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湖南长沙外国语学校等校2025-2026学年下学期八年级期中检测试卷数学科目
1．中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，是轴对称图形的为(　　)
A． B． C． D．
2． 2026年3月，中国科学技术大学潘建伟团队依托超导量子计算原型机“祖冲之三号”，首次完成大规模基于测量的量子计算实验验证，制备出史上最大二维簇态，量子相干时间达到0.000085秒.将数据0.000085用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
3．下列根式中，是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
4．下列计算中正确的是(　　)
A． B． C． D．
5．点(3，-3)在正比例函数y= ax(a≠0)的图象上，则a的值为(　　)
A．- 2 B．- 1 C． D．
6．若△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三条边分别为a、b、c，那么，根据下面的条件不能判定△ABC 为直角三角形的是(　　)
A．∠A+∠C=∠B B．∠A：∠B：∠C=5：12：13
C． D．
7．如图，在菱形ABCD中， E、F分别是AC， AB的中点，如果EF=4，那么菱形ABCD的周长为(　　)
A．32 B．24 C．16 D．12
8．正八边形的每一个内角度数为(　　)
A．108° B．120° C．135° D．144°
9．古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文.问绫、罗尺价各几何 ”意思是：7尺绫类丝绸和9尺罗类丝绸的价格相同，3尺绫类丝绸和5尺罗类丝绸的价格一共280文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文 设绫每尺价x文，罗每尺价y文，根据条件可列方程组是(　　)
A． B．
C． D．
10．如图，已知小军的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小军从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家.图中x表示时间，y表示小军离家的距离.依据图中的信息，下列说法正确的是(　　)
A．小军整个行程共走了2.5km
B．体育场离文具店1.5km
C．小军从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．小军从文具店回家的平均速度是60m/min
11．在函数 中自变量x的取值范围是　 　.
12．分解因式： 　 　.
13．已知一次函数y=(3-m)x+1，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为　 　.
14．如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， D是边BC上一点， P是AD的中点.若AC的垂直平分线经过点D， DC=8cm，则BP为　 　.
15．若，则的值为　 　．
16．如图，矩形纸片ABCD的长与宽比值为 ，将纸片ABCD沿AE、GE折叠，使得点B的对应点 F在线段AD上，点C的对应点H在线段EF上，则 的值为　 　.
17．计算：
18．先化简，再求值 其中
19．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随机抽取部分学生参加了数学文化知识竞赛，得到数据如下(说明：竞赛成绩均取整数，用x表示)；
【收集数据】72， 82， 73， 88， 89， 70， 70， 80， 80， 88， 95， 76， 82， 85， 86， 88， 89， 92， 92， 98
【整理数据】
分数 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
频数 a 11 　
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题，
（1）填空； a=　 　；
（2）此调查的样本容量为　 　；
（3）若该校八年级学生共有1000人，请估计该校数学文化知识为“优秀”(x≥90)的学生有多少人
20．如图， ABCD的对角线AC， BD相交于点O，且E， F分别是OA， OC的中点，连接DE，DF， BE， BF.
（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形；
（2）若∠CBD=90°， AC=16， BD=10，求BC的长.
21．已知，一次函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点A(1， 4)和B(-1， 2).
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）画出这个一次函数的图象；
（3）一次函数的图象与x轴交于点C，点P为x轴上的一个动点，若△ACP的面积为12，求点 P的坐标.
22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD∥BC，AB∥DC，BD平分∠ABC.
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，若CH=3， AB=5，求AC的长.
23． 2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚。某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱。已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等。
（1）求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元
（2）该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案 请将购买方案列举出来。
24．对于关于x的一次函数y= kx+b(k≠0)，我们定义其“关联函数”为y'= kx-b.对于两个关于x的一次函数y1和y2，我们称 为“强关联函数”.
例如：若 则其“关联函数”为 其“关联函数”为 因此“强关联函数” y=(2x-5)+(-x-3)=x-8.
（1）已知一次函数 求“强关联函数”的解析式；
（2）已知一次函数 它们的“强关联函数”为y，当-1≤x≤2时， 3≤y≤9，求k的值；
（3）已知一次函数 它们的“强关联函数”图象与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，当 且b≥k>0时，求 △AOB面积的最小值.
