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第3节　动量守恒定律
课题1　 动量守恒定律
1. 理解系统、内力和外力的概念．
2. 知道动量守恒定律的内容及表达式，理解其守恒的条件．
3. 掌握应用动量守恒定律解题的步骤．
1. 观看视频：如图所示，在短道速滑比赛中，后面队员用力推前面队员实现了比赛最后一棒的顺利交接．碰撞是生活中常见的现象，碰撞研究的对象往往是两个(或多个)物体组成的系统．现将短道速滑接力交接过程建构为以下的模型：
如图所示，光滑的水平桌面上的两个小球，质量分别为m1和m2，沿着同一直线向相同的方向做匀速运动，速度分别是v1和v2，v2>v1.当第二个小球追上第一个小球时，两球发生碰撞．
(1)画出碰撞时两球的受力示意图．
(2)阅读教材P13“动量守恒定律”第一、二段部分，若将两球组成一个系统，将两球所受到的力进行分类．
内力 外力
m1
m2
　　(3)两小球组成的系统所受外力的矢量和为________．
2. 如图所示，公路上三辆汽车发生了追尾事故．如果将甲、乙两辆汽车看作一个系统，丙车对乙车的作用力是内力还是外力？如果将三辆汽车看成一个系统，丙车对乙车的作用力是内力还是外力？
1. 如图所示，水平桌面上的A、B小球，质量分别为m1和m2，沿着同一直线向相同的方向做匀速运动，速度分别是v1和v2，v2>v1.当B追上A时，两球发生碰撞，碰撞后两球的速度分别为v′1和v′2.试用动量定理与牛顿第三定律推导两球碰前总动量m1v1＋m2v2与碰后总动量m1v′1＋m2v′2的关系．
2. 在科学史上，动量守恒思想的提出是远远早于牛顿第二定律的．早在古希腊时代，以德谟克利特为代表的原子论者就提出，运动只能由一个物体向另一个物体转移，但绝不会完全消灭．而笛卡儿则在《哲学原理》第二章中，第一次明确提出了动量守恒即物质和运动的总量永远保持不变．先贤们的思想是在观察、研究物体运动的过程中产生的，起初只是模糊的经验，后来被实验所证实．完成关于“动量守恒定律”的下列问题：
(1)内容：如果一个系统________，或者所受外力的矢量和为________，这个系统的总动量________．
(2)表达式：对两个物体组成的系统，常写成：p1＋p2＝________或m1v1＋m2v2＝________．
(3)适用条件：系统________或者所受外力的矢量和为________．
(4)动量守恒定律的“四性”：
①矢量性：动量守恒定律的表达式是一个________．
②相对性：动量守恒定律中，系统中各物体在相互作用前后的动量必须相对于同一惯性系，各物体的速度通常均为相对于________的速度．
③同时性：初动量必须是各物体在作用前同一时刻的动量；末动量必须是各物体在作用后同一时刻的动量．
④普适性：不仅适用于两个物体或多个物体组成的系统，也适用于宏观、低速物体以及微观、高速粒子组成的系统．
3. 如图所示，A、B两物体质量之比mA∶mB＝3∶2，静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，A、B两物体都获得了动量，则下列说法错误的是(　　)
A. 若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统动量守恒
B. 若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统动量守恒
C. 若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统动量守恒
D. 若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统动量守恒
应用动量守恒定律的解题步骤一般为：(1)明确研究对象，确定系统的组成；(2)受力分析，确定动量是否守恒；(3)规定正方向，确定初、末动量；(4)根据动量守恒定律，建立守恒方程；(5)代入数据，求出结果并讨论说明．
1. 如图所示，在列车编组站里，一辆m1＝1.8×104 kg的货车在平直轨道上以v1＝2 m/s的速度向右运动，碰上一辆m2＝2.2×104 kg的静止的货车，它们碰撞后结合在一起继续运动．求货车碰撞后运动的速度．
2. 一枚在空中飞行的火箭，质量为m，在某点的速度为v，方向水平，燃料即将耗尽．如图所示，火箭在该点突然炸裂成两块，其中质量为m1的一块沿着与v相反的方向飞去，速度为v1.求炸裂后另一块的速度v2.
1. 把一支枪水平固定在小车上，小车放在光滑的水平面上，枪发射出一颗子弹时，关于枪、子弹和车，下列说法中正确的是(　　)
A. 枪和子弹组成的系统动量守恒
B. 枪和车组成的系统动量守恒
C. 三者组成的系统因为子弹和枪筒之间的摩擦力很小，使系统的动量变化很小，可忽略不计，故系统动量近似守恒
D. 三者组成的系统动量守恒，因为系统只受重力和地面支持力这两个外力作用，这两个外力的合力为零
2. 在如图所示的装置中，木块B静止在光滑的水平桌面上，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中(　　)
A. 动量守恒、机械能守恒　 B. 动量不守恒、机械能不守恒
C. 动量守恒、机械能不守恒　 D. 动量不守恒、机械能守恒
3. 甲、乙两个玩具小车在光滑水平面上沿同一直线相向运动，它们的质量和速度大小分别为m1＝0.5 kg，v1＝2 m/s，m2＝3 kg，v2＝1 m/s.两小车相碰后，乙车的速度减小为v′2＝0.5 m/s，方向不变，求甲车的速度v′1.
