小相等，方向相反，vB＝－vB′，vA＝－vA′.
(2)多解性
通过某一点对应两个时刻，即：物体可能处于上升阶段，也可能处于下降阶段．
√
以15 m/s的初速度从地面竖直上抛一物体，空气阻力不计，g取10 m/s2，以下说法正确的是(　　)
A．运动过程加速度不断变化
B．从抛出到上升至最高点的时间为1 s
C．上升的最大高度为22.5 m
D．从抛出至落回原处的时间为3 s
[解析]　物体在做竖直上抛运动时，只受重力，则加速度保持不变，A错误；
上升和下降过程为互逆过程，时间相等，故从抛出至落回原处的时间为3 s，D正确．
√
(2025·湛江月考)如图，一小船以1.0 m/s的速度匀速前行，站在船上的人竖直向上抛出一小球，小球上升的最大高度为0.45 m．假定抛接小球时人手的高度不变，不计空气阻力，g取10 m/s2，则下列分析正确的是(　　)
A．小球的初速度大小为9 m/s
B．小球上升的时间为3 s
C．小球到达最高点时速度为零
D．从小球被抛出到再次落入手中，小船前进了0.6 m
小球到达最高点时水平速度不为零，则速度不为零，C错误；
从小球被抛出到再次落入手中，小船前进了x＝vx·2t＝0.6 m，D正确．
知识点二　生活中的平抛运动
生产、生活及体育运动中有些物体水平飞出，常可理想化为平抛运动，处理方法依然为“化曲为直”，将其分解成水平方向和竖直方向的两个直线运动．但在该类问题中，某一物理量(如初速度、高度等)往往有一定的限制，在解决这类问题时，确定临界状态，画好运动轨迹，是解决问题的关键．
√
√
(多选)如图所示的是乒乓球发射器示意图，发射口距桌面高度为0.45 m，假定乒乓球水平射出，落在桌面上与发射口水平距离为2.4 m的P点，飞行过程中未触网，不计空气阻力，g取10 m/s2，则(　　)
A．球下落的加速度逐渐变大
B．球从发射口到桌面的时间为0.3 s
C．球从发射口射出后速度不变
D．球从发射口射出的速率为8 m/s
[解析]　不计空气阻力，球下落的加速度为g，A错误；
由x＝v0t，解得球的初速度v0＝8 m/s，D正确；
球的竖直分速度增大，所以合速度增大，C错误．
√
农民在精选谷种时，常用一种叫“风车”的农具进行分选．在同一风力作用下，谷种和瘪谷都从洞口水平飞出，结果谷种和瘪谷落地点不同，自然分开，如图所示．若不计空气阻力，对这一现象，下列分析正确的是(　　)
A．谷种飞出洞口时的速度比瘪谷飞出洞口时的速度大些
B．谷种和瘪谷飞出洞口后都做匀变速曲线运动
C．谷种和瘪谷从飞出洞口到落地的时间不相同
D．M处是瘪谷，N处为谷种
知识点三　斜抛运动
1．斜抛运动的规律
(1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线．
(2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图所示)
①水平方向：v0x＝v0cos θ，F合x＝0.
②竖直方向：v0y＝v0sin θ，F合y＝mg.
2．斜抛运动的对称性
(1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间．
(2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等．
(3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称．
√
如图是物体做斜抛运动的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点．下列叙述正确的是(不计空气阻力)(　　)
A.物体在C点速度为零
B．物体在A点的速度与物体在B点的速度相同
C．物体在A点、B点的水平速度均大于物体在C点的水平速度
D．物体在A、B、C各点的加速度都相同
角度1　对斜抛运动的理解
[解析]　斜抛运动在水平方向分运动是匀速直线运动，即水平速度不变，物体在C点具有水平方向的速度，物体在A点、B点的水平速度均等于物体在C点的速度，故A、C错误；
速度是矢量，既有大小也有方向，由斜抛运动的对称性可知A、B两点的速度大小相等，方向不同，物体在A点的速度与物体在B点的速度不相同，故B错误；
斜抛运动的物体只受到重力的作用，即加速度恒为g，故D正确．
将小球从O点以v0＝5 m/s的初速度斜向上抛出，小球经过与O点等高的A点后落地．已知v0与水平方向夹角为53°，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6.求小球从O点到A点的：
(1)运动时间t；
[解析]　小球的初速度在竖直方向上的分速度v0y＝v0·sin 53°
解得t＝0.8 s.
[答案]　0.8 s
角度2　斜抛运动基本规律的应用
(2)水平位移x.
[解析]小球的初速度在水平方向上的分速度v0x＝v0cos 53°
水平位移x＝v0xt
解得x＝2.4 m.
[答案]　2.4 m
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(竖直上抛)某同学身高1.7 m，在学校秋季运动会上参加跳高比赛，采用背跃式，身体横着越过2.10 m的横杆，获得了冠军．据此可估算出他起跳时竖直向上的速度至少约为(g取10 m/s2)(　　)
A．9 m/s B．8 m/s
C．5 m/s D．3 m/s
√
2．(生活中的抛体运动)(多选)刀削面因其风味独特，驰名中外．刀削面全凭刀削，因此得名．如图所示，将一锅水烧开，拿一块面团放在锅旁边较高处，用一刀片飞快地削下一片片很薄的面片儿，面片便飞向锅里，若面团到锅的上沿的竖直距离为0.8 m，最近的水平距离为0.5 m，锅的半径为0.5 m．要想使削出的面片落入锅中，则面片的水平速度可以是下列选项中的(g取10 m/s2)(　　)
A．1 m/s B．2 m/s
C．3 m/s D．4 m/s
√
√
3．(斜抛运动规律的应用)(2025·梅州期末)“打水漂”是一种常见的娱乐活动，以一定的高度水平扔出的瓦片，会反复在水面上弹跳前进，假设瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是(　　)(共36张PPT)
第三节　平抛运动
第1课时　探究平抛运动
学习目标
1．掌握实验描绘平抛运动轨迹和探究平抛运动规律的方法．
2．理解平抛运动是加速度为g的匀变速曲线运动，知道其轨迹是抛物线．
3．掌握平抛运动的处理方法及其运动规律．
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、平抛运动
1．定义：将物体以一定的初速度沿水平方向抛出，仅在重力作用下物体所做的运动叫作平抛运动．
2．条件：(1)初速度沿水平方向；
(2)只受重力的作用．
3．性质：平抛运动是曲线运动，所受合力(重力)恒定，故平抛运动为加速度为g的匀变速曲线运动．
二、实验思路
平抛运动的轨迹是曲线，根据运动的合成与分解，可以把复杂的平抛运动分解为两个相对简单的直线运动，即设计实验分别研究平抛运动在水平方向和竖直方向的分运动的特点．
由力的独立作用原理推测出做平抛运动的物体在两个方向上的运动情况：
(1)在水平方向上物体不受力的作用，做匀速直线运动；
(2)在竖直方向上物体只受竖直向下的重力作用，初速度为零，做自由落体运动．
三、实验方案
方案一：在如图所示的实验中，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；同时B球被释放，自由下落，做自由落体运动．观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后．
分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复这个实验，记录实验现象．
方案二

如图所示，在一块竖直放置的平板上固定着两个相同的弧形轨道A和B，用于发射钢球．
两弧形轨道出口处水平，其上分别安装了一个电磁铁C和D.在轨道A出口处有一个碰撞开关S，可控制电磁铁E电源的通断．从轨道A射出的钢球做平抛运动，从轨道B射出的钢球做匀速直线运动，从电磁铁E处释放的钢球做自由落体运动．
(1)研究平抛运动水平方向分运动的特点
①使电磁铁C和D分别相对各自轨道出口水平线处于相同高度．把两个钢球分别吸在电磁铁C、D上．切断电源，使两个钢球以相同的初速度同时水平射出．
②改变电磁铁C、D与各自轨道出口水平线的相对高度，并确保高度相等．
③多次重复以上步骤．观察实验现象，并分析平抛运动水平方向分运动的特点．
(2)研究平抛运动竖直方向分运动的特点
①把两个钢球分别吸在电磁铁C、E上，并确保电磁铁E上的钢球与轨道A出口处于同一高度，释放轨道A的钢球．钢球在水平出口处碰撞开关S，切断电磁铁E的电源，使钢球从电磁铁E处释放．
②改变电磁铁E的位置，让其从N向M移动．
③多次重复以上步骤．观察实验现象，并分析平抛运动竖直方向分运动的特点．
(3)结论：平抛运动在水平方向的分运动是匀速直线运动，在竖直方向的分运动是自由落体运动．
方案三：频闪照相法
1．通过频闪照相的方法获得小球做平抛运动时的频闪照片；

小球做平抛运动的频闪照片
2．以抛出点为原点，建立直角坐标系；
3．通过频闪照片描出小球经过相等时间间隔所到达的位置；
4．测出T、2T、3T…时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，并填入表格；
抛出时间 T 2T 3T 4T 5T
水平位移
竖直位移
结论 水平分运动特点
竖直分运动特点
5.分析数据得出小球水平分运动和竖直分运动的特点．
典例分类讲解
PART
02
第二部分
题型一　平抛运动规律的探究
某学习小组做探究平抛运动规律的实验．

(1)在图甲中用小锤敲击弹性金属片，观察到a、b两个小球同时落地，则说明平抛运动在竖直方向上做________运动．
[解析]　由于任意高度，做平抛运动和自由落体运动的两个小球都会同时落地，说明平抛运动在竖直方向上做自由落体运动．
自由落体
(2)在图乙中将相同的两个小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，切断电源，P、Q同时沿着相同的斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做________运动．
[解析]　在题图乙中同时断电后P、Q两个小球同时沿着斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做匀速直线运动．
匀速直线
(3)利用频闪相机拍摄图甲中a小球运动过程，经处理后得到如图丙所示的点迹图像．图中O为坐标原点，B点在两坐标线交点，坐标xB＝40 cm，yB＝20 cm，A、C点均在坐标线的中点．重力加速度g取10 m/s2，则平抛小球在B点处的瞬时速度大小vB＝________m/s(结果保留根式).
[解析]　根据题图丙中的几何关系可知，A点的纵坐标为5 cm，B点的纵坐标为20 cm，C点的纵坐标为45 cm
因此A、B的竖直距离yAB＝15 cm＝0.15 m
B、C之间的竖直距离yBC＝25 cm＝0.25 m
用如图所示的实验方案来研究平抛运动的特点．在一块竖直放置的背景板上固定两个弧形轨道A、B，用于释放小铁球，斜槽末端切线均水平，板上还装有三个电磁铁C、D、E，其中电磁铁C、D可分别沿轨道A、B移动．在轨道A出口处有一个碰撞开关S，用以控制电磁铁E的电源通断，电磁铁E可以沿水平杆MN移动，当它吸上小铁球时，该小铁球中心与从轨道A射出的小铁球中心在同一水平线上．
调节球3的位置多次实验，发现球1和球3总是在空中相碰，则说明球1________；调节电磁铁C、D到斜槽末端等高的不同位置，发现球1和球2总能相碰，则说明球1________．
A．竖直方向做匀速直线运动
B．竖直方向做自由落体运动
C．水平方向做匀加速直线运动
D．水平方向做匀速直线运动
B
D
[解析]　调节球3的位置多次实验，发现球1和球3总是在空中相碰，则说明两球在竖直方向的运动完全相同，则球1在竖直方向做自由落体运动，故选B；调节电磁铁C、D到斜槽末端等高的不同位置，发现球1和球2总能相碰，则说明两球在水平方向的运动相同，则球1水平方向做匀速直线运动．
题型二　描迹法研究平抛运动
在做“探究平抛运动的特点”的实验时，通过描点法画出小球做平抛运动的轨迹，实验装置如图所示．
(1)实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是________．
A．铅垂线 B．秒表
C．弹簧测力计 D．天平
[解析]　实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，还需要的是铅垂线，故选A.
A
(2)实验时将固定有斜槽的木板放在实验桌上，实验前要检查斜槽末端是否水平，请简述你的检查方法：
_________________________________________________________________________________________________________________________________.
