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分课时教学设计
第六课时《24.2 数据的离散程度（第1课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是数据的分析章节的重要内容，承接前面平均数、中位数、众数刻画数据集中趋势的知识，进一步研究数据的波动情况即离散程度，完善数据分析的知识体系．本课通过玉米产量、射击成绩的实例，引入离差平方和与方差，让学生学会用方差衡量数据稳定性，是统计分析从“平均水平”到“波动特征”的延伸．方差是初中阶段刻画离散程度的核心统计量，既是对前面统计知识的补充，也为后续分析数据稳定性、进行统计决策奠定基础，培养学生全面分析数据的能力，落实数据分析的核心素养．
学习者分析 学生已经熟练掌握平均数的计算，能分析数据的集中趋势，具备基础的运算与统计分析能力．但学生首次接触离散程度，难以理解方差的实际意义，不清楚平方、平均的作用；对离差平方和与方差的区别理解模糊，容易混淆公式．同时学生习惯只关注平均水平，忽略数据波动的重要性，在实际问题中不会结合平均数与方差综合分析，运算时容易出现计算失误，需要借助实例直观理解方差与稳定性的关系．
教学目标 1．理解离差平方和与方差的概念，掌握方差的计算公式． 2．体会方差刻画数据离散程度的意义．
教学重点 理解方差的概念，掌握方差的计算公式，会计算一组数据的方差．
教学难点 理解方差刻画数据离散程度、反映数据稳定性的统计意义．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．理解离差平方和与方差的概念，掌握方差的计算公式． 2．体会方差刻画数据离散程度的意义．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 导言：在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度．本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量———离差平方和、方差．学生活动2： 学生认真听讲活动意图说明： 通过引入承接前面所学集中趋势的相关知识，引出数据分析中另一重要特征——离散程度，点明本课学习内容为离差平方和与方差．帮助学生建立“既看平均水平，也看波动大小”的全面数据分析意识，为新知探究做好铺垫．环节三：新知讲解教师活动3： 问题：某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示． 甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？ 解：上面两组数据的平均数分别是 ＝7.537，＝7.515． 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大． 指出：由样本平均数估计总体平均数． 讲解：为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如图1和图2所示． 图1甲种甜玉米的产量 图2乙种甜玉米的产量 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近．因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好． 想一想：如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 讲解：正如图1和图2所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小．反过来也成立．这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画． 归纳：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把 xi－（i＝1，2，…，n）叫作xi关于平均数的离差． 思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 讲解：用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由 （x1－）＋（x2－）＋…＋（xn－）＝x1＋x2＋…＋xn－n＝0 可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异． 归纳：为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和．我们把 （x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2 叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”． 把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差，记作“s2”． 方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量．方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小． 注意：根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；根据总体数据计算得到的方差，叫作总 体方差． 讲解：回到本节“问题”，根据表，可以得到 , ． ＞，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好． 由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定．正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差．因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定．综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米． 思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ 预设：离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制． 例1甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示． 甲97910108910510乙910781099879