4.甲、乙两运动员在做花样滑冰表演，沿同一直线相向运动，速度大小都是1 m/s，甲、乙相遇时用力推对方，此后都沿各自原方向的反方向运动，速度大小分别为1 m/s和2 m/s.求甲、乙两运动员的质量之比．
5. 质量是10 g的子弹，以300 m/s的速度射入质量是24 g、静止在光滑水平桌面上的木块．
(1)如果子弹留在木块中，木块运动的速度是多少？
(2)如果子弹把木块打穿，子弹穿过后的速度为100 m/s，这时木块的速度又是多大？
6.细线下吊着一个质量为m1的静止沙袋，沙袋到细线上端悬挂点的距离为l.一颗质量为m的子弹水平射入沙袋并留在沙袋中，随沙袋一起摆动．已知沙袋摆动时，摆线的最大偏角是θ，求子弹射入沙袋前的速度．
课题2　动量守恒定律的应用
1. 进一步理解动量守恒定律的条件．
2. 会分析常见临界问题的临界条件．
3. 能在具体问题中恰当选择研究的系统．
对动量守恒定律条件的理解：
(1)系统不受外力作用，这是一种理想化的情形，如宇宙中两星球的碰撞，微观粒子间的碰撞都可视为这种情形．
(2)系统受外力作用，但所受合外力为零．像光滑水平面上两物体的碰撞就是这种情形．
(3)系统受外力作用，但当系统所受的外力远远小于系统内各物体间的内力时，系统的总动量近似守恒．例如，抛出去的手榴弹在空中爆炸的瞬间，弹片所受火药爆炸时的内力远大于其重力，重力完全可以忽略不计，系统的动量近似守恒．
(4)系统受外力作用，所受的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则系统在该方向上动量守恒．例如，水平地面上斜向上发射出去的炮弹与向后退的炮身，二者在水平方向上动量是守恒的．
1. 关于动量守恒的条件，下列说法正确的是(　　)
A. 只要系统内存在摩擦力，动量不可能守恒
B. 只要系统所受合外力所做的功为零，动量守恒
C. 只要系统所受的合外力为零，动量守恒
D. 系统加速度为零，动量不一定守恒
2. 如图所示，在光滑的水平面上有一静止的斜面，斜面光滑，现有一个小球从斜面顶端由静止释放，在小球下滑的过程中，下列说法正确的是(　　)
A. 斜面和小球组成的系统动量守恒
B. 斜面和小球组成的系统仅在水平方向上动量守恒
C. 斜面向左运动
D. 斜面静止不动
3. 如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q与P的接触面粗糙，Q自P的上端静止释放，在Q下滑的过程中，关于P和Q构成的系统，下列说法正确的是(　　)
甲 乙
A. 图甲，动量守恒、机械能守恒
B. 图甲，水平动量守恒、机械能不守恒
C. 图乙，水平动量守恒、机械能不守恒
D. 图乙，竖直动量不守恒、机械能守恒
在动量守恒定律的应用中，常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界问题．分析临界问题的关键是寻找临界状态，写出临界条件．临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键．
1. 如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量共为M＝30 kg，乙和他的冰车总质量也为M＝30 kg.游戏时，甲推着一个质量为 m＝15 kg的箱子和他一起以v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住．(不计冰面摩擦)
(1)若甲将箱子以速度 v 推出，甲的速度变为多少？(用字母表示)
(2)设乙抓住迎面滑来的速度为 v 的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度变为多少？(用字母表示)
(3)若甲、乙最后不相撞，甲、乙的速度应满足什么条件？箱子被推出的速度至少多大？
2. 如图所示，甲车的质量m1＝20 kg，车上的人质量m＝50 kg，甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h＝0.45 m处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动，此时质量m2＝50 kg的乙车正以v0＝1.8 m/s的速度沿光滑水平面向甲车滑来．为了避免两车相撞，在两车相距适当距离时，甲车上的人跳到乙车上．为使两车不会发生相撞，人跳离甲车时，相对于地面的水平速度应该在什么范围内？(不计斜坡的摩擦，g取10 m/s2)
对于多个物体参与作用的动量守恒问题，不一定要把所有物体都看作是在同一个系统内，能根据具体情况正确地选择研究系统为解决此类问题的关键，选择恰当解题会比较简单，选择不恰当会给计算带来许多麻烦．
1. 两只小船平行逆向航行，航线邻近，船和船上的麻袋总质量分别为m甲＝500 kg、m乙＝1 000 kg.如图所示，当它们头尾相齐时，由每只船上各投质量m＝50 kg的麻袋到另一船上去，结果甲船停下来，乙船以v＝8.5 m/s 的速度沿原方向继续航行．求交换麻袋前两只船的速率各为多少？(水的阻力不计)
2. 如图所示，光滑水平轨道上放置长板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg、mC＝2 kg.开始时，C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞．求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小．
1. 如图所示，光滑的水平面上静止放置一个表面光滑的弧形槽、物块和滑板，小孩站在静止的滑板上将物块向弧形槽推出，物块滑上弧形槽后未冲出弧形槽的顶端，则(　　)
