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2025-2026学年上海市青浦区朱家角中学高一（下）期中数学试卷
一、填空题（共12题，每题4分）.
1．函数的最小正周期是 　　 ．
2．已知复数，是虚数单位，则的虚部为 　　．
3．已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为　　．
4．角为第一象限角，，则　　
5．化简： 　　 ．
6．方程，，则　　．（用反三角函数表示）
7．已知向量与不平行，与平行，则实数 　　 ．
8．已知向量，，则在的方向上的投影向量的坐标为 　　 ．
9．已知向量与的夹角是，，，则　 　．
10．已知复数，满足，，，则的值为 　　 ．
11．定义，若函数，
给出下列四个命题：
①该函数是周期函数，且最小正周期是；
②该函数的值域是，；
③该函数是偶函数；
④对任意，恒成立．
上述命题中错误的序号是 　　 ．
12．在△中，若，则的最大值是 　　 ．
二、选择题（本大题共4题，每题4分）
13．下列命题中正确的是（　　）
A．终边相同的角一定相等
B．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
C．
D．锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角
14．已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
15．关于函数的判断，正确的是（　　）
A．振幅为1，值域为，，在区间上是单调减函数
B．振幅为，值域为，，在区间上是单调减函数
C．振幅为1，值域为，，在区间上是单调增函数
D．振幅为，值域为，，在区间上是单调增函数
16．已知，，，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足，且对任意的，，当时，都有，则正整数的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
三、解答题（本大题共56分）
17．已知，都是锐角，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．已知的周长为，且．
（1）求边长的值；
（2）若，求的值．
19．已知复数满足，且的虚部为2．
（1）求复数；
（2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值．
20．设向量，，函数．
（1）求的单调减区间；
（2）在△中，若角满足，且边，求△周长的取值范围．
21．已知函数的定义域为，若存在一个向量，对于任意，均有成立，则称向量为函数的“伴随向量”．
（1）判断是否是函数的伴随向量，并说明理由；
（2）判断函数是否存在伴随向量．若存在，求出函数的所有“伴随向量”，若不存在，请说明理由；
（3）若、都是函数的“伴随向量”．当时，；当时，．求当时，函数的解析式和零点．
参考答案
一、填空题（本大题共12题，每题4分）
1．函数的最小正周期是 ．
[思路点拨]由条件根据函数的周期为，可得结论．
解：函数的最小正周期是，
故答案为：．
2．已知复数，是虚数单位，则的虚部为 　　．
[思路点拨]先化简复数，即可求得的虚部．
解：，
所以的虚部为．
故答案为：．
3．已知扇形的弧所对的圆心角为，半径，则扇形的弧长为 ．
[思路点拨]将角度化为弧度，结合弧长公式运算求解即可．
解：由题意，可得扇形的圆心角为弧度，
又扇形的半径，
可得扇形的弧长为．
故答案为：．
4．角为第一象限角，，则
[思路点拨]根据同角三角函数的关系直接计算即可．
解：角为第一象限角，，
．
故答案为：．
5．化简： 　　 ．
[思路点拨]结合诱导公式及同角基本关系即可求解．
解： ．
故答案为：．
6．方程，，则　　．（用反三角函数表示）
[思路点拨]根据反正弦函数的定义，可知表示正弦等的锐角，由此结合正弦的诱导公式算出本题答案．
解：若锐角满足，则，
因此当，时，满足的．
故答案为：．
7．已知向量与不平行，与平行，则实数 　　 ．
[思路点拨]根据向量共线的性质求解即可．
解：因为向量与不平行，与平行，
所以存在实数，使得，
故，解得．
故答案为：．
8．已知向量，，则在的方向上的投影向量的坐标为 　　 ．
[思路点拨]根据投影向量公式求解．
解：已知向量，，则在的方向上的投影向量．
故答案为：．
9．已知向量与的夹角是，，，则　4　．
[思路点拨]运用向量的平方即为模的平方，以及向量的数量积的定义，解方程即可得到．
解：向量与的夹角是，，，
则，
即有，
即，
即，
即有舍去），
故答案为：4．
10．已知复数，满足，，，则的值为 ．
[思路点拨]由已知结合向量模的求法求解．
解：记对应的复数为，对应的复数为，
，，，
，
即，
则，
可得．
故答案为：．
11．定义，若函数，
给出下列四个命题：
①该函数是周期函数，且最小正周期是；
②该函数的值域是，；
③该函数是偶函数；
④对任意，恒成立．
上述命题中错误的序号是 　①②　 ．
[思路点拨]由题意可得，作出函数的图象，结合图象逐一判断即可．
解：令，
即，
解得，；
所以，
作出函数的部分图象，如图所示：
对于①，由图象可得函数为周期函数，且最小正周期为，故①错误；
对于②，由图象可得函数的值域为，，故②错误；
对于③，由图象可得函数为偶函数，故③正确；
对于④，因为函数的最小正周期为，
所以，
所以，
当，，时，，，，
所以；
当，，时，，，，
函数在，，的解析式与函数在，，的解析式一致，
所以；
综上，对任意，恒成立，故④正确．
故答案为：①②．
12．在△中，若，则的最大值是 ．
[思路点拨]由平面向量数量积的运算，结合基本不等式及余弦函数的性质求解即可．
解：在△中，设角、、对应的边分别为，，，
又，
则，
则，
即，
则，当且仅当时取等号，
又，
则，
即，
则的最大值是．
