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浙江省杭州市杭州中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据中心对称图形的定义“绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可．
2．下列二次根式的计算中，正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：对选项A，，A错误．
对选项B，与不是同类二次根式，不能合并，结果不等于，B错误．
对选项C，二次根式的被开方数必须为非负数，和无意义，正确运算为，C错误．
对选项D，，符合二次根式的除法法则，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加法、减法、除法法则和被开方数的非负性，逐项判断解答即可．
3．用配方法解方程 配方后可得 (　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
配方得，
即 ．
故选：C．
【分析】利用移项，添加一次项系数一半的平方，将方程左边写成完全平方形式解答即可．
4．对于命题“如果 a>b>0， 那么 ”用反证法证明，应假设 (　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由反证法可知，应假设．
故答案为：D.
【分析】反证法的第一步假设结论的否定成立，再由此推出矛盾，据此解答即可．
5．下列给出的条件中，能判定四边形 ABCD是平行四边形的是 (　　)
A．∠A： ∠B： ∠C： ∠D=1： 1： 2： 2
B．AB=AD， CB=CD
C．AB=CD， AD=BC
D．∠B=∠C， ∠A=∠D
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.，则，，
，，
，但，
与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意；
D.，，且，可得，
，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解答即可．
6．体育老师统计了八 (1)班和八 (2)班学生的 1min跳绳次数，并绘制成如图的箱线图.下列说法正确的是 (　　)
1min跳绳次数
A．八 (1)班 1min跳绳次数更集中
B．1min跳绳次数最小值出现在八 (2)班
C．两个班级 1min跳绳次数的中位数相等
D．八 (2)班 1min跳绳次数整体比八 (1)班好
【答案】D
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中，
在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为，
∵，
∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误；
B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值，
对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152，
∵，
∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误；
C项：箱线图中，中间的线代表中位数，
对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172，
∵，
∴两个班的中位数不相等，故C错误；
D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高，
对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数，
∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据箱线图的构成，逐项判断解答即可．
7．北方的冬天已经迎来了冬雪.为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道 (如图阴影部分为通道)，保留了 3块积雪活动区.已知矩形空地的长为 20m，宽为 15m，通道面积是整个矩形空地面积的 56%.若设通道的宽为 x m，则根据题意可得方程(　　)
A．(20-2x)(15-2x)=15×20×56%
B．(20-2x)(15-2x)=15×20×(1-56%)
C．(20-4x)(15-2x)=15×20×56%
D．(20-4x)(15-2x)=15×20×(1-56%)
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设通道的宽为，根据题意，得，
故选：D．
【分析】通道的宽为，得到矩形空地的长为(20-4x)m，宽为(15-2x)m，根据矩形的面积公式列方程解答即可．
8．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
由折叠可得∠ADB=∠BDF，
∴∠DBC=∠BDF，
又∠DFC=40°，
∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°，
又∵∠ABD=48°，
∴△ABD中，∠A=180°-20°-48°=112°，
∴∠E=∠A=112°，
故选：B．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ADB=∠DBC，利用折叠的性质可得∠ADB=∠BDF=∠DBC，然后根据三角形的外角求出∠BDF=∠DBC=∠DFC=20°，根据三角形的内角和定理求出∠A解答即可．
9．有两个关于 x的一元二次方程：M： 下列四个结论中，错误的是(　　)
A．如果方程 M有两个不相等的实数根，那么方程 N也有两个不相等的实数根
B．如果方程 M的两根符号异号，那么方程 N的两根符号也异号
C．如果 5 是方程 M的一个根，那么 是方程 N的一个根