哪名射击运动员的发挥更稳定？ 解：两名运动员射击成绩的平均数分别为 ， ． 两名运动员射击成绩的方差分别为 ， ． ＞可知，乙射击运动员的发挥更稳定． 讲解：利用计算器的统计功能可以求方差．使用计算器的统计功能求方差，操作时需要参阅计算器的使用说明书．通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差的值．学生活动3： 学生小组合作探究并认真听老师的点拨和讲解活动意图说明： 借助玉米产量、射击成绩的实例，引导学生理解离差平方和与方差的意义，掌握方差计算方法，体会方差衡量数据稳定性的作用，培养学生全面分析数据、综合进行统计决策的能力．环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：24.2 数据的离散程度（第1课时） 一、离差 二、离差平方和 三、方差教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．数据的平均数和离差平方和分别为（ ）． A．和 B．和 C．和 D．和 答案：C 2．“双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 答案：0.4 3．为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表： 甲组1112131415乙组46758
求甲款与乙款保温杯保温时效的方差． 解：甲组的平均数是， 则甲的方差， 即甲款保温杯保温时效的方差为2； 乙组的平均数是， 则乙的方差， 即乙款保温杯保温时效的方差为2． 选做题： 4．某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 答案：C 【综合拓展类练习】 5．某科技小组对A，B两款智能扫地机器人进行清扫效率测试，在相同测试环境下，各清扫5次，测得每分钟清扫面积（单位：平方分米）如表： 款式第1次第2次第3次第4次第5次平均数A95909585100aBb9590959593
(1)表格中____，_______； (2)请计算B款机器人每分钟清扫面积的方差； (3)若A款机器人每分钟清扫面积的方差为26，根据两款机器人每分钟清扫面积的平均数与方差，判断哪款机器人的清扫效率更稳定，并说明理由． 解：（1）对于A款机器人： 对于B款机器人，已知平均数为93，代入公式： ， 解得． （2）B款机器人每分钟清扫面积的数据为：，平均数． ∴ ； （3）A款机器人：平均数，方差， B款机器人：平均数，方差， 由，且，可知两款机器人的平均清扫效率相同，而B款机器人的方差更小， 根据方差的意义：方差越小，数据的波动越小，稳定性越高． ∴B款机器人的清扫效率更稳定．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（ ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 答案：D 2．某校九年级8名同学参加党史知识竞赛，成绩依次为：86，92，88，90，92，94，86，92，则下列说法正确的是（　　） A．中位数是90 B．众数是92 C．平均数是91 D．方差为0 答案：B 3．比较下列两组数据的方差： A组：0，10，5，5，5，5，5，5，5，5： B组：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5． 解：A的平均数， ∴A的方差； B的平均数， ∴B的方差； ∴． 选做题： 4．已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是_____. 答案：8 【综合拓展类作业】 5．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数中位数众数方差甲组1652.8乙组165164164
请根据所学的统计知识，解决下列问题： (1)上表中，___________，___________； (2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由． 解：（1）∵ ∴， 设阴影部分为， ∴ 解得， ∴甲组数据为， ∴中位数； 故答案为： （2）甲组舞台呈现效果更好，理由如下： ∴， ∴甲组舞蹈成员的身高比较整齐，则甲组舞台呈现效果更好．
教学反思 本节课借助生活实例引入方差，学生基本能掌握方差的计算公式，但部分学生仅机械套用公式，不理解方差的实际含义，对“方差越小，数据越稳定”的规律运用不灵活．计算过程中容易出现平方、求和的运算错误．后续教学应加强直观对比，结合图形理解离散程度，强化公式推导，提升学生综合运用统计量分析问题的能力．
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同步探究学案
课题 24.2 数据的离散程度（第1课时） 单元 第二十四章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．理解离差平方和与方差的概念，掌握方差的计算公式． 2．体会方差刻画数据离散程度的意义．
重点 理解方差的概念，掌握方差的计算公式，会计算一组数据的方差．
难点 理解方差刻画数据离散程度、反映数据稳定性的统计意义．
探究过程
导入新课 【引入思考】 在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度．本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量———离差平方和、方差．
新知探究 本节课来研究： 本节我们学习离差平方和与方差。 问题：某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示． 甲7.657.507.627.597.657.647.507.407.417.41乙7.557.567.537.447.497.527.587.467.537.49
