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甘肃省2026年初中毕业升学暨高中阶段学校招生考试
数学试卷（一）参考答案
一、选择题（每题3分，共30分）
D
A
B
B
C
B
A
D
C
C
二、填空题（每题3分，共18分）
（答案不唯一，即可）
三、解答题（共32分）
17.（4分）
解：
18.（4分）
解：解不等式，得
解不等式，得
不等式组的解集为
19.（4分）
解：
20.（6分）
（1）略（按尺规作图步骤保留痕迹即可）
（2）解：
，，，
外接圆半径
半径
21.（6分）
（1）
（2）列表：
-2 -1 2 3
(-2,-1) (-2,2) (-2,3)
-1 (-1,-2) (-1,2) (-1,3)
2 (2,-2) (2,-1) (2,3)
3 (3,-2) (3,-1) (3,2)
共12种等可能结果，第一象限有2种：、
22.（8分）
解：设
在中，
在中，
解得
四、解答题（共40分）
23.（7分）
解：（1）把代入，得，
把代入，得，
代入：
，解得
一次函数：；反比例函数：
（2）不存在，理由略。
24.（7分）
解：（1）；；
（2）七年级优秀：
八年级优秀：
合计：人
（3）八年级，理由：平均分、中位数更高。
25.（8分）
（1）证明：连接
是切线，
，
易证，
是切线。
（2）解：，，
，
过作于，用中位线与勾股定理得：
26.（8分）
解：（1）①；②（理由略）
（2）解：由条件证
，
27.（10分）
解：（1）设，过，得
（2），，
，解得，
或
（3）作关于轴对称点，平移得
最小值
页甘肃省2026年初中毕业升学暨高中阶段学校招生考试
数学试卷（一）
考生注意：本试卷满分为150分，考试时间为120分钟.所有试题均在答题卡上作答，否则无效.
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1. 在，，0，1这四个数中，最大的数是
A. -2 B. -1 C.0 D.1
2. 若一个角为35°，则它的余角的度数为
A.55° B.65° C.105° D.145°
3. 计算：=
A. B.
C. D.
4. 一元二次方程的根的情况是
A. 有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根
5. 已知，且，若的周长为8，则的周长是
A.10 B.15 C.20 D.50
6. 相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年有成，是人类最早的风筝起源. 如图所示的风筝骨架中，，若，则∠2的度数为
A.45° B.50° C.55° D.60°
202年前三季度甘肃省GDP总量统计图
7. 《九章算术》中记载，浮箭漏出现于汉武帝时期. 如图，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺刻度计算时间. 已知在箭尺有一定读数的情况下，供水2小时，箭尺读数为18 cm；供水6小时，箭尺读数为42 cm. 若设箭尺每小时上升x cm，则可列方程为
A. B.
C. D.
8. 近5年，在省委省政府的领导下，甘肃省的经济取得了飞速的发展，如图所示的统计图反映了从2020-
2024年前三季度甘肃省GDP总量的情况，根据统计图提供的信息，下列结论错误的是
A.2024年甘肃省前三季度GDP总量最高
B.2020-2024年，甘肃省前三季度GDP总量持续增加
C. 从2023年开始，甘肃省前三季度GDP总量突破8 500亿元大关
D.2021年到2022年，甘肃省前三季度GDP年增长量最多
9. 中国最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽，他用一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图①，将菱形ABCD沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形拼成如图②所示的大正方形，记阴影部分面积为S1，空白部分面积为S2，若，则的值为
A. 　　　　 B. 　　　　
C. 　　　　 D.1
10. 如图①，在△ABC中，动点从点出发沿折线AB→BC→CA匀速运动，回到点后停止，设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图②是y随x变化的关系图象，则△ABC的周长为
A.32　　　　 B.26　　　　 C.24　　　　 D.22
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11. 因式分解： .
12. 在一次函数的图象中，随的增大而增大，则 （写出一个满足条件的值）.
13. 对于实数，，定义新运算“”，规定如下：，如，则 .
14. 如图，四边形内接于，连接并延长交于点，连接，若，则的度数为 .
15. 如图①，一个灌溉装置喷出水柱的路径可近似看作一条抛物线，以水平地面为轴，点为原点建立平面直角坐标系，点在轴上，如图②所示.其水柱的高度（单位：米）与水柱距喷水头的水平距离（单位：米）近似满足函数关系式.在图②中，若水柱刚好灌溉到松树（）的底部处，则这个松树（）离灌溉装置的水平距离为 米.