25．在正方形ABCD中，点E、F、G分别是BC、CD和AB边上的点，连接AE、FG，且AE⊥FG于点H.
（1）如图1，点G与点B重合，即AE⊥BF，求证： AE=BF；
（2）如图2，连接EF、EG、AF，若点E为BC中点，四边形AGEF的面积为10，求正方形ABCD的边长；
（3）如图3，在(2)的结论下，将正方形ABCD沿GF翻折，点C的对应点C'为AD中点，BC的对应边B'C'交AB边于点Q，连接CC'，交GF于点H，连接CQ，交GF于点 M，求GM的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B .
【分析】一个图形沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，据此逐项判断解答即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：选项A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式；
选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项C、，被开方数不含能开尽方的因数，是最简二次根式；
选项D、 ，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式；
故答案为：C .
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数不含能开方的因数或因式，且不含分母的二次根式是最简二次根式”逐项判断即可．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A，合并同类项时，字母和指数不变，系数相加，，∴A错误；
选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴B错误；
选项C，根据完全平方公式，，∴C错误；
选项D，根据幂的乘方与积的乘方法则，，∴D正确．
故答案为：D .
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则拽你个判断解答即可.
5．【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵点在正比例函数的图象上，
∴，解得．
故答案为：B .
【分析】把点代入解析式求出a的值即可．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A． ∵，，∴，得，∴是直角三角形，此项不符合题意；
B． ∵，，总份数为，∴，，，∴没有直角，不是直角三角形，此项符合题意；
C． ∵，∴，，∴，是直角三角形，此项不符合题意；
D． ∵，∴，∴是直角三角形，此项不符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，逐项判断解答即可．
7．【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别是的中点，，
是的中位线，
，
在菱形中，，
则菱形的周长为．
故答案为：A .
【分析】根据三角形的中位线定理求出，利用菱形性质解答即可．
8．【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是，
故答案为：C .
【分析】根据多边形内角和公式解答即可．
9．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设绫每尺价文，罗每尺价文，
根据题意得，
故答案为：C .
【分析】设绫每尺价文，罗每尺价文，根据题意列方程组即可．
10．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可知，林茂从家到体育场跑了，选项错误，不符合题意；
B、体育场离文具店，选项错误，不符合题意；
C、林茂从体育场出发到文具店的路程为：，用了，平均速度是，选项错误，不符合题意；
D、林茂从文具店回家，路程为：，用了，平均速度是，选项正确，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据函数图象提取相关信息，逐项判断解答即可．
11．【答案】x>8
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：分式中分母不能为，被开方数不能小于0．
，
，
故答案为：
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数是非负数解答即可.
12．【答案】4(m+2)(m-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：4(m+2)(m-2) .
【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可．
13．【答案】m>3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数，且y的值随x值的增大而减小，
∴，
解得：．
故答案为： .
【分析】根据一次函数的增减性得到，求出m的取值范围即可．
14．【答案】4cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D在的垂直平分线上，
∴.
∵，点P是的中点，
∴.
故答案为：4．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC=8，再利用直角三角形斜边上的中线性质解答即可.
15．【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题得到，然后代入分式计算即可．
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：设 ，
矩形的长与宽比值为，
，
由折叠的性质知，，
、、，
四边形是矩形 ，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
、，
，
由折叠的性质可知：，
、、，
，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
点在线段上，
，
．
故答案为： .
【分析】设，根据矩题意得出，根据折叠性质得到为正方形，即可求出和的长，然后得到四边形为正方形，求出和的长，进而求出比值解答即可．
17．【答案】解：原式
=-2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算零次幂，二次根式的化简、负整数次幂、绝对值，然后合并同类二次根式即可.
18．【答案】解：原式：
当 时，原式=0.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据单项式乘以多项式、完全平方公式展开，然后合并化简，再代入x和y的值解答即可.
