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第3节　实验：探究平抛运动的特点
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、平抛运动
1．抛体运动
定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动。
2．平抛运动
(1)概念：如果抛体运动的初速度是沿水平方向的，物体所做的运动就叫作平抛运动。
(2)条件：物体具有水平方向的初速度且运动过程中只受到重力的作用。
二、实验目的
1．用实验的方法描绘出平抛运动的轨迹。
2．探究平抛运动竖直方向和水平方向运动的特点。
3．判断平抛运动的轨迹是否为抛物线。
4．根据平抛运动的轨迹求其初速度。
三、实验思路
1．提出问题
平抛运动是曲线运动，速度和位移的大小、方向时刻在发生变化。这个复杂的曲线运动有什么规律呢？能否分解为两个简单的直线运动？
2．科学猜想
由于物体是沿水平方向抛出的，在运动过程中只受到竖直向下的重力作用，因此平抛运动可能是水平方向和竖直方向分运动的合成。那么只要研究出这两个分运动的特点，平抛运动的规律就清楚了。
四、实验方案
方案一：频闪照相法
1．通过频闪照相的方法获得小球做平抛运动时的频闪照片；
小球做平抛运动的频闪照片
2．以抛出点为原点，建立直角坐标系；
3．通过频闪照片描出小球经过相等时间间隔所到达的位置；
4．测出T、2T、3T…时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，并填入表格；

5.分析数据得出小球水平分运动和竖直分运动的特点。
抛出时间 T 2T 3T 4T 5T
水平位移
竖直位移
结论 水平分运动特点
竖直分运动特点
方案二
步骤1：探究平抛运动竖直分运动的特点
在如图甲所示的实验中，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水
平方向抛出，做平抛运动；同时B球被释放，自由下落，做自
由落体运动。观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后。
分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复这个实验，记录实验现象。
步骤2：探究平抛运动水平分运动的特点
(1)按图乙安装实验装置，使斜槽末端水平。钢球在斜槽中某一高度由静止滚下，从末端飞出后做平抛运动。水平放置的倾斜挡板MN可上下调节，钢球飞出后，落到挡板上，挤压复写纸，在白纸上留下印迹。上下调节挡板，通过多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个位置。用平滑曲线连接印迹，得到钢球做平抛运动的轨迹。
(2)注意事项
①实验中必须调整斜槽末端的切线水平(将小球放在斜槽末端水平部分，若小球静止，则斜槽末端水平)。
②方木板必须处于竖直平面内，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直。
③小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放。
④坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点。
⑤小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球做平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜。
典例分类讲解
PART
02
第二部分
某小组做探究平抛运动规律的实验。
题型一　平抛运动规律的探究
(1)在图甲中用小锤敲击弹性金属片，观察到a、b两个小球同时落地，则说明平抛运动在竖直方向上做________运动。
[解析]　由于任意高度，做平抛运动和自由落体运动的两个小球都会同时落地，说明平抛运动在竖直方向上做自由落体运动。
自由落体
(2)在图乙中将相同的两个小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，切断电源，P、Q同时沿着相同的斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做____________运动。
[解析]　在题图乙中同时断电后P、Q两个小球同时沿着斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做匀速直线运动。
匀速直线
(3)利用频闪相机拍摄图甲中a小球运动过程，经处理后得到如图丙所示的点迹图像。图中O为坐标原点，B点在两坐标线交点，坐标xB＝40 cm，yB＝20 cm，A、C点均在坐标线的中点。重力加速度g取10 m/s2，则平抛小球在B点处的瞬时速度大小vB＝________m/s(结果保留根式)。
[解析]　根据题图丙中的几何关系可知，A点的纵坐标为5 cm，B点的纵坐标为20 cm，C点的纵坐标为45 cm
因此A、B的竖直距离yAB＝15 cm＝0.15 m
　(2024·河北卷，T11(2))图1为探究平抛运动特点的装置，其斜槽位置固定且末端水平，固定坐标纸的背板处于竖直面内，钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出，落在倾斜的挡板上挤压复写纸，在坐标纸上留下印迹。某同学利用此装置通过多次释放钢球，得到了如图2所示的印迹，坐标纸的y轴对应竖直方向，坐标原点对应平抛起点。
(1)每次由静止释放钢球时，钢球在斜槽上的高度________(选填“相同”或“不同”)。
[解析]　为保证钢球每次做平抛运动的初速度相同，必须让钢球在斜槽上同一位置由静止释放，故高度相同。
相同
(2)在坐标纸中描绘出钢球做平抛运动的轨迹。
[解析]　描点连线用平滑曲线连接，钢球做平抛运动的轨迹如图所示。
[答案]　图见解析　
(3)根据轨迹，求得钢球做平抛运动的初速度大小为________m/s(当地重力加速度g取9.8 m/s2，保留2位有效数字)。
0.71
如图所示，小明利用家中物品制作了一个研究平抛运动规律的装置。在水平桌面上用硬练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动。实验步骤如下：
题型二　教材实验创新
a．将贴好白纸的案板竖直放置于P处；
b．将小钢球沾上墨水后由静止释放，小球飞出后碰到案板并在白纸上留下痕迹B；
c．将案板从P处靠近书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹A；
d．将案板从P处远离书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹C；
e．用刻度尺量出A、B、C三点的距离hAB＝0.15 m，hBC＝0.25 m，通过以上数据即可粗略求出小球离开书桌时初速度的大小。重力加速度g取10 m/s2，回答下列问题：
(1)关于实验操作，下列说法正确的是________。
A．书桌要调整水平
B．小球每次都从同一位置由静止释放
C．必须用秒表记录时间
D．案板可以不竖直放置
[解析]　要保证小球做平抛运动，书桌要调整水平，A正确；由于要记录小球的运动轨迹，必须重复多次，才能画出几个点，因此为了保证每次平抛的轨迹相同，所以要求小球每次从同一高度释放，B正确；本实验测量小球轨迹即可，无需测量时间，C错误；案板必须竖直放置，以防止打到案板上的点之间的水平位移不同， D错误。
AB
(2)根据实验数据，可得小球离开桌面时初速度的大小v0＝________m/s。
1
(3)若因为操作不当，把案板从P处靠近书桌平移0.1 m后，案板没有竖直，向右倾斜一较小角度，其他操作无误，则求出的离开桌面时初速度比实际值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
偏小
　【教材经典P13第1题改编】小明同学在探究出平抛运动的竖直方向分运动特点之后，在家里设计了一个探究平抛运动水平方向分运动特点的实验装置。如图甲所示，在桌面上放置一个斜面，让钢球从斜面上滚下，滚过桌边后钢球便被抛出。在钢球抛出后经过的地方水平放置一块木板(还有一个用来调节木板高度的支架，图中未画出)，木板上放一张白纸，白纸上有复写纸，这样便能记录钢球在白纸上的落点。为了方便记录小球落点坐标，小明同学还在桌子边缘沿竖直方向设置了一个标尺(零刻度与水平桌面对齐)，在木板的边缘设置了一水平标尺(零刻度与桌面的竖直边缘对齐)。
让钢球多次从斜面上滚下，不断调节木板高度，借助标尺，测量每次小球落点的坐标(x1，y1)、(x2，y2)…并记录于表中。小明同学根据记录的数据，运用图像法进行处理，得到了如图乙所示的图像(图乙中g为重力加速度)，得出了平抛运动水平方向分运动的特点。
(1)关于该实验，下列说法正确的是________。
A．斜面和桌面必须尽可能光滑
B．桌子边缘必须水平
C．斜面上每次释放小球的位置可以不同
D．上下调节木板时必须每次等间距移动
B
[解析]　小球从斜面滑下后在水平桌面运动，从桌面边缘水平抛出，不需要斜面和桌面光滑，A错误； 小球从桌子边缘抛出要做平抛运动，所以桌子边缘必须水平，B正确；要使每次从桌子边缘抛出的初速度相同，必须保证小球每次均从斜面上的同一位置由静止释放，C错误；上下调节木板时不一定每次移动的距离相等，D错误。
(2)若图乙的横纵坐标单位均为国际单位，则本实验中小球从桌边抛出时的初速度为________m/s(结果保留2位有效数字)。
1.4
(3)由图乙可知，依据第四组数据描出的点P，明显偏离了“直线”，则造成这一偏差可能的原因是该次操作________。
A．小球释放的位置较“同一位置”偏高
B．小球释放的位置较“同一位置”偏低
C．水平木板的左端较桌子边缘偏右
[解析]　点P相对于直线上同一个竖直高度的点而言，水平位移偏小，可能是抛出时的初速度较小，即释放小球的位置较“同一位置”偏低，也可能是水平木板的左端较桌子边缘偏右，使得水平位移的测量值偏小。
BCINCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
题组1　平抛运动的性质和特点
1．在实际生活中，最接近抛体运动的是(　　)
A．手抛出的小石块
B．秋风吹落的树叶
C．在空中高速运动的炮弹
D．空中飞翔的纸飞机
解析：选A。以一定的速度抛出的物体，只在重力作用下的运动，是抛体运动，如果有空气阻力，但空气的阻力跟重力相比可以忽略不计，也可以看成抛体运动。手抛出的小石块的运动最接近拋体运动，故A正确；秋风吹落的树叶，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故B错误；物体在空气中运动，速度越大，阻力也越大，在空中高速运动的炮弹，由于阻力的影响，实际轨迹不再是抛物线，因此不能看成抛体运动，故C错误；空中飞翔的纸飞机，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故D错误。
题组2　平抛运动规律的应用
2．做平抛运动的物体，在水平方向通过的最大距离取决于(　　)
A．物体所受的重力和抛出点的高度
B．物体的初速度和抛出点的高度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、高度和初速度
解析：选B。对于做平抛运动的物体，水平方向上有x＝v0t，竖直方向上有h＝gt2，所以水平位移x＝v0，所以水平方向通过的最大距离取决于物体的高度和初速度，B正确。
3．(多选)以速度v0水平抛出一物体，当其竖直分位移与水平分位移相等时，此物体的(　　)
A．竖直分速度等于水平分速度
B．瞬时速度为v0
C．运动时间为
D．发生的位移为 eq \f(2\r(2)v,g)
解析：选BCD。当其竖直分位移与水平分位移相等时，则有v0t＝gt2，可得t＝，故C正确；竖直速度vy＝gt＝2v0，故A错误；瞬时速度v＝ eq \r(v＋v)＝v0，故B正确；发生的位移x合＝＝ eq \f(2\r(2)v,g)，故D正确。
4．(2024·海南卷，T3)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽x＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，g取10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　)
A．0.5 m　　　　　　　 B．5 m
C．10 m D．20 m
解析：选B。车做平抛运动，设运动时间为t，竖直方向h＝gt2，水平方向x＝v0t，其中，x＝25 m、v0＝25 m/s，解得h＝5 m。
5．如图所示，在竖直平面内，截面为三角形的小积木悬挂在离地足够高处，一玩具枪的枪口与小积木上P点等高且相距为L。当玩具子弹以水平速度v从枪口向P点射出时，小积木恰好由静止释放，子弹从射出至击中积木所用时间为t。不计空气阻力。下列关于子弹的说法正确的是(　　)
A．将击中P点，t大于
B．将击中P点，t等于
C．将击中P点上方，t大于
D．将击中P点下方，t等于
解析：选B。由于子弹水平射出后做平抛运动，小积木做自由落体运动，二者竖直方向运动状态相同，所以子弹将击中P点；子弹水平方向做匀速直线运动，由L＝vt可得t＝，B正确。
6．(2025·云南卷，T3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
解析：选D。鸟食做平抛运动，在竖直方向上，h＝gt2，hN>hM则tN>tM，因同时接到鸟食所以在N点接到的鸟食先抛出，A、B错误；在水平方向上，x＝v0t，在同一高度时，x′OM>x′ON，故vMO>vNO，C错误，D正确。
7．(2024·1月浙江选考，T8)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为　(　　)
A． B．
C． D．(＋1)D
解析：选C。设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，水落到桶底A点时有x＋＝v0，解得v0＝。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
8．铯原子钟是精确的计时仪器。图1中铯原子从O点以100 m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2。O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m。重力加速度g取10 m/s2，则t1∶t2为(　　)
A．100∶1 B．1∶100
C．1∶200 D．200∶1
解析：选C。设距离d＝0.2 m，铯原子做平抛运动时有d＝v0t1，做竖直上抛运动时有d＝g，解得＝，故A、B、D错误，C正确。
9．(多选)(2025·天津和平区期末)如图甲所示，农民用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次一颗谷粒被水平抛出的运动轨迹如图乙所示，O为抛出点，A、B为轨迹上两点，且谷粒在OA间与AB间运动的时间相等。忽略空气阻力，下列说法正确的是　(　　)
A．谷粒在OA间水平方向的位移大小小于AB间水平方向的位移大小
B．谷粒在B点的速度大小是在A点时的2倍
C．谷粒在OA间与AB间竖直方向的位移大小之比为1∶3
D．谷粒在B点与水平方向速度偏角正切值是在A点时的2倍
解析：选CD。谷粒在空中做平抛运动，水平方向上做匀速直线运动，谷粒在OA间与AB间运动的时间相等，在水平方向上x＝v0t，可知谷粒在OA间水平方向的位移大小等于AB间水平方向的位移大小，故A错误；谷粒在OA间与AB间运动的时间相等，则vA＝ eq \r(v＋(gt)2)，vB＝ eq \r(v＋(g·2t)2)，谷粒在B点的速度大小小于在A点时的2倍，故B错误；谷粒在竖直方向做自由落体运动，且谷粒在OA间与AB间运动的时间相等，根据初速度为零的匀加速直线运动的推论可知，谷粒在OA间与AB间竖直方向的位移大小之比为1∶3，故C正确；谷粒在A点与水平方向速度偏角的正切值tan α＝，谷粒在B点与水平方向速度偏角的正切值tan β＝，可知谷粒在B点与水平方向速度偏角正切值是在A点时的2倍，故D正确。
10．(2025·云南玉溪市期末)某同学玩飞镖游戏，如图所示，他将飞镖从镖盘正前上方某位置以速度v1水平投出后，经时间t1，飞镖击中靶心正上方某位置；第二次将飞镖从同一位置以速度v2水平投出后，经时间t2飞镖击中靶心正下方某位置。不计空气阻力，飞镖可视为质点，下列关系式正确的是(　　)
A．v1>v2，t1v2，t1>t2
C．v1t2
解析：选A。两次飞镖从同一位置水平投出，均做平抛运动，第一次击中靶心正上方某位置，第二次击中靶心正下方某位置，有h1v2。
11．(2025·天津静海月考)如图所示，从水平面上A点正上方5 m处的O点水平向右抛出一个小球的同时，位于A点右方3 m远处的物块B正以4 m/s2的加速度从静止开始做匀加速运动，恰好在P点被小球击中。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则(　　)
A．物块B从开始运动到被击中的时间为1 s
B．小球的初速度越大，它在空中飞行的时间越长
C．小球的水平射程为2 m
D．小球击中物块B时的速度为10 m/s
解析：选A。小球在空中做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，解得t＝＝ s＝1 s，可知小球在空中飞行的时间与小球的初速度无关，物块B从开始运动到被击中的时间为1 s，故A正确，B错误；物块B的位移xB＝at2＝×4×12 m＝2 m，则小球的水平射程x＝3 m＋xB＝5 m，故C错误；小球的初速度v0＝＝ m/s＝5 m/s，小球击中物块B时的竖直分速度vy＝gt＝10 m/s，则小球击中物块B时的速度v＝ eq \r(v＋v)＝5 m/s，故D错误。
12．(12分)(2025·河南洛阳市期末)某课外兴趣小组借助传感器，研究一小球做平抛运动的规律。小球水平抛出0.5 s时速度方向与竖直方向成45°角，落地时速度方向与竖直方向成30°角，小球可看作质点，重力加速度g取10 m/s2，求(结果可以保留根式)：
(1)小球做平抛运动的初速度大小；(4分)
(2)小球抛出时距离地面的高度；(4分)
(3)小球抛出点与落地点之间的水平距离。(4分)　
解析：(1)当小球抛出0.5 s后小球的竖直分速度vy1＝gt1＝5 m/s，水平方向的分速度v0＝vy1tan 45°＝5 m/s。　
(2)小球落地时竖直方向的分速度vy2＝＝5 m/s，小球抛出时距离地面的高度h＝ eq \f(v,2g)＝3.75 m。
(3)小球下落时间t＝＝ s，小球落地时的水平位移x＝v0t＝ m。
答案：(1)5 m/s　(2)3.75 m　(3) mINCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2025·湖南省合格考)在做“探究平抛运动的特点”的实验中，让A、B两小球同时从同一高度分别做平抛运动和自由落体运动。某同学用频闪照相法记录A、B两小球不同时刻的位置，如图所示。发现以下现象：
(1)A球在水平方向，相同时间内水平位移相同。
(2)A球在竖直方向，总是与B球处于同一高度。
(3)重复多次实验，现象相同，由此得出结论：平抛运动在水平方向上的运动是__________(选填“匀速直线运动”或“自由落体运动”)；在竖直方向上的运动__________(选填“匀速直线运动”或“自由落体运动”)。
解析：(3)由题意可知，平抛运动在水平方向上的运动是匀速直线运动；两球在竖直方向的运动相同，表明平抛运动在竖直方向上的运动是自由落体运动。
答案：(3)匀速直线运动　自由落体运动
2．(2025·湖南益阳市期中)用如图甲、乙所示的两种装置来分析平抛运动。
(1)图甲中用小锤击打弹性金属片C，小球A沿水平方向飞出后做平抛运动，与此同时，与球A相同的球B被松开做自由落体运动；改变实验装置离地高度，多次实验，两球总是__________(选填“同时”“A先B后”或“B先A后”)落地，这说明做平抛运动的球A在竖直方向上做自由落体运动。
(2)图乙中，M、N是两个完全相同的轨道，轨道末端都与水平方向相切，其中，轨道N的末端与光滑水平面相切，轨道M通过支架固定在轨道N的正上方。将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两球以相同的初速度v0同时通过轨道M、N的末端，发现两球__________(选填“同时”或“先后”)到达E处，发生碰撞。改变轨道M在轨道N上方的高度，再进行实验，结果两球也总是发生碰撞，这说明做平抛运动的P球在水平方向上的运动情况与Q球____________(选填“相同”或“不同”)。
解析：(1)改变实验装置离地高度，多次实验，两球总是同时落地，这说明做平抛运动的球A在竖直方向上做自由落体运动。
(2)两球以相同的初速度v0同时通过轨道M、N的末端，发现两球同时到达E处，发生碰撞。改变轨道M在轨道N上方的高度，再进行实验，结果两球也总是发生碰撞，这说明做平抛运动的P球在水平方向上的运动情况与Q球相同。
答案：(1)同时　(2)同时　相同
3．某同学用如图甲所示的实验装置做“探究平抛运动的特点”的实验。
(1)为了能较准确地描绘小球的运动轨迹，下列说法正确的是________。
A．小球做平抛运动时应与木板摩擦，以便画出运动轨迹
B．本实验不需要用天平测出小球的质量，也不需要配备重垂线
C．为了保证小球沿水平方向飞出，应将斜槽轨道的末端调成水平
D．以小球在斜槽末端时球心在方格纸上的投影点作为所建坐标系的原点O
(2)在此实验中，每次都要让小球从斜槽上的同一位置由静止滚下，但小球与斜槽间有摩擦力，这个摩擦力________(选填“会”或“不会”)使实验的误差增大。
该实验中，让小球多次从斜槽上由静止滚下，在白纸上依次记下小球的位置，甲同学和乙同学得到的记录纸分别如图乙、丙所示，从图中明显看出甲同学的实验错误是__________________，乙同学的实验错误是______________________________________________________________。
INCLUDEPICTURE "E26TWLRB2A40+41合.TIF" INCLUDEPICTURE "../../E26TWLRB2A40+41合.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：(1)小球做平抛运动时，不应使其与木板摩擦，以免影响运动的轨迹造成较大实验误差，故A错误；本实验不需要用天平测出小球的质量，但需要配备重垂线，以便确定竖直方向，故B错误；为了保证小球沿水平方向飞出，应将斜槽轨道的末端调成水平，故C正确；小球从斜槽上某位置由静止滚下，离开斜槽末端后做平抛运动，应以小球在斜槽末端时球心在方格纸上的投影点作为所建坐标系的原点O，故D正确。
(2)斜槽轨道不需要光滑，只要保证小球每次从同一位置释放即可，因为小球每次从同一位置释放，路径相同，每次损失的机械能相同，到达斜面底端时速度相等，即可保证平抛初速度相同。用平滑曲线描绘出小球的运动轨迹，题图乙中小球的初速度明显不沿水平方向，故可推知斜槽末端不水平。题图丙中描绘的点零乱，难以形成一条平滑曲线，可推知初速度不是每次都相同，即每次由静止释放小球的位置不同。
答案：(1)CD　(2)不会　斜槽末端不水平　每次静止释放小球的位置不同
4．(2025·浙江绍兴市期末)在做“研究平抛运动”的实验时，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹，实验装置如图所示。
(1)实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是________。
A．重垂线　　　　　　 B．秒表
C．弹簧测力计 D．天平
(2)关于这个实验，下列说法正确的是______(多选)。
A．小球释放的初始位置越高越好
B．每次小球要从同一高度由静止释放
C．要选择光滑的斜槽，并调整斜槽末端切线到水平
D．小球的平抛运动要靠近木板但不接触
(3)在做“研究平抛运动”的实验时，坐标纸应当固定在竖直的木板上，图中坐标纸的固定情况与斜槽末端的关系正确的是________。
解析：(1)实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，还需要的是重垂线。
(2)小球释放的初始位置并非越高越好，若是太高，导致水平抛出的速度太大，实验难以操作，故A错误；因为要画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得相同的初速度，故B正确；只要让小球每次从斜槽上同一位置由静止释放，则可得到相同的平抛速度，不需要斜槽必须光滑，故C错误；实验要求小球滚下时不能碰到木板平面，避免因摩擦而使运动轨迹改变，最后轨迹应连成平滑的曲线，故D正确。
(3)斜槽末端是水平的，小球做平抛运动，要分解为水平方向和竖直方向的分运动，故方格纸应该水平竖直，坐标原点应该与小球在斜槽末端静止时在木板上的投影重合。
答案：(1)A　(2)BD　(3)C
5．(2025·重庆市期末)为了探究平抛运动规律，老师做了如下演示实验：
(1)为了说明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，用图甲所示装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开自由下落。关于该实验，下列说法正确的有________。
A．所用两球的质量必须相等
B．只做一次实验发现两球同时落地，即可以得到实验结论
C．应改变装置的高度多次实验
D．本实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
(2)某同学在做实验时得到了图乙所示的小球做平抛运动的轨迹，a、b、c位置是运动轨迹上三个点(已标出)。其中x、y坐标轴分别沿水平方向和竖直方向，则：(以下两空均保留2位有效数字)
①小球平抛的初速度为________m/s。(重力加速度g取10 m/s2)
②从抛出点到c点的这段时间内小球的速度变化量为________m/s。
解析：(1)本实验研究平抛运动竖直方向的运动特点，与小球运动的加速度有关，与小球的质量无关，故A错误；为减少实验误差，应改变装置的高度多次实验，若发现两球同时落地，即可以得到实验结论，故B错误，C正确；本实验只能说明平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，故D错误。
(2)①平抛运动在竖直方向上为自由落体运动，根据匀变速直线运动的推论有Δy＝gT2可得T＝＝0.1 s，小球在水平方向上做匀速直线运动，则小球平抛运动的初速度v0＝＝2.0 m/s。
②匀变速直线运动全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，则b点竖直分速度vby＝ m/s＝1.5 m/s，则抛出点到c点的时间t＝＋T＝0.25 s，则从抛出点到c点的这段时间内小球的速度变化量Δv＝gt＝2.5 m/s。
答案：(1)C　(2)①2.0　②2.5
6．某实验小组利用图(a)所示装置验证小球平抛运动的特点。实验时，先将斜槽固定在贴有复写纸和白纸的木板边缘，调节槽口水平并使木板竖直；把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O，建立平面xOy坐标系。然后从斜槽上固定的位置释放小球，小球落到挡板上并在白纸上留下印迹，上下调节挡板进行多次实验。实验结束后，测量各印迹中心点O1、O2、O3…的坐标，并填入表格中，计算对应的x2值。
项目 O1 O2 O3 O4 O5 O6
y/cm 2.95 6.52 9.27 13.20 16.61 19.90
x/cm 5.95 8.81 10.74 12.49 14.05 15.28
x2/cm2 35.4 77.6 115.3 156.0 197.4 233.5
(1)根据表中数据，在图(b)给出的坐标纸上补上O4数据点，并绘制“y－x2”图线。
(2)由y－x2图线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成________(选填“线性”或“非线性”)关系，由此判断小球下落的轨迹是抛物线。
(3)由y－x2图线求得斜率k，小球平抛运动的初速度表达式为v0＝________(用斜率k和重力加速度g表示)。
(4)该实验得到的y－x2图线常不经过原点，可能的原因是___________________________________________________________。
