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湖南省岳阳市湘一南湖学校2026年七年级下学期期中考试数学试题
1．未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考！下列表示计算机视觉交互应用的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在实数 、、、、 中，无理数共有(　　)
A．4 个 B．2 个 C．3 个 D．1 个
3．近几年，我国新能源企业出海规模不断提升，某品牌新能源汽车在2025 年7~12 月的月产量折线统计图如图所示，则下列说法错误的是(　　)
A．从8 月到9 月的月产量增长最快
B．从9~12 月份月产量逐渐增加
C．10 月份和7 月份的产量相同
D．8 月份汽车的月产量最低
4．如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，若箕面AB 与水平地面的夹角，小明将簸箕绕点 顺时针旋转后平放在地面，则箕面AB 绕点 旋转的度数为(　　)
A． B． C． D．
5．下列等式成立的是(　　)
A． B． C． D．
6．如图，，若 的面积是15，则 的面积是(　　)
A．7.5 B．12 C．14 D．15
7．设""""""分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体质量的大小关系为(　　)
A． B． C． D．
8． 2025 年2 月11 日，我国在文昌航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨02 组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国新一代运载火箭家族再添新丁.丞丞有幸观看火箭点火起飞的过程，他想到了所学的数学知识“平移”，他把火箭抽象成几何图形，如图，火箭总长BD 约50.5 米，若起飞过程中B'D 约为85 米，则BD' 的长约是(　　)
A．14 米 B．16 米 C．34.5 米 D．69 米
9．观察下列等式：
；
…
根据以上规律计算 的值是(　　)
A． B． C． D．
10．如图，已知 ，CG 交AB 于点，且 ，GE 平分 ，点 是CD 上的一个定点，点 是GE 所在直线上的一个动点，则点 在运动过程中， 与 的关系不可能是(　　)
A． B．
C． D．
11．若 ，，则 的值为　 　.
12．学校气象小组的同学每两个小时要测量一次气温，为了形象地表示出一天中气温的升降变化情况，应当选用　 　统计图更合适(填“条形”或“折线”或“扇形”).
13．如图， ，， 那么 　 　.
14． 当 　 　时，不等式 是一元一次不等式.
15．观察下表规律，利用规律解答，若，则 　 　.
0.008 8 8000 8000000
0.2 2 20 200
16．规定 ，例如： .已知： ，则 　 　.
17．如图，点 为直线AB 上一点，一副三角板如图摆放，其中 ，，.将直角三角板绕点 旋转一周，当的度数是　 　时，直线MN与直线OC互相平行.
18．一个四位自然数 满足各数位上的数字均不为0，且 ，则称这个四位数为“平衡数”.例如：四位数3591，，3591 是“平衡数”.最大的“平衡数”是　 　；若 是一个“平衡数”，设 ，且 能被8 整除，则满足条件的 的最小值是　 　.
19．计算：
20．如图1， 和 的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”.
（1）在图1 的3×3 正方形网格中，格点 和格点 关于某条直线对称，请画出图1 中的对称轴.
（2）请在图2 中画出 绕点 顺时针旋转后得到的格点 .
21．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500毫升的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A.全部喝完；B.剩约 ；C.剩约一半；D.开瓶但基本未喝.同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）参加这次会议的有　 　人；图②中D 所在扇形的圆心角的度数是　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议总共浪费矿泉水多少毫升
22．老师黑板上出示了题目：“ 取哪些非负整数时，不等式 ① 与 ②都成立 ”并给出了部分解答过程(如图所示)，已知其中"”表示数字，“★”表示不等号.
（1）请根据以上信息判断“”表示的数字是　 　；
（2）请按下面的步骤完成老师出示的题目.
解：解不等式①，得　 　 解不等式②，得　 　 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以不等式组的解集为　 　 所以x 可取的非负整数值为　 　
23．如图，已知 ，，点， 分别在 AB，CD 上，连结 DE，BG，延长 AD 和 BG 交于点.
（1）求证：
（2）若 ，，求 的度数.
24．“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元．
（1）求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？
（2）若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？
25．如图， ，， 的平分线 DF 交 AB 于点， 的平分线BE 交CD 的延长线于点.
（1）若 ，，则 的度数为　 　度；
（2）若 ，试探索 ，， 的数量关系，并说明理由；
（3）在(2)的条件下，若 ，试探究 值是否为定值，若不是请说明理由；若是请直接写出该定值.
26．定义：使方程(组)和不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”.
例：已知方程 与不等式 ，方程的解为 ，使得不等式也成立，则称"”为方程 和不等式 的“梦想解”.