[解析]　将小球放在斜槽末端的任意位置，小球静止不动，则斜槽末端水平(或用水平仪检查斜槽末端是否水平).
将小球放在斜槽末端的任意位置，小球静止不动，则斜槽末端水平(或用水平仪检查斜槽末端是否水平)
(3)关于这个实验，下列说法正确的是_________．
A．小球释放的初始位置越高越好
B．每次小球要从同一高度由静止释放
C．实验前要用铅垂线检查坐标纸上的竖线是否竖直
D．小球的平抛运动要靠近木板但不接触
BCD
[解析]　小球释放的初始位置并非越高越好，若是太高，则导致水平抛出的速度太大，实验难以操作，故A错误；
因为要画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得相同的初速度，故B正确；
小球在竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速运动，为了正确描绘其轨迹，必须使坐标纸上的竖线是竖直的，故C正确；
实验要求小球滚下时不能碰到木板平面，避免因摩擦而使运动轨迹改变，最后轨迹应连成平滑的曲线，故D正确．
(4)实验时，坐标纸应当固定在竖直的木板上，图中坐标纸的固定情况与斜槽末端的关系正确的是__________．
[解析]　斜槽末端是水平的，小球做平抛运动，要分解为水平方向和竖直方向的分运动，故方格纸应该水平、竖直，坐标原点应该与小球在斜槽末端静止时在木板上的投影重合，故C正确，A、B、D错误．
C
用如图甲所示装置研究平抛运动．将白纸和复写纸对齐重叠并固定在竖直硬板上，钢球沿斜槽轨道PQ滑下后从Q点飞出，落在水平挡板MN上，钢球侧面会在白纸上挤压出一个痕迹点，移动挡板，从同一位置重新释放钢球，如此重复，白纸上将留下一系列痕迹点，即可描出钢球做平抛运动的轨迹，进而研究平抛运动的规律．
根据实验原理，回答以下问题：
(1)实验前，应将小球放在斜槽末端，根据小球的运动情况，调节支脚螺丝，使斜槽末端________．
[解析]　实验前，应将小球放在斜槽末端，根据小球的运动情况，调节支脚螺丝，使斜槽末端水平．
水平
(2)该实验中，在取下白纸前，应确定坐标原点O的位置，并建立直角坐标系，下列图像中坐标原点和坐标系的建立正确的是________．
[解析]　该实验中坐标原点O的位置，应该是小球在斜槽末端时球心的投影点，y轴用重垂线来确定，故C正确，A、B错误．
C
(3)该实验中，将白纸换成方格纸，每个小方格边长L＝5 cm.实验记录了小球在运动中的3个点迹，如图乙所示，则小球在B点的速度大小是__________m/s(重力加速度g取10 m/s2，结果保留2位有效数字).
2.5
题型三　实验拓展创新
如图所示，小明利用家中物品制作了一个研究平抛运动规律的装置．在水平桌面上用硬练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动．实验步骤如下：
a．将贴好白纸的案板竖直放置于P处；
b．将小钢球沾上墨水后由静止释放，小球飞出后
碰到案板并在白纸上留下痕迹B；
c．将案板从P处靠近书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹A；
d．将案板从P处远离书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹C；
e．用刻度尺量出A、B、C三点的距离hAB＝0.15 m，hBC＝0.25 m，通过以上数据即可粗略求出小球离开书桌时初速度的大小．重力加速度g取10 m/s2，回答下列问题：
(1)关于实验操作，下列说法正确的是________．
A．书桌要调整水平 B．小球每次都从同一位置由静止释放
C．必须用秒表记录时间 D．案板可以不竖直放置
[解析]　要保证小球做平抛运动，书桌要调整水平，A正确；
由于要记录小球的运动轨迹，必须重复多次，才能画出几个点，因此为了保证每次平抛的轨迹相同，所以要求小球每次从同一高度释放，B正确；
本实验测量小球轨迹即可，无需测量时间，C错误；
案板必须竖直放置，以防止打到案板上的点之间的水平位移不同， D错误．
AB
(2)根据实验数据，可得小球离开桌面时初速度的大小v0＝________m/s.
1
(3)若因为操作不当，把案板从P处靠近书桌平移0.1 m后，案板没有竖直，向右倾斜一较小角度，其他操作无误，则求出的离开桌面时初速度比实际值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”).
偏小专题提升课1　运动合成与分解的两类模型
微专题一　“小船过河”模型
1．小船过河模型
小船的实际运动是船随水流的运动(速度为v水)和船在静水中的运动(速度为v静水)的合运动．船的航行方向是实际运动的方向，即合速度的方向．两个方向的运动情况相互独立、互不影响．
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题
水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度．因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可．由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移s＝，位移方向满足tan θ＝.
　　　
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
如图乙所示，最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足 v船cos θ＝v水，即cos θ＝.
情况二：v水＞v船
合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河．如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短．由图丙可知 sin α＝，最短航程为s′＝＝d.此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝.
　一轮船的船头始终指向垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法正确的是(　　)
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关
D．路程与水流速度无关
[解析]　因为船垂直于河岸方向的速度不变，即船速不变，设两侧河岸间距为d，则渡河时间t＝，而水流方向是垂直于这个方向的，在这个方向上没有分速度，所以不论水速多大，渡河时间不变；水速越大，则水流方向的位移x就越大．根据路程s＝可知，水流速度越大，路程越长．
[答案]　C
　已知小船在静水中的速度为4 m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽d＝200 m，水流速度为3 m/s，方向与河岸平行．
(1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？
(2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若河水因涨水导致水流速度变为6 m/s，小船在静水中的速度为4 m/s不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？
[解析]　
(1)当船以静水中的速度垂直于河岸渡河时，渡河时间最短，如图甲所示
最短时间tmin＝＝50 s
这时小船的合速度
v＝ eq \r(v＋v)＝5 m/s
此种情况下小船渡河的位移
l＝vtmin＝250 m.
(2)
船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图乙所示
这种情况下，小船的合速度
v′＝ eq \r(v－v)＝ m/s＝ m/s
当渡河位移最短时渡河的时间
t′＝＝ s.
(3)若水流速度v水′＝6 m/s
则v船此种情况下渡河如图丙所示
当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小
l′＝＝300 m
这种情况下，小船的合速度
v″＝ eq \r(v水′2－v)＝2 m/s
渡河时间t″＝＝ s＝30 s.
[答案]　(1)50 s　250 m　(2) s
(3)300 m　30 s
微专题二　“关联速度”模型
1．“关联”模型
高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变．绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度．
2．解题步骤
(1)先确定合运动，即物体的实际运动．
(2)确定合运动的两个实际作用效果：一是沿绳(或杆)方向的平动效果(改变速度的大小)；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果(改变速度的方向).即将实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量．
(3)按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图．
(4)根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解．
3．常见模型
模型1　绳牵连物体模型
　(2025·惠州期末)如图所示，一辆货车利用跨过定滑轮的缆绳提升一箱货物，货车匀速向左运动时，货物的速度(　　)
A．逐渐减小　　　 　 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
[解析]　
将货车的速度进行分解，分解为沿着绳方向的v∥和垂直于绳方向的v⊥，如图所示，可知货物的速度与车沿着绳方向的分速度大小始终相等，则有v货＝v∥＝v cos θ，随着汽车前进，θ角减小，cos θ增大，由此可知货物的速度逐渐增大．
[答案]　B
模型2　杆牵连物体模型
　如图所示，均质细杆的上端A靠在光滑竖直墙面上，下端B置于光滑水平面上，现细杆由与墙面夹角很小处滑落，则当细杆A端与B端的速度大小之比为∶1时，细杆与水平面间的夹角θ为(　　)
A．30°　 B．45°
C．60°　 D．90°
[解析]　当细杆与水平面间夹角为θ时，由细杆A端与B端的速度沿杆方向的分速度相等可得，vAsin θ＝vB cos θ，即tan θ＝＝，解得θ＝30°.
[答案]　A题组1　平抛运动的性质和特点
1．在实际生活中，最接近抛体运动的是(　　)
A．手抛出的小石块
B．秋风吹落的树叶
C．在空中高速运动的炮弹
D．空中飞翔的纸飞机
解析：选A.以一定的速度抛出的物体，只在重力作用下的运动，是抛体运动，如果有空气阻力，但空气的阻力跟重力相比可以忽略不计，也可以看成抛体运动．手抛出的小石块的运动最接近拋体运动，故A正确；秋风吹落的树叶，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故B错误；物体在空气中运动，速度越大，阻力也越大，在空中高速运动的炮弹，由于阻力的影响，实际轨迹不再是抛物线，因此不能看成抛体运动，故C错误；空中飞翔的纸飞机，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故D错误．
2．做平抛运动的物体，在水平方向通过的最大距离取决于(　　)
A．物体所受的重力和抛出点的高度
B．物体的初速度和抛出点的高度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、高度和初速度
解析：选B.对于做平抛运动的物体，水平方向上有x＝v0t，竖直方向上有h＝gt2，所以水平位移x＝v0，所以物体在水平方向通过的最大距离取决于物体的初速度和抛出点的高度，B正确．
题组2　平抛运动规律的应用
3．(2024·海南卷，T3)在跨越河流表演中，一人骑车以25m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽x＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，g取10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　)
A．0.5 m　　　　　　 B．5 m
C．10 m D．20 m
解析：选B.车做平抛运动，设运动时间为t，竖直方向h＝gt2，水平方向x＝v0t，其中，x＝25 m、v0＝25 m/s，解得h＝5 m．
4．(2024·湖北卷，T3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方．将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　)
A．荷叶a B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
解析：选C.青蛙做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有x＝vt，h＝gt2，可得v＝x，因此水平位移越小、竖直高度越大时初速度越小，因此它应跳到荷叶c上面．
5．(多选)以速度v0水平抛出一物体，当其竖直分位移与水平分位移相等时，此物体的(　　)
A．竖直分速度等于水平分速度
B．瞬时速度为v0
C．运动时间为
D．发生的位移为 eq \f(2\r(2)v,g)
解析：选BCD.当其竖直分位移与水平分位移相等时，则有v0t＝gt2，可得t＝，故C正确；竖直速度vy＝gt＝2v0，故A错误；瞬时速度v＝ eq \r(v＋v)＝v0，故B正确；发生的位移x合＝＝ eq \f(2\r(2)v,g)，故D正确．
6．如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L.当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t.不计空气阻力．下列关于子弹的说法正确的是(　　)
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
解析：选B.由于子弹水平射出后做平抛运动，小积木做自由落体运动，二者竖直方向运动状态相同，所以子弹将击中P点；子弹水平方向做匀速直线运动，由L＝vt可得t＝，B正确．
7．(2024·1月浙江选考，T8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A.已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为　(　　)
A． B．
C． D．(＋1)D
解析：选C.设出水孔到水桶中心的水平距离为x，则x＝v0，水落到桶底A点时有x＋＝v0，解得v0＝.
8．某同学玩飞镖游戏，如图所示，他将飞镖从镖盘正前上方某位置以速度v1水平投出后，经时间t1，飞镖击中靶心正上方某位置；第二次将飞镖从同一位置以速度v2水平投出后，经时间t2飞镖击中靶心正下方某位置．不计空气阻力，飞镖可视为质点，下列关系式正确的是(　　)
A．v1>v2，t1v2，t1>t2
C．v1t2
解析：选A.两次飞镖从同一位置水平投出，均做平抛运动，第一次击中靶心正上方某位置，第二次击中靶心正下方某位置，有h1v2.
9．(12分)(2025·东莞市期末)某课外兴趣小组借助传感器，研究一小球做平抛运动的规律．小球水平抛出0.5 s时速度方向与竖直方向成45°角，落地时速度方向与竖直方向成30°角，小球可看作质点，重力加速度g取10 m/s2，求(结果可以保留根式)：
(1)小球做平抛运动的初速度大小；(4分)
(2)小球抛出时距离地面的高度；(4分)
(3)小球抛出点与落地点之间的水平距离．(4分)　
解析：(1)当小球抛出0.5 s后小球的竖直分速度vy1＝gt1＝5 m/s，水平方向的分速度v0＝vy1tan 45°＝5 m/s.　
