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第2节 第1课时　课后达标检测
1．(2025·湖南长沙市期末)在“探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系”的实验中。
(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到的方法是________。
A．理想实验法　　 B．等效替代法
C．控制变量法 D．演绎法
解析：在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，由于可变量较多，因此主要用到的方法是控制变量法。
C
(2)如图所示，A、B都为质量相同的钢球，图中所示是在研究向心力的大小Fn与________的关系。
A．质量m　　　B．角速度ω　　　C．半径r
解析：由题图可知，A、B为质量相同的钢球，两球都分别放在转动半径相同的位置上，因此实验是在研究向心力的大小Fn与角速度ω的关系。
B
(3)如图所示，若图中标尺上黑白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4，由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速轮塔相对应的半径之比为__________。
2∶1
2．(2025·安徽蚌埠市期中)如图所示为向心力演示器，用来探究小球做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω、轨道半径r之间的关系，当皮带分别套在两边塔轮(从上往下数)第一层、第二层和第三层时，左、右两塔轮角速度之比分别为1∶1、1∶2、1∶3，小球在A、B、C处绕转轴转动时的半径比为1∶2∶1。
(1)当探究向心力大小与半径的关系时，应将皮带置于________(选填“第一层”“第二层”或“第三层”)，将两个相同的小球分别置于__________和________处(后两空用图中A、B、C表示)。
解析：根据控制变量法，当探究向心力大小与半径的关系时，应控制角速度不变，故将皮带置于第一层；转动半径不同，故将两个相同的小球分别置于B和C处。
第一层
B　
C　
(2)当探究向心力大小与角速度的关系时，应将两个相同的小球分别置于________和________处(用图中A、B、C表示)。若将皮带置于第二层，则左、右套筒露出的格数之比应为________。
A　
C　
1∶4
3．某同学用如图所示的装置探究物体做圆周运动的向心力大小与半径、线速度、质量的关系。用一根细线系住钢球，另一端连接在固定于铁架台上端的力传感器上，直径为d的钢球静止于A点，将光电门固定在A的正下方。钢球底部竖直地粘住一片宽度为x的遮光条。
(1)用天平测出钢球质量，用刻度尺测出摆线长度。
(2)将钢球拉至不同位置由静止释放，读出钢球经过A点时力传感器的读数F及光电门的遮光时间t，算出钢球速度的平方值，具体数据见下表：
项目 1 2 3 4 5
F/N 0.124 0.143 0.162 0.181 0.200
v2/(m2·s-2) 2.0 4.0 5.8 8.0 10.1
请在下面的坐标图中，画出F－v2的关系图像。
答案：见解析图
解析：画出F－v2的关系图像如图所示。
(3)由图像可知，钢球所受的重力为________N。
0.104
(4)若图线的斜率为k，钢球质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式为_________________(用所给物理量的符号表示)。
F＝kv2＋mg
光电门测出的是遮光条通过时的速度，大于钢球球心通过最低点的速度
解析：产生误差的主要原因是光电门测出的是遮光条通过时的速度，大于钢球球心通过最低点的速度，即速度测大了。第3节　向心加速度
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．通过实例，理解向心加速度的概念。　2.知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算。　3.了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。　4.能根据问题情境选择合适的向心加速度公式。
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
一、匀速圆周运动的加速度方向
1．匀速圆周运动的速度方向不断改变，一定是变速运动，必定有加速度。
2．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。
3．向心加速度方向：沿半径指向圆心，与线速度方向垂直，且时刻在变化。
二、匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度由向心力产生，大小an＝＝ω2r。
2．对于做匀速圆周运动的物体，向心加速度的大小不变。
3．物理意义：描述做圆周运动的物体速度方向改变的快慢。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
判断下列说法是否正确。
(1)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。(　　)
(2)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　)
(3)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。(　　)
(4)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变。(　　)
(5)变速圆周运动的向心加速度的方向不指向圆心，大小变化。(　　)
(6)根据a＝ 知加速度a与半径r成反比。(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
知识点一　向心加速度的理解
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？
2．做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？
3．除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确定向心加速度的方向？
[提示]　1.具有加速度。
2．从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。
3．从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方向。
　
1．向心加速度的理解
匀速圆周运动的速度大小不变，切线方向合力为零，因此匀速圆周运动的加速度就是向心加速度。其大小不变，方向永远与速度垂直，指向圆心。
2．圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
3．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度，向心加速度只改变速度的方向，切向加速度只改变线速度的大小，所以在变速圆周运动中，向心加速度的方向总是指向圆心。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　关于圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在变速圆周运动中，向心加速度的方向不指向圆心
[解析]　无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度的方向都时刻指向圆心，故向心加速度不恒定，故A正确，B、C、D错误。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(多选)关于圆周运动中的向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的大小变化越快
B．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快
C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
[解析]　向心加速度是描述做圆周运动的物体线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快，A错误，B正确；向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，C正确；在匀速圆周运动中向心加速度方向不断变化，不是恒量，D错误。
[答案]　BC
知识点二　向心加速度的计算
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？
(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？
[提示]　(1)A、B两个点的线速度大小相同，向心加速度与半径成反比。
(2)B、C两个点的角速度相同，向心加速度与半径成正比。
　
1．向心加速度的大小
根据牛顿第二定律F＝ma和向心力表达式Fn＝m可得向心加速度的大小an＝或an＝ω2r。
2．对向心加速度表达式的理解
(1)向心加速度的几种表达式
(2)向心加速度的大小与半径的关系
①当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。
③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。
④an与r的关系图像：如图所示，由an－r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。
(3)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。
模型1　皮带传动模型
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　【教材经典P34第3题】一部机器与电动机通过皮带连接，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍，皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度大小为0.10 m/s2。
(1)电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比n1∶n2是多少？
(2)机器皮带轮上A点到转轴的距离为轮半径的一半，A点的向心加速度大小是多少？
(3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度大小是多少？
[解析]　(1)由于皮带与两轮之间不发生滑动，所以两轮边缘上各点的线速度大小相等。设电动机皮带轮与机器皮带轮边缘上质点的线速度大小分别为v1、v2，角速度大小分别为ω1、ω2，边缘上质点运动的半径分别为r1、r2，则v1＝v2，v1＝ω1r1，v2＝ω2r2，又ω＝2πn，所以n1∶n2＝ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1。
(2)A点的向心加速度anA＝ω×＝0.10× m/s2＝0.05 m/s2。
(3)电动机皮带轮边缘上质点的向心加速度an＝ eq \f(v,r1)＝ eq \f(v,r2)×＝0.1×3 m/s2＝0.3 m/s2。
[答案]　(1)3∶1　(2)0.05 m/s2　(3)0.3 m/s2
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　【教材经典P40第2题改编】如图是一皮带传动装置的示意图。右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，那么下列选项正确的是(　　)
A．A、B、C、D点的角速度之比为2∶1∶2∶1
B．A、B、C、D点的线速度之比为2∶1∶2∶4
C．A、B、C、D点的向心加速度之比为2∶1∶2∶4
D．A点和C点的线速度相同
[解析]　A、C点的线速度大小相等，故＝＝；又因为B、C、D点的角速度相等，则A、B、C、D点的角速度之比为2∶1∶1∶1，故A错误。B、C、D点的角速度相等，由v＝ωR得B、C、D点的线速度之比等于半径之比，B、C、D点的线速度之比为1∶2∶4；A、B、C、D点的线速度之比为2∶1∶2∶4，故B正确。由an＝ω2R得，B、C、D点的向心加速度之比等于半径之比，B、C、D点的向心加速度之比为1∶2∶4；由an＝得，A、C点的向心加速度之比为半径的反比，故＝，得A、B、C、D点的向心加速度之比为4∶1∶2∶4，故C错误。A点和C点的线速度大小相等，方向不同，故D错误。
[答案]　B
模型2　齿轮传动模型
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度大小为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为(　　)
A． eq \f(rω2,r1)　 B． eq \f(rω2,r3)
C． D． eq \f(rω2,r2)
[解析]　三轮相互不打滑，则三轮边缘上各点线速度大小相同，设为v，由甲轮可知v＝ωr1，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小a＝＝ eq \f(rω2,r3)。
[答案]　B
模型3　同轴转动模型
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(2025·广东珠海市期末)如图所示的是一种古老的舂米机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起，然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落。已知OB>OC，则在横梁绕O转动过程中(　　)
A．B、C的向心加速度满足aB>aC
B．B、C的角速度关系满足ωB<ωC
C．B、C的角速度关系满足ωB>ωC
D．B、C的线速度关系满足vB[解析]　B、C同轴转动，角速度关系满足ωB＝ωC，故B、C错误；根据a＝ω2r，由于OB>OC，则B、C的向心加速度满足aB>aC，故A正确；根据v＝ωr，由于OB>OC，则B、C的线速度关系满足vB>vC，故D错误。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例7LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(多选)如图所示，地球绕与赤道面垂直的地轴由西向东匀速转动，O为地心。A点和C点位于赤道上，B点与C点位于同一条经线上。以地心O为参考系，记A、B、C三点的线速度大小分别为vA、vB和vC，向心加速度大小分别为aA、aB和aC，绕地轴转动的周期分别为TA、TB和TC，下列说法正确的是(　　)
A．vA＝vC＞vB
B．TA＝TB＞TC
C.aA＝aC＞aB
D．aA、aB和aC的方向均始终指向地心O
[解析]　A、B、C三点均随地球绕地轴转动，属于同轴转动，则角速度相同，根据v＝ωr可知vA＝vC＞vB，故A正确；根据T＝可知，周期相同，故B错误；根据a＝ω2r可知aA＝aC＞aB，故C正确；向心加速度指向轨迹圆心，故A、C向心加速度指向地心，B向心加速度不指向地心，故D错误。
[答案]　AC
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法错误的是(　　)
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：选C。向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，A正确；向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，B正确；物体做匀速圆周运动时，只有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不始终指向圆心，C错误，D正确。
2．(向心加速度的理解)(2025·黑龙江哈尔滨市期末)如图为冬奥会上安置在比赛场地外侧的高速轨道摄像机系统，当运动员加速通过弯道时，摄像机与运动员保持同步运动以获得高清视频。关于摄像机，下列说法正确的是(　　)
A．在弯道上运动的速度不变
B．角速度比运动员在弯道上运动的更大
C．所受合外力的大致方向为F1
D．向心加速度比运动员的向心加速度更小
解析：选C。在弯道上运动的速度方向不断变化，则速度不断变化，A错误；摄像机与运动员保持同步运动，则角速度与运动员在弯道上的角速度相同，B错误；运动员加速通过弯道，则摄像机也加速通过弯道，所受合力方向指向轨迹的内侧，且与速度夹角为锐角，则所受合外力的大致方向为F1，C正确；根据a＝ω2r，因角速度相同，而摄像机转弯的半径较大，则摄像机的向心加速度比运动员的向心加速度更大，D错误。
3．(向心加速度的大小)(2025·广东佛山市期末)汽车瞬态工况法尾气检测如图所示，汽车驱动轮与两个半径相同的滚筒接触，车轮与滚筒的半径之比为2∶1，驱动轮按照恒定的转速转动，后轮不动，模拟车辆实际行驶状况，检测尾气，车轮与滚筒之间不打滑，P、Q两点分别处于驱动轮边缘和滚筒边缘，以下说法正确的是(　　)
A．两滚筒的转动方向相反
B．P、Q两点在相同时间内转过的角度相等
C．P、Q两点在相同时间内通过的弧长相等
D．P、Q两点的向心加速度大小之比为2∶1
解析：选C。驱动轮沿顺时针方向运动，根据静摩擦力方向可知右侧滚轮逆时针运动，同理左侧滚轮逆时针运动，故A错误；P、Q两点同缘传动，可知两点的线速度大小相等，即相等时间内两点通过的弧长相等，因车轮与滚筒的半径不同，所以转过的角度不同，故B错误，C正确；根据a＝，可知P、Q两点的向心加速度大小之比aP∶aQ＝1∶2，故D错误。(共39张PPT)
第2节 第2课时　向心力
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体所受的总________的合力叫作向心力。
2．方向：始终沿半径指向____。
3．效果力：它是由某个力或者几个力的合力提供的，是根据力的____命名的。
指向圆心
圆心
效果
m ω2r
三、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．做变速圆周运动的物体所受的合力并不严格指向运动轨迹的圆心。合力F可以分解为两个相互垂直的分力：
(1)跟圆周相切的分力Ft，Ft与物体运动的速度方向____或____，只改变速度的____。
(2)指向圆心的分力Fn，Fn与物体运动的速度方向____，Fn提供物体做圆周运动所需的________，只改变速度的____。