（1） 是方程 和下列不等式　 　的“梦想解”；(填序号)
①
②
③
（2）若关于、 的二元一次方程组 和不等式组 有“梦想解”，且 为整数，求 的值.
（3）若关于 的方程 和关于 的不等式组 有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出 的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A. 沿此直线对折，两边能完全重合，是轴对称图形，故此项正确；
选项B、C、 D均找不到一条直线对折，使得直线两边的图形能完全重合，所以都不是轴对称图形，故此三项均错误；
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：解： ， ，是无理数；
综上所述，无理数共3个.
故答案为：C .
【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可.
3．【答案】A
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：由折线图可以看出：从8月到9月，产量增长了2.7-1.2=1.5(万辆)，从10月到11月，产量增长了5.2-3.6=1.6(万辆)，所以从10月到11月的月产量增长最快，故选项A说法错误，符合题意.
从9~12月份月产量逐渐增加，故选项B说法正确，不符合题意；
10月份和7月份的产量相同，均为3.6万辆，故选项C说法正确，不符合题意；
8月份汽车的月产量最低，故选项D说法正确，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】结合折线图逐个计算分析得结论.
4．【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解： 小明将簸箕绕点A顺时针旋转后平放在地面，
∴箕面AB绕点A旋转的度数为
故答案为：B .
【分析】根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 而非 故不成立；
而非 故不成立；
符合幂的乘方法则，成立；
而非 故不成立；
故答案为：C .
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则逐项判断解答即可.
6．【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵
∴AD与BC间的距离相等，
∴与 等底等高，
∴的面积等于 的面积，
故答案为：D .
【分析】根据平行线间的距离相等，可得两三角形等高，根据两三角形等底等高，可得两三角形面积相等.
7．【答案】A
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：由条件可知 即
由第二个图可知，
故答案为：A .
【分析】通过图一知道 图二知道 进而求出三种物体质量的大小关系.
8．【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：由平移的性质，得B'D'=BD=50.5米，B'D=85米，
(米)，
6(米).
即BD的长约是16米.
故答案为：B .
【分析】根据题意可得B'D'=BD=50.5米，B'D=85米，从而得到B'B=34.5米，即可求解.
9．【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：原式
故答案为：A .
【分析】根据等式得到规律，计算即可解答.
10．【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BGC=∠C=α.
∵GE平分∠BGC，
如图(1)，当点 P 在AB 和CD 之间时，过点 P 作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴MP∥CD，
∴∠MPH=∠PHC=
故 A不符合题意；
当点 P 在AB 上方时，如图(2)，过点 P 作PN∥AB，
故C不符合题意，D符合题意；
当点 P 在CD 下方时，如图(3)，过点 P 作
故 B不符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据平行线的性质得到∠BGC=∠C=α.再根据角平分线的定义得到∠BGE=，分为点 P 在AB 和CD 之间，P 在AB 上方，P 在AB 下方三种情况，过点 P 作 根据平行线的性质解答即可.
11．【答案】21
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：21 .
【分析】利用平方差公式将所求代数式进行因式分解，再代入已知条件计算即可得到结果.
12．【答案】折线
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：根据题意可知，折线统计图的特点是可以清晰反映数据的升降变化，符合题意.
故答案为：折线.
【分析】条形统计图能清晰表示数量的多少，折线统计图可以反映数量的增减变化情况，扇形统计图能表示部分与整体的关系，结合题目需求选择对应统计图即可.
13．【答案】54
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠1=∠2，
∴AE∥CD，
∴∠BAE=∠4=54°，
故答案为：54 .
【分析】根据内错角相等，两直线平行得到AE∥CD，再根据两直线平行，同位角相等解答即可.
14．【答案】2
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：解：因为是一元一次不等式，
所以k-1=1，
所以k=2，
故答案为：2.
【分析】根据一元一次不等式的定义得到k-1=1，求出k的值解答即可.
15．【答案】2.872
【知识点】立方根的性质
【解析】【解答】解：因为23.7=0.0237×1000，
所以
故答案为：2.872 .
【分析】根据立方根的被开方数小数点移动三位，立方根的小数点相应的移动一位解答即可.
16．【答案】10
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：10.
【分析】按照定义的新运算展开整理，即可解答.
17．【答案】75°或105°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】解：当MN在OC右边时，如图，
当MN在OC左边时，如图，
∵MN∥OC，
∴∠M+∠COM=180°，
∵∠M=30°，
∴∠COM=150°，
∵∠DOC=∠C=45°，
∴∠AOM=∠COM-∠DOC=105°；
综上所述，当∠AOM的度数是75°或105°时，直线MN与直线OC互相平行，
故答案为：75°或105° .