解析：(1)根据表中数据在坐标纸上描出O4数据点，并绘制“y－x2”图线如图所示。
(2)由y－x2图线为一条倾斜的直线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成线性关系。
(3)根据平抛运动规律可得x＝v0t，y＝gt2，联立可得y＝g()2＝ eq \f(g,2v)x2，可知y－x2图线的斜率为k＝ eq \f(g,2v)，解得小球平抛运动的初速度为v0＝。
(4)y－x2图线是一条直线，但常不经过原点，说明实验中测量的y值偏大或偏小一个定值，这是小球的水平射出点未与O点重合，位于坐标原点O上方或下方所造成的。
答案：(1)图见解析　(2)线性　(3)　(4)水平射出点未与O点重合第2课时　斜抛运动
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　斜抛运动的理解
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
体育运动中投掷链球、铅球、铁饼、标枪等运动(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
[提示]　(1)不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，方向斜向上方。
(2)不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
斜抛运动的特点
(1)轨迹关于通过最高点的竖直线对称。
(2)同一高度速率相等。
(3)从某一点到最高点的时间与从最高点下降至该点同一高度处的时间相等。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，在排球场上发球运动员将排球斜向上击出，排球运动一段时间后落至A点。已知排球在空中运动轨迹的最高点为O点，排球可视为质点，忽略空气阻力的影响。关于排球运动过程中速度方向和受力方向，下列图中正确的是(　　)
[解析]　排球在空中做曲线运动，速度方向为轨迹的切线方向，A正确，B错误；排球在空中做曲线运动时，忽略空气阻力的影响，排球只受到重力作用，因此排球运动过程中受力方向始终竖直向下，C、D错误。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·江苏卷，T4)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　)
A．加速度相同　　　　
B．初速度相同
C.最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
[解析]　不计空气阻力，喷泉喷出的水在空中只受重力，加速度均为重力加速度，故A正确；根据对称性可知在空中运动的时间t＝2，可知tb>ta，D错误；最高点的速度等于水平方向的分速度vx＝，由于水平方向的位移大小关系未知，无法判断最高点的速度大小关系，根据速度的合成可知无法判断初速度的大小，B、C错误。
[答案]　A
知识点二　斜抛运动的规律和分析方法
1．分析思路
一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
2．斜抛运动的规律
斜抛物体的运动轨迹如图所示。
(1)速度规律
水平速度：vx＝v0x＝v0cos θ
竖直速度：vy＝v0y－gt＝
v0sin θ－gt
t时刻的速度大小为v＝ eq \r(v＋v)。
(2)位移规律
水平位移：x＝v0xt＝v0t cos θ
竖直位移：y＝v0t sin θ－gt2
t时间内的位移大小为x合＝，与水平方向成α角，且tan α＝。
3．射高和射程
(1)斜抛运动的飞行时间：t＝＝。
(2)射高：h＝ eq \f(v,2g)＝ eq \f(vsin2θ,2g)。
(3)射程：x＝v0t cosθ＝ eq \f(2vsin θcos θ,g)＝ eq \f(vsin 2θ,g)。
对于给定的v0，当θ＝45°时，射程达到最大值，xmax＝ eq \f(v,g)。
角度1　斜抛运动基本规律的应用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　从某高处以6 m/s的初速度、与水平方向成30°角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g取10 m/s2)求：
(1)石子在空中运动的时间；
(2)石子的水平位移大小；
(3)石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度；
(4)抛出点离地面的高度。
[解析]　(1)如图所示
石子落地时的速度方向和水平线的夹角为60°，则
＝tan 60°＝
即vy＝vx＝v0cos 30°＝9 m/s
取竖直向上为正方向，落地时竖直方向的速度向下，则
－vy＝v0sin 30°－gt
得t＝1.2 s。
(2)石子在水平方向上做匀速直线运动
x＝v0t cos 30°＝ m。
(3)当石子速度的竖直分量减为0时，到达最大高度处，则
v0y＝v0sin 30°＝3 m/s
由v＝2gh
得h＝0.45 m。
(4)抛出点离地面的高度
h1＝|v0t sin 30°－gt2|＝3.6 m。
[答案]　(1)1.2 s　(2) m　(3)0.45 m
(4)3.6 m
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·山东临沂市期末)第十四届全国冬季运动会于2月17日在内蒙古开幕。跳台滑雪是其中的项目之一，滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成，如图甲所示，图乙为简化后的跳台滑雪赛道示意图，AD段为助滑道，DB为起跳区，与水平面的夹角α＝30°，BC段为倾角θ＝30°的着陆坡。一运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，到达点B时，借助设备和技巧，以与水平方向成30°角(起跳角)的方向起跳，最后落在着陆坡面的C点。已知该运动员在B点的起跳速度为20 m/s，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)运动员离开着陆坡面的最大距离是多少？
(2)求运动员落到C点的速度大小。
[解析]　(1)运动员起跳时沿垂直于斜面方向的初速度
vy′＝v0cos 30°＝10 m/s
重力加速度在垂直于斜面方向的分加速度大小
g′＝g cos 30°＝5 m/s2
离斜面最远时，垂直于斜面方向的速度为零，则离斜面的最远距离
h＝＝10 m。
(2)运动到离斜面最远的时间
t′＝＝2 s
由于运动时间的对称性，则运动员落到C点的时间
t＝2t′＝4 s
运动员落到C点的水平方向速度大小
vx＝v0cos 30°＝10 m/s
运动员落到C点的竖直方向速度大小
vy1＝－vy＋gt＝30 m/s
运动员落到C点的速度大小
vC＝ eq \r(v＋v)＝20 m/s。
[答案]　(1)10 m　(2)20 m/s
角度2　巧把斜抛看成平抛运动
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，足球比赛中运动员将足球从地面上的A点踢出，足球在最高点以大小为v0的速度垂直打在横梁上的C点，反向弹回瞬间的速度大小为，运动员再向前跑一段距离在B点正上方用头球破门。已知C点离地面的高度H＝2.45 m，A点与球门线间距离xA＝14 m，运动员顶球时球离地面的高度h＝1.65 m，重力加速度g取10 m/s2，足球受到空气的阻力忽略不计。求：
(1)足球运动至C点时的速度大小v0；
(2)A、B两点间的距离xAB。
[解析]　(1)足球从A点到C点可看成逆过程的平抛运动，则有
H＝gt2，xA＝v0t
联立解得足球运动至C点时的速度大小
v0＝20 m/s。
(2)足球从C点反弹后做平抛运动，竖直方向有
H－h＝gt′2
解得t′＝0.4 s
水平方向有xBC＝t′＝4 m
则A、B两点间的距离
xAB＝xA－xBC＝10 m。
[答案]　(1)20 m/s　(2)10 m
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(斜抛运动的理解)(2025·河南洛阳市期末)如图是小球做斜抛运动的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列说法正确的是(不计空气阻力)(　　)
A．该运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀速直线运动
B．小球在A点的速度与小球在B点的速度相同
C．整个运动过程中小球处于失重状态
D．小球从A到C的时间小于从C到B的时间
解析：选C。该运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动，故A错误；根据对称性可知，小球在A点的速度与小球在B点的速度大小相等，但方向不同，故B错误；整个运动过程中，小球的加速度为重力加速度，处于失重状态，故C正确；根据对称性可知，小球从A到C的时间等于从C到B的时间，故D错误。
2．(斜抛运动的基本规律)如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出做斜抛运动，两次腾空最大高度相同，分别落在B、C两点，A、B、C三点在同一水平面上，则(　　)
A．两次滑出的速度方向相同
B．两次滑出的速度大小相同
C．两次到最高点时的速度相同
D．两次在空中经历的时间相同
解析：选D。设腾空时间为t，腾空的最大高度h＝g·＝gt2，得t＝2，因两次腾空最大高度相同，则两次在空中经历的时间相同，D正确；滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出后做斜抛运动，水平方向上有x＝vxt，因分别落在B、C两点，有xB>xC，则从A点滑出做斜抛运动时水平方向的初速度vxB>vxC，最高点时，竖直方向的分速度为零，速度等于水平方向的初速度，可知两次到最高点时速度不相同，C错误；两次从A点滑出做斜抛运动时竖直方向的初速度vy＝g＝相同，因水平速度不同，则两次滑出的速度大小v＝ eq \r(v＋v)不同，B错误；设滑出的速度方向与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，由水平速度不同、竖直速度相同可知两次滑出的速度方向不相同，A错误。
3．(斜抛运动的基本规律)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是　(　　)
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
解析：选D。若研究两个过程的逆过程，可看作篮球从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的A、B两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，D正确。第4节　抛体运动的规律
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．知道物体做平抛运动的条件及运动特点和受力特点。
2．通过运动的合成与分解分析平抛运动的规律，掌握分析方法。
3．能用平抛运动的规律解决相关问题。
4．知道斜抛运动，会用运动的合成和分解的方法分析一般的抛体运动。
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、平抛运动的速度
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴方向，竖直向下的方向为y轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系。
(1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，vx＝v0。
(2)竖直方向：只受重力，所以a＝g，竖直方向的初速度为0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt。
(3)合速度
大小：v＝ eq \r(v＋v)＝ eq \r(v＋g2t2)；
方向：tan θ＝＝(θ是v与水平方向的夹角)。
二、平抛运动的位移与轨迹
1．平抛运动的位移
(1)水平位移：x＝v0t。
(2)竖直位移：y＝gt2。
(3)合位移s＝＝，设s与水平方向的夹角为α，则tan α＝＝。
2．平抛运动的轨迹：由x＝v0t，y＝gt2消去t得y＝ eq \f(g,2v)x2，满足抛物线方程，可知平抛运动的轨迹是一条抛物线。三、一般的抛体运动
1．斜抛运动：初速度沿斜向上方或斜向下方的抛体运动(设v0与水平方向夹角为θ)。
2．斜抛运动的性质
(1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度v0x＝v0cos_θ。
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度v0y＝v0sin_θ。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确。
(1)平抛运动是匀变速曲线运动。(　　)
(2)物体做平抛运动的时间由水平位移决定。(　　)
(3)物体做平抛运动的合速度方向可能竖直向下。(　　)
(4)物体做平抛运动时，在相等的时间内速度的变化量相等。(　　)
(5)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中运动的时间越长。(　　)
(6)物体做斜抛运动到达最高点时，速度为零。(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×
第1课时　平抛运动
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　平抛运动的性质和特点
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力。
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？运动轨迹如何？
(3)为了方便研究问题，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动？
[提示]　(1)因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
(2)飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
(3)可将平抛运动转化为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点
①加速度：自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动。
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动。
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线。
(4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在一个无风的下午，一个小孩子手拿小纸片放在嘴边，将小纸片水平吹出。已知此小孩的身高约为1.25 m，当g取10 m/s2时，下列说法正确的是(　　)
A．小纸片做平抛运动
B．小纸片的下落时间可能为0.5 s
C．小纸片的下落时间可能为3 s
D．小纸片不可能竖直落地
[解析]　由于小纸片很轻，受空气阻力影响较大，则不会做平抛运动，若只受重力，则h＝gt2，解得t＝0.5 s，但由于存在空气阻力作用，则下落时间大于0.5 s，可能为3 s，同时由于空气阻力作用，水平方向速度可能减小为零，则可能竖直落地，只有C符合题意。
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．因为平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动
B．平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化
C.平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动
D．平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动
[解析]　做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故平抛运动为匀变速曲线运动，A错误，D正确；相等时间内速度的变化量Δv＝gΔt是相同的，B错误；平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，C错误。
[答案]　D
知识点二　平抛运动规律的应用
1．基本思路：研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法，即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。
2．基本规律
项目 速度 位移
水平分运动 vx＝v0 x＝v0t
竖直分运动 vy＝gt y＝gt2
合运动 大小：v＝ eq \r(v＋(gt)2)方向：与水平方向夹角为θ，tan θ＝＝ 大小：l＝方向：与水平方向夹角为α，tan α＝＝
图示
3.两个推论
(1)平抛运动某一时刻速度与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。
证明：因为tan θ＝＝，tan α＝＝，所以tan θ＝2tan α。
(2)做平抛运动的物体在任意时刻瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点。
证明：如图所示，P点速度的反向延长线交OB于A点，则 ＝v0t，＝＝gt2·＝v0t，可见 ＝。
角度1　平抛运动基本规律的应用
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·江苏苏州市期末)一小球以初速度v0从空中某点水平抛出，落地时速度方向与水平地面的夹角θ＝60°。不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)小球落地时竖直方向的分速度vy的大小；
(2)小球抛出点与落地点之间的水平距离x。
[解析]　(1)落地时速度方向与水平地面的夹角θ＝60°，则有tan θ＝，解得vy＝v0。
(2)竖直方向有vy＝gt，解得t＝，则小球抛出点与落地点之间的水平距离x＝v0t＝ eq \f(\r(3)v,g)。
[答案]　(1)v0　(2) eq \f(\r(3)v,g)
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·北京卷，T17)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t；
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
[解析]　(1)水在空中做平抛运动，由平抛运动规律得，竖直方向有h＝gt2
解得水从管口到水面的运动时间t＝。
(2)由平抛运动规律得，水平方向有d＝v0t
解得水从管口排出时的速度大小v0＝d。
(3)管口单位时间内流出水的体积
Q＝Sv0＝Sd。
[答案]　(1) 　(2)d　(3)Sd
角度2　平抛运动推论的应用
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，从某高度处水平抛出一小球，经过时间t 到达地面，到达地面时速度与水平方向的夹角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．小球水平抛出时的初速度大小为gt tan θ
B．小球在t时间内位移的方向与水平方向的夹角为
C.仅使小球初速度增大，平抛运动的时间不变
D．若小球初速度增大，则θ增大
[解析]　小球落地时竖直方向的速度vy＝gt，根据题意可得tan θ＝，解得v0＝，A错误；设在t时间内位移的方向与水平方向的夹角为α，根据平抛运动的推论可知，2tan α＝tan θ，则α≠，B错误；竖直方向高度不变，根据h＝gt2可得t＝，故使小球初速度增大，平抛运动的时间不变，C正确；根据tan θ＝可知，若小球初速度增大，则θ减小，D错误。
[答案]　C
角度3　类平抛运动
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1。B沿光滑斜面运动，落地点为P2。不计阻力，则从抛出点到落地点(　　)
A．A运动的时间长
B．B运动的时间长
C．P1在x轴上较远
D．P2在x轴上较远
[解析]　A做平抛运动，运动的时间tA＝，B做类平抛运动，运动的时间tB＝，可知B运动的时间长，A错误，B正确；A水平位移xA＝v0，B水平位移xB＝v0，可知P2在x轴上较远，C错误，D正确。
[答案]　BD
综合一练　平抛运动和其他运动的追及相遇问题
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·辽宁辽阳市期末)辽阳市传统名点塔糖风味独特。一辆满载塔糖的货车以大小v0＝20m/s的速度沿平直公路匀速行驶，遇紧急情况突然刹车，一塔糖(视为质点)从车顶沿货车前进的方向水平飞出并离开车顶。车顶距离地面的高度h＝2.45 m，塔糖落在货车前端的后方且落地点与停下的货车前端相距d＝12 m，货车刹车时的加速度大小恒为a＝8 m/s2，重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，塔糖飞出后未与货车碰撞。求：
(1)塔糖在空中运动的时间t；
(2)塔糖刚飞出时到货车前端的水平距离x。
[解析]　(1)塔糖在竖直方向上做自由落体运动，有
h＝gt2
解得t＝0.7 s。
(2)货车刹车后，塔糖在水平方向上的位移大小
x1＝v0t
解得x1＝14 m
设货车刹车后做匀减速直线运动的位移大小为x2，有v＝2ax2
解得x2＝25 m，又x＝x1＋d－x2
解得x＝1 m。
[答案]　(1)0.7 s　(2)1 m
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(平抛运动的性质和特点)(2025·上海市期末)如图，飞机沿水平方向匀速飞行，每隔相同时间释放一包裹，一段时间后包裹在空中的位置关系应为(　　)
解析：选C。飞机沿水平方向做匀速直线运动，包裹做平抛运动，包裹水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，可知飞机与包裹在竖直方向始终位于同一条直线上，且在竖直方向上从上往下相邻包裹之间的间距逐渐增大，只有题图C符合要求。
2．(平抛运动规律的应用)(2024·湖北卷，T3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到　(　　)
A．荷叶a　　　　　　　 B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
解析：选C。青蛙做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，则有x＝vt，h＝gt2，可得v＝x，因此水平位移越小、竖直高度越大时初速度越小，因此它应跳到荷叶c上面。
3．(平抛运动规律的应用)(2025·上海市期末)如图，在某次飞镖比赛中，某一选手在距地高h、离靶面水平距离L处，将质量为m的飞镖以速度v0水平投出，结果飞镖落在靶心正下方。下列措施可使飞镖正中靶心的是(　　)
A．适当减小v0 B．适当减小h
C．适当减小m D．适当减小L
解析：选D。飞镖竖直方向位移y＝gt2，水平方向位移L＝v0t，联立得y＝ eq \f(gL2,2v)，适当增大v0，或者减小L，则y减小，可使飞镖正中靶心。
4．(平抛运动规律的应用)【教材经典P20第2题改编】环保人员在一次检查时发现，某厂的一根水平放置的排污管正在向厂外的河道中满口排出污水，如图所示。环保人员利用手上的卷尺测出这根管道的直径为d，管口中心距离河水水面的高度为h(h d)，污水入河道处到排污管管口的水平距离为x，重力加速度大小为g。该管道在时间t内排出的污水体积为(　　)
A．πxtd2 B．πxtd2
C．πxtd2 D．πxtd2
解析：选D。根据平抛运动规律有x＝vt0，h＝gt，而V＝SL＝π×vt，解得V＝πxtd2。　INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
1．如图所示，将一小球从水平地面以不同角度、相同大小的初速度v0抛出，不计空气阻力，则从抛出到落地的过程中，小球的初速度方向与地面间夹角较大时(　　)
A．水平射程一定较大
B．落地速度一定较大
C．在空中运动时间一定较长
D．在相同时间内速度变化量一定较大
解析：选C。设小球运动时间为t，则根据斜抛的运动规律有x＝v0cos θ·t，v0sin θ＝g·，解得t＝，x＝ eq \f(vsin 2θ,g)，可知θ＝45°时，水平射程最大；小球的初速度方向与地面间夹角较大时在空中运动时间一定较长；根据对称性可知，落地速度v＝＝v0，则落地速度不变，故A、B错误，C正确。小球做斜抛运动，加速度为重力加速度，所以小球的初速度方向与地面间夹角较大时，在相同时间内速度变化量不变，故D错误。
2．“打水漂”是一种常见的娱乐活动，以一定的高度水平扔出的瓦片，会反复在水面上弹跳前进，假设瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是(　　)
解析：选C。瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，可知瓦片竖直上升的高度逐渐减小，根据t＝2，可知瓦片在空中的时间逐渐减小，水平方向有x＝vxt，可知瓦片在空中通过水平位移逐渐减小，C正确。
3．(2025·江苏无锡市期末)如图所示，跳远可拆分为助跑、起跳、腾空、落地这四个过程，以下说法正确的是(　　)
A．助跑过程中，地面对人产生滑动摩擦力作用，使运动员加速向前运动
B．起跳时，运动员对地面的压力大于重力
C．腾空上升阶段，运动员处于超重状态
D．腾空到最高点，运动员的速度为零
解析：选B。在助跑过程中，地面给人脚静摩擦力作用，使运动员加速向前运动，故A错误；在起跳时，运动员具有向上的加速度，地面对运动员的支持力大于重力，根据牛顿第三定律可知运动员对地面的压力大于重力，故B正确；在腾空上升阶段，运动员只受重力作用，具有向下的加速度，运动员处于失重状态，故C错误；运动员腾空做斜抛运动，所以在腾空的最高点，竖直方向速度为零，但水平速度不为零，故D错误。
4．如图所示，从水平地面上A、B两点同时抛出两个物体，初速度分别为v1和v2，与水平方向的夹角分别为30°和60°。某时刻两物体恰好在AB连线上一点O(图中未画出)的正上方相遇，且此时两物体的速度均沿水平方向(不计空气阻力)，则(　　)
A．v1＞v2　　　　　　　 B．v1＝v2
C．OA＝OB D．OA＜OB
解析：选A。由题意知，两物体在竖直方向做竖直上抛运动，设t时刻两物体恰好在AB连线上一点O的正上方相遇，则竖直方向有t＝t，可得v1>v2，故A正确，B错误；两物体在水平方向做匀速直线运动，则有OA＝v1cos 30°·t，OB＝v2cos 60°·t，可得OA>OB，故C、D错误。
5．(2025·河南南阳市期中)如图，小明分别在篮筐正前方的a、b位置投掷篮球，出手时篮球的高度相同，最终都垂直击中篮筐上的同一点。不考虑篮球旋转且不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．在a处投掷时，篮球从出手到击中篮筐的时间更长
B．在b处投掷时，篮球击中篮筐的速度更大
C．在a处和b处篮球出手时的速率相比，b处的出手速率大
D．在a处和b处篮球出手后到垂直击中篮筐的过程中，篮球的速度变化率相同
解析：选D。由逆向思维可知，篮球从篮筐到a或b做平抛运动，由于出手时篮球的高度相同，所以无论篮球在a处投掷还是在b处投掷，篮球从出手到击中篮筐的时间相等，根据加速度的定义可知，在a处和b处篮球出手后到垂直击中篮筐的过程中，篮球的速度变化率相同，故A错误，D正确；篮球在a处投掷运动的水平位移大于在b处投掷运动的水平位移，水平方向篮球做匀速直线运动，则x＝vt，由于篮球运动时间相同，所以vxa>vxb，篮球击中篮筐时的速度为水平方向的出手速度，所以在a处投掷时，篮球击中篮筐的速度更大，故B、C错误。