相同
相反
大小
垂直
向心力
方向
2．一般曲线运动
(1)定义：运动轨迹既不是____也不是____的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段____，研究质点在这一小段的运动时， 可以采用________的分析方法进行处理，如图所示。
直线
圆周
圆弧
圆周运动
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力。(　　)
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的。(　　)
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(　　)
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心。(　　)
(5)变速圆周运动的向心力大小改变。(　　)
(6)做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变。(　　)
×　
√
×　
√
×　
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　向心力
1．自行车转弯时的运动可看作匀速圆周运动，观察此图，思考以下问题：哪个力充当自行车转弯时做圆周运动的向心力？
[提示]　地面静摩擦力提供自行车转弯时的向心力。
2．如图所示，汽车正在匀速率转弯，小球正在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：

(1)它们的向心力分别是由什么力提供的？
[提示]　汽车转弯时的向心力由地面的静摩擦力提供，小球的向心力由重力和绳子拉力的合力提供。
(2)物体做匀速圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？
[提示]　大小不变，方向时刻改变。
1．向心力的方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
2．向心力的作用效果：改变线速度的方向。
3．向心力的来源
(1)向心力是根据力的作用效果命名的，它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供。
(2)物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心。
　 向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，做匀速圆周运动的物体，所受的合力提供向心力。
角度1　对向心力的理解
　 下列关于向心力的说法正确的是(　　)
A．物体由于做圆周运动而产生了向心力
B．向心力就是物体受到的合力
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．向心力改变做圆周运动的物体的速度方向
√
[解析]　物体做圆周运动就需要有向心力，向心力是由外界提供的，不是由物体本身产生的，A错误；匀速圆周运动中由合力提供向心力，变速圆周运动中合力与向心力是不同的，B错误；向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，即向心力是变化的，C错误；向心力的方向与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，D正确。
下列关于向心力的叙述不正确的是(　　)
A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的作用力外，还受到一个向心力的作用
C．向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小
D．向心力可以由某个力来提供，也可以由某几个力的合力来提供，或者由某一个力的分力来提供
√
[解析]　向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，是一个变力，故A正确，不符合题意；向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以由物体所受的合力提供，也可以由某一个力的分力提供，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，故B错误，符合题意，D正确，不符合题意；向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，故C正确，不符合题意。
角度2　向心力来源的分析
　 画出各图中物体A的受力示意图，并分析其所受向心力的来源。
[解析]　题图a、题图b、题图c中，向心力由物体所受的重力和绳子拉力的合力提供，也可以认为是由绳子拉力的一个分力提供，拉力的另一个分力与重力平衡；题图d中，向心力由绳子的拉力提供；题图e中，向心力由物体所受的静摩擦力提供；题图f中，向心力由侧壁对物体的支持力提供；题图g中，向心力由物体所受的重力和斜面的支持力的合力提供，也可以认为是由支持力的水平分力提供，其竖直分力与重力平衡；题图h中，向心力由飞机所受的重力和空气对飞机的“推举力”的合力提供，这个“推举力”的本质是弹力，弹力总与接触面垂直，所以飞机机身有一定的倾角；它们的受力示意图如图；通过以上分析可以清楚看到，向心力不是某种性质力，而是由重力、弹力、摩擦力这些性质力的合力或分力来提供。
[答案]　见解析
√
一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是3 rad/s。盘面上距圆盘中心0.2 m的位置有一个质量为0.1 kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，如图所示。已知小物体与盘面间的动摩擦因数为0.5，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。
(1)求小物体的线速度大小。
[解析]　小物体的线速度大小
v＝ωr＝3×0.2 m/s＝0.6 m/s。
[答案]　0.6 m/s　
(2)求小物体的向心力大小。
[解析]　小物体的向心力大小
F＝mω2r＝0.1×32×0.2 N＝0.18 N。
[答案]　0.18 N　
(3)当圆盘的角速度增加到多大时，小物体会相对于圆盘滑动？
[答案]　5 rad/s
知识点二　变速圆周运动和一般曲线运动
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡时：
(1)小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
[提示]　小朋友做的是变速圆周运动。
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合外力不指向圆心，合力F产生改变速度大小和方向两个作用效果。即：
√
[解析]　物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(向心力)(多选)关于匀速圆周运动的向心力，下列说法正确的是(　　)
A．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的
B.向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力
C．对稳定的圆周运动，向心力是一个恒力
D．向心力的效果是改变质点的线速度大小和方向
√
√
解析：向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的，A正确；向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力，B正确；向心力的方向总是指向圆心，方向不断变化，是一个变力，C错误；向心力的效果是改变质点的线速度方向，不改变线速度的大小，D错误。
2．(向心力来源的分析)如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，该小球的向心力　(　　)
A．由重力和支持力的合力提供
B．由重力、支持力和摩擦力的合力提供
C．只由重力提供
D．只由支持力提供
解析：圆筒内壁光滑，小球做匀速圆周运动，合力完全提供向心力，因此小球所受重力和支持力的合力来提供向心力。
√
3．(向心力来源的分析)如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面间始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是(　　)
A．两物体受到的摩擦力都增大
B．两物体受到的摩擦力大小都不变
C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
√
解析：容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变。以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由Ff＝Fn＝mω2r得其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确。
4．(变速圆周运动)如图，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对于圆盘静止。在这段时间内，关于橡皮块所受摩擦力Ff的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是(　　)
√
解析：因为圆盘转速不断增大，所以橡皮块将随圆盘一起做加速圆周运动，此时摩擦力Ff既要提供指向圆心的向心力，又要提供与运动方向相同的切向力，所以合力方向应该在轨道内侧且与速度方向成锐角，故C正确。第2节　向心力
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．理解向心力是一种效果力，方向总是指向圆心。　2.通过实验的观察、思考和探究，理解向心力，了解匀速圆周运动的向心力大小与半径、角速度、质量的关系。　3.通过分析实际问题中做圆周运动的物体的受力，计算匀速圆周运动的向心力。　4.知道在变速圆周运动中向心力为合力沿半径方向的分力。
第1课时　实验：探究向心力大小的表达式
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
实验方案一　用绳和沙袋定性研究
如图甲所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B。同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
步骤1：手握绳结A，如图乙所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤2：手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒运动2周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤3：改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤1和步骤2两者相比，可以比较在半径相同的情况下，向心力大小与角速度的关系。
步骤1和步骤3两者相比，可以比较在角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系。
实验方案二　利用向心力演示器探究
1．实验目的
(1)定性分析向心力大小的影响因素。
(2)学会使用向心力演示器。
(3)探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系。
2．实验器材
(1)向心力演示器(如图丙所示)
(2)向心力演示器原理及操作
①匀速转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。
②小球做匀速圆周运动的向心力由横臂的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。根据标尺上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个小球所受向心力的比值。
③皮带分别套在塔轮上的不同圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，即改变角速度；球放在长槽上的不同位置，可改变运动半径；使用不同质量的球，可改变质量。
3．实验原理
控制变量法：物体的质量、角速度、转动半径对向心力均有影响。要研究一个因变量与三个自变量的关系，应先控制其中的两个自变量不变，先研究向心力与第三个自变量之间的关系。
4．实验过程
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系。
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系。
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系。
5．实验结论
精确的实验表明，向心力大小可以表示为Fn＝mω2r或者Fn＝m。
6．注意事项
(1)实验前要做好横臂支架安全检查，检查螺钉是否有松动，保持仪器水平。
(2)实验时转速应从慢到快，且转速不宜过快，以免损坏测力弹簧。
(3)注意防止皮带打滑，尽可能保证ω比值不变。
(4)注意仪器的保养，延长仪器使用寿命，并提高实验可信度。
INCLUDEPICTURE "典例分类讲解LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../典例分类讲解LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　用绳和沙袋定性研究
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图甲所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素。同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空中甩动，使纸杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力。
(1)下列说法正确的是________。
A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图乙所示，绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学看手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据。
操作一：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使杯在水平方向每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动二周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平方向每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；
操作四与一相比较：___________、___________相同，向心力大小与__________有关。
[解析]　(1)由向心力公式Fn＝mω2r可得，当保持质量、绳长不变时，增大转速，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，由向心力公式可知，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，C错误，D正确。
(2)操作四与一相比较，半径、角速度相同，水杯中的水质量不同，由向心力公式Fn＝mω2r可知，质量增大，向心力大小增大，即向心力大小与质量有关。
[答案]　(1)BD　(2)半径　角速度　质量
题型二　利用向心力演示器探究
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·辽宁大连市期中)图甲所示的是向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量、角速度和半径之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处到各自转轴中心的距离之比为2∶1∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量、角速度和半径之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A．探究两个互成角度的力的合成规律
B．探究小车速度随时间变化的规律
C．探究加速度与力、质量的关系
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________(选填“一”“二”或“三”)层塔轮。
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，传动皮带位于第三层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A．3∶1　　 B．1∶3
C．9∶1 D．1∶9
[解析]　(1)探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。探究两个互成角度的力的合成规律，采用的是等效替代的实验方法，故A错误；探究小车速度随时间变化的规律，并没有采用控制变量法，故B错误；探究加速度与力、质量的关系，采用的实验方法是控制变量法，故C正确。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，可知两小球做圆周运动的半径之比为2∶1，此时探究的是向心力大小与半径的关系，将控制两小球做圆周运动的角速度相等，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
(3)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，可知两小球做圆周运动的半径相等，传动皮带位于第三层，根据v＝ωR，可知两小球做圆周运动的角速度之比ω左∶ω右＝1∶3，根据F＝mω2r，可得当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为F左∶F右＝ω∶ω＝1∶9。　
[答案]　(1)C　(2)一　(3)D
题型三　教材实验创新