(2)小球落地时竖直方向的分速度vy2＝＝5 m/s，小球抛出时距离地面的高度h＝ eq \f(v,2g)＝3.75 m．　
(3)小球下落时间t＝＝ s，小球落地时的水平位移x＝v0t＝ m.
答案：(1)5 m/s　(2)3.75 m　(3) m
10．(12分)如图所示，光滑斜面长为10 m，倾角为30°，一小球从斜面的顶端以10 m/s的初速度水平射入．求：(g取10 m/s2)
(1)小球沿斜面运动到底端时的水平位移x；(6分)
(2)小球到达斜面底端时的速度大小．(6分)
解析：(1)小球在斜面上沿v0方向做匀速直线运动，沿垂直于v0方向做初速度为零、加速度为a的匀加速直线运动，根据牛顿第二定律有mgsin 30°＝ma
又L＝at2
解得t＝
所以x＝v0t＝v0＝20 m.
(2)设小球运动到斜面底端时的速度为v，则有
vx＝v0＝10 m/s，v＝2aL＝2gLsin 30°＝gL
故v＝ eq \r(v＋v)＝10 m/s.
答案：(1)20 m　(2)10 m/s1．用如图甲、乙所示的两种装置来分析平抛运动．
(1)图甲中用小锤击打弹性金属片C，小球A沿水平方向飞出后做平抛运动，与此同时，与球A相同的球B被松开做自由落体运动；改变实验装置离地高度，多次实验，两球总是__________(选填“同时”“A先B后”或“B先A后”)落地，这说明做平抛运动的球A在竖直方向上做自由落体运动．
(2)图乙中，M、N是两个完全相同的轨道，轨道末端都与水平方向相切，其中，轨道N的末端与光滑水平面相切，轨道M通过支架固定在轨道N的正上方．将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两球以相同的初速度v0同时通过轨道M、N的末端，发现两球__________(选填“同时”或“先后”)到达E处，发生碰撞．改变轨道M在轨道N上方的高度，再进行实验，结果两球也总是发生碰撞，这说明做平抛运动的P球在水平方向上的运动情况与Q球__________(选填“相同”或“不同”).
解析：(1)改变实验装置离地高度，多次实验，两球总是同时落地，这说明做平抛运动的球A在竖直方向上做自由落体运动．
(2)两球以相同的初速度v0同时通过轨道M、N的末端，发现两球同时到达E处，发生碰撞．改变轨道M在轨道N上方的高度，再进行实验，结果两球也总是发生碰撞，这说明做平抛运动的P球在水平方向上的运动情况与Q球相同．
答案：(1)同时　(2)同时　相同
2．石老师在讲曲线运动时，做了“探究平抛运动的特点”实验．
(1)关于该实验下列说法正确的是________．
A．用折线连接描绘的点得到小球的运动轨迹
B．实验时应先确定x轴再确定y轴
C．斜槽轨道必须是光滑的
D．无需称出小球的质量
(2)小北在实验时得到如图所示的实验结果，图中的a、b、c、d为小球在平抛运动中的几个位置．相邻位置时间间隔相等，此时间间隔T＝________，该小球初速度大小为________．(已知图中每个小方格的边长为L，重力加速度为g)
解析：(1)为了减小误差，数据处理时，舍去偏差较大的点，用平滑的曲线连接描绘的点，得到小球的运动轨迹，故A错误；根据斜槽末端的重垂线所确定的竖直方向，先确定y轴，再确定x轴，故B错误；由于小球每次均从斜槽上同一位置由静止释放，则小球克服摩擦力做功相同，小球飞出斜槽末端的速度大小一定，可知，斜槽轨道的摩擦对实验没有影响，故C错误；实验中通过某点确定平抛运动的轨迹，根据轨迹确定小球抛出的初速度，无需称出小球的质量，故D正确．
(2)小球竖直方向上做自由落体运动，相邻相等时间间隔内的位移差一定，结合图像有Δy＝L＝gT2
解得T＝
小球水平方向做匀速直线运动，根据图像有2L＝v0T
结合上述解得v0＝2.
答案：(1)D　(2) 　2
3．某实验小组用如图甲所示的装置“探究平抛运动的特点”，M为斜槽，N为水平放置的可上下调节的倾斜挡板．
(1)除了硬背板(含固定支架)、小球、斜槽、铅垂线、倾斜的挡板、铅笔、图钉、白纸、复写纸之外，下列器材中还需要的是________．
A．秒表　　　 　 　 B．天平
C．刻度尺 D．弹簧测力计
(2)实验过程中，下列说法正确的是________．
A．应选用密度小的木球
B．通过调节，要使硬背板保持竖直
C．尽量减少小球与斜槽间的摩擦
D．小球每次要在同一位置由静止释放
E．倾斜挡板的高度要等间距变化
F．要使斜槽末端切线保持水平
(3)若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：在轨迹上取A、B、C三点，建立坐标系，如图乙所示．当地重力加速度g取10 m/s2，可得小球平抛的初速度大小为__________m/s(结果保留2位有效数字).
解析：(1)在实验中需要用刻度尺测量水平位移和竖直位移，所以还需要的器材是刻度尺，故选C.
(2)为了减小空气阻力的影响，应选择密度大的球，A错误；通过调节，要使硬背板保持竖直，B正确；小球与斜槽间的摩擦不影响实验，C错误；为了保证小球每次平抛运动的初速度相等，小球需要每次从斜槽的同一位置由静止释放，D正确；倾斜挡板的高度不需要等间距变化，E错误；为了保证小球的初速度水平，斜槽末端切线需水平，F正确．
(3)在竖直方向上，根据Δy＝gT2，得
T＝ ＝ s＝0.1 s
则小球平抛运动的初速度
v0＝＝ m/s＝2.0 m/s.
答案：(1)C　(2)BDF　(3)2.0
4．某实验小组利用图(a)所示装置验证小球平抛运动的特点．实验时，先将斜槽固定在贴有复写纸和白纸的木板边缘，调节槽口水平并使木板竖直；把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O，建立平面xOy坐标系．然后从斜槽上固定的位置释放小球，小球落到挡板上并在白纸上留下印迹，上下调节挡板进行多次实验．实验结束后，测量各印迹中心点O1、O2、O3…的坐标，并填入表格中，计算对应的x2值．
项目 O1 O2 O3 O4 O5 O6
y/cm 2.95 6.52 9.27 13.20 16.61 19.90
x/cm 5.95 8.81 10.74 12.49 14.05 15.28
x2/cm2 35.4 77.6 115.3 156.0 197.4 233.5
(1)根据表中数据，在图(b)给出的坐标纸上补上O4数据点，并绘制“y－x2”图线．
(2)由y－x2图线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成________(选填“线性”或“非线性”)关系，由此判断小球下落的轨迹是抛物线．
(3)由y－x2图线求得斜率k，小球平抛运动的初速度表达式为v0＝________(用斜率k和重力加速度g表示).
(4)该实验得到的y－x2图线常不经过原点，可能的原因是________________________________________________________________________________________________________________________________________________.
解析：(1)根据表中数据在坐标纸上描出O4数据点，并绘制“y－x2”图线如图所示．
(2)由y－x2图线为一条倾斜的直线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成线性关系．
(3)根据平抛运动规律可得x＝v0t，y＝gt2，联立可得y＝g()2＝ eq \f(g,2v)x2，可知y－x2图线的斜率为k＝ eq \f(g,2v)，解得小球平抛运动的初速度为v0＝.
(4)y－x2图线是一条直线，但常不经过原点，说明实验中测量的y值偏大或偏小一个定值，这是小球的水平射出点未与O点重合，位于坐标原点O上方或下方所造成的．
答案：(1)图见解析　(2)线性　(3)　(4)水平射出点未与O点重合
5．(2025·珠海市期末)某实验小组利用如图甲所示装置测量小球在离开水平桌面边缘O点时做平抛运动的初速度．在地面上沿抛出的速度方向水平放置一把刻度尺，让悬挂在抛出点O处的重锤的投影恰好落在刻度尺的零刻度线上，利用小球在刻度尺上的落点位置，就可以直观地得到小球做平抛运动的初速度，并可以制成如图乙所示的速度标尺(图中P点为重锤的投影位置).　
(1)由标尺信息可知，小球在空中的飞行时间为__________．　
(2)桌面离地面的高度________m(重力加速度g取9.8 m/s2)(保留3位有效数字).
(3)关于该速度标尺，下列说法正确的是________．
A．增大桌面离地面高度，速度刻度的间距将变大
B．增大桌面离地面高度，速度刻度的间距将变小
C.增大桌面上倾斜轨道的倾角，速度刻度的间距将变大
D．增大桌面上倾斜轨道的倾角，速度刻度的间距将变小
解析：(1)由标尺信息可知，小球在空中的飞行时间t＝＝0.5 s.
(2)桌面离地面的高度h＝gt2≈1.23 m.
(3)增大桌面离地面高度，则运动时间增加，根据x＝v0t可知，速度刻度的间距将变大，A正确，B错误；增大桌面上倾斜轨道的倾角，因小球释放的位置不确定，则小球到达斜槽底端时的速度不一定变大，也不一定减小，根据x＝v0t可知，速度刻度的间距不一定变大，也不一定减小，C、D错误．
答案：(1)0.5 s　(2)1.23　(3)A1．如图，某质点沿曲线从B点运动到A点，分析质点在A点速度方向，使用的物理学思想方法是(　　)
A．控制变量法　　　 B．极限思维法
C．等效替代法 D．理想模型法
解析：选B.利用曲线上两点无限逼近作曲线的切线的方法对应的思想方法是极限思维法．
2．位于西藏昌都市八宿县境内的“怒江七十二拐”是318国道最惊险的一段，被称作中国十大险峻山路之一．如图所示，一辆汽车行驶在该公路上，图中A、B、C和D处汽车的速度方向跟O处汽车的速度方向几乎相同的是(　　)
A．A和B B．B和C
C．B和D D．C和D
解析：选B.做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，则题图中A、B、C和D处汽车的速度方向跟O处汽车的速度方向几乎相同的是B和C两点．
3．如图，水平桌面上一小铁球沿直线运动．若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁体，下列关于小铁球运动的说法正确的是(　　)
A．磁体放在A处时，小铁球做匀速直线运动
B．磁体放在A处时，小铁球做直线运动，加速度大小不变
C．磁体放在B处时，小铁球做曲线运动，加速度不变
D．磁体放在B处时，小铁球做曲线运动，加速度大小和方向都变
解析：选D.磁体放在A处时，小铁球受磁体的引力方向与速度方向共线，且引力逐渐变大，可知小铁球做加速度增大的变加速直线运动，A、B错误；磁体放在B处时，小铁球受磁体的引力方向与速度方向不共线，小铁球做曲线运动，随引力的增加，加速度大小和方向都变，C错误，D正确．
4．(2025·惠州月考)某质点受一恒力F的作用，从A点沿曲线运动到B点，如图所示，此过程中所受恒力的方向可能为(　　)
A．竖直向上 B．水平向左
C．竖直向下 D．无法确定
解析：选C.根据曲线运动特点可知，质点所受合力方向位于轨迹的凹侧，所以此过程中所受恒力的方向不可能竖直向上，也不可能水平向左，可能竖直向下．
5．蜜蜂可以通过“舞蹈”轨迹向同伴传递信息．如图所示，一个可视为质点的蜜蜂沿轨迹甲乙丙丁飞行，图中画出了蜜蜂在甲、乙、丙和丁四处所受合力F的方向，可能正确的是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：选B.做曲线运动的物体，速度方向为曲线的切线方向，合外力指向曲线的凹侧，速度与力分居于轨迹的两侧，则乙处画出的合力方向正确．
6．(2025·茂名市合格考模拟)如图所示，“福建舰”正在海面上进行转弯作业，下列选项分别画出了“福建舰”沿曲线由M向N转弯(俯视图)时所受合力F的方向，其中可能正确的是(　　)
解析：选B.“福建舰”做的是曲线运动，受到的合力应该指向运动轨迹弯曲的内侧．
7．(2025·珠海市期末)第十五届中国国际航空航天博览会(简称中国航展)在珠海国际航展中心成功举行．如图，正在展演的“歼 20”战机正沿直线斜向下加速俯冲．将“歼 20”简化为质点“O”，用G表示它受到的重力，F表示除重力外其他作用力的等效力，则下列图中能正确表示此过程中战机受力情况的是(　　)
解析：选A.由题意可知正在展演的“歼 20”战机正沿直线斜向下加速俯冲，则所受的合力方向与速度方向在同一直线上，否则就要做曲线运动．
8．某品牌电动汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小，图中分别画出了汽车转弯时加速度a的方向正确的是(　　)
解析：选B.电动汽车运动轨迹是曲线，根据曲线运动的条件，受到的合外力方向指向曲线的内侧，因为是减速运动，合外力的方向与该点的速度方向的夹角为钝角，且速度方向沿切线方向，加速度方向和合外力方向相同．
9．关于物体的受力和运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变
B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向
C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变
D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的合外力作用
解析：选D.物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小不可能一直不变，故A错误；物体做曲线运动时，某点的速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向，而不是加速度方向，故B错误；物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，故C错误；物体做曲线运动的条件是受到与速度不在同一直线上的合外力作用，故D正确．
10．一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，着地前一段时间风又突然停止，则其运动的轨迹可能是图中的(　　)
解析：选C.物体由静止自由下落时只受到重力作用，做竖直向下的直线运动，当物体突然受到水平向右的风力时，重力与风力的合力方向立即指向右下方，但瞬时速度方向仍是竖直向下的，此时物体开始做曲线运动，运动轨迹开始向右弯曲，A、B错误；运动轨迹应与速度相切，即开始做曲线运动时轨迹应与竖直线相切，D错误；当风停止时，物体又只受到重力作用，即合力方向又竖直向下，故物体运动轨迹又开始向下弯曲，C正确．
11．光滑水平面内，一质点在恒力作用下做曲线运动，轨迹如图中虚线所示，A、B为曲线上的两个点，则此恒力可能是图中的(　　)
A．F1　　　　　　　 B．F2
C．F3 D．F4
解析：选A.根据质点做曲线运动的条件可知，质点在恒力作用下做曲线运动，恒力应在任何位置均指向曲线弯曲的内侧，结合题图可知，此恒力可能是图中的F1.