19．【答案】（1）5
（2）20
（3）解：(人)，
答：估计该校数学文化知识为“优秀”(x≥90)的学生有200人.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由收集数据可知，；
故答案为：5；
（2）解：由收集数据可知，此调查的样本容量为20，
故答案为：20；
【分析】（1）找出数据在70≤x<80范围的个数即可求出的值；
（2）根据收集的数据个数解答即可；
（3）用总人数乘样本中数学文化知识为“优秀” 的学生占比解答即可．
20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OA=OC， OB=OD，
∵E， F分别是OA， OC的中点
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形.
（2）解：∵∠CBD=90°， AC=16， BD=10，
在Rt△OBC中， ∠OBC=90°，
由勾股定理得
∴BC的长是
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，然后根据线段中点可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论即可；
（2）根据平行四边形的性质得到的长，再根据勾股定理解答即可．
21．【答案】（1）解：由题意，可得
解得
∴该一次函数的解析式是y=x+3；
（2）解：画出函数图象，如图所示：
（3）解：当y=0时， x+3=0，解得x=-3，
∴C(-3，0)
解得， CP=6
∵C(-3，0)， ∴P(3，0)或P(-9，0)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；描点法画函数图象；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）先描点，再连线画出一次函数图象即可；
（3）先求出直线与x轴的交点C的坐标，然后根据三角形的面积公式求出CP长解答即可．
22．【答案】（1）证明：∵AD∥BC， AB∥DC
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴四边形 ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD， DC=AB=5，
∵DH⊥BC于点H，
∴∠DHC=90°，
在Rt△DHC中， ∠DHC=90°，
由勾股定理得
在Rt△DHB中， ∠DHB=90°，
由勾股定理得
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先得到ABCD 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，利用等角对等边得到；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明结论即可；
（2）根据菱形的性质可得，然后根据勾股定理求出DH和BD长，再利用菱形的面积求出AC长解答即可．
23．【答案】（1）解：设每枚岳麓山纪念徽章的进价为x元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价(x+5)元，由题意可得，
解得x=10，
检验，当x=10 时， x(x+5)≠0，所以，原分式方程的解是x=10，
每个橘子洲纪念钥匙扣的进价是：10+5=15 (元)
答：每枚岳麓山纪念徽章的进价10元，每个橘子洲纪念钥匙扣的进价是15元
（2）解：设购买了a枚岳麓山纪念徽章，则购买了(50-a)个橘子洲纪念钥匙扣，由题意可得，
解得23≤a≤25，
∵a为整数，
∴a=23，24，25，
∴有三种购买方案：
方案一：购买23枚岳麓山纪念徽章，27个橘子洲纪念钥匙扣；
方案二：购买24枚岳麓山纪念徽章，26个橘子洲纪念钥匙扣；
方案三：购买25枚岳麓山纪念徽章，25个橘子洲纪念钥匙扣.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每枚岳麓山纪念徽章的进价为元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价为元，根据“ 用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等 ”，列分式方程求出x的值并检验解答即可；
（2）设购进橘子洲纪念钥匙扣件，则购进岳麓山纪念徽章件，根据“ 橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元 ”列不等式组，求出m的正整数解得到方案即可．
24．【答案】（1）解：由题意得
，
（2）解：由题意得
∴y=kx-2+x+2b=(k+1)+2b-2，
又∵当-1≤x≤2时， 3≤x≤9
①当k+1>0时，y随x的增大而增大
解得
得到y=2x+5
②当k+1<0时，得到y随x的增大而减小
解得
得到y=-2x+7
综上所述，k的值为1或-3
（3）解：由题意得
∵它们的“强关联函数”图象与x轴、y轴的交点分别为A、B两点