A. 小孩推出物块过程，小孩和物块组成的系统动量守恒
B. 物块在弧形槽上运动过程，物块和弧形槽组成的系统动量守恒
C. 物块离开弧形槽时的速率比冲上弧形槽时的速率更大
D. 物块离开弧形槽时，弧形槽、物块、小孩和滑板组成的系统总动量为零
2. 如图所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球拉开到一定的角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中(　　)
A. 小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统动量守恒
B. 小球向左摆动时，小车向右运动，且系统动量守恒
C. 小球向左摆到最高点，小球的速度为零，而小车的速度不为零
D. 在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反
3. 一弹簧枪对准以6 m/s的速度沿光滑桌面迎面滑来的木块发射一颗铅弹，铅弹射出的速度为10 m/s，铅弹射入木块后未穿出，木块继续向前运动，速度变为5 m/s，如果想让木块停止运动，并假设铅弹射入木块后都不会穿出，则应再向木块迎面射入的铅弹数为(　　)
A. 5　 B. 6　 C. 7　 D. 8
4. 某机车以0.4 m/s的速度驶向停在铁轨上的7节车厢，与它们对接．机车与第一节车厢相碰后，它们连在一起具有一个共同的速度，紧接着又与第二节车厢相碰，就这样，直至碰上最后一节车厢．设机车和车厢的质量都相等，求与最后一节车厢碰撞后列车的速度．(列车与铁轨的摩擦忽略不计)
5. 如图所示，木块A和半径r＝0.5 m的四分之一光滑圆轨道B静置于光滑水平面上，A、B质量mA＝mB＝2.0 kg，现让A以v0＝6 m/s的速度水平向右运动，之后与墙壁碰撞，碰撞时间为t＝0.2 s，碰后速度大小变为v1＝4 m/s.取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)A与墙壁碰撞过程中，墙壁对木块平均作用力的大小；
(2)A滑上圆轨道B后到达最大高度时的共同速度大小．
6.如图所示，光滑水平面轨道上有三个滑块A、B、C，质量分别为mA＝mC＝2m，mB＝m，A、B用细绳连接，中间有一压缩的弹簧(弹簧与滑块不拴接).开始时，A、B以共同速度v0运动，C静止．某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在一起，最终三个滑块速度恰好相同，求B与C碰撞前，B的速度．
第3节　动量守恒定律
课题1　动量守恒定律
【活动方案】
活动一：
1. (1)
(2)F1　m1g、FN1　F2　m2g、FN2　(3)0
2. 外力；内力．
活动二：
1. 设碰撞过程中两球受到的作用力分别为F1、F2，相互作用时间为t，根据动量定理，
F1t＝m1(v′1－v1)，F2t＝m2(v′2－v2).
因为F1与F2是两球间的相互作用力，根据牛顿第三定律可知F1＝－F2，则有
m1v′1－m1v1＝m2v2－m2v′2，
即m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2.
此式表明两球在相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量．
2. (1)不受外力　零　保持不变
(2)p′1＋p′2　m1v′1＋m2v′2
(3)不受外力　零
(4)①矢量式　②地面
3. A　如果A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，弹簧释放后，A、B分别相对于小车向左、向右滑动，它们所受的滑动摩擦力FfA向右，FfB向左．由于mA∶mB＝3∶2，所以FfA∶FfB＝3∶2，则A、B组成的系统所受的外力之和不为零，故其动量不守恒，A错误．对A、B、C组成的系统，A、B与C间的摩擦力为内力，该系统所受的外力为竖直方向上的重力和支持力，它们的合力为零，故该系统的动量守恒，B、D正确．若A、B所受摩擦力大小相等，则A、B组成的系统所受的外力之和为零，故其动量守恒，C正确．故选A.
活动三：
1. 0.9 m/s，方向向右．
2. ，方向沿速度v的方向．
【检测反馈】
1. D　由于枪水平放置，故三者组成的系统除受重力和支持力(两外力平衡)外，不受其他外力，动量守恒，D正确；子弹和枪筒之间的力应为系统的内力，对系统的总动量没有影响，C错误；枪和子弹组成的系统受到车对其的外力作用，车和枪组成的系统受到子弹对其的外力作用，动量都不守恒，A、B错误．
2. B　以子弹、木块和弹簧整体作为研究对象(系统)，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短时，有摩擦力做功，机械能不守恒，弹簧固定端墙壁对弹簧有外力作用，因此动量不守恒，故B正确．
3. 设碰前甲车运动的方向为正方向．对两车组成的系统，由于在光滑的水平面上运动，作用在系统上的水平方向的外力为零，故由动量守恒定律有m1v1－m2v2＝m1v′1－m2v′2，
解得v′1＝＝ m/s＋ m/s＝－1 m/s，负号表示甲车在相碰后速度的方向与乙车的速度方向相同．
4. 甲、乙相遇时用力推对方的过程系统动量守恒，以甲的初速度方向为正方向，则
v甲＝1 m/s，v乙＝－1 m/s，
v′甲＝－1 m/s，v′乙＝2 m/s，
由动量守恒定律得
m甲v甲＋m乙v乙＝m甲v′甲＋m乙v′乙，
解得m甲∶m乙＝3∶2.
