资源简介

2025-2026学年上海市普陀区回民中学高二（下）期中数学试卷
一．填空题（共12小题，第1题至第6题1每题4分，第7题至第12题每题5分，满分53分）.
1．曲线在处的切线方程为 　　．
2．已知直线，，若，则　　 ．
3．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是 　　．
4．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则　　．
5．是平面上长度为4的一条线段，是平面上一个动点，且，是的中点，则的取值范围是 　　．
6．已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 　　．
7．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为　　 ．
8．已知，则　　．
9．已知点，分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若△为正三角形，则该椭圆的离心率为　　 ．
10．与双曲线有公共渐近线且过点的双曲线的方程为 　　．
11．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示．为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为 　　．
12．在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题：
①曲线上的点关于轴，轴对称；
②曲线上两点间的最大距离为；
③的取值范围为；
④曲线围成的图形的面积小于．
则以上命题中正确的序号有 　　．
二．选择题（本题共4小题，第13题至第14题每题4分，第15题至第16题每题5分，满分18分）
13．已知两条直线，，“”是“直线” 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．或
15．已知曲线的一条切线为，则（　　）
A． B． C．0 D．1
16．若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
三．解答题（本题共5小题，满分79分）
17．求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
18．已知圆的方程为，过点作直线交圆于、两点．
（1）当直线的斜率为1时，求弦的长；
（2）当直线的斜率变化时，求动弦的中点的轨迹方程．
19．已知位于正东方，且，两地相距800米，一炮弹在某处爆炸．在处听到爆炸声的时间比处晚2秒钟．
（1）爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由．
（2）若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标．（精确到1米）（已知声音速度为340米秒）
20．（18分）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点，，，，记点的坐标为．
（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和3，求；
（2）若斜率，求的面积；
（3）若是等腰三角形且，求实数．
21．（18分）历史上著名的卡西尼卵形线的探究具有代表性，卡西尼卵形线是表示到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹．
（1）试求到两个定点，的距离之积为常数2的动点的轨迹方程（不要求化简）；
（2）探究该轨迹的对称性、顶点、范围（给出必要的探究过程）．
参考答案
一．填空题（本题供12小题，第1题至第6题每题4分，第7题至第12题每题5分，满分53分）
1．曲线在处的切线方程为 　　．
[思路点拨]根据导数的几何意义即可求解．
解：求导函数可得，，
当时，，
所求切线方程为，
即，
故答案为：．
2．已知直线，，若，则 ．
[思路点拨]由两条直线平行的充要条件列方程，求解即可．
解：直线，，
若，可得且，
解得．
故答案为：．
3．已知圆心为的圆与直线相切，则该圆的标准方程是 　　．
[思路点拨]根据题意，设该圆的半径为，由点到直线的距离公式求出圆的半径，由圆的标准方程形式分析可得答案．
解：根据题意，设该圆的半径为，
而要求圆与直线相切，则，即要求圆的半径为，
则要求圆的方程为；
故答案为：．
4．双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则　　．
[思路点拨]把双曲线的方程化为标准方程，根据标准方程求出虚轴长和实轴长，再利用虚轴长是实轴长的2倍求出值．
解：双曲线的标准方程为，虚轴的长是，实轴长 2．
由题意知，，，
故答案为．
5．是平面上长度为4的一条线段，是平面上一个动点，且，是的中点，则的取值范围是 　　．
[思路点拨]根据椭圆的定义写出的轨迹方程，结合椭圆的性质判断的范围．
解：由题设，
则的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，
若，，，
则的轨迹方程为，
的范围是，，即，．
故答案为：，．
6．已知为抛物线上的动点，为抛物线的焦点，点，则的最小值为 　2　．
[思路点拨]根据抛物线的几何性质，化归转化思想，即可求解．
解：抛物线的准线方程为：，又，
到准线的距离，
设到准线的距离为，则，
，
当且仅当直线垂直准线时，等号成立，
的最小值为2，
故答案为：2．
7．已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为或 ．
[思路点拨]先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程．
解：因为直线的斜率为，
所以其倾斜角为，
设直线的倾斜角为，
又直线与直线的夹角为，
所以或，
又直线过点，
当时，斜率，
当时，直线的方程为：，
所以直线的方程为：，
即．
故答案为：或．
8．已知，则　　．
[思路点拨]根据已知条件，结合导数的几何意义，即可求解．
解：，
则，
（2），
所以（2）．
故答案为：．
9．已知点，分别是椭圆的上、下顶点，点为椭圆的右顶点，若△为正三角形，则该椭圆的离心率为 ．
[思路点拨]由题意得出，又，，结合勾股定理得到，即可求解．
解：因为，分别是椭圆的上、下顶点，
点为椭圆的右顶点，且△为正三角形，
所以，又，，
所以，
所以，
所以，，
所以．
故答案为：．
10．与双曲线有公共渐近线且过点的双曲线的方程为 　　．
[思路点拨]设所求双曲线的方程为，将点的坐标代入所求双曲线的方程，求出的值，即可得出所求双曲线的方程．