【分析】根据MN在OC左边或右边分别画出图形，利用平行线的性质得到 的度数，再求出 的度数即可.
18．【答案】7191；1351
【知识点】整式的加减运算；数的整除性
【解析】【解答】解：∵根据“平衡数”的定义，各数位上的数字均不为0，且a+b=c-d，
∴要取得最大的平衡数，则千位取值尽量大，又∵a+b=c-d， c-d的值最大为8，
∴a+b的值最大为8，
∴当a=9时，不符合题意，
当a=8时，则 b可取0，不符合题意，
当a=7时，b=1，则c=9，d=1，
∴最大的“平衡数”为7191；
是一个“平衡数”，
=1000a+100b+10(a+b+d)+d
=1010a+110b+11d，
=112a+12b+11d，
能被8整除，
∴F(M)-(10b+d)+10a=112a+12b+d-10b-d+10a=122a+2b能被8整除，
能被8整除，
能被4整除，
∵各数位上的数字均不为0，
∴要使M最小，先设a=1，
则61×1+b能被4整除，
∴b最小取3，
∴当d=1时， b=5，
∴满足条件的最小的M值为1351.
故答案为： 7191， 1351.
【分析】根据新定义“平衡数”，仿照示例，可得到最大的“平衡数”是7191，先表示出F(M)，代入到 中，得到61a+b能被4整除，结合题意，得到符合条件的最小“平衡数”.
19．【答案】解：原式 ＝1+4×9+（﹣6）+（﹣2）
＝1+36+（﹣6）+（﹣2）
＝29．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方，算术平方根和立方根，然后运算乘法，最后运算加减解答即可.
20．【答案】（1）解：格点△ABC和格点△DEF关于某条直线对称，如图1，直线l（对角线）即为所求；
（2）解：△ABC绕C点顺时针旋转90°后得到的格点△A'B'C，如图2，即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据轴对称图形的概念可得其对称轴；
(2)根据旋转图形性质，找出A、B绕C点顺时针旋转的对应点，就可得到旋转后的图形.
21．【答案】（1）50；36°
（2）解：C类有50﹣10﹣25﹣5＝10（人），
补全的条形统计图如图所示，
（3）解：（25105×1）×500＝（6.25+5+5）×500
＝16.25×500
＝8125（毫升），
答：这次会议平均每人浪费矿泉8125毫升；
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】解：(1)参加这次会议的人数为 (人)
图2中D所在扇形的圆心角是
故答案为：50，36°；
【分析】(1)由B的人数和所占的百分比可以求出总人数，用360°乘以D所占的百分比即可求出D所在扇形的圆心角的度数，
(2)用总人数减去其它组的人数求出C的人数，即可将条形统计图中补完整；
(3)用总的浪费量除以总人数50就得到平均每人的浪费量，然后乘以本次会议人数计算即可.
22．【答案】（1）6
（2）x＜3；x≤1；x≤1；0和1
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： (1)由①得： x+15>■x，
∴1-■=-5，
★表示<，
∴“■”表示的数字是6，
故答案为：6；
(2)由(1)可知■=6，
解不等式①得：x<3，
由②得： x≤1，
解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为：
∴x可取的非负整数值为0和1.
故答案为：x＜3；x≤1；x≤1；0和1.
【分析】(1)观察解不等式①的过程，根据不等式的基本性质求出■和★即可；
(2)根据(1)中所求■得到①，按照解一元一次不等式的一般步骤，求出①②的解集，并表示在数轴上，从而求出不等式组的解集和非负整数解即可.
23．【答案】（1）证明：AF∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠FDC（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠C，
∴∠FDC＝∠C（等量代换），
∴AF∥BC（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∵AB∥CD，DE∥BF，
∴∠A＝∠FDC，∠F＝∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∵∠A+∠F＝110°，
∴∠FDC+∠ADE＝110°，
∵∠FDC+∠EDG+∠ADE＝180°，
∴∠EDG＝70°．
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质，可知同位角 代换可得 利用内错角相等两直线平行即可证明；
(2)根据平行线的性质可知 再利用平角定义求解即可.