5. (1)88.2 m/s　(2)83.3 m/s
6. 设子弹射入沙袋前的速度为v0，射入后子弹和沙袋的共同速度为v1，根据动量守恒定律有
mv0＝(m1＋m)v1，
子弹和沙袋沿圆弧向上摆至最高点的过程中，根据机械能守恒定律有
(m＋m1)v＝(m＋m1)gl(1－cos θ)，
联立解得v0＝.
课题2　动量守恒定律的应用
【活动方案】
活动一：
1. C　系统不受外力或者所受外力的矢量和为零时，系统加速度为零，系统动量守恒，C正确，D错误；系统内存在摩擦力，合外力也可为零，故动量可能守恒，A错误；系统合外力做功为零，可能是合外力为零，可能是位移为零，可能是合外力方向垂直于速度方向，比如匀速圆周运动，动量不一定守恒，B错误．
2. B　斜面受到的重力、地面对它的支持力以及球受到的重力，这三个力的合力不为零(球有竖直向下的加速度)，故斜面和小球组成的系统动量不守恒，A错误；但斜面和小球组成的系统在水平方向上不受外力，故在水平方向上动量守恒，B正确；由水平方向上动量守恒可知斜面向右运动，C、D错误．
3. B　图甲，系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，但系统在竖直方向所受合外力不为零，系统在竖直方向动量不守恒，系统动量不守恒．Q与P的接触面粗糙，克服阻力做功产热，所以机械能不守恒，故A错误，B正确；图乙，系统在水平方向所受合外力不为零，系统在水平方向动量不守恒，Q与P的接触面粗糙，克服阻力做功产热，所以机械能不守恒，故C错误；图乙，系统在竖直方向所受合外力不为零，系统在竖直方向动量不守恒，机械能不守恒，故D错误．
活动二：
1. (1)甲将箱子推出的过程，甲与箱子组成的系统动量守恒，有(M＋m)v0＝mv＋Mv1，
解得v1＝.
(2)箱子和乙作用的过程，两者组成的系统动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，有
mv－Mv0＝(m＋M)v2，
解得v2＝.
(3)甲、乙不相撞的条件是v1≤v2，其中v1＝v2为甲、乙恰好不相撞的条件，根据(1)(2)两小题的结果，代入数据解得v≥5.2 m/s.
2. 甲车(包括人)滑下斜坡后的速度为
v甲＝＝3 m/s，
在人跳离甲车和人跳上乙车过程中，人与甲车的系统以及人与乙车的系统动量分别守恒，设人跳离甲车和跳上乙车后，两车的速度分别为v′甲和v′乙，则分别有
(m＋m1)v甲＝mv＋m1v′甲，
mv－m2v0＝(m＋m2)v′乙，
恰不发生相撞的条件为v′甲＝±v′乙，
当v′甲＝v′乙时，解得v＝3.8 m/s，
当v′甲＝－v′乙时，解得v＝4.8 m/s，
所以人跳离甲车的速度(对地)应满足
3．8 m/s≤v≤4.8 m/s.
活动三：
1. 投掷麻袋时，由于船与麻袋在前进方向上均未受到外力作用，故由动量守恒定律可知，在麻袋未落到对面船上以前，甲、乙两船及空中麻袋在各自前进方向上的速度未发生变化，麻袋在未交换前与船同速度．以甲船上投出的麻袋和抛出麻袋后的乙船为系统，则该系统的总动量守恒，选乙船前进方向为正方向，有
(m乙－m)v2－mv1＝m乙v，
以从乙船上抛出的麻袋和抛出麻袋后的甲船为系统，则该系统的总动量守恒，有
mv2－(m甲－m)v1＝0，
联立上面两式，代入数据解得
v1＝1 m/s, v2＝9 m/s.
2. 因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰撞后瞬间A的速度大小为vA，C的速度大小为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得
mAv0＝mAvA＋mCvC，
A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得
mAvA＋mBv0＝(mA＋mB)vAB，
A、B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足vAB＝vC，
联立解得vA＝2 m/s.
【检测反馈】
1. D　小孩推出物块过程，小孩、滑板和物块系统合外力为0，动量守恒，故A错误；物块在弧形槽上运动过程，物块和弧形槽系统水平方向合外力为0，所以水平方向动量守恒，但系统动量不守恒，故B错误；物块在弧形槽上滑和下滑过程，弧形槽对物块做负功，速度减小，物块离开弧形槽时的速率比冲上弧形槽时的速率小，故C错误；初始动量为0，物块离开弧形槽时，弧形槽、物块、小孩和滑板组成的系统总动量为零，故D正确．
2. D　以小球和小车组成的系统为研究对象，在水平方向上不受力的作用，但在竖直方向上合外力不为0，，所以系统仅在水平方向上动量守恒，由于初始状态小车与小球均静止，所以小球与小车在水平方向上的动量要么都为零，要么大小相等、方向相反，A、B、C错误，D正确．
3. D　设木块质量为M，铅弹质量为m，第一颗铅弹射入，有Mv0－mv＝(M＋m)v1，代入数据解得 ＝15，设再射入n颗铅弹木块停止，有(M＋m)v1－nmv＝0，解得n＝8.故D正确．
4. 0.05 m/s
5. (1)A与墙碰撞过程，规定水平向左为正方向，对A由动量定理有Ft＝mAv1－mA(－v0)，
解得F＝100 N.