12．擦窗机器人帮助人们解决了高层擦窗、室外擦窗难的问题．如图所示，擦窗机器人在竖直玻璃窗上沿直线由A向B运动．已知F为机器人除所受重力外的其他力的合力，则此过程中擦窗机器人在竖直平面内的受力分析不可能的是(　　)
解析：选D.擦窗机器人沿直线从A向B运动，若选项图A中的合力为零，擦窗机器人做匀速直线运动，故A不符合题意；选项图B中的合力可能与速度共线且方向相反，则擦窗机器人做减速直线运动，故B不符合题意；选项图C中的合力可能与速度共线且方向相同，擦窗机器人做加速直线运动，故C不符合题意；选项图D中的合力肯定和速度不共线，擦窗机器人要做曲线运动，故D符合题意．
13．(2025·佛山市联考)利用风洞实验室测试装备的风阻性能在我国已被大量运用．我们可以借助丝带和点燃的烟线辅助观察来类比研究风洞里的流场环境，在某次实验中获得一烟尘颗粒从P点到Q点做曲线运动的轨迹，如图所示，不计烟尘颗粒的重力，下列说法正确的是(　　)
A．烟尘颗粒飘在空中速度不变
B．P点处的速度方向从P点指向Q点
C．P点处的合力方向可能斜向右下方
D．Q点处的加速度方向可能竖直向下
解析：选D.烟尘颗粒做曲线运动，速度方向发生变化，可知烟尘颗粒飘在空中速度在变化，故A错误；P点处的速度方向沿该点的切线方向，故B错误；烟尘颗粒做曲线运动，合力方向指向轨迹内侧，可知P点处的合力方向不可能斜向右下方，故C错误；烟尘颗粒做曲线运动，合力方向指向轨迹内侧，即加速度方向指向轨迹内侧，可知Q点处的合力方向可能竖直向下，加速度方向可能竖直向下，故D正确．题组1　小船过河模型
1．某人想乘坐一条小木船渡河，若河面宽300 m，水流速度为3 m/s，木船相对静水速度为2 m/s，则此人渡河所需的最短时间为(　　)
A．60 s　　　　　　 　 B．100 s
C．150 s D．300 s
解析：选C.根据分运动的独立性与等时性可知，当船头指向垂直于河岸时，渡河时间最短，可知最短时间tmin＝＝ s＝150 s．
2．(多选)如图所示，小船从河岸处A点出发渡河．若河宽为100 m，河水流速v1＝4 m/s，方向平行于河岸指向河的下游，船在静水中速度v2＝5 m/s，船头方向与河岸垂直，船视为质点，则下列说法正确的是(　　)
A．小船从A点出发经过20 s到达对岸
B．小船到达对岸的位置在河正对岸下游125 m 处
C．若河水流速变慢，小船从A点到对岸的时间可能低于20 s
D．若小船行驶到河中央时水流变快，小船的实际速度方向会改变
解析：选AD.船头方向与河岸垂直，则渡河时间t＝＝20 s，故A正确；小船沿着河岸方向的位移x＝v1t＝80 m，即小船到达对岸的位置在河正对岸下游80 m处，故B错误；若河水流速变慢，小船在垂直于河岸方向的分运动不变，则渡河时间不变，即从A点到对岸的时间还是20 s，故C错误；小船的合速度是相互垂直的船速和水速的合成，则小船行驶到河中央时水流变快，即水速变大，小船合速度的大小和方向都会变，故D正确．
3．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m、流速为5 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是(　　)
A．小船渡河时间不少于60 s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150 m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250 m
D．小船以最短位移渡河时，用时为60 s
解析：选C.
当船在静水中的速度垂直于河岸时渡河时间最短tmin＝＝50 s，故A错误；船以最短时间渡河时沿水流方向的位移大小x＝v水tmin＝250 m，故B错误；因为水流速度大于船在静水中的速度，所以船不能垂直渡河，如图所示，当合速度与静水速度的方向垂直时，设合速度与水流速度的夹角为θ，此时渡河位移最短，则sin θ＝＝，则渡河的最短位移大小x1＝＝250 m，故C正确；若船以最短位移渡河，则用时t＝＝ s＝62.5 s，故D错误．
题组2　“关联速度”模型
4．如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度为v，拉船的绳与水平方向夹角为60°，则船速度为(　　)
A．2v B．v
C．v D．v
解析：选A.将小船的速度沿着平行于绳子和垂直于绳子方向正交分解，如图所示，平行于绳子的分速度等于汽车拉绳子的速度，故v＝v′cos θ，代入数据有v′＝＝2v，故A符合题意．
5．如图所示，一根长直轻杆AB靠在墙角沿竖直墙和水平地面向下滑动．当AB杆和墙的夹角为θ时，杆的A端沿墙下滑的速度大小为v1，B端沿地面滑动的速度大小为v2，则v1、v2的关系是(　　)
A．v1＝v2tan θ B．v1＝
C．v1＝v2cos θ D．v1＝v2sin θ
解析：选A.将A点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度v11＝v1cos θ，将B点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度v21＝v2sin θ，由于v11＝v21，所以v1＝v2tan θ.
6．(2025·深圳市期中)有一条小河的两岸平行，河水以速度v匀速向东流去，小船A从北岸开到南岸，运动路径始终与河岸垂直，小船B从南岸开到北岸，船头始终与河岸垂直．结果发现小船A的渡河时间是小船B渡河时间的倍．已知小船A与B在静水中的速度大小均为v0，则以下关系正确的是(　　)
A．v0＝v B．v0＝v
C．v0＝v D．v0＝v
解析：选B.设河的宽度为d，小船A的运动路径始终与河岸垂直，小船A渡河的时间t1＝，其中θ是小船A相对于河岸的运动方向与垂直于河岸方向的夹角，小船B的船头始终与河岸垂直，小船B渡河的时间t2＝，根据题意有＝，根据小船A的运动情况，河水的速度v与小船在静水中的速度v0的关系v＝v0sin θ，联立可得v0＝v.
7．火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近，平台高为h，当CN＝2h时，被救人员向B点运动的速率是(　　)
A．v0 B．v0
C．v0 D．v0
解析：
选C.将N端的速度v0进行分解，设此时v0与MN方向的夹角为θ，如图所示，则人的速度等于v0沿杆的分量，即v人＝v0cos θ，根据几何关系可得cos θ＝＝ ，解得v人＝ v0.
8．如图所示，长为L的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在以水平速度v匀速向左运动、表面光滑的竖直挡板上，当直杆与竖直方向夹角为θ时，直杆端点A的速度大小为(　　)
A． B．v sin θ
C． D．v cos θ
解析：选C.根据运动的合成与分解可知，直杆端点A的实际运动(即合运动)为垂直于杆的方向的运动，该运动由水平向左的分运动和竖直向下的分运动组成，由题意可知，vA cos θ＝v，得直杆端点A的速度vA＝，C正确．
9．(多选)如图所示，物块B套在竖直杆上，滑块A放在水平面上，一根不可伸长的细绳绕过定滑轮连接A和B，B以速度v匀速下滑，下列说法正确的是(　　)
A．A做匀速运动
B．A做加速运动
C．当连接B的细绳与竖直方向成θ角时，A的速度为v cos θ
D．当连接B的细绳与竖直方向成θ角时，A的速度为
解析：选BC.当连接A、B的细绳与竖直方向成θ角时，根据运动的分解可知A的速度vA＝v cos θ，B以速度v匀速下滑，则θ逐渐减小，cos θ逐渐增大，可知A做加速运动．
10．(2025·中山市期末)假日期间，小王去海边游玩．在小王乘坐的小船渡过某段紧挨平直海岸、宽度为300 m的水域的过程中，小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，海水沿海岸方向的流速与船到海岸的距离的关系如图乙所示，则关于小船船头垂直于海岸渡过这段水域的运动，下列说法正确的是(　　)
A．渡海时间为100 s
B．渡海位移大于300 m
C．最大速度为3.5 m/s
D．运动轨迹为直线
解析：选B.垂直于海岸渡海时间t＝＝200 s，故A错误；由题图可知，最大速度vm＝ m/s＝2.5 m/s，故C错误；船在沿海岸方向做变速运动，在垂直于海岸方向上做匀速直线运动，两分运动的合运动为曲线运动，则渡海位移大于300 m，故B正确，D错误．
11．(12分)小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s.
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？(4分)
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin 37°＝0.6)(4分)　
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？(4分)
解析：(1)因为小船垂直于河岸的速度即小船在静水中的行驶速度，且在这一方向上，小船做匀速运动，故渡河时间t＝＝ s＝40 s
小船沿河流方向的位移s＝v水t＝3×40 m＝120 m
即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸．
(2)要使小船到达河的正对岸，则v水、v船的合运动v合应垂直于河岸，如图甲所示，则
v合＝ eq \r(v－v)＝4 m/s
经历时间t′＝＝ s＝50 s
cos θ＝＝＝0.6
即船头指向与岸的上游所成角度为53°.
