资源简介

2025-2026学年上海市杨浦区高一（下）期中数学试卷
一、填空题（共12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）．
1．小于的正整数的集合用列举法表示为　　 ．
2．函数的定义域为　　 ．
3．已知，则　　．
4．指数函数与的图像关于轴对称，则　　 ．
5．函数的最小正周期为　　 ．
6．若函数为奇函数，则　　 ．
7．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是　　 ．
8．幂函数在时的图像位于直线的下方，则的取值范围是 　　．
9．若关于的不等式的解集为空集，则的值为　　 ．
10．若正实数、满足，则的最大值为　　 ．
11．某底角的斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为，，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光．其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.5米；另一根杆子的影子完全在斜面上，其影子长度为　　 米，，结果精确到0.01米）．
12．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．若这两个函数图象的相邻三个交点恰好形成正三角形，则　　 ．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13 14题每题4分，第15 16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
14．下列函数中在区间上是严格减函数的是（　　）
A． B． C． D．
15．已知△中，，则下列选项不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
16．定义在上的函数满足：对任意，，恒成立．则下列说法正确的是（　　）
A．函数一定是常值函数
B．函数的函数值一定非负
C．若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点
D．若函数存在零点，则一定存在、，使得
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答应下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．已知集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
18．已知△内角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求△面积的最大值．
19．设为常数，且函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并给出证明；
（3）若，求的取值范围．
20．（17分）已知，函数的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调减区间；
（3）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
21．（17分）已知函数的定义域为，．
（1）若，求函数的零点构成的集合；
（2）若，且当，时，求函数在，上的最小值；
（3）已知对一切恒成立，
求证：“函数存在正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”．
参考答案
一、填空题（本大题共有12小题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）．
1．小于的正整数的集合用列举法表示为，2， ．
[思路点拨]根据题意结合列举法即可得结果．
解：因为，
所以小于的正整数只有1，2，3，
所以小于的正整数的集合用列举法表示为，2，．
故答案为：，2，．
2．函数的定义域为 ．
[思路点拨]根据对数函数的性质求函数的定义域即可．
解：要使函数有意义，则，
解得．
函数的定义域为．
故答案为：．
3．已知，则　　．
[思路点拨]把所求的式子利用二倍角的余弦函数公式化为关于的式子，将的值代入即可求出值．
解：因为，
所以．
故答案为：．
4．指数函数与的图像关于轴对称，则 ．
[思路点拨]根据函数的对称性即可求解结论．
解：关于轴对称后，函数变成，
又函数与的图像关于轴对称，
故．
故答案为：．
5．函数的最小正周期为　　 ．
[思路点拨]根据正切函数的最小正周期公式求解即可．
解：由正切函数周期计算公式可知，
函数的最小正周期为．
故答案为：．
6．若函数为奇函数，则 ．
[思路点拨]根据函数的奇偶性即可求解结论．
解：由题可得：．
展开得，
于是对，有成立，故．
因此．
故答案为：．
7．已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是　1或4　 ．
[思路点拨]设扇形的半径为，根据扇形的周长公式，面积公式列出方程求解即可．
解：设扇形的半径为，
由扇形的周长是6，面积是2，
可得，解得或．
故答案为：1或4．
8．幂函数在时的图像位于直线的下方，则的取值范围是 　　．
[思路点拨]结合幂函数的图象，判断的取值范围即可．
解：幂函数的部分图象如图：可知与幂函数图象的变换规律，在第一象限内，的右侧，幂函数的图象顺时针，越来越小．
当时，幂函数的图像在直线的下方，
可知．
故答案为：．
9．若关于的不等式的解集为空集，则的值为 ．
[思路点拨]先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间．
解：由不等式，得，
得，且，
若解集为空集，则与的根必须重合，
故的根应为，得．
故答案为：．
10．若正实数、满足，则的最大值为 ．
[思路点拨]结合基本不等式即可求解．
解：因为，均为正实数，所以，
当且仅当，时取等号．
故答案为：．
11．某底角的斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为，，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光．其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.5米；另一根杆子的影子完全在斜面上，其影子长度为　0.65　 米，，结果精确到0.01米）．
[思路点拨]先由水平面上的影子求出阳光与水平面的夹角正切值，再在含杆与影子的三角形中用正弦定理建立关系，化简得到斜面上影子长度的表达式，代入数据计算即可．
解：第一根杆子底端在斜面底端，竖直高，影子在水平面长，
设阳光与水平面夹角为，可得．
已知斜面倾角，设第二根杆子底端为，杆顶为，杆顶的影子落在斜面上的点．
已知；
根据对顶角相等，可知；根据光线的方向，可知．
