资源简介

2025-2026学年上海市杨浦区复旦大学附属中学高一（下）期中数学试卷
一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分）.
1．已知，若，则　　 ．
2．函数的最小正周期　　．
3．当函数取到最大值时，的值为　　 ．
4．若复数满足为虚数单位），则的虚部为　　 ．
5．函数的定义域是　 　．
6．在中，角，，所对的边分别为，，，，．．则的面积为 　　．
7．已知复数和复数满足，为虚数单位），则 　　．
8．在平面直角坐标系中，点．将向量绕原点顺时针旋转，得到向量，则在方向上的数量投影为　　 ．
9．在△中，，，．点为△所在平面上一动点，满足．若，则的最大值为　　 ．
10．在四边形中，若，则　　 ．
11．已知函数，若，且函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，则的值为　　 ．
12．已知函数，的部分图象如图所示，过的直线交图象于，，，两点，若且，则　　 ．
二、选择题(第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分)
13．复数为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．设是平面向量的一组基底，那么“”是“是钝角”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
15．已知正六边形的边长为2，是其边上的动点，则的取值范围是（　　）
A．， B．， C．， D．，
16．已知函数在区间，上有且仅有3个零点．给出下面两个说法：
①函数在区间上单调递增；
②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则其在区间，上有且仅有2条对称轴．
下列判断正确的是（　　）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
三、解答题(共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在复平面内，复数，为虚数单位）对应的点为．
（1）若为实数，求实数的值；
（2）若，复数满足，且，在复平面内对应的点为，求．
18．平面向量，函数．
（1）若，求的值域；
（2）设函数．若是偶函数，求的单调增区间．
19．如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距3海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以2海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以3海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以3海里小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以4海里小时的速度沿着直线追击．
（1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？（结果精确到0.1海里）
（2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？（结果精确到
20．（17分）对任意两个非零向量，定义：．
（1）若向量，求的值，并求在方向上的投影；
（2）若单位向量，满足，求的值；
（3）在△中，设，若，判断△的形状并说明理由．
21．（17分）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”．
（1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？并说明理由；
（2）已知是周期为的偶函数，且当，时，．函数是的关联函数”，若方程在，上至少有26个根，求的最小值；
（3）已知函数和的定义域都为，．当，时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”，且是的“关联函数”，求方程的解．
参考答案
一、填空题(第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，共54分)
1．已知，若，则 ．
[思路点拨]利用向量垂直的性质求解．
解：，，
由题意得：，解得．
故答案为：．
2．函数的最小正周期　　．
[思路点拨]先利用降幂公式把化简为，因为函数的周期为，把的值代入即可．
解：可变形为，
最小正周期
故答案为
3．当函数取到最大值时，的值为， ．
[思路点拨]结合余弦函数最值取得条件即可求解．
解：当，时，即，，．
故答案为：，．
4．若复数满足为虚数单位），则的虚部为 ．
[思路点拨]利用复数运算法则求解．
解：复数满足为虚数单位），
，
的虚部为．
故答案为：．
5．函数的定义域是　，，　．
[思路点拨]由已知式子由意义可得且，解不等式取交集可得．
解：由已知式子由意义可得且，
解可得，
结合正切函数定义域解可得，，
综合可得函数的定义域为，，