　　
(3)如果水流速度变为10 m/s，如图乙所示，应使v合的方向垂直于v船，故船头应偏向上游，与河岸成θ′角，有cos θ′＝＝
解得θ′＝60°，即船头指向与岸的上游成60°角．
答案：(1)40 s　正对岸下游120 m处　(2)船头指向与岸的上游成53°角　50 s　(3)船头指向与岸的上游成60°角(共34张PPT)
第二节　运动的合成与分解
学习目标
1．理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法．
2．能利用运动的合成与分解的知识，判断合运动的轨迹和性质．
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、运动的分析
1．根据________的等效性，可以对力进行合成与分解．类比这一方法，也可以根据________对运动进行分析．
2．实际发生的运动可以看成几个分运动________的结果，且分运动具有________．
作用效果
运动效果
合成
独立性
二、位移和速度的合成与分解
1．位移的合成与分解和速度的合成与分解都遵循___________________，如图所示．
平行四边形定则
2．物理意义：应用运动合成与分解的方法，通过位移和速度的合成与分解，把________运动转化为________运动进行研究．
3．应用：小船过河模型是运动合成与分解的典型应用．
复杂
简单
√
×　
判断下列说法是否正确．
(1)合速度就是两个分速度的代数和．(　　)
(2)合速度不一定大于任一分速度．(　　)
(3)合位移一定大于任意一个分位移．(　　)
(4)运动的合成就是把两个分运动加起来.(　　)
(5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动.(　　)
×　
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　合运动与分运动
从你的铅笔盒里取一块橡皮，用一根细线拴住，把细线的另一端用图钉固定在竖直放置的木板上．按图中所示的方法，用铅笔靠着细线的左侧，沿直尺向右匀速移动，再向左移动，来回做几次，仔细观察橡皮的运动轨迹．结合实验现象说明，橡皮的实际运动与哪两个方向的运动有关？
[提示]　与水平方向和竖直方向的运动有关．
1．对合运动与分运动的理解
物体的实际运动就是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．
2．合运动与分运动的关系
(1)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同．
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同．
(3)独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响．
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动．
√
跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是(　　)
A．水平风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．水平风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与水平风力无关
D．运动员着地速度与水平风力无关
[解析]　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，则下落时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风力越大，运动员水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故A、B、D错误，C正确．
知识点二　两个互成角度的直线运动的合运动
2．互成角度的两个直线运动的合成
分运动 合运动 矢量图 条件
两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v
成α角
两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0
分运动 合运动 矢量图 条件
两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同
匀变速曲线运动 a与v成α角
√
如图所示，在竖直倒置的封闭玻璃管内注满清水，水中有一个红蜡块．玻璃管以速度v向右匀速移动，与此同时红蜡块沿玻璃管以速度2v匀速上浮，用虚线表示红蜡块相对地面移动的轨迹，可能是下面四幅图中的(　　)
[解析]　蜡块参与了竖直方向上的匀速直线运动和水平方向上的匀速直线运动，合力为零，蜡块做匀速直线运动，由于竖直方向的速度大于水平方向的速度，相同时间内，竖直方向的位移大小大于水平方向的位移大小．
√
(2025·佛山月考)小明同学在国庆假期乘坐动车旅行，进站时动车可以看作匀减速直线运动．小明将一个小球由静止释放(如图所示)，不计空气阻力，则小球相对车厢下落的轨迹可能是(　　)
[解析]　小球水平方向相对车厢向右以加速度大小为a做匀加速运动，竖直方向做自由落体运动，小球相对车厢做匀加速直线运动，轨迹为C.
知识点三　运动的合成与分解
1．运动的合成与分解
(1)运动的合成：已知分运动求合运动的过程叫运动的合成．
(2)运动的分解：已知合运动求分运动的过程叫运动的分解．
(3)运动的合成与分解互为逆运算．
2．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时可运用平行四边形定则或三角形定则．
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减．
(2)两分运动不在同一直线上，按照平行四边形定则进行合成或分解．
√
角度1　运动的合成
下雨时，某外卖员在平直的道路上以4 m/s的速度骑行，已知雨滴以3 m/s的速度竖直下落，则该外卖员感觉到雨滴的速度的大小和方向分别是(　　)
A．3 m/s　竖直向下 B．3 m/s　斜向下
C．5 m/s　竖直向下 D．5 m/s　斜向下
√
√
角度2　运动的分解
√
角度3　运动的合成与分解的综合问题
√
√
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
1．(合运动与分运动)(多选)关于运动的合成，下列说法正确的是(　　)
A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大
B．两个速度不同的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C.两个分运动是直线运动的合运动，一定是直线运动
D．两个分运动的时间，一定与它们的合运动的时间相等
√
解析：运动的合成是位移、速度、加速度等矢量的合成，故合矢量的大小不一定大于分矢量，A错误；
两个速度不同的匀速直线运动的加速度都为零，故合运动的加速度一定也为零，但合运动的速度不为零，故合运动一定是匀速直线运动，B正确；
合运动是否是直线运动，取决于合运动的加速度与合运动的初速度是否在同一直线上，而与分运动是否是直线运动无关，C错误；
由合运动与分运动的等时性知，D正确．
√
2．(两个互成角度的直线运动的合运动)如图所示，在注满清水的竖直密封玻璃管中，红蜡块 R 正以较小的速度v0沿y轴匀速上浮，与此同时玻璃管沿水平x轴正方向做匀速直线运动．从红蜡块通过坐标原点 O 开始计时，直至蜡块运动到玻璃管顶端为止．在此过程中，下列说法正确的是(　　)
A．红蜡块做变速曲线运动
B．红蜡块的速度与时间成反比
C．仅减小玻璃管运动的速度，红蜡块将更慢运动到顶端
D．仅增大玻璃管运动的速度，红蜡块运动到顶端的时间保持不变
解析：红蜡块沿x轴方向和y轴方向均做匀速直线运动，则合运动也是匀速直线运动，速度不变，A、B错误；
若增大或减小玻璃管运动的速度，蜡块的竖直速度不变，则红蜡块运动到顶端的时间不变，C错误，D正确．
√题组1　与斜面相关的平抛运动
1．如图所示，倾角θ＝30°的斜面放在水平地面上，P是斜面底端O点正上方的一点，一物体从P点水平抛出，垂直落到斜面上的A点．A点距离水平面的高度为h，由此可知O、P之间的距离为(　　)
A．2h　　　　　　　 B．2.5h
C．2h D．2h
解析：选B.设O、P之间的距离为H，平抛运动的水平位移为x，则H－h＝vyt，x＝v0t，两式相比得＝，因为＝，x＝，所以H＝h＋，代入数据求得H＝2.5h，B正确．
2．(2025·茂名市期末)如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°.在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上．若不计空气阻力，则A、B两个小球的运动时间之比为(　　)
A．1∶1 B．4∶3
C．16∶9 D．9∶16
解析：选D.由平抛运动规律得x＝v0t，y＝gt2，而tan α＝，解得t＝，代入数据可得＝.
3．如图所示，小球以v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜面时的位移最小，则其飞行时间为(不计空气阻力，重力加速度为g) (　　)
A．v0tan θ　　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D.小球到达斜面时的位移最小，可知位移方向与斜面垂直，如图所示，根据几何关系有tan θ＝＝＝，解得飞行时间t＝，故D正确，A、B、C错误．
4．如图所示，在倾角为45°的斜坡底端P点正上方某一位置Q处以速度v0水平向左抛出一个小球A，小球恰好能垂直落在斜坡上，运动时间为t1.另一小球B从同一位置Q处自由下落，下落至P点的时间为t2，不计空气阻力，则t1∶t2 为(　　)
A．1∶2 B．1∶
C．1∶3 D．1∶
解析：选B.如图所示，小球B的运动时间t2＝.由图中几何关系可知vy＝v0，h＝x＋y，由于小球A做平抛运动有tan α＝tan θ＝，则y＝x，＝，又y＝gt，则＝，B正确．
5．如图，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd.从a点正上方的O点以速度v0水平抛出一个小球，它落到斜面上b点．若小球从O点以速度2v0水平抛出，则它落在斜面上的(不计空气阻力)(　　)
A．b与c之间某一点 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
解析：选A.
过b作一条与水平面平行的直线，若没有斜面，当小球从O点以速度2v0水平抛出时，小球落在水平直线上时水平位移变为原来的2倍，则小球将落在所画水平线上一点，此点位于c点的正下方，但是现在有斜面的限制，小球将落在斜面上的b、c之间．
题组2　平抛运动与其他运动的追及相遇问题
6．(多选)如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3 m/s 的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)
A．小球在空中飞行的时间为0.3 s
B．小球抛出点到斜面P点的水平距离为1.2 m　
C．小滑块沿斜面下滑的加速度为6 m/s2
D．小球抛出点到斜面底端的竖直高度为1.7 m　
解析：选BD.球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，则tan 37°＝，解得小球在空中飞行的时间t＝0.4 s，A错误；由x＝v0t得小球抛出点到斜面P点的水平距离x＝1.2 m，B正确；根据几何关系可得斜面顶端到P点的距离x滑＝l－＝0.4 m，又x滑＝at2，得a＝5 m/s2，C错误；小球抛出点到斜面底端的竖直高度H＝gt2＋x tan 37°＝1.7 m，D正确．
题组3　平抛运动中的临界极值问题
7．在第19届杭州亚运会女子排球决赛中，中国女排以3∶0战胜日本女排，以六战全胜且一局未失的战绩成功卫冕冠军．如图所示为发球员在底线中点距离地面高h1处将排球水平击出，已知排球场的长为l1，宽为l2，球网高为h2.为使排球能落在对方球场区域，则发球员将排球击出后，关于排球初速度的最小值vmin和最大值vmax的描述正确的是(　　)
A．vmin＝
B．vmin＝
C．vmax＝l1
D．vmax＝ eq \r(\f(g（4l－l）,2h1))
解析：选A.排球水平击出后，在空中做平抛运动，排球恰好从球网中点过去落在对方球场区域时排球初速度最小，根据平抛运动规律，可得h1－h2＝gt，＝vmint1，联立解得排球初速度最小值vmin＝ ，故A正确，B错误；排球恰好落在对方球场区域左边两个边角中的其中一个时排球初速度最大，根据平抛运动规律，可得h1＝gt， eq \r(l＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(l2,2)))\s\up12(2))＝vmaxt2，联立解得排球初速度最大值vmax＝ eq \r(\f(g（4l＋l）,2h1))，故C、D错误．
8．轰炸机是军用飞机之一，在某次演习中，轰炸机沿水平方向投出了一枚炸弹，初速度大小为v0，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角θ＝37°，如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.下列说法正确的是(　　)
A．炸弹刚落到山坡时的速度大小是v0
B．炸弹从水平投出到落到山坡上，所用的时间是
C．炸弹从投出到落到山坡上的位移为 eq \f(4\r(13)v,9g)
D．炸弹从水平投出到落在山坡上的位移偏转角为速度偏转角的一半
解析：选C.当炸弹垂直击中山坡上的目标时有tan θ＝，所以vy＝v0，v＝ eq \r(v＋v)，即v＝v0，故A错误；由于vy＝gt，解得t＝，故B错误；根据平抛运动的规律有x＝v0t，y＝gt2，解得x＝ eq \f(4v,3g)，y＝ eq \f(8v,9g)，则位移大小l＝＝ eq \f(4\r(13)v,9g)，故C正确；位移偏转角的正切值tan α＝＝，速度偏转角的正切值tan (90°－θ)＝＝2tan α，所以位移偏转角与速度偏角不是2倍关系，故D错误．
9．如图所示，一个倾角为45°的斜面与圆弧对接，斜面高度与圆弧半径相等，斜面的底端在圆心O的正下方．从斜面顶点以一定的初速度向右水平抛出一小球，则下列说法正确的是(　　)
A．小球初速度不同，则运动时间一定不同
B．小球落到斜面和圆弧等高位置时，速度大小一定相等
C．小球落到斜面上时，其速度方向一定相同
D．小球落到圆弧面上时，其速度方向可能与该处圆的切线垂直
解析：选C.由平抛运动规律h＝gt2，x＝v0t，vy＝gt可知，小球落到斜面和圆弧等高位置时，运动时间相同，初速度不同，竖直方向分速度大小相等，故合速度大小不相等，故A、B错误；小球落到斜面上时，位移与水平方向夹角为45°，由平抛规律可知，速度与水平方向夹角满足tan α＝2tan 45°，故小球落到斜面上时，其速度方向与水平方向夹角为定值，故C正确；小球落到圆弧面上时，其速度方向若与该处圆的切线垂直，则速度的反向延长线一定过圆心，又因为平抛运动中速度的反向延长线过水平位移的中点，则水平位移为2R，竖直位移为零，与平抛运动性质不符，故D错误．
10．(12分)(2025·惠州市期末)如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点．(空气阻力不计，重力加速度为g)
(1)求小球在空中飞行的时间及A、B间的距离．(6分)
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？(6分)
解析：(1)位移与水平方向的夹角为30°，则有
tan 30°＝ eq \f(\f(1,2)gt,v0t1)
解得运动的时间t1＝
AB间的距离s＝
解得s＝ eq \f(4v,3g).