(2)A从返回到滑上B，到达最大高度的过程，A、B系统水平方向动量守恒，有mAv1＝(mA＋mB)v2，
解得v2＝2 m/s.
6. 设共同速度为v，物体A与B分开后，B的速度为vB，由动量守恒定律得
(mA＋mB)v0＝mAv＋mBvB，
mBvB＝(mB＋mC)v，
联立解得B与C碰撞前B的速度vB＝v0.(共28张PPT)
第一章　
动量守恒定律
第3节　动量守恒定律
课题1　 动量守恒定律
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 理解系统、内力和外力的概念．
2. 知道动量守恒定律的内容及表达式，理解其守恒的条件．
3. 掌握应用动量守恒定律解题的步骤．
活 动 方 案
活动一：理解系统、内力和外力
1. 观看视频：如图所示，在短道速滑比赛中，后面队员用力推前面队员实现了比赛最后一棒的顺利交接．碰撞是生活中常见的现象，碰撞研究的对象往往是两个(或多个)物体组成的系统．现将短道速滑接力交接过程建构为以下的模型：
如图所示，光滑的水平桌面上的两个小球，质量分别为m1和m2，沿着同一直线向相同的方向做匀速运动，速度分别是v1和v2，v2>v1.当第二个小球追上第一个小球时，两球发生碰撞．
(1)画出碰撞时两球的受力示意图．
(2)阅读教材P13“动量守恒定律”第一、二段部分，若将两球组成一个系统，将两球所受到的力进行分类．
内力 外力
m1 ____________ ____________
m2 ____________ ____________
F1
m1g、FN1
F2
m2g、FN2
(3)两小球组成的系统所受外力的矢量和为____________．
0
2. 如图所示，公路上三辆汽车发生了追尾事故．如果将甲、乙两辆汽车看作一个系统，丙车对乙车的作用力是内力还是外力？如果将三辆汽车看成一个系统，丙车对乙车的作用力是内力还是外力？
【答案】外力；内力．
活动二：理解动量守恒定律
1. 如图所示，水平桌面上的A、B小球，质量分别为m1和m2，沿着同一直线向相同的方向做匀速运动，速度分别是v1和v2，v2>v1.当B追上A时，两球发生碰撞，碰撞后两球的速度分别为v′1和v′2.试用动量定理与牛顿第三定律推导两球碰前总动量m1v1＋m2v2与碰后总动量m1v′1＋m2v′2的关系．
【答案】设碰撞过程中两球受到的作用力分别为F1、F2，相互作用时间为t，根据动量定理，F1t＝m1(v′1－v1)，F2t＝m2(v′2－v2).因为F1与F2是两球间的相互作用力，根据牛顿第三定律可知F1＝－F2，则有m1v′1－m1v1＝m2v2－m2v′2，即m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2.此式表明两球在相互作用前的总动量等于相互作用后的总动量．
2. 在科学史上，动量守恒思想的提出是远远早于牛顿第二定律的．早在古希腊时代，以德谟克利特为代表的原子论者就提出，运动只能由一个物体向另一个物体转移，但绝不会完全消灭．而笛卡儿则在《哲学原理》第二章中，第一次明确提出了动量守恒即物质和运动的总量永远保持不变．先贤们的思想是在观察、研究物体运动的过程中产生的，起初只是模糊的经验，后来被实验所证实．完成关于“动量守恒定律”的下列问题：
(1)内容：如果一个系统____________，或者所受外力的矢量和为____________，这个系统的总动量____________．
(2)表达式：对两个物体组成的系统，常写成：p1＋p2＝___________或m1v1＋m2v2＝____________________．
(3)适用条件：系统____________或者所受外力的矢量和为_______．
(4)动量守恒定律的“四性”：
①矢量性：动量守恒定律的表达式是一个____________．
②相对性：动量守恒定律中，系统中各物体在相互作用前后的动量必须相对于同一惯性系，各物体的速度通常均为相对于____________的速度．
不受外力
零
保持不变
p′1＋p′2
m1v′1＋m2v′2
不受外力
零
矢量式
地面
③同时性：初动量必须是各物体在作用前同一时刻的动量；末动量必须是各物体在作用后同一时刻的动量．
④普适性：不仅适用于两个物体或多个物体组成的系统，也适用于宏观、低速物体以及微观、高速粒子组成的系统．
3. 如图所示，A、B两物体质量之比mA∶mB＝3∶2，静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，A、B两物体都获得了动量，则下列说法错误的是(　　)
A. 若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统动量守恒
B. 若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统动量守恒
C. 若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统动量守恒
D. 若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统动量守恒
【解析】如果A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，弹簧释放后，A、B分别相对于小车向左、向右滑动，它们所受的滑动摩擦力FfA向右，FfB向左．由于mA∶mB＝3∶2，所以FfA∶FfB＝3∶2，则A、B组成的系统所受的外力之和不为零，故其动量不守恒，A错误．对A、B、C组成的系统，A、B与C间的摩擦力为内力，该系统所受的外力为竖直方向上的重力和支持力，它们的合力为零，故该系统的动量守恒，B、D正确．若A、B所受摩擦力大小相等，则A、B组成的系统所受的外力之和为零，故其动量守恒，C正确．故选A.