D．如果方程 M和方程 N有一个相同的根，那么这个根必定是 x=1
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：选项A：∵方程有两个不相等的实数根，
∴
方程的判别式，
∴方程也有两个不相等的实数根，A结论正确，不符合题意．
选项B：∵方程两根符号异号，
∴由根与系数的关系得两根之积，即．
方程两根之积为，由得，
∴方程的两根符号也异号，B结论正确，不符合题意．
选项C：∵是方程的一个根，
∴代入得．
两边同时除以得，，
∴满足方程，即是方程的一个根，C结论正确，不符合题意．
选项D：设是方程和相同的根，
则，整理得
若，可得，解得，即相同根可以是或；若，则两个方程完全相同，所有根都相同．
因此这个根不一定是，D结论错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断A选项；根据根与系数的关系判断C选项；根据方程解的定义判断C，D选项解答即可．
10．如图，BD为 ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于点 E，BF⊥CD于点 F，DE、BF相交于点 H，直线 BF 交线段 AD 延长线于点 G，下列结论：①∠A=∠BHE；②∠BHD=∠BDG；③BE2+BG2=AG2；④若EH=2HD，则 其中正确的结论有(　　)
A．①②③④ B．①④ C．①③④ D．①②④
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD ，∠A=∠C ， BC∥AD∵DE⊥BC ， BF⊥CD ，
∴∠EBH +∠BHE =90°，∠C+∠EBH =90°，
∴∠C =∠BHE ，
∴∠A =∠BHE ，故①正确；
∵∠DBC =45°， BC∥AD ，
∴∠BDA =45°，
∴∠BDG =135°，
∵∠DBC =45°，
∴∠EBH <45°，
∴∠BHD =∠BEH +∠EBH <135°，
∴∠BHD <∠BDG ，故②错误；
∵AB∥CD ， BF⊥CD ，
∴BF⊥AB ，
∴△ABG 是直角三角形，
∵AB =CD ， BE =DE ， CD >DE ，
∴AB >BE ，
故③错误；
在△BEH 和△DEC中，
∴△BEH≌△DEC ，
∴EH =CE ，
∵EH =2HD ，
故④正确，
故选：B．
【分析】根据平行四边形性质和垂直定义可得∠EBH +∠BHE =90°，∠C+∠EBH =90°，∠A=∠C，然后用互余性质可判断①；通过条件易得BDA =45°，可计算∠BDG=135°，然后计算∠BHD=∠BEH +∠EBH<135°，可判断②；根据条件易证得△ABG 是直角三角形，然后判断AB 和BE的大小关系即可判断③；通过条件可证明△BEH≌△DEC ，可得EH =CE，又因为EH =2HD ，可得到 然后表示平行四边形ABCD 的面积即可判断.
二、填空题：本题共 6小题，每小题 3分，共 18分．
11．一个多边形的内角和是外角和的 5倍多 180°，则这个多边形的边数为　 　.
【答案】13
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
根据题意列方程得：，
解得．
故答案为：13.
【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和定理及多边形的外角和为列方程求出n的值解答即可．
12．数据 5， 8， 5， 4， 6， 7， 8， 8， 3， 6的离差平方和是　 　 ，方差是　 　.
【答案】28；2.8
【知识点】方差；离差平方和
【解析】【解答】数据，，，，，，，，，的平均数是，
离差平方和是；
方差是．
故答案为：28；2.8.
【分析】先计算平均数，然后根据利差平方和和方差的定义计算即可.
13．如图，大坝横截面的迎水坡 AD的坡比为 4：3，背水坡 BC的坡比为 2：5，已知迎水坡 AD=50m，坝顶宽 CD=15m，则坝底 AB为　 　 m.
【答案】145
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设，
∵迎水坡的坡比为，
∴，
∴，
由勾股定理得，即，
，
解得或（负值舍去），
∴，
四边形为矩形，
∴，
∵背水坡的坡比为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设，根据迎水坡坡比的定义得到AE=3x，利用勾股定理求出的值，然后根据背水坡的坡比求出FB的长，根据线段的和差解答即可．
14．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD， ∠OAB=75°，若CD恰好经过点A，且OC⊥OB， OA=4，则AB=　 　.
【答案】
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：OA=OC、∠C= ∠OAB=75°、∠AOB=∠COD，
∴∠OAC =∠C =75°，
∴∠AOC =180°-75° -75° = 30°，
∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∴∠AOB = ∠COB - ∠AOC = 90°-30° =60°，
∴∠B = 180° - ∠OAB- ∠AOB = 180° - 75°-60°=45°，
如图，作AF⊥OB于点F，
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，OA=4，
∴∠OAF = 90°-60° = 30°，
∴OF=，
∴AF=，
在Rt△ABF中，∠B=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB=.
故答案为： .
【分析】首先根据旋转的性质可得出OA=OC、∠C= ∠OAB=75°、∠AOB=∠COD，进而可得出∠AOB = 60°，∠B =45°，作AF⊥OB于点F，根据含30° 锐角的直角三角形的性质可得出AF=，进而在Rt△ABF中，∠B=45°，可得出AB=.