解：设所求双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得：，
故所求双曲线的方程为，即．
故答案为：．
11．有一个隧道内设双行线公路，其截面由一长方形和抛物线构成，如图所示．为了保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，若行车道总宽度为，则车辆通过隧道时的限制高度为 　3.8　 ．
[思路点拨]由题意，建立平面直角坐标系，明确点的坐标，求出抛物线方程，可得答案．
解：已知行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少为，且行车道总宽度为，
由题意，如图建系：
则，，，，
如图可设，抛物线方程为，将代入，可得，求得，
故抛物线方程为，
将代入抛物线方程，可得，．
故答案为：3.8．
12．在直角坐标系中，为坐标原点，曲线的方程是，为上的任意一点．给出下面四个命题：
①曲线上的点关于轴，轴对称；
②曲线上两点间的最大距离为；
③的取值范围为；
④曲线围成的图形的面积小于．
则以上命题中正确的序号有 　①③　．
[思路点拨]根据对称性，最值及图像特征分别判断命题即可．
解：对于①，设在曲线的方程上，因为也在曲线的方程上，
也在曲线的方程上，所以曲线上的点关于轴，轴对称，故①正确；
对于③，，又因为曲线的方程是，
所以，即得，，
得，所以，故③正确；
对于④，当时，曲线的方程为，曲线与轴交点，与轴交点，
曲线上的点关于轴对称可以得到曲线的大致图像，
曲线围成的图形的面积大于，故④错误；
对于②，如图及曲线的对称性可知，曲线上两点间的最大距离为，故②错误；
故答案为：①③．
二．选择题（本题共4小题，第13题至第14题每题4分，第15题至第16题每题5分，满分18分）
13．已知两条直线，，“”是“直线” 条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分又不必要
[思路点拨]根据求出，根据的取值进而验证即可求解．
解：当时，，得，
，所以是直线的充分不必要条件．
故选：．
14．若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（　　）
A． B． C． D．或
[思路点拨]由椭圆的方程和焦点在轴可得，参数的关系，进而求出的范围．
解：表示焦点在轴上的椭圆，
故，解得．
故选：．
15．已知曲线的一条切线为，则（　　）
A． B． C．0 D．1
[思路点拨]求出导函数，利用导函数为1求得对应的，进而求得切点坐标，再代入切线方程即可求解结论．
解：曲线，
，
令可得，（1），
切点为，
又在上，可得，
故选：．
16．若点和点分别为椭圆的中心和右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
[思路点拨]设，根据点的坐标求出，所以求关于的二次函数的最小值即可．
解：设，，，；
；
的最小值为．
故选：．
三．解答题（本题共5小题，满分79分）
17．求下列函数的导数：
（1）；
（2）．
[思路点拨]（1）（2）由基本初等函数的导数公式及导数加减、乘法法则求导函数即可．
解：（1）则；
（2），则．
18．已知圆的方程为，过点作直线交圆于、两点．
（1）当直线的斜率为1时，求弦的长；
（2）当直线的斜率变化时，求动弦的中点的轨迹方程．
[思路点拨]（1）由点斜式表示此时直线的方程，利用弦长公式计算即可；
（2）根据几何性质判定的轨迹即可．
解：（1）直线的斜率为1时，此时过的直线可表示为：，
设圆心到的距离为，圆的半径为，
则．
由题意可得，，
所以．
（2）如图所示，
根据垂径定理，易知中点与的连线垂直于，即可得在以为直径的圆上，
同时应在圆内，
设圆心为，则，，
则在上，
与联立可得，
故轨迹方程为，其中．
19．已知位于正东方，且，两地相距800米，一炮弹在某处爆炸．在处听到爆炸声的时间比处晚2秒钟．
（1）爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由．
（2）若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标．（精确到1米）（已知声音速度为340米秒）
[思路点拨]（1）根据双曲线的定义求得爆炸点所在曲线；
（2）根据已知条件求得曲线的方程，设，代入方程解出的值即可．
解：（1）由题意得：，
所以爆炸点离点比离点的距离更远，
所以爆炸点在以，为焦点，且距较近的双曲线的一支上．
（2）以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，
则，，
由题意知，，即，
由双曲线的定义知，，所以，
所以，
所以曲线方程为，
设，
代入方程得，
解得（米，
所以．
20．（18分）已知斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于不同的两点，，，，记点的坐标为．
（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和3，求；
（2）若斜率，求的面积；
（3）若是等腰三角形且，求实数．
[思路点拨]（1）由抛物线的定义求解即可；
（2）由抛物线焦点弦的弦长和点到直线距离求解即可；
（3）将抛物线方程与直线方程联立，用表示出中点的坐标，使即可．
解：（1）抛物线的焦点为，准线方程为．
由抛物线的定义，若点和到准线的距离分别为和3，则，，
．
（2）若斜率，则直线的方程为，
由消去，整理得，△，
，，，，
，，
由抛物线的定义，．
到直线即的距离为，
的面积．
（3）直线的方程为，（易知
由消去，整理得，△，
，，，，，，
中点，
其中，，，
是等腰三角形且，，
，解得．
实数的值为1或．
21．（18分）历史上著名的卡西尼卵形线的探究具有代表性，卡西尼卵形线是表示到两个定点（叫做焦点）的距离之积为常数的点的轨迹．
（1）试求到两个定点，的距离之积为常数2的动点的轨迹方程（不要求化简）；
（2）探究该轨迹的对称性、顶点、范围（给出必要的探究过程）．
[思路点拨]（1）设点，利用两点间距离公式即可求解；
（2）由（1）先化简方程得，利用代数法研究对称性，顶点和范围即可．
解：（1）设点，则，
由可得；
（2）由（1）得，
得，
对称性：将点代入方程得，即，
所以卡西尼卵形线关于轴对称，
将点代入方程得，即，所以卡西尼卵形线关于轴对称，
将点代入方程得，即，所以卡西尼卵形线关于原点中心对称，
故卡西尼卵形线关于坐标轴对称，关于原点中心对称；
令得，即，解得，
令得，化简得，解得，解得，
即顶点为；
由有，
所以，即，
得，所以，解得，
所以，
又由，
令，所以，
所以，所以，解得，
所以，，
故卡西尼卵形线的范围为，，．

展开更多......

收起↑