(2)当小球的速度方向与斜面平行时，距离斜面最远，根据tan 30°＝＝
解得经历的时间t2＝
将小球的速度和加速度分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，则有
vy′＝v0sin 30°，ay＝g cos 30°
则最大距离H＝＝ eq \f(\r(3)v,12g).
答案：(1)　 eq \f(4v,3g)　(2)　 eq \f(\r(3)v,12g)
11．(14分)水平地面上有一高h＝4.2 m 的竖直墙，现将一小球以v0＝6.0 m/s的速度垂直于墙面水平抛出，已知抛出点与墙面的水平距离s＝3.6 m、离地面高H＝5.0 m，不计空气阻力，不计墙的厚度．重力加速度g取10 m/s2.求：
(1)小球碰墙点离地面的高度h1；(4分)
(2)小球碰墙时小球的速度大小；(4分)
(3)为使小球能越过竖直墙，小球抛出时的初速度大小应满足的条件．(6分)
解析：(1)小球在碰到墙前做平抛运动，设小球碰墙前运动时间为t，根据s＝v0t知，小球平抛运动的时间
t＝＝ s＝0.6 s
根据H－h1＝gt2
得h1＝H－gt2＝5 m－×10×0.36 m＝3.2 m．　
(2)平抛运动在竖直方向上的分速度
vy＝gt＝10×0.6 m/s＝6 m/s
根据平行四边形定则知，小球碰墙前瞬间速度
v＝ eq \r(v＋v)＝ m/s＝6 m/s.
(3)竖直方向H－h＝gt
水平方向v0′t1≥s
解得v0′≥9.0 m/s.
答案：(1)3.2 m　(2)6 m/s　(3)见解析(共20张PPT)
课后达标检测
√
1．如图，某质点沿曲线从B点运动到A点，分析质点在A点速度方向，使用的物理学思想方法是(　　)
A．控制变量法　　　 B．极限思维法
C．等效替代法 D．理想模型法
解析：利用曲线上两点无限逼近作曲线的切线的方法对应的思想方法是极限思维法．
√
2．位于西藏昌都市八宿县境内的“怒江七十二拐”是318国道最惊险的一段，被称作中国十大险峻山路之一．如图所示，一辆汽车行驶在该公路上，图中A、B、C和D处汽车的速度方向跟O处汽车的速度方向几乎相同的是(　　)
A．A和B B．B和C
C．B和D D．C和D
解析：做曲线运动的物体的速度方向沿轨迹的切线方向，则题图中A、B、C和D处汽车的速度方向跟O处汽车的速度方向几乎相同的是B和C两点．
√
3．如图，水平桌面上一小铁球沿直线运动．若在铁球运动的正前方A处或旁边B处放一块磁体，下列关于小铁球运动的说法正确的是(　　)
A．磁体放在A处时，小铁球做匀速直线运动
B．磁体放在A处时，小铁球做直线运动，加速度大小不变
C．磁体放在B处时，小铁球做曲线运动，加速度不变
D．磁体放在B处时，小铁球做曲线运动，加速度大小和方向都变
解析：磁体放在A处时，小铁球受磁体的引力方向与速度方向共线，且引力逐渐变大，可知小铁球做加速度增大的变加速直线运动，A、B错误；
磁体放在B处时，小铁球受磁体的引力方向与速度方向不共线，小铁球做曲线运动，随引力的增加，加速度大小和方向都变，C错误，D正确．
√
4．(2025·惠州月考)某质点受一恒力F的作用，从A点沿曲线运动到B点，如图所示，此过程中所受恒力的方向可能为(　　)
A．竖直向上 B．水平向左
C．竖直向下 D．无法确定
解析：根据曲线运动特点可知，质点所受合力方向位于轨迹的凹侧，所以此过程中所受恒力的方向不可能竖直向上，也不可能水平向左，可能竖直向下．
√
5．蜜蜂可以通过“舞蹈”轨迹向同伴传递信息．如图所示，一个可视为质点的蜜蜂沿轨迹甲乙丙丁飞行，图中画出了蜜蜂在甲、乙、丙和丁四处所受合力F的方向，可能正确的是(　　)
A．甲 B．乙
C．丙 D．丁
解析：做曲线运动的物体，速度方向为曲线的切线方向，合外力指向曲线的凹侧，速度与力分居于轨迹的两侧，则乙处画出的合力方向正确．
√
6．(2025·茂名市合格考模拟)如图所示，“福建舰”正在海面上进行转弯作业，下列选项分别画出了“福建舰”沿曲线由M向N转弯(俯视图)时所受合力F的方向，其中可能正确的是(　　)


解析：“福建舰”做的是曲线运动，受到的合力应该指向运动轨迹弯曲的内侧．
√
7．(2025·珠海市期末)第十五届中国国际航空航天博览会(简称中国航展)在珠海国际航展中心成功举行．如图，正在展演的“歼-20”战机正沿直线斜向下加速俯冲．将“歼-20”简化为质点“O”，用G表示它受到的重力，F表示除重力外其他作用力的等效力，则下列图中能正确表示此过程中战机受力情况的是(　　)


解析：由题意可知正在展演的“歼-20”战机正沿直线斜向下加速俯冲，则所受的合力方向与速度方向在同一直线上，否则就要做曲线运动．
√
8．某品牌电动汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小，图中分别画出了汽车转弯时加速度a的方向正确的是(　　)
解析：电动汽车运动轨迹是曲线，根据曲线运动的条件，受到的合外力方向指向曲线的内侧，因为是减速运动，合外力的方向与该点的速度方向的夹角为钝角，且速度方向沿切线方向，加速度方向和合外力方向相同．
√
9．关于物体的受力和运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小可能一直不变
B．物体做曲线运动时，某点的加速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向
C．物体受到变化的合力作用时，它的速度大小一定改变
D．做曲线运动的物体，一定受到与速度不在同一直线上的合外力作用
解析：物体在不垂直于速度方向的合力作用下，速度大小不可能一直不变，故A错误；
物体做曲线运动时，某点的速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向，而不是加速度方向，故B错误；
物体受到变化的合力作用时，它的速度大小可以不改变，故C错误；
物体做曲线运动的条件是受到与速度不在同一直线上的合外力作用，故D正确．
√
10．一物体由静止开始自由下落，一小段时间后突然受一恒定水平向右的风力的影响，着地前一段时间风又突然停止，则其运动的轨迹可能是图中的(　　)
解析：物体由静止自由下落时只受到重力作用，做竖直向下的直线运动，当物体突然受到水平向右的风力时，重力与风力的合力方向立即指向右下方，但瞬时速度方向仍是竖直向下的，此时物体开始做曲线运动，运动轨迹开始向右弯曲，A、B错误；
运动轨迹应与速度相切，即开始做曲线运动时轨迹应与竖直线相切，D错误；
当风停止时，物体又只受到重力作用，即合力方向又竖直向下，故物体运动轨迹又开始向下弯曲，C正确．
√
11．光滑水平面内，一质点在恒力作用下做曲线运动，轨迹如图中虚线所示，A、B为曲线上的两个点，则此恒力可能是图中的(　　)

A．F1　　　　　　　 B．F2
C．F3 D．F4
解析：根据质点做曲线运动的条件可知，质点在恒力作用下做曲线运动，恒力应在任何位置均指向曲线弯曲的内侧，结合题图可知，此恒力可能是图中的F1.
√
12．擦窗机器人帮助人们解决了高层擦窗、室外擦窗难的问题．如图所示，擦窗机器人在竖直玻璃窗上沿直线由A向B运动．已知F为机器人除所受重力外的其他力的合力，则此过程中擦窗机器人在竖直平面内的受力分析不可能的是(　　)
解析：擦窗机器人沿直线从A向B运动，若选项图A中的合力为零，擦窗机器人做匀速直线运动，故A不符合题意；
选项图B中的合力可能与速度共线且方向相反，则擦窗机器人做减速直线运动，故B不符合题意；
选项图C中的合力可能与速度共线且方向相同，擦窗机器人做加速直线运动，故C不符合题意；
选项图D中的合力肯定和速度不共线，擦窗机器人要做曲线运动，故D符合题意．
√
13．(2025·佛山市联考)利用风洞实验室测试装备的风阻性能在我国已被大量运用．我们可以借助丝带和点燃的烟线辅助观察来类比研究风洞里的流场环境，在某次实验中获得一烟尘颗粒从P点到Q点做曲线运动的轨迹，如图所示，不计烟尘颗粒的重力，下列说法正确的是(　　)
A．烟尘颗粒飘在空中速度不变
B．P点处的速度方向从P点指向Q点
C．P点处的合力方向可能斜向右下方
D．Q点处的加速度方向可能竖直向下
解析：烟尘颗粒做曲线运动，速度方向发生变化，可知烟尘颗粒飘在空中速度在变化，故A错误；
P点处的速度方向沿该点的切线方向，故B错误；
烟尘颗粒做曲线运动，合力方向指向轨迹内侧，可知P点处的合力方向不可能斜向右下方，故C错误；
烟尘颗粒做曲线运动，合力方向指向轨迹内侧，即加速度方向指向轨迹内侧，可知Q点处的合力方向可能竖直向下，加速度方向可能竖直向下，故D正确．第二节　运动的合成与分解
　 eq \a\vs4\al()
1．理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法．
2．能利用运动的合成与分解的知识，判断合运动的轨迹和性质．
一、运动的分析
1．根据作用效果的等效性，可以对力进行合成与分解．类比这一方法，也可以根据运动效果对运动进行分析．
2．实际发生的运动可以看成几个分运动合成的结果，且分运动具有独立性．
二、位移和速度的合成与分解
1．位移的合成与分解和速度的合成与分解都遵循平行四边形定则，如图所示．
2．物理意义：应用运动合成与分解的方法，通过位移和速度的合成与分解，把复杂运动转化为简单运动进行研究．
3．应用：小船过河模型是运动合成与分解的典型应用．
判断下列说法是否正确．
(1)合速度就是两个分速度的代数和．(　　)
(2)合速度不一定大于任一分速度．(　　)
(3)合位移一定大于任意一个分位移．(　　)
(4)运动的合成就是把两个分运动加起来.(　　)
(5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动.(　　)
提示：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
知识点一　合运动与分运动
　 eq \a\vs4\al()
从你的铅笔盒里取一块橡皮，用一根细线拴住，把细线的另一端用图钉固定在竖直放置的木板上．按图中所示的方法，用铅笔靠着细线的左侧，沿直尺向右匀速移动，再向左移动，来回做几次，仔细观察橡皮的运动轨迹．结合实验现象说明，橡皮的实际运动与哪两个方向的运动有关？
[提示]　与水平方向和竖直方向的运动有关．
1．对合运动与分运动的理解
物体的实际运动就是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．
2．合运动与分运动的关系
(1)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同．
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同．
(3)独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响．
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动．
　跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是(　　)
A．水平风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．水平风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与水平风力无关
D．运动员着地速度与水平风力无关
[解析]　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，则下落时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风力越大，运动员水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故A、B、D错误，C正确．
[答案]　C
知识点二　两个互成角度的直线运动的合运动
1．合运动的性质判断
(1)加速度(大小、方向)
(2)加速度方向与速度方向
2．互成角度的两个直线运动的合成
分运动 合运动 矢量图 条件
两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角
两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0
两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同
匀变速曲线运动 a与v成α角
　如图所示，在竖直倒置的封闭玻璃管内注满清水，水中有一个红蜡块．玻璃管以速度v向右匀速移动，与此同时红蜡块沿玻璃管以速度2v匀速上浮，用虚线表示红蜡块相对地面移动的轨迹，可能是下面四幅图中的(　　)
[解析]　蜡块参与了竖直方向上的匀速直线运动和水平方向上的匀速直线运动，合力为零，蜡块做匀速直线运动，由于竖直方向的速度大于水平方向的速度，相同时间内，竖直方向的位移大小大于水平方向的位移大小．
[答案]　A
　(2025·佛山月考)小明同学在国庆假期乘坐动车旅行，进站时动车可以看作匀减速直线运动．小明将一个小球由静止释放(如图所
示)，不计空气阻力，则小球相对车厢下落的轨迹可能是(　　)
[解析]　小球水平方向相对车厢向右以加速度大小为a做匀加速运动，竖直方向做自由落体运动，小球相对车厢做匀加速直线运动，轨迹为C.