15．将关于 x的一元二次方程 变形为 就可将 x2表示为关于 x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知 可用“降次法”求得 x4-3x+2016的值是　 　.
【答案】2018
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
．
【分析】根据题意，将化为，然后代入代数式，降次求值即可．
16．如图所示，平行四边形 ABCD中，点E、F分别是 BC、CD的中点，∠EAF=60°，AE=3， AF=6， 则 AD的长是　 　.
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长交的延长线于M，过点E作于N，
∵E为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴；
∵点F为的中点，
∴；
在中，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交的延长线于M，过点E作于N，利用平行四边形的性质，根据ASA得到，即可求得，然后得到是等边三角形，求出，根据30°的直角三角形的性质得到，再根据勾股定理求出；根据线段的和差得到，即可求出，在Rt△CEN中利用勾股定理求出的长解答即可．
三、解答题：本题共 8小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除法运算，然后化为最简二次根式解答即可；
（2）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后加减解答即可．
18．选择合适的方法解一元二次方程.
（1）(x-4)2=2(x-4)；
（2）3x2-4x+1=0.
【答案】（1）解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，然后提取公因式(x-4)分解因式解一元二次方程即可；
（2）利用十字相乘法因式分解解一元二次方程即可．
19．如图，在 6×6网格中，每个小正方形的边长都是 1，每个顶点称为格点.线段 AB的端点都在格点上.按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上.
（1）如图 1，画与 AB关于点 O的中心对称的图形；
（2）如图 2，画一个以 AB为边，且面积为 12的平行四边形；
（3）如图 3，画一个以 AB为对角线，且面积为 9的平行四边形.
【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图，四边形ABCD即为所作；
（3）解：如图，四边形ACBD即为所作.
【知识点】作图﹣旋转；平行四边形的面积；作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（1）作出点A，B关于点O的对称点A'，B'，然后连接A'B'即可；
（2）以为边，作底边为4的平行四边形即可；
（3）以为对角线，作底边为3的平行四边形即可．
20．在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量.绘制成不完整的扇形统计图(图 1)和条形统计图(图 2)，其中条形统计图被墨汁污染了一部分.
（1）条形统计图中被墨汁污染的人数为　 　人.
（2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数；
（3）随后又补查了 m名学生，若已知他们在本学期阅读量都是 10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求 m的最大值.
【答案】（1）4
（2）解：由统计图可得平均数为（本），
被调查同学阅读量的平均数为8.7本，
该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本，
阅读量的中位数为（本）
（3）解：原来阅读量的众数为9本，
，
解得：，
为正整数，
的最大值为3.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：（人），
（人），
即条形统计图中被墨汁污染的人数为4人；
故答案为：4.
【分析】（1）由根据读9本课外读物的人数除以占比求出抽查的总人数，然后用总人数减去其它组的人数求出读10本课外读物的人数即可；
（2）根据加权平均数公式及中位数的定义解答即可；
（3）先确定原来阅读量的众数为9本，再根据题意列不等式解答即可．
21．已知关于 x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求实数 k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2，且满足 求 k的值.
【答案】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
且，
解得，
的取值范围为且；
（2）解：由根与系数的关系得，，，
，
即，
解得或，
经检验，，都是原分式方程的解，
由（1）可得，且
．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据方程根的情况得到k≠0且，求出k的取值范围解答即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式变形得到，然后整体代入求出k的值检验解答即可．
22．如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°， E， F分别是 BC， AC的中点，延长 BA到点 D，使 连结 DE， DF， DE交 AF于点 P.
（1）求证： AP=FP；
（2）若 BC=10，求 DF的长.
【答案】（1）证明：连接 EF， AE.
∵点 E， F分别为 BC， AC的中点，
又：
∴EF=AD.
又∵EF||AD，
∴四边形 AEFD是平行四边形.
∴AF与 DE互相平分，
∴AP=FP；
（2）解：在 Rt△ABC中，
∵E为 BC的中点， BC=10，
又∵四边形 AEFD是平行四边形，
∴DF=AE=5.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接、，根据三角形的中位线定理得到EF∥AB，EF=AD，即可证明结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质求出AE长，然后根据平行四边形的对边相等解答即可．
23．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元．
（1）求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率．
（2）经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．
①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为 ▲ 元，实际能租出 ▲ 辆车．（均用含的代数式表示）
②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益＝总租金-各类费用）
【答案】（1）解：设平均增长率为x，则
(舍) .