故答案为：，，
6．在中，角，，所对的边分别为，，，，．．则的面积为 　　．
[思路点拨]由已知结合余弦定理先求出，然后结合三角形面积公式可求．
解：因为，．，
由余弦定理得，
整理得，
解得（舍负），
所以的面积．
故答案为：．
7．已知复数和复数满足，为虚数单位），则 　　．
[思路点拨]先分别设出复数和复数，根据已知分别求出两个复数，求解即可．
解：设，，
所以，
所以，，所以，，，，
．
所以．
故答案为：．
8．在平面直角坐标系中，点．将向量绕原点顺时针旋转，得到向量，则在方向上的数量投影为 ．
[思路点拨]根据投影向量的定义即可求解．
解：根据题意可知，平面直角坐标系中，点，将向量绕原点顺时针旋转，得到向量，
由题意得，
所以在方向上的数量投影为．
故答案为：．
9．在△中，，，．点为△所在平面上一动点，满足．若，则的最大值为 ．
[思路点拨]分别以，为，轴建立平面直角坐标系，可得，由得，设，，代入，然后根据三角函数的辅助角公式直接得最大值．
解：△中，，，，分别以，为，轴建立平面直角坐标系，
则，
则，
又，所以，
设，，
则，
所以的最大值是．
10．在四边形中，若，则 ．
[思路点拨]利用向量的线性运算，向量数量积的运算，即可求解．
解：因为在四边形中，若，
所以
．
故答案为：．
11．已知函数，若，且函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，则的值为 ．
[思路点拨]根据得，又根据函数在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，进而得的范围，最后验证即可求解．
解：由题意得：，所以，得，
又，所以，
又在区间上恰有一个最大值点，无最小值点，
由，所以，
当时，，
所以，所以在上无最大值点，不满足题意；
当时，，
所以，在上恰有一个最大值点，无最小值点，满足题意，
当时，，所以，
所以在上无最大值点，有最小值点，不满足题意，
当时，，所以，
所以在上有最大值点，有最小值点，不满足题意，
当时，在上有最大值点，有最小值点，不满足题意，
所以．
故答案为：．
12．已知函数，的部分图象如图所示，过的直线交图象于，，，两点，若且，则 ．
[思路点拨]把图象向左平移，使得点平移到原点，使得问题简化，在新坐标系中，函数解析式变为，可设，则，且，代入求出后可得．
解：把图象向左平移，使得点平移到原点，则函数解析式变为，，两点的纵坐标不变，
由于，在新坐标系中，设，则，且，
所以，即，
，解得舍去），
所以．
故答案为：．
二、选择题(第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，共18分)
13．复数为虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
[思路点拨]化简复数，根据复数与复平面内点的对应关系可得答案．
解：，
故复数对应的点为，
在复平面的第二象限，
故选：．
14．设是平面向量的一组基底，那么“”是“是钝角”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
[思路点拨]根据充分必要条件的定义判断．
解：当是钝角时，，必要性满足，
是平面向量的一组基底，则，
时，，充分性满足，
故选：．
15．已知正六边形的边长为2，是其边上的动点，则的取值范围是（　　）
A．， B．， C．， D．，
[思路点拨]过作直线，分别延长，交直线于点，，则在直线上的射影在线段上，利用数量积的定义可得结论．
解：是正六边形，
则，
所以，
，
则，
过作直线，则，，分别延长，交直线于点，，
则是矩形，，
作于，由图可知，当在正六边形的边上移动时，在线段之间移动，，
又由向量夹角定义知，
，
当在线段时，，当在线段时，，
所以．
即的取值范围是，．
故选：．
16．已知函数在区间，上有且仅有3个零点．给出下面两个说法：
①函数在区间上单调递增；
②将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，则其在区间，上有且仅有2条对称轴．
下列判断正确的是（　　）
A．①正确，②正确 B．①正确，②错误 C．①错误，②正确 D．①错误，②错误
[思路点拨]结合正弦函数的图象变换及正弦函数性质检验各选项即可求解．
解：若，，则，
由在，上有且仅有3个零点，得，
解得，
若，则，
又，所以在上先单调递增，后单调递减，所以①错误；
将的图象向左平移个单位，得到，
若，，则，
因为，所以，
所以成立，可能成立，
所以的图象在，上可能有3条对称轴，②错误．
故选：．
三、解答题(共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．在复平面内，复数，为虚数单位）对应的点为．
（1）若为实数，求实数的值；
（2）若，复数满足，且，在复平面内对应的点为，求．
[思路点拨]（1）根据复数的除法运算结合复数的概念即可求解；
（2）设，，为实数，由得，再由，即可解出，进而求解．
解：（1）由题意在复平面内，复数，为虚数单位）对应的点为，
可得，
又因为为实数，所以，解得；
（2）设，，为实数，所以在复平面内对应的点为，
在复平面内对应的点为，
由，