6．(多选)(2024·江西卷，T8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　)
解析：选AD。小鱼在运动过程中只受重力作用，则小鱼在水平方向上做匀速直线运动，即vx为定值，则有水平位移x＝vxt，故A正确，C错误；小鱼在竖直方向上做竖直上抛运动，则y＝vy0t－gt2，vy＝vy0－gt，且最高点时竖直方向的速度为0，故B错误，D正确。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
7．在自由式滑雪比赛中，图甲是运动员从3 m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图乙是运动员在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力且运动员可视为质点，则运动员(　　)
A．在空中相同时间内的位移相等
B．在空中相同时间内的速度变化量相等
C．冲出跳台的速度大小为14 m/s
D．在空中运动的时间为2.8 s
解析：选B。运动员在空中做斜抛运动，水平方向做匀速直线运动，在空中相同时间内的水平位移相等，竖直位移不相等，所以在空中相同时间内的位移不相等，故A错误；根据Δv＝gt，可知在空中相同时间内的速度变化量相等，故B正确；根据图像可知，1.4 s 末上升到最高点，根据vy＝gt1，可知冲出跳台的竖直分速度大小vy＝14 m/s，则冲出跳台的速度大小满足v0＝ eq \r(v＋v)>vy＝14 m/s，故C错误；上升的高度h＝t1＝9.8 m，则下降的时间t2＝＝ s＝1.6 s，运动员在空中运动的时间T＝t1＋t2＝3 s，故D错误。
8．(多选)(2025·湖南永州市期末)如图甲所示的是农场扬场机分离谷物示意图。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。不计空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　)
A．谷粒1和谷粒2在水平方向都做匀速直线运动
B．谷粒1和谷粒2在竖直方向都做自由落体运动
C．谷粒2从O到P的运动时间大于谷粒1从O到P的运动时间
D．谷粒2从O到P的运动时间等于谷粒1从O到P的运动时间
解析：选AC。谷粒1做平抛运动，谷粒2做斜抛运动，故谷粒1和谷粒2在水平方向都做匀速直线运动，故A正确；谷粒1在竖直方向做自由落体运动，有h＝gt，谷粒2在竖直方向做竖直上抛运动，设谷粒2的初速度与水平方向的夹角为θ，有h＝－v2t2sin θ＋gt，可得t2>t1，故C正确，B、D错误。
9．(12分)(2025·湖南永州市期末)排球运动是一项集运动、休闲、娱乐为一体的群众性体育项目。如图所示，甲运动员在距离地面高h1＝3.2 m处将排球击出，排球水平飞出；乙运动员在离地h2＝1.4 m处将排球垫起，球被垫起时与甲运动员击球点的水平距离x＝6.0 m，g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)排球从被击出到被垫起在空中飞行的时间t；(4分)
(2)排球被击出时的初速度大小v0和被垫起前瞬间的速度大小v(结果可用根式表示)。(8分)
解析：(1)排球从被击出到被垫起在空中做平抛运动，竖直方向有
h1－h2＝gt2
解得t＝＝0.6 s。
(2)水平方向有
x＝v0t
可得排球被击出时的初速度大小
v0＝＝10 m/s
被垫起前瞬间的竖直分速度大小
vy＝gt＝6 m/s
则排球被垫起前瞬间的速度大小
v＝ eq \r(v＋v)＝2 m/s。
答案：(1)0.6 s　(2)10 m/s　2 m/s
10．(14分)(2025·重庆市期末)限重空投项目是飞行器设计创新大赛中最精彩的，也是难度最大的。某次空投沙袋时飞行器速度与水平面的仰角θ＝30°，离地高度h＝15 m，速度v0＝20 m/s。沙袋相对于飞行器无初速度释放，忽略空气阻力对沙袋的影响，g取10 m/s2。求：
(1)沙袋离地面最大高度H；(4分)
(2)沙袋落地点到释放点的水平距离L。(6分)
(3)沙袋落地时的速度大小。(4分)
解析：(1)沙袋释放瞬间，沿竖直方向的分速度大小vy＝v0sin θ＝10 m/s
方向竖直向上，
则沙袋上升到最高点时，距抛出点的竖直高度
h1＝ eq \f(v,2g)＝5 m
所以沙袋离地面最大高度
H＝h＋h1＝20 m。
(2)沙袋释放瞬间，沿水平方向的分速度大小
vx＝v0cos θ＝10 m/s
在竖直方向上，取竖直向上为正方向，则根据时间位移公式
－h＝vyt－gt2
解得沙袋从抛出到落地，在竖直方向上运动的时间t＝3 s
根据分运动的等时性可知，沙袋在水平方向上运动的时间也为3 s，沙袋在水平方向上做匀速直线运动，则沙袋落地点到释放点的水平距离
L＝vxt＝30 m。
(3)在竖直方向，有
vy′＝vy－gt＝－20 m/s
落地的速度v＝ eq \r(vy′2＋v)＝10 m/s。
答案：(1)20 m　(2)30 m　(3)10 m/sINCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(多选)(2025·重庆市期末)关于曲线运动，下列说法正确的是(　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．做曲线运动的物体速度可能不变
C．做曲线运动的物体受力一定变化
D．做曲线运动的物体加速度可能不变
解析：选AD。曲线运动的速度方向发生变化，根据速度的矢量性可知，一定是变速运动，故A正确，B错误；做曲线运动的物体可能受到恒力作用，也可能受到变力作用，如果受到恒力作用则加速度不变，故C错误，D正确。
2．(2025·浙江省合格考)如图所示，篮球从运动员手中被投出后，沿着一条优美的曲线飞行。用箭头标注篮球经过图中a、b、c、d四点时的速度方向。速度方向标注正确的是　(　　)
A．a B．b
C．c D．d
解析：选C。曲线运动某点的速度方向应为该点的切线方向。
3．(2025·上海浦东新区期末)关于曲线运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体做曲线运动时，它的速度可能保持不变
B．物体只有受到一个方向不断改变的力的作用，才可能做曲线运动
C．做曲线运动的物体，所受合外力方向与速度方向肯定不在一条直线上
D．所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，肯定做变加速曲线运动
解析：选C。物体做曲线运动时，它的速度方向时刻在改变，故A错误；物体受恒力作用时仍然可以做曲线运动，故B错误；做曲线运动的条件为物体所受合外力方向与速度方向不在一条直线上，故C正确；所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，可能做匀变速曲线运动，故D错误。
4．(2025·天津南开区期末)运动员出色表现的背后，不仅有自身努力的付出，也有科技的加持。利用风洞实验室为运动装备风阻性能测试和运动姿态风阻优化在我国已大量运用在各类比赛项目中。为了更加直观的研究风洞里的流场环境，我们可以借助丝带和点燃的烟线辅助观察，如图甲所示。在某次实验中获得一重力可忽略不计的烟尘颗粒从P点到Q点做曲线运动的轨迹，如图乙所示，下列关于烟尘颗粒的说法正确的是(　　)
A．烟尘颗粒速度始终不变
B．在P点处的速度方向为从P点指向Q点
C．在P点处的加速度方向可能为斜向右上方
D．Q点处的合力方向可能竖直向上
解析：选C。烟尘颗粒做曲线运动，可知速度方向不断变化，即速度不断变化，A错误；P点处的速度方向沿轨迹的切线方向，并非从P点指向Q点，B错误；颗粒在P点处的合力方向指向轨迹的凹向，即加速度方向可能为斜向右上方，C正确；颗粒在Q点处的合力方向指向轨迹的凹向，不可能竖直向上，D错误。
5．如图是频闪照相机拍摄的篮球离开手后在空中的运动轨迹，忽略空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.篮球离开手瞬间的加速度为0
B．篮球经过轨迹最高点时的速度为0
C.篮球经过A点处受到的合外力方向沿轨迹的切线方向
D．篮球从离开手到落入篮筐过程中速度变化量的方向始终竖直向下
解析：选D。篮球离开手瞬间的加速度为g，故A错误；篮球经过轨迹最高点时水平方向仍有速度，速度不为0，故B错误；忽略空气阻力，篮球经过A点处受到的合外力方向竖直向下，故C错误；篮球从离开手到落入篮筐过程中速度变化量的方向为加速度方向，始终竖直向下，故D正确。
6．(2025·江苏扬州市合格考模拟)短道速滑运动员在弯道加速滑行时，其所受合力与速度方向示意图正确的是(　　)
解析：选A。物体做曲线运动时，某一点的速度方向在该点的曲线切线上，所受合力方向位于轨迹的凹侧，由于运动员在弯道加速滑行，所以此时合力方向与速度方向的夹角小于90°。
7．(2025·江苏盐城市合格考模拟)某质点从甲点沿如图所示的曲线运动到乙点，质点受力的大小为F。经过乙点后，若力的方向突然变为与原来相反的方向，则从乙开始运动的路径可能是沿(　　)
A．乙甲 B．乙丙
C．乙丁 D．乙戊
解析：选B。从甲点沿曲线运动到乙点，曲线是向右下弯曲的，由合力应该指向轨迹的内侧，改变F的方向之后就应该是指向轨迹外侧，物体的运动轨迹应该是向左上方弯曲，可能出现乙丙的轨迹。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
8．(2025·湖北武汉市期末)某品牌电动汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小，图中分别画出了汽车转弯时加速度a的方向正确的是(　　)
解析：选B。电动汽车运动轨迹是曲线，根据曲线运动的条件，受到的合外力方向指向曲线的内侧，因为是减速运动，合外力的方向与该点的速度方向的夹角为钝角，且速度方向沿切线方向，加速度方向和合外力方向相同。
9．(2025·云南昆明市期末)运动员将排球击出后，排球在空中划出一段优美的弧线，如图中虚线所示，则排球在P点处受到的合外力方向可能正确的是(　　)
解析：选A。排球做曲线运动时，合外力指向曲线的内侧，并且排球处于上升过程，速度减小，运动方向与合外力方向成钝角，A正确，B、C、D错误。
10．下面四个选项中的虚线均表示小鸟在竖直平面内沿曲线从左向右减速飞行的轨迹，小鸟在轨迹最低点时的速度v和空气对它的作用力F的方向可能正确的是(　　)
解析：选C。根据曲线运动规律可知，速度方向沿曲线的切线方向，减速飞行说明重力和F的合力的方向指向运动轨迹的凹侧且与速度方向成钝角。
11．一个物体在水平面内拉力F作用下，沿着光滑水平面从A点运动到D点，其运动轨迹如虚线所示。下列说法正确的是(　　)
A．AB段拉力F方向一定不变
B．BC段拉力F可能不为0
C.CD段拉力F与速度方向一致
D．全过程力F可能为恒力
解析：选B。物体在AB段做曲线运动，拉力F方向可能不变，可能改变，故A错误；物体在BC段做直线运动，若为变速运动，则拉力F不为0，故B正确；物体在CD段做曲线运动，拉力F方向与速度方向不在同一直线上，故C错误；物体在AB段拉力F方向指向曲线内侧，在BC段F方向与BC在同一直线上，在CD段拉力F方向指向曲线内侧，故拉力不可能为恒力，故D错误。
12．光滑水平面内，一质点在恒力作用下做曲线运动，轨迹如图中虚线所示，A、B为曲线上的两个点，则此恒力可能是图中的(　　)
A．F1　　　　　　　 　 B．F2
C．F3 D．F4
解析：选A。根据质点做曲线运动的条件可知，质点在恒力作用下做曲线运动，恒力应在任何位置均指向曲线弯曲的内测，结合题图可知，此恒力可能是图中的F1。
13．如图是测风速装置的工作原理示意图。假设光滑的水平面上一小球以速度v0向东运动，运动过程中要穿过一段水平向北的风带ab，其余区域无风，假设风力可以看成小球受到水平向北的恒力F的作用，则小球过风带及过后的轨迹正确的图是(　　)
解析：选B。小球在光滑的水平面上以v0向东运动，小球穿过一段水平向北的风带ab的过程中，受到一个向北的水平恒力，根据曲线运动条件，合外力指向物体做曲线运动轨迹的凹侧，且速度的方向沿着轨迹的切线方向，小球穿过风带后做匀速直线运动，可知，只有B项符合要求。(共27张PPT)
第4节　第1课时　课后达标检测
√
题组1　平抛运动的性质和特点
1．在实际生活中，最接近抛体运动的是(　　)
A．手抛出的小石块
B．秋风吹落的树叶
C．在空中高速运动的炮弹
D．空中飞翔的纸飞机
解析：以一定的速度抛出的物体，只在重力作用下的运动，是抛体运动，如果有空气阻力，但空气的阻力跟重力相比可以忽略不计，也可以看成抛体运动。手抛出的小石块的运动最接近拋体运动，故A正确；秋风吹落的树叶，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故B错误；物体在空气中运动，速度越大，阻力也越大，在空中高速运动的炮弹，由于阻力的影响，实际轨迹不再是抛物线，因此不能看成抛体运动，故C错误；空中飞翔的纸飞机，空气的阻力不能忽略，因此不能看成抛体运动，故D错误。
√
题组2　平抛运动规律的应用
2．做平抛运动的物体，在水平方向通过的最大距离取决于(　　)
A．物体所受的重力和抛出点的高度
B．物体的初速度和抛出点的高度
C．物体所受的重力和初速度
D．物体所受的重力、高度和初速度
√
√
√
√
4．(2024·海南卷，T3)在跨越河流表演中，一人骑车以25 m/s的速度水平冲出平台，恰好跨越宽x＝25 m的河流落在河对岸平台上，不计空气阻力，g取10 m/s2，则两平台的高度差h为(　　)
A．0.5 m　　　　　　　 B．5 m
C．10 m D．20 m
√
√
6．(2025·云南卷，T3)如图所示，某同学将两颗鸟食从O点水平抛出，两只小鸟分别在空中的M点和N点同时接到鸟食。鸟食的运动视为平抛运动，两运动轨迹在同一竖直平面内，则(　　)
A．两颗鸟食同时抛出
B．在N点接到的鸟食后抛出
C．两颗鸟食平抛的初速度相同
D．在M点接到的鸟食平抛的初速度较大
√
√
8．铯原子钟是精确的计时仪器。图1中铯原子从O点以100 m/s的初速度在真空中做平抛运动，到达竖直平面MN所用时间为t1；图2中铯原子在真空中从P点做竖直上抛运动，到达最高点Q再返回P点，整个过程所用时间为t2。O点到竖直平面MN、P点到Q点的距离均为0.2 m。重力加速度g取10 m/s2，则t1∶t2为(　　)
A．100∶1 B．1∶100
C．1∶200 D．200∶1
√
9．(多选)(2025·天津和平区期末)如图甲所示，农民用手抛撒谷粒进行水稻播种。某次一颗谷粒被水平抛出的运动轨迹如图乙所示，O为抛出点，A、B为轨迹上两点，且谷粒在OA间与AB间运动的时间相等。忽略空气阻力，下列说法正确的是　(　　)
A．谷粒在OA间水平方向的位移大小小于AB间水平方向的位移大小
B．谷粒在B点的速度大小是在A点时的2倍
C．谷粒在OA间与AB间竖直方向的位移大小之比为1∶3
D．谷粒在B点与水平方向速度偏角正切值是在A点时的2倍
√
√
10．(2025·云南玉溪市期末)某同学玩飞镖游戏，如图所示，他将飞镖从镖盘正前上方某位置以速度v1水平投出后，经时间t1，飞镖击中靶心正上方某位置；第二次将飞镖从同一位置以速度v2水平投出后，经时间t2飞镖击中靶心正下方某位置。不计空气阻力，飞镖可视为质点，下列关系式正确的是(　　)
A．v1>v2，t1v2，t1>t2
C．v1t2
11．(2025·天津静海月考)如图所示，从水平面上A点正上方5 m处的O点水平向右抛出一个小球的同时，位于A点右方3 m远处的物块B正以4 m/s2的加速度从静止开始做匀加速运动，恰好在P点被小球击中。重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力，则(　　)
A．物块B从开始运动到被击中的时间为1 s
B．小球的初速度越大，它在空中飞行的时间越长
C．小球的水平射程为2 m
D．小球击中物块B时的速度为10 m/s
√
12．(12分)(2025·河南洛阳市期末)某课外兴趣小组借助传感器，研究一小球做平抛运动的规律。小球水平抛出0.5 s时速度方向与竖直方向成45°角，落地时速度方向与竖直方向成30°角，小球可看作质点，重力加速度g取10 m/s2，求(结果可以保留根式)：
(1)小球做平抛运动的初速度大小；(4分)
解析：当小球抛出0.5 s后小球的竖直分速度vy1＝gt1＝5 m/s，水平方向的分速度v0＝vy1tan 45°＝5 m/s。　
答案：5 m/s　
(2)小球抛出时距离地面的高度；(4分)
答案：3.75 m　
(3)小球抛出点与落地点之间的水平距离。(4分)　(共34张PPT)
第2课时　斜抛运动
课堂深度探究
PART
01
第一部分
体育运动中投掷链球、铅球、铁饼、标枪等运动(如图所示)，都可以看作是斜上抛运动。
知识点一　斜抛运动的理解
以抛出的铅球为例：
(1)铅球离开手后，如不考虑空气阻力，其受力情况、速度有何特点？
[提示]　不考虑空气阻力，铅球在水平方向不受力，在竖直方向只受重力，加速度为g，其初速度不为零，方向斜向上方。
(2)铅球在最高点的速度是零吗？
[提示]　不是。由于铅球在水平方向做匀速运动，所以铅球在最高点的速度等于水平方向的分速度。
斜抛运动的特点
(1)轨迹关于通过最高点的竖直线对称。
(2)同一高度速率相等。
(3)从某一点到最高点的时间与从最高点下降至该点同一高度处的时间相等。
　 如图所示，在排球场上发球运动员将排球斜向上击出，排球运动一段时间后落至A点。已知排球在空中运动轨迹的最高点为O点，排球可视为质点，忽略空气阻力的影响。关于排球运动过程中速度方向和受力方向，下列图中正确的是(　　)
√
[解析]　排球在空中做曲线运动，速度方向为轨迹的切线方向，A正确，B错误；排球在空中做曲线运动时，忽略空气阻力的影响，排球只受到重力作用，因此排球运动过程中受力方向始终竖直向下，C、D错误。
　(2024·江苏卷，T4)喷泉a、b形成如图所示的形状，不计空气阻力，则喷泉a、b的(　　)
A．加速度相同　　　　
B．初速度相同
C.最高点的速度相同
D．在空中的时间相同
√
1．分析思路
一般抛体运动问题的处理方法和平抛运动的处理方法相同，都是将运动分解为两个方向的简单的直线运动，分别为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动。
知识点二　斜抛运动的规律和分析方法
角度1　斜抛运动基本规律的应用
　从某高处以6 m/s的初速度、与水平方向成30°角斜向上抛出一石子，落地时石子的速度方向和水平线的夹角为60°，(忽略空气阻力，g取10 m/s2)求：
(1)石子在空中运动的时间；
[答案]　1.2 s　
(2)石子的水平位移大小；
(3)石子抛出后，相对于抛出点能到达的最大高度；
[答案]　0.45 m
(4)抛出点离地面的高度。
[答案]　3.6 m
　(2025·山东临沂市期末)第十四届全国冬季运动会于2月17日在内蒙古开幕。跳台滑雪是其中的项目之一，滑雪大跳台的赛道主要由助滑道、起跳区、着陆坡、停止区组成，如图甲所示，图乙为简化后的跳台滑雪赛道示意图，AD段为助滑道，DB为起跳区，与水平面的夹角α＝30°，BC段为倾角θ＝30°的着陆坡。一运动员从助滑道的起点A由静止开始下滑，到达点B时，借助设备和技巧，以与水平方向成30°角(起跳角)的方向起跳，最后落在着陆坡面的C点。已知该运动员在B点的起跳速度为20 m/s，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。
(1)运动员离开着陆坡面的最大距离是多少？
(2)求运动员落到C点的速度大小。
(1)足球运动至C点时的速度大小v0；
[答案]　20 m/s　
(2)A、B两点间的距离xAB。
[答案]　10 m
随堂巩固落实
PART
02
第二部分
1．(斜抛运动的理解)(2025·河南洛阳市期末)如图是小球做斜抛运动的轨迹，C点是轨迹的最高点，A、B是轨迹上等高的两个点。下列说法正确的是(不计空气阻力)(　　)
A．该运动可以分解为水平方向的匀变速直线运动和竖直方向的匀速直线运动
B．小球在A点的速度与小球在B点的速度相同
C．整个运动过程中小球处于失重状态
D．小球从A到C的时间小于从C到B的时间
√
解析：该运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的匀变速直线运动，故A错误；根据对称性可知，小球在A点的速度与小球在B点的速度大小相等，但方向不同，故B错误；整个运动过程中，小球的加速度为重力加速度，处于失重状态，故C正确；根据对称性可知，小球从A到C的时间等于从C到B的时间，故D错误。
2．(斜抛运动的基本规律)如图所示，滑板爱好者先后两次从坡道A点滑出做斜抛运动，两次腾空最大高度相同，分别落在B、C两点，A、B、C三点在同一水平面上，则(　　)
A．两次滑出的速度方向相同
B．两次滑出的速度大小相同
C．两次到最高点时的速度相同
D．两次在空中经历的时间相同
√
3．(斜抛运动的基本规律)如图所示，A、B两篮球从相同高度同时抛出后直接落入篮筐，落入篮筐时的速度方向相同，下列判断正确的是　(　　)
A．A比B先落入篮筐
B．A、B运动的最大高度相同
C．A在最高点的速度比B在最高点的速度小
D．A、B上升到某一相同高度时的速度方向相同
√
解析：若研究两个过程的逆过程，可看作篮球从篮筐沿同方向斜向上的斜抛运动，落到同一高度上的A、B两点，则A上升的高度较大，高度决定时间，可知A运动时间较长，即B先落入篮筐中，A、B错误；因为两球抛射角相同，A的射程较远，则A球的水平速度较大，即A在最高点的速度比B在最高点的速度大，C错误；由斜抛运动的对称性可知，当A、B上升到与篮筐相同高度时的速度方向相同，D正确。专题提升课2　平抛运动规律的综合问题
INCLUDEPICTURE "专题深度剖析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
微专题一　受斜面约束的平抛运动
角度1　对着斜面平抛
1．如果已知物体做平抛运动过程中某时刻的速度与斜面垂直，可运用分解速度的方法，关键是找到速度方向与斜面倾角的关系，构建速度的矢量三角形。
水平速度vx＝v0
竖直速度vy＝gt
合速度v＝ eq \r(v＋v)，tan θ＝。
2．如果要求以最短位移打到斜面，过抛出点作斜面的垂线，交于A点，即落到A点的位移最小。相当于已知位移方向，分解位移，x＝v0t，y＝gt2，tan θ＝＝。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P21第3题改编】在某次演习中，轰炸机沿水平方向投放了一枚炸弹，炸弹正好垂直于倾角为θ的山坡击中目标，则炸弹水平方向通过的距离与竖直方向下落的高度之比为(　　)
A．　　　　　　　 B．2tan θ
C．tan θ D．
[解析]　炸弹击中目标时的速度方向垂直于斜面，则tan θ＝，炸弹水平方向通过的距离与竖直方向下落的高度之比＝＝＝2tan θ。
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)A、B两球从如图所示位置分别以v1和v2水平抛出(图中虚线为竖直线)，两球落在斜面上同一个位置，已知A球在空中运动位移最短，B球垂直打在斜面上，A、B两球在空中运动时间分别为t1和t2，忽略空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．t1＝2t2 B．t1＝t2
C．v2＝2v1 D．v2＝v1
[解析]　A球在空中运动位移最短，则有tan θ＝＝ eq \f(v1t1,\f(1,2)gt)＝，B球垂直打在斜面上，则有tan θ＝＝，又xA＝v1t1＝xB＝v2t2，联立可得t1＝t2，v2＝v1。
[答案]　BD
角度2　顺着斜面平抛
1．如果从斜面抛出的物体又落到斜面上，则位移平行于斜面，可运用分解位移的方法，关键是找到分位移与斜面倾角的关系，构建位移的矢量三角形。
水平位移x＝v0t
竖直位移y＝gt2
合位移s＝，tan θ＝。
2．若从斜面外开始平抛，沿斜面方向落入斜面，则速度方向与斜面相切，分解速度，vx＝v0，vy＝gt，tan α＝＝。
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·江苏徐州市期末)如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点。(空气阻力不计，重力加速度为g)
(1)求小球在空中飞行的时间及A、B间的距离。
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
[解析]　(1)位移与水平方向的夹角为30°，则有
tan 30°＝ eq \f(\f(1,2)gt,v0t1)
解得运动的时间t1＝
AB间的距离s＝
解得s＝ eq \f(4v,3g)。
(2)当小球的速度方向与斜面平行时，距离斜面最远，根据tan 30°＝＝
解得经历的时间t2＝
将小球的速度和加速度分解为沿斜面方向和垂直于斜面方向，则有
vy′＝v0sin 30°，ay＝g cos 30°
则最大距离H＝＝ eq \f(\r(3)v,12g)。
[答案]　(1)　 eq \f(4v,3g)　(2)　 eq \f(\r(3)v,12g)
微专题二　受曲面约束的平抛运动
1．抛出点和落点都在圆面上。如图所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道的A点以v0水平向右抛出，落在半圆形轨道上的C点。
2．抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从半圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O为半圆柱体横截面的圆心，O、B、C在同一竖直平面内，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度g取10 m/s2，则(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
[解析]　小球做平抛运动，运动轨迹恰好与半圆柱体相切于C点，根据几何关系可知，小球在C点时速度方向与水平方向的夹角为37°，则有＝tan 37°，由几何关系有x＝v0t＝R＋R cos 53°，联立并代入数据解得t＝0.3 s，v0＝4 m/s，A、C正确。
[答案]　AC
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·广西南宁市期中)如图所示，四分之一圆弧面的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为60°，圆弧面的圆心为图中O点，在斜面的顶端A点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后均不再反弹，已知重力加速度为g，则以下说法正确的是(　　)
A．小球有可能垂直打到圆弧面上
B．小球抛出的初速度越大，则运动时间越短
C．小球抛出的速度等于时，运动时间最长
D．若小球抛出的速度小于，则落到接触面时速度偏角均相同
[解析]　如图所示，根据平抛运动推论，速度方向的反向延长线交于水平位移的中点，当圆心O为图中水平位移AA′的中点时，即小球垂直打在圆弧面B点，故A正确；根据h＝gt2，当小球打在斜面上时，小球抛出的初速度越大，小球下落高度越大，可知小球运动的时间越长，当小球打在圆弧面上时，小球抛出的初速度越大，小球下落高度越小，可知小球运动的时间越短，故B错误；当小球刚好落在O点正下方时，下落高度最大，运动时间最长，则有R＝gt2，＝v0t，联立解得v0＝，故C错误；若小球抛出的速度小于，可知小球均落在斜面上，根据平抛运动推论可知，落到斜面上时速度偏角均满足tan θ＝2tan 60°＝2，即落到斜面时速度偏角均相同，故D正确。
[答案]　AD
微专题三　平抛运动中的临界极值问题
1．问题特点
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点。
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
2．求解思路
(1)画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)列方程求解结果。
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·山东淄博市期末)1942年11月发生在淄川的马鞍山保卫战是鲁中抗日战场的重要战役。在保卫战中，驻守峰顶的战士们利用石头、器具等击退了敌人10余次进攻， 图甲为马鞍山保卫战遗址。图乙为攀登峰顶处的陡坡侧视图，斜坡PA高h＝45 m，其下端点A与一长LAB＝30 m的平台AB相连，C为AB中点，PO垂直于BA延长线并与其相交于O点。某战士将石块从斜坡顶端P点以v0＝25 m/s的初速度水平抛出，恰好落到平台中点C。已知重力加速度大小g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，忽略空气阻力，石块在竖直平面内运动，石块与敌人均看作质点。