【答案】A
活动三：应用动量守恒定律解决问题
应用动量守恒定律的解题步骤一般为：(1)明确研究对象，确定系统的组成；(2)受力分析，确定动量是否守恒；(3)规定正方向，确定初、末动量；(4)根据动量守恒定律，建立守恒方程；(5)代入数据，求出结果并讨论说明．
1. 如图所示，在列车编组站里，一辆m1＝1.8×104 kg的货车在平直轨道上以v1＝2 m/s的速度向右运动，碰上一辆m2＝2.2×104 kg的静止的货车，它们碰撞后结合在一起继续运动．求货车碰撞后运动的速度．
【答案】0.9 m/s，方向向右．
2. 一枚在空中飞行的火箭，质量为m，在某点的速度为v，方向水平，燃料即将耗尽．如图所示，火箭在该点突然炸裂成两块，其中质量为m1的一块沿着与v相反的方向飞去，速度为v1.求炸裂后另一块的速度v2.
检 测 反 馈
1
1. 把一支枪水平固定在小车上，小车放在光滑的水平面上，枪发射出一颗子弹时，关于枪、子弹和车，下列说法中正确的是(　　)
A. 枪和子弹组成的系统动量守恒
B. 枪和车组成的系统动量守恒
C. 三者组成的系统因为子弹和枪筒之间的摩擦力很小，使系统的动量变化很小，可忽略不计，故系统动量近似守恒
D. 三者组成的系统动量守恒，因为系统只受重力和地面支持力这两个外力作用，这两个外力的合力为零
【解析】由于枪水平放置，故三者组成的系统除受重力和支持力(两外力平衡)外，不受其他外力，动量守恒，D正确；子弹和枪筒之间的力应为系统的内力，对系统的总动量没有影响，C错误；枪和子弹组成的系统受到车对其的外力作用，车和枪组成的系统受到子弹对其的外力作用，动量都不守恒，A、B错误．
【答案】D
1
2
2. 在如图所示的装置中，木块B静止在光滑的水平桌面上，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短．现将子弹、木块和弹簧合在一起作为研究对象(系统)，则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短的整个过程中(　　)
A. 动量守恒、机械能守恒　
B. 动量不守恒、机械能不守恒
C. 动量守恒、机械能不守恒　
D. 动量不守恒、机械能守恒
【解析】以子弹、木块和弹簧整体作为研究对象(系统)，从子弹开始射入木块到弹簧压缩至最短时，有摩擦力做功，机械能不守恒，弹簧固定端墙壁对弹簧有外力作用，因此动量不守恒，故B正确．
【答案】B
2
3
3. 甲、乙两个玩具小车在光滑水平面上沿同一直线相向运动，它们的质量和速度大小分别为m1＝0.5 kg，v1＝2 m/s，m2＝3 kg，v2＝1 m/s.两小车相碰后，乙车的速度减小为v′2＝0.5 m/s，方向不变，求甲车的速度v′1.
4
4. 甲、乙两运动员在做花样滑冰表演，沿同一直线相向运动，速度大小都是1 m/s，甲、乙相遇时用力推对方，此后都沿各自原方向的反方向运动，速度大小分别为1 m/s和2 m/s.求甲、乙两运动员的质量之比．
【答案】甲、乙相遇时用力推对方的过程系统动量守恒，以甲的初速度方向为正方向，则v甲＝1 m/s，v乙＝－1 m/s，v′甲＝－1 m/s，v′乙＝2 m/s，由动量守恒定律得m甲v甲＋m乙v乙＝m甲v′甲＋m乙v′乙，解得m甲∶m乙＝3∶2.
5
5. 质量是10 g的子弹，以300 m/s的速度射入质量是24 g、静止在光滑水平桌面上的木块．
(1)如果子弹留在木块中，木块运动的速度是多少？
(2)如果子弹把木块打穿，子弹穿过后的速度为100 m/s，这时木块的速度又是多大？
【答案】(1)88.2 m/s　(2)83.3 m/s
6
6. 细线下吊着一个质量为m1的静止沙袋，沙袋到细线上端悬挂点的距离为l.一颗质量为m的子弹水平射入沙袋并留在沙袋中，随沙袋一起摆动．已知沙袋摆动时，摆线的最大偏角是θ，求子弹射入沙袋前的速度．
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第一章　
动量守恒定律
第3节　动量守恒定律
课题2　动量守恒定律的应用
内容索引
学习目标
活动方案
检测反馈
学 习 目 标
1. 进一步理解动量守恒定律的条件．
2. 会分析常见临界问题的临界条件．
3. 能在具体问题中恰当选择研究的系统．
活 动 方 案
活动一：进一步理解动量守恒定律的条件
对动量守恒定律条件的理解：
(1)系统不受外力作用，这是一种理想化的情形，如宇宙中两星球的碰撞，微观粒子间的碰撞都可视为这种情形．
(2)系统受外力作用，但所受合外力为零．像光滑水平面上两物体的碰撞就是这种情形．
(3)系统受外力作用，但当系统所受的外力远远小于系统内各物体间的内力时，系统的总动量近似守恒．例如，抛出去的手榴弹在空中爆炸的瞬间，弹片所受火药爆炸时的内力远大于其重力，重力完全可以忽略不计，系统的动量近似守恒．
(4)系统受外力作用，所受的合外力不为零，但在某一方向上合外力为零，则系统在该方向上动量守恒．例如，水平地面上斜向上发射出去的炮弹与向后退的炮身，二者在水平方向上动量是守恒的．
1. 关于动量守恒的条件，下列说法正确的是(　　)
A. 只要系统内存在摩擦力，动量不可能守恒