B(0，b)
又∵
由b≥k>0可得， 解得b≥2
∴当b=2时， S△AOB取最小值为1
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）求出两个一次函数的“关联函数”，再根据“强关联函数”的定义解答即可；
（2）分别求出两个一次函数的“关联函数”，得到“强关联函数”的解析式，分为和两种情况，利用函数的增减性求出k和b的值解答即可；
（3）先求出一次函数的关联函数，再求出“强关联函数”的解析式为，然后求出直线与x轴，y轴的交点坐标，根据面积公式求出，利用求出，即可得到，根据b的取值范围得到面积的最小值．
25．【答案】（1）证明：∵BF⊥AE
∴∠BAE+∠ABF=90°
∵∠CBF+∠ABF=90°
∴∠BAE=∠CBF①
又∵AB=CB②，
∠ABE=∠BCF=90°③
∴△BAE≌△CBF(ASA)
∴AE=BF
（2）解：如图2，过点G作GQ⊥CD于点Q
∵GF⊥AE
∴∠BAE+∠AGF=90°
∵∠QGF+∠AGF=90°
∴∠BAE=∠QGF
在△BAE和△QGF中
∴△BAE≌△QGF(ASA)
∴AE=GF，
∵四边形AGEF 的面积为10
∵点E为BC中点
设BE=x，则 AB=2x
在 Rt△ABE中，
解得x=2
∴边长AB=2x=4
（3）解：由(2)得， AD=CD=4
∵点C'为AD中点
∵折叠
∴GF为C'C的垂直平分线
设C'F=x，则CF=C'F=x， DF=CD-CF=4-x
在 Rt△C'DF中，
即 解得
在C'Q上截取CN=C'D ，连接CN，
∵AD∥BC
∴∠DC'C=∠BCC'
∵折叠
∴∠QC'C=∠BCC'
∴∠DC'C=∠QC'C
在△DC'C和△NC'C中
∴△DC'C≌△NC'C(SAS)
∴CN=CD， ∠C'NC=∠D=90°， ∠1=∠2
∵CB=CD
∴CB=CN
在Rt△BCQ和Rt△NCQ中
∴Rt△BCQ≌Rt△NCQ(HL)
∴∠3=∠4
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°
∴∠C'CQ=∠2+∠3=45°
∵GF为C'C的垂直平分线
∴GF⊥C'C
∴△CHM 为等腰直角三角形
又由(2)得
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行四边形的面积；十字架模型
【解析】【分析】（1）根据统计奥德余角相等得到∠BAE=∠CBF，然后根据正方形的性质，利用ASA得到两三角形全等即可．
（2），过点G作GQ⊥CD于点Q，根据正方形的性质，利用ASA得到△BAE≌△QGF，即可得到AE=GF，然后求出正方形的边长，利用勾股定理求出BE长解答即可．
（3）根据勾股定理求出C'C的长然后根据折叠的性质得到C'H=CH，再在Rt△C'DF中根据勾股定理求出C'F和HF长，在C'Q上截取CN=C'D ，连接CN，依次证明△DC'C≌△NC'C，Rt△BCQ≌Rt△NCQ进而求出∠C'CQ的度数，即可得到△CHM 为等腰直角三角形，再根据线段的和差解答即可．
1 / 1湖南长沙外国语学校等校2025-2026学年下学期八年级期中检测试卷数学科目
1．中华文明，源远流长：中华汉字，寓意深广.下列四个选项中，是轴对称图形的为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意．
故答案为：B .
【分析】一个图形沿着一条直线折叠，两旁的部分能够互相重合的图形是轴对称图形，据此逐项判断解答即可.
2． 2026年3月，中国科学技术大学潘建伟团队依托超导量子计算原型机“祖冲之三号”，首次完成大规模基于测量的量子计算实验验证，制备出史上最大二维簇态，量子相干时间达到0.000085秒.将数据0.000085用科学记数法表示为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B .
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
3．下列根式中，是最简二次根式的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简二次根式
【解析】【解答】解：选项A、，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式；
选项B、，被开方数含分母，不是最简二次根式；
选项C、，被开方数不含能开尽方的因数，是最简二次根式；
选项D、 ，被开方数含能开尽方的因数，不是最简二次根式；
故答案为：C .
【分析】根据最简二次根式的定义“被开方数不含能开方的因数或因式，且不含分母的二次根式是最简二次根式”逐项判断即可．
4．下列计算中正确的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：选项A，合并同类项时，字母和指数不变，系数相加，，∴A错误；
选项B，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，∴B错误；
选项C，根据完全平方公式，，∴C错误；
选项D，根据幂的乘方与积的乘方法则，，∴D正确．
故答案为：D .