∴平均增长率为20%
（2）①
②
(舍) ，
∴每辆汽车的日租金上涨70元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为( 元， 实际能租出( 辆车，
故答案为：
【分析】(1)设平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
(2)①根据题意列出代数式即可；
②利用日收益=总租金-各类费用，可列出一元二次方程，解之即可得出结论.
24．如图，在平行四边形 ABCD中， ∠BAC=90°， ∠B=60°， AB=12cm.动点 P从点 A出发沿 AD以 2cm/s速度向终点 D运动，同时点 Q从点 C出发，以 8cm/s速度沿射线 CB运动，当点 P到达终点时，点 Q也随之停止运动，设点 P 运动的时间为 t秒.
（1）请问是否存在 t的值，使得 A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形 若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由；
（2）请问是否存在 t的值，使得 PQ⊥BC 若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点 P关于直线 AQ对称的点恰好落在直线 AB上，则 t=　 　.
【答案】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；
如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得；
如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
（2）解：存在，使得
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图所示，设交于点O，
由题意得，，
同理可得，
∴同理可得，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）或
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为，
由对称性可得，
∴是等边三角形，
∴，
由（2）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点，
∵，
∴由轴对称的性质可得，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或．
故答案为：或 ．
【分析】（1）分为点在点左侧，点在点右侧时，根据平行四边形的对边相等列方程解答即可；
（2）求出，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AC长，设交于点O，求出OC和OA的长，根据线段的和差列方程求出t的值即可；
（3）当在点左侧时，得到△ABQ是等边三角形，根据30°的直角三角形的性质得到CQ=，求出t的值；当点在点右侧时，根据轴对称的性质和平行线的性质得到，即可得到，求出t的值解答即可．
1 / 1浙江省杭州市杭州中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷
一、选择题：本题共 10小题，每小题 3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列人工智能App图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列二次根式的计算中，正确的是 (　　)
A． B．
C． D．
3．用配方法解方程 配方后可得 (　　)
A． B． C． D．
4．对于命题“如果 a>b>0， 那么 ”用反证法证明，应假设 (　　)
A． B． C． D．
5．下列给出的条件中，能判定四边形 ABCD是平行四边形的是 (　　)
A．∠A： ∠B： ∠C： ∠D=1： 1： 2： 2
B．AB=AD， CB=CD
C．AB=CD， AD=BC
D．∠B=∠C， ∠A=∠D
6．体育老师统计了八 (1)班和八 (2)班学生的 1min跳绳次数，并绘制成如图的箱线图.下列说法正确的是 (　　)
1min跳绳次数
A．八 (1)班 1min跳绳次数更集中
B．1min跳绳次数最小值出现在八 (2)班
C．两个班级 1min跳绳次数的中位数相等
D．八 (2)班 1min跳绳次数整体比八 (1)班好
7．北方的冬天已经迎来了冬雪.为了方便通行，同学们将教学楼前的矩形空地清扫出宽度相同的通道 (如图阴影部分为通道)，保留了 3块积雪活动区.已知矩形空地的长为 20m，宽为 15m，通道面积是整个矩形空地面积的 56%.若设通道的宽为 x m，则根据题意可得方程(　　)
A．(20-2x)(15-2x)=15×20×56%
B．(20-2x)(15-2x)=15×20×(1-56%)
C．(20-4x)(15-2x)=15×20×56%
D．(20-4x)(15-2x)=15×20×(1-56%)
8．如图，将 ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在点E处，交BC于点F，若∠ABD=48°，∠CFD=40°，则∠E为　　
A． B． C． D．
9．有两个关于 x的一元二次方程：M： 下列四个结论中，错误的是(　　)
A．如果方程 M有两个不相等的实数根，那么方程 N也有两个不相等的实数根
B．如果方程 M的两根符号异号，那么方程 N的两根符号也异号
C．如果 5 是方程 M的一个根，那么 是方程 N的一个根
D．如果方程 M和方程 N有一个相同的根，那么这个根必定是 x=1
10．如图，BD为 ABCD的对角线，∠DBC=45°，DE⊥BC于点 E，BF⊥CD于点 F，DE、BF相交于点 H，直线 BF 交线段 AD 延长线于点 G，下列结论：①∠A=∠BHE；②∠BHD=∠BDG；③BE2+BG2=AG2；④若EH=2HD，则 其中正确的结论有(　　)
A．①②③④ B．①④ C．①③④ D．①②④
二、填空题：本题共 6小题，每小题 3分，共 18分．
11．一个多边形的内角和是外角和的 5倍多 180°，则这个多边形的边数为　 　.