24．【答案】（1）解：设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元．
（2）解：设超市采购甲种稻花香大米m千克，
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，根据题意列方程组，求出x和y的值解答即可；
（2）设超市采购甲种稻花香大米m千克，根据“ 采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克， 采购费用不多于18000元”列不等式求出m的最大值解答即可．
（1）解：设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元．
（2）解：设超市采购甲种稻花香大米m千克，
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克．
25．【答案】（1）60
（2）∠BDC=2∠EBN+∠DGB， 理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD =180°，∠BAC=∠DCQ，∵∠DGB+∠DCA= 180°，
∴∠DGB=∠CAB，
∴DG∥CP，
∴∠CDG =∠DCQ，
∴∠CDG=∠CAB=∠DGB，
∵MN || PQ，
∴DG || MN，
∴∠DBN =∠BDG，
∵BE平分∠DBN，
∴∠BDG =∠DBN = 2∠EBN，
∴∠BDC=∠BDG+∠CDG=2∠EBN+∠DGB；
（3）解：是定值，
∴2．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解： ∵MN|| PQ，
∴∠ABN = 180°—∠BAC = 150°，
∵BD⊥CD， AB∥CD，
∴BD⊥AB，∠BDC =∠BDE=90°
∴∠ABD =90°，∴∠NBD =∠ABN ∠ABD =60°
∵BE平分∠DBN，
∴∠E = 180°-∠DBE-∠BDE=60°；
故答案为：60；
（2）解： ，且∠
∵DF平分
【分析】（1）MN || PQ， 得到∠ABN = 180°-∠BAC =150°， BD⊥CD， AB∥CD， 得到BD⊥AB，∠BDC =∠BDE= 90°， 角的和差关系得到∠NBD=60°，角平分线得到∠ 再利用三角形的内角和定理，求解即可；
（2）先证明DG‖CP，得到∠CDG =∠CAB=∠DGB，得到DG∥MN，得到∠DBN=∠BDG，BE平分∠DBN， 得到∠BDG=∠DBN=2∠EBN，即可得出结论；
（3）根据(2)的结论以及已知条件，分别求出∠BED，∠FDG，进而求出 的值即可.
26．【答案】（1）③
（2）解：解方程组
得：，
∴x﹣y＝2m+7，
∵解是不等式组的“梦想解”，
∴﹣5＜2m+7＜1，
∴﹣6＜m＜﹣3，
∵m为整数，
∴m为﹣5或﹣4；
（3）1＜n
【知识点】不等式组和一元一次方程的综合应用；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】（1）解：①解不等式得x>2，故x不是不等式得“ 梦想解 ”；
②解不等式 得x<-1，故x不是不等式 得“ 梦想解 ”；
③解不等式 得x<2，故x是是不等式 得“ 梦想解 ”；
故答案为：③；
（2）解：解方程x﹣4＝﹣3n得：x＝4﹣3n，解不等式组得：n﹣1≤x＜5，
∵所有正整数“梦想解”的和为10，
∴正整数“梦想解”为1，2，3，4，
∴0＜n﹣1≤1，
解得1＜n≤2．
∴n﹣1≤4﹣3n＜5，
∴n，
∴1＜n．
故答案为：1＜n．
【分析】（1）分别解不等式求出解集，然后根据“梦想解”的定义逐项判断解答即可；
（2）解方程组求出x，y的值，然后表示x-y的值，即可得到﹣5＜2m+7＜1，求出正数m的取值范围即可；
（3）解方程求出x的值，根据所有正整数“梦想解”的和为10得到0＜n﹣1≤1，再根据n﹣1≤4﹣3n＜5，求出n的取值范围解答即可.
1 / 1湖南省岳阳市湘一南湖学校2026年七年级下学期期中考试数学试题
1．未来计算机发展方向是让计算机能看、能听、能说、会思考！下列表示计算机视觉交互应用的图标中，文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A. 沿此直线对折，两边能完全重合，是轴对称图形，故此项正确；
选项B、C、 D均找不到一条直线对折，使得直线两边的图形能完全重合，所以都不是轴对称图形，故此三项均错误；
故答案为：A．
【分析】利用轴对称图形的定义（如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）逐项分析判断即可.
2．在实数 、、、、 中，无理数共有(　　)
A．4 个 B．2 个 C．3 个 D．1 个
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：解： ， ，是无理数；
综上所述，无理数共3个.
故答案为：C .
【分析】根据无理数是无限不循环小数解答即可.
3．近几年，我国新能源企业出海规模不断提升，某品牌新能源汽车在2025 年7~12 月的月产量折线统计图如图所示，则下列说法错误的是(　　)
A．从8 月到9 月的月产量增长最快
B．从9~12 月份月产量逐渐增加
C．10 月份和7 月份的产量相同
D．8 月份汽车的月产量最低
【答案】A
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：由折线图可以看出：从8月到9月，产量增长了2.7-1.2=1.5(万辆)，从10月到11月，产量增长了5.2-3.6=1.6(万辆)，所以从10月到11月的月产量增长最快，故选项A说法错误，符合题意.