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？ 解：上面两组数据的平均数分别是 ＝________，＝________． 说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大． 提示：由样本平均数估计总体平均数． 为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如图1和图2所示． 图1甲种甜玉米的产量 图2乙种甜玉米的产量 比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近．因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好． 想一想：如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？ 归纳：一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把 xi－（i＝1，2，…，n）叫作xi关于平均数的离差． 思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？ 归纳：为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和．我们把 （x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2 叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”． 把离差的平方的平均数 叫作这组数据的方差，记作“s2”． 注意：方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量．方差越大，数据的离散程度越______；方差越小，数据的离散程度越______． 根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；根据总体数据计算得到的方差，叫作总 体方差． 回到本节“问题”，根据表，可以得到 , ． ____，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好． 由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定．正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差．因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定．综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米． 思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？ 例1甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示． 甲97910108910510乙910781099879
哪名射击运动员的发挥更稳定？ 利用计算器的统计功能可以求方差．使用计算器的统计功能求方差，操作时需要参阅计算器的使用说明书．通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差的值．
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．数据的平均数和离差平方和分别为（ ）． A．和 B．和 C．和 D．和 2．“双减”政策实施后，某校为了解学生课后服务参与情况，随机抽取了5名同学，记录他们一周内（周一至周五，每天最多参加1次）参加课后服务的次数（单位：次），数据如下：3，4，4，4，5，则这组数据的方差为________． 3．为了满足不同顾客对保温时效的要求，保温杯生产厂家研发了甲、乙两款保温杯．现从甲、乙两款中各随机抽取了5个保温杯，测得保温时效（单位：h）如表： 甲组1112131415乙组46758
求甲款与乙款保温杯保温时效的方差． 选做题： 4．某女子排球队场上队员的身高（单位：）是：172，174，178，180，180，184．现换下身高为和的两名队员，换上身高为和的两名替补队员，与换人前相比，场上队员的身高（ ） A．平均数不变，方差变大 B．平均数不变，方差不变 C．平均数不变，方差变小 D．平均数变小，方差变小 【综合拓展类练习】 5．某科技小组对A，B两款智能扫地机器人进行清扫效率测试，在相同测试环境下，各清扫5次，测得每分钟清扫面积（单位：平方分米）如表： 款式第1次第2次第3次第4次第5次平均数A95909585100aBb9590959593
(1)表格中____，_______； (2)请计算B款机器人每分钟清扫面积的方差； (3)若A款机器人每分钟清扫面积的方差为26，根据两款机器人每分钟清扫面积的平均数与方差，判断哪款机器人的清扫效率更稳定，并说明理由．
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．在分组时要求“组内离差平方和最小”，其目的是（ ） A．使每组数据量相等 B．保证组间均值相等 C．减少计算复杂度 D．使每组组内数据差异尽可能小，组间数据差异尽可能大 2．某校九年级8名同学参加党史知识竞赛，成绩依次为：86，92，88，90，92，94，86，92，则下列说法正确的是（　　） A．中位数是90 B．众数是92 C．平均数是91 D．方差为0 3．比较下列两组数据的方差： A组：0，10，5，5，5，5，5，5，5，5： B组：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5． 选做题： 4．已知一组数据的平均数是10，方差是2，数据的方差是_____. 【综合拓展类作业】 5．某校舞蹈社团选拔出两个舞蹈水平相当的舞蹈小组，下面的图表是两个舞蹈小组成员的身高部分信息，其中的阴影部分已被污损． 平均数中位数众数方差甲组1652.8乙组165164164