B. 只要系统所受合外力所做的功为零，动量守恒
C. 只要系统所受的合外力为零，动量守恒
D. 系统加速度为零，动量不一定守恒
【解析】系统不受外力或者所受外力的矢量和为零时，系统加速度为零，系统动量守恒，C正确，D错误；系统内存在摩擦力，合外力也可为零，故动量可能守恒，A错误；系统合外力做功为零，可能是合外力为零，可能是位移为零，可能是合外力方向垂直于速度方向，比如匀速圆周运动，动量不一定守恒，B错误．
【答案】C
2. 如图所示，在光滑的水平面上有一静止的斜面，斜面光滑，现有一个小球从斜面顶端由静止释放，在小球下滑的过程中，下列说法正确的是(　　)
A. 斜面和小球组成的系统动量守恒
B. 斜面和小球组成的系统仅在水平方向上动量守恒
C. 斜面向左运动
D. 斜面静止不动
【解析】斜面受到的重力、地面对它的支持力以及球受到的重力，这三个力的合力不为零(球有竖直向下的加速度)，故斜面和小球组成的系统动量不守恒，A错误；但斜面和小球组成的系统在水平方向上不受外力，故在水平方向上动量守恒，B正确；由水平方向上动量守恒可知斜面向右运动，C、D错误．
【答案】B
3. 如图所示，曲面体P静止于光滑水平面上，物块Q与P的接触面粗糙，Q自P的上端静止释放，在Q下滑的过程中，关于P和Q构成的系统，下列说法正确的是(　　)
A. 图甲，动量守恒、机械能守恒
B. 图甲，水平动量守恒、机械能不守恒
C. 图乙，水平动量守恒、机械能不守恒
D. 图乙，竖直动量不守恒、机械能守恒
【解析】图甲，系统在水平方向所受合外力为零，系统在水平方向动量守恒，但系统在竖直方向所受合外力不为零，系统在竖直方向动量不守恒，系统动量不守恒．Q与P的接触面粗糙，克服阻力做功产热，所以机械能不守恒，故A错误，B正确；图乙，系统在水平方向所受合外力不为零，系统在水平方向动量不守恒，Q与P的接触面粗糙，克服阻力做功产热，所以机械能不守恒，故C错误；图乙，系统在竖直方向所受合外力不为零，系统在竖直方向动量不守恒，机械能不守恒，故D错误．
【答案】B
活动二：分析和解决临界问题
在动量守恒定律的应用中，常常会遇到相互作用的两物体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界问题．分析临界问题的关键是寻找临界状态，写出临界条件．临界条件常常表现为两物体的相对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键．
1. 如图所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏，甲和他的冰车总质量共为M＝30 kg，乙和他的冰车总质量也为M＝30 kg.游戏时，甲推着一个质量为 m＝15 kg的箱子和他一起以v0＝2 m/s的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来，为避免相撞，甲突然将箱子沿冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住．(不计冰面摩擦)
(1)若甲将箱子以速度 v 推出，甲的速度变为多少？(用字母表示)
(2)设乙抓住迎面滑来的速度为 v 的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度变为多少？(用字母表示)
(3)若甲、乙最后不相撞，甲、乙的速度应满足什么条件？箱子被推出的速度至少多大？
2. 如图所示，甲车的质量m1＝20 kg，车上的人质量m＝50 kg，甲车(连同车上的人)从足够长的斜坡上高h＝0.45 m处由静止滑下，到水平面上后继续向前滑动，此时质量m2＝50 kg的乙车正以v0＝1.8 m/s的速度沿光滑水平面向甲车滑来．为了避免两车相撞，在两车相距适当距离时，甲车上的人跳到乙车上．为使两车不会发生相撞，人跳离甲车时，相对于地面的水平速度应该在什么范围内？(不计斜坡的摩擦，g取10 m/s2)
活动三：恰当选择多物体相互作用时的系统
对于多个物体参与作用的动量守恒问题，不一定要把所有物体都看作是在同一个系统内，能根据具体情况正确地选择研究系统为解决此类问题的关键，选择恰当解题会比较简单，选择不恰当会给计算带来许多麻烦．
1. 两只小船平行逆向航行，航线邻近，船和船上的麻袋总质量分别为m甲＝500 kg、m乙＝1 000 kg.如图所示，当它们头尾相齐时，由每只船上各投质量m＝50 kg的麻袋到另一船上去，结果甲船停下来，乙船以v＝8.5 m/s 的速度沿原方向继续航行．求交换麻袋前两只船的速率各为多少？(水的阻力不计)
【答案】投掷麻袋时，由于船与麻袋在前进方向上均未受到外力作用，故由动量守恒定律可知，在麻袋未落到对面船上以前，甲、乙两船及空中麻袋在各自前进方向上的速度未发生变化，麻袋在未交换前与船同速度．以甲船上投出的麻袋和抛出麻袋后的乙船为系统，则该系统的总动量守恒，选乙船前进方向为正方向，有(m乙－m)v2－mv1＝m乙v，以从乙船上抛出的麻袋和抛出麻袋后的甲船为系统，则该系统的总动量守恒，有mv2－(m甲－m)v1＝0，联立上面两式，代入数据解得v1＝1 m/s, v2＝9 m/s.