16. 鸳鸯玉，是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料. 如图是一个边长为4 cm的正方形 的鸳鸯玉石表面，分别以正方形的四个顶点为圆心， 对角线的长为半径在这块玉石上切割了一部分做吊坠（阴影部分），则这块吊坠（阴影部分）的面积是 （结果用 表示）.
三、解答题（本大题共6小题，共32分. 解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（4分）计算： .
18.（4分）解不等式组： .
19.（4分）化简： .
20.(6分)古希腊数学家欧几里得所著的《几何原本》中的命题4.2的内容是：给定一个三角形，可作圆内接相似三角形.如图①，为已知三角形.如图②，HG是⊙O的切线，D为切点.作法如下：
①以点B为圆心，小于长为半径画弧，分别交AB，BC于点P，Q；
②以点D为圆心，BQ长为半径画弧，交DH于点M；
③以点M为圆心，PQ长为半径画弧交上一段弧于点N；
④作射线DN交⊙O于点E；
⑤同上述步骤作出交⊙O于点F，连接EF.
（1）请根据以上步骤用不带刻度的直尺和圆规作出⊙O的内接相似三角形DEF（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)根据(1)画出的图形，连接DO，若，，，求⊙O的半径长.
21.(6分)小明和小华两人做游戏，他们在一只不透明的袋子中装了四个小球，分别标有数字：，，2，3，这些小球除所标数字外其他都相同.
（1）搅匀后，若小明从中任意摸出一个小球，则这个小球上标的数字是正数的概率为 ；
（2）搅匀后，小明从中任意摸出一个小球，记录小球上标的数字后不放回、搅匀，小华再从中任意摸出一个小球并记录小球上标的数字，将小明记录的数字作为点M的横坐标m，小华记录的数字作为点M的纵坐标n，请用画树状图或列表的方法，求点M（m，n）在第一象限的概率.
22.（8分）兰州白塔位于甘肃省兰州市白塔寺内.白塔塔身为八面七级，上有绿顶，下有圆基，通体洁白，挺拔秀丽（如图①）.某数学“综合与实践”小组开展了测量“兰州白塔的高度”的实践活动，过程如下：
方案设计：如图②，兰州白塔垂直于地面，在地面上选取，两处分别用测角仪（测角仪始终与地面垂直）测得，的度数（，，三点共线，，）.
数据收集：通过实地测量，地面上，两点的距离为9 m，，，测角仪m.
问题解决：求兰州白塔的高度（结果精确到0.1 m）.
参考数据：，，，，，.
四、解答题（本大题共5小题，共40分.解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
23.（7分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）在轴上是否存在一点，使得的值为6？若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由.
24.（7分）某校为加强学生对中文历史发展的学习与了解，彰显中文和中华文化的魅力，举行了“感受中文魅力，弘扬中华文化”的趣味知识竞赛. 现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（单位：分，用表示，百分制）分成四组： ； ； ； ，将所得数据进行收集、整理、描述和分析：
【数据收集】
七年级20名学生的竞赛成绩是：81，86，99，95，89，99，98，82，88，99，80，86，97，94，88，99，99，83，88，100
八年级20名学生的竞赛成绩在组中的数据是：94，94，91，93，95，91
【数据整理】
【数据分析】
七年级 八年级
平均数 91.5 92
中位数 91.5
众数 99 100
请根据以上信息解答下列问题：
（1）填空： ， ， ；
（2）若该校七年级有600人，八年级有400人参加了此次竞赛活动. 估计参加此次竞赛活动学生中获得优秀（90分以上）成绩的总人数；
（3）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生对“中文的历史发展”知识了解得更多？ 并说明理由.
25.(8分)如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，连接BC，作于点D，过点C作⊙O的切线，
交OD的延长线于点E，连接BE，AD.
（1）求证：BE是⊙O的切线；
(2)当⊙O的半径为9，时，求AD的长.
26.(8分)如图，已知是等腰三角形.
【模型建立】
(1)若°，D是斜边AB的中点，E是直线AC上一点，连接DE，过点D作，交直线
BC于点F，连接EF.
①如图①，当点E在线段AC上时，用等式写出线段EA，EC，ED之间的数量关系，并说明理由；
②如图②，当点E在CA的延长线上时，用等式写出线段EA，EC，ED之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
(2)如图③，若°，D是靠近点A的AB边的三等分点，点F在BC的延长线上，连接DF，在
DF左侧作等腰且°，连接AE. 若，，求BF的长.
27.（10分）如图，抛物线 交x轴于O， 两点，顶点为 .
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图①，P为第一象限抛物线上一点，连接OP，AP，若 ，求点P的坐标；
（3）如图②，已知E，F是x轴上的两个动点（点E在点F左侧），连接BE，BF. 若 ，求 的最小值.
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