(1)求石块从P点抛出到落到平台C点所用时间t和斜坡的长度 LPA。
(2)若将石块从P点水平抛出，要使石块能够落到平台AB上，求石块水平初速度大小v0′的范围，以及石块落到平台B点的速度vB。
[解析]　(1)根据石块在竖直方向做自由落体运动有h＝gt2
解得t＝3 s
石块的水平位移x＝v0t
根据几何关系有LOA＝x－
解得LPA＝ eq \r(h2＋L)＝75 m。
(2)石块落在A点时速度最小，落在B点时速度最大，根据平抛运动规律可得
vmin＝，vmax＝
所以石块水平初速度大小的范围为
20 m/s≤v0′≤30 m/s
石块落在B点时竖直方向的速度
vy＝gt
则vB＝ eq \r(v＋v)
解得vB＝30 m/s
设其与水平方向夹角为θ，则有
tan θ＝＝1
解得θ＝45°。
[答案]　(1)3 s　75m　(2)20 m/s≤v0′≤30 m/s
30 m/s，与水平方向夹角为45°(共27张PPT)
专题提升课2　平抛运动规律的综合问题
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　受斜面约束的平抛运动
角度1　对着斜面平抛
√
√
√
　(2025·江苏徐州市期末)如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平抛出，恰好落到B点。(空气阻力不计，重力加速度为g)
(1)求小球在空中飞行的时间及A、B间的距离。
(2)从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为多大？
微专题二　受曲面约束的平抛运动
1．抛出点和落点都在圆面上。如图所示，一小球从与圆心等高的半圆形轨道的A点以v0水平向右抛出，落在半圆形轨道上的C点。
2．抛出点在圆面外，落点在圆面上。如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点。
　(多选)如图所示，一个半径R＝0.75 m的半圆柱体放在水平地面上，一小球从半圆柱体左端A点正上方的B点水平抛出(小球可视为质点)，恰好从半圆柱体的C点掠过。已知O为半圆柱体横截面的圆心，O、B、C在同一竖直平面内，OC与水平方向夹角为53°，重力加速度g取10 m/s2，则
(sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6)(　　)
A．小球从B点运动到C点所用时间为0.3 s
B．小球从B点运动到C点所用时间为0.5 s
C．小球做平抛运动的初速度为4 m/s
D．小球做平抛运动的初速度为6 m/s
√
√
√
√
微专题三　平抛运动中的临界极值问题
1．问题特点
(1)若题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，表明题述过程中存在临界点。
(2)若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”“取值范围”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界点。
2．求解思路
(1)画出临界轨迹，找出临界状态对应的临界条件。
(2)分解速度或位移。
(3)列方程求解结果。
　 (2025·山东淄博市期末)1942年11月发生在淄川的马鞍山保卫战是鲁中抗日战场的重要战役。在保卫战中，驻守峰顶的战士们利用石头、器具等击退了敌人10余次进攻， 图甲为马鞍山保卫战遗址。图乙为攀登峰顶处的陡坡侧视图，斜坡PA高h＝45 m，其下端点A与一长LAB＝30 m的平台AB相连，C为AB中点，PO垂直于BA延长线并与其相交于O点。某战士将石块从斜坡顶端P点以v0＝25 m/s的初速度水平抛出，恰好落到平台中点C。已知重力加速度大小g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，忽略空气阻力，石块在竖直平面内运动，石块与敌人均看作质点。
(1)求石块从P点抛出到落到平台C点所用时间t和斜坡的长度 LPA。
[答案]　3 s　75m　
(2)若将石块从P点水平抛出，要使石块能够落到平台AB上，求石块水平初速度大小v0′的范围，以及石块落到平台B点的速度vB。(共44张PPT)
第2节　运动的合成与分解
学习目标
1．理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法。
2．能利用运动的合成与分解的知识，判断合运动的轨迹和性质。
3．通过运动的合成与分解，初步体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、一个平面运动的实例
蜡块沿玻璃管匀速上升，玻璃管向右匀速移动(如图甲所示)，则蜡块向右上方运动。那么，怎样定量地研究蜡块的运动呢？
　　　
1．建立坐标系：蜡块在竖直平面内运动，则可以选择平面直角坐标系。以蜡块开始匀速运动的位置为________，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为____轴和____轴方向，建立平面直角坐标系，如图乙所示。
2．确定任意时刻蜡块的位置：若以vx表示玻璃管向右移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则在时刻t，蜡块的位置可以用它的x、y两个坐标表示，x＝____，y＝____。
原点O
x
y
vxt
vyt
过原点的直线
4．蜡块运动的速度：v＝____________，速度的方向，即用v与x轴正方向的夹角θ来表示，它的正切为tan θ＝____。
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。
2．运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程，叫作运动的________；由合运动求分运动的过程，叫作运动的________。
3．遵从法则：遵从矢量运算法则。
合成
分解
判断下列说法是否正确。
(1)合速度就是两个分速度的代数和。(　　)
(2)合速度不一定大于任一分速度。(　　)
(3)合位移一定大于任意一个分位移。(　　)
(4)运动的合成就是把两个分运动加起来。(　　)
(5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。(　　)
×　
√
×　
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　合运动与分运动
从你的铅笔盒里取一块橡皮，用一根细线拴住，把细线的另一端用图钉固定在竖直放置的木板上。按图中所示的方法，用铅笔靠着细线的左侧，沿直尺向右匀速移动，再向左移动，来回做几次，仔细观察橡皮的运动轨迹。结合实验现象说明：橡皮的实际运动与哪两个方向的运动有关？
[提示]　与水平方向和竖直方向的运动有关。
1．对合运动与分运动的理解
(1)物体的实际运动就是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
(2)运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成与分解，遵循平行四边形定则。
(3)运动的分解与力的分解一样，如无约束条件，一个运动可以分解为无数组分运动，在具体分解过程中，一般情况下按照运动的实际效果分解。
2．合运动与分运动的关系
(1)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同。
(3)独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响。
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动。
　【教材经典P9第2题改编】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是(　　)
A．水平风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．水平风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与水平风力无关
D．运动员着地速度与水平风力无关
√
[解析]　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，则下落时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风力越大，运动员水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故A、B、D错误，C正确。
√
知识点二　运动的合成与分解
1．运动的合成与分解
(1)运动的合成：已知分运动求合运动的过程叫运动的合成。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动的过程叫运动的分解。
(3)运动的合成与分解互为逆运算。
2．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时可运用平行四边形定则或三角形定则。
4．互成角度的两个直线运动的合成
分运动 合运动 矢量图 条件
两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角
分运动 合运动 矢量图 条件
两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0
两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同
匀变速曲线运动 a与v成α角
角度1　两个直线运动的合成
　(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是(　　)
A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B．合运动的速度可以比两个分运动的速度都小
C．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，可能是曲线运动
D．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，可能是曲线运动
√
√
[解析]　合运动的速度可以比两个分运动的速度都大，也可以比两个分运动的速度都小，还可以等于其中一个分速度的大小，故A错误，B正确；两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，如果合初速度方向与合加速度方向不在同一直线上，则合运动为曲线运动，故C正确；两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动，故D错误。
√
√
√
　【教材经典P19第3题】某架飞机在进行航空测量时，需要严格按照从南到北的航线进行飞行。如果在无风时飞机相对地面的速度是414 km/h，飞行过程中航路中有速度为54 km/h的持续东风。
(1)飞机应该朝着哪个方向飞行？可以用三角函数表示偏角的大小。
[答案]　见解析　
(2)如果所测地区的南北长度为621 km，该测量需要多长时间？
[答案]　1.5 h
√
知识点三　运动的合成与分解的综合问题
√
√
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(合运动与分运动)【教材经典P6演示实验改编】如图所示，在竖直倒置的封闭玻璃管内注满清水，水中有一个红蜡块。玻璃管以速度v向右匀速移动，与此同时红蜡块沿玻璃管以速度2v匀速上浮，用虚线表示红蜡块相对地面移动的轨迹，可能是下面四幅图中的(　　)
√
解析：蜡块参与了竖直方向上的匀速直线运动和水平方向上的匀速直线运动，合力为零，蜡块做匀速直线运动，由于竖直方向的速度大于水平方向的速度，相同时间内，竖直方向的位移大小大于水平方向的位移大小。
2．(两个直线运动的合运动性质)下列说法正确的是(　　)
A．做曲线运动物体的加速度可能为零
B．做曲线运动物体的加速度可能恒定不变
C．不在同一直线上的两个匀速直线运动的合运动可能是曲线运动
D．不在同一直线上的两个匀加速直线运动的合运动一定是曲线运动
√
解析：做曲线运动物体的速度一定发生变化，则物体的加速度不可能为零，故A错误；做曲线运动物体的速度发生变化，但加速度可能是恒定不变的，故B正确；不在同一直线上的两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动，故C错误；当两个匀变速直线运动的合加速度与合初速度的方向在同一直线上时，物体做直线运动，当两个匀变速直线运动的合加速度与合初速度的方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，故D错误。
3．(运动的合成与分解)如图所示，静止在光滑水平面上的小球的质量m＝0.5 kg，给小球一个大小v0＝5 m/s的初速度，同时对小球施加一与水平面平行的恒力F，其大小为1.5 N，方向与v0的夹角θ＝127°，取sin 37°＝0.6。以此为零时刻开始计时，则小球在运动过程中的最小速度为(　　)
A.0　　　　　　　　　 B．3 m/s
C．4 m/s D．5 m/s
√
解析：将速度沿着力的方向和垂直于力的方向分解，小球在垂直于力的方向上做匀速直线运动，当沿着力的方向速度减为零时小球的速度最小，为vmin＝v0cos (θ－90°)＝4 m/s，故C符合题意。
4．(运动的合成与分解)(多选)【教材经典P20第6题改编】如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点O以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。测出某时刻R的坐标为(4 cm，6 cm)，则此时(　　)
A．R的加速度大小为2 cm/s2
B．R的加速度大小为4 cm/s2
C．R的速度大小为4 cm/s
D．R的速度大小为5 cm/s
√
√INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
题组1　两个直线运动的合运动性质
1．如图所示，在马戏表演中，人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，下列关于猴子相对于地面的运动轨迹可能正确的是(　　)
解析：选B。人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，可知猴子的加速度方向竖直向上，由于猴子速度方向与加速度方向不在同一直线上，猴子做曲线运动，根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，可知猴子相对地面的运动轨迹可能正确的是图B。
2．两个互成角度的匀变速直线运动，初速度分别为v1和v2，加速度分别为a1和a2，关于它们的合运动的轨迹，下列说法正确的是(　　)
A．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是直线
B．如果v1＝v2≠0，那么轨迹一定是曲线
C．如果a1＝a2，那么轨迹一定是直线
D．如果＝，那么轨迹一定是直线
解析：选D。物体做曲线运动的条件是合外力的方向(即合加速度的方向)与合速度的方向不在一条直线上。如果＝，那么合加速度的方向与合速度的方向一定在一条直线上，D正确。
题组2　运动的合成与分解
3．(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是　(　　)
A．合运动和分运动具有等时性
B．合运动的速度一定大于分运动的速度
C．任一时刻的速度方向总是与合运动的位移方向相同
D．两个互成角度的匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动
解析：选AD。合运动和分运动具有等时性，故A正确；根据平行四边形定则可知，合运动的速度不一定大于分运动的速度，故B错误；合运动的速度方向与合运动的位移方向不一定相同，故C错误；两个互成角度的匀变速直线运动合成，加速度一定为定值，则合运动一定是匀变速运动，故D正确。
4．在一次消防演习中，消防员借助消防车上的梯子爬到高处救人。为了节省救援时间，在消防车匀速前进的同时，消防员沿倾斜的梯子匀速向上爬。关于消防员相对于地面的运动，下列说法正确的是(　　)
A.消防员做匀速直线运动
B．消防员做匀加速直线运动
C．消防员做匀加速曲线运动
D．消防员做速度大小不变的曲线运动
解析：选A。在消防车匀速前进的同时，消防员沿倾斜的梯子匀速向上爬，可知消防员相对于地面沿水平方向做匀速直线运动，同时沿倾斜梯子做匀速直线运动，则消防员的合运动为匀速直线运动。
5．某商场内的自动扶梯以0.5 m/s的速度匀速运行，扶梯与水平面的夹角为30°，一顾客站立在扶梯台阶上相对扶梯静止，则顾客竖直方向的速度大小为(　　)
A． m/s　　　　　　　 B． m/s
C． m/s D． m/s
解析：选B。自动扶梯以0.5 m/s的速度匀速运行，扶梯与水平面夹角为30°，则顾客竖直方向的速度大小v′＝v sin 30°＝ m/s。
6．如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点O，现用一支铅笔贴着细线的顶端水平向右匀速移动，运动过程中悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直。在铅笔未碰到橡皮前，关于橡皮的运动下列说法正确的是(　　)
A．橡皮做匀加速直线运动
B．橡皮做匀速直线运动
C．橡皮做匀变速曲线运动
D．橡皮做速率不变的曲线运动
解析：选B。运动过程中悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直，可知橡皮一直处于铅笔正下方，则橡皮水平方向做匀速直线运动，由于细线总长度保持不变，橡皮竖直方向的位移大小总是等于水平方向的位移大小，即橡皮竖直方向的分速度总是等于水平方向的分速度，则竖直方向也是做匀速直线运动，故橡皮的合运动为匀速直线运动。
题组3　运动的合成与分解的综合问题
7．(多选)如图甲所示，一次杂技表演中，表演者顶着竖直杆沿水平地面做直线运动，与此同时猴子沿竖直杆向上运动。表演者的速度—时间(vx－t)图像如图乙所示，猴子沿竖直方向的位移—时间(y－t)图像如图丙所示，若以地面为参考系，下列说法正确的是(　　)
A．猴子做曲线运动
B．猴子做直线运动
C．2 s末猴子的速度大小为4.5 m/s
D．前2 s内猴子的速度变化量大小为4 m/s
解析：选AD。根据题中图像分析可知，猴子水平方向做匀加速直线运动，竖直方向做匀速直线运动，其合速度与加速度不在同一直线上，猴子做曲线运动，故A正确，B错误；由题图乙可知2 s末猴子的水平分速度大小vx＝4 m/s，根据题图丙可知2 s末猴子的竖直分速度大小vy＝＝0.5 m/s，则2 s末猴子的速度大小v＝ eq \r(v＋v)＝ m/s，故C错误；依题意，前2 s内猴子在竖直方向上的分速度保持不变，在水平方向上的分速度由0增大到4 m/s，因此猴子的速度变化量大小为4 m/s，故D正确。
8．(多选)t＝0时刻，一物体从水平面上的一平面直角坐标系xOy中的坐标原点开始运动，沿x轴和y轴的运动图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．物体沿x轴方向做匀速直线运动
B．物体沿y轴方向做初速度为0的匀加速直线运动
C．物体的实际运动是直线运动
D．物体4 s内的位移为16 m
解析：选AB。由x－t图像可知，物体沿x轴方向做匀速直线运动，A正确；由vy－t图像可知，物体沿y轴方向做初速度为0的匀加速直线运动，B正确；结合A、B选项分析可知，物体的实际运动是曲线运动，C错误；物体在4 s内有x＝8 m，y＝×4×4 m＝8 m，则位移s＝＝8 m，D错误。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
9．在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧(如图甲所示)。把玻璃管倒置(如图乙所示)，蜡块A沿玻璃管匀速上升，经时间t运动到玻璃管顶部。若在红蜡块上升过程中的某时刻，将玻璃管水平向右移动(如图丙所示)，下列说法正确的是(　　)
A．玻璃管匀速移动时，蜡块做直线运动，运动到顶部时间大于t
B．玻璃管匀速移动时，蜡块做曲线运动，运动到顶部时间等于t
C．玻璃管加速移动时，蜡块做直线运动，运动到顶部时间大于t
D．玻璃管加速移动时，蜡块做曲线运动，运动到顶部时间等于t
解析：选D。玻璃管匀速移动时，蜡块水平方向和竖直方向都做匀速运动，则合运动为直线运动，根据运动的独立性原理可知，运动到顶部时间仍等于t，A、B错误；玻璃管加速移动时，蜡块水平方向做加速运动，竖直方向做匀速运动，合运动为曲线运动，即蜡块做曲线运动，运动到顶部时间仍等于t，C错误，D正确。
10．(多选)许多快递公司推出用无人机配送快递的方法，某次配送快递无人机在飞行过程中，水平方向速度vx及竖直方向速度vy与飞行时间t的关系图像如图甲、乙所示。关于无人机的运动，下列说法正确的是(　　)
A．t2时刻，无人机运动到最高点
B．0到t1时间内，无人机做直线运动
C．t3时刻，无人机的速度大小为 eq \r(v＋v)
D．t3到t4时间内，无人机做匀变速曲线运动
解析：选BD。0到t4时间内，无人机竖直方向速度一直为正，即一直向上运动，则t2时刻，无人机还没有运动到最高点，故A错误；0到t1时间内，无人机在水平方向做初速度为零的匀加速运动，在竖直方向也做初速度为零的匀加速运动，则合运动为匀加速直线运动，故B正确；t3时刻，无人机的水平速度为v0，竖直速度为v1，则合速度为 eq \r(v＋v)，故C错误；t3到t4时间内，无人机水平方向做速度为v0的匀速运动，竖直方向做匀减速运动，则合运动为匀变速曲线运动，故D正确。
11．(2025·广东广州市期末)在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开始计时，以O为原点，设水平向右为x方向、竖直向上为y方向，重物沿x、y方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则重物(　　)
A．在水平方向做匀变速直线运动
B．运动轨迹为抛物线
C．前8 s内的位移大小为24 m
D．在相等时间内的速度变化量不相等
解析：选B。x－t图像斜率代表速度，由题图甲可知斜率不变，故重物在水平方向做匀速直线运动，故A错误；由题图甲可知重物在水平方向的速度vx＝ m/s＝3 m/s，可知水平方向位移x＝3t，v－t图像斜率代表加速度，由题图乙可知重物在竖直方向上的加速度a＝ m/s2＝0.5 m/s2，可知竖直方向位移y＝at2＝0.25t2，联立以上得y＝x2，所以重物的运动轨迹为抛物线，故B正确；前8 s内水平方向位移大小x＝24 m，v－t图像与时间轴所围的面积表示位移，则前8 s内竖直方向位移大小y＝ m＝16 m，故合位移L＝＝8 m，故C错误；由以上分析可知，重物的加速度为0.5 m/s2，是恒定值，根据a＝，可知在相等时间内的速度变化量相等，故D错误。(共45张PPT)
第4节　抛体运动的规律
1．知道物体做平抛运动的条件及运动特点和受力特点。
2．通过运动的合成与分解分析平抛运动的规律，掌握分析方法。
3．能用平抛运动的规律解决相关问题。
4．知道斜抛运动，会用运动的合成和分解的方法分析一般的抛体运动。
学习目标
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、平抛运动的速度
以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，以初速度v0的方向为x轴方向，竖直向下的方向为y轴方向，建立如图所示的平面直角坐标系。
(1)水平方向：不受力，加速度是____，水平方向为____________运动，vx＝____。
(2)竖直方向：只受重力，所以a＝____，竖直方向的初速度
为____，所以竖直方向为____________运动，vy＝____。
0
匀速直线
v0
g
0
自由落体
gt
二、平抛运动的位移与轨迹
1．平抛运动的位移
(1)水平位移：x＝________。
(2)竖直位移：y＝________。
v0t
抛物线
三、一般的抛体运动
1．斜抛运动：初速度沿____________或_________的抛体运动(设v0与水平方向夹角为θ)。
2．斜抛运动的性质
(1)水平方向：物体做____________运动，初速度v0x＝____________。
(2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度v0y＝__________。
斜向上方
斜向下方
匀速直线
v0cos θ
v0sin θ
判断下列说法是否正确。
(1)平抛运动是匀变速曲线运动。(　　)
(2)物体做平抛运动的时间由水平位移决定。(　　)
(3)物体做平抛运动的合速度方向可能竖直向下。(　　)
(4)物体做平抛运动时，在相等的时间内速度的变化量相等。(　　)
(5)做平抛运动的物体，初速度越大，在空中运动的时间越长。(　　)
(6)物体做斜抛运动到达最高点时，速度为零。(　　)
×　
√
×　
√
×　
×　
第1课时　平抛运动
课堂深度探究
PART
02
第二部分
如图所示，一人正练习投掷飞镖，如果不计空气阻力。
(1)飞镖投出后，受力情况怎样？其加速度的大小和方向是怎样的？
[提示]　因忽略空气阻力，飞镖投出后，只受重力作用，其加速度大小为g，方向竖直向下。
知识点一　平抛运动的性质和特点
(2)飞镖的运动是匀变速运动，还是变加速运动？运动轨迹如何？
[提示]　飞镖运动过程中，加速度是不变的，所以飞镖的运动是匀变速曲线运动，轨迹是抛物线。
(3)为了方便研究问题，我们可以将平抛运动转化为哪两个方向的直线运动？
[提示]　可将平抛运动转化为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动。
1．平抛运动的性质：加速度为g的匀变速曲线运动。
2．平抛运动的特点
(1)受力特点：只受重力作用，不受其他力或其他力忽略不计。
(2)运动特点
①加速度：自由落体加速度g，大小、方向均不变，故平抛运动是匀变速运动。
②速度：大小、方向时刻在变化，平抛运动是变速运动。
(3)轨迹特点：运动轨迹是抛物线。

(4)速度变化特点：任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，Δv＝gΔt，方向竖直向下，如图所示。
　 在一个无风的下午，一个小孩子手拿小纸片放在嘴边，将小纸片水平吹出。已知此小孩的身高约为1.25 m，当g取10 m/s2时，下列说法正确的是(　　)
A．小纸片做平抛运动
B．小纸片的下落时间可能为0.5 s
C．小纸片的下落时间可能为3 s
D．小纸片不可能竖直落地
√
　关于平抛运动，下列说法正确的是(　　)
A．因为平抛运动的轨迹是曲线，所以平抛运动不可能是匀变速运动
B．平抛运动速度的大小与方向不断变化，因而相等时间内速度的变化量也是变化的，加速度也不断变化
C.平抛运动可以分解为水平方向上的匀速直线运动与竖直方向上的竖直下抛运动
D．平抛运动是加速度恒为g的匀变速曲线运动
√
[解析]　做平抛运动的物体只受重力，其加速度恒为g，故平抛运动为匀变速曲线运动，A错误，D正确；相等时间内速度的变化量Δv＝gΔt是相同的，B错误；平抛运动可分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，C错误。
1．基本思路：研究曲线运动通常采用“化曲为直”的方法，即将平抛运动分解为竖直方向上的自由落体运动和水平方向上的匀速直线运动。
2．基本规律
知识点二　平抛运动规律的应用
角度1　平抛运动基本规律的应用
　(2025·江苏苏州市期末)一小球以初速度v0从空中某点水平抛出，落地时速度方向与水平地面的夹角θ＝60°。不计空气阻力，重力加速度为g。求：
(1)小球落地时竖直方向的分速度vy的大小；
(2)小球抛出点与落地点之间的水平距离x。
　(2024·北京卷，T17)如图所示，水平放置的排水管满口排水，管口的横截面积为S，管口离水池水面的高度为h，水在水池中的落点与管口的水平距离为d。假定水在空中做平抛运动，已知重力加速度为g，h远大于管口内径。求：