12．数据 5， 8， 5， 4， 6， 7， 8， 8， 3， 6的离差平方和是　 　 ，方差是　 　.
13．如图，大坝横截面的迎水坡 AD的坡比为 4：3，背水坡 BC的坡比为 2：5，已知迎水坡 AD=50m，坝顶宽 CD=15m，则坝底 AB为　 　 m.
14．如图，将△AOB绕点O逆时针旋转得到△COD， ∠OAB=75°，若CD恰好经过点A，且OC⊥OB， OA=4，则AB=　 　.
15．将关于 x的一元二次方程 变形为 就可将 x2表示为关于 x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我们称这样的方法为“降次法”，已知 可用“降次法”求得 x4-3x+2016的值是　 　.
16．如图所示，平行四边形 ABCD中，点E、F分别是 BC、CD的中点，∠EAF=60°，AE=3， AF=6， 则 AD的长是　 　.
三、解答题：本题共 8小题，共 72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．计算：
（1）
（2）
18．选择合适的方法解一元二次方程.
（1）(x-4)2=2(x-4)；
（2）3x2-4x+1=0.
19．如图，在 6×6网格中，每个小正方形的边长都是 1，每个顶点称为格点.线段 AB的端点都在格点上.按下列要求作图，使所画图形的顶点均在格点上.
（1）如图 1，画与 AB关于点 O的中心对称的图形；
（2）如图 2，画一个以 AB为边，且面积为 12的平行四边形；
（3）如图 3，画一个以 AB为对角线，且面积为 9的平行四边形.
20．在“书香进校园”读书活动中，为了解学生课外读物的阅读情况，随机调查了部分学生的课外阅读量.绘制成不完整的扇形统计图(图 1)和条形统计图(图 2)，其中条形统计图被墨汁污染了一部分.
（1）条形统计图中被墨汁污染的人数为　 　人.
（2）求被抽查到的学生课外阅读量的平均数和中位数；
（3）随后又补查了 m名学生，若已知他们在本学期阅读量都是 10本，将这些数据和之前的数据合并后，发现阅读量的众数没改变，求 m的最大值.
21．已知关于 x的一元二次方程 有两个不相等的实数根.
（1）求实数 k的取值范围；
（2）设方程的两个实数根分别为 x1，x2，且满足 求 k的值.
22．如图，在 Rt△ABC中， ∠BAC=90°， E， F分别是 BC， AC的中点，延长 BA到点 D，使 连结 DE， DF， DE交 AF于点 P.
（1）求证： AP=FP；
（2）若 BC=10，求 DF的长.
23．某汽车租赁公司共有300辆可供出租的某款汽车，2022年每辆汽车的日租金为100元，到2024年每辆汽车的日租金上涨到144元．
（1）求2022年至2024年该款汽车日租金的年平均增长率．
（2）经市场调研发现，从2024年开始，当每辆汽车的日租金定为144元时，汽车可全部租出；日租金每增加1元，就要少租出2辆．
①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为 ▲ 元，实际能租出 ▲ 辆车．（均用含的代数式表示）
②已知该汽车租赁公司每日需为每辆租出的汽车支付各类费用34元，每辆未租出的汽车支付各类费用10元．当每辆汽车的日租金上涨多少元时，该租赁公司的日收益可达27400元？（日收益＝总租金-各类费用）
24．如图，在平行四边形 ABCD中， ∠BAC=90°， ∠B=60°， AB=12cm.动点 P从点 A出发沿 AD以 2cm/s速度向终点 D运动，同时点 Q从点 C出发，以 8cm/s速度沿射线 CB运动，当点 P到达终点时，点 Q也随之停止运动，设点 P 运动的时间为 t秒.