应用正弦定理，可得，
化简得，
又，
则．
最终影子长度约为0.65米．
故答案为：0.65．
12．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象．若这两个函数图象的相邻三个交点恰好形成正三角形，则或 ．
[思路点拨]由题意得，进而结合正弦函数性质得交点横坐标为，，代入解析式求得交点纵坐标为，再根据坐标关系可知正三角形的边长为2，且满足，进而得，再结合解方程即可．
解：将函数的图象向左平移个单位得到函数，
两图象交点满足，
由正弦函数性质，或，，
当时，，与矛盾；
所以，，解得，，
代入得交点纵坐标为，
所以，相邻三个交点的横坐标为，纵坐标的绝对值相等，为，
所以，相邻两点的水平距离为，
所以，该正三角形的边长为2，且满足，即，
所以，
因为，，
所以，当时，，解得；
当时，，解得，
综上，或．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13 14题每题4分，第15 16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．已知，则下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
[思路点拨]根据题意，依次分析选项是否正确，即可得答案．
解：依次分析选项：
对于，当，时，有，错误；
对于，函数在上为增函数，若，必有，正确；
对于，当，时，有，错误；
对于，当，时，有，错误；
故选：．
14．下列函数中在区间上是严格减函数的是（　　）
A． B． C． D．
[思路点拨]根据函数的单调性判断即可．
解：对于，在上单调递增，不符合．
对于是底数在内的指数函数，所以在上严格递减，从而在上也严格递减．符合．
对于在上单调递增，不符合．
对于在上单调递增，又，，故不符合．
故选：．
15．已知△中，，则下列选项不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
[思路点拨]根据三角形中的角与边的关系，结合三角函数的单调性，依次判断即可．
解：：在三角形中，根据大角对大边的性质，由，得，故成立；
：由选项知，，又，所以，故成立；
：因为，在上递减，所以，故成立；
：若为钝角，且为锐角，则，，此时不成立，故不一定成立．
故选：．
16．定义在上的函数满足：对任意，，恒成立．则下列说法正确的是（　　）
A．函数一定是常值函数
B．函数的函数值一定非负
C．若函数是上的严格增函数，则它一定不存在零点
D．若函数存在零点，则一定存在、，使得
[思路点拨]通过讨论，的正负，分析成立的条件．
解：因为对任意，，恒成立，
若，等式成立；
若，
若，，
则，等式成立．
若，，
则有，
所以，
可知可以是常值函数或非负函数；
若，或，等式不成立．
由以上讨论可知可以是常值函数或非负函数．
对于，任取一个非负非常值函数满足，但不是常值函数，故错误；
对于，任取一个负常值函数满足，但不是非负函数，故错误；
对于，若函数是上的严格增函数且存在零点，设，
由于严格递增，
取，，有，，
此时，与题设矛盾，
故不存在零点，故正确；
对于，当，满足条件．，，有，故错误．
故选：．
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答应下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤
17．已知集合．
（1）若，求实数的取值范围；
（2）若，求实数的取值范围．
[思路点拨]（1）若，则，进而求出实数的取值范围；
（2）若，则，进而求出实数的取值范围．
解：（1）若，则，即，
解得，
所以实数的取值范围为；
（2）若，则，
即
解得或，
所以实数的取值范围为，，．
18．已知△内角，，的对边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求△面积的最大值．
[思路点拨]（1）结合余弦定理，即可求解；
（2）结合三角形的面积公式，以及基本不等式的公式，即可求解．
解：（1），
由余弦定理可知，，
因为，所以．
（2）三角形面积．
又由，当时，．
由，得．
故，于是，
当时取等号，所以面积最大值为．
19．设为常数，且函数为奇函数．
（1）求的值；
（2）判断函数的单调性，并给出证明；
（3）若，求的取值范围．
[思路点拨]（1）根据奇函数的定义，将代入函数求得，验证可得答案；
（2）利用定义法判断和证明函数的单调性即可；
（3）分别讨论和两种情况．结合题意以及函数的单调性进行化简即可求出的取值范围．
解：（1）根据题意，，其定义域为，
若函数为奇函数，则有，解得，
则；
因为，所以当时，为奇函数，满足题意，
故；
（2）函数在上严格递增；
证明如下：设任意的实数、，满足，
则，
又因为，则，所以，，，
所以，
故函数在上严格递增；
（3）若，则，
令，则，
要使它小于0，需，即，
所以，故结合，得，
若，则，
由奇函数性质知，
于是
由于严格递增，恒成立，所以．
综上，，即的取值范围为．
20．（17分）已知，函数的部分图像如图所示．
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调减区间；
（3）若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围．
[思路点拨]（1）根据最大值和最小值确定；根据图象可得最小正周期，求得；由，结合的范围可求得的取值，从而得到解析式；
（2）根据正弦函数的图象的单调性即可求解；
（3）将问题转化为在上有解，通过数形结合的方式可确定的取值范围．
解：（1）由图可知最大值为，最小值为，所以，
又从最大点到最小点的横坐标差为，即，所以，
所以，将点代入函数得，
即，所以，
又因为，解得，故．
（2）处于单调递减区间时，．
解得．
（3）
，
故原方程等价于，即，
当时，，在该区间上，
所以，故．
21．（17分）已知函数的定义域为，．
（1）若，求函数的零点构成的集合；
（2）若，且当，时，求函数在，上的最小值；
（3）已知对一切恒成立，
求证：“函数存在正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”．
[思路点拨]（1）由题意可得，进而求解；
（2）由题意可得，利用换元法求得，结合二次函数的图象与性质即可求解；
（3）易证必要性；证充分性，若，则，（设，利用反证法证明，即，即可证明．
解：（1）当时，，
所以可得，
故零点集合为．
（2）由，知，，，
因为，所以，
令，，
因此，
则，
当时，取得最小值；
（3）证明：若，
于是，
所以也有正整数周期；
若，即，
得，
设，则，
所以对任意整数平移都不变，
设存在使，设，即，
则，，
对任意正整数，，
当时，，这与矛盾．
故假设不成立，即，都有，故，
所以也有正整数周期．
综上，“有正整数周期”的充要条件是“函数存在正整数周期”．

展开更多......

收起↑