(1)水从管口到水面的运动时间t；
(2)水从管口排出时的速度大小v0；
(3)管口单位时间内流出水的体积Q。
√
角度3　类平抛运动
　(多选)如图所示，A、B两个质点以相同的水平速度v0抛出，A在竖直平面内运动，落地点为P1。B沿光滑斜面运动，落地点为P2。不计阻力，则从抛出点到落地点(　　)
A．A运动的时间长
B．B运动的时间长
C．P1在x轴上较远
D．P2在x轴上较远
√
√
综合一练　平抛运动和其他运动的追及相遇问题
　(2025·辽宁辽阳市期末)辽阳市传统名点塔糖风味独特。一辆满载塔糖的货车以大小v0＝20m/s的速度沿平直公路匀速行驶，遇紧急情况突然刹车，一塔糖(视为质点)从车顶沿货车前进的方向水平飞出并离开车顶。车顶距离地面的高度h＝2.45 m，塔糖落在货车前端的后方且落地点与停下的货车前端相距d＝12 m，货车刹车时的加速度大小恒为a＝8 m/s2，重力加速度大小g取10 m/s2，不计空气阻力，塔糖飞出后未与货车碰撞。求：
(1)塔糖在空中运动的时间t；
[答案]　0.7 s　
(2)塔糖刚飞出时到货车前端的水平距离x。
[答案]　1 m
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(平抛运动的性质和特点)(2025·上海市期末)如图，飞机沿水平方向匀速飞行，每隔相同时间释放一包裹，一段时间后包裹在空中的位置关系应为(　　)
√
解析：飞机沿水平方向做匀速直线运动，包裹做平抛运动，包裹水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，可知飞机与包裹在竖直方向始终位于同一条直线上，且在竖直方向上从上往下相邻包裹之间的间距逐渐增大，只有题图C符合要求。
2．(平抛运动规律的应用)(2024·湖北卷，T3)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方。将青蛙的跳跃视为平抛运动，若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到　(　　)
A．荷叶a　　　　　　　 B．荷叶b
C．荷叶c D．荷叶d
√
3．(平抛运动规律的应用)(2025·上海市期末)如图，在某次飞镖比赛中，某一选手在距地高h、离靶面水平距离L处，将质量为m的飞镖以速度v0水平投出，结果飞镖落在靶心正下方。下列措施可使飞镖正中靶心的是(　　)
A．适当减小v0 B．适当减小h
C．适当减小m D．适当减小L
√
√第3节　实验：探究平抛运动的特点
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、平抛运动
1．抛体运动
定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，这时的运动叫作抛体运动。
2．平抛运动
(1)概念：如果抛体运动的初速度是沿水平方向的，物体所做的运动就叫作平抛运动。
(2)条件：物体具有水平方向的初速度且运动过程中只受到重力的作用。
二、实验目的
1．用实验的方法描绘出平抛运动的轨迹。
2．探究平抛运动竖直方向和水平方向运动的特点。
3．判断平抛运动的轨迹是否为抛物线。
4．根据平抛运动的轨迹求其初速度。
三、实验思路
1．提出问题
平抛运动是曲线运动，速度和位移的大小、方向时刻在发生变化。这个复杂的曲线运动有什么规律呢？能否分解为两个简单的直线运动？
2．科学猜想
由于物体是沿水平方向抛出的，在运动过程中只受到竖直向下的重力作用，因此平抛运动可能是水平方向和竖直方向分运动的合成。那么只要研究出这两个分运动的特点，平抛运动的规律就清楚了。
四、实验方案
方案一：频闪照相法
1．通过频闪照相的方法获得小球做平抛运动时的频闪照片；
小球做平抛运动的频闪照片
2．以抛出点为原点，建立直角坐标系；
3．通过频闪照片描出小球经过相等时间间隔所到达的位置；
4．测出T、2T、3T…时间内小球做平抛运动的水平位移和竖直位移，并填入表格；
抛出时间 T 2T 3T 4T 5T
水平位移
竖直位移
结论 水平分运动特点
竖直分运动特点
5.分析数据得出小球水平分运动和竖直分运动的特点。
方案二
步骤1：探究平抛运动竖直分运动的特点
在如图甲所示的实验中，用小锤击打弹性金属片后，A球沿水平方向抛出，做平抛运动；同时B球被释放，自由下落，做自由落体运动。观察两球的运动轨迹，比较它们落地时间的先后。
分别改变小球距地面的高度和小锤击打的力度，多次重复这个实验，记录实验现象。
步骤2：探究平抛运动水平分运动的特点
(1)按图乙安装实验装置，使斜槽末端水平。钢球在斜槽中某一高度由静止滚下，从末端飞出后做平抛运动。水平放置的倾斜挡板MN可上下调节，钢球飞出后，落到挡板上，挤压复写纸，在白纸上留下印迹。上下调节挡板，通过多次实验，在白纸上记录钢球所经过的多个位置。用平滑曲线连接印迹，得到钢球做平抛运动的轨迹。
(2)注意事项
①实验中必须调整斜槽末端的切线水平(将小球放在斜槽末端水平部分，若小球静止，则斜槽末端水平)。
②方木板必须处于竖直平面内，固定时要用重垂线检查坐标纸竖线是否竖直。
③小球每次必须从斜槽上同一位置由静止释放。
④坐标原点不是槽口的端点，应是小球出槽口时球心在木板上的投影点。
⑤小球开始滚下的位置高度要适中，以使小球做平抛运动的轨迹由坐标纸的左上角一直到达右下角为宜。
五、计算平抛运动的初速度
1．平抛轨迹完整(即含有抛出点)
在轨迹上任取一点，测出该点离原点的水平位移x及竖直位移y，就可求出初速度v0。
因x＝v0t，y＝gt2，故v0＝x 。
2．平抛轨迹残缺(即无抛出点)
在轨迹上任取三点A、B、C(如图所示)，使A、B间及B、C间的水平距离相等，由平抛运动的规律可知A、B间与B、C间所用时间相等，设为t，则Δh＝hBC－hAB＝gt2，所以t＝，所以初速度v0＝＝x 。
INCLUDEPICTURE "典例分类讲解LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../典例分类讲解LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　平抛运动规律的探究
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　某小组做探究平抛运动规律的实验。
(1)在图甲中用小锤敲击弹性金属片，观察到a、b两个小球同时落地，则说明平抛运动在竖直方向上做________运动。
(2)在图乙中将相同的两个小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，切断电源，P、Q同时沿着相同的斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做________运动。
(3)利用频闪相机拍摄图甲中a小球运动过程，经处理后得到如图丙所示的点迹图像。图中O为坐标原点，B点在两坐标线交点，坐标xB＝40 cm，yB＝20 cm，A、C点均在坐标线的中点。重力加速度g取10 m/s2，则平抛小球在B点处的瞬时速度大小vB＝________m/s(结果保留根式)。
[解析]　(1)由于任意高度，做平抛运动和自由落体运动的两个小球都会同时落地，说明平抛运动在竖直方向上做自由落体运动。
(2)在题图乙中同时断电后P、Q两个小球同时沿着斜槽滚下，观察到P、Q两个小球撞在一起，则说明做平抛运动的小铁球在水平方向上做匀速直线运动。
(3)根据题图丙中的几何关系可知，A点的纵坐标为5 cm，B点的纵坐标为20 cm，C点的纵坐标为45 cm
因此A、B的竖直距离yAB＝15 cm＝0.15 m
B、C之间的竖直距离yBC＝25 cm＝0.25 m
则竖直方向上，由运动学公式可知yBC－yAB＝gT2
vBy＝
在水平方向上v0＝
则vB＝ eq \r(v＋v)，解得vB＝2 m/s。
[答案]　(1)自由落体　(2)匀速直线　(3)2
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·河北卷，T11(2))图1为探究平抛运动特点的装置，其斜槽位置固定且末端水平，固定坐标纸的背板处于竖直面内，钢球在斜槽中从某一高度滚下，从末端飞出，落在倾斜的挡板上挤压复写纸，在坐标纸上留下印迹。某同学利用此装置通过多次释放钢球，得到了如图2所示的印迹，坐标纸的y轴对应竖直方向，坐标原点对应平抛起点。
(1)每次由静止释放钢球时，钢球在斜槽上的高度________(选填“相同”或“不同”)。
(2)在坐标纸中描绘出钢球做平抛运动的轨迹。
(3)根据轨迹，求得钢球做平抛运动的初速度大小为________m/s(当地重力加速度g取9.8 m/s2，保留2位有效数字)。
[解析]　(1)为保证钢球每次做平抛运动的初速度相同，必须让钢球在斜槽上同一位置由静止释放，故高度相同。
(2)描点连线用平滑曲线连接，钢球做平抛运动的轨迹如图所示。
(3)因为抛出点在坐标原点，为方便计算，在图线上找到较远的点为研究位置，如坐标为(14.0 cm，19.0 cm)的点，根据平抛运动规律x＝v0t，y＝gt2，解得v0≈0.71 m/s。　
[答案]　(1)相同　(2)图见解析　(3)0.71
题型二　教材实验创新
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，小明利用家中物品制作了一个研究平抛运动规律的装置。在水平桌面上用硬练习本做成一个斜面，使小钢球从斜面上某一位置滚下，钢球沿桌面飞出后做平抛运动。实验步骤如下：
a．将贴好白纸的案板竖直放置于P处；
b．将小钢球沾上墨水后由静止释放，小球飞出后碰到案板并在白纸上留下痕迹B；
c．将案板从P处靠近书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹A；
d．将案板从P处远离书桌平移0.1 m，重复步骤b，留下痕迹C；
e．用刻度尺量出A、B、C三点的距离hAB＝0.15 m，hBC＝0.25 m，通过以上数据即可粗略求出小球离开书桌时初速度的大小。重力加速度g取10 m/s2，回答下列问题：
(1)关于实验操作，下列说法正确的是________。
A．书桌要调整水平
B．小球每次都从同一位置由静止释放
C．必须用秒表记录时间
D．案板可以不竖直放置
(2)根据实验数据，可得小球离开桌面时初速度的大小v0＝________m/s。
(3)若因为操作不当，把案板从P处靠近书桌平移0.1 m后，案板没有竖直，向右倾斜一较小角度，其他操作无误，则求出的离开桌面时初速度比实际值________(选填“偏大”“偏小”或“不变”)。
[解析]　(1)要保证小球做平抛运动，书桌要调整水平，A正确；由于要记录小球的运动轨迹，必须重复多次，才能画出几个点，因此为了保证每次平抛的轨迹相同，所以要求小球每次从同一高度释放，B正确；本实验测量小球轨迹即可，无需测量时间，C错误；案板必须竖直放置，以防止打到案板上的点之间的水平位移不同， D错误。
(2)根据竖直方向做自由落体运动，有Δh＝gT2，可得T＝ ＝0.1 s，水平方向做匀速直线运动，可得v0＝＝1 m/s。
(3)案板没有竖直，向右倾斜一较小角度，则测得的hAB比实际距离小，则得到的时间T偏大，根据v0＝可知，计算的初速度偏小。
[答案]　(1)AB　(2)1　(3)偏小
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P13第1题改编】小明同学在探究出平抛运动的竖直方向分运动特点之后，在家里设计了一个探究平抛运动水平方向分运动特点的实验装置。如图甲所示，在桌面上放置一个斜面，让钢球从斜面上滚下，滚过桌边后钢球便被抛出。在钢球抛出后经过的地方水平放置一块木板(还有一个用来调节木板高度的支架，图中未画出)，木板上放一张白纸，白纸上有复写纸，这样便能记录钢球在白纸上的落点。为了方便记录小球落点坐标，小明同学还在桌子边缘沿竖直方向设置了一个标尺(零刻度与水平桌面对齐)，在木板的边缘设置了一水平标尺(零刻度与桌面的竖直边缘对齐)。让钢球多次从斜面上滚下，不断调节木板高度，借助标尺，测量每次小球落点的坐标(x1，y1)、(x2，y2)…并记录于表中。小明同学根据记录的数据，运用图像法进行处理，得到了如图乙所示的图像(图乙中g为重力加速度)，得出了平抛运动水平方向分运动的特点。
(1)关于该实验，下列说法正确的是________。
A．斜面和桌面必须尽可能光滑
B．桌子边缘必须水平
C．斜面上每次释放小球的位置可以不同
D．上下调节木板时必须每次等间距移动
(2)若图乙的横纵坐标单位均为国际单位，则本实验中小球从桌边抛出时的初速度为________m/s(结果保留2位有效数字)。
(3)由图乙可知，依据第四组数据描出的点P，明显偏离了“直线”，则造成这一偏差可能的原因是该次操作________。
A．小球释放的位置较“同一位置”偏高
B．小球释放的位置较“同一位置”偏低
C．水平木板的左端较桌子边缘偏右
[解析]　(1)小球从斜面滑下后在水平桌面运动，从桌面边缘水平抛出，不需要斜面和桌面光滑，A错误； 小球从桌子边缘抛出要做平抛运动，所以桌子边缘必须水平，B正确；要使每次从桌子边缘抛出的初速度相同，必须保证小球每次均从斜面上的同一位置由静止释放，C错误；上下调节木板时不一定每次移动的距离相等，D错误。
(2)根据平抛运动规律，有x＝v0t
y＝gt2
整理可得x＝v0
可知，图线的斜率k＝v0＝
解得v0≈1.4 m/s。
(3)点P相对于直线上同一个竖直高度的点而言，水平位移偏小，可能是抛出时的初速度较小，即释放小球的位置较“同一位置”偏低，也可能是水平木板的左端较桌子边缘偏右，使得水平位移的测量值偏小。
[答案]　(1)B　(2)1.4　(3)BC(共25张PPT)
第4节　第2课时　课后达标检测
√
1．如图所示，将一小球从水平地面以不同角度、相同大小的初速度v0抛出，不计空气阻力，则从抛出到落地的过程中，小球的初速度方向与地面间夹角较大时(　　)
A．水平射程一定较大
B．落地速度一定较大
C．在空中运动时间一定较长
D．在相同时间内速度变化量一定较大
2．“打水漂”是一种常见的娱乐活动，以一定的高度水平扔出的瓦片，会反复在水面上弹跳前进，假设瓦片和水面相撞后，在水平和竖直方向速度大小均减小，以下四幅图有可能是瓦片轨迹的是(　　)
√
√
3．(2025·江苏无锡市期末)如图所示，跳远可拆分为助跑、起跳、腾空、落地这四个过程，以下说法正确的是(　　)
A．助跑过程中，地面对人产生滑动摩擦力作用，使运动员加速向前运动
B．起跳时，运动员对地面的压力大于重力
C．腾空上升阶段，运动员处于超重状态
D．腾空到最高点，运动员的速度为零
解析：在助跑过程中，地面给人脚静摩擦力作用，使运动员加速向前运动，故A错误；在起跳时，运动员具有向上的加速度，地面对运动员的支持力大于重力，根据牛顿第三定律可知运动员对地面的压力大于重力，故B正确；在腾空上升阶段，运动员只受重力作用，具有向下的加速度，运动员处于失重状态，故C错误；运动员腾空做斜抛运动，所以在腾空的最高点，竖直方向速度为零，但水平速度不为零，故D错误。
√
4．如图所示，从水平地面上A、B两点同时抛出两个物体，初速度分别为v1和v2，与水平方向的夹角分别为30°和60°。某时刻两物体恰好在AB连线上一点O(图中未画出)的正上方相遇，且此时两物体的速度均沿水平方向(不计空气阻力)，则(　　)
A．v1＞v2　　　　　　　 B．v1＝v2
C．OA＝OB D．OA＜OB
√
5．(2025·河南南阳市期中)如图，小明分别在篮筐正前方的a、b位置投掷篮球，出手时篮球的高度相同，最终都垂直击中篮筐上的同一点。不考虑篮球旋转且不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A．在a处投掷时，篮球从出手到击中篮筐的时间更长
B．在b处投掷时，篮球击中篮筐的速度更大
C．在a处和b处篮球出手时的速率相比，b处的出手速率大
D．在a处和b处篮球出手后到垂直击中篮筐的过程中，篮球的速度变化率相同
解析：由逆向思维可知，篮球从篮筐到a或b做平抛运动，由于出手时篮球的高度相同，所以无论篮球在a处投掷还是在b处投掷，篮球从出手到击中篮筐的时间相等，根据加速度的定义可知，在a处和b处篮球出手后到垂直击中篮筐的过程中，篮球的速度变化率相同，故A错误，D正确；篮球在a处投掷运动的水平位移大于在b处投掷运动的水平位移，水平方向篮球做匀速直线运动，则x＝vt，由于篮球运动时间相同，所以vxa>vxb，篮球击中篮筐时的速度为水平方向的出手速度，所以在a处投掷时，篮球击中篮筐的速度更大，故B、C错误。
6．(多选)(2024·江西卷，T8)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　)
√
√
√
7．在自由式滑雪比赛中，图甲是运动员从3 m高跳台斜向上冲出的运动示意图，图乙是运动员在空中运动时离跳台底部所在水平面的高度y随时间t变化的图线，重力加速度g取10 m/s2，不计空气阻力且运动员可视为质点，则运动员(　　)
A．在空中相同时间内的位移相等
B．在空中相同时间内的速度变化量相等
C．冲出跳台的速度大小为14 m/s
D．在空中运动的时间为2.8 s
√
8．(多选)(2025·湖南永州市期末)如图甲所示的是农场扬场机分离谷物示意图。某次抛出的谷粒中有两颗的运动轨迹如图乙所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时谷粒1和谷粒2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。不计空气阻力，关于两谷粒在空中的运动，下列说法正确的是(　　)
A．谷粒1和谷粒2在水平方向都做匀速直线运动
B．谷粒1和谷粒2在竖直方向都做自由落体运动
C．谷粒2从O到P的运动时间大于谷粒1从O到P的运动时间
D．谷粒2从O到P的运动时间等于谷粒1从O到P的运动时间
√
9．(12分)(2025·湖南永州市期末)排球运动是一项集运动、休闲、娱乐为一体的群众性体育项目。如图所示，甲运动员在距离地面高h1＝3.2 m处将排球击出，排球水平飞出；乙运动员在离地h2＝1.4 m处将排球垫起，球被垫起时与甲运动员击球点的水平距离x＝6.0 m，g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)排球从被击出到被垫起在空中飞行的时间t；(4分)
答案：0.6 s　
(2)排球被击出时的初速度大小v0和被垫起前瞬间的速度大小v(结果可用根式表示)。(8分)
10．(14分)(2025·重庆市期末)限重空投项目是飞行器设计创新大赛中最精彩的，也是难度最大的。某次空投沙袋时飞行器速度与水平面的仰角θ＝30°，离地高度h＝15 m，速度v0＝20 m/s。沙袋相对于飞行器无初速度释放，忽略空气阻力对沙袋的影响，g取10 m/s2。求：
(1)沙袋离地面最大高度H；(4分)
答案：20 m　
(2)沙袋落地点到释放点的水平距离L。(6分)
(3)沙袋落地时的速度大小。(4分)(共26张PPT)
第3节　课后达标检测
1．(2025·湖南省合格考)在做“探究平抛运动的特点”的实验中，让A、B两小球同时从同一高度分别做平抛运动和自由落体运动。某同学用频闪照相法记录A、B两小球不同时刻的位置，如图所示。发现以下现象：
(1)A球在水平方向，相同时间内水平位移相同。
(2)A球在竖直方向，总是与B球处于同一高度。
(3)重复多次实验，现象相同，由此得出结论：平抛运动在水平方向上的运动是________________(选填“匀速直线运动”或“自由落体运动”)；在竖直方向上的运动___________________(选填“匀速直线运动”或“自由落体运动”)。
解析：由题意可知，平抛运动在水平方向上的运动是匀速直线运动；两球在竖直方向的运动相同，表明平抛运动在竖直方向上的运动是自由落体运动。
匀速直线运动
自由落体运动
2．(2025·湖南益阳市期中)用如图甲、乙所示的两种装置来分析平抛运动。
(1)图甲中用小锤击打弹性金属片C，小球A沿水平方向飞出后做平抛运动，与此同时，与球A相同的球B被松开做自由落体运动；改变实验装置离地高度，多次实验，两球总是__________(选填“同时”“A先B后”或“B先A后”)落地，这说明做平抛运动的球A在竖直方向上做自由落体运动。
同时
解析：改变实验装置离地高度，多次实验，两球总是同时落地，这说明做平抛运动的球A在竖直方向上做自由落体运动。
(2)图乙中，M、N是两个完全相同的轨道，轨道末端都与水平方向相切，其中，轨道N的末端与光滑水平面相切，轨道M通过支架固定在轨道N的正上方。将小铁球P、Q分别吸在电磁铁C、D上，然后切断电源，使两球以相同的初速度v0同时通过轨道M、N的末端，发现两球__________(选填“同时”或“先后”)到达E处，发生碰撞。改变轨道M在轨道N上方的高度，再进行实验，结果两球也总是发生碰撞，这说明做平抛运动的P球在水平方向上的运动情况与Q球____________(选填“相同”或“不同”)。
同时
相同
解析：两球以相同的初速度v0同时通过轨道M、N的末端，发现两球同时到达E处，发生碰撞。改变轨道M在轨道N上方的高度，再进行实验，结果两球也总是发生碰撞，这说明做平抛运动的P球在水平方向上的运动情况与Q球相同。
3．某同学用如图甲所示的实验装置做“探究平抛运动的特点”的实验。
(1)为了能较准确地描绘小球的运动轨迹，下列说法正确的是________。
A．小球做平抛运动时应与木板摩擦，以便画出运动轨迹
B．本实验不需要用天平测出小球的质量，也不需要配备重垂线
C．为了保证小球沿水平方向飞出，应将斜槽轨道的末端调成水平
D．以小球在斜槽末端时球心在方格纸上的投影点作为所建坐标系的原点O
CD
解析：小球做平抛运动时，不应使其与木板摩擦，以免影响运动的轨迹造成较大实验误差，故A错误；本实验不需要用天平测出小球的质量，但需要配备重垂线，以便确定竖直方向，故B错误；为了保证小球沿水平方向飞出，应将斜槽轨道的末端调成水平，故C正确；小球从斜槽上某位置由静止滚下，离开斜槽末端后做平抛运动，应以小球在斜槽末端时球心在方格纸上的投影点作为所建坐标系的原点O，故D正确。
(2)在此实验中，每次都要让小球从斜槽上的同一位置由静止滚下，但小球与斜槽间有摩擦力，这个摩擦力________(选填“会”或“不会”)使实验的误差增大。
该实验中，让小球多次从斜槽上由静止滚下，在白纸上依次记下小球的位置，甲同学和乙同学得到的记录纸分别如图乙、丙所示，从图中明显看出甲同学的实验错误是__________________，乙同学的实验错误是_______________________________。
不会
斜槽末端不水平
每次静止释放小球的位置不同
解析：斜槽轨道不需要光滑，只要保证小球每次从同一位置释放即可，因为小球每次从同一位置释放，路径相同，每次损失的机械能相同，到达斜面底端时速度相等，即可保证平抛初速度相同。用平滑曲线描绘出小球的运动轨迹，题图乙中小球的初速度明显不沿水平方向，故可推知斜槽末端不水平。题图丙中描绘的点零乱，难以形成一条平滑曲线，可推知初速度不是每次都相同，即每次由静止释放小球的位置不同。
4．(2025·浙江绍兴市期末)在做“研究平抛运动”的实验时，通过描点法画出小球平抛运动的轨迹，实验装置如图所示。
(1)实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，下列器材中还需要的是________。
A．重垂线　　　　　　 B．秒表
C．弹簧测力计 D．天平
解析：实验时，除了木板、小球、斜槽、铅笔、图钉之外，还需要的是重垂线。
A
(2)关于这个实验，下列说法正确的是______(多选)。
A．小球释放的初始位置越高越好
B．每次小球要从同一高度由静止释放
C．要选择光滑的斜槽，并调整斜槽末端切线到水平
D．小球的平抛运动要靠近木板但不接触
BD
解析：小球释放的初始位置并非越高越好，若是太高，导致水平抛出的速度太大，实验难以操作，故A错误；因为要画同一运动的轨迹，必须每次释放小球的位置相同，且由静止释放，以保证获得相同的初速度，故B正确；只要让小球每次从斜槽上同一位置由静止释放，则可得到相同的平抛速度，不需要斜槽必须光滑，故C错误；实验要求小球滚下时不能碰到木板平面，避免因摩擦而使运动轨迹改变，最后轨迹应连成平滑的曲线，故D正确。
(3)在做“研究平抛运动”的实验时，坐标纸应当固定在竖直的木板上，图中坐标纸的固定情况与斜槽末端的关系正确的是________。
解析：斜槽末端是水平的，小球做平抛运动，要分解为水平方向和竖直方向的分运动，故方格纸应该水平竖直，坐标原点应该与小球在斜槽末端静止时在木板上的投影重合。
C
5．(2025·重庆市期末)为了探究平抛运动规律，老师做了如下演示实验：
(1)为了说明平抛运动的竖直分运动是自由落体运动，用图甲所示装置进行实验。小锤打击弹性金属片，A球水平抛出，同时B球被松开自由下落。关于该实验，下列说法正确的有________。
A．所用两球的质量必须相等
B．只做一次实验发现两球同时落地，即可以得到实验结论
C．应改变装置的高度多次实验
D．本实验也能说明A球在水平方向上做匀速直线运动
C
解析：本实验研究平抛运动竖直方向的运动特点，与小球运动的加速度有关，与小球的质量无关，故A错误；为减少实验误差，应改变装置的高度多次实验，若发现两球同时落地，即可以得到实验结论，故B错误，C正确；本实验只能说明平抛运动在竖直方向上做自由落体运动，故D错误。
(2)某同学在做实验时得到了图乙所示的小球做平抛运动的轨迹，a、b、c位置是运动轨迹上三个点(已标出)。其中x、y坐标轴分别沿水平方向和竖直方向，则：(以下两空均保留2位有效数字)
①小球平抛的初速度为________m/s。(重力加速度g取10 m/s2)
②从抛出点到c点的这段时间内小球的速度变化量为________m/s。
2.0
2.5
6．某实验小组利用图(a)所示装置验证小球平抛运动的特点。实验时，先将斜槽固定在贴有复写纸和白纸的木板边缘，调节槽口水平并使木板竖直；把小球放在槽口处，用铅笔记下小球在槽口时球心在木板上的水平投影点O，建立平面xOy坐标系。然后从斜槽上固定的位置释放小球，小球落到挡板上并在白纸上留下印迹，上下调节挡板进行多次实验。实验结束后，测量各印迹中心点O1、O2、O3…的坐标，并填入表格中，计算对应的x2值。
项目 O1 O2 O3 O4 O5 O6
y/cm 2.95 6.52 9.27 13.20 16.61 19.90
x/cm 5.95 8.81 10.74 12.49 14.05 15.28
x2/cm2 35.4 77.6 115.3 156.0 197.4 233.5
(1)根据表中数据，在图(b)给出的坐标纸上补上O4数据点，并绘制“y－x2”图线。
解析：根据表中数据在坐标纸上描出O4数据点，并绘制“y－x2”图线如图所示。
答案：图见解析　
(2)由y－x2图线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成________(选填“线性”或“非线性”)关系，由此判断小球下落的轨迹是抛物线。
解析：由y－x2图线为一条倾斜的直线可知，小球下落的高度y与水平距离的平方x2成线性关系。
线性
(3)由y－x2图线求得斜率k，小球平抛运动的初速度表达式为v0＝________
(用斜率k和重力加速度g表示)。
(4)该实验得到的y－x2图线常不经过原点，可能的原因是_____________________________。
解析：y－x2图线是一条直线，但常不经过原点，说明实验中测量的y值偏大或偏小一个定值，这是小球的水平射出点未与O点重合，位于坐标原点O上方或下方所造成的。
水平射出点未与O点重合专题提升课1　运动合成与分解的两类模型
INCLUDEPICTURE "专题深度剖析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
微专题一　“小船过河”模型
1．小船渡河模型
小船的实际运动是船随水流的运动(速度为v水)和船在静水中的运动(速度为v船)的合运动。船的航行方向是实际运动的方向，即合速度的方向。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。
2．两类最值问题
(1)渡河时间最短问题
水流速度始终沿河道方向，不能提供指向河对岸的分速度，因此若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可。由图甲可知，t短＝，此时船渡河的位移x＝，位移方向满足tan θ＝。
(2)渡河位移最短问题
情况一：v水＜v船
最短的位移为河宽d，此时渡河所用时间t＝，船头与上游河岸夹角θ满足 v船cos θ＝v水，即cos θ＝，如图乙所示。
情况二：v水＞v船