（1）请问是否存在 t的值，使得 A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形 若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由；
（2）请问是否存在 t的值，使得 PQ⊥BC 若存在，求出 t的值；若不存在，请说明理由；
（3）若点 P关于直线 AQ对称的点恰好落在直线 AB上，则 t=　 　.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意；
C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意；
D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意；
故选：B．
【分析】根据中心对称图形的定义“绕一点旋转180°后能够和自身重合的图形是中心对称图形”逐项判断解答即可．
2．【答案】D
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：对选项A，，A错误．
对选项B，与不是同类二次根式，不能合并，结果不等于，B错误．
对选项C，二次根式的被开方数必须为非负数，和无意义，正确运算为，C错误．
对选项D，，符合二次根式的除法法则，D正确．
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的加法、减法、除法法则和被开方数的非负性，逐项判断解答即可．
3．【答案】C
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，
∴，
配方得，
即 ．
故选：C．
【分析】利用移项，添加一次项系数一半的平方，将方程左边写成完全平方形式解答即可．
4．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：由反证法可知，应假设．
故答案为：D.
【分析】反证法的第一步假设结论的否定成立，再由此推出矛盾，据此解答即可．
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A.，则，，
，，
，但，
与不平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
B.，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意；
C.，，两组对边分别相等，可以判定四边形为平行四边形，故本项符合题意；
D.，，且，可得，
，只有一组对边平行，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断解答即可．
6．【答案】D
【知识点】箱线图
【解析】【解答】解：A项：箱线图中，数据的“集中程度”看箱体的宽度，箱体越窄，数据越集中，
在八（1）班和八（2）班中，1班的箱体宽度为，2班的箱体宽度为，
∵，
∴八（2）班跳绳次数更集中，故A错误；
B项：箱线图中，最下端点是数据的最小值，
对比1班和2班的最下端点，1班最下端点是136，2班最下端点是152，
∵，
∴1班的最小值更小，而非2班，故B错误；
C项：箱线图中，中间的线代表中位数，
对比1班和2班的中位数，1班中位数是165，2班中位数是172，
∵，
∴两个班的中位数不相等，故C错误；
D项：判断“整体水平”可看中位数，中位数代表数据的中间水平，中位数越高，整体水平越高，
对比1班和2班的中位数，明显2班的中位数高于1班的中位数，
∴2班的跳绳次数整体比1班的好，故D正确．
故答案为：D.
【分析】根据箱线图的构成，逐项判断解答即可．
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设通道的宽为，根据题意，得，
故选：D．
【分析】通道的宽为，得到矩形空地的长为(20-4x)m，宽为(15-2x)m，根据矩形的面积公式列方程解答即可．
8．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
由折叠可得∠ADB=∠BDF，
∴∠DBC=∠BDF，
又∠DFC=40°，
∴∠DBC=∠BDF=∠ADB=20°，
又∵∠ABD=48°，
∴△ABD中，∠A=180°-20°-48°=112°，
∴∠E=∠A=112°，
故选：B．
【分析】根据平行四边形的性质得到∠ADB=∠DBC，利用折叠的性质可得∠ADB=∠BDF=∠DBC，然后根据三角形的外角求出∠BDF=∠DBC=∠DFC=20°，根据三角形的内角和定理求出∠A解答即可．
9．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：选项A：∵方程有两个不相等的实数根，
∴
方程的判别式，
∴方程也有两个不相等的实数根，A结论正确，不符合题意．
选项B：∵方程两根符号异号，
∴由根与系数的关系得两根之积，即．
方程两根之积为，由得，
∴方程的两根符号也异号，B结论正确，不符合题意．
选项C：∵是方程的一个根，
∴代入得．
两边同时除以得，，
∴满足方程，即是方程的一个根，C结论正确，不符合题意．
选项D：设是方程和相同的根，
则，整理得
若，可得，解得，即相同根可以是或；若，则两个方程完全相同，所有根都相同．
因此这个根不一定是，D结论错误，符合题意．
故答案为：D.