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、完全平方公式、幂的乘方法则拽你个判断解答即可.
5．点(3，-3)在正比例函数y= ax(a≠0)的图象上，则a的值为(　　)
A．- 2 B．- 1 C． D．
【答案】B
【知识点】正比例函数的图象和性质
【解析】【解答】解：∵点在正比例函数的图象上，
∴，解得．
故答案为：B .
【分析】把点代入解析式求出a的值即可．
6．若△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三条边分别为a、b、c，那么，根据下面的条件不能判定△ABC 为直角三角形的是(　　)
A．∠A+∠C=∠B B．∠A：∠B：∠C=5：12：13
C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A． ∵，，∴，得，∴是直角三角形，此项不符合题意；
B． ∵，，总份数为，∴，，，∴没有直角，不是直角三角形，此项符合题意；
C． ∵，∴，，∴，是直角三角形，此项不符合题意；
D． ∵，∴，∴是直角三角形，此项不符合题意．
故答案为：B .
【分析】根据三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，逐项判断解答即可．
7．如图，在菱形ABCD中， E、F分别是AC， AB的中点，如果EF=4，那么菱形ABCD的周长为(　　)
A．32 B．24 C．16 D．12
【答案】A
【知识点】菱形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵E、F分别是的中点，，
是的中位线，
，
在菱形中，，
则菱形的周长为．
故答案为：A .
【分析】根据三角形的中位线定理求出，利用菱形性质解答即可．
8．正八边形的每一个内角度数为(　　)
A．108° B．120° C．135° D．144°
【答案】C
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：由题意得，正八边形的每一个内角的度数是，
故答案为：C .
【分析】根据多边形内角和公式解答即可．
9．古题今解：“今有绫七尺、罗九尺，共价适等；但绫三尺、罗五尺，共价二百八十文.问绫、罗尺价各几何 ”意思是：7尺绫类丝绸和9尺罗类丝绸的价格相同，3尺绫类丝绸和5尺罗类丝绸的价格一共280文，问这两类丝绸每尺的价格各是多少文 设绫每尺价x文，罗每尺价y文，根据条件可列方程组是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设绫每尺价文，罗每尺价文，
根据题意得，
故答案为：C .
【分析】设绫每尺价文，罗每尺价文，根据题意列方程组即可．
10．如图，已知小军的家、体育场、文具店在同一直线上，图中的信息反映的过程是：小军从家跑步去体育场，在体育场锻炼了一阵后又走到文具店买笔，然后再走回家.图中x表示时间，y表示小军离家的距离.依据图中的信息，下列说法正确的是(　　)
A．小军整个行程共走了2.5km
B．体育场离文具店1.5km
C．小军从体育场出发到文具店的平均速度是50m/min
D．小军从文具店回家的平均速度是60m/min
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可知，林茂从家到体育场跑了，选项错误，不符合题意；
B、体育场离文具店，选项错误，不符合题意；
C、林茂从体育场出发到文具店的路程为：，用了，平均速度是，选项错误，不符合题意；
D、林茂从文具店回家，路程为：，用了，平均速度是，选项正确，符合题意；
故答案为：D .
【分析】根据函数图象提取相关信息，逐项判断解答即可．
11．在函数 中自变量x的取值范围是　 　.
【答案】x>8
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：分式中分母不能为，被开方数不能小于0．
，
，
故答案为：
【分析】根据分式的分母不为0，二次根式的被开方数是非负数解答即可.
12．分解因式： 　 　.
【答案】4(m+2)(m-2)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：4(m+2)(m-2) .
【分析】先提取公因式4，再利用平方差公式分解即可．
13．已知一次函数y=(3-m)x+1，且y的值随x值的增大而减小，则m的取值范围为　 　.
【答案】m>3
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数，且y的值随x值的增大而减小，
∴，
解得：．
故答案为： .
【分析】根据一次函数的增减性得到，求出m的取值范围即可．
14．如图，在Rt△ABC中， ∠ABC=90°， D是边BC上一点， P是AD的中点.若AC的垂直平分线经过点D， DC=8cm，则BP为　 　.