[答案]　C
知识点三　运动的合成与分解
1．运动的合成与分解
(1)运动的合成：已知分运动求合运动的过程叫运动的合成．
(2)运动的分解：已知合运动求分运动的过程叫运动的分解．
(3)运动的合成与分解互为逆运算．
2．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时可运用平行四边形定则或三角形定则．
(1)两分运动在同一直线上时，同向相加，反向相减．
(2)两分运动不在同一直线上，按照平行四边形定则进行合成或分解．
角度1　运动的合成
　下雨时，某外卖员在平直的道路上以4 m/s的速度骑行，已知雨滴以3 m/s的速度竖直下落，则该外卖员感觉到雨滴的速度的大小和方向分别是(　　)
A．3 m/s　竖直向下
B．3 m/s　斜向下
C．5 m/s　竖直向下
D．5 m/s　斜向下
[解析]　外卖员感觉到雨滴的速度是雨滴相对于外卖员的速度，矢量图如图，由勾股定理可得，雨滴相对于外卖员的速度大小v雨对人＝＝5 m/s，方向斜向下，故A、B、C错误，D正确．
[答案]　D
　(2025·中山高一月考)如图，一质点在恒力作用下经过时间t从a点运动到b点，速度大小由v0变为2v0，速度方向偏转60°角，则质点的加速度大小为(　　)
A．　 B．　 　
C．　 D．
[解析]　根据矢量运算规则，利用三角形定则如图所示，可得速度的变化量Δv＝ eq \r((2v0)2－v)＝v0，则质点的加速度大小a＝＝，故C符合题意．
[答案]　C
角度2　运动的分解
　如图所示，商场内某顾客站在自动扶梯上随扶梯一起上行，扶梯与水平面夹角为30°，速度大小为1 m/s，将速度沿水平和竖直方向分解，则顾客在竖直方向的分速度大小为(　　)
A．0.5 m/s B．0.6 m/s
C． m/s D．0.8 m/s
[解析]　根据几何关系可知＝sin 30°，解得vy＝vsin 30°＝0.5 m/s.
[答案]　A
角度3　运动的合成与分解的综合问题
　一迷你热气球以速度vy＝5 m/s从水平地面上匀速上升，同时热气球在水平方向上受一恒定风力作用，某段时间内，其在水平风力方向上的位置坐标随时间的变化图像如图所示，则当热气球上升到h＝5 m时，热气球到出发点的水平距离为(　　)
A．2 m　　　　　　　 B． m
C．3.5 m D．4 m
[解析]　当热气球上升到h＝5 m时所用时间t＝＝1 s，热气球在水平方向受恒定的风力作用做匀加速运动，根据Δx＝aT2，解得a＝＝ m/s2＝4 m/s2，则当t＝1 s时，x＝at2＝×4×12 m＝2 m.
[答案]　A
　(多选)一质量m＝0.5 kg的物体(视为质点)在坐标系xOy中，从坐标原点O处开始计时，沿x轴方向运动的vx－t图像如图甲所示，沿y轴方向做初速度为0的匀加速运动且其ay－t图像如图乙所示．下列说法正确的是(　　)
A．物体受到的合力为2 N
B．2 s时物体沿y轴方向的分速度为4 m/s
C．2 s时物体的速度为12 m/s
D．前2 s内物体的位移为4 m
[解析]　由题图甲可得ax＝ m/s2＝2 m/s2，则物体的加速度a＝ eq \r(a＋a)＝2 m/s2，由牛顿第二定律可得F＝ma＝ N，A错误；t＝2 s时，物体分速度分别为vx＝v0＋axt＝6 m/s，vy＝ayt＝4 m/s，物体的速度v＝ eq \r(v＋v)＝2 m/s，B正确，C错误；前2 s内，物体的分位移分别为x＝v0t＋axt2＝8 m，y＝ayt2＝4 m，物体的位移s＝＝4 m，D正确．
[答案]　BD
1．(合运动与分运动)(多选)关于运动的合成，下列说法正确的是(　　)
A．合运动的速度一定比每一个分运动的速度都大
B．两个速度不同的匀速直线运动的合运动一定是直线运动
C.两个分运动是直线运动的合运动，一定是直线运动
D．两个分运动的时间，一定与它们的合运动的时间相等
解析：选BD.运动的合成是位移、速度、加速度等矢量的合成，故合矢量的大小不一定大于分矢量，A错误；两个速度不同的匀速直线运动的加速度都为零，故合运动的加速度一定也为零，但合运动的速度不为零，故合运动一定是匀速直线运动，B正确；合运动是否是直线运动，取决于合运动的加速度与合运动的初速度是否在同一直线上，而与分运动是否是直线运动无关，C错误；由合运动与分运动的等时性知，D正确．
2．(两个互成角度的直线运动的合运动)如图所示，在注满清水的竖直密封玻璃管中，红蜡块 R 正以较小的速度v0沿y轴匀速上浮，与此同时玻璃管沿水平x轴正方向做匀速直线运动．从红蜡块通过坐标原点 O 开始计时，直至蜡块运动到玻璃管顶端为止．在此过程中，下列说法正确的是(　　)
A．红蜡块做变速曲线运动
B．红蜡块的速度与时间成反比
C．仅减小玻璃管运动的速度，红蜡块将更慢运动到顶端
D．仅增大玻璃管运动的速度，红蜡块运动到顶端的时间保持不变
解析：选D.红蜡块沿x轴方向和y轴方向均做匀速直线运动，则合运动也是匀速直线运动，速度不变，A、B错误；若增大或减小玻璃管运动的速度，蜡块的竖直速度不变，则红蜡块运动到顶端的时间不变，C错误，D正确．
3．(运动的合成与分解)(2025·佛山市期末)如图所示，在浩瀚的大海上，帆板在海面上以大小为v的速度朝正东方向航行，帆船以大小为v的速度朝正北方向航行．若以帆船为参考系，则下列说法正确的是(　　)
A.帆板朝正南方向航行，速度大小为v
B．帆板朝正东方向航行，速度大小为v
C．帆板朝南偏东30°方向航行，速度大小为2v
D．帆板朝北偏东30°方向航行，速度大小为2v
解析：选C.以帆船为参考系，帆板具有向东的速度v和向南的速度v，二者的合速度v合＝＝2v，tan α＝＝，所以α＝30°，即速度方向为南偏东30°.(共18张PPT)
专题提升课1　
运动合成与分解的两类模型
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　“小船过河”模型
1．小船过河模型
小船的实际运动是船随水流的运动(速度为v水)和船在静水中的运动(速度为v静水)的合运动．船的航行方向是实际运动的方向，即合速度的方向．两个方向的运动情况相互独立、互不影响．
√
一轮船的船头始终指向垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法正确的是(　　)
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关
D．路程与水流速度无关
已知小船在静水中的速度为4 m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽d＝200 m，水流速度为3 m/s，方向与河岸平行．
(1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？
[答案]　50 s　250 m　
(2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若河水因涨水导致水流速度变为6 m/s，小船在静水中的速度为4 m/s不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？
[解析]若水流速度v水′＝6 m/s 则v船微专题二　“关联速度”模型
1．“关联”模型
高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变．绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度．
2．解题步骤
(1)先确定合运动，即物体的实际运动．
(2)确定合运动的两个实际作用效果：一是沿绳(或杆)方向的平动效果(改变速度的大小)；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果(改变速度的方向).即将实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量．
(3)按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图．
(4)根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解．
3．常见模型
√
(2025·惠州期末)如图所示，一辆货车利用跨过定滑轮的缆绳提升一箱货物，货车匀速向左运动时，货物的速度(　　)
A．逐渐减小　　　 　 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
模型1　绳牵连物体模型
[解析]　将货车的速度进行分解，分解为沿着绳方向的v∥和垂直于绳方向的v⊥，如图所示，可知货物的速度与车沿着绳方向的分速度大小始终相等，则有v货＝v∥＝v cos θ，随着汽车前进，θ角减小，cos θ增大，由此可知货物的速度逐渐增大．
√
模型2　杆牵连物体模型(共22张PPT)
课后达标检测
√
题组1　小船过河模型
1．某人想乘坐一条小木船渡河，若河面宽300 m，水流速度为3 m/s，木船相对静水速度为2 m/s，则此人渡河所需的最短时间为(　　)
A．60 s　　　　　　 　 B．100 s
C．150 s D．300 s
√
2．(多选)如图所示，小船从河岸处A点出发渡河．若河宽为100 m，河水流速v1＝4 m/s，方向平行于河岸指向河的下游，船在静水中速度v2＝5 m/s，船头方向与河岸垂直，船视为质点，则下列说法正确的是(　　)
A．小船从A点出发经过20 s到达对岸
B．小船到达对岸的位置在河正对岸下游125 m 处
C．若河水流速变慢，小船从A点到对岸的时间可能低于20 s
D．若小船行驶到河中央时水流变快，小船的实际速度方向会改变
√
小船沿着河岸方向的位移x＝v1t＝80 m，即小船到达对岸的位置在河正对岸下游80 m处，故B错误；
若河水流速变慢，小船在垂直于河岸方向的分运动不变，则渡河时间不变，即从A点到对岸的时间还是20 s，故C错误；
小船的合速度是相互垂直的船速和水速的合成，则小船行驶到河中央时水流变快，即水速变大，小船合速度的大小和方向都会变，故D正确．
√
3．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m、流速为5 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是(　　)
A．小船渡河时间不少于60 s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150 m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250 m
D．小船以最短位移渡河时，用时为60 s
船以最短时间渡河时沿水流方向的位移大小x＝v水tmin＝250 m，故B错误；
√
√
解析：将A点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度v11＝v1cos θ，将B点的速度分解为沿杆方向和垂直于杆方向，在沿杆方向上的分速度v21＝v2sin θ，由于v11＝v21，所以v1＝v2tan θ.
√
√
√
√
√
解析：当连接A、B的细绳与竖直方向成θ角时，根据运动的分解可知A的速度vA＝v cos θ，B以速度v匀速下滑，则θ逐渐减小，cos θ逐渐增大，可知A做加速运动．
√
10．(2025·中山市期末)假日期间，小王去海边游玩．在小王乘坐的小船渡过某段紧挨平直海岸、宽度为300 m的水域的过程中，小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，海水沿海岸方向的流速与船到海岸的距离的关系如图乙所示，则关于小船船头垂直于海岸渡过这段水域的运动，下列说法正确的是(　　)
A．渡海时间为100 s
B．渡海位移大于300 m
C．最大速度为3.5 m/s
D．运动轨迹为直线
船在沿海岸方向做变速运动，在垂直于海岸方向上做匀速直线运动，两分运动的合运动为曲线运动，则渡海位移大于300 m，故B正确，D错误．
11．(12分)小船要横渡一条200 m宽的河，水流速度为3 m/s，船在静水中的航速是5 m/s.