【分析】根据一元二次方程根的判别式判断A选项；根据根与系数的关系判断C选项；根据方程解的定义判断C，D选项解答即可．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-AAS；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD ，∠A=∠C ， BC∥AD∵DE⊥BC ， BF⊥CD ，
∴∠EBH +∠BHE =90°，∠C+∠EBH =90°，
∴∠C =∠BHE ，
∴∠A =∠BHE ，故①正确；
∵∠DBC =45°， BC∥AD ，
∴∠BDA =45°，
∴∠BDG =135°，
∵∠DBC =45°，
∴∠EBH <45°，
∴∠BHD =∠BEH +∠EBH <135°，
∴∠BHD <∠BDG ，故②错误；
∵AB∥CD ， BF⊥CD ，
∴BF⊥AB ，
∴△ABG 是直角三角形，
∵AB =CD ， BE =DE ， CD >DE ，
∴AB >BE ，
故③错误；
在△BEH 和△DEC中，
∴△BEH≌△DEC ，
∴EH =CE ，
∵EH =2HD ，
故④正确，
故选：B．
【分析】根据平行四边形性质和垂直定义可得∠EBH +∠BHE =90°，∠C+∠EBH =90°，∠A=∠C，然后用互余性质可判断①；通过条件易得BDA =45°，可计算∠BDG=135°，然后计算∠BHD=∠BEH +∠EBH<135°，可判断②；根据条件易证得△ABG 是直角三角形，然后判断AB 和BE的大小关系即可判断③；通过条件可证明△BEH≌△DEC ，可得EH =CE，又因为EH =2HD ，可得到 然后表示平行四边形ABCD 的面积即可判断.
11．【答案】13
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为，
根据题意列方程得：，
解得．
故答案为：13.
【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和定理及多边形的外角和为列方程求出n的值解答即可．
12．【答案】28；2.8
【知识点】方差；离差平方和
【解析】【解答】数据，，，，，，，，，的平均数是，
离差平方和是；
方差是．
故答案为：28；2.8.
【分析】先计算平均数，然后根据利差平方和和方差的定义计算即可.
13．【答案】145
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：设，
∵迎水坡的坡比为，
∴，
∴，
由勾股定理得，即，
，
解得或（负值舍去），
∴，
四边形为矩形，
∴，
∵背水坡的坡比为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】设，根据迎水坡坡比的定义得到AE=3x，利用勾股定理求出的值，然后根据背水坡的坡比求出FB的长，根据线段的和差解答即可．
14．【答案】
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：OA=OC、∠C= ∠OAB=75°、∠AOB=∠COD，
∴∠OAC =∠C =75°，
∴∠AOC =180°-75° -75° = 30°，
∵OC⊥AB，
∴∠COB=90°，
∴∠AOB = ∠COB - ∠AOC = 90°-30° =60°，
∴∠B = 180° - ∠OAB- ∠AOB = 180° - 75°-60°=45°，
如图，作AF⊥OB于点F，
在Rt△AOF中，∠AOF=60°，OA=4，
∴∠OAF = 90°-60° = 30°，
∴OF=，
∴AF=，
在Rt△ABF中，∠B=45°，
∴△ABF是等腰直角三角形，
∴AB=.
故答案为： .
【分析】首先根据旋转的性质可得出OA=OC、∠C= ∠OAB=75°、∠AOB=∠COD，进而可得出∠AOB = 60°，∠B =45°，作AF⊥OB于点F，根据含30° 锐角的直角三角形的性质可得出AF=，进而在Rt△ABF中，∠B=45°，可得出AB=.
15．【答案】2018
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
．
【分析】根据题意，将化为，然后代入代数式，降次求值即可．
16．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：延长交的延长线于M，过点E作于N，
∵E为的中点，
∴，
∵四边形是平行四边形，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，
∴是等边三角形，
∴；
∵点F为的中点，
∴；
在中，，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】延长交的延长线于M，过点E作于N，利用平行四边形的性质，根据ASA得到，即可求得，然后得到是等边三角形，求出，根据30°的直角三角形的性质得到，再根据勾股定理求出；根据线段的和差得到，即可求出，在Rt△CEN中利用勾股定理求出的长解答即可．
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）根据二次根式的乘除法运算，然后化为最简二次根式解答即可；
（2）先根据平方差公式、完全平方公式展开，然后加减解答即可．
18．【答案】（1）解：，
移项得：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，；
（2）解：，
因式分解得：，
∴或，
解得：，．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先移项，然后提取公因式(x-4)分解因式解一元二次方程即可；
（2）利用十字相乘法因式分解解一元二次方程即可．
19．【答案】（1）解：如图所示：即为所求；
（2）解：如图，四边形ABCD即为所作；
（3）解：如图，四边形ACBD即为所作.