请根据所学的统计知识，解决下列问题： (1)上表中，___________，___________； (2)一般认为，在两组舞蹈成员的舞蹈水平相当的情况下，如果舞蹈成员的身高比较整齐，则该组舞台呈现效果越好．你认为舞台呈现效果更好的是哪一组？请说明你的理由．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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第二十四章 数据的分析
24.2 数据的离散程度
（第1课时）
1．理解离差平方和与方差的概念，掌握方差的计算公式．
2．体会方差刻画数据离散程度的意义．
在数据分析中，除了集中趋势，数据的波动情况也是人们经常关注的特征，统计中把它称为数据的离散程度．本节我们将学习刻画一组数据离散程度的两个常见统计量———离差平方和、方差．
问题：某农业科学院专家为某地选择合适的甜玉米种子．选择种子时，甜玉米的产量和产量的稳定性是专家所关心的问题．为了解甲、乙两种甜玉米种子的相关情况，专家各用10块自然条件相同的试验田进行试验，得到各试验田每公顷的产量（单位：t）如下表所示．
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
根据这些数据估计，专家应该选择哪种甜玉米种子呢？
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
由样本平均数估计总体平均数．
上面两组数据的平均数分别是
＝7.537，＝7.515．
说明在试验田中，甲、乙两种甜玉米的平均产量相差不大．由此可以估计出这个地区种植这两种甜玉米，它们的平均产量相差不大．
为了直观地观察甲、乙两种甜玉米在各试验田产量的分布情况，我们把表中的两组数据分别用图形进行描述，如图1和图2所示．
图1甲种甜玉米的产量
图2乙种甜玉米的产量
比较两幅图可以看出，甲种甜玉米在各试验田的产量波动较大，多个产量离平均产量较远；而乙种甜玉米在各试验田的产量波动较小，较集中地分布在平均产量附近．因此，从直观上判断乙种甜玉米的产量稳定性更好．
图2乙种甜玉米的产量
图1甲种甜玉米的产量
想一想：如何用一个值刻画一组数据的波动程度或离散程度呢？
正如图1和图2所呈现的，当数据分布比较分散时，数据与平均数的差异相对较大；当数据分布比较集中时，数据与平均数的差异相对较小．
反过来也成立．
这样，为了全面反映一组数据的离散程度，可以通过数据与平均数的差异来刻画．
一般地，有n个数据x1，x2，…，xn，用表示它们的平均数，我们把
xi－（i＝1，2，…，n）
叫作xi关于平均数的离差．
思考：可以用平均离差刻画一组数据的离散程度吗？
用离差可以刻画每个数据与平均数的差异，但由
（x1－）＋（x2－）＋…＋（xn－）＝x1＋x2＋…＋xn－n＝0
可知，一组数据的离差和总是0，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异．
为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和．我们把
（x1－）2＋（x2－）2＋…＋（xn－）2
叫作这n个数据关于平均数的离差平方和，记作“d2”．
把离差的平方的平均数
叫作这组数据的方差，记作“s2”．
方差反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度，是刻画数据离散程度最常用的统计量．方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小．
根据样本数据计算得到的方差，叫作样本方差；根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差．
回到本节“问题”，根据表，可以得到
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
,
．
＞，可得乙种甜玉米产量的离散程度较小，即乙种甜玉米产量波动较小，稳定性较好．
由此可知，在试验田中，乙种甜玉米的产量比较稳定．正如用样本的平均数估计总体的平均数一样，也可以用样本的方差来估计总体的方差．因此可以推测，在这个地区种植乙种甜玉米的产量比种植甲种的稳定．综合考虑甲、乙两个品种的平均产量和产量的稳定性，可以推测这个地区比较适合种植乙种甜玉米．
甲 7.65 7.50 7.62 7.59 7.65 7.64 7.50 7.40 7.41 7.41
乙 7.55 7.56 7.53 7.44 7.49 7.52 7.58 7.46 7.53 7.49
思考：用离差平方和是否可以刻画数据的离散程度？和方差比较，有什么不足？
离差平方和可以刻画一组数据的离散程度．在比较两组数据的离散程度时，离差平方和只适用于数据个数相同的情况，而方差则不受这个限制．
例1：甲、乙两名气手枪运动员进行射击训练，10次射击成绩（单位：环）如表所示．
甲 9 7 9 10 10 8 9 10 5 10
乙 9 10 7 8 10 9 9 8 7 9
哪名射击运动员的发挥更稳定？
解：两名运动员射击成绩的平均数分别为
，．
两名运动员射击成绩的方差分别为
，
．
＞可知，乙射击运动员的发挥更稳定．
利用计算器的统计功能可以求方差．使用计算器的统计功能求方差，操作时需要参阅计算器的使用说明书．通常先按某一功能键，使计算器进入统计状态；然后依次输入数据x1，x2，…，xn；最后按求方差的功能键，计算器便会求出方差
的值．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
数据的离散程度
方差
离差
离差平方和
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
3．比较下列两组数据的方差：
A组：0，10，5，5，5，5，5，5，5，5：
B组：4，6，3，7，2，8，1，9，5，5．
解：A的平均数，
∴A的方差；
B的平均数，
∴B的方差；
∴．
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】

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