从9~12月份月产量逐渐增加，故选项B说法正确，不符合题意；
10月份和7月份的产量相同，均为3.6万辆，故选项C说法正确，不符合题意；
8月份汽车的月产量最低，故选项D说法正确，不符合题意；
故答案为：A .
【分析】结合折线图逐个计算分析得结论.
4．如图，教室内地面有个倾斜的簸箕，若箕面AB 与水平地面的夹角，小明将簸箕绕点 顺时针旋转后平放在地面，则箕面AB 绕点 旋转的度数为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；旋转的性质
【解析】【解答】解： 小明将簸箕绕点A顺时针旋转后平放在地面，
∴箕面AB绕点A旋转的度数为
故答案为：B .
【分析】根据旋转的性质和平角的定义计算即可得出答案.
5．下列等式成立的是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： 而非 故不成立；
而非 故不成立；
符合幂的乘方法则，成立；
而非 故不成立；
故答案为：C .
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方运算法则逐项判断解答即可.
6．如图，，若 的面积是15，则 的面积是(　　)
A．7.5 B．12 C．14 D．15
【答案】D
【知识点】平行线之间的距离；三角形的面积
【解析】【解答】解：∵
∴AD与BC间的距离相等，
∴与 等底等高，
∴的面积等于 的面积，
故答案为：D .
【分析】根据平行线间的距离相等，可得两三角形等高，根据两三角形等底等高，可得两三角形面积相等.
7．设""""""分别表示三种不同的物体，用天平比较它们质量的大小，情况如图，那么这三种物体质量的大小关系为(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用等式的性质解一元一次方程；不等式的性质的实际应用
【解析】【解答】解：由条件可知 即
由第二个图可知，
故答案为：A .
【分析】通过图一知道 图二知道 进而求出三种物体质量的大小关系.
8． 2025 年2 月11 日，我国在文昌航天发射场使用长征八号甲运载火箭，成功将卫星互联网低轨02 组卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功，标志着我国新一代运载火箭家族再添新丁.丞丞有幸观看火箭点火起飞的过程，他想到了所学的数学知识“平移”，他把火箭抽象成几何图形，如图，火箭总长BD 约50.5 米，若起飞过程中B'D 约为85 米，则BD' 的长约是(　　)
A．14 米 B．16 米 C．34.5 米 D．69 米
【答案】B
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：由平移的性质，得B'D'=BD=50.5米，B'D=85米，
(米)，
6(米).
即BD的长约是16米.
故答案为：B .
【分析】根据题意可得B'D'=BD=50.5米，B'D=85米，从而得到B'B=34.5米，即可求解.
9．观察下列等式：
；
…
根据以上规律计算 的值是(　　)
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】探索数与式的规律；探索规律-等式类规律
【解析】【解答】解：原式
故答案为：A .
【分析】根据等式得到规律，计算即可解答.
10．如图，已知 ，CG 交AB 于点，且 ，GE 平分 ，点 是CD 上的一个定点，点 是GE 所在直线上的一个动点，则点 在运动过程中， 与 的关系不可能是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度；平行公理的推论；分类讨论
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∴∠BGC=∠C=α.
∵GE平分∠BGC，
如图(1)，当点 P 在AB 和CD 之间时，过点 P 作PM∥AB，
∵AB∥CD，
∴MP∥CD，
∴∠MPH=∠PHC=
故 A不符合题意；
当点 P 在AB 上方时，如图(2)，过点 P 作PN∥AB，
故C不符合题意，D符合题意；
当点 P 在CD 下方时，如图(3)，过点 P 作
故 B不符合题意.
故答案为：D .
【分析】根据平行线的性质得到∠BGC=∠C=α.再根据角平分线的定义得到∠BGE=，分为点 P 在AB 和CD 之间，P 在AB 上方，P 在AB 下方三种情况，过点 P 作 根据平行线的性质解答即可.
11．若 ，，则 的值为　 　.
【答案】21
【知识点】因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：21 .
【分析】利用平方差公式将所求代数式进行因式分解，再代入已知条件计算即可得到结果.
12．学校气象小组的同学每两个小时要测量一次气温，为了形象地表示出一天中气温的升降变化情况，应当选用　 　统计图更合适(填“条形”或“折线”或“扇形”).
【答案】折线
【知识点】统计图的选择
【解析】【解答】解：根据题意可知，折线统计图的特点是可以清晰反映数据的升降变化，符合题意.
故答案为：折线.
【分析】条形统计图能清晰表示数量的多少，折线统计图可以反映数量的增减变化情况，扇形统计图能表示部分与整体的关系，结合题目需求选择对应统计图即可.