2. 如图所示，光滑水平轨道上放置长板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B置于A的左端，三者质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg、mC＝2 kg.开始时，C静止，A、B一起以v0＝5 m/s的速度匀速向右运动，A与C发生碰撞(时间极短)后C向右运动，经过一段时间，A、B再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C碰撞．求A与C发生碰撞后瞬间A的速度大小．
【答案】因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰撞后瞬间A的速度大小为vA，C的速度大小为vC，以向右为正方向，由动量守恒定律得mAv0＝mAvA＋mCvC，A与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为vAB，由动量守恒定律得mAvA＋mBv0＝(mA＋mB)vAB，A、B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足vAB＝vC，联立解得vA＝2 m/s.
检 测 反 馈
1
1. 如图所示，光滑的水平面上静止放置一个表面光滑的弧形槽、物块和滑板，小孩站在静止的滑板上将物块向弧形槽推出，物块滑上弧形槽后未冲出弧形槽的顶端，则(　　)
A. 小孩推出物块过程，小孩和物块组成的系统动量守恒
B. 物块在弧形槽上运动过程，物块和弧形槽组成的系统动量守恒
C. 物块离开弧形槽时的速率比冲上弧形槽时的速率更大
D. 物块离开弧形槽时，弧形槽、物块、小孩和滑板组成的系统总动量为零
【解析】小孩推出物块过程，小孩、滑板和物块系统合外力为0，动量守恒，故A错误；物块在弧形槽上运动过程，物块和弧形槽系统水平方向合外力为0，所以水平方向动量守恒，但系统动量不守恒，故B错误；物块在弧形槽上滑和下滑过程，弧形槽对物块做负功，速度减小，物块离开弧形槽时的速率比冲上弧形槽时的速率小，故C错误；初始动量为0，物块离开弧形槽时，弧形槽、物块、小孩和滑板组成的系统总动量为零，故D正确．
【答案】D
1
2
2. 如图所示，小车放在光滑的水平面上，将系着绳的小球拉开到一定的角度，然后同时放开小球和小车，那么在以后的过程中(　　)
A. 小球向左摆动时，小车也向左运动，且系统动量守恒
B. 小球向左摆动时，小车向右运动，且系统动量守恒
C. 小球向左摆到最高点，小球的速度为零，而小车的速度不为零
D. 在任意时刻，小球和小车在水平方向上的动量一定大小相等、方向相反
【解析】以小球和小车组成的系统为研究对象，在水平方向上不受力的作用，但在竖直方向上合外力不为0，所以系统仅在水平方向上动量守恒，由于初始状态小车与小球均静止，所以小球与小车在水平方向上的动量要么都为零，要么大小相等、方向相反，A、B、C错误，D正确．
【答案】D
2
3
3. 一弹簧枪对准以6 m/s的速度沿光滑桌面迎面滑来的木块发射一颗铅弹，铅弹射出的速度为10 m/s，铅弹射入木块后未穿出，木块继续向前运动，速度变为5 m/s，如果想让木块停止运动，并假设铅弹射入木块后都不会穿出，则应再向木块迎面射入的铅弹数为(　　)
A. 5　 B. 6　 C. 7　 D. 8
【答案】D
4
4. 某机车以0.4 m/s的速度驶向停在铁轨上的7节车厢，与它们对接．机车与第一节车厢相碰后，它们连在一起具有一个共同的速度，紧接着又与第二节车厢相碰，就这样，直至碰上最后一节车厢．设机车和车厢的质量都相等，求与最后一节车厢碰撞后列车的速度．(列车与铁轨的摩擦忽略不计)
【答案】0.05 m/s
5
5. 如图所示，木块A和半径r＝0.5 m的四分之一光滑圆轨道B静置于光滑水平面上，A、B质量mA＝mB＝2.0 kg，现让A以v0＝6 m/s的速度水平向右运动，之后与墙壁碰撞，碰撞时间为t＝0.2 s，碰后速度大小变为v1＝4 m/s.取重力加速度g＝10 m/s2，求：
(1)A与墙壁碰撞过程中，墙壁对木块平均作用力的大小；
(2)A滑上圆轨道B后到达最大高度时的共同速度大小．
【答案】(1)A与墙碰撞过程，规定水平向左为正方向，对A由动量定理有Ft＝mAv1－mA(－v0)，解得F＝100 N.
(2)A从返回到滑上B，到达最大高度的过程，A、B系统水平方向动量守恒，有mAv1＝(mA＋mB)v2，
解得v2＝2 m/s.
5
6
6. 如图所示，光滑水平面轨道上有三个滑块A、B、C，质量分别为mA＝mC＝2m，mB＝m，A、B用细绳连接，中间有一压缩的弹簧(弹簧与滑块不拴接).开始时，A、B以共同速度v0运动，C静止．某时刻细绳突然断开，A、B被弹开，然后B又与C发生碰撞并粘在一起，最终三个滑块速度恰好相同，求B与C碰撞前，B的速度．
6
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