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　某物理兴趣小组验证“向心力与线速度大小关系”的实验装置如图所示。
实验步骤如下：
①按照图示安装仪器，轻质细线上端固定在力的传感器上，下端悬挂一小钢球。小钢球静止时刚好位于光电门中央；
②将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器示数为F1，用米尺量出细线长L；
③将小钢球拉到适当高度处且细线拉直，静止释放小钢球，光电计时器记录小钢球遮光时间t，力的传感器示数最大值为F；
④改变小钢球的释放位置，重复上述过程。
已知小钢球的直径是d，当地的重力加速度大小为g，请用上述测得的物理量表示：
(1)小钢球经过光电门时瞬时速度表达式为________。
A．　　　 B．
C． D．
(2)小钢球经过光电门时所受合力的表达式为__________。
A．F－F1 B．F＋F1
C．F1 D．F
(3)小钢球经过光电门时所需向心力的表达式为__________。
A. B．
C． D．
(4)处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力的关系为__________(选填“相等”或“不相等”)，则能验证向心力与线速度大小的关系。
(5)本实验误差的主要来源为____________(选填“摆长测量”或“空气阻力”)。
[解析]　(1)由题知小钢球的直径为d，小钢球遮光时间为t，则小钢球经过光电门时瞬时速度表达式为。
(2)由题知，将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器示数为F1，小钢球经过光电门时力的传感器示数为F，则小钢球经过光电门时所受合力的表达式为
F合 ＝ F－F1。
(3)小钢球经过光电门时所需向心力的表达式为F向＝m＝。
(4)处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力的关系为相等，则能验证向心力与线速度大小的关系。
(5)根据以上分析，只需要满足F－F1＝，则本实验误差的主要来源为摆长测量。
[答案]　(1)B　(2)A　(3)C　(4)相等　(5)摆长测量(共21张PPT)
专题提升课4　课后达标检测
√
1．(2025·天津滨海新区期中)一倒立的圆锥筒，筒侧壁倾斜角度α不变。 一小球在筒的内壁做匀速圆周运动，球与筒内壁的摩擦可忽略，小球距离地面的高度为H，则下列说法正确的是(　　)
A．H越高，小球做圆周运动的向心力越大
B．H越高，小球做圆周运动的线速度越小
C．H越高，小球做圆周运动的角速度越小
D．H越高，小球对侧壁的压力越小
√
√
√
√
6．(8分)如图所示的装置绕竖直轴OO′匀速转动，细线与竖直方向夹角θ＝37°。已知小球质量m＝0.48 kg，细线长L＝0.5 m(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)。求：
(1)装置转动的角速度大小ω；(4分)
解析：对小球受力分析，根据牛顿第二定律可知
mg tan θ＝mω2L sin θ
解得ω＝5 rad/s。
答案：5 rad/s　
(2)小球离地高度为0.45 m，某瞬间细线断开，则小球飞行的水平位移大小x。(4分)
答案：0.45 m
7．(8分)如图所示，在倾角α＝30°的光滑斜面上，有一长L＝0.4 m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量m＝0.2 kg的小球。使小球在斜面上做圆周运动，g取10 m/s2。
(1)求小球通过最高点A时的最小速度。(4分)　
(2)如果细绳能承受的最大拉力为9 N，小球通过最低点B时的最大速度为多大？(4分)
8．(10分)如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1)，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？(重力加速度为g)
答案：见解析INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\基础对点练.TIF" \* MERGEFORMATINET
题组1　向心加速度的理解
1．下列关于向心加速度的说法正确的是(　　)
A．向心加速度越大，物体速率变化得越快
B．向心加速度的大小与轨道半径成反比
C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
解析：选C。向心加速度只改变速度的方向，不改变速度的大小，故A错误；由an＝ω2r可知当角速度一定时，向心加速度的大小与轨道半径成正比，由an＝可知当线速度一定时，向心加速度的大小与轨道半径成反比，故B错误；向心加速度为沿半径方向的加速度，方向时刻改变，指向圆心，且方向垂直于速度方向，故C正确，D错误。
2．下列给出的四个运动中，加速度一定发生变化的是　(　　)
A．曲线运动 B．平抛运动
C．自由落体运动 D．匀速圆周运动
解析：选D。曲线运动可能是匀变速曲线运动，则曲线运动的加速度可能不变，故A错误；平抛运动和自由落体运动的加速度均为重力加速度，恒定不变，故B、C错误；匀速圆周运动的加速度大小相等，方向时刻发生变化，则加速度一定发生变化，故D正确。
3．(多选)对于匀速圆周运动，下列说法正确的是　(　　)
A．由an＝ 知，向心加速度an与半径r成反比
B．由an＝r知，向心加速度an与半径r成正比
C．由ω＝ 知，角速度ω与周期T成反比
D．由an＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度an与半径r成正比
解析：选CD。由an＝知，线速度不变时，向心加速度an与半径r成反比，A错误；由an＝r知，周期不变时，向心加速度an与半径r成正比，B错误；由ω＝知，角速度ω与周期T成反比，C正确；由an＝ω2r知，当角速度ω一定时，向心加速度an与半径r成正比，D正确。
题组2　向心加速度的大小
4．课间跑操时，某同学以恒定速率经过圆弧形弯道，时间t内速度方向改变了θ，跑过的弧长为s，则该同学的向心加速度大小为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选B。该同学的线速度大小v＝，角速度大小ω＝，则向心加速度a＝vω＝。
5．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为(　　)
A．10 m/s2 B. 100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
解析：选C。纽扣上各点绕其中心做圆周运动的角速度相等，已知n＝50 r/s，则an＝ω2r＝(2πn)2r＝4×π2×502×1×10-2 m/s2≈1×103 m/s2，C正确。
6．如图所示，长为2L的轻杆中点与一端点各固定小球A和B，杆的另一端点与转轴O相连，两小球与杆绕O点做匀速圆周运动。若小球B的角速度为ω，下列选项正确的是(　　)
A．小球A的角速度为
B．小球B的线速度为ωL
C．小球A的向心加速度为ω2L
D．小球B的向心加速度为4ω2L
解析：选C。两球绕同一轴转动，则角速度相等，即小球A的角速度为ω，A错误；小球B的线速度v＝2ωL，B错误；小球A的向心加速度aA＝ω2L，C正确；小球B的向心加速度aB＝ω2·2L＝2ω2L，D错误。　
7．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有两个小物块A、B，它们到圆盘中心的距离分别为r和2r，它们随圆盘一起匀速转动，关于小物块A、B各物理量之比正确的是(　　)
A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B．周期之比TA∶TB＝1∶2
C．线速度之比vA∶vB＝1∶1
D．向心加速度之比aA∶aB＝2∶1
解析：选A。两物块同轴转动，则角速度相等，即角速度之比ωA∶ωB＝1∶1；根据T＝可知周期之比TA∶TB＝1∶1；根据v＝ωr可知，线速度之比vA∶ vB＝1∶2；根据a＝ωv可知向心加速度之比aA∶ aB＝1∶2。　
8．如图所示，走时准确的时钟，分针与秒针由转动轴到针尖的长度之比是3∶4，则下列说法正确的是(　　)
A．分针与秒针的角速度之比为12∶1
B．分针与秒针的周期之比为1∶60
C．分针针尖与秒针针尖的线速度大小之比为1∶80　
D．分针针尖与秒针针尖的向心加速度大小之比为1∶480
解析：选C。秒针转动一周，分针转动一周的，则分针与秒针的周期之比T1∶T2＝60∶1，根据ω＝，分针与秒针的角速度之比ω1∶ω2＝1∶60，故A、B错误；根据v＝ωr，分针针尖与秒针针尖的线速度大小之比v1∶v2＝1∶80，故C正确；根据a＝ω2r，分针针尖与秒针针尖的向心加速度大小之比a1∶a2＝1∶4 800，故D错误。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\综合提升练.TIF" \* MERGEFORMATINET
9．如图所示，质量为m的小球用长为L的悬绳固定于O点，在O点的正下方处有一颗钉子，把悬绳拉直与竖直方向成一定角度，由静止释放小球，则小球从右向左摆的过程中，悬绳碰到钉子前后小球的向心加速度大小之比为(　　)
A．1∶4 B．2∶3
C．3∶1 D．4∶3
解析：选B。在悬绳碰到钉子的前后瞬间，速度不变。做圆周运动的半径从L变成了，则根据加速度公式a＝可知，小球的向心加速度大小之比为半径之反比，即2∶3。
10．(多选)(2025·河北秦皇岛市期末)大型游乐装置“大摆锤”的简图如图所示，摆锤a和配重锤b分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴O在纸面内转动。若a、b到O的距离之比为2∶1，在摆臂匀速转动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．a、b的线速度大小之比为2∶1
B．a、b的角速度大小之比为1∶2
C．a、b的向心加速度大小之比为2∶1
D．a、b的向心加速度大小之比为1∶4
解析：选AC。a、b两点同轴转动，所以角速度相等，根据v＝ωr，可得a、b的线速度大小之比va∶vb＝ra∶rb＝2∶1，根据a＝ω2r，可得a、b的向心加速度大小之比aa∶ab＝ra∶rb＝2∶1。
11．(2025·江西萍乡市期末)进入冬季后，北方的冰雪运动吸引了许多南方游客。如图为雪地转转游戏，人乘坐雪圈(尺寸大小忽略不计)绕轴以2 rad/s的角速度在水平雪地上做匀速圆周运动。已知绳子悬挂在离地高为3 m、半径为3 m的水平转盘的边缘，且绳子长为5 m。运动时，绳与水平杆垂直，则雪圈(含人)(　　)
A．线速度大小为8 m/s
B．线速度大小为14 m/s
C．加速度大小为16 m/s2
D．加速度大小为20 m/s2
解析：选D。水平转盘半径为3 m，离地高为3 m，绳长为5 m，根据几何关系可知，雪圈(含人)做匀速圆周运动的半径r＝ m＝5 m，则线速度大小v＝ωr＝2×5 m/s＝10 m/s，故A、B错误；雪圈(含人)做匀速圆周运动的加速度大小a＝ω2r＝22×5 m/s2＝20 m/s2，故C错误，D正确。
12．(多选)如图所示，有一个很大的圆形餐桌，水平桌面中间嵌着一可绕中心轴O转动的圆盘，圆盘上A处放一质量为m的菜盘，B处放一质量为0.5m的菜盘，OA＝2OB，圆盘匀速转动，两菜盘均视为质点且不打滑。下列说法正确的是(　　)
A．A、B两处菜盘的周期之比为1∶2
B．A、B两处菜盘的线速度大小之比为2∶1
C．A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为4∶1
D．A、B两处菜盘受到的静摩擦力大小之比为4∶1　
解析：选BD。圆盘上A、B两个点，属于同轴转动，有ωA＝ωB，根据ω＝可知A、B两处菜盘的周期之比为1∶1，故A错误；同理，根据v＝ωr，依题意有rA＝2rB，可知A、B两处菜盘的线速度大小之比为2∶1，故B正确；根据a＝ω2r可知A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为2∶1，故C错误；A、B两点处的菜盘所受的静摩擦力提供向心力，可得F＝ma，所以＝＝4∶1，故D正确。
13．(8分)如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑。在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点，分别为A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1。求：
(1)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；(4分)　
(2)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC。(4分)
解析：(1)A、C同轴转动，角速度相等，A、B两点靠皮带传动，线速度大小相等，根据v＝rω，有
ωA∶ωB＝r2∶r1＝1∶2
所以A、B、C三点的角速度之比
ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1。
(2)A、B两点靠皮带传动，线速度大小相等，A、C同轴转动，角速度相等，根据v＝rω，有
vA∶vC＝r1∶r3＝2∶1
所以A、B、C三点的线速度大小之比
vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
根据an＝vω，可知A、B、C三点的加速度大小之比
aA∶aB∶aC＝2∶4∶1。
答案：(1)1∶2∶1　(2)2∶4∶1(共15张PPT)
专题提升课3　竖直面内的圆周运动
专题深度剖析
PART
01
第一部分
　【教材经典P42第4题】如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。
(1)小球运动到最高点时，求杆对球的作用力。
微专题一　竖直面内的匀速圆周运动
(2)小球运动到水平位置A时，求杆对球的作用力。
[答案]　见解析
微专题二　竖直面内的变速圆周运动
模型1　轻绳模型
　 (多选)(2025·福建宁德市期末)杂技表演水流星如图所示，一根绳系着盛水的杯子，随着演员的抡动，杯子就在竖直平面做圆周运动，已知轨迹半径r＝0.4 m，水的质量为200 g，杯子的质量为50 g，绳子质量不计，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．杯子运动到最高点时，水刚好不落下，则最高点速度为4 m/s
B．当杯子到最高点速度为6 m/s时，则水对杯子的弹力大小为16 N，方向竖直向下
C．杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降
过程速度增加是因为合力沿切线方向的分力与速度同向
D．杯子在最低点时处于超重状态
√
√
　【教材经典P41第1题】如图所示，半径R＝0.40 m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点(图上未画)，g取10 m/s2。
(1)能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？
[答案]　2 m/s　
(2)能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？
[答案]　0.8 m
√(共31张PPT)
第2节　向心力
1．理解向心力是一种效果力，方向总是指向圆心。　2.通过实验的观察、思考和探究，理解向心力，了解匀速圆周运动的向心力大小与半径、角速度、质量的关系。　3.通过分析实际问题中做圆周运动的物体的受力，计算匀速圆周运动的向心力。　4.知道在变速圆周运动中向心力为合力沿半径方向的分力。
学习目标
第1课时　实验：探究向
心力大小的表达式
课前知识梳理
PART
01
第一部分
实验方案一　用绳和沙袋定性研究
如图甲所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B。同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
步骤1：手握绳结A，如图乙所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤2：手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒运动2周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤3：改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒运动1周。体会此时绳子拉力的大小。
步骤1和步骤2两者相比，可以比较在半径相同的情况下，向心力大小与角速度的关系。
步骤1和步骤3两者相比，可以比较在角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系。
实验方案二　利用向心力演示器探究
1．实验目的
(1)定性分析向心力大小的影响因素。
(2)学会使用向心力演示器。
(3)探究向心力与质量、角速度、半径的定量关系。
2．实验器材
(1)向心力演示器(如图丙所示)
(2)向心力演示器原理及操作
①匀速转动手柄，可使变速塔轮、长槽和短槽随之匀速转动，槽内的小球也随着做匀速圆周运动。
②小球做匀速圆周运动的向心力由横臂的挡板对小球的压力提供。球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆作用使弹簧测力套筒下降，从而露出标尺。根据标尺上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个小球所受向心力的比值。
③皮带分别套在塔轮上的不同圆盘上，可改变两个塔轮的转速比，即改变角速度；球放在长槽上的不同位置，可改变运动半径；使用不同质量的球，可改变质量。
3．实验原理
控制变量法：物体的质量、角速度、转动半径对向心力均有影响。要研究一个因变量与三个自变量的关系，应先控制其中的两个自变量不变，先研究向心力与第三个自变量之间的关系。
4．实验过程
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系。
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系。
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系。
6．注意事项
(1)实验前要做好横臂支架安全检查，检查螺钉是否有松动，保持仪器水平。
(2)实验时转速应从慢到快，且转速不宜过快，以免损坏测力弹簧。
(3)注意防止皮带打滑，尽可能保证ω比值不变。
(4)注意仪器的保养，延长仪器使用寿命，并提高实验可信度。