【答案】4cm
【知识点】线段垂直平分线的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点D在的垂直平分线上，
∴.
∵，点P是的中点，
∴.
故答案为：4．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得DA=DC=8，再利用直角三角形斜边上的中线性质解答即可.
15．若，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】分式的值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题得到，然后代入分式计算即可．
16．如图，矩形纸片ABCD的长与宽比值为 ，将纸片ABCD沿AE、GE折叠，使得点B的对应点 F在线段AD上，点C的对应点H在线段EF上，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；矩形翻折模型
【解析】【解答】解：设 ，
矩形的长与宽比值为，
，
由折叠的性质知，，
、、，
四边形是矩形 ，
，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
、，
，
由折叠的性质可知：，
、、，
，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
，
点在线段上，
，
．
故答案为： .
【分析】设，根据矩题意得出，根据折叠性质得到为正方形，即可求出和的长，然后得到四边形为正方形，求出和的长，进而求出比值解答即可．
17．计算：
【答案】解：原式
=-2.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算零次幂，二次根式的化简、负整数次幂、绝对值，然后合并同类二次根式即可.
18．先化简，再求值 其中
【答案】解：原式：
当 时，原式=0.
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】先根据单项式乘以多项式、完全平方公式展开，然后合并化简，再代入x和y的值解答即可.
19．某校为了解学生数学文化知识掌握的情况，从该校八年级学生中随机抽取部分学生参加了数学文化知识竞赛，得到数据如下(说明：竞赛成绩均取整数，用x表示)；
【收集数据】72， 82， 73， 88， 89， 70， 70， 80， 80， 88， 95， 76， 82， 85， 86， 88， 89， 92， 92， 98
【整理数据】
分数 70≤x<80 80≤x<90 90≤x≤100
频数 a 11 　
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题，
（1）填空； a=　 　；
（2）此调查的样本容量为　 　；
（3）若该校八年级学生共有1000人，请估计该校数学文化知识为“优秀”(x≥90)的学生有多少人
【答案】（1）5
（2）20
（3）解：(人)，
答：估计该校数学文化知识为“优秀”(x≥90)的学生有200人.
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布表；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由收集数据可知，；
故答案为：5；
（2）解：由收集数据可知，此调查的样本容量为20，
故答案为：20；
【分析】（1）找出数据在70≤x<80范围的个数即可求出的值；
（2）根据收集的数据个数解答即可；
（3）用总人数乘样本中数学文化知识为“优秀” 的学生占比解答即可．
20．如图， ABCD的对角线AC， BD相交于点O，且E， F分别是OA， OC的中点，连接DE，DF， BE， BF.
（1）求证：四边形 DEBF 是平行四边形；
（2）若∠CBD=90°， AC=16， BD=10，求BC的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD交于点O，
∴OA=OC， OB=OD，
∵E， F分别是OA， OC的中点
∴OE=OF，
又∵OB=OD，
∴四边形DEBF是平行四边形.
（2）解：∵∠CBD=90°， AC=16， BD=10，
在Rt△OBC中， ∠OBC=90°，
由勾股定理得
∴BC的长是
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，然后根据线段中点可得，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明结论即可；
（2）根据平行四边形的性质得到的长，再根据勾股定理解答即可．
21．已知，一次函数y= kx+b(k≠0)的图象经过点A(1， 4)和B(-1， 2).
（1）求这个一次函数的解析式；
（2）画出这个一次函数的图象；
（3）一次函数的图象与x轴交于点C，点P为x轴上的一个动点，若△ACP的面积为12，求点 P的坐标.
【答案】（1）解：由题意，可得
解得
∴该一次函数的解析式是y=x+3；
（2）解：画出函数图象，如图所示：
（3）解：当y=0时， x+3=0，解得x=-3，
∴C(-3，0)
解得， CP=6
∵C(-3，0)， ∴P(3，0)或P(-9，0)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；描点法画函数图象；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）先描点，再连线画出一次函数图象即可；
（3）先求出直线与x轴的交点C的坐标，然后根据三角形的面积公式求出CP长解答即可．
22．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AD∥BC，AB∥DC，BD平分∠ABC.