13．如图， ，， 那么 　 　.
【答案】54
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠1=∠2，
∴AE∥CD，
∴∠BAE=∠4=54°，
故答案为：54 .
【分析】根据内错角相等，两直线平行得到AE∥CD，再根据两直线平行，同位角相等解答即可.
14． 当 　 　时，不等式 是一元一次不等式.
【答案】2
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：解：因为是一元一次不等式，
所以k-1=1，
所以k=2，
故答案为：2.
【分析】根据一元一次不等式的定义得到k-1=1，求出k的值解答即可.
15．观察下表规律，利用规律解答，若，则 　 　.
0.008 8 8000 8000000
0.2 2 20 200
【答案】2.872
【知识点】立方根的性质
【解析】【解答】解：因为23.7=0.0237×1000，
所以
故答案为：2.872 .
【分析】根据立方根的被开方数小数点移动三位，立方根的小数点相应的移动一位解答即可.
16．规定 ，例如： .已知： ，则 　 　.
【答案】10
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：10.
【分析】按照定义的新运算展开整理，即可解答.
17．如图，点 为直线AB 上一点，一副三角板如图摆放，其中 ，，.将直角三角板绕点 旋转一周，当的度数是　 　时，直线MN与直线OC互相平行.
【答案】75°或105°
【知识点】平行线的应用-三角尺问题；分类讨论
【解析】【解答】解：当MN在OC右边时，如图，
当MN在OC左边时，如图，
∵MN∥OC，
∴∠M+∠COM=180°，
∵∠M=30°，
∴∠COM=150°，
∵∠DOC=∠C=45°，
∴∠AOM=∠COM-∠DOC=105°；
综上所述，当∠AOM的度数是75°或105°时，直线MN与直线OC互相平行，
故答案为：75°或105° .
【分析】根据MN在OC左边或右边分别画出图形，利用平行线的性质得到 的度数，再求出 的度数即可.
18．一个四位自然数 满足各数位上的数字均不为0，且 ，则称这个四位数为“平衡数”.例如：四位数3591，，3591 是“平衡数”.最大的“平衡数”是　 　；若 是一个“平衡数”，设 ，且 能被8 整除，则满足条件的 的最小值是　 　.
【答案】7191；1351
【知识点】整式的加减运算；数的整除性
【解析】【解答】解：∵根据“平衡数”的定义，各数位上的数字均不为0，且a+b=c-d，
∴要取得最大的平衡数，则千位取值尽量大，又∵a+b=c-d， c-d的值最大为8，
∴a+b的值最大为8，
∴当a=9时，不符合题意，
当a=8时，则 b可取0，不符合题意，
当a=7时，b=1，则c=9，d=1，
∴最大的“平衡数”为7191；
是一个“平衡数”，
=1000a+100b+10(a+b+d)+d
=1010a+110b+11d，
=112a+12b+11d，
能被8整除，
∴F(M)-(10b+d)+10a=112a+12b+d-10b-d+10a=122a+2b能被8整除，
能被8整除，
能被4整除，
∵各数位上的数字均不为0，
∴要使M最小，先设a=1，
则61×1+b能被4整除，
∴b最小取3，
∴当d=1时， b=5，
∴满足条件的最小的M值为1351.
故答案为： 7191， 1351.
【分析】根据新定义“平衡数”，仿照示例，可得到最大的“平衡数”是7191，先表示出F(M)，代入到 中，得到61a+b能被4整除，结合题意，得到符合条件的最小“平衡数”.
19．计算：
【答案】解：原式 ＝1+4×9+（﹣6）+（﹣2）
＝1+36+（﹣6）+（﹣2）
＝29．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运算乘方，算术平方根和立方根，然后运算乘法，最后运算加减解答即可.
20．如图1， 和 的顶点都在正方形网格中小正方形的顶点上，我们把这样的三角形叫作“格点三角形”.
（1）在图1 的3×3 正方形网格中，格点 和格点 关于某条直线对称，请画出图1 中的对称轴.
（2）请在图2 中画出 绕点 顺时针旋转后得到的格点 .
【答案】（1）解：格点△ABC和格点△DEF关于某条直线对称，如图1，直线l（对角线）即为所求；
（2）解：△ABC绕C点顺时针旋转90°后得到的格点△A'B'C，如图2，即为所求．
【知识点】作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)根据轴对称图形的概念可得其对称轴；
(2)根据旋转图形性质，找出A、B绕C点顺时针旋转的对应点，就可得到旋转后的图形.