典例分类讲解
PART
02
第二部分
如图甲所示，同学们分小组探究影响向心力大小的因素。同学们用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)在空中甩动，使纸杯在水平面内做圆周运动，来感受向心力。
题型一　用绳和沙袋定性研究
(1)下列说法正确的是________。
A．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B．保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D．保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
BD
[解析]　由向心力公式Fn＝mω2r可得，当保持质量、绳长不变时，增大转速，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，A错误，B正确；保持质量、角速度不变，增大绳长，由向心力公式可知，手对绳的拉力将增大，由牛顿第三定律可知，绳对手的拉力将增大，C错误，D正确。
(2)如图乙所示，绳离杯心40 cm处打一结点A，80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学看手表计时，另一位同学操作，其余同学记录实验数据。
操作一：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作二：手握绳结B，使杯在水平方向每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作三：手握绳结A，使杯在水平方向每秒运动二周，体会向心力的大小。
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平方向每秒运动一周，体会向心力的大小。
操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度的大小有关；
操作四与一相比较：___________、___________相同，向心力大小与__________有关。
[解析]　操作四与一相比较，半径、角速度相同，水杯中的水质量不同，由向心力公式Fn＝mω2r可知，质量增大，向心力大小增大，即向心力大小与质量有关。
半径
角速度　
质量
(2025·辽宁大连市期中)图甲所示的是向心力演示仪，可探究小球做圆周运动所需向心力的大小F与质量、角速度和半径之间的关系。长槽的A、B处和短槽的C处到各自转轴中心的距离之比为2∶1∶1。变速塔轮自上而下有三种组合方式，左右每层半径之比由上至下分别为1∶1、2∶1和3∶1，如图乙所示。
题型二　利用向心力演示器探究
(1)本实验的目的是探究向心力的大小与小球质量、角速度和半径之间的关系，下列实验中采用的实验方法与本实验相同的是________。
A．探究两个互成角度的力的合成规律
B．探究小车速度随时间变化的规律
C．探究加速度与力、质量的关系
C
[解析]　探究向心力的大小与小球质量m、角速度ω和半径r之间的关系，采用的实验方法是控制变量法。探究两个互成角度的力的合成规律，采用的是等效替代的实验方法，故A错误；探究小车速度随时间变化的规律，并没有采用控制变量法，故B错误；探究加速度与力、质量的关系，采用的实验方法是控制变量法，故C正确。
(2)在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，探究向心力的大小与半径的关系，则需要将传动皮带调至第________(选填“一”“二”或“三”)层塔轮。
[解析]　在某次实验中，把两个质量相等的钢球放在A、C位置，可知两小球做圆周运动的半径之比为2∶1，此时探究的是向心力大小与半径的关系，将控制两小球做圆周运动的角速度相等，则需要将传动皮带调至第一层塔轮。
一
(3)在另一次实验中，把两个质量相等的钢球放在B、C位置，传动皮带位于第三层，转动手柄，则当塔轮匀速转动时，左右两标尺露出的格子数之比约为________。
A．3∶1　　 B．1∶3
C．9∶1 D．1∶9
D
某物理兴趣小组验证“向心力与线速度大小关系”的实验装置如图所示。
实验步骤如下：
①按照图示安装仪器，轻质细线上端固定在力的传感器上，下端悬挂一小钢球。小钢球静止时刚好位于光电门中央；
②将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器示数为F1，用米尺量出细线长L；
题型三　教材实验创新
B
(2)小钢球经过光电门时所受合力的表达式为__________。
A．F－F1 B．F＋F1
C．F1 D．F
[解析]　由题知，将小钢球悬挂静止不动，此时力的传感器示数为F1，小钢球经过光电门时力的传感器示数为F，则小钢球经过光电门时所受合力的表达式为
F合 ＝ F－F1。
A
C
(4)处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力的关系为__________(选填“相等”或“不相等”)，则能验证向心力与线速度大小的关系。
[解析]　处理实验数据时，在误差允许的范围内，小钢球经过光电门时所需向心力和所受合力的关系为相等，则能验证向心力与线速度大小的关系。
相等
(5)本实验误差的主要来源为____________(选填“摆长测量”或“空气阻力”)。
摆长测量INCLUDEPICTURE "物RJBX2第六章LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\物RJBX2第六章LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
第1节　圆周运动
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算。　2.知道线速度、角速度、周期之间的关系。　3.理解匀速圆周运动的概念和特点。　4.会分析常见传动装置中各物理量间的关系。
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
一、线速度
1．定义：物体做圆周运动通过的弧长与所用时间的比值。
2．定义式：v＝。
3．标矢性：线速度是矢量，其方向为物体做圆周运动时该点的切线方向。
4．物理意义：描述做圆周运动的物体沿着圆弧运动的快慢的物理量。
5．匀速圆周运动
(1)定义：线速度的大小处处相等的圆周运动。
(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种变速运动。
二、角速度
1．定义：做曲线运动的物体在Δt时间内由A运动到B，半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度。
2．定义式：ω＝。
3．单位：弧度每秒，符号是rad/s或rad·s-1，在运算中，角速度的单位可以写为_s-1。
4．物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢的物理量。
5．匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度不变的圆周运动。
三、周期
1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，用T表示，国际单位制单位为秒(s)。
2．转速：物体转动的圈数与所用时间之比，常用n表示，单位为转每秒(r/s)或转每分(r/min)。
四、线速度与角速度的关系
1．两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的乘积。
2．关系式：v＝ωr。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同。(　　)
(2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力不为零。(　　)
(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变。(　　)
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度大小不变。　(　　)
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小。(　　)
(6)匀速圆周运动是一种匀速运动。(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
知识点一　圆周运动的物理量及相互关系
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
如图所示，有一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时：
(1)a、b、c三点角速度和周期各有什么关系？
(2)a、b、c三点做圆周运动的线速度有什么关系？
[提示]　(1)ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc。
(2)va＝vc＞vb。
1．圆周运动的物理量的理解
(1)线速度：单位时间(1 s内)转过的弧长。
(2)角速度：单位时间(1 s内)转过的圆心角。
(3)周期：转一圈所用的时间。
(4)频率(转速)：单位时间内转过的圈数。
2．各物理量之间的关系
(1)v＝＝＝2πnr。
(2)ω＝＝＝2πn。
(3)v＝ωr。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为(　　)
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
[解析]　由题意知车的速度大小v＝120 km/h≈33.3 m/s，车轮半径约为r＝30 cm＝0.3 m，设转速为n，根据v＝2πrn，代入以上数据得n≈17.7 r/s≈1 060 r/min。
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，以下说法不正确的是(　　)
A．A、B运动的线速度大小之比为3∶4
B．A、B运动的角速度大小之比为3∶2
C．A、B运动的周期之比为2∶3
D．A、B做圆周运动的半径之比为8∶9
[解析]　根据v＝可知，A、B运动的线速度大小之比为4∶3，A错误，符合题意；根据ω＝可知，A、B运动的角速度大小之比为3∶2，B正确，不符合题意；根据T＝可知，A、B运动的周期之比为2∶3，C正确，不符合题意；根据r＝可知，A、B做圆周运动的半径之比为8∶9，D正确，不符合题意。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为(　　)
A. rad/s B． rad/s
C． rad/s D． rad/s
[解析]　由题意可知，横杆转动的时间t＝3.3 s－0.3 s＝3 s，在3 s的时间内，横杆上a′点的正上方的点至少要抬高的高度h＝1.6 m－1 m＝0.6 m，则在此时间内横杆至少转过的角度θ＝，直杆转动的角速度至少为ω＝＝ rad/s。
[答案]　D
知识点二　常见传动模型及特点
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。
讨论：(1)在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速度的大小关系如何？
(2)如果跷跷板的支点不在板的中点，那么线速度和角速度的大小关系如何？
[提示]　(1)线速度和角速度大小都相同。
(2)角速度相同，线速度大小不同。
　
1．三种传动装置
项目 同轴转动 皮带传动 齿轮传动
装置 A、B两点在同轴的一个圆盘上 两个轮子用皮带连接(皮带不打滑)，A、B两点分别是两个轮子边缘上的点 两个齿轮啮合，A、B两点分别是两个齿轮边缘上的点
特点 角速度、周期相同 线速度大小相等 线速度大小相等
规律 线速度与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝ 角速度与半径成反比：＝。周期与半径成正比：＝
2.求解思路
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴转动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。
(3)选择公式分析：若线速度大小相等，则根据ω∝分析，若角速度大小相等，则根据v∝r分析。
模型1　皮带传动模型
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(多选)如图所示的传动装置中，A轮顺时针转动，并通过皮带带动B轮转动(皮带不打滑)。a、b分别是两轮边缘上的点，它们的线速度大小分别为va、vb，下列判断正确的是(　　)
A．B轮顺时针转动
B．B轮逆时针转动
C．va＝vb
D．va＞vb
[解析]　由题图可知，B轮的转动方向与A轮转动方向一定是相反的，所以B轮逆时针转动，故A错误，B正确；a点与b点属于同缘传动，所以两点具有相等的线速度，即va＝vb，故C正确，D错误。
[答案]　BC
模型2　齿轮传动模型
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为1∶2∶3，当齿轮转动时，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点(　　)
A．线速度大小之比为1∶3
B．角速度大小之比为3∶1
C．周期之比为1∶1
D．转速之比为1∶3
[解析]　由题意可知，当齿轮转动的时候，三个齿轮边缘在相同时间内转的齿数相等，即线速度大小相等，因此有vA∶vB＝1∶1，故A错误；由线速度与角速度关系公式v＝ωr，可知小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点的角速度之比ωA∶ωB＝3∶1，故B正确；由周期与角速度关系公式T＝，可知周期与角速度成反比，即TA∶TB＝1∶3，故C错误；根据转速与周期的关系式n＝，可得转速与周期成反比，即nA∶nB＝3∶1，故D错误。
[答案]　B
模型3　同轴转动模型
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　如图所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则(　　)
A．ωP<ωQ，vPB．ωP<ωQ，vP＝vQ
C．ωP＝ωQ，vPD．ωP＝ωQ，vP>vQ
[解析]　由于P、Q两点属于同轴转动，所以P、Q两点的角速度是相等的，即ωP＝ωQ，同时由题图可知Q点到螺母的距离比较大，根据v＝ωr可知Q点的线速度大，即vP＜vQ。
[答案]　C
模型4　混合传动模型
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例7LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　绿色出行，自行车是一种不错的选择。自行车基本原理如图所示，a、b、c分别为链轮、飞轮和后轮上的三个点，已知链轮、飞轮和后轮的半径之比为2∶1∶6，将后轮悬空，匀速转动踏板时，a、b、c三点的(　　)
A．线速度大小之比为6∶6∶1
B．角速度之比为1∶6∶6
C．转速之比为2∶2∶1
D．周期之比为2∶1∶1
[解析]　根据传动装置的特点，可知va＝vb，飞轮和后轮同轴转动，则ωb＝ωc，根据v＝rω，可得＝＝，则a、b、c三点的线速度大小之比va∶vb∶vc＝1∶1∶6，故A错误；根据ω＝，可得＝＝，则a、b、c三点的角速度之比ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，故B错误；根据转速n＝，可得a、b、c三点的转速之比na∶nb∶nc＝ωa∶ωb∶ωc＝1∶2∶2，故C错误；根据T＝，可得a、b、c三点的周期之比Ta∶Tb∶Tc＝2∶1∶1，故D正确。
[答案]　D
知识点三　匀速圆周运动及周期性
1．对匀速圆周运动的理解
(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化。
(2)匀速的含义
①速度的大小不变，即速率不变；
②转动快慢不变，即角速度大小不变。
2．匀速圆周运动的周期性
(1)问题特点：匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个是匀速圆周运动，另一个是其他形式的运动。一般处理这类问题时，要把一个物体运动的时间t，与圆周运动的周期T联系起来，才能更快解决问题。
(2)分析技巧
①抓住联系点：明确题中多个物体的运动性质；多个物体参与运动时，虽然每个运动独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等。
②先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期的规律。
INCLUDEPICTURE "例8LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例8LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　　)
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内通过的位移相等
D．在任何相等的时间里，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
[解析]　匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，C错误。
[答案]　ABD
INCLUDEPICTURE "例9LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例9LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略子弹重力、圆筒的阻力及空气阻力。
(1)子弹做什么运动？圆筒做什么运动？
(2)为什么圆筒上只有一个弹孔？
(3)子弹与圆筒的运动时间有何关系？
(4)子弹的速度v应满足什么条件？
[解析]　(1)子弹不受外力，子弹做匀速直线运动；圆筒匀速转动，圆筒做匀速圆周运动。
(2)子弹从进入的弹孔中射出，所以只留下了一个弹孔。
(3)圆筒的周期T＝
子弹的运动时间应为
t＝T＋nT＝π(n＝0，1，2，3，…)。
(4)子弹的速度应满足
＝π(n＝0，1，2，3，…)
可解得v＝(n＝0，1，2，3，…)。
[答案]　(1)(2)见解析　(3)t＝π(n＝0，1，2，3，…)　(4)v＝(n＝0，1，2，3，…)