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）过点D作DH⊥BC于点H，若CH=3， AB=5，求AC的长.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC， AB∥DC
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC，
∴∠ADB=∠ABD，
∴AB=AD，
∴四边形 ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD 是菱形，
∴AC⊥BD， DC=AB=5，
∵DH⊥BC于点H，
∴∠DHC=90°，
在Rt△DHC中， ∠DHC=90°，
由勾股定理得
在Rt△DHB中， ∠DHB=90°，
由勾股定理得
【知识点】角平分线的性质；勾股定理；菱形的判定与性质；平行四边形的面积；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先得到ABCD 是平行四边形，再根据平行线的性质和角平分线的定义得到，利用等角对等边得到；根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明结论即可；
（2）根据菱形的性质可得，然后根据勾股定理求出DH和BD长，再利用菱形的面积求出AC长解答即可．
23． 2026年清明假期，长沙岳麓山、橘子洲等各大景区游客量大幅攀升，文旅氛围浓厚。某商家抢抓文旅机遇，购进岳麓山纪念徽章和橘子洲纪念钥匙扣两款特色文创，深受游客及本地学生喜爱。已知每个橘子洲纪念钥匙扣的进价比每枚岳麓山纪念徽章贵5元，且用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等。
（1）求每枚岳麓山纪念徽章和每个橘子洲纪念钥匙扣的进价各是多少元
（2）该商家计划购进两种文创产品共50件，要求橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元，则有哪几种购买方案 请将购买方案列举出来。
【答案】（1）解：设每枚岳麓山纪念徽章的进价为x元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价(x+5)元，由题意可得，
解得x=10，
检验，当x=10 时， x(x+5)≠0，所以，原分式方程的解是x=10，
每个橘子洲纪念钥匙扣的进价是：10+5=15 (元)
答：每枚岳麓山纪念徽章的进价10元，每个橘子洲纪念钥匙扣的进价是15元
（2）解：设购买了a枚岳麓山纪念徽章，则购买了(50-a)个橘子洲纪念钥匙扣，由题意可得，
解得23≤a≤25，
∵a为整数，
∴a=23，24，25，
∴有三种购买方案：
方案一：购买23枚岳麓山纪念徽章，27个橘子洲纪念钥匙扣；
方案二：购买24枚岳麓山纪念徽章，26个橘子洲纪念钥匙扣；
方案三：购买25枚岳麓山纪念徽章，25个橘子洲纪念钥匙扣.
【知识点】分式方程的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-方案问题
【解析】【分析】（1）设每枚岳麓山纪念徽章的进价为元，则每个橘子洲纪念钥匙扣的进价为元，根据“ 用300元购进岳麓山纪念徽章的数量，与用450元购进橘子洲纪念钥匙扣的数量相等 ”，列分式方程求出x的值并检验解答即可；
（2）设购进橘子洲纪念钥匙扣件，则购进岳麓山纪念徽章件，根据“ 橘子洲纪念钥匙扣的件数不低于25件，且总进货费用不超过635元 ”列不等式组，求出m的正整数解得到方案即可．
24．对于关于x的一次函数y= kx+b(k≠0)，我们定义其“关联函数”为y'= kx-b.对于两个关于x的一次函数y1和y2，我们称 为“强关联函数”.
例如：若 则其“关联函数”为 其“关联函数”为 因此“强关联函数” y=(2x-5)+(-x-3)=x-8.
（1）已知一次函数 求“强关联函数”的解析式；
（2）已知一次函数 它们的“强关联函数”为y，当-1≤x≤2时， 3≤y≤9，求k的值；
（3）已知一次函数 它们的“强关联函数”图象与x轴、y轴的交点分别为A、B两点，当 且b≥k>0时，求 △AOB面积的最小值.