合速度不可能垂直于河岸，无法垂直渡河。如图丙所示，以v水矢量的末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，当合速度的方向与圆相切时，合速度的方向与河岸的夹角最大(设为α)，此时航程最短。由图丙可知 sin α＝，最短航程x＝＝d。此时船头指向应与上游河岸成θ′角，且cos θ′＝。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　一轮船的船头始终指向垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法正确的是　(　　)
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关
D．路程与水流速度无关
[解析]　因为船垂直于河岸方向的速度不变，即船速不变，设两侧河岸间距为d，则渡河时间t＝，而水流方向是垂直于这个方向的，在这个方向上没有分速度，所以不论水速多大，渡河时间不变；水速越大，则水流方向的位移x就越大，根据路程s＝可知，水流速度越大，路程越长。
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·上海市期末)如图，从河岸M驶向对岸N，已知船在静水中的速度v大于水速u，图中航程最短的是(　　)
[解析]　由于船在静水中的速度v大于水速u，则当船的合速度方向垂直于河岸时，驶向正对岸的航程最短，此时船头斜向上游。
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行。已知小船在静水中的速度为4 m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽d＝200 m，水流速度为3 m/s，方向与河岸平行。
(1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？
(2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若河水因涨水导致水流速度变为6 m/s，小船在静水中的速度为4 m/s不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？
[解析]　(1)当船以静水中的速度垂直于河岸渡河时，渡河时间最短，如图甲所示
最短时间tmin＝＝50 s
这时小船的合速度
v＝ eq \r(v＋v)＝5 m/s
此种情况下小船渡河的位移
l＝vtmin＝250 m。
(2)船在静水的速度大于水流速度，那么最短位移为河宽，如图乙所示
这种情况下，小船的合速度
v′＝ eq \r(v－v)＝ m/s＝ m/s
当渡河位移最短时渡河的时间
t′＝＝ s。
(3)若水流速度v水′＝6 m/s
则v船此种情况下渡河如图丙所示
当船头方向(即v船方向)与合速度方向垂直时，渡河位移最短，大小
l′＝＝300 m
这种情况下，小船的合速度
v″＝ eq \r(v水′2－v)＝2 m/s
渡河时间t″＝＝ s＝30 s。
[答案]　(1)50 s　250 m　(2) s
(3)300 m　30 s
微专题二　“速度关联”模型
1．“关联”模型
关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。
2．解题步骤
(1)先确定合运动，即物体的实际运动。
(2)确定合运动的两个实际作用效果：一是沿绳(或杆)方向的平动效果(改变速度的大小)；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果(改变速度的方向)。将实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量。
(3)按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图。
(4)根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
3．常见模型
模型1　绳牵连物体模型
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，一辆货车利用跨过定滑轮的缆绳提升一箱货物，货车匀速向左运动时，货物的速度(　　)
A．逐渐减小　　　 　 　 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
[解析]　将货车的速度进行分解，分解为沿着绳方向的v∥和垂直于绳方向的v⊥，如图所示，可知货物的速度与车沿着绳方向的分速度大小始终相等，则有v货＝v∥＝v cos θ，随着汽车前进，θ角减小，cos θ增大，由此可知货物的速度逐渐增大。
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·湖南永州市期末)如图所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A和B，它们通过一根绕过定滑轮O的不可伸长的轻绳相连接，物体A以速率vA匀速向右运动，当绳与轨道成37°角时，物体A的速度大小vA与物体B的速度大小vB之比为(已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)(　　)
A. B．1
C． D．
[解析]　将B的速度分解，如图所示，则有vA＝vB cos 37°，解得＝。
[答案]　D
模型2　杆牵连物体模型
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·广西南宁市期中)如图所示，直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端始终靠在物块B上，B的表面光滑，控制物块B使其由静止开始水平向左做a＝0.4 m/s2的匀加速直线运动，在t＝2 s时，直杆与竖直面的夹角θ＝37°，端点A的速度为(sin 37°＝0.6)(　　)
A．1.0 m/s B．0.8 m/s
C．0.64 m/s D．0.6 m/s
[解析]　根据题意可知，在t＝2 s时，B的速度大小v＝at＝0.8 m/s，端点A的速度分解如图所示，有vA＝＝1.0 m/s。
[答案]　A(共21张PPT)
第1节　课后达标检测
√
1．(多选)(2025·重庆市期末)关于曲线运动，下列说法正确的是(　　)
A．曲线运动一定是变速运动
B．做曲线运动的物体速度可能不变
C．做曲线运动的物体受力一定变化
D．做曲线运动的物体加速度可能不变
解析：曲线运动的速度方向发生变化，根据速度的矢量性可知，一定是变速运动，故A正确，B错误；做曲线运动的物体可能受到恒力作用，也可能受到变力作用，如果受到恒力作用则加速度不变，故C错误，D正确。
√
√
2．(2025·浙江省合格考)如图所示，篮球从运动员手中被投出后，沿着一条优美的曲线飞行。用箭头标注篮球经过图中a、b、c、d四点时的速度方向。速度方向标注正确的是　(　　)
A．a B．b
C．c D．d
解析：曲线运动某点的速度方向应为该点的切线方向。
√
3．(2025·上海浦东新区期末)关于曲线运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体做曲线运动时，它的速度可能保持不变
B．物体只有受到一个方向不断改变的力的作用，才可能做曲线运动
C．做曲线运动的物体，所受合外力方向与速度方向肯定不在一条直线上
D．所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，肯定做变加速曲线运动
解析：物体做曲线运动时，它的速度方向时刻在改变，故A错误；物体受恒力作用时仍然可以做曲线运动，故B错误；做曲线运动的条件为物体所受合外力方向与速度方向不在一条直线上，故C正确；所受合外力方向与速度方向不在一条直线上的物体，可能做匀变速曲线运动，故D错误。
√
4．(2025·天津南开区期末)运动员出色表现的背后，不仅有自身努力的付出，也有科技的加持。利用风洞实验室为运动装备风阻性能测试和运动姿态风阻优化在我国已大量运用在各类比赛项目中。为了更加直观的研究风洞里的流场环境，我们可以借助丝带和点燃的烟线辅助观察，如图甲所示。在某次实验中获得一重力可忽略不计的烟尘颗粒从P点到Q点做曲线运动的轨迹，如图乙所示，下列关于烟尘颗粒的说法正确的是(　　)
A．烟尘颗粒速度始终不变
B．在P点处的速度方向为从P点指向Q点
C．在P点处的加速度方向可能为斜向右上方
D．Q点处的合力方向可能竖直向上
解析：烟尘颗粒做曲线运动，可知速度方向不断变化，即速度不断变化，A错误；P点处的速度方向沿轨迹的切线方向，并非从P点指向Q点，B错误；颗粒在P点处的合力方向指向轨迹的凹向，即加速度方向可能为斜向右上方，C正确；颗粒在Q点处的合力方向指向轨迹的凹向，不可能竖直向上，D错误。
√
5．如图是频闪照相机拍摄的篮球离开手后在空中的运动轨迹，忽略空气阻力，下列说法正确的是(　　)
A.篮球离开手瞬间的加速度为0
B．篮球经过轨迹最高点时的速度为0
C.篮球经过A点处受到的合外力方向沿轨迹的切线方向
D．篮球从离开手到落入篮筐过程中速度变化量的方向始终竖直向下
解析：篮球离开手瞬间的加速度为g，故A错误；篮球经过轨迹最高点时水平方向仍有速度，速度不为0，故B错误；忽略空气阻力，篮球经过A点处受到的合外力方向竖直向下，故C错误；篮球从离开手到落入篮筐过程中速度变化量的方向为加速度方向，始终竖直向下，故D正确。
6．(2025·江苏扬州市合格考模拟)短道速滑运动员在弯道加速滑行时，其所受合力与速度方向示意图正确的是(　　)


解析：物体做曲线运动时，某一点的速度方向在该点的曲线切线上，所受合力方向位于轨迹的凹侧，由于运动员在弯道加速滑行，所以此时合力方向与速度方向的夹角小于90°。
√
√
7．(2025·江苏盐城市合格考模拟)某质点从甲点沿如图所示的曲线运动到乙点，质点受力的大小为F。经过乙点后，若力的方向突然变为与原来相反的方向，则从乙开始运动的路径可能是沿(　　)
A．乙甲 B．乙丙
C．乙丁 D．乙戊
解析：从甲点沿曲线运动到乙点，曲线是向右下弯曲的，由合力应该指向轨迹的内侧，改变F的方向之后就应该是指向轨迹外侧，物体的运动轨迹应该是向左上方弯曲，可能出现乙丙的轨迹。
8．(2025·湖北武汉市期末)某品牌电动汽车在水平公路上转弯，沿曲线由M向N行驶，速度逐渐减小，图中分别画出了汽车转弯时加速度a的方向正确的是(　　)

解析：电动汽车运动轨迹是曲线，根据曲线运动的条件，受到的合外力方向指向曲线的内侧，因为是减速运动，合外力的方向与该点的速度方向的夹角为钝角，且速度方向沿切线方向，加速度方向和合外力方向相同。
√
9．(2025·云南昆明市期末)运动员将排球击出后，排球在空中划出一段优美的弧线，如图中虚线所示，则排球在P点处受到的合外力方向可能正确的是(　　)

解析：排球做曲线运动时，合外力指向曲线的内侧，并且排球处于上升过程，速度减小，运动方向与合外力方向成钝角，A正确，B、C、D错误。
√
10．下面四个选项中的虚线均表示小鸟在竖直平面内沿曲线从左向右减速飞行的轨迹，小鸟在轨迹最低点时的速度v和空气对它的作用力F的方向可能正确的是(　　)
√
解析：根据曲线运动规律可知，速度方向沿曲线的切线方向，减速飞行说明重力和F的合力的方向指向运动轨迹的凹侧且与速度方向成钝角。
11．一个物体在水平面内拉力F作用下，沿着光滑水平面从A点运动到D点，其运动轨迹如虚线所示。下列说法正确的是(　　)
A．AB段拉力F方向一定不变
B．BC段拉力F可能不为0
C.CD段拉力F与速度方向一致
D．全过程力F可能为恒力
√
解析：物体在AB段做曲线运动，拉力F方向可能不变，可能改变，故A错误；物体在BC段做直线运动，若为变速运动，则拉力F不为0，故B正确；物体在CD段做曲线运动，拉力F方向与速度方向不在同一直线上，故C错误；物体在AB段拉力F方向指向曲线内侧，在BC段F方向与BC在同一直线上，在CD段拉力F方向指向曲线内侧，故拉力不可能为恒力，故D错误。
12．光滑水平面内，一质点在恒力作用下做曲线运动，轨迹如图中虚线所示，A、B为曲线上的两个点，则此恒力可能是图中的(　　)
A．F1　　　　 B．F2
C．F3 D．F4
解析：根据质点做曲线运动的条件可知，质点在恒力作用下做曲线运动，恒力应在任何位置均指向曲线弯曲的内测，结合题图可知，此恒力可能是图中的F1。
√
13．如图是测风速装置的工作原理示意图。假设光滑的水平面上一小球以速度v0向东运动，运动过程中要穿过一段水平向北的风带ab，其余区域无风，假设风力可以看成小球受到水平向北的恒力F的作用，则小球过风带及过后的轨迹正确的图是(　　)
√
解析：小球在光滑的水平面上以v0向东运动，小球穿过一段水平向北的风带ab的过程中，受到一个向北的水平恒力，根据曲线运动条件，合外力指向物体做曲线运动轨迹的凹侧，且速度的方向沿着轨迹的切线方向，小球穿过风带后做匀速直线运动，可知，只有B项符合要求。第2节　运动的合成与分解
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法。
2．能利用运动的合成与分解的知识，判断合运动的轨迹和性质。
3．通过运动的合成与分解，初步体会把复杂运动分解为简单运动的物理思想。
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、一个平面运动的实例
蜡块沿玻璃管匀速上升，玻璃管向右匀速移动(如图甲所示)，则蜡块向右上方运动。那么，怎样定量地研究蜡块的运动呢？
　　　
1．建立坐标系：蜡块在竖直平面内运动，则可以选择平面直角坐标系。以蜡块开始匀速运动的位置为原点O，以水平向右的方向和竖直向上的方向分别为x轴和y轴方向，建立平面直角坐标系，如图乙所示。
2．确定任意时刻蜡块的位置：若以vx表示玻璃管向右移动的速度，以vy表示蜡块沿玻璃管上升的速度，则在时刻t，蜡块的位置可以用它的x、y两个坐标表示，x＝vxt，y＝vyt。
3．蜡块运动的轨迹：蜡块在时刻t的位置坐标x＝vxt，y＝vyt，消去t得y＝x，由于vx和vy都是常量，所以也是常量，可见轨迹是一条过原点的直线。
4．蜡块运动的速度：v＝_ eq \r(v＋v)，速度的方向，即用v与x轴正方向的夹角θ来表示，它的正切为tan θ＝。
二、运动的合成与分解
1．合运动与分运动：如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动。
2．运动的合成与分解：由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。
3．遵从法则：遵从矢量运算法则。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确。
(1)合速度就是两个分速度的代数和。(　　)
(2)合速度不一定大于任一分速度。(　　)
(3)合位移一定大于任意一个分位移。(　　)
(4)运动的合成就是把两个分运动加起来。(　　)
(5)运动的分解就是把一个运动分成两个完全相同的运动。(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　合运动与分运动
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
从你的铅笔盒里取一块橡皮，用一根细线拴住，把细线的另一端用图钉固定在竖直放置的木板上。按图中所示的方法，用铅笔靠着细线的左侧，沿直尺向右匀速移动，再向左移动，来回做几次，仔细观察橡皮的运动轨迹。结合实验现象说明：橡皮的实际运动与哪两个方向的运动有关？
[提示]　与水平方向和竖直方向的运动有关。
1．对合运动与分运动的理解
(1)物体的实际运动就是合运动，实际运动的位移、速度、加速度就是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度。
(2)运动的合成与分解实质是对运动的位移、速度和加速度的合成与分解，遵循平行四边形定则。
(3)运动的分解与力的分解一样，如无约束条件，一个运动可以分解为无数组分运动，在具体分解过程中，一般情况下按照运动的实际效果分解。
2．合运动与分运动的关系
(1)等效性：各分运动的共同效果与合运动的效果相同。
(2)等时性：各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同。
(3)独立性：各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响。
(4)同体性：各分运动与合运动是同一物体的运动。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P9第2题改编】跳伞表演是人们普遍喜欢的观赏性体育项目，如图所示，当运动员从直升机上由静止跳下后，在下落过程中将会受到水平风力的影响，下列说法正确的是(　　)
A．水平风力越大，运动员下落时间越长，运动员可完成更多的动作
B．水平风力越大，运动员着地时的竖直速度越大，有可能对运动员造成伤害
C．运动员下落时间与水平风力无关
D．运动员着地速度与水平风力无关
[解析]　运动员同时参与了两个分运动，竖直方向下落的运动和水平方向随风飘的运动，两个分运动同时发生，相互独立，水平方向的风力大小不影响竖直方向的运动，则下落时间和竖直方向下落的速度不变，但水平风力越大，运动员水平方向的速度越大，则落地的合速度越大，故A、B、D错误，C正确。
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图，一质点在恒力作用下经过时间t从a点运动到b点，速度大小由v0变为2v0，速度方向偏转60°角，则质点的加速度大小为(　　)
A．　　　　　　 　 B．
C． D．
[解析]　根据矢量运算规则，利用三角形定则如图所示，可得速度的变化量Δv＝ eq \r((2v0)2－v)＝v0，则质点的加速度大小a＝＝，故C符合题意。
[答案]　C
知识点二　运动的合成与分解
1．运动的合成与分解
(1)运动的合成：已知分运动求合运动的过程叫运动的合成。
(2)运动的分解：已知合运动求分运动的过程叫运动的分解。
(3)运动的合成与分解互为逆运算。
2．遵循的规律
位移、速度、加速度都是矢量，对它们进行合成与分解时可运用平行四边形定则或三角形定则。
3．合运动的性质判断
(1)加速度(大小、方向)
(2)加速度(方向)与速度方向
4．互成角度的两个直线运动的合成
分运动 合运动 矢量图 条件
两个匀速直线运动 匀速直线运动 a＝0
一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动 匀变速曲线运动 a与v成α角
两个初速度为零的匀加速直线运动 初速度为零的匀加速直线运动 v0＝0
两个初速度不为零的匀加速直线运动 匀变速直线运动 a与v方向相同
匀变速曲线运动 a与v成α角
角度1　两个直线运动的合成
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是(　　)
A．合运动的速度一定比两个分运动的速度都大
B．合运动的速度可以比两个分运动的速度都小
C．两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，可能是曲线运动
D．两个互成角度的匀速直线运动的合运动，可能是曲线运动
[解析]　合运动的速度可以比两个分运动的速度都大，也可以比两个分运动的速度都小，还可以等于其中一个分速度的大小，故A错误，B正确；两个互成角度的匀加速直线运动的合运动，如果合初速度方向与合加速度方向不在同一直线上，则合运动为曲线运动，故C正确；两个互成角度的匀速直线运动的合运动，一定是匀速直线运动，故D错误。
[答案]　BC
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·辽宁辽阳市期末)如图所示，在浩瀚的大海上，帆板在海面上以大小为v的速度朝正东方向航行，帆船以大小为v的速度朝正北方向航行。若以帆船为参考系，则下列说法正确的是(　　)
A．帆板朝正南方向航行，速度大小为v
B．帆板朝正东方向航行，速度大小为v
C．帆板朝南偏东30°方向航行，速度大小为2v
D．帆板朝北偏东30°方向航行，速度大小为2v
[解析]　以帆船为参考系，帆板具有向东的速度v和向南的速度v，二者的合速度v合＝＝2v，tan α＝＝，所以α＝30°，即速度方向为南偏东30°。
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·山东聊城期末)工业机器人的普及使工厂的生产效率大大提高，某生产线上机器人的部分构造如图所示，高h＝5 m 的支架竖直放置在长l＝7.5 m的水平轨道上，支架顶端的电动机可以拉动工件以v1＝2 m/s的速度匀速上升，同时水平轨道右端的电动机可以拉动支架以v2＝3 m/s的速度匀速向右运动。在正常工作过程中下列说法正确的是(　　)
A．工件运动的速度v＝5 m/s
B．若工件运动的速度与水平方向夹角为θ，则tan θ＝
C．2 s内工件的位移大小x＝10 m
D．若工件上升高度为4 m，则工件同时向右移动6 m
[解析]　工件的运动由两垂直的分运动合成，合速度大小v＝ eq \r(v＋v)＝ m/s，故A错误；若工件运动的速度与水平方向夹角为θ，可得tan θ＝＝，故B正确；2 s内工件的位移大小x＝vt＝2 m，故C错误；若工件上升高度为4 m，则工件同时向右移动x2＝v2·＝3× m＝6 m，故D正确。
[答案]　BD
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P19第3题】某架飞机在进行航空测量时，需要严格按照从南到北的航线进行飞行。如果在无风时飞机相对地面的速度是414 km/h，飞行过程中航路中有速度为54 km/h的持续东风。
(1)飞机应该朝着哪个方向飞行？可以用三角函数表示偏角的大小。
(2)如果所测地区的南北长度为621 km，该测量需要多长时间？
[解析]　(1)飞机飞行的方向如图所示
由题意得sin θ＝＝＝，则θ＝arcsin ，所以飞机应朝北偏东arcsin 方向行驶。
(2)由题意可知v＝v机cos θ＝v机＝414× km/h≈410 km/h
故飞行时间t＝≈1.5 h。
[答案]　(1)见解析　(2)1.5 h
角度2　运动的分解
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P9第1题改编】炮筒与水平方向成60°角，炮弹从炮口射出时的速度是800 m/s，这个速度在水平方向和竖直方向的分速度各是多少(　　)
A． m/s和400 m/s
B．400 m/s和 m/s
C．400 m/s和400 m/s
D．400 m/s和400 m/s
[解析]　速度分解如图所示，炮弹在水平方向的分速度vx＝800 m/s×cos 60°＝400 m/s，炮弹在竖直方向的分速度vy＝800 m/s×sin 60°＝400 m/s。
[答案]　D
知识点三　运动的合成与分解的综合问题
INCLUDEPICTURE "例8LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例8LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　一迷你热气球以速度vy＝5 m/s从水平地面上匀速上升，同时热气球在水平方向上受一恒定风力作用，某段时间内，其在水平风力方向上的位置坐标随时间的变化图像如图所示，则当热气球上升到h＝5 m时，热气球到出发点的水平距离为(　　)
A．2 m　　　　　　　 　 B． m
C．3.5 m D．4 m
[解析]　当热气球上升到h＝5 m时所用时间t＝＝1 s，热气球在水平方向受恒定的风力作用做匀加速运动，根据Δx＝aT2，解得a＝＝ m/s2＝4 m/s2，则当t＝1 s时，x＝at2＝×4×12 m＝2 m。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例9LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例9LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P21第6题改编】某质点在Oxy平面上运动。t＝0时，质点位于y轴上。它在x方向运动的速度—时间图像如图甲所示，它在y方向的位移—时间图像如图乙所示。下列判断正确的是(　　)
A．t＝0时，质点的速度为4 m/s
B．质点运动的加速度大小为4 m/s2
C．t＝0.5 s时，质点速度与x轴夹角为30°
D．前2 s内，质点运动位移的大小为2 m
[解析]　由题图可知质点在x轴上做加速度ax＝ m/s2＝2 m/s2的匀加速直线运动，在y轴做速度vy＝－ m/s＝－5 m/s的匀速直线运动，所以t＝0时，质点速度v0＝ eq \r(v＋v)＝ m/s＝ m/s，质点运动的加速度大小a＝ax＝2 m/s2，故A、B错误；t＝0.5 s时，x轴方向的速度vx＝v0x＋axt＝5 m/s，质点速度与x轴夹角tan θ＝＝1，所以θ≠30°，故C错误；前2 s内，质点运动位移的大小s＝＝＝2 m，故D正确。
[答案]　D
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(合运动与分运动)【教材经典P6演示实验改编】如图所示，在竖直倒置的封闭玻璃管内注满清水，水中有一个红蜡块。玻璃管以速度v向右匀速移动，与此同时红蜡块沿玻璃管以速度2v匀速上浮，用虚线表示红蜡块相对地面移动的轨迹，可能是下面四幅图中的(　　)
解析：选A。蜡块参与了竖直方向上的匀速直线运动和水平方向上的匀速直线运动，合力为零，蜡块做匀速直线运动，由于竖直方向的速度大于水平方向的速度，相同时间内，竖直方向的位移大小大于水平方向的位移大小。
2．(两个直线运动的合运动性质)下列说法正确的是(　　)
A．做曲线运动物体的加速度可能为零
B．做曲线运动物体的加速度可能恒定不变
C．不在同一直线上的两个匀速直线运动的合运动可能是曲线运动
D．不在同一直线上的两个匀加速直线运动的合运动一定是曲线运动
解析：选B。做曲线运动物体的速度一定发生变化，则物体的加速度不可能为零，故A错误；做曲线运动物体的速度发生变化，但加速度可能是恒定不变的，故B正确；不在同一直线上的两个匀速直线运动的合运动一定是直线运动，故C错误；当两个匀变速直线运动的合加速度与合初速度的方向在同一直线上时，物体做直线运动，当两个匀变速直线运动的合加速度与合初速度的方向不在同一直线上时，物体做曲线运动，故D错误。
3．(运动的合成与分解)如图所示，静止在光滑水平面上的小球的质量m＝0.5 kg，给小球一个大小v0＝5 m/s的初速度，同时对小球施加一与水平面平行的恒力F，其大小为1.5 N，方向与v0的夹角θ＝127°，取sin 37°＝0.6。以此为零时刻开始计时，则小球在运动过程中的最小速度为(　　)
A.0　　　　　　　　　 B．3 m/s
C．4 m/s D．5 m/s
解析：选C。将速度沿着力的方向和垂直于力的方向分解，小球在垂直于力的方向上做匀速直线运动，当沿着力的方向速度减为零时小球的速度最小，为vmin＝v0cos (θ－90°)＝4 m/s，故C符合题意。
4．(运动的合成与分解)(多选)【教材经典P20第6题改编】如图所示，在一端封闭的光滑细玻璃管中注满清水，水中放一个红蜡做成的小圆柱体R(R视为质点)。将玻璃管的开口端用胶塞塞紧后竖直倒置且与y轴重合，R从坐标原点O以速度v0＝3 cm/s匀速上浮的同时，玻璃管沿x轴正方向做初速度为零的匀加速直线运动。测出某时刻R的坐标为(4 cm，6 cm)，则此时(　　)
A．R的加速度大小为2 cm/s2
B．R的加速度大小为4 cm/s2
C．R的速度大小为4 cm/s
D．R的速度大小为5 cm/s
解析：选AD。y轴方向上，R做匀速直线运动，x轴方向上，R做初速度为零的匀加速直线运动，则y＝v0t＝6 cm，x＝at2＝4 cm，解得t＝2 s，a＝2 cm/s2，故A正确，B错误；x轴方向上，R的速度大小vx＝at＝4 cm/s，R的速度大小v＝ eq \r(v＋v)＝5 cm/s，故C错误，D正确。INCLUDEPICTURE "物RJBX2第五章LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../物RJBX2第五章LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
第1节　曲线运动
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．知道什么是曲线运动，会确定曲线运动中速度的方向，知道曲线运动是变速运动。
2．知道物体做曲线运动的条件和特点。
3．理解物体所受合力、运动轨迹和速度方向之间的关系。
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、曲线运动的速度方向
1．切线：如图所示，当B点非常非常接近A点时，这条割线就叫作曲线在A点的切线。
2．速度方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的切线方向。