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(描述圆周运动的物理量)(2025·河北卷，T5)某同学在傍晚用内嵌多个彩灯的塑料绳跳绳，照片记录了彩灯在曝光时间内的运动轨迹，简图如图。彩灯的运动可视为匀速圆周运动，相机本次曝光时间是 s，圆弧对应的圆心角约为30°，则该同学每分钟摇绳的圈数约为(　　)
A．90　　　B．120　　　C．150　　　D．180
解析：选C。根据题意可知跳绳的转动角速度ω＝＝ rad/s＝5π rad/s，故每分钟跳绳的圈数n＝＝150。
2．(常见传动模型及特点)如图所示，秒针绕O点转动，A、B为秒针的两个端点。在转动时，A、B的角速度和线速度分别记为ωA、ωB和vA、vB，则(　　)
A.ωA<ωB B．ωA>ωB
C．vAvB
解析：选C。A、B为秒针的两个端点，他们属于同轴转动，故A、B的角速度大小相等，A、B错误；转动过程中，A点的半径小于B的半径，根据线速度与角速度的关系v＝ωr，可得vA3．(常见传动模型及特点)如图所示为学生使用的修正带，修正带的核心结构为咬合良好的两个齿轮，大、小齿轮的齿数之比n1∶n2＝k∶1。A、B两点分别位于大、小齿轮的边缘，当使用修正带时，纸带的运动会带动两轮转动，则两轮转动时，A、B两点的(　　)
A．角速度之比为1∶k
B．角速度之比为1∶1
C．线速度大小之比为1∶k
D．转速之比为k∶1
解析：选A。修正带靠齿轮传动，所以边缘线速度大小相等，故A、B两点的线速度大小之比为1∶1，故C错误；根据半径与齿轮关系得＝＝，由公
式v＝ωr可得，A、B两点的角速度大小之比ωA∶ωB＝rB∶rA＝1∶k，故B错误，A正确；由公式ω＝2πn可得，转速之比nA∶nB＝ωA∶ωB＝1∶k，故D错误。
4．(匀速圆周运动的周期性)如图所示，竖直薄壁圆筒内壁光滑、半径为R，上部侧面开有小口A，在A的正下方h处开有小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从B口处飞出，小球进入A口的最小速率为(　　)
A．πR B．πR
C．πR D．πR
解析：选B。小球在竖直方向做自由落体运动，根据h＝gt2，可得小球在圆筒内的运动时间t＝，在水平方向，以圆周运动的规律来研究，运动的时间t＝n(n＝1，2，3，…)，联立可得v0＝＝nπR (n＝1，2，3，…)，当n＝1时，可得最小速率v0＝πR 。INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2025·天津滨海新区期中)一倒立的圆锥筒，筒侧壁倾斜角度α不变。 一小球在筒的内壁做匀速圆周运动，球与筒内壁的摩擦可忽略，小球距离地面的高度为H，则下列说法正确的是(　　)
A．H越高，小球做圆周运动的向心力越大
B．H越高，小球做圆周运动的线速度越小
C．H越高，小球做圆周运动的角速度越小
D．H越高，小球对侧壁的压力越小
解析：选C。小球做匀速圆周运动，由重力mg和支持力F的合力提供圆周运动的向心力，作出受力分析图如图所示，则向心力Fn＝mg tan α，由于m、α不变，向心力大小不变，故A错误；根据牛顿第二定律得Fn＝m，H越高，r越大，Fn不变，则v越大，故B错误；由mg tan α＝mrω2得ω＝，则知H越高，r越大，ω越小，故C正确；侧壁对小球的支持力F＝不变，则小球对侧壁的压力不变，故D错误。
2．如图所示，一半径为R的光滑圆环处于竖直平面内，A是与圆心等高点，圆环上套着一个可视为质点的、质量为m的小球。现使圆环绕其竖直直径转动，小球和圆环圆心O的连线与竖直方向的夹角记为θ，转速不同，小球静止在圆环上的位置可能不同。当圆环以角速度ω匀速转动且小球与圆环相对静止时(　　)
A．ω＝　　　　　 B．ω＝
C．ω＝ D．ω＝
解析：选B。对小球受力分析，受到重力和弹力作用，由力的合成法则和牛顿第二定律可知mg tan θ＝mω2R sin θ，可得ω＝。
3．(2023·北京卷，T10)在太空实验室中可以利用匀速圆周运动测量小球质量。如图所示，不可伸长的轻绳一端固定于O点，另一端系一待测小球，使其绕O做匀速圆周运动，用力传感器测得绳上的拉力为F，用停表测得小球转过n圈所用的时间为t，用刻度尺测得O点到球心的距离为圆周运动的半径R。下列说法正确的是(　　)
A．圆周运动轨道可处于任意平面内
B．小球的质量为
C．若误将n－1圈记作n圈，则所得质量偏大
D．若测R时未计入小球半径，则所得质量偏小
解析：选A。空间站内的物体都处于完全失重状态，可知圆周运动的轨道可处于任意平面内，故A正确；根据F＝mω2R，ω＝，解得小球质量m＝，故B错误；若误将n－1圈记作n圈，则得到的质量偏小，故C错误；若测R时未计入小球的半径，则R偏小，所测质量偏大，故D错误。
4．如图所示，叠放在水平转台上的物体A、B随转台一起以角速度ω匀速转动，A、B的质量分别为3m、2m，A与B、B与转台间的动摩擦因数都为μ，A和B离转台中心的距离都为r，重力加速度为g，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力。下列说法正确的是(　　)
A.A对B的摩擦力沿水平方向指向圆心O点
B．物块B对物块A的摩擦力一定为3μmg
C．转台对物块B的摩擦力的大小一定为5mω2r
D．转台的角速度一定满足ω≤
解析：选C。对A分析可知，A的重力与B对A的支持力平衡，B对A的摩擦力提供A做圆周运动的向心力，则B对A的摩擦力指向圆心，根据牛顿第三定律可知，A对B的摩擦力方向背离圆心，A错误；根据上述有fBA＝3mω2r，根据牛顿第三定律可知，A对B的摩擦力大小为3mω2r，该摩擦力为静摩擦力，因此物块B对物块A的摩擦力不一定为3μmg，B错误；对AB整体分析有f＝(3m＋2m)ω2r＝5mω2r，C正确；根据题意，结合上述有fBA＝3mω2r≤μ·3mg，f＝5mω2r≤μ·5mg，解得ω≤，D错误。
5．如图所示，A、B、C三个物体放在旋转圆台上，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴心的距离为R，C离轴心的距离为2R，重力加速度为g，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则当圆台旋转时(设A、B、C都没有滑动)(　　)
A．物体A的向心加速度最大
B．物体B受到的静摩擦力最大
C．物体C开始滑动的临界角速度为
D．当圆台转速增大时，B比A先滑动
解析：选C。物体A、B、C的角速度相等，由a＝ω2r，得物体C的向心加速度最大，故A错误；A、B、C都没有滑动，静摩擦力提供向心力，根据Ff＝m物ω2r可知，物体B受到的静摩擦力最小，故B错误；静摩擦力达到最大值时对应开始滑动的临界角速度，对物体C，有μmg＝mω·2R，解得ωC＝，故C正确；同理可得物体A、B开始滑动的临界角速度分别为ωA＝，ωB＝，当圆台转速增大时，物体A、B同时滑动，故D错误。
6．(8分)如图所示的装置绕竖直轴OO′匀速转动，细线与竖直方向夹角θ＝37°。已知小球质量m＝0.48 kg，细线长L＝0.5 m(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6)。求：
(1)装置转动的角速度大小ω；(4分)
(2)小球离地高度为0.45 m，某瞬间细线断开，则小球飞行的水平位移大小x。(4分)
解析：(1)对小球受力分析，根据牛顿第二定律可知
mg tan θ＝mω2L sin θ
解得ω＝5 rad/s。
(2)细线断开后小球做平抛运动，则落地时运动的时间
t＝＝ s＝0.3 s
水平位移x＝vt
v＝ωL sin θ
解得x＝0.45 m。
答案：(1)5 rad/s　(2)0.45 m
7．(8分)如图所示，在倾角α＝30°的光滑斜面上，有一长L＝0.4 m的细绳，一端固定在O点，另一端拴一质量m＝0.2 kg的小球。使小球在斜面上做圆周运动，g取10 m/s2。
(1)求小球通过最高点A时的最小速度。(4分)　
(2)如果细绳能承受的最大拉力为9 N，小球通过最低点B时的最大速度为多大？(4分)
解析：(1)小球通过最高点A的速度最小时，只受重力和支持力，绳子上拉力为零，即mg sin α＝m eq \f(v,L)，则vA＝＝ m/s。
(2)小球通过最低点B的速度最大时，绳子拉力达到最大值，有T－mg sin α＝m eq \f(v,L)，解得vB＝4 m/s。
答案：(1) m/s　(2)4 m/s
8．(10分)如图所示，水平转盘的中心有一个光滑的竖直小圆孔，质量为m的物体A放在转盘上，物体A到圆孔的距离为r，物体A通过轻绳与物体B相连，物体B的质量也为m。若物体A与转盘间的动摩擦因数为μ(μ<1)，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则转盘转动的角速度ω在什么范围内，才能使物体A随转盘转动而不滑动？(重力加速度为g)
解析：当A将要沿转盘背离圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向指向圆心，此时A做圆周运动的向心力等于绳的拉力与静摩擦力的合力，即
F＋Ffmax＝mrω
由于B静止，故有F＝mg
又因为Ffmax＝μFN＝μmg
联立解得ω1＝
当A将要沿转盘向圆心滑动时，A所受的摩擦力为最大静摩擦力，方向背离圆心，此时A做圆周运动的向心力为
F－Ffmax＝mrω
由于B静止，故有F＝mg
又因为Ffmax＝μFN＝μmg
联立解得ω2＝
故要使A随转盘一起转动而不滑动，角速度ω的范围为
≤ω≤。
答案：见解析INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2024·江苏扬州学业考试)一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动。圆周的半径为4.0 m，当他的线速度为2.0 m/s时，他的角速度ω为(　　)
A．0.5 rad/s　　　　 　 B．1 rad/s
C．2 rad/s D．8 rad/s
解析：选A。根据题意可知，小孩绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动，由公式v＝ωr可得，他的角速度ω＝＝ rad/s＝0.5 rad/s。
2．一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周期为2 s，则下列说法不正确的是(　　)
A.角速度为0.5 rad/s
B．转速为0.5 r/s
C．运动轨迹的半径为 m
D．频率为0.5 Hz
解析：选A。由题意知v＝4 m/s，T＝2 s，根据角速度与周期的关系可知ω＝＝π rad/s，A错误；由T＝得转速n＝＝ r/s＝0.5 r/s，B正确；由v＝ωr得r＝＝ m，C正确；由频率与周期的关系得f＝＝0.5 Hz，D正确。
3．如图所示，摩天轮高128 m，匀速运行一周需用时45 min。其匀速转动的角速度大小为(　　)
A． rad/s B． rad/s
C． rad/s D． rad/s
解析：选B。该摩天轮匀速转动的角速度大小ω＝＝ rad/s。
4．如图所示，两小球固定在一根长为L的杆两端，绕杆上的O点做圆周运动。当小球A的速度为vA时，小球B的速度为vB，则O点到小球A的距离为　(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A。两小球A、B同轴转动，角速度大小相等，则有ω＝＝，即＝，又rA＋rB＝L，联立可得rA＝。
5．脚踏自行车的传动装置简化图如图所示，各轮的转轴均固定且相互平行，甲、乙两轮同轴且无相对转动。已知甲、乙、丙三轮的半径之比为1∶10∶4，传动链条在各轮转动中不打滑，则当丙转一圈时，乙转过的圈数为(　　)
A．1 B．2
C．2.5 D．4
解析：选D。甲、丙边缘处的线速度相等，根据v＝ωr，可得甲和丙的角速度之比＝＝4，甲、乙同轴，角速度相等，故＝4，故当丙转一圈时，乙转4圈。
6．如图所示的是一皮带传动装置，右轮的半径为r，左轮的半径为2r，a、b分别是两轮边缘上的点，c是左轮轮盘上的一点，它到左轮中心的距离为r。若在传动过程中，皮带不打滑，则(　　)
A．a点与b点的周期相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．b点与c点的周期相等
解析：选D。a、b分别是两轮边缘上的点，靠皮带传动，两点的线速度相等，根据ω＝可知，由于a、b的半径不相等，所以a点与b点的角速度大小不相等，又T＝，所以a点与b点的周期也不相等，故A、B错误；a、b的线速度相等，b、c属于同轴转动，角速度相等，根据v＝ωR可知b、c的线速度不相等，所以a点与c点的线速度大小不相等，故C错误；b、c属于同轴转动，周期相等，故D正确。
7．(2025·河北石家庄市期末)如图所示，地球可看成一个质量分布均匀的球体，地球上的物体均随地球自转做匀速圆周运动。已知石家庄的纬度约为37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则位于赤道和石家庄的物体P、Q随地球自转的角速度、线速度之比分别为(　　)
A．1∶1，5∶3 B．1∶1，5∶4
C．5∶3，1∶1 D．5∶4，1∶1
解析：选B。物体P、Q随地球自转，则物体P、Q的角速度相等；根据v＝ωr，可得物体P、Q的线速度大小之比vP∶vQ＝rP∶rQ＝R∶R cos 37°＝5∶4。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
8．明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转。”并附有牛力齿轮翻车的图画如图所示，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田。已知A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，B、C齿轮同轴，若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA>rB>rC，则(　　)
A．齿轮A的角速度比齿轮C的角速度大
B．齿轮A、B的角速度大小相等
C．齿轮B、C边缘的线速度大小相等
D．齿轮A边缘的线速度比齿轮C边缘的线速度大
解析：选D。根据题意可知，A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，则齿轮A、B边缘的线速度大小相等，由v＝ωr可知，由于rA>rB则有ωA<ωB，由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，则有ωA<ωB＝ωC，故A、B错误；由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，由v＝ωr可知，由于rB>rC，则有vB>vC，可得vA＝vB>vC，故C错误，D正确。
9．如图所示的传动装置，皮带轮O和O′上有三点A、B、C，O 和O′半径之比为 1∶4，C 是O′上某半径的中点，则皮带轮转动时，关于A、B、C三点的线速度、角速度之比，正确的是(　　)
A．ωA ∶ ωB ∶ωC＝4 ∶ 2 ∶ 1
B．ωA ∶ ωB ∶ ωC＝ 2 ∶ 2 ∶ 1
C．vA∶vB∶vC＝4∶2∶1
D．vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
解析：选D。根据传动装置的特点可知，A、B两点的线速度大小相等，即vA＝vB，根据v＝ωr，可得 ωA∶ωB＝rB∶rA＝4∶1，又因为共轴转动特点，可知B、C 两点的角速度相等，即ωB＝ωC，根据v＝ωr，可得 vB∶vC＝rB∶rC＝2∶1，综上可得vA∶vB∶vC＝2∶2∶1，ωA∶ωB∶ωC＝4∶1∶1。
10．(多选)如图所示，一位同学玩飞镖游戏。圆盘最上端有一点P，飞镖抛出时与P在同一竖直平面内等高，且距离P点为L。当飞镖以初速度v0垂直于盘面瞄准P点抛出的同时，圆盘绕经过盘心O点的水平轴在竖直平面内匀速转动。忽略空气阻力，重力加速度为g，若飞镖恰好击中P点，则(　　)
A．飞镖击中P点所需的时间为
B．圆盘的半径可能为 eq \f(gL2,2v)
C．圆盘转动角速度的最小值为
D．P点随圆盘转动的线速度可能为
解析：选AD。飞镖水平抛出后做平抛运动，水平方向的分运动是匀速直线运动，因此t＝，A正确；飞镖击中P点时，P点恰好在圆盘最低点，则有2r＝gt2，解得圆盘的半径r＝ eq \f(gL2,4v)，B错误；飞镖击中P点，则P点转过的角度满足θ＝ωt＝π＋2kπ(k＝0，1，2，…)，故ω＝＝(k＝0，1，2，…)，则圆盘转动角速度的最小值为，C错误；P点随圆盘转动的线速度v＝ωr＝(k＝0，1，2，…)，当k＝3时，v＝，D正确。
11．(12分)如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，有另一小球P从距圆周最高点h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g。求：
(1)Q球转动的角速度ω；(6分)
(2)Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值。(6分)　
解析：(1)小球P做自由落体运动，有
h＝gt2，解得t＝
Q球运动到最高点的时间t′＝＋nT(n＝0，1，2，3，…)
由于T＝，t＝t′
解得ω＝2π(n＝0，1，2，3，…)。
(2)根据公式T＝
解得T＝(n＝0，1，2，3，…)
当n取0时，周期最大，最大值Tmax＝4。
答案：(1)2π(n＝0，1，2，3，…)
(2)(n＝0，1，2，3，…)　4(共28张PPT)
第4节　课后达标检测
√
题组1　车辆转弯问题
1．一汽车在水平地面上以恒定速率行驶，汽车通过如图所示的a、b、c三处时的向心力(　　)
A．FaFb>Fc
C．Fa>Fc>Fb D．Fa＝Fb＝Fc
√
2．摩托车沿水平的圆弧弯道以不变的速率转弯，则它　(　　)
A．受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用
B．所受的地面作用力恰好与重力平衡
C．所受的合力可能不变
D．所受的合力始终变化
解析：摩托车沿圆弧弯道以不变的速率行驶时，受到重力、弹力和摩擦力的作用，向心力是合力的效果，不是实际受力，故A错误；地面的作用力是摩擦力和支持力的合力，方向不沿竖直方向，故与重力不平衡，故B错误；摩托车做匀速圆周运动，合力方向始终指向圆心，所以所受合力始终变化，故C错误，D正确。
√
题组2　汽车过桥问题与航天器中的失重现象
3．(多选)图为一汽车(质量一定)通过凹形桥(曲率半径一定)最低点时的示意图，下列判断正确的是(　　)
A．汽车的角速度越大，对桥底的压力越大
B．汽车的速度越大，对桥底的压力越小
C．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越大
D．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越小
√
√
4．(多选)关于绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船，下列说法正确的是(　　)