又，所以，
所以，
又，所以，即，
解得，又，所以，
所以，即，
又，所以，
所以，
所以．
18．平面向量，函数．
（1）若，求的值域；
（2）设函数．若是偶函数，求的单调增区间．
[思路点拨]（1）由数量积的坐标表示求得，并利用二倍角公式、两角差的正弦公式化简，然后根据已知范围，结合正弦函数性质得出结论；
（2）由图象变换写出的表达式，并由偶函数性质求得，得函数式，然后结合余弦函数的单调性求得结论．
解：（1）向量，
则
，
当时，，所以，
所以；
（2）由（1）知是偶函数，
所以，
又，所以，
所以，
由，，得，，
所以所求增区间是，．
19．如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距3海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以2海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以3海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以3海里小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以4海里小时的速度沿着直线追击．
（1）当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？（结果精确到0.1海里）
（2）问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？（结果精确到
[思路点拨]（1）利用余弦定理即可求解；
（2）设经过小时巡逻艇追上走私船，利用正弦定理列式进行求解．
解：（1）由题意某巡逻艇在处发现北偏东相距3海里的处有一艘走私船，
正沿东南方向以2海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以3海里小时的速度沿着正东方向直线追去，
1小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以3海里小时的速度向正东方向逃窜，
巡逻艇立即加速以4海里小时的速度沿着直线追击，
结合图形可得，，，，
所以△为等边三角形，所以，
又，所以，
，
在△中，由余弦定理得：，
所以，
解得（海里）；
（2）因为，所以，
根据正弦定理可得，即，
解得，即，
，
因为，所以，
设经过小时巡逻艇追上走私船，所以，，
根据正弦定理可得，即，
解得，即，
，该方向与正东方向夹角为，
因此北偏东，即巡逻艇应该沿北偏东的方向去追，才能最快追上走私船．
20．（17分）对任意两个非零向量，定义：．
（1）若向量，求的值，并求在方向上的投影；
（2）若单位向量，满足，求的值；
（3）在△中，设，若，判断△的形状并说明理由．
[思路点拨]（1）根据新定义直接计算，再根据投影的定义计算投影；
（2）利用新定义求得，再根据向量夹角的余弦公式计算；
（3）记，，，把新定义化为数量积，结合余弦定理得出，即，设，利用三个分子相加等于0求得，从而可得出结论．
解：（1）对任意两个非零向量，定义：，
向量，
，，
，
在方向上的投影是；
（2）单位向量，满足，
，
解得，
；
（3）在△中，设，
，
记，，，
由题意，，，
，，
，
，
，
由余弦定理，得：
，即，
设，则，，，
三式相加得，，
将其代入各式，可得，即△是等边三角形．
21．（17分）对于函数和，若存在函数，使得，则称是的“关联函数”．
（1）已知，，是否存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”？并说明理由；
（2）已知是周期为的偶函数，且当，时，．函数是的关联函数”，若方程在，上至少有26个根，求的最小值；
（3）已知函数和的定义域都为，．当，时，．若存在函数及，使得是的“关联函数”，且是的“关联函数”，求方程的解．
[思路点拨]（1）根据关联函数定义，若存在，则应有．取即可得到矛盾．
（2）由的偶性和周期性，先确定时，从而．再分析方程在各区间内的解的个数，确定第26个解的位置．
（3）由两个关联关系推出与零点相同，于是只需求的解．再按，分类讨论即可．
解：（1）不存在，理由如下：
假设存在定义域为的函数，使得是的“关联函数”．
由定义可得，
取，则，矛盾，
故不存在这样的函数；
（2）因为是周期为的偶函数，且当，时，，
所以当，时，，，
所以，
所以在一个周期，上的解析式为，
从而得．
又因为是的“关联函数”，
所以．
由，得，
当时，．
令，得，所以或．
当时，或，
故方程无解．
当时，在区间内，方程有4个解，
分别为，，
因此，在内有2个解；
之后每经过一个形如的区间，会增加4个解．
要至少有26个解，除开始的2个解外，还需增加24个解，
即需要6个这样的区间．第26个解为．
故的最小值为；
（3）由题意，存在函数及，使得，且，
若，
则由，可得；
若，则由，可得．
因此与的零点相同．
所以求方程的解，等价于求方程的解．
当时，，，．
令，得．
所以，，
因为，，所以．
当时，，，于是，
因为，所以，
又因为，所以，
从而．
故时，方程无解．
综上，方程的解为．

展开更多......

收起↑