(1)当小船的船头始终正对对岸行驶时，它将在何时、何处到达对岸？(4分)
小船沿河流方向的位移s＝v水t＝3×40 m＝120 m
即小船经过40 s，在正对岸下游120 m处靠岸．
答案：40 s　正对岸下游120 m处　
(2)要使小船到达河的正对岸，应如何行驶？多长时间能到达对岸？(sin 37°＝0.6)(4分)　
答案：船头指向与岸的上游成53°角　50 s　
(3)如果水流速度变为10 m/s，要使小船航程最短，应如何航行？(4分)
解得θ′＝60°，即船头指向与岸的上游成60°角．
答案：船头指向与岸的上游成60°角(共22张PPT)
课后达标检测
√
题组1　竖直上抛运动
1．竖直向上抛出一只小球，3 s落回抛出点，不计空气阻力，则球的初速度是(　　)
A．10 m/s　　　　　　 B．30 m/s
C．15 m/s D．20 m/s
解析：根据竖直上抛运动的上升和下降过程具有对称性，所以下降过程的时间为1.5 s，则球的初速度是v＝gt＝10×1.5 m/s＝15 m/s，故C正确，A、B、D错误．
√
2．蹦床运动要求运动员在一张绷紧的弹性网上蹦起、腾空并做空中运动．为了测量运动员跃起的高度，训练时可在弹性网上安装压力传感器，利用传感器记录弹性网所受的压力，并在计算机上作出压力—时间图像，如图所示．设运动员在空中运动时可视为质点，则运动员跃起的最大高度是(g取10 m/s2，不计空气阻力)(　　)
A．1.8 m B．3.6 m
C．5.0 m D．7.2 m
√
题组2　生活中的平抛运动
3．如图所示，某人向放在水平地面上的垃圾桶中水平扔废球，结果废球恰好擦着桶的右侧边缘飞到地面上，不计空气阻力．为了能把废球扔进垃圾桶中，则此人水平抛球时，可以做出的调整为(　　)
A．初速度不变，抛出点在原位置正上方
B．初速度不变，抛出点在原位置正右侧
C．减小初速度，抛出点在原位置正上方
D．增大初速度，抛出点在原位置正上方
若初速度不变，抛出点在原位置正右侧，则不可能把废球扔进垃圾桶，B错误；
减小初速度，若抛出点位置不变，则水平位移减小，若抛出点在原位置正上方，则水平位移可能减小，可能把废球扔进垃圾桶，C正确；
增大初速度，抛出点在原位置正上方时，水平位移增大，不可能把废球扔进垃圾桶中，D错误．
√
4．跳台滑雪以其特有的惊险性、刺激性成为历届冬奥会中备受关注的项目之一，目前的世界纪录已经超过了250米．如图所示，某运动员在比赛中以v0＝30 m/s的水平速度从倾角为30°的斜坡顶端飞出(可近似视为平抛运动)，当地重力加速度g取10 m/s2.当该运动员再次落到斜坡上时，落点与斜坡顶端的高度差约为(　　)
A．60 m B．90 m
C．120 m D．150 m
√
题组3　斜抛运动
5．如图所示，将一小球从水平地面以不同角度、相同大小的初速度v0抛出，不计空气阻力，则从抛出到落地的过程中，小球的初速度方向与地面间夹角较大时(　　)
A．水平射程一定较大
B．落地速度一定较大
C．在空中运动时间一定较长
D．在相同时间内速度变化量一定较大
小球做斜抛运动，加速度为重力加速度，所以小球的初速度方向与地面间夹角较大时，在相同时间内速度变化量不变，故D错误．
√
6．如图所示，小明从同一高度将相同的A、B两个篮球先后抛出，篮球恰好都能垂直打在篮板上的P点．已知篮球A、B抛出时与水平方向的夹角分别为θA、θB，运动时间分别为tA、tB，抛出时初速度的大小分别为v0A、v0B，不计空气阻力．下列说法正确的是(　　)
A．θA＝θB　　　　　　 B．θA<θB
C．tA√
√
√
8．(多选)如图甲所示的是农场扬场机分离谷物示意图．某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上．不计空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　)
A．谷粒1和谷粒2在水平方向都做匀速直线运动
B．谷粒1和谷粒2在竖直方向都做自由落体运动
C．谷粒2从O到P的运动时间大于谷粒1从O到P的运动时间
D．谷粒2从O到P的运动时间等于谷粒1从O到P的运动时间
√
解析：谷粒1做平抛运动，谷粒2做斜抛运动，故谷粒1和谷粒2在水平方向都做匀速直线运动，故A正确；
√
9．在自由式滑雪比赛中，图甲是运动员从3 m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图乙是运动员在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力且运动员可视为质点，则运动员(　　)
A．在空中相同时间内的位移相等
B．在空中相同时间内的速度变化量相等
C．冲出跳台的速度大小为14 m/s
D．在空中运动的时间为2.8 s
解析：运动员在空中做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，在空中相同时间内的水平位移相等，竖直位移不相等，所以在空中相同时间内的位移不相等，故A错误；
根据Δv＝gt，可知在空中相同时间内的速度变化量相等，故B正确；
10．(16分)(2025·广州市月考)从某高处以6 m/s的初速度、与水平方向成30°角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g取10 m/s2)求：
(1)石子在空中运动的时间；(4分)
取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，
则－vy＝v0sin 30°－gt 得t＝1.2 s.
答案：1.2 s　
(2)石子的水平位移大小；(4分)
(3)石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度；(4分)
解析：当石子速度的竖直分量减为0时，到达最大高度处，则
v0y＝v0sin 30°＝3 m/s
答案：0.45 m
(4)抛出点离地面的高度．(4分)
答案：3.6 m(共22张PPT)
课后达标检测
1．用如图甲、乙所示的两种装置来分析平抛运动．
(1)图甲中用小锤击打弹性金属片C，小球A沿水平方向飞出后做平抛运动，与此同时，与球A相同的球B被松开做自由落体运动；改变实验装置离地高度，多次实验，两球总是__________(选填“同时”“A先B后”或“B先A后”)落地，这说明做平抛运动的球A在竖直方向上做自由落体运动．
解析：改变实验装置离地高度，多次实验，两球总是同时落地，这说明做平抛运动的球A在竖直方向上做自由落体运动．
同时
(2)图乙中，M、N是两个完全相同的轨道，轨道末端都与水平方向相切，其中，轨道N的末端与光滑水平面相切，轨道M通过支架固定在轨道N的正上方．将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两球以相同的初速度v0同时通过轨道M、N的末端，发现两球__________(选填“同时”或“先后”)到达E处，发生碰撞．改变轨道M在轨道N上方的高度，再进行实验，结果两球也总是发生碰撞，这说明做平抛运动的P球在水平方向上的运动情况与Q球__________(选填“相同”或“不同”).
同时
相同
解析：两球以相同的初速度v0同时通过轨道M、N的末端，发现两球同时到达E处，发生碰撞．改变轨道M在轨道N上方的高度，再进行实验，结果两球也总是发生碰撞，这说明做平抛运动的P球在水平方向上的运动情况与Q球相同．
2．石老师在讲曲线运动时，做了“探究平抛运动的特点”实验．
(1)关于该实验下列说法正确的是________．
A．用折线连接描绘的点得到小球的运动轨迹
B．实验时应先确定x轴再确定y轴
C．斜槽轨道必须是光滑的
D．无需称出小球的质量
D
解析：为了减小误差，数据处理时，舍去偏差较大的点，用平滑的曲线连接描绘的点，得到小球的运动轨迹，故A错误；
根据斜槽末端的重垂线所确定的竖直方向，先确定y轴，再确定x轴，故B错误；
由于小球每次均从斜槽上同一位置由静止释放，则小球克服摩擦力做功相同，小球飞出斜槽末端的速度大小一定，可知，斜槽轨道的摩擦对实验没有影响，故C错误；
实验中通过某点确定平抛运动的轨迹，根据轨迹确定小球抛出的初速度，无需称出小球的质量，故D正确．
(2)小北在实验时得到如图所示的实验结果，图中的a、b、c、d为小球在平抛运动中的几个位置．相邻位置时间间隔相等，此时间间隔T＝________，该小球初速度大小为________．(已知图中每个小方格的边长为L，重力加速度为g)
3．某实验小组用如图甲所示的装置“探究平抛运动的特点”，M为斜槽，N为水平放置的可上下调节的倾斜挡板．
(1)除了硬背板(含固定支架)、小球、斜槽、铅垂线、倾斜的挡板、铅笔、图钉、白纸、复写纸之外，下列器材中还需要的是________．
A．秒表　　　 　 　 B．天平
C．刻度尺 D．弹簧测力计
解析：在实验中需要用刻度尺测量水平位移和竖直位移，所以还需要的器材是刻度尺，故选C.
C
(2)实验过程中，下列说法正确的是________．
A．应选用密度小的木球
B．通过调节，要使硬背板保持竖直
C．尽量减少小球与斜槽间的摩擦
D．小球每次要在同一位置由静止释放
E．倾斜挡板的高度要等间距变化
F．要使斜槽末端切线保持水平
BDF
解析： 为了减小空气阻力的影响，应选择密度大的球，A错误；
通过调节，要使硬背板保持竖直，B正确；
小球与斜槽间的摩擦不影响实验，C错误；
为了保证小球每次平抛运动的初速度相等，小球需要每次从斜槽的同一位置由静止释放，D正确；
倾斜挡板的高度不需要等间距变化，E错误；
为了保证小球的初速度水平，斜槽末端切线需水平，F正确．
(3)若遗漏记录平抛轨迹的起始点，也可按下述方法处理数据：在轨迹上取A、B、C三点，建立坐标系，如图乙所示．当地重力加速度g取10 m/s2，可得小球平抛的初速度大小为__________m/s(结果保留2位有效数字).
2.0
4．某实验小组利用图(a)所示装置验证小球平抛运动的特点．实验时，先将斜槽固定在贴有复写纸和白纸的木板边缘，调节槽口水平并使木板竖直；把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O，建立平面xOy坐标系．然后从斜槽上固定的位置释放小球，小球落到挡板上并在白纸上留下印迹，上下调节挡板进行多次实验．实验结束后，测量各印迹中心点O1、O2、O3…的坐标，并填入表格中，计算对应的x2值．
项目 O1 O2 O3 O4 O5 O6
y/cm 2.95 6.52 9.27 13.20 16.61 19.90
x/cm 5.95 8.81 10.74 12.49 14.05 15.28
x2/cm2 35.4 77.6 115.3 156.0 197.4 233.5
(1)根据表中数据，在图(b)给出的坐标纸上补上O4数据点，并绘制“y－x2”图线．
解析：根据表中数据在坐标纸上描出O4数据点，并绘制“y－x2”图线如图所示．
答案：图见解析
(2)由y－x2图线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成________(选填“线性”或“非线性”)关系，由此判断小球下落的轨迹是抛物线．
解析：由y－x2图线为一条倾斜的直线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成线性关系．
线性
(3)由y－x2图线求得斜率k，小球平抛运动的初速度表达式为v0＝________(用斜率k和重力加速度g表示).
(4)该实验得到的y－x2图线常不经过原点，可能的原因是________________
________________________________________.
解析：y－x2图线是一条直线，但常不经过原点，说明实验中测量的y值偏大或偏小一个定值，这是小球的水平射出点未与O点重合，位于坐标原点O上方或下方所造成的．
水平射出点未与O点重合
5．(2025·珠海市期末)某实验小组利用如图甲所示装置测量小球在离开水平桌面边缘O点时做平抛运动的初速度．在地面上沿抛出的速度方向水平放置一把刻度尺，让悬挂在抛出点O处的重锤的投影恰好落在刻度尺的零刻度线上，利用小球在刻度尺上的落点位置，就可以直观地得到小球做平抛运动的初速度，并可以制成如图乙所示的速度标尺(图中P点为重锤的投影位置).　
(1)由标尺信息可知，小球在空中的飞行时间为__________．　
(2)桌面离地面的高度________m(重力加速度g取9.8 m/s2)(保留3位有效数字).
0.5 s
1.23
(3)关于该速度标尺，下列说法正确的是________．
A．增大桌面离地面高度，速度刻度的间距将变大
B．增大桌面离地面高度，速度刻度的间距将变小
C.增大桌面上倾斜轨道的倾角，速度刻度的间距将变大
D．增大桌面上倾斜轨道的倾角，速度刻度的间距将变小
A
解析：增大桌面离地面高度，则运动时间增加，根据x＝v0t可知，速度刻度的间距将变大，A正确，B错误；
增大桌面上倾斜轨道的倾角，因小球释放的位置不确定，则小球到达斜槽底端时的速度不一定变大，也不一定减小，根据x＝v0t可知，速度刻度的间距不一定变大，也不一定减小，C、D错误．

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