A．在飞船内可以用天平测量物体的质量
B．在飞船内可以用水银气压计测舱内的气压
C．在飞船内可以用弹簧测力计测拉力
D．在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为零，但重物仍受地球的引力
√
解析：飞船内物体处于完全失重状态，此时放在天平上的物体对天平的压力为零，因此不能用天平测物体的质量，故A错误；同理水银也不会产生压力，故水银气压计也不能使用，故B错误；弹簧测力计测拉力遵从胡克定律，拉力的大小与弹簧伸长量成正比，故C正确；物体处于完全失重状态时并不是不受重力，而是重力提供了物体做圆周运动的向心力，故D正确。
√
5．对汽车通过拱形桥的测试是检验汽车性能的一个方面，拱形桥位于同一圆周上，如图所示。某次测试中汽车匀速率通过拱形桥，对该过程的说法正确的是(　　)
A．汽车运动的加速度保持不变
B．汽车运动的向心力大小保持不变
C.桥面对汽车的支持力先减小后增大
D．汽车过桥的过程中处于超重状态
√
6．某游乐场里的过山车示意图如图所示，若过山车经过A、B两点的速率相同，则过山车(　　)
A．在A点时处于失重状态
B．在B点时处于超重状态
C．A点的向心加速度小于B点的向心加速度
D．在B点时乘客对座椅的压力可能为零
√
题组3　离心运动
7．一摩托车比赛转弯时的情形如图所示。转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析：摩托车只受重力、地面支持力和地面摩擦力的作用，没有离心力，A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，则说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，C、D错误。
√
8．(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，它的示意图如图所示，试管中先装水，再加入粉笔末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔末沉淀在试管的底端，则(　　)
A．旋转越快，试管的高度越低
B．粉笔末向试管底部运动是一种离心现象
C．旋转越快，粉笔末的沉淀现象越明显
D．旋转越快，粉笔末的沉淀现象越不明显
√
解析：对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为α，则提供的向心力为mg tan α，当转速增大时，需要的向心力增大，故角度α增大，管越高，A错误；离心沉淀器是一种离心设备，不同的物质混合，当离心沉淀器工作时，会发生离心现象，B正确；转速越快，离心运动越剧烈，粉笔末沉淀现象越明显，C正确，D错误。
9．(2025·天津南开区期中)钢架雪车是一项精彩刺激的冬奥会比赛项目，运动员从起跑区推动雪车起跑后俯卧在雪车上，经出发区、滑行区和减速区等一系列直道、弯道后到达终点，用时少者获胜。图(a)是比赛中一名运动员通过滑行区某弯道时的照片。假设可视为质点的运动员和车的总质量为m，其在弯道P处做水平面内圆周运动可简化为如图(b)所示的模型，车在P处的速率为v，弯道表面与水平面成θ角，此时车相对弯道无侧向滑动，不计摩擦阻力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
√
√
√
11．(12分)现有一辆质量m＝9 000 kg的轿车，行驶在沥青铺设的公路上，g取10 m/s2。
(1)如果汽车在公路的水平弯道上以30 m/s的速度转弯，轮胎与地面间的径向最大静摩擦力为车重的0.6，若要汽车不向外发生侧滑，弯道的最小半径是多少？(4分)
答案：150 m　
(2)如果汽车驶过半径R′＝90 m的一段凸形桥面
①若汽车以20 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(4分)
②若汽车在过最高点时不能脱离桥面，则汽车的速度不能超过多少？(4分)
答案：①5×104 N　②30 m/s
12．(12分)高速列车转弯时可认为是在水平面做圆周运动。为了让列车顺利转弯，同时避免车轮和铁轨受损，在修建铁路时会让外轨高于内轨，选择合适的内外轨高度差，以使列车以规定速度转弯时所需要的向心力完全由重力和支持力的合力来提供，如图所示。已知某段弯道内外轨道的倾角为θ，弯道的半径为R，重力加速度为g。
(1)若质量为m的一高速列车以规定速度通过上述弯道时，求该列车对轨道的压力大小。(6分)
(2)若列车在弯道上行驶的速度大于规定速度，将会出现什么现象或造成什么后果？(请写出三条)(6分)
解析：①铁轨对车轮的摩擦力增大；
②将会出现外侧车轮的轮缘对外轨有侧向挤压力(或外轨对外侧车轮的轮缘有侧向挤压力)；
③可能造成车轮和铁轨受损(变形)，甚至出现列车脱轨，造成财产损失和人员伤亡的严重后果。
答案：见解析(共25张PPT)
专题提升课3　课后达标检测
√
√
√
3．(多选)如图所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s。g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6 N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6 N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N
√
√
√
5．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过轨道最高点而不脱离轨道的最小速度是v，重力加速度为g，则当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是(　　)
A．0　　　　　　　　 　 B．3mg
C．5mg D．8mg
√
√
√
√
8．(2025·广东佛山市期末)如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)。它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为0，则B球的速度大小vB为(g取10 m/s2)(　　)
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
√
√
11．(14分)(2025·天津滨海新区期中)如图，一个质量为0.6 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出， 恰好从光滑圆弧ABC的A 点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力， 进入圆弧时无机械能损失)。已知圆弧的半径 R＝0.3 m，θ＝60°，小球到达A 点时的速度 v＝4 m/s。(g取10 m/s2)求：
(1)小球做平抛运动的初速度大小v0；(4分)
解析：小球恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，则小球到A点的速度与水平方向的夹角为θ，所以
v0＝vx＝v cos θ＝2 m/s。
答案：2 m/s　
(2)P点与A点的竖直高度；(4分)
答案：0.6 m　
(3)若小球到达圆弧最高点C时的速度vC＝2 m/s，则小球在最高点C时对轨道的压力。(6分)
答案：2 N，方向竖直向上(共25张PPT)
第2节 第2课时　课后达标检测
√
题组1　向心力
1．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，小球A紧贴内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A.小球受到重力、弹力和向心力
B．小球受到的弹力大于小球所受的重力
C．小球受到的合力等于零
D．小球受到的弹力小于小球的向心力
解析：小球受重力、弹力两个力的作用，受力分析如图所示，两力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可知，小球受到的弹力大于小球所受的重力，也大于小球的向心力。
√
2．(2023·全国甲卷，T17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
√
√
4．如图所示，运动员双手握住柄环，站在投掷圈后缘，经过预摆和3～4圈连续加速旋转，最后用力将链球掷出。整个过程可简化为圆周运动和斜抛运动，忽略链条质量和空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．链球圆周运动过程中，钢绳的拉力提供向心力
B．链球圆周运动过程中受到重力、拉力和向心力
C．链球掷出后运动到最高点时合外力不为零
D．链球掷出后运动到最高点时速度为零
解析：链球圆周运动过程中受到重力、拉力，拉力和重力的合力提供两方面的效果，一是径向的合力提供向心力，切向的合力提供切向力，故A、B错误；松手后链球做斜抛运动，在最高点时，有水平方向的速度，速度不为零，仍受重力作用，合外力不为零，故C正确，D错误。
√
5．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是(　　)
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析：物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，如图所示，重力G与静摩擦力F平衡，即G＝F，则静摩擦力不变，且与物体的角速度无关，因为支持力FN提供向心力，即FN＝mrω2，所以当圆筒的角速度ω增大以后，需要的向心力变大，则物体所受弹力FN增大。
√
题组2　变速圆周运动和一般曲线运动
6．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是(　　)
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
√
解析：分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图。如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。
√
7．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时两悬线的拉力之比FB∶FA为(g取10 m/s2)(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
√
8．滚筒洗衣机脱水时，衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动。滚筒截面如图所示，A、B为滚筒的最高点和最低点，O为转轴，则脱水过程中　(　　)
A．滚筒对衣物作用力大小恒定
B．滚筒对衣物作用力始终指向转轴
C．衣物到B点时处于失重状态
D．衣物到B点时脱水效果更好
√
9．(多选) 一名运动员骑自行车沿如图所示的水平轨道运动，其中abc为一段圆弧轨道，自行车上的码表示数一直为72 km/h，运动员及自行车可视为质点，则(　　)
A．自行车的速度一直保持不变
B．自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向
C．整个过程中，自行车与轨道间的摩擦力方向始终与运动方向相反
D．自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向不可能沿圆弧的切线方向
√
解析：沿圆弧轨道abc运动时，速度大小不变，但方向一直沿切线方向在改变，故速度在变，故A错误；曲线运动某点的速度方向沿该点的切线方向，故自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向，故B正确；自行车沿圆弧轨道abc运动时，摩擦力提供向心力，指向圆心，故C错误；自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向指向圆弧的圆心，故D正确。
√
11．工厂中的行车示意图如图所示。钢丝绳悬点O到所吊铸件重心P的距离为3 m，铸件质量为2 t，行车以3 m/s 的速度匀速行驶，重力加速度g取10 m/s2。当行车突然停止运动时，钢丝绳受到的拉力为(　　)
A．2.6×104 N B．2.0×104 N
C．1.4×104 N D．3.9×104 N
√
12．(8分)做匀速圆周运动的物体，质量为1 kg，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，物体做匀速圆周运动时，求：
(1)线速度的大小；(4分)
答案：10 m/s　
(2)向心力的大小。(4分)
答案：5 N
13．(12分)如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动。

已知小球质量m＝0.40 kg，线速度大小v＝1.0 m/s，细线长L＝0.25 m。
(1)求小球的角速度大小ω。(4分)
答案：4.0 rad/s　
(2)求细线对小球的拉力大小F。(4分)
答案：1.6 N　
(3)若细线最大能承受6.4 N的拉力，求小球运行的最大线速度。(4分)
答案：2.0 m/sINCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
1．如图所示，摩天轮悬挂的座舱在竖直平面内做匀速圆周运动。座舱的质量为m，运动半径为R，角速度大小为ω，重力加速度为g，则座舱(　　)
A．运动周期为
B．线速度始终保持不变
C．受摩天轮作用力的大小始终为mg
D．所受合力的大小始终为mω2R
解析：选D。由角速度与周期的关系可知T＝，A错误；由线速度与角速度关系公式可得v＝ωR，可知线速度大小不变，可方向时刻改变，B错误；座舱做匀速圆周运动，由向心力公式可得，其合力大小F＝mω2R，座舱所受合力提供向心力，即重力与摩天轮对座舱的作用力的合力提供向心力，因此座舱受摩天轮作用力的大小不是mg，C错误，D正确。
2．图甲所示是某游客玩“泼水成冰”游戏的瞬间，其示意图如图乙所示。泼水过程中杯子的运动可看成匀速圆周运动，人的手臂伸直，在0.5 s内带动杯子旋转了180°，人的臂长约为0.7 m。下列说法不正确的是(　　)
A．杯子在旋转时的线速度大小为1.4π m/s
B．杯子在旋转时的角速度大小为2π rad/s
C．泼水时杯子的旋转方向为逆时针方向
D．P位置飞出的小水珠加速度沿2方向
解析：选D。由题意可得，杯子圆周运动的周期为1.0 s，半径为0.7 m，杯子的线速度v＝＝1.4π m/s，故A正确；角速度ω＝＝2π rad/s，故B正确；由题图中的轨迹可知，杯子中的水沿逆时针方向，所以杯子的旋转方向为逆时针，故C正确；因为水珠在杯中可看成做匀速圆周运动，则在P点小水珠的加速度方向指向圆心，与2方向垂直，故D错误。
3．(多选)如图所示，长0.5 m的轻质细杆，一端固定有一个质量为3 kg的小球，另一端由电动机带动，使杆绕O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球的速率为2 m/s。g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．小球通过最高点时，对杆的拉力大小是6 N
B．小球通过最高点时，对杆的压力大小是6 N
C．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是24 N
D．小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N
解析：选BD。设在最高点杆表现为拉力，则有F＋mg＝m，得F＝－6 N，则杆表现为支持力，大小为6 N，根据牛顿第三定律可知小球对杆表现为压力，大小为 6 N，A错误，B正确；在最低点，杆表现为拉力，有F－mg＝m，得F＝54 N，根据牛顿第三定律可知小球通过最低点时，对杆的拉力大小是54 N，C错误，D正确。
4．如图所示，在竖直平面内的圆形轨道半径为r，质量为m的小物块以速度v通过轨道的最高点P。已知重力加速度为g，则小物块在P点受到轨道对它的压力大小为(　　)
A．m　　　　　 　　 B．m－mg
C．mg－m D．m＋mg
解析：选B。在P点由牛顿第二定律可知mg＋F＝m，解得F＝m－mg，B正确。
5．质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过轨道最高点而不脱离轨道的最小速度是v，重力加速度为g，则当小球以3v的速度经过最高点时，对轨道压力的大小是(　　)
A．0　　　　　　　　 　 B．3mg
C．5mg D．8mg
解析：选D。当小球经过内轨道最高点时不脱离轨道的最小速度是v，此时小球仅受重力，重力充当向心力，有mg＝m；当小球以速度3v经过内轨道最高点时，小球受重力G和向下的弹力FN，合外力充当向心力，有mg＋FN＝m；又由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力与轨道对小球的弹力相等，FN′＝FN；由以上三式得，FN′＝8mg，D正确。
6．(多选)(2025·云南曲靖市期末)如图甲所示，小球用不可伸长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内做圆周运动，小球经过最高点时的速度大小为v，此时绳子的拉力大小为FT，拉力FT与速度的平方v2的关系图像如图乙所示。图像中的数据a和b，包括重力加速度g都为已知量，假设小球质量为m，圆周轨迹半径为r，则以下说法正确的是(　　)
A．a＝2gr
B．b＝mg
C．＝
D．利用数据a、b和g能够求出小球的质量和圆周轨迹半径
解析：选BD。在最高点时由牛顿第二定律可知FT＋mg＝m，解得FT＝v2－mg，当FT＝0时，a＝v2＝gr，当v2＝2a时，b＝FT＝mg，可得＝，小球的质量m＝，圆周轨迹半径r＝。
7．(2025·内蒙古呼和浩特市期中)如图所示，质量为m的小球(可视为质点)，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列说法正确的是　(　　)
A．小球能够到达最高点时的最小速度为0
B．小球能够通过最高点时的最小速度为
C．如果小球在最低点时的速度大小为5，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为6mg
D．如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg
解析：选A。圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，A正确，B错误； 如果小球在最低点时的速度大小为5，根据牛顿第二定律得FN1－mg＝m，解得FN1＝26mg，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为26mg，C错误；如果小球在最高点时的速度大小为2，根据牛顿第二定律得FN2＋mg＝m eq \f(v,R)，解得FN2＝3mg，则此时小球对管道的外壁的作用力为3mg，D错误。