21．生活中很多矿泉水没有喝完便被扔掉，造成极大的浪费，为此数学兴趣小组的同学对某单位的某次会议所用矿泉水的浪费情况进行调查，为期半天的会议中，每人发一瓶500毫升的矿泉水，会后对所发矿泉水喝的情况进行统计，大致可分为四种：A.全部喝完；B.剩约 ；C.剩约一半；D.开瓶但基本未喝.同学们根据统计结果绘制如下两个统计图，根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）参加这次会议的有　 　人；图②中D 所在扇形的圆心角的度数是　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）若开瓶但基本未喝算全部浪费，试计算这次会议总共浪费矿泉水多少毫升
【答案】（1）50；36°
（2）解：C类有50﹣10﹣25﹣5＝10（人），
补全的条形统计图如图所示，
（3）解：（25105×1）×500＝（6.25+5+5）×500
＝16.25×500
＝8125（毫升），
答：这次会议平均每人浪费矿泉8125毫升；
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本平均数估计总体平均数
【解析】【解答】解：(1)参加这次会议的人数为 (人)
图2中D所在扇形的圆心角是
故答案为：50，36°；
【分析】(1)由B的人数和所占的百分比可以求出总人数，用360°乘以D所占的百分比即可求出D所在扇形的圆心角的度数，
(2)用总人数减去其它组的人数求出C的人数，即可将条形统计图中补完整；
(3)用总的浪费量除以总人数50就得到平均每人的浪费量，然后乘以本次会议人数计算即可.
22．老师黑板上出示了题目：“ 取哪些非负整数时，不等式 ① 与 ②都成立 ”并给出了部分解答过程(如图所示)，已知其中"”表示数字，“★”表示不等号.
（1）请根据以上信息判断“”表示的数字是　 　；
（2）请按下面的步骤完成老师出示的题目.
解：解不等式①，得　 　 解不等式②，得　 　 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 所以不等式组的解集为　 　 所以x 可取的非负整数值为　 　
【答案】（1）6
（2）x＜3；x≤1；x≤1；0和1
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解： (1)由①得： x+15>■x，
∴1-■=-5，
★表示<，
∴“■”表示的数字是6，
故答案为：6；
(2)由(1)可知■=6，
解不等式①得：x<3，
由②得： x≤1，
解集在数轴上表示为：
∴不等式组的解集为：
∴x可取的非负整数值为0和1.
故答案为：x＜3；x≤1；x≤1；0和1.
【分析】(1)观察解不等式①的过程，根据不等式的基本性质求出■和★即可；
(2)根据(1)中所求■得到①，按照解一元一次不等式的一般步骤，求出①②的解集，并表示在数轴上，从而求出不等式组的解集和非负整数解即可.
23．如图，已知 ，，点， 分别在 AB，CD 上，连结 DE，BG，延长 AD 和 BG 交于点.
（1）求证：
（2）若 ，，求 的度数.
【答案】（1）证明：AF∥BC，理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠FDC（两直线平行，同位角相等），
∵∠A＝∠C，
∴∠FDC＝∠C（等量代换），
∴AF∥BC（内错角相等，两直线平行）；
（2）解：∵AB∥CD，DE∥BF，
∴∠A＝∠FDC，∠F＝∠ADE（两直线平行，同位角相等），
∵∠A+∠F＝110°，
∴∠FDC+∠ADE＝110°，
∵∠FDC+∠EDG+∠ADE＝180°，
∴∠EDG＝70°．
【知识点】内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)根据平行线的性质，可知同位角 代换可得 利用内错角相等两直线平行即可证明；
(2)根据平行线的性质可知 再利用平角定义求解即可.
24．“稻花香里说丰年，听取蛙声一片”桓仁稻花香大米粒似珍珠，晶莹剔透，米饭闻之清香扑鼻，口感柔软劲道，是餐桌上的佳品．某超市决定采购甲、乙两种稻花香大米，已知购买甲种稻花香大米2千克和乙种稻花香大米1千克共需56元；购买甲种稻花香大米1千克和乙种稻花香大米2千克共需要52元．
（1）求甲、乙两种稻花香大米每千克采购价分别是多少元？
（2）若该超市准备采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克，并且采购费用不多于18000元，则超市最多采购甲种稻花香大米多少千克？
【答案】（1）解：设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元．
（2）解：设超市采购甲种稻花香大米m千克，
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，根据题意列方程组，求出x和y的值解答即可；
（2）设超市采购甲种稻花香大米m千克，根据“ 采购甲、乙两种稻花香大米共1000千克， 采购费用不多于18000元”列不等式求出m的最大值解答即可．
（1）解：设甲种类型稻花香大米采购价每千克x元，乙种类型稻花香大米采购价每千克y元，
依题意得：，
解得：．
答：甲种类型稻花香大米采购价每千克20元，乙种类型稻花香大米采购价每千克16元．
（2）解：设超市采购甲种稻花香大米m千克，
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购甲种稻花香大米500千克．
25．如图， ，， 的平分线 DF 交 AB 于点， 的平分线BE 交CD 的延长线于点.