【知识点】作图﹣旋转；平行四边形的面积；作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（1）作出点A，B关于点O的对称点A'，B'，然后连接A'B'即可；
（2）以为边，作底边为4的平行四边形即可；
（3）以为对角线，作底边为3的平行四边形即可．
20．【答案】（1）4
（2）解：由统计图可得平均数为（本），
被调查同学阅读量的平均数为8.7本，
该部分学生阅读量从小到大排序后第10个和第11个均为9本，
阅读量的中位数为（本）
（3）解：原来阅读量的众数为9本，
，
解得：，
为正整数，
的最大值为3.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；加权平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】（1）解：（人），
（人），
即条形统计图中被墨汁污染的人数为4人；
故答案为：4.
【分析】（1）由根据读9本课外读物的人数除以占比求出抽查的总人数，然后用总人数减去其它组的人数求出读10本课外读物的人数即可；
（2）根据加权平均数公式及中位数的定义解答即可；
（3）先确定原来阅读量的众数为9本，再根据题意列不等式解答即可．
21．【答案】（1）解：方程有两个不相等的实数根，
且，
解得，
的取值范围为且；
（2）解：由根与系数的关系得，，，
，
即，
解得或，
经检验，，都是原分式方程的解，
由（1）可得，且
．
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据方程根的情况得到k≠0且，求出k的取值范围解答即可；
（2）根据根与系数的关系得到，，然后根据完全平方公式变形得到，然后整体代入求出k的值检验解答即可．
22．【答案】（1）证明：连接 EF， AE.
∵点 E， F分别为 BC， AC的中点，
又：
∴EF=AD.
又∵EF||AD，
∴四边形 AEFD是平行四边形.
∴AF与 DE互相平分，
∴AP=FP；
（2）解：在 Rt△ABC中，
∵E为 BC的中点， BC=10，
又∵四边形 AEFD是平行四边形，
∴DF=AE=5.
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）连接、，根据三角形的中位线定理得到EF∥AB，EF=AD，即可证明结论；
（2）根据直角三角形斜边上的中线性质求出AE长，然后根据平行四边形的对边相等解答即可．
23．【答案】（1）解：设平均增长率为x，则
(舍) .
∴平均增长率为20%
（2）①
②
(舍) ，
∴每辆汽车的日租金上涨70元
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：（2）①设在每辆汽车日租金144元的基础上，上涨了x元，则每辆汽车的日租金为( 元， 实际能租出( 辆车，
故答案为：
【分析】(1)设平均增长率为x，根据题意列出方程求解即可；
(2)①根据题意列出代数式即可；
②利用日收益=总租金-各类费用，可列出一元二次方程，解之即可得出结论.
24．【答案】（1）解：由题意得，，
∵，，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴和是以、、、为顶点的平行四边形的一组对边；
如图所示，当点在点左侧时，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得；
如图所示，当点在点右侧时，则四边形是平行四边形，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或；
（2）解：存在，使得
∵，，
∴，
∴，
∴；
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴；
如图所示，设交于点O，
由题意得，，
同理可得，
∴同理可得，
∴，
∵，
∴，
解得；
（3）或
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；四边形-动点问题
【解析】【解答】（3）解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴；
如图所示，当点在点左侧时，设点的对应点为，
由对称性可得，
∴是等边三角形，
∴，
由（2）可知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得；
如图所示，当点在点右侧时，设点的对应点为，点为直线上一点，
∵，
∴由轴对称的性质可得，
∵，
∴；
∵，
∴，
∴，
∴，
解得；
综上所述，或．
故答案为：或 ．
【分析】（1）分为点在点左侧，点在点右侧时，根据平行四边形的对边相等列方程解答即可；
（2）求出，根据30°角的直角三角形的性质和勾股定理求出AC长，设交于点O，求出OC和OA的长，根据线段的和差列方程求出t的值即可；
（3）当在点左侧时，得到△ABQ是等边三角形，根据30°的直角三角形的性质得到CQ=，求出t的值；当点在点右侧时，根据轴对称的性质和平行线的性质得到，即可得到，求出t的值解答即可．
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