8．(2025·广东佛山市期末)如图所示，质量为1.6 kg、半径为0.5 m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平面内，小球A和B(均可视为质点)的直径略小于细圆管的内径(内径远小于细圆管半径)。它们的质量分别为mA＝1 kg、mB＝2 kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低点和最高点，且A的速度大小vA＝3 m/s，此时杆对圆管的弹力为0，则B球的速度大小vB为(g取10 m/s2)(　　)
A．2 m/s B．4 m/s
C．6 m/s D．8 m/s
解析：选B。对A分析，根据牛顿第二定律有FA－mAg＝mA eq \f(v,r)，可得圆管对小球A的弹力FA＝28 N，方向向上，则小球A对圆管的弹力F1＝FA＝28 N，方向向下，对圆管分析，则有F2＝F1＋m管g，解得小球B对圆管的弹力F2＝44 N，方向向上，则圆管对小球B的弹力FB＝F2＝44 N，方向向下，对小球B分析，有FB＋mBg＝mB eq \f(v,r)，解得小球B的速度vB＝4 m/s。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
9．(2025·河北邯郸市期末)如图所示，桌面上放置一内壁光滑的固定竖直圆环轨道，质量为M，半径为R。可视为质点的小球在轨道内做圆周运动，其质量为m。小球在轨道最高点的速度大小为v0，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　)
A．当v0＝时，轨道对小球无支持力
B．当v0＝时，轨道对桌面的压力为(M－m)g
C.小球做圆周运动的过程中，合外力提供向心力
D．小球在最高点时处于超重状态
解析：选B。当v0＝时，对小球受力分析，得mg＋FNm＝m eq \f(v,R)＝2mg，得FNm＝mg，根据牛顿第三定律，小球对圆环的作用力与圆环对小球的作用力大小相等、方向相反，对圆环轨道受力分析，得FNM＋FNm′＝Mg，则FNM＝(M－m)g，同理，由牛顿第三定律可知，轨道对桌面的压力为(M－m)g，A错误，B正确；小球做变速圆周运动，在小球运动的过程中，除最高点和最低点合外力提供向心力，其他位置都是合外力的分力提供向心力， C错误；小球在最高点时加速度向下，则处于失重状态，D错误。
10．(2025·福建宁德市期末)如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为r的圆周运动。小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点时的速度大小为v，其FN－v2图像如图乙所示，重力加速度g取10 m/s2，小球可视为质点，不计一切阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．小球的质量为2 kg
B．小球做圆周运动的半径为2.5 m
C．v2＝2v时，在最高点杆对小球的弹力大小为40 N
D．v2＝v时，小球的向心加速度大小为10 m/s2
解析：选B。由题图乙知，当v2＝0时，对小球有mg＝FN＝10 N，解得小球的质量m＝1 kg，故A错误；当v2＝25 m2·s-2时，FN＝0，根据牛顿第二定律有mg＝m，解得小球做圆周运动的半径r＝2.5 m，故B正确；由题图乙可知，当v2＝v时，FN＝10 N，根据牛顿第二定律有FN＋mg＝m eq \f(v,r)，解得v＝50 m2·s-2，当v2＝2v时，根据牛顿第二定律有FN′＋mg＝m，解得此时杆对小球的弹力大小FN′＝30 N，故C错误；当v2＝v时，小球的向心加速度大小an＝ eq \f(v,r)＝20 m/s2，故D错误。
11．(14分)(2025·天津滨海新区期中)如图，一个质量为0.6 kg的小球以某一初速度从P点水平抛出， 恰好从光滑圆弧ABC的A 点的切线方向进入圆弧(不计空气阻力， 进入圆弧时无机械能损失)。已知圆弧的半径 R＝0.3 m，θ＝60°，小球到达A 点时的速度 v＝4 m/s。(g取10 m/s2)求：
(1)小球做平抛运动的初速度大小v0；(4分)
(2)P点与A点的竖直高度；(4分)
(3)若小球到达圆弧最高点C时的速度vC＝2 m/s，则小球在最高点C时对轨道的压力。(6分)
解析：(1)小球恰好从光滑圆弧ABC的A点的切线方向进入圆弧，则小球到A点的速度与水平方向的夹角为θ，所以
v0＝vx＝v cos θ＝2 m/s。
(2)小球到A点的竖直分速度
vy＝v sin θ＝2 m/s
由平抛运动规律得
v＝2gh
解得P点与A点的竖直高度h＝0.6 m。
(3)C点时，由圆周运动向心力公式得
FNC＋mg＝m eq \f(v,R)
代入数据得FNC＝2 N
根据牛顿第三定律，小球对轨道的压力大小
FNC′＝FNC＝2 N
方向竖直向上。
答案：(1)2 m/s　(2)0.6 m　(3)2 N，方向竖直向上第4节　生活中的圆周运动
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象，了解其向心力来源。　2.通过向心力公式的推导，分析汽车过拱形桥和凹形路面时的受力以及航天器中的失重现象。　3.通过观察洗衣机的脱水筒分析离心运动，掌握物体做离心运动的条件。　4.观察生活中的离心现象，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害。
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、火车转弯
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上在做圆周运动，因而具有向心加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的向心力。
2．火车转弯时向心力的来源分析
(1)若转弯时内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，火车的向心力由外轨对车轮轮缘的弹力提供(如图甲所示)，由于火车的质量很大，转弯所需的向心力很大，铁轨和车轮极易受损。
　　　
(2)若转弯时外轨略高于内轨，根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当调整内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力由重力G和支持力FN的合力提供，从而减轻外轨与轮缘的挤压，如图乙所示。
二、汽车过拱形桥
1．汽车过拱形桥
汽车在拱形桥最高点时，如图甲所示，向心力F＝G－FN＝，汽车对桥的压力FN′＝FN＝G－，故汽车在拱形桥上运动时，对桥的压力小于汽车所受的重力。
2．汽车过凹形路面
汽车在凹形路面最低点时，如图乙所示，向心力F＝FN－G＝，汽车对地面的压力FN′＝FN＝G＋，故汽车在凹形路面上运动时，对地面的压力大于汽车所受的重力。
三、航天器中的失重现象
1．向心力分析：航天员受到的地球引力与座舱对他的支持力的合力提供向心力，mg－FN＝m，所以FN＝mg－m。
2．完全失重状态：当v＝时，座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于完全失重状态。
四、离心运动
1．定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或逐渐远离圆心的运动。
2．原因：向心力突然消失或合力不足以提供所需的向心力。
3．离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的脱水桶；离心制管技术。
(2)防止：汽车在公路转弯处必须限速行驶；转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确。
(1)火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小。(　　)
(2)火车转弯时的向心力一定是由重力与铁轨支持力的合力提供的。(　　)
(3)汽车驶过拱形桥最高点，对桥的压力可能等于零。(　　)
(4)汽车过拱形桥或凹形路面时，向心加速度的方向都是竖直向上的。(　　)
(5)航天器中处于完全失重状态的物体不受重力作用。(　　)
(6)做圆周运动的物体突然失去向心力时沿切线方向远离圆心。(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×　(6)√
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　车辆转弯问题
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．火车转弯时的运动是圆周运动，分析火车的运动回答下列问题：
(1)如果轨道是水平的，那么火车转弯时受到哪些力的作用？需要的向心力由谁来提供？
(2)靠这种方式使火车转弯有哪些危害？如何改进？
2．摩托车在平直公路转弯和火车转弯，它们的共同点是什么？提供向心力的方式一样吗？
[提示]　1.(1)火车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和外轨对火车的弹力作用，外轨对火车的弹力提供火车转弯所需的向心力。
(2)对确定的弯道，火车转弯时速度越大，需要的向心力越大，容易造成对外轨的损坏，甚至造成火车脱轨。可以把弯道处建成外高内低的斜面，由重力和支持力的合力提供向心力。
2．摩托车在平直公路转弯和火车转弯都需要向心力，摩托车转弯时摩擦力可以提供向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设置特别的轨道，由重力和支持力的合力提供向心力。
　
1．火车转弯问题
(1)火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力。
(2)转弯轨道受力与火车速度的关系
①若火车转弯时，火车所受支持力与重力的合力提供向心力，如图甲所示，有mg tan θ＝m eq \f(v,R)，则v0＝，其中R为弯道半径，θ为轨道平面与水平面的夹角，v0为转弯处的规定速度。此时，内外轨道对火车均无侧向挤压作用。
②若火车行驶速度v0＞，则外轨对轮缘有侧压力。
③若火车行驶速度v0＜，则内轨对轮缘有侧压力。
2．汽车转弯问题
(1)水平地面上转弯
汽车、摩托车和自行车在水平地面上转弯，其向心力都是由地面的摩擦力提供的，受力分析如图乙所示，这时重力和地面对车的支持力平衡，当Ff达到最大时，即有Ffmax＝μmg＝m eq \f(v,R)，所以车辆转弯的安全速度v≤vmax＝。
(2)外高内低斜面式弯道转弯
此种情况与火车垫高外轨的情境类似，车辆转弯时所需向心力由重力mg和支持力FN的合力F合提供，如图丙所示。由F合＝mg tan θ＝ eq \f(mv,R)可得规定速度v0＝。若车速v＞，车轮受到沿斜面向下的摩擦力作用；若车速v＜，车轮受到沿斜面向上的摩擦力作用。
角度1　火车转弯问题
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)在修筑铁路时，弯道处的外轨会略高于内轨。其简意图如图所示，当火车以规定的行驶速度转弯时，内、外轨均不会受到轮缘的挤压，设此时的速度大小为v，重力加速度为g，两轨所在面的倾角为θ，则(　　)
A．该弯道的半径r＝
B．当火车质量改变时，规定的行驶速度大小不变
C．当火车速率大于v时，内轨将受到轮缘的挤压
D．当火车速率小于v时，外轨将受到轮缘的挤压
[解析]　火车拐弯时不侧向挤压车轮轮缘，靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得mgtan θ＝m，解得r＝，v＝，可知火车规定的行驶速度与质量无关，A、B正确；当火车速率大于v时，重力和支持力的合力不够提供向心力，此时外轨对火车有侧压力，轮缘挤压外轨，C错误；当火车速率小于v时，重力和支持力的合力大于所需的向心力，此时内轨对火车有侧压力，轮缘挤压内轨，D错误。
[答案]　AB
角度2 　汽车转弯问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　为了使汽车快速安全通过弯道，高速公路转弯处的路面通常设计成外侧高、内侧低。已知某高速公路转弯处是一圆弧，圆弧半径r＝850 m，路面的倾角θ＝6°(tan 6°＝0.105)，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，则在该弯道处(　　)
A．汽车受到重力、支持力和向心力
B．汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力
C．当汽车速度等于120 km/h时，汽车会受到平行于路面指向弯道内侧的摩擦力
D．若汽车速度小于60 km/h，汽车会向内侧滑动
[解析]　汽车受到重力、支持力和摩擦力，这些力的合力提供向心力，故A错误；汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力和摩擦力的合力的水平分力，故B错误；结合上述，对汽车进行分析有mg tan θ＝m，解得v≈30 m/s＝108 km/h，当速度大于108 km/h时，汽车会受到沿路面指向内侧的摩擦力，故C正确；根据题中给出的数据可知mg sin θ<μmg cos θ，所以无论汽车以什么速度过弯道都不会向内侧滑动，故D错误。
[答案]　C
角度3　其他转弯问题
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　骑行是一项深受人们热爱的运动，如图是场地自行车比赛的圆形赛道。路面与水平面的夹角为13.5°，圆周的半径为60 m，某运动员骑自行车在该赛道上做匀速圆周运动。已知sin 13.5°＝0.233，tan 13.5°＝0.240，g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．该运动员在骑行过程中，所受合外力为零
B．该运动员在骑行过程中，所受合外力沿路面向下
C.若该运动员以12 m/s的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力
D．若该运动员以 m/s的速度骑行，则其不受路面给的侧向摩擦力
[解析]　该运动员在骑行过程中在该赛道上做匀速圆周运动，所受的合外力提供向心力，指向圆心，故A、B错误；当其不受路面给的侧向摩擦力时，重力和路面的支持力提供向心力，有mg tan 13.5°＝m，得v＝＝12 m/s，故C正确，D错误。
[答案]　C
知识点二　汽车过桥问题与航天器中的失重现象
1．汽车过桥问题
(1)向心力来源
汽车通过拱形桥最高点和凹形路面最低点时，在竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力。
(2)压力的分析与讨论
若汽车质量为m，桥面圆弧半径为R，汽车在最高点或最低点速率为v，则
比较项目 汽车过拱形桥 汽车过凹形路面
受力分析
指向圆心为正方向 G－FN＝mFN＝G－m FN－G＝mFN＝G＋m
牛顿第三定律 F压＝FN＝G－m F压＝FN＝G＋m
讨论 v增大，F压减小；当v增大到 时，F压＝0 v增大，F压增大
2.航天器中的失重现象：绕地球做圆周运动的卫星、飞船、空间站均可看作完全失重状态。
(1)质量为M的航天器在近地轨道运行时，航天器所受的重力提供向心力，满足关系：Mg＝M，则v＝。
(2)质量为m的航天员所受的重力和座舱对航天员的支持力的合力提供向心力，满足关系：mg－FN＝。当v＝ 时，FN＝0，即航天员处于完全失重状态。
(3)航天器在轨做匀速圆周运动时，其内部的任何物体都可看作处于完全失重状态。
角度1　汽车过桥问题
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·陕西西安市期中)如图所示，一辆质量为m的汽车先过一段凹形桥，再过一段拱形桥，M、N分别为桥的最低点和最高点，且汽车通过M、N两点时的速度均不为0。汽车在通过两种桥面的过程中均未脱离桥面，下列说法正确的是(　　)
A．汽车通过M点时处于失重状态
B．汽车通过M点时的加速度可能为0
C.汽车通过N点时，无论速度多大，对桥面始终有压力
D．汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小
[解析]　汽车通过M点时，根据牛顿第二定律可知FN－mg＝ma＝m，加速度方向竖直向上，故此时汽车处于超重状态，由于汽车通过M、N两点时的速度均不为0，故汽车加速度大小不为0，故A、B错误；汽车通过N点时，根据牛顿第二定律可知mg－FN＝m，若mg＝m，即v＝时，此时桥面对汽车的支持力为0，根据牛顿第三定律可知，此时汽车对桥面的压力为0，故C错误；根据牛顿第三定律可知，桥面对汽车的支持力等于汽车对桥面的压力，由上述可知FM压＝mg＋m，FN压＝mg－m，故汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小，故D正确。
[答案]　D
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P39第4题】有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m的拱桥，不考虑空气阻力，g取10 m/s2。(地球半径约为6 400 km)
(1)汽车到达桥顶时速度为5 m/s，汽车对桥的压力是多大？
(2)汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？
(3)汽车对地面的压力过小是不安全的。从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？
(4)如果拱桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？
[解析]　(1)如图所示，汽车在桥顶部做圆周运动，重力mg和支持力FN的合力提供向心力，即mg－FN＝m
汽车所受支持力FN＝mg－m＝7.6×103 N
根据牛顿第三定律，汽车对桥顶的压力大小也是7.6×103 N。
(2)根据题意，当汽车对桥顶没有压力，即FN＝0时，对应的速度v＝＝ m/s≈22.4 m/s≈80.6 km/h。
(3)汽车在桥顶部做圆周运动，重力mg和支持力FN的合力提供向心力，即mg－FN＝m
汽车所受支持力FN＝mg－m
对于相同的行驶速度，拱桥圆弧半径越大，桥面所受压力越大，汽车行驶越安全。
(4)根据第(2)问的结论，对应的速度v＝＝ m/s＝8×103 m/s＝8 km/s。
[答案]　(1)7.6×103 N　(2)80.6 km/h　(3)半径越大越安全　(4)8 km/s
角度2　航天器中的失重问题