故答案为：．
二、选择题（本大题共4题，每题4分）
13．下列命题中正确的是（　　）
A．终边相同的角一定相等
B．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
C．
D．锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角
[思路点拨]利用终边相同的角的定义判断；利用弧度制的定义判断；利用正弦函数的符号判断；利用第一象限角的定义判断．
解：对于，终边相同的角有无数个，它们彼此之间相差的整数倍，故错误；
对于，1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，故错误；
对于，4在第三象限，，故错误；
对于，锐角一定是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，故正确．
故选：．
14．已知复数，则“”是“复数为纯虚数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
[思路点拨]设，结合复数的加法运算及充分必要条件的判定得答案．
解：设，
由，可得，即，但不一定等于0；
反之，若复数为纯虚数，则，，可得，
故“”是“复数为纯虚数”的必要不充分条件．
故选：．
15．关于函数的判断，正确的是（　　）
A．振幅为1，值域为，，在区间上是单调减函数
B．振幅为，值域为，，在区间上是单调减函数
C．振幅为1，值域为，，在区间上是单调增函数
D．振幅为，值域为，，在区间上是单调增函数
[思路点拨]由二倍角公式得，再结合余弦型函数的相关性质逐项判断即可．
解：由知，函数的振幅为，
由，，得，，所以函数的值域为，，
当，，即，时，函数单调递减，
则时，函数在，上是单调减函数，在区间，上不单调，
所以在，上是单调增函数，在区间，上不单调．
故选：．
16．已知，，，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足，且对任意的，，当时，都有，则正整数的最大值为（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
[思路点拨]由题意得到与在方向上的数量投影相同，再结合图象即可求解．
解：已知，，，，是平面内两两互不相等的非零向量，且满足，
又对任意的，，当时，都有，
则与在方向上的数量投影相同．
将，，，，平移到同一起点，
以所在直线为轴，同一起点为坐标原点建系，
因为，
所以，，，的终点在半径为1或2的圆上，
如图，作与轴垂直的直线，并左右平移，与两个圆最多是4个交点，
此时在上的数量投影为相同值的向量，最多有4个．
故选：．
三、解答题（本大题共56分）
17．已知，都是锐角，且，．
（1）求的值；
（2）求的值．
[思路点拨]（1）结合二倍角公式即可求解；
（2）结合同角基本关系及和差角公式即可求解．
解：（1）因为，都是锐角，且，
；
（2）因为，为锐角，
所以，，
则，
故．
18．已知的周长为，且．
（1）求边长的值；
（2）若，求的值．
[思路点拨]（1）由题意可得，由此求得的值．
（2）由求得，再根据，求得的值，
解：（1）根据正弦定理，，可化为． 2分
联立方程组，解得． 5分
（2），
，可得：． 7分
又由（1）可知，，
由余弦定理得． 10分
19．已知复数满足，且的虚部为2．
（1）求复数；
（2）当复数的虚部大于零，设复数、、在复平面上对应的点分别为、、，求的值．
[思路点拨]（1）设出复数的代数形式的式子，根据所给的模长和的虚部为2．得到关于复数实部和虚部的方程组，解方程组即可．
（2）写出所给的三个复数的表示式，根据代数形式的表示式写出复数对应的点的坐标，再根据向量的数量积即可求出．
解：（1）设，
由复数满足，的虚部为2．
可得，解得或，
故，；
（2）复数的虚部大于零，
则，，，
所以，，，
所以，，．
20．设向量，，函数．
（1）求的单调减区间；
（2）在△中，若角满足，且边，求△周长的取值范围．
[思路点拨]（1）先利用向量数量积坐标运算求出表达式，再用三角恒等变换把式子化成的形式再结合正弦函数单调递减区间列不等式，解出的范围即可得到单调减区间．
（2）先代入求出角的大小，再由已知边结合正弦定理把另外两边转化为角的正弦形式，将周长整理为单一三角函数形式，最后根据角的范围求出三角函数值域，进而得到三角形周长的取值范围．
解：（1）．
由，，解得，．
所以的单调减区间为，．
（2）由，即．
因为，所以，即．
已知，由．
所以，．
又，，
则周长
．
由，得，所以．
即△周长的取值范围是．
21．已知函数的定义域为，若存在一个向量，对于任意，均有成立，则称向量为函数的“伴随向量”．
（1）判断是否是函数的伴随向量，并说明理由；
（2）判断函数是否存在伴随向量．若存在，求出函数的所有“伴随向量”，若不存在，请说明理由；
（3）若、都是函数的“伴随向量”．当时，；当时，．求当时，函数的解析式和零点．
[思路点拨]（1）由“伴随向量”的定义求解即可；
（2）由“伴随向量”的定义及三角恒等变换可得恒成立，求出和的值即可；
（3）由题意可得函数的周期为4，求出函数在，上的解析式，即可得函数在，上的解析式及零点．
解：（1）是，理由如下：
因为，，
所以，
因此向量是函数的伴随向量；
（2）若存在伴随向量，
则，
，
所以，
所以（其中为辅助角，
即，
上式对任意的都成立，
只有，
即，
由于（当且仅当时，等号成立），
所以，
又因为，
故，
当时，，，；
当时，，，．
故函数的“伴随向量”为和，；
（3）因为、都是函数的“伴随向量”，
所以且，
所以且，
所以，
即，
所以，
故函数是以4为周期的函数．
若，则，此时；
当，则，此时；
当，则，此时；
所以；
故，
当时，函数的零点为2021，2022，2023，2024，2025．

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