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2025-2026学年上海市浦东新区川沙中学高一（下）期中数学试卷
一、填空题（共12题，每题3分）.
1．函数的最小正周期为 　　 ．
2．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 　　 ．
3．复数满足，则　　 ．
4．向量平行于，则实数的值为　　 ．
5．函数的定义域是 　　．
6．向量在方向上的数量投影为　　 ．
7．已知，，若、满足，且的最小值为，则　　．
8．已知是实数，方程的一个实根是是虚数单位），则的值为 　　．
9．已知△的内角，，所对的边分别为，，，若，则△的形状为　　 ．
10．图中所示一个正六边形．已知该正六边的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围是　　 ．
11．已知函数，，（其中，为常数，且有且仅有5个零点，则的取值范围是 　　 ．
12．已知平面向量、满足，若关于的方程有实数解，则面积的最大值为 　　．
二、选择题（本大题共4题，每题3分）
13．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
14．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
15．在△中，，，为中点，点在上，则的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．1
16．如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．，
三、解答题（8+8+10+12+14）
17．已知向量与的夹角为，且．
（1）求的值；
（2）若，求实数的值．
18．关于的方程．
（1）若是方程的一个虚根，求、的值；
（2）若，是方程的两个虚根，且，求的值．
19．如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口的两条公路，之间建造三角形的花园，已知为，花园的另外两个顶点分别在，两点（沿着公路且异于点，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道，已知观景通道长，记．
（1）试用表示出，，以及此花园的面积．
（2）为多少时，花园的面积最大？最大面积为多少？
20．已知函数，，的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的对称轴方程；
（3）在（2）的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由．
21．若函数满足且，则称函数为“函数”．
（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）函数为“函数”，且当时，，求当时，函数的解析式，并求在上的严格增区间；
（3）在（2）条件下：
①写出函数的解析式；
②当，关于的方程为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的所有可能值．
参考答案
一、填空题（本大题共12题，每题3分）
1．函数的最小正周期为 ．
[思路点拨]根据函数的周期为，求出函数的最小正周期．
解：函数的最小正周期为，
故答案为：．
2．若空间中两条直线、确定一个平面，则、的位置关系为 　平行或相交　 ．
[思路点拨]直接由公理2的两个推论得答案．
解：空间中两条直线、有三种位置关系，分别为平行、相交和异面，
由公理2的推论可知，只有当两直线平行或相交时，两直线才能确定一个平面．
故答案为：平行或相交．
3．复数满足，则 ．
[思路点拨]根据复数的基本运算求解即可．
解：由复数满足，
可得，
所以．
故答案为：．
4．向量平行于，则实数的值为　4　 ．
[思路点拨]根据题意，由向量平行的坐标表示方法，分析可得答案．
解：根据题意，若向量平行于，
则有，解得．
故答案为：4．
5．函数的定义域是 　．　．
[思路点拨]由根式内部的代数式大于等于0，然后求解三角不等式得答案．
解：由，的，解得：．
函数的定义域是．
故答案为：．
6．向量在方向上的数量投影为 ．
[思路点拨]根据向量在向量上的数量投影的定义求解．
解：，，
则，，
所以在方向上的数量投影为．
故答案为：．
7．已知，，若、满足，且的最小值为，则　4　．
[思路点拨]根据正弦函数图象的性质得到的最小值为半个周期，然后求即可．
解：，，
若、满足，则函数在、处取到最值，
的最小值为，所以，解得．
故答案为：4．
8．已知是实数，方程的一个实根是是虚数单位），则的值为 　　．
[思路点拨]把方程的实数根代入方程，化简后由复数相等的条件求出，的值，然后利用复数模的公式求解．
解：是方程的一个实根，
则，
即，
，
，
解得：，．
．
故答案为：．
9．已知△的内角，，所对的边分别为，，，若，则△的形状为　等腰三角形　 ．
[思路点拨]由正弦定理边角互化，以及两角和差正弦公式，化简可得结果．
解：因为△的内角，，所对的边分别为，，，
由，
可得，
则，即，
所以，即，
又因为，，，则，即，
所以△是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形．
10．图中所示一个正六边形．已知该正六边的边长为1，点是其内部一点（包含边界），则的取值范围是　，　 ．
[思路点拨]过点作于，将向量用基向量表示出来，再结合图形特征求数量积即可．
解：如图所示，过点作于，
所以，且，，
，其中，，
所以，
当点与点重合时，在方向上的投影最大，此时，，取得最大值为3；
当点与点重合时，此时，即，故，取得最小值为0，
所以的取值范围是，．
故答案为：，．
11．已知函数，，（其中，为常数，且有且仅有5个零点，则的取值范围是， ．
[思路点拨]由为偶函数，其图象关于轴对称，得到一个零点为，从而求得，再将问题转化为与的图象交点个数，然后结合余弦函数的性质，列不等式求解即可．
解：因为，，，定义域关于原点对称，
所以，
所以函数为偶函数，其图象关于轴对称，
因为有且仅有5个零点，
所以必有一个零点为，即，解得，
故，，的零点等价于与的图象在，上的交点个数，
令，则，，
要使与的图象在，上有5个交点，
则需满足，解得，
即实数的取值范围为，．
故答案为：，．
12．已知平面向量、满足，若关于的方程有实数解，则面积的最大值为 　　．
[思路点拨]设的夹角为，把两边平方，可得关于的一元二次方程，利用判别式大于等于0求得的范围，进一步得到的最大值，则答案可求．