【答案】（1）解：由题意得
，
（2）解：由题意得
∴y=kx-2+x+2b=(k+1)+2b-2，
又∵当-1≤x≤2时， 3≤x≤9
①当k+1>0时，y随x的增大而增大
解得
得到y=2x+5
②当k+1<0时，得到y随x的增大而减小
解得
得到y=-2x+7
综上所述，k的值为1或-3
（3）解：由题意得
∵它们的“强关联函数”图象与x轴、y轴的交点分别为A、B两点
B(0，b)
又∵
由b≥k>0可得， 解得b≥2
∴当b=2时， S△AOB取最小值为1
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）求出两个一次函数的“关联函数”，再根据“强关联函数”的定义解答即可；
（2）分别求出两个一次函数的“关联函数”，得到“强关联函数”的解析式，分为和两种情况，利用函数的增减性求出k和b的值解答即可；
（3）先求出一次函数的关联函数，再求出“强关联函数”的解析式为，然后求出直线与x轴，y轴的交点坐标，根据面积公式求出，利用求出，即可得到，根据b的取值范围得到面积的最小值．
25．在正方形ABCD中，点E、F、G分别是BC、CD和AB边上的点，连接AE、FG，且AE⊥FG于点H.
（1）如图1，点G与点B重合，即AE⊥BF，求证： AE=BF；
（2）如图2，连接EF、EG、AF，若点E为BC中点，四边形AGEF的面积为10，求正方形ABCD的边长；
（3）如图3，在(2)的结论下，将正方形ABCD沿GF翻折，点C的对应点C'为AD中点，BC的对应边B'C'交AB边于点Q，连接CC'，交GF于点H，连接CQ，交GF于点 M，求GM的长.
【答案】（1）证明：∵BF⊥AE
∴∠BAE+∠ABF=90°
∵∠CBF+∠ABF=90°
∴∠BAE=∠CBF①
又∵AB=CB②，
∠ABE=∠BCF=90°③
∴△BAE≌△CBF(ASA)
∴AE=BF
（2）解：如图2，过点G作GQ⊥CD于点Q
∵GF⊥AE
∴∠BAE+∠AGF=90°
∵∠QGF+∠AGF=90°
∴∠BAE=∠QGF
在△BAE和△QGF中
∴△BAE≌△QGF(ASA)
∴AE=GF，
∵四边形AGEF 的面积为10
∵点E为BC中点
设BE=x，则 AB=2x
在 Rt△ABE中，
解得x=2
∴边长AB=2x=4
（3）解：由(2)得， AD=CD=4
∵点C'为AD中点
∵折叠
∴GF为C'C的垂直平分线
设C'F=x，则CF=C'F=x， DF=CD-CF=4-x
在 Rt△C'DF中，
即 解得
在C'Q上截取CN=C'D ，连接CN，
∵AD∥BC
∴∠DC'C=∠BCC'
∵折叠
∴∠QC'C=∠BCC'
∴∠DC'C=∠QC'C
在△DC'C和△NC'C中
∴△DC'C≌△NC'C(SAS)
∴CN=CD， ∠C'NC=∠D=90°， ∠1=∠2
∵CB=CD
∴CB=CN
在Rt△BCQ和Rt△NCQ中
∴Rt△BCQ≌Rt△NCQ(HL)
∴∠3=∠4
∵∠1+∠2+∠3+∠4=90°
∴∠C'CQ=∠2+∠3=45°
∵GF为C'C的垂直平分线
∴GF⊥C'C
∴△CHM 为等腰直角三角形
又由(2)得
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行四边形的面积；十字架模型
【解析】【分析】（1）根据统计奥德余角相等得到∠BAE=∠CBF，然后根据正方形的性质，利用ASA得到两三角形全等即可．
（2），过点G作GQ⊥CD于点Q，根据正方形的性质，利用ASA得到△BAE≌△QGF，即可得到AE=GF，然后求出正方形的边长，利用勾股定理求出BE长解答即可．
（3）根据勾股定理求出C'C的长然后根据折叠的性质得到C'H=CH，再在Rt△C'DF中根据勾股定理求出C'F和HF长，在C'Q上截取CN=C'D ，连接CN，依次证明△DC'C≌△NC'C，Rt△BCQ≌Rt△NCQ进而求出∠C'CQ的度数，即可得到△CHM 为等腰直角三角形，再根据线段的和差解答即可．
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