3．运动性质：速度是矢量，既有大小，又有方向。由于曲线运动中速度的方向是变化的，所以曲线运动是变速运动。
二、物体做曲线运动的条件
1．物体如果不受力或所受合力为零，将静止或做匀速直线运动；物体做曲线运动时，由于速度方向时刻改变，所以物体的加速度一定不为0，所受的合力一定不为0。
2．从不同角度分析物体做曲线运动的条件
(1)动力学角度：当物体所受合力的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
(2)运动学角度：当物体加速度的方向与它的速度方向不在同一直线上时，物体做曲线运动。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确。
(1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。(　　)
(2)物体的速度不断改变，物体一定做曲线运动。(　　)
(3)做曲线运动的物体的速度与物体所受合外力不可能在同一条直线上。(　　)
(4)做曲线运动的物体所受合外力的方向一定是变化的。(　　)
(5)物体受恒力作用时不可能做曲线运动。(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　曲线运动的性质和特点
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
图为砂轮打磨下来的炽热微粒飞离砂轮时的情形，微粒离开砂轮的时刻不同，飞离时的速度方向也不一样。
(1)微粒离开砂轮瞬间速度方向如何？
(2)微粒在离开砂轮前速度是否变化？
(3)微粒做曲线运动时，加速度可以是零吗？为什么？
[提示]　(1)微粒未离开砂轮前，随着砂轮一起运动，轨迹为圆，离开砂轮瞬间速度沿圆周上该点的切线方向，即沿离开砂轮时该点的切线方向。
(2)微粒在离开砂轮前速度是不断变化的。
(3)不可以，微粒做曲线运动时，速度方向发生变化，即运动状态发生改变，微粒受到的合外力不为零。
1．曲线运动的速度方向
曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向。
2．曲线运动是变速运动
由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化。
3．曲线运动的分类
(1)匀变速曲线运动：加速度恒定的曲线运动，即物体在恒力作用下的曲线运动。
(2)变加速曲线运动：加速度不断变化的曲线运动，即物体在变力作用下的曲线运动。
角度1　曲线运动的特点
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　当一个物体做曲线运动时(　　)
A．其速度方向一定发生变化
B．其速度的大小一定发生变化
C.其运动位移一定在增大
D．其加速度大小一定发生变化
[解析]　曲线运动中物体的速度方向沿曲线在这一点的切线方向，速度方向一定是时刻变化的，故A正确；物体做曲线运动时，速度大小是可以不变的，故B错误；物体做曲线运动时，其位移可以为0，可以增大，也可以减小，故C错误；物体做曲线运动时，可以受到恒力的作用，其加速度可能是恒定不变的，故D错误。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P5第1题改编】跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。如图为运动员高台跳水过程中头部的运动轨迹示意图，a、b、c、d为轨迹上的四个点，则经过哪个点时头部的速度方向与入水时的速度v的方向最接近(　　)
A．a点　　　　　　 　 B．b点
C．c点 D．d点
[解析]　根据物体做曲线运动时速度方向为该点的切线方向可知，经过c点时头部的速度方向与入水时的速度v的方向最接近。
[答案]　C
角度2　曲线运动的性质
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　物体做曲线运动，下列说法正确的是(　　)
A．曲线运动不可能是匀变速运动
B．曲线运动速度大小时刻发生变化
C．曲线运动相同时间内速度改变量不可能相同
D．曲线运动速率可以不变
[解析]　曲线运动也可能是匀变速运动，A错误；曲线运动速度大小不一定发生变化，即速率可以不变，B错误，D正确；曲线运动相同时间内速度改变量也可能相同，C错误。
[答案]　D
知识点二　物体做曲线运动的条件
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度。为便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线。图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边。
(1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与钢球所受磁铁吸引力方向有什么关系？
(2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与钢球所受磁铁吸引力方向有什么关系？
[提示]　(1)钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与钢球所受磁铁吸引力方向相同。
(2)钢球做曲线运动，钢球的运动方向与钢球所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上。
物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合外力与速度方向不共线。
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线。
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·河南洛阳市期末)一个物体在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下做匀速直线运动。若保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后(　　)
A．可能做匀变速曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C.可能继续做匀速直线运动
D．在相等时间内速度的变化量一定不相等
[解析]　物体做匀速直线运动的速度方向与F3的方向关系不明确，可能是相同、相反或不在同一条直线上，故保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后可能做匀变速曲线运动，或匀变速直线运动，不可能继续做匀速直线运动，故A正确，B、C错误；保持F1、F2不变，突然撤去F3，即之后的合力大小为F3，方向与F3的方向相反，故物体所受的合外力为恒力，根据牛顿第二定律可知F＝ma，物体的加速度恒定不变，根据Δv＝aΔt可知，在相等时间内速度的变化量一定相等，故D错误。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P4演示实验改编】如图所示，小钢球以初速度v0在光滑水平桌面上运动，由于受到磁铁的作用力而做图示的曲线运动到达B点。下面对磁铁所放的可能位置及小钢球运动性质说法正确的是(　　)
A．放在位置A处，小钢球做非匀变速曲线运动
B．放在位置B处，小钢球做匀速圆周运动
C．放在位置C处，小钢球做匀变速曲线运动
D．放在位置D处，小钢球做非匀变速曲线运动
[解析]　曲线运动的轨迹夹在速度方向与所受合外力方向之间，且合外力指向轨迹的凹侧面，由于小钢球受到磁场力的作用做曲线运动，而磁铁对小钢球是引力的作用，则磁铁可能放在位置A处，又小钢球离磁铁越近受到的磁场力越大，根据牛顿第二定律可知，小钢球做的是加速度逐渐变化的曲线运动，即小钢球做非匀变速曲线运动。
[答案]　A
知识点三　物体所受合力、速度和运动轨迹的关系
1．合外力与运动轨迹的关系
曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，即合力指向轨迹的凹侧。
2．确定曲线运动的轨迹的方法
(1)做曲线运动的物体，运动轨迹不断改变，其改变后的轨迹处在运动方向与合外力方向构成的夹角之间，且偏向合外力所指的一侧。
(2)若物体在恒力作用下做曲线运动，则物体的运动轨迹越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
3．合外力与速率的关系
(1)若合力方向与速度方向的夹角为α，则
(2)将合力沿速度方向和垂直于速度方向分解，若沿速度方向的分力与速度同向，则速率增大；若反向，则速率减小。
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2023·辽宁卷，T1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
[解析]　篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误；当篮球的速度斜向右上方时，A选项符合条件，故A正确。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P4做一做改编】如图所示，质量为m的飞镖在空中做曲线运动，所受空气阻力大小为Ff，重力加速度为g，则其受力示意图可以表示为(　　)
[解析]　重力方向竖直向下，阻力方向与速度方向相反，速度方向沿轨迹的切线方向，速度方向斜向下，阻力方向斜向上，则C正确，A、B、D错误。
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(曲线运动的性质和特点)关于力和运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体在变力作用下可能做匀变速曲线运动
B．物体在变力作用下不可能做直线运动
C．物体在恒力作用下不可能做曲线运动
D．物体在恒力作用下可能做曲线运动
解析：选D。物体做曲线运动的条件是物体所受合外力的方向与物体的速度方向不在同一条直线上。物体所受合外力可以是恒力，也可以是变力，若物体所受合外力为恒力，则物体所做的曲线运动为匀变速曲线运动，故A、C错误，D正确；物体做直线运动的条件是物体所受合外力为零且做匀速运动或物体所受合外力的方向与速度方向在同一直线上，物体所受合外力可以是恒力也可以是变力，故B错误。
2．(物体做曲线运动的条件)(2025·云南昆明市期末)在2024年11月珠海航展上，中国自主研制的新一代隐身战斗机歼 35A首次公开亮相。如图所示，歼 35A表演时先水平向左飞行，再沿曲线 abc飞行。若飞行轨迹在同一竖直面内且飞行速率不变，下列说法正确的是(　　)
A．歼 35A在表演中做匀速运动
B．歼 35A在ab段做变速运动
C．歼 35A在ab段所受合力为零
D．歼 35A在bc段的加速度方向与速度方向在同一条直线上
解析：选B。歼 35A在abc段做曲线运动，速度方向时刻改变，不是匀速运动，A错误；歼 35A在ab段做曲线运动，速度方向改变，是变速运动，所受合力不为零，B正确，C错误；歼 35A在bc段做曲线运动，加速度方向与速度方向不在同一条直线上，D错误。
3．(物体所受合力、速度和运动轨迹的关系)(2025·江苏连云港市合格考模拟)如图所示，“福建舰”正在海面上进行转弯作业，下列选项分别画出了“福建舰”沿曲线由M向N转弯(俯视图)时所受合力F的方向，其中可能正确的是(　　)
解析：选B。“福建舰”做的是曲线运动，受到的合力应该指向运动轨迹弯曲的内侧。
4．(物体所受合力、速度和运动轨迹的关系)(2025·湖北武汉市期末)第十五届中国国际航空航天博览会(简称中国航展)在珠海国际航展中心成功举行。如图，正在展演的“歼 20”战机正沿直线斜向下加速俯冲。将“歼 20”简化为质点“O”，用G表示它受到的重力，F表示除重力外其他作用力的等效力，则下列图中能正确表示此过程中战机受力情况的是(　　)
解析：选A。由题意可知正在展演的“歼 20”战机正沿直线斜向下加速俯冲，则所受的合力方向与速度方向在同一直线上，否则就要做曲线运动。INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
题组1　小船过河模型
1．小船横渡一条河，船头方向始终与河岸垂直。若小船相对于水的速度大小不变时，小船的运动轨迹如图所示，则(　　)
A．由M到N水流速度一直增大
B．由M到N水流速度一直减小
C．由M到N水流速度先增大后减小
D．由M到N水流速度先减小后增大
解析：选B。从轨迹曲线的弯曲形状可以知道，加速度的方向水平向左，故由M到N水流速度减小，即越靠近对岸水速越小。
2．某人想乘坐一条小木船渡河，若河面宽300 m，水流速度为3 m/s，木船相对静水速度为2 m/s，则此人渡河所需的最短时间为(　　)
A．60 s　　　　　　 　　 B．100 s
C．150 s D．300 s
解析：选C。根据分运动的独立性与等时性可知，当船头指向垂直于河岸时，渡河时间最短，可知最短时间tmin＝＝ s＝150 s。
3．一小船在静水中的速度为4 m/s，它在一条河宽160 m、水流速度为3 m/s的河流中渡河，则该小船　(　　)
A．不能到达正对岸
B．渡河的最短时间为32 s
C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为120 m
D．以最短位移渡河时，渡河时间为40 s
解析：选C。由于小船在静水中的速度大于水流速度，则合速度方向可以垂直于河岸，小船能到达正对岸，故A错误；当船头垂直于河岸时，渡河时间最短，则有tmin＝＝ s＝40 s，以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小x＝v水tmin＝3×40 m＝120 m，故B错误，C正确；以最短位移渡河时，合速度方向垂直于河岸，合速度大小v合＝ m/s＝ m/s，则渡河时间t＝＝ s＝ s，故D错误。
4．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m、流速为5 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是(　　)
A．小船渡河时间不少于60 s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150 m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250 m
D．小船以最短位移渡河时，用时为60 s
解析：选C。当船在静水中的速度垂直于河岸时渡河时间最短tmin＝＝50 s，故A错误；船以最短时间渡河时沿水流方向的位移大小x＝v水tmin＝250 m，故B错误；因为水流速度大于船在静水中的速度，所以船不能垂直渡河，如图所示，当合速度与静水速度的方向垂直时，设合速度与水流速度的夹角为θ，此时渡河位移最短，则sin θ＝＝，则渡河的最短位移大小x1＝＝250 m，故C正确；若船以最短位移渡河，则用时t＝＝ s＝62.5 s，故D错误。
题组2　关联速度模型
5．(多选)(2025·吉林松原五校期末联考)生活中人们通常利用定滑轮来升降物体。如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，细绳的一端系着质量为m的重物A，另一端由人握着以速度v向左匀速移动。经过图示位置时，细绳与水平方向的夹角为α，则在人向左匀速移动过程中，下列说法正确的是　(　　)
A．重物加速上升
B．重物以速度v匀速上升
C．细绳对重物的拉力有可能等于它的重力
D．若α＝60°，则人与重物的速度大小之比为2∶1
解析：选AD。将人的速度分解为沿细绳方向和垂直于细绳方向，重物A的速度等于沿绳方向的速度，则有v物＝v cos α，由于人向左以速度v匀速移动的过程α逐渐减小，cos α逐渐增大，则重物向上做加速运动，故A正确，B错误；由于重物向上做加速运动，所以重物所受合力向上，则细绳对重物的拉力始终大于它的重力，故C错误；若α＝60°时，则人与重物的速度大小之比v∶v物＝1∶cos 60°＝2∶1，故D正确。
6．如图所示，汽车在岸上用轻绳拉船，若汽车行进速度为v，拉船的绳与水平方向夹角为60°，则船速度为(　　)
A．2v B．v
C．v D．v
解析：选A。将小船的速度沿着平行于绳子和垂直于绳子方向正交分解，如图所示，平行于绳子的分速度等于汽车拉绳子的速度，故v＝v′cos θ，代入数据有v′＝＝2v，故A符合题意。
7．火灾逃生的首要原则是离开火灾现场，如图所示是火警设计的一种让当事人快捷逃离现场的救援方案：用一根不变形的轻杆MN支撑在楼面平台AB上，N端在水平地面上向右以v0匀速运动，被救助的人员紧抱在M端随轻杆一起向平台B端靠近，平台高为h，当CN＝2h时，被救人员向B点运动的速率是(　　)
A．v0 B．v0
C．v0 D．v0
解析：选C。将N端的速度v0进行分解，设此时v0与MN方向的夹角为θ，如图所示，则人的速度等于v0沿杆的分量，即v人＝v0cos θ，根据几何关系可得cos θ＝＝ ，解得v人＝ v0。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
8．(多选)在某次抗洪抢险中，救援队员驾驶冲锋舟救人，假设河岸是平直的，洪水沿河自上游而下，水流速度v1＝3 m/s，冲锋舟在静水中的航速v2＝5 m/s，救援队员救人的地点A离岸边最近点O的距离为200 m，则将人从A点救上岸(　　)
A．需要的最短时间为25 s
B．需要的最短时间为40 s
C．若想通过最短的航程将人送上岸，需要的时间为50 s
D．若想通过最短的航程将人送上岸，需要的时间为 s
解析：选BC。若救援队员想通过最短的时间将人送上岸，则冲锋舟应该指向正对岸，则最短时间tmin＝＝ s＝40 s，B正确，A错误；若救援队员想通过最短的航程将人送上岸，则合速度方向指向正对岸，设冲锋舟与上游河岸夹角为θ，则v2cos θ＝v1，得cos θ＝0.6，θ＝53°，即冲锋舟与上游河岸夹角为53°，救援队员由A点至岸上的时间t＝＝ s＝50 s，C正确，D错误。
9．(多选)(2025·黑龙江鸡西市密山市期末) 如图所示，沿水平地面向右运动的汽车通过跨过定滑轮的轻绳将重物匀速提起的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．汽车做加速运动
B．汽车做减速运动
C．汽车对地面的压力减小
D．汽车对地面的压力增大
解析：选BD。设绳子与水平方向的夹角为θ，将车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的速度等于重物的速度，根据平行四边形定则得v物＝v cos θ，重物被匀速提起的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以汽车的速度减小，故A错误，B正确；对汽车在竖直方向有T sin θ＋N＝mg，绳子的拉力T与重物的重力相等且不变，拉力与水平方向的夹角θ减小，则N增大，根据牛顿第三定律可知汽车对地面的压力增大，故C错误，D正确。
10．(多选)如图所示，物块B套在竖直杆上，滑块A放在水平面上，一根不可伸长的细绳绕过定滑轮连接A和B，B以速度v匀速下滑，下列说法正确的是(　　)
A.A做匀速运动
B．A做加速运动
C．当连接B的细绳与竖直方向成θ角时，A的速度为v cos θ
D．当连接B的细绳与竖直方向成θ角时，A的速度为
解析：选BC。当连接A、B的细绳与竖直方向成θ角时，根据运动的分解可知A的速度vA＝v cos θ，B以速度v匀速下滑，则θ逐渐减小，cos θ逐渐增大，可知A做加速运动。
11．如图所示，不可伸长的刚性连杆AB、OA可绕图中A、B、O三处的转轴转动，OA杆长为L，小球A以速度v0沿逆时针方向做匀速圆周运动时，滑块B沿直线做往复运动，当连杆AB与水平方向的夹角为α，AB杆与OA杆的夹角为β时，滑块B的速度大小为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选D。如图所示，
小球A和滑块B沿杆方向的分速度相等，则有v0cos θ＝v cos α，其中cos θ＝cos (β－90°)＝sin β，解得滑块B的速度大小v＝。
12．(2025·辽宁辽阳市期末)假日期间，小王去海边游玩。在小王乘坐的小船渡过某段紧挨平直海岸、宽度为300 m的水域的过程中，小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，海水沿海岸方向的流速与船到海岸的距离的关系如图乙所示，则关于小船船头垂直于海岸渡过这段水域的运动，下列说法正确的是(　　)
A．渡海时间为100 s
B．渡海位移大于300 m
C．最大速度为3.5 m/s
D．运动轨迹为直线
解析：选B。垂直于海岸渡海时间t＝＝200 s，故A错误；由题图可知，最大速度vm＝ m/s＝2.5 m/s，故C错误；船在沿海岸方向做变速运动，在垂直于海岸方向上做匀速直线运动，两分运动的合运动为曲线运动，则渡海位移大于300 m，故B正确，D错误。(共25张PPT)
专题提升课2　课后达标检测
√
√
√
3．(多选)如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3 m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)
A．小球在空中飞行的时间为0.3 s
B．小球抛出点到斜面P点的水平距离为1.2 m
C．滑块沿斜面下滑的加速度为6 m/s2
D．小球抛出点到斜面底端的竖直高度为1.7 m
√
√
√
√
5．(多选)如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以水平向右的初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，不计空气阻力，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
A．B处物体比A处物体先到达P点
B．两物体一定同时到达P点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9
D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶3
√
√
√
√
8．(2025·浙江丽水市期中)自由式滑雪比赛是2025年哈尔滨亚洲冬季运动会比赛项目之一。如图所示，某次训练时有甲、乙两名运动员(均视为质点)从出发区先后沿水平方向向左腾空飞出，其速度大小之比v甲∶v乙＝3∶1，不计空气阻力，则关于甲、乙两名运动员从飞出至落到着陆坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法不正确的是(　　)
A．水平位移之比x甲∶x乙＝9∶1
B．落到坡面上的瞬时速度方向相同
C．落到坡面上的瞬时速度大小之比为9∶1
D．在空中飞行的时间之比t甲∶t乙＝3∶1
√
9．(多选)(2025·福建福州市期末)如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点，则(　　)
A．甲、乙两球不会同时落到轨道上
B．v1∶v2＝1∶3
C．乙球与甲球的速度变化量相同
D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点
√
10．(12分)如图所示，P处能持续水平向右发射初速度不同的小球。高度为h0 的挡板AB竖直放置，到P点的水平距离为L。挡板上端A与P点的高度差为h，可通过改变发球点P的竖直位置调整A、P两点的竖直高度差h。求：
(1)当h＝h0时，调节初速度可以让小球击中挡板上的不同位置，
①小球击中A点和B点的时间之比tA∶tB；(4分)　
②小球能够击中挡板AB的初速度取值范围；(4分)　
(2)当h取多大时，小球击中A点时速度取得最小值。(4分)(共23张PPT)
第2节　课后达标检测
题组1　两个直线运动的合运动性质
1．如图所示，在马戏表演中，人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，下列关于猴子相对于地面的运动轨迹可能正确的是(　　)
√
解析：人顶着竖直杆水平向右做匀速运动，同时猴子沿竖直杆向上做初速度为零的匀加速直线运动，可知猴子的加速度方向竖直向上，由于猴子速度方向与加速度方向不在同一直线上，猴子做曲线运动，根据曲线运动的合外力指向轨迹的凹侧，可知猴子相对地面的运动轨迹可能正确的是图B。
√
√
题组2　运动的合成与分解
3．(多选)关于运动的合成与分解，下列说法正确的是　(　　)
A．合运动和分运动具有等时性
B．合运动的速度一定大于分运动的速度
C．任一时刻的速度方向总是与合运动的位移方向相同
D．两个互成角度的匀变速直线运动的合运动一定是匀变速运动
√
解析：合运动和分运动具有等时性，故A正确；根据平行四边形定则可知，合运动的速度不一定大于分运动的速度，故B错误；合运动的速度方向与合运动的位移方向不一定相同，故C错误；两个互成角度的匀变速直线运动合成，加速度一定为定值，则合运动一定是匀变速运动，故D正确。
√
4．在一次消防演习中，消防员借助消防车上的梯子爬到高处救人。为了节省救援时间，在消防车匀速前进的同时，消防员沿倾斜的梯子匀速向上爬。关于消防员相对于地面的运动，下列说法正确的是(　　)
A.消防员做匀速直线运动 B．消防员做匀加速直线运动
C．消防员做匀加速曲线运动 D．消防员做速度大小不变的曲线运动
解析：在消防车匀速前进的同时，消防员沿倾斜的梯子匀速向上爬，可知消防员相对于地面沿水平方向做匀速直线运动，同时沿倾斜梯子做匀速直线运动，则消防员的合运动为匀速直线运动。
√
√
6．如图所示，一块橡皮用细线悬挂于点O，现用一支铅笔贴着细线的顶端水平向右匀速移动，运动过程中悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直。在铅笔未碰到橡皮前，关于橡皮的运动下列说法正确的是(　　)
A．橡皮做匀加速直线运动
B．橡皮做匀速直线运动
C．橡皮做匀变速曲线运动
D．橡皮做速率不变的曲线运动
解析：运动过程中悬挂橡皮的那段细线始终保持竖直，可知橡皮一直处于铅笔正下方，则橡皮水平方向做匀速直线运动，由于细线总长度保持不变，橡皮竖直方向的位移大小总是等于水平方向的位移大小，即橡皮竖直方向的分速度总是等于水平方向的分速度，则竖直方向也是做匀速直线运动，故橡皮的合运动为匀速直线运动。
√
题组3　运动的合成与分解的综合问题
7．(多选)如图甲所示，一次杂技表演中，表演者顶着竖直杆沿水平地面做直线运动，与此同时猴子沿竖直杆向上运动。表演者的速度—时间(vx－t)图像如图乙所示，猴子沿竖直方向的位移—时间(y－t)图像如图丙所示，若以地面为参考系，下列说法正确的是(　　)
A．猴子做曲线运动
B．猴子做直线运动
C．2 s末猴子的速度大小为4.5 m/s
D．前2 s内猴子的速度变化量大小为4 m/s
√
√
8．(多选)t＝0时刻，一物体从水平面上的一平面直角坐标系xOy中的坐标原点开始运动，沿x轴和y轴的运动图像分别如图甲、乙所示，下列说法正确的是(　　)
A．物体沿x轴方向做匀速直线运动
B．物体沿y轴方向做初速度为0的匀加速直线运动
C．物体的实际运动是直线运动
D．物体4 s内的位移为16 m
√
√
9．在一端封闭、长约1 m的玻璃管内注满清水，水中放一个红蜡做的小圆柱体A，将玻璃管的开口端用橡胶塞塞紧(如图甲所示)。把玻璃管倒置(如图乙所示)，蜡块A沿玻璃管匀速上升，经时间t运动到玻璃管
顶部。若在红蜡块上升过程中的某时刻，将玻璃管水平向右
移动(如图丙所示)，下列说法正确的是(　　)
A．玻璃管匀速移动时，蜡块做直线运动，运动到顶部时间大于t
B．玻璃管匀速移动时，蜡块做曲线运动，运动到顶部时间等于t
C．玻璃管加速移动时，蜡块做直线运动，运动到顶部时间大于t
D．玻璃管加速移动时，蜡块做曲线运动，运动到顶部时间等于t
解析：玻璃管匀速移动时，蜡块水平方向和竖直方向都做匀速运动，则合运动为直线运动，根据运动的独立性原理可知，运动到顶部时间仍等于t，A、B错误；玻璃管加速移动时，蜡块水平方向做加速运动，竖直方向做匀速运动，合运动为曲线运动，即蜡块做曲线运动，运动到顶部时间仍等于t，C错误，D正确。
√
√
11．(2025·广东广州市期末)在一次施工中，塔吊将重物从O点吊起，从起吊开始计时，以O为原点，设水平向右为x方向、竖直向上为y方向，重物沿x、y方向的运动规律分别如图甲、乙所示，则重物(　　)
A．在水平方向做匀变速直线运动
B．运动轨迹为抛物线
C．前8 s内的位移大小为24 m
D．在相等时间内的速度变化量不相等
√INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2025·安徽马鞍山市期中)如图所示，若质点以初速度v0水平抛出后，落在倾角θ＝30°的斜面上，要求质点的抛出点到达斜面的位移最小，则质点的飞行时间为(　　)
A．　　　　　　　 B．
C． D．
解析：选D。要求质点的抛出点到达斜面的位移最小，则质点的位移与斜面垂直，根据几何知识有tan θ＝，根据平抛运动规律有x＝v0t，y＝gt2，联立可得t＝。
2．在水平路面上骑摩托车的人，遇到一个壕沟，其尺寸如图所示。摩托车后轮离开地面后失去动力，之后的运动可视为平抛运动，摩托车后轮落到壕沟对面才算安全。不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
A．摩托车在空中相同时间内速度的变化量不相同
B．若摩托车能越过壕沟，则其所用时间为
C．摩托车能安全越过壕沟的最小初速度为x
D．若摩托车越不过壕沟，则初速度越小其在空中的运动时间越短
解析：选B。摩托车在空中做平抛运动，加速度不变，由Δv＝gΔt可知，相同时间内的速度变化量相同，故A错误；摩托车越过壕沟的过程，竖直方向有h＝gt2，可得t＝，故B正确；摩托车能安全越过壕沟的最小初速度v0满足x＝v0t，求得v0＝＝x，故C错误；摩托车在空中运动的时间由竖直方向下落的高度决定，若摩托车越不过壕沟，其落点如果在壕沟最深处的右侧，则初速度越小在空中运动的时间越长，落点如果在壕沟最深处的左侧，则初速度越小在空中运动的时间越短，故D错误。
3．(多选)如图所示，倾角为37°的斜面长l＝1.9 m，在斜面底端正上方的O点将一小球以v0＝3 m/s的速度水平抛出，与此同时由静止释放斜面顶端的滑块，经过一段时间后，小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，小球和滑块均可视为质点，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则(　　)
A．小球在空中飞行的时间为0.3 s
B．小球抛出点到斜面P点的水平距离为1.2 m
C．滑块沿斜面下滑的加速度为6 m/s2
D．小球抛出点到斜面底端的竖直高度为1.7 m
解析：选BD。小球恰好能够以垂直于斜面的速度在斜面P点处击中滑块，则tan 37°＝，解得小球在空中飞行的时间t＝0.4 s，A错误；由x＝v0t得小球抛出点到斜面P点的水平距离x＝1.2 m，B正确；根据几何关系可得斜面顶端到P点的距离x滑＝l－＝0.4 m，又x滑＝at2，得a＝5 m/s2，C错误；小球抛出点到斜面底端的竖直高度H＝gt2＋x tan 37°＝1.7 m，D正确。
4．(多选)如图所示，一质量m＝2 kg的小球从倾角θ＝45°的斜面A处以v0＝1 m/s的速度水平抛出，落在斜面上的B点。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球从A运动到B的时间为0.1 s
B．A到B的竖直高度为0.2 m
C．小球在B的速度为 m/s
D．A、B之间的距离为0.4 m
解析：选BC。小球做平抛运动，则有xABsin 45°＝gt2，xABcos 45°＝v0t，解得t＝0.2 s，xAB＝ m，故A、D错误；根据上述可知A到B的竖直高度h＝xABsin 45°＝0.2 m，故B正确；根据速度合成可知，小球在B的速度v＝ eq \r(v＋(gt)2)＝ m/s，故C正确。
5．(多选)如图所示为竖直截面为半圆形的容器，O为圆心，且AB为沿水平方向的直径。一物体在A点以水平向右的初速度vA抛出，与此同时另一物体在B点以向左的水平初速度vB抛出，不计空气阻力，两物体都落到容器的同一点P。已知∠BAP＝37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
A．B处物体比A处物体先到达P点
B．两物体一定同时到达P点
C．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝16∶9
D．抛出时，两物体的速度大小之比为vA∶vB＝4∶3
解析：选BC。根据题意两物体竖直方向下落高度相等，则有xAPsin 37°＝gt2，可知两物体一定同时到达P点，故A错误，B正确；物体做平抛运动，水平方向有xAPcos 37°＝vAt，xAPtan 37°sin 37°＝vBt，结合上述解得vA∶vB＝16∶9，故C正确，D错误。
6．(2025·湖北恩施市期末)轰炸机是军用飞机之一，在某次演习中，轰炸机沿水平方向投出了一枚炸弹，初速度大小为v0，炸弹正好垂直击中山坡上的目标，山坡的倾角θ＝37°，如图所示，不计空气阻力，重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。下列说法正确的是(　　)
A．炸弹刚落到山坡时的速度大小是v0
B．炸弹从水平投出到落到山坡上，所用的时间是
C．炸弹从投出到落到山坡上的位移为 eq \f(4\r(13)v,9g)
D．炸弹从水平投出到落在山坡上的位移偏转角为速度偏转角的一半
解析：选C。当炸弹垂直击中山坡上的目标时有tan θ＝，所以vy＝v0，v＝ eq \r(v＋v)，即v＝v0，故A错误；由于vy＝gt，解得t＝，故B错误；根据平抛运动的规律有x＝v0t，y＝gt2，解得x＝ eq \f(4v,3g)，y＝ eq \f(8v,9g)，则位移大小l＝＝ eq \f(4\r(13)v,9g)，故C正确；位移偏转角的正切值tan α＝＝，速度偏转角的正切值tan (90°－θ)＝＝2tan α，所以位移偏转角与速度偏角不是2倍关系，故D错误。
7．(2025·江苏盐城市合格考模拟)如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端P以速度v0水平抛出一个小球，落在斜面上Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度大小变为2v0，则(　　)
A．PQ间距一定为原来间距的2倍
B．空中的运动时间变为原来的倍
C．夹角α将变大
D．夹角α将不变
解析：选D。小球从抛出到落到斜面上，有tan θ＝＝，可得t＝，若把初速度变为2v0，则小球空中的运动时间变为原来的2倍，根据y＝gt2可知，小球下落高度变为原来的4倍，根据几何关系可知PQ间距一定为原来间距的4倍，故A、B错误；根据平抛运动推论：平抛运动的合速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，则有tan (α＋θ)＝2tan θ，由于θ不变，则夹角α将不变，故C错误，D正确。
8．(2025·浙江丽水市期中)自由式滑雪比赛是2025年哈尔滨亚洲冬季运动会比赛项目之一。如图所示，某次训练时有甲、乙两名运动员(均视为质点)从出发区先后沿水平方向向左腾空飞出，其速度大小之比v甲∶v乙＝3∶1，不计空气阻力，则关于甲、乙两名运动员从飞出至落到着陆坡(可视为斜面)上的过程中，下列说法不正确的是(　　)
A．水平位移之比x甲∶x乙＝9∶1
B．落到坡面上的瞬时速度方向相同
C．落到坡面上的瞬时速度大小之比为9∶1
D．在空中飞行的时间之比t甲∶t乙＝3∶1
解析：选C。设坡面倾角为θ，则有tan θ＝＝＝，解得t＝，可知他们飞行时间之比＝＝，根据x＝v0t，可知水平位移之比x甲∶x乙＝9∶1，故A、D正确，不符合题意；根据平抛运动的推论：瞬时速度与水平方向夹角的正切值是位移与水平方向夹角正切值的两倍，只要是落在坡面上，位移与水平方向夹角相同，所以两运动员落到斜坡上的瞬时速度方向一定相同，故落在坡面上的速度大小之比等于初速度之比，则有＝＝，故B正确，不符合题意，C错误，符合题意。
9．(多选)(2025·福建福州市期末)如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点，则(　　)
A．甲、乙两球不会同时落到轨道上
B．v1∶v2＝1∶3
C．乙球与甲球的速度变化量相同
D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点
解析：选BC。由题意可知，两个小球下落的高度是相等的，根据h＝gt2，可知甲、乙两球下落到轨道的时间相等，故甲、乙两球同时落到轨道上，又Δv＝gt，则甲、乙两球下落到轨道的速度变化量相同，故A错误，C正确；设圆形轨道的半径为R，则甲水平位移x1＝R－R sin 30°＝0.5R，乙水平位移x2＝R＋R sin 30°＝1.5R，可得x2＝3x1，水平方向做匀速直线运动，则有v1∶v2＝1∶3，故B正确；设乙球在D点速度偏转角为α，有tan α＝，设乙球在D点位移偏转角为θ，有tan θ＝，可见tan α＝2tan θ，即在D点速度反向延长线平分水平位移，所以乙球在D点速度的反向延长线不过O点，故D错误。
10．(12分)如图所示，P处能持续水平向右发射初速度不同的小球。高度为h0 的挡板AB竖直放置，到P点的水平距离为L。挡板上端A与P点的高度差为h，可通过改变发球点P的竖直位置调整A、P两点的竖直高度差h。求：
(1)当h＝h0时，调节初速度可以让小球击中挡板上的不同位置，
①小球击中A点和B点的时间之比tA∶tB；(4分)　
②小球能够击中挡板AB的初速度取值范围；(4分)　
(2)当h取多大时，小球击中A点时速度取得最小值。(4分)
解析：(1)①当h＝h0时，根据h＝gt2
若小球打在挡板A点，小球在空中飞行的时间
tA＝
若小球打在挡板B点，小球在空中飞行的时间
tB＝2
则刚好打在挡板A点和B点的时间之比
tA∶tB＝1∶。
②打在A点的小球初速度大小v0A＝＝L
打在B点的小球初速度大小v0B＝＝
则小球的初速度范围应满足 ≤v≤L。
(2)从P点到A点有h＝gt2，v0A′＝
解得v0A′＝L，又v＝2gh
解得vA＝ eq \r(v0A′2＋v)＝
由数学知识可得当＝2gh时，vA有最小值，则
h＝L。
答案：(1)①1∶　② ≤v≤L
(2)L(共38张PPT)
第五章　抛体运动
第1节　曲线运动
学习目标
1．知道什么是曲线运动，会确定曲线运动中速度的方向，知道曲线运动是变速运动。
2．知道物体做曲线运动的条件和特点。
3．理解物体所受合力、运动轨迹和速度方向之间的关系。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、曲线运动的速度方向
1．切线：如图所示，当B点非常非常______A点时，这条______就叫作曲线在A点的切线。
接近
割线
2．速度方向：质点在某一点的速度方向，沿曲线在这一点的____________。
3．运动性质：速度是矢量，既有大小，又有______。由于曲线运动中速度的______是变化的，所以曲线运动是____________。
切线方向
方向
方向
变速运动
二、物体做曲线运动的条件
1．物体如果不受力或所受合力为零，将______或做____________运动；物体做曲线运动时，由于速度______时刻改变，所以物体的加速度一定__________，所受的合力一定__________。
2．从不同角度分析物体做曲线运动的条件
(1)动力学角度：当物体所受合力的方向与它的速度方向______________时，物体做曲线运动。
(2)运动学角度：当物体加速度的方向与它的速度方向______________时，物体做曲线运动。
静止
匀速直线
方向
不为0
不为0
不在同一直线上
不在同一直线上
判断下列说法是否正确。
(1)曲线运动一定是变速运动，但变速运动不一定是曲线运动。(　　)
(2)物体的速度不断改变，物体一定做曲线运动。(　　)
(3)做曲线运动的物体的速度与物体所受合外力不可能在同一条直线上。(　　)
(4)做曲线运动的物体所受合外力的方向一定是变化的。(　　)
(5)物体受恒力作用时不可能做曲线运动。(　　)
×　
√
√
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　曲线运动的性质和特点
图为砂轮打磨下来的炽热微粒飞离砂轮时的情形，微粒离开砂轮的时刻不同，飞离时的速度方向也不一样。
(1)微粒离开砂轮瞬间速度方向如何？
[提示]　微粒未离开砂轮前，随着砂轮一起运动，轨迹为圆，离开砂轮瞬间速度沿圆周上该点的切线方向，即沿离开砂轮时该点的切线方向。
(2)微粒在离开砂轮前速度是否变化？
[提示]　微粒在离开砂轮前速度是不断变化的。
(3)微粒做曲线运动时，加速度可以是零吗？为什么？
[提示]　不可以，微粒做曲线运动时，速度方向发生变化，即运动状态发生改变，微粒受到的合外力不为零。
1．曲线运动的速度方向
曲线运动中某时刻的速度方向就是该相应位置点的切线方向。

2．曲线运动是变速运动
由于做曲线运动的物体的速度方向时刻在变化，不管速度大小是否变化，因为速度是矢量，物体的速度时刻在变化，所以曲线运动一定是变速运动，一定有加速度，但加速度不一定变化。
3．曲线运动的分类
(1)匀变速曲线运动：加速度恒定的曲线运动，即物体在恒力作用下的曲线运动。
(2)变加速曲线运动：加速度不断变化的曲线运动，即物体在变力作用下的曲线运动。
角度1　曲线运动的特点
　 当一个物体做曲线运动时(　　)
A．其速度方向一定发生变化
B．其速度的大小一定发生变化
C.其运动位移一定在增大
D．其加速度大小一定发生变化
√
[解析]　曲线运动中物体的速度方向沿曲线在这一点的切线方向，速度方向一定是时刻变化的，故A正确；物体做曲线运动时，速度大小是可以不变的，故B错误；物体做曲线运动时，其位移可以为0，可以增大，也可以减小，故C错误；物体做曲线运动时，可以受到恒力的作用，其加速度可能是恒定不变的，故D错误。
　【教材经典P5第1题改编】跳水运动是一项难度很大又极具观赏性的运动，我国跳水队多次在国际跳水赛上摘金夺银，被誉为跳水“梦之队”。如图为运动员高台跳水过程中头部的运动轨迹示意图，a、b、
c、d为轨迹上的四个点，则经过哪个点时头部的速度方向与
入水时的速度v的方向最接近(　　)
A．a点　　　 B．b点
C．c点 D．d点
[解析]　根据物体做曲线运动时速度方向为该点的切线方向可知，经过c点时头部的速度方向与入水时的速度v的方向最接近。
√
角度2　曲线运动的性质
物体做曲线运动，下列说法正确的是(　　)
A．曲线运动不可能是匀变速运动
B．曲线运动速度大小时刻发生变化
C．曲线运动相同时间内速度改变量不可能相同
D．曲线运动速率可以不变
[解析]　曲线运动也可能是匀变速运动，A错误；曲线运动速度大小不一定发生变化，即速率可以不变，B错误，D正确；曲线运动相同时间内速度改变量也可能相同，C错误。
√
知识点二　物体做曲线运动的条件
如图所示，将圆弧形滑轨放在铺了一层白纸的平滑桌面上，使其底端与桌面相切，让钢球从圆弧形滑轨滚下获得一定的初速度。为便于观察，在离开滑轨处沿钢球运动方向用直尺在白纸上画一直线。图甲中将条形磁铁沿直线放置；图乙中将条形磁铁放在钢球运动路线的旁边。
(1)图甲中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与钢球所受磁铁吸引力方向有什么关系？
[提示]　钢球做加速直线运动，钢球的运动方向与钢球所受磁铁吸引力方向相同。
(2)图乙中钢球从滑轨上滚下时，观察钢球做什么运动，钢球的运动方向与钢球所受磁铁吸引力方向有什么关系？
[提示]　钢球做曲线运动，钢球的运动方向与钢球所受磁铁吸引力方向不在同一条直线上。
物体做曲线运动的条件
(1)动力学条件：合外力与速度方向不共线。
(2)运动学条件：加速度与速度方向不共线。
　 (2025·河南洛阳市期末)一个物体在三个恒力F1、F2、F3的共同作用下做匀速直线运动。若保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后(　　)
A．可能做匀变速曲线运动
B．不可能继续做直线运动
C.可能继续做匀速直线运动
D．在相等时间内速度的变化量一定不相等
√
[解析]　物体做匀速直线运动的速度方向与F3的方向关系不明确，可能是相同、相反或不在同一条直线上，故保持F1、F2不变，突然撤去F3，则该物体之后可能做匀变速曲线运动，或匀变速直线运动，不可能继续做匀速直线运动，故A正确，B、C错误；保持F1、F2不变，突然撤去F3，即之后的合力大小为F3，方向与F3的方向相反，故物体所受的合外力为恒力，根据牛顿第二定律可知F＝ma，物体的加速度恒定不变，根据Δv＝aΔt可知，在相等时间内速度的变化量一定相等，故D错误。
　【教材经典P4演示实验改编】如图所示，小钢球以初速度v0在光滑水平桌面上运动，由于受到磁铁的作用力而做图示的曲线运动到达B点。下面对磁铁所放的可能位置及小钢球运动性质说法正确的是(　　)
A．放在位置A处，小钢球做非匀变速曲线运动
B．放在位置B处，小钢球做匀速圆周运动
C．放在位置C处，小钢球做匀变速曲线运动
D．放在位置D处，小钢球做非匀变速曲线运动
√
[解析]　曲线运动的轨迹夹在速度方向与所受合外力方向之间，且合外力指向轨迹的凹侧面，由于小钢球受到磁场力的作用做曲线运动，而磁铁对小钢球是引力的作用，则磁铁可能放在位置A处，又小钢球离磁铁越近受到的磁场力越大，根据牛顿第二定律可知，小钢球做的是加速度逐渐变化的曲线运动，即小钢球做非匀变速曲线运动。
知识点三　物体所受合力、速度和运动轨迹的关系
1．合外力与运动轨迹的关系
曲线运动的轨迹始终夹在合力方向与速度方向之间，而且向合力的方向弯曲，即合力指向轨迹的凹侧。
2．确定曲线运动的轨迹的方法
(1)做曲线运动的物体，运动轨迹不断改变，其改变后的轨迹处在运动方向与合外力方向构成的夹角之间，且偏向合外力所指的一侧。
(2)若物体在恒力作用下做曲线运动，则物体的运动轨迹越来越接近力的方向，但不会与力的方向相同。
3．合外力与速率的关系
(1)若合力方向与速度方向的夹角为α，则


(2)将合力沿速度方向和垂直于速度方向分解，若沿速度方向的分力与速度同向，则速率增大；若反向，则速率减小。
　(2023·辽宁卷，T1)某同学在练习投篮，篮球在空中的运动轨迹如图中虚线所示，篮球所受合力F的示意图可能正确的是(　　)
√
[解析]　篮球做曲线运动，则篮球的速度与合力不在同一条直线上，且篮球的轨迹应向受力的一方发生偏转，故B、C、D错误；当篮球的速度斜向右上方时，A选项符合条件，故A正确。
【教材经典P4做一做改编】如图所示，质量为m的飞镖在空中做曲线运动，所受空气阻力大小为Ff，重力加速度为g，则其受力示意图可以表示为(　　)
√
[解析]　重力方向竖直向下，阻力方向与速度方向相反，速度方向沿轨迹的切线方向，速度方向斜向下，阻力方向斜向上，则C正确，A、B、D错误。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(曲线运动的性质和特点)关于力和运动，下列说法正确的是(　　)
A．物体在变力作用下可能做匀变速曲线运动
B．物体在变力作用下不可能做直线运动
C．物体在恒力作用下不可能做曲线运动
D．物体在恒力作用下可能做曲线运动
√
解析：物体做曲线运动的条件是物体所受合外力的方向与物体的速度方向不在同一条直线上。物体所受合外力可以是恒力，也可以是变力，若物体所受合外力为恒力，则物体所做的曲线运动为匀变速曲线运动，故A、C错误，D正确；物体做直线运动的条件是物体所受合外力为零且做匀速运动或物体所受合外力的方向与速度方向在同一直线上，物体所受合外力可以是恒力也可以是变力，故B错误。
2．(物体做曲线运动的条件)(2025·云南昆明市期末)在2024年11月珠海航展上，中国自主研制的新一代隐身战斗机歼-35A首次公开亮相。如图所示，歼-35A表演时先水平向左飞行，再沿曲线 abc飞行。若飞行轨迹在同一竖直面内且飞行速率不变，下列说法正确的是(　　)
A．歼-35A在表演中做匀速运动
B．歼-35A在ab段做变速运动
C．歼-35A在ab段所受合力为零
D．歼-35A在bc段的加速度方向与速度方向在同一条直线上
√
解析：歼-35A在abc段做曲线运动，速度方向时刻改变，不是匀速运动，A错误；歼-35A在ab段做曲线运动，速度方向改变，是变速运动，所受合力不为零，B正确，C错误；歼-35A在bc段做曲线运动，加速度方向与速度方向不在同一条直线上，D错误。
3．(物体所受合力、速度和运动轨迹的关系)(2025·江苏连云港市合格考模拟)如图所示，“福建舰”正在海面上进行转弯作业，下列选项分别画出了“福建舰”沿曲线由M向N转弯(俯视图)时所受合力F的方向，其中可能正确的是(　　)
√
解析：“福建舰”做的是曲线运动，受到的合力应该指向运动轨迹弯曲的内侧。
4．(物体所受合力、速度和运动轨迹的关系)(2025·湖北武汉市期末)第十五届中国国际航空航天博览会(简称中国航展)在珠海国际航展中心成功举行。如图，正在展演的“歼-20”战机正沿直线斜向下加速俯冲。将“歼-20”简化为质点“O”，用G表示它受到的重力，F表示除重力外其他作用力的等效力，则下列图中能正确表示此过程中战机受力情况的是(　　)
√
解析：由题意可知正在展演的“歼-20”战机正沿直线斜向下加速俯冲，则所受的合力方向与速度方向在同一直线上，否则就要做曲线运动。(共25张PPT)
专题提升课1　
运动合成与分解的两类模型
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　“小船过河”模型
1．小船渡河模型
小船的实际运动是船随水流的运动(速度为v水)和船在静水中的运动(速度为v船)的合运动。船的航行方向是实际运动的方向，即合速度的方向。两个方向的运动情况相互独立、互不影响。
　一轮船的船头始终指向垂直于河岸的方向，并以一定的速度向对岸行驶，水匀速流动，则关于轮船通过的路程、渡河经历的时间与水流速度的关系，下列说法正确的是　(　　)
A．水流速度越大，路程越长，时间越长
B．水流速度越大，路程越短，时间越短
C．渡河时间与水流速度无关
D．路程与水流速度无关
√
　(2025·上海市期末)如图，从河岸M驶向对岸N，已知船在静水中的速度v大于水速u，图中航程最短的是(　　)
√
[解析]　由于船在静水中的速度v大于水速u，则当船的合速度方向垂直于河岸时，驶向正对岸的航程最短，此时船头斜向上游。
　2024年9月27日“运河争辉”乌篷船马拉松邀请赛在浙江绍兴浙东运河越城区段举行。已知小船在静水中的速度为4 m/s，现让船渡过某条河，若此河的两岸是理想的平行线，河宽d＝200 m，水流速度为3 m/s，方向与河岸平行。
(1)欲使小船以最短时间渡河，最短时间是多少？小船的位移多大？
[答案]　50 s　250 m　
(2)欲使小船以最短位移渡河，渡河所用时间是多少？
(3)若河水因涨水导致水流速度变为6 m/s，小船在静水中的速度为4 m/s不变，此种情况下渡河最短位移及渡河时间分别为多少？
微专题二　“速度关联”模型
1．“关联”模型
关联速度问题一般是指物拉绳(或杆)和绳(或杆)拉物问题。高中阶段研究的绳都是不可伸长的，杆都是不可伸长且不可压缩的，即绳或杆的长度不会改变。绳、杆等连接的两个物体在运动过程中，其速度通常是不一样的，但两个物体沿绳或杆方向的速度大小相等，我们称之为关联速度。
2．解题步骤
(1)先确定合运动，即物体的实际运动。
(2)确定合运动的两个实际作用效果：一是沿绳(或杆)方向的平动效果(改变速度的大小)；二是沿垂直于绳(或杆)方向的转动效果(改变速度的方向)。将实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)方向的两个分量。
(3)按平行四边形定则进行分解，作出运动矢量图。
(4)根据沿绳(或杆)方向的速度相等列方程求解。
3．常见模型
模型1　绳牵连物体模型
　 如图所示，一辆货车利用跨过定滑轮的缆绳提升一箱货物，货车匀速向左运动时，货物的速度(　　)
A．逐渐减小　　　 　 　 B．逐渐增大
C．先减小后增大 D．先增大后减小
√
[解析]　将货车的速度进行分解，分解为沿着绳方向的v∥和垂直于绳方向的v⊥，如图所示，可知货物的速度与车沿着绳方向的分速度大小始终相等，则有v货＝v∥＝v cos θ，随着汽车前进，θ角减小，cos θ增大，由此可知货物的速度逐渐增大。
√
模型2　杆牵连物体模型
　(2025·广西南宁市期中)如图所示，直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端始终靠在物块B上，B的表面光滑，控制物块B使其由静止开始水平向左做a＝0.4 m/s2的匀加速直线运动，在t＝2 s时，直杆与竖直面的夹角θ＝37°，端点A的速度为(sin 37°＝0.6)(　　)
A．1.0 m/s B．0.8 m/s
C．0.64 m/s D．0.6 m/s
√(共24张PPT)
专题提升课1　课后达标检测
√
题组1　小船过河模型
1．小船横渡一条河，船头方向始终与河岸垂直。若小船相对于水的速度大小不变时，小船的运动轨迹如图所示，则(　　)
A．由M到N水流速度一直增大
B．由M到N水流速度一直减小
C．由M到N水流速度先增大后减小
D．由M到N水流速度先减小后增大
解析：从轨迹曲线的弯曲形状可以知道，加速度的方向水平向左，故由M到N水流速度减小，即越靠近对岸水速越小。
√
2．某人想乘坐一条小木船渡河，若河面宽300 m，水流速度为3 m/s，木船相对静水速度为2 m/s，则此人渡河所需的最短时间为(　　)
A．60 s　　　　　　 　　 B．100 s
C．150 s D．300 s
√
3．一小船在静水中的速度为4 m/s，它在一条河宽160 m、水流速度为3 m/s的河流中渡河，则该小船　(　　)
A．不能到达正对岸
B．渡河的最短时间为32 s
C．以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为120 m
D．以最短位移渡河时，渡河时间为40 s
√
4．一小船在静水中的速度为3 m/s，它在一条河宽为150 m、流速为5 m/s的河流中渡河，则下列说法正确的是(　　)
A．小船渡河时间不少于60 s
B．小船以最短时间渡河时，它沿水流方向的位移大小为150 m
C．小船以最短位移渡河时，位移大小为250 m
D．小船以最短位移渡河时，用时为60 s
√
题组2　关联速度模型
5．(多选)(2025·吉林松原五校期末联考)生活中人们通常利用定滑轮来升降物体。如图所示，一根轻质不可伸长的细绳绕过光滑的定滑轮，细绳的一端系着质量为m的重物A，另一端由人握着以速度v向左匀速移动。经过图示位置时，细绳与水平方向的夹角为α，则在人向左匀速移动过程中，下列说法正确的是　(　　)
A．重物加速上升
B．重物以速度v匀速上升
C．细绳对重物的拉力有可能等于它的重力
D．若α＝60°，则人与重物的速度大小之比为2∶1
√
解析：将人的速度分解为沿细绳方向和垂直于细绳方向，重物A的速度等于沿绳方向的速度，则有v物＝v cos α，由于人向左以速度v匀速移动的过程α逐渐减小，cos α逐渐增大，则重物向上做加速运动，故A正确，B错误；由于重物向上做加速运动，所以重物所受合力向上，则细绳对重物的拉力始终大于它的重力，故C错误；若α＝60°时，则人与重物的速度大小之比v∶v物＝1∶cos 60°＝2∶1，故D正确。
√
√
√
√
√
9．(多选)(2025·黑龙江鸡西市密山市期末) 如图所示，沿水平地面向右运动的汽车通过跨过定滑轮的轻绳将重物匀速提起的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．汽车做加速运动
B．汽车做减速运动
C．汽车对地面的压力减小
D．汽车对地面的压力增大
√
解析：设绳子与水平方向的夹角为θ，将车的速度分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向，沿绳子方向的速度等于重物的速度，根据平行四边形定则得v物＝v cos θ，重物被匀速提起的过程中，绳子与水平方向的夹角θ减小，所以汽车的速度减小，故A错误，B正确；对汽车在竖直方向有T sin θ＋N＝mg，绳子的拉力T与重物的重力相等且不变，拉力与水平方向的夹角θ减小，则N增大，根据牛顿第三定律可知汽车对地面的压力增大，故C错误，D正确。
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解析：当连接A、B的细绳与竖直方向成θ角时，根据运动的分解可知A的速度vA＝v cos θ，B以速度v匀速下滑，则θ逐渐减小，cos θ逐渐增大，可知A做加速运动。
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12．(2025·辽宁辽阳市期末)假日期间，小王去海边游玩。在小王乘坐的小船渡过某段紧挨平直海岸、宽度为300 m的水域的过程中，小船在静水中的速度与时间的关系如图甲所示，海水沿海岸方向的流速与船到海岸的距离的关系如图乙所示，则关于小船船头垂直于海岸渡过这段水域的运动，下列说法正确的是(　　)
A．渡海时间为100 s
B．渡海位移大于300 m
C．最大速度为3.5 m/s
D．运动轨迹为直线
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