（1）若 ，，则 的度数为　 　度；
（2）若 ，试探索 ，， 的数量关系，并说明理由；
（3）在(2)的条件下，若 ，试探究 值是否为定值，若不是请说明理由；若是请直接写出该定值.
【答案】（1）60
（2）∠BDC=2∠EBN+∠DGB， 理由如下：
∵AB∥CD，
∴∠BAC+∠ACD =180°，∠BAC=∠DCQ，∵∠DGB+∠DCA= 180°，
∴∠DGB=∠CAB，
∴DG∥CP，
∴∠CDG =∠DCQ，
∴∠CDG=∠CAB=∠DGB，
∵MN || PQ，
∴DG || MN，
∴∠DBN =∠BDG，
∵BE平分∠DBN，
∴∠BDG =∠DBN = 2∠EBN，
∴∠BDC=∠BDG+∠CDG=2∠EBN+∠DGB；
（3）解：是定值，
∴2．
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的概念；平行公理的推论
【解析】【解答】（1）解： ∵MN|| PQ，
∴∠ABN = 180°—∠BAC = 150°，
∵BD⊥CD， AB∥CD，
∴BD⊥AB，∠BDC =∠BDE=90°
∴∠ABD =90°，∴∠NBD =∠ABN ∠ABD =60°
∵BE平分∠DBN，
∴∠E = 180°-∠DBE-∠BDE=60°；
故答案为：60；
（2）解： ，且∠
∵DF平分
【分析】（1）MN || PQ， 得到∠ABN = 180°-∠BAC =150°， BD⊥CD， AB∥CD， 得到BD⊥AB，∠BDC =∠BDE= 90°， 角的和差关系得到∠NBD=60°，角平分线得到∠ 再利用三角形的内角和定理，求解即可；
（2）先证明DG‖CP，得到∠CDG =∠CAB=∠DGB，得到DG∥MN，得到∠DBN=∠BDG，BE平分∠DBN， 得到∠BDG=∠DBN=2∠EBN，即可得出结论；
（3）根据(2)的结论以及已知条件，分别求出∠BED，∠FDG，进而求出 的值即可.
26．定义：使方程(组)和不等式(组)同时成立的未知数的值称为此方程(组)和不等式(组)的“梦想解”.
例：已知方程 与不等式 ，方程的解为 ，使得不等式也成立，则称"”为方程 和不等式 的“梦想解”.
（1） 是方程 和下列不等式　 　的“梦想解”；(填序号)
①
②
③
（2）若关于、 的二元一次方程组 和不等式组 有“梦想解”，且 为整数，求 的值.
（3）若关于 的方程 和关于 的不等式组 有正整数“梦想解”，且所有正整数“梦想解”的和为10，请直接写出 的取值范围.
【答案】（1）③
（2）解：解方程组
得：，
∴x﹣y＝2m+7，
∵解是不等式组的“梦想解”，
∴﹣5＜2m+7＜1，
∴﹣6＜m＜﹣3，
∵m为整数，
∴m为﹣5或﹣4；
（3）1＜n
【知识点】不等式组和一元一次方程的综合应用；不等式组和二元一次方程（组）的综合应用
【解析】【解答】（1）解：①解不等式得x>2，故x不是不等式得“ 梦想解 ”；
②解不等式 得x<-1，故x不是不等式 得“ 梦想解 ”；
③解不等式 得x<2，故x是是不等式 得“ 梦想解 ”；
故答案为：③；
（2）解：解方程x﹣4＝﹣3n得：x＝4﹣3n，解不等式组得：n﹣1≤x＜5，
∵所有正整数“梦想解”的和为10，
∴正整数“梦想解”为1，2，3，4，
∴0＜n﹣1≤1，
解得1＜n≤2．
∴n﹣1≤4﹣3n＜5，
∴n，
∴1＜n．
故答案为：1＜n．
【分析】（1）分别解不等式求出解集，然后根据“梦想解”的定义逐项判断解答即可；
（2）解方程组求出x，y的值，然后表示x-y的值，即可得到﹣5＜2m+7＜1，求出正数m的取值范围即可；
（3）解方程求出x的值，根据所有正整数“梦想解”的和为10得到0＜n﹣1≤1，再根据n﹣1≤4﹣3n＜5，求出n的取值范围解答即可.
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