解：设的夹角为，
由，，
得，
，
由题意可得：，解得或．
当时，，
此时面积的最大值为．
故答案为：．
二、选择题（本大题共4题，每题3分）
13．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件
[思路点拨]准确把握异面直线的定义“不同在任一平面内的两条直线”，就可做出正确选择．
解：若空间中有两条直线，
则“这两条直线为异面直线” “这两条直线没有公共点”；
反之“这两条直线没有公共点”不能推出“这两条直线为异面直线”，
因为“这两条直线可能平行，可能为异面直线”；
所以“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的充分非必要条件，
故选：．
14．下列函数中，以为周期，且在区间上单调递增的是（　　）
A． B． C． D．
[思路点拨]说明函数，的图象与函数，的图象的关系，判断其周期以及单调性，判断，；
根据，脱掉函数的绝对值符号，判断其单调性，根据即可判断；
由于时，，判断出在上是单调减函数，即可判断．
解：因为可以由函数的图象保持轴上方部分不动，
将轴下方部分翻折到轴上方而得到，故其周期为，
项．由于时，是单调减函数，故项不正确；
项．又时，是单调增函数，故项正确；
由于时，，令，解得，
项．则在上是单调减函数，故项错误；
项由于时，是单调减函数，故项错误．
故选：．
15．在△中，，，为中点，点在上，则的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．1
[思路点拨]以线段的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，直接利用数量积的坐标运算求最值即可．
解：以线段的中点为坐标原点，线段所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示，
因为，，为中点，
所以，
因为点在上，设，所以，
所以，
当时，．
故选：．
16．如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．，
[思路点拨]将不等式恒成立，转化为恒成立．构造函数，利用基本不等式可求得，于是问题转化为恒成立．通过参变分离结合基本不等式求解即可得到答案．
解：因为对一切正实数，，不等式恒成立，
即恒成立，
令，
则，
因为，
当且仅当，即时，取“”，
所以；
所以，
即恒成立．
因为，，，
所以，，
所以恒成立，
令，则，，
所以，
所以恒成立．
令，，，
则．
因为，，
所以，
当且仅当，即，时，等号成立，
则，
所以．
所以，
所以实数的取值范围为，．
故选：．
三、解答题（8+8+10+12+14）
17．已知向量与的夹角为，且．
（1）求的值；
（2）若，求实数的值．
[思路点拨]（1）运用平面向量数量积的运算性质，得到，由已知向量与的夹角和模即可求得结果；
（2）将转化为，求解即可．
解：（1）因为向量与的夹角为，且，
得：；
（2）因为，所以；
得：，
解得：．
18．关于的方程．
（1）若是方程的一个虚根，求、的值；
（2）若，是方程的两个虚根，且，求的值．
[思路点拨]（1）由题意知与都是程的根，利用根与系数的关系求出、的值；
（2）设，，根据求出，利用根与系数的关系求出，再求的值．
解：（1）因为为方程的虚根，所以也是方程的根，
由根与系数的关系知，，；
（2）设，，，，可得，
所以，，
所以，解得，即，
由根与系数的关系得，，所以．
19．如图，某景区为了增加观赏性，初步计划在景区路口的两条公路，之间建造三角形的花园，已知为，花园的另外两个顶点分别在，两点（沿着公路且异于点，为了便于游客赏玩，沿着花园修建观景通道，已知观景通道长，记．
（1）试用表示出，，以及此花园的面积．
（2）为多少时，花园的面积最大？最大面积为多少？
[思路点拨]（1）已知三角形中的两角一边，用内角和定理和正弦定理可表达剩余两边；
（2）表达面积，应用余弦定理和基本不等式可得解．
解：（1）在△中，，
由正弦定理可知，，
则，，
面积．
（2）因为，
由已知及余弦定理，可得，
当且仅当时取等号，
则，即，此时，，△为等腰三角形，，
．
20．已知函数，，的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）将的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图像，求函数的对称轴方程；
（3）在（2）的前提下，对于任意，是否总存在实数，使得成立？若存在，求出实数的值或取值范围；若不存在，说明理由．
[思路点拨]（1）直接利用函数的图象求出函数的解析式；
（2）利用函数的图象的平移变换和伸缩变换求出函数的解析式，进一步求出函数的对称轴方程；
（3）利用函数的性质，建立不等式组，进一步求出的值．
解：（1）根据函数的图象，且，解得，所以；且，由于，故，
故．
（2）的图像上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到的图象，
令，整理得对称轴方程为：，．
（3）由得，由，
得，
所以，所以，
因为，
所以，所以．
由题可知，
得，
解得，所以存在，使得成立．
21．若函数满足且，则称函数为“函数”．
（1）试判断是否为“函数”，并说明理由；
（2）函数为“函数”，且当时，，求当时，函数的解析式，并求在上的严格增区间；
（3）在（2）条件下：
①写出函数的解析式；
②当，关于的方程为常数）有解，记该方程所有解的和为，求的所有可能值．
[思路点拨]（1）根据题干条件代入检验即可求解；
（2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间；
（3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到．
解：（1）不是“函数”，理由如下：
由，
，
，
所以，
所以不是“函数”；
（2）因为，
所以的周期为，
又，
所以的图象关于对称，且，
当时，，
当时，
，
当时，，，
所以，
所以，，，
当时，，所以在上单调递增，
由，，，
当时，，，，
所以在上单调递增，
经检验，其他范围不是单调递增区间，
所以在上的单调增区间为，；
（3）①由（2）得：，
②当，函数的图象为：
当时，有3个解，其和为，
当或时，有4个解，
由对称性可知：其和为，
当时，有6个解，
由对称性可知：其和为，
当时，有8个解，
其和为，
所以．

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