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　天宫课堂中航天员的手摇离心机可简化为如图在空间站中手摇小瓶做匀速圆周运动的模型，假设小瓶(包括小瓶中的油和水)的质量为m，P为小瓶的重心，细线的长度为L(忽略小瓶的大小)，小瓶在t时间内转动了n圈，当小瓶转动到竖直平面内最高点时，细线中的拉力为(　　)
A．　 B．
C． D．
[解析]　小瓶转动的周期T＝，根据牛顿第二定律可得细线的拉力大小F＝mL＝。
[答案]　C
知识点三　离心运动
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受什么力？
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
(3)物体做离心运动的条件是什么？
[提示]　(1)重力和空气阻力。
(2)旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体受到的合力不足以提供所需的向心力。
　
1．物体做离心运动的原因：提供向心力的合外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力。
注意：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际上并不存在。
2．合外力与向心力的关系(如图所示)
(1)若F合＝mrω2或F合＝，则物体做匀速圆周运动，即“提供”满足“需要”。
(2)若F合＞mrω2或F合＞，则物体做半径变小的近心运动，即“提供过度”，也就是“提供”大于“需要”。
(3)若0＜F合＜mrω2或0＜F合＜，则合外力不足以将物体拉回到原轨道上，物体做离心运动，即“需要”大于“提供”或“提供不足”。
(4)若F合＝0，则物体做直线运动。
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)滚筒洗衣机里衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果。滚筒截面如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．衣物运动到最低点B点时处于超重状态
B．衣物和水都做离心运动
C．衣物运动到最高点A时脱水效果更好
D．衣物运动到最低点B时脱水效果更好
[解析]　衣物运动到最低点B时，加速度指向圆心，竖直向上，处于超重状态，故A正确；衣物受到筒的支持力和重力，做圆周运动，水所受合力不足以提供其做圆周运动的向心力，水做离心运动，故B错误；根据牛顿第二定律可知，在最低点有FN1－mg＝m，在最高点有FN2＋mg＝m，则FN1＞FN2，衣物运动到最低点B时脱水效果更好，故C错误，D正确。
[答案]　AD
INCLUDEPICTURE "例8LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../例8LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则(　　)
A．杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B．杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心
C．杯子离转盘中心越近越容易做离心运动
D．若给杯子中加水，则杯子更容易做离心运动
[解析]　杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力，向心力不是杯子的实际受力，故A错误；杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故B正确；因杯子做匀速圆周运动，则有Ff＝mω2r，杯子离转盘中心越近，所需摩擦力越小，不会达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误；根据Ff＝mω2r≤μmg可知，给杯子中加水，杯子并不会更容易做离心运动，故D错误。
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(车辆转弯问题)如图所示，一汽车正在道路上转弯，弯道处的路面是倾斜的且与水平面所成夹角为θ。汽车在该弯道处以10 m/s的速率转弯时，沿倾斜路面恰好没有上、下滑动的趋势。已知汽车在弯道上做圆周运动的半径为40 m，重力加速度取10 m/s2，则tan θ的值为(　　)
A．　　　　　　　　 　 B．
C． D．
解析：选A。对汽车根据牛顿第二定律得Fn＝m，同时有tan θ＝，代入数值联立解得tan θ＝。
2．(车辆转弯问题)如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，路面外高内低，当轿车行驶的速率为vc时，轿车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)
A．有质量更大的卡车经过时，与轿车相比，vc的值变小
B．路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
C．车速高于vc时，车辆就会向外侧滑动
D．车速高于vc，但不超出某一最高限度时，车辆不会向外侧滑动
解析：选D。由题可知，轿车在该弯道处受力如图所示，根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝ eq \f(mv,R)，解得vc＝，可知质量更大的卡车经过时，与轿车相比，vc的值不变；路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值不变，故A、B错误。车速高于vc时，重力和支持力的合力不足以提供向心力，车辆有向外侧滑动的趋势，车辆受到指向内侧的静摩擦力，所以只要速度不超出最高限度，车辆不会向外侧滑动，故C错误，D正确。
3．(汽车过桥问题与航天器中的失重现象)用模拟实验来研究汽车通过拱形桥的最高点时对桥面的压力的装置如图所示。在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是(　　)
A．玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B．玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些
C．玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D．玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小
解析：选D。玩具车通过拱桥顶端时处于失重状态，速度越大示数越小，故D正确。
4．(离心运动)如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是(　　)
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
解析：选A。若F突然消失，则小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误。(共26张PPT)
第3节　课后达标检测
√
题组1　向心加速度的理解
1．下列关于向心加速度的说法正确的是(　　)
A．向心加速度越大，物体速率变化得越快
B．向心加速度的大小与轨道半径成反比
C．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
√
2．下列给出的四个运动中，加速度一定发生变化的是　(　　)
A．曲线运动 B．平抛运动
C．自由落体运动 D．匀速圆周运动
解析：曲线运动可能是匀变速曲线运动，则曲线运动的加速度可能不变，故A错误；平抛运动和自由落体运动的加速度均为重力加速度，恒定不变，故B、C错误；匀速圆周运动的加速度大小相等，方向时刻发生变化，则加速度一定发生变化，故D正确。
√
√
√
√
5．“旋转纽扣”是一种传统游戏。如图，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现。拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50 r/s，此时纽扣上距离中心1 cm处的点向心加速度大小约为(　　)
A．10 m/s2 B. 100 m/s2
C．1 000 m/s2 D．10 000 m/s2
解析：纽扣上各点绕其中心做圆周运动的角速度相等，已知n＝50 r/s，则an＝ω2r＝(2πn)2r＝4×π2×502×1×10-2 m/s2≈1×103 m/s2，C正确。
√
解析：两球绕同一轴转动，则角速度相等，即小球A的角速度为ω，A错误；小球B的线速度v＝2ωL，B错误；小球A的向心加速度aA＝ω2L，C正确；小球B的向心加速度aB＝ω2·2L＝2ω2L，D错误。　
√
7．如图所示，一个圆盘在水平面内匀速转动，盘面上有两个小物块A、B，它们到圆盘中心的距离分别为r和2r，它们随圆盘一起匀速转动，关于小物块A、B各物理量之比正确的是(　　)
A．角速度之比ωA∶ωB＝1∶1
B．周期之比TA∶TB＝1∶2
C．线速度之比vA∶vB＝1∶1
D．向心加速度之比aA∶aB＝2∶1
√
8．如图所示，走时准确的时钟，分针与秒针由转动轴到针尖的长度之比是3∶4，则下列说法正确的是(　　)
A．分针与秒针的角速度之比为12∶1
B．分针与秒针的周期之比为1∶60
C．分针针尖与秒针针尖的线速度大小之比为1∶80　
D．分针针尖与秒针针尖的向心加速度大小之比为1∶480
√
√
10．(多选)(2025·河北秦皇岛市期末)大型游乐装置“大摆锤”的简图如图所示，摆锤a和配重锤b分别固定在摆臂两端，并可绕摆臂上的转轴O在纸面内转动。若a、b到O的距离之比为2∶1，在摆臂匀速转动的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．a、b的线速度大小之比为2∶1
B．a、b的角速度大小之比为1∶2
C．a、b的向心加速度大小之比为2∶1
D．a、b的向心加速度大小之比为1∶4
√
解析：a、b两点同轴转动，所以角速度相等，根据v＝ωr，可得a、b的线速度大小之比va∶vb＝ra∶rb＝2∶1，根据a＝ω2r，可得a、b的向心加速度大小之比aa∶ab＝ra∶rb＝2∶1。
11．(2025·江西萍乡市期末)进入冬季后，北方的冰雪运动吸引了许多南方游客。如图为雪地转转游戏，人乘坐雪圈(尺寸大小忽略不计)绕轴以2 rad/s的角速度在水平雪地上做匀速圆周运动。已知绳子悬挂在离地高为3 m、半径为3 m的水平转盘的边缘，且绳子长为5 m。运动时，绳与水平杆垂直，则雪圈(含人)(　　)
A．线速度大小为8 m/s
B．线速度大小为14 m/s
C．加速度大小为16 m/s2
D．加速度大小为20 m/s2
√
12．(多选)如图所示，有一个很大的圆形餐桌，水平桌面中间嵌着一可绕中心轴O转动的圆盘，圆盘上A处放一质量为m的菜盘，B处放一质量为0.5m的菜盘，OA＝2OB，圆盘匀速转动，两菜盘均视为质点且不打滑。下列说法正确的是(　　)
A．A、B两处菜盘的周期之比为1∶2
B．A、B两处菜盘的线速度大小之比为2∶1
C．A、B两处菜盘的向心加速度大小之比为4∶1
D．A、B两处菜盘受到的静摩擦力大小之比为4∶1　
√
√
13．(8分)如图所示，轮O1、O3固定在同一转轴上，轮O1、O2用皮带连接且不打滑。在O1、O2、O3三个轮的边缘各取一点，分别为A、B、C，已知三个轮的半径之比r1∶r2∶r3＝2∶1∶1。求：
(1)A、B、C三点的角速度之比ωA∶ωB∶ωC；(4分)　
解析：A、C同轴转动，角速度相等，A、B两点靠皮带传动，线速度大小相等，根据v＝rω，有
ωA∶ωB＝r2∶r1＝1∶2
所以A、B、C三点的角速度之比
ωA∶ωB∶ωC＝1∶2∶1。
答案：1∶2∶1　
(2)A、B、C三点的向心加速度大小之比aA∶aB∶aC。(4分)
解析：A、B两点靠皮带传动，线速度大小相等，A、C同轴转动，角速度相等，根据v＝rω，有
vA∶vC＝r1∶r3＝2∶1
所以A、B、C三点的线速度大小之比
vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
根据an＝vω，可知A、B、C三点的加速度大小之比
aA∶aB∶aC＝2∶4∶1。
答案：2∶4∶1(共20张PPT)
第1节　课后达标检测
√
1．(2024·江苏扬州学业考试)一个小孩坐在游乐场的旋转木马上，绕中心轴在水平面内做匀速圆周运动。圆周的半径为4.0 m，当他的线速度为2.0 m/s时，他的角速度ω为(　　)
A．0.5 rad/s　　　　 B．1 rad/s
C．2 rad/s D．8 rad/s
√
√
√
√
5．脚踏自行车的传动装置简化图如图所示，各轮的转轴均固定且相互平行，甲、乙两轮同轴且无相对转动。已知甲、乙、丙三轮的半径之比为1∶10∶4，传动链条在各轮转动中不打滑，则当丙转一圈时，乙转过的圈数为(　　)
A．1 B．2 C．2.5 D．4
√
6．如图所示的是一皮带传动装置，右轮的半径为r，左轮的半径为2r，a、b分别是两轮边缘上的点，c是左轮轮盘上的一点，它到左轮中心的距离为r。若在传动过程中，皮带不打滑，则(　　)
A．a点与b点的周期相等
B．a点与b点的角速度大小相等
C．a点与c点的线速度大小相等
D．b点与c点的周期相等
√
7．(2025·河北石家庄市期末)如图所示，地球可看成一个质量分布均匀的球体，地球上的物体均随地球自转做匀速圆周运动。已知石家庄的纬度约为37°，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，则位于赤道和石家庄的物体P、Q随地球自转的角速度、线速度之比分别为(　　)
A．1∶1，5∶3 B．1∶1，5∶4
C．5∶3，1∶1 D．5∶4，1∶1
解析：物体P、Q随地球自转，则物体P、Q的角速度相等；根据v＝ωr，可得物体P、Q的线速度大小之比vP∶vQ＝rP∶rQ＝R∶R cos 37°＝5∶4。
√
8．明代出版的《天工开物》一书中记载：“其湖池不流水，或以牛力转盘，或聚数人踏转。”并附有牛力齿轮翻车的图画如图所示，翻车通过齿轮传动，将湖水翻入农田。已知A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，B、C齿轮同轴，若A、B、C三齿轮半径的大小关系为rA>rB>rC，则(　　)
A．齿轮A的角速度比齿轮C的角速度大
B．齿轮A、B的角速度大小相等
C．齿轮B、C边缘的线速度大小相等
D．齿轮A边缘的线速度比齿轮C边缘的线速度大
解析：根据题意可知，A、B齿轮啮合且齿轮之间不打滑，则齿轮A、B边缘的线速度大小相等，由v＝ωr可知，由于rA>rB则有ωA<ωB，由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，则有ωA<ωB＝ωC，故A、B错误；由于B、C齿轮同轴，齿轮B、C的角速度大小相等，由v＝ωr可知，由于rB>rC，则有vB>vC，可得vA＝vB>vC，故C错误，D正确。
√
9．如图所示的传动装置，皮带轮O和O′上有三点A、B、C，O 和O′半径之比为 1∶4，C 是O′上某半径的中点，则皮带轮转动时，关于A、B、C三点的线速度、角速度之比，正确的是(　　)
A．ωA ∶ ωB ∶ωC＝4 ∶ 2 ∶ 1
B．ωA ∶ ωB ∶ ωC＝ 2 ∶ 2 ∶ 1
C．vA∶vB∶vC＝4∶2∶1
D．vA∶vB∶vC＝2∶2∶1
解析：根据传动装置的特点可知，A、B两点的线速度大小相等，即vA＝vB，根据v＝ωr，可得 ωA∶ωB＝rB∶rA＝4∶1，又因为共轴转动特点，可知B、C 两点的角速度相等，即ωB＝ωC，根据v＝ωr，可得 vB∶vC＝rB∶rC＝2∶1，综上可得vA∶vB∶vC＝2∶2∶1，ωA∶ωB∶ωC＝4∶1∶1。
√
√
11．(12分)如图所示，小球Q在竖直平面内逆时针做匀速圆周运动，当Q球转到与O在同一水平线上时，有另一小球P从距圆周最高点h处开始自由下落，要使两球在圆周最高点相碰，重力加速度为g。求：
(1)Q球转动的角速度ω；(6分)
(2)Q球做匀速圆周运动的周期及其最大值。(6分)　INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2025·湖南长沙市期末)在“探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系”的实验中。
(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时主要用到的方法是________。
A．理想实验法　　　　　 B．等效替代法
C．控制变量法 D．演绎法
(2)如图所示，A、B都为质量相同的钢球，图中所示是在研究向心力的大小Fn与________的关系。
A．质量m　　　B．角速度ω　　　C．半径r
(3)如图所示，若图中标尺上黑白相间的等分格显示出两个小球所受向心力的比值为1∶4，由圆周运动知识可以判断与皮带连接的变速轮塔相对应的半径之比为__________。
解析：(1)在研究向心力的大小Fn与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时，由于可变量较多，因此主要用到的方法是控制变量法。
(2)由题图可知，A、B为质量相同的钢球，两球都分别放在转动半径相同的位置上，因此实验是在研究向心力的大小Fn与角速度ω的关系。
(3)实验显示出两个小球所受向心力的比为1∶4，由向心力公式可得mωrA∶mωrB＝1∶4，其中rA＝rB，解得ωA∶ωB＝1∶2，由于两塔轮是皮带传动，则两轮边缘的线速度大小相等，则有ωARA∶ωBRB＝1∶1，可得RA∶RB＝2∶1。
答案：(1)C　(2)B　(3)2∶1
2．(2025·安徽蚌埠市期中)如图所示为向心力演示器，用来探究小球做圆周运动所需向心力F的大小与质量m、角速度ω、轨道半径r之间的关系，当皮带分别套在两边塔轮(从上往下数)第一层、第二层和第三层时，左、右两塔轮角速度之比分别为1∶1、1∶2、1∶3，小球在A、B、C处绕转轴转动时的半径比为1∶2∶1。
(1)当探究向心力大小与半径的关系时，应将皮带置于________(选填“第一层”“第二层”或“第三层”)，将两个相同的小球分别置于__________和________处(后两空用图中A、B、C表示)。
(2)当探究向心力大小与角速度的关系时，应将两个相同的小球分别置于________和________处(用图中A、B、C表示)。若将皮带置于第二层，则左、右套筒露出的格数之比应为________。
解析：(1)根据控制变量法，当探究向心力大小与半径的关系时，应控制角速度不变，故将皮带置于第一层；转动半径不同，故将两个相同的小球分别置于B和C处。
(2)当探究向心力大小与角速度的关系时，应控制半径一样，故应将两个相同的小球分别置于A和C处；若将皮带置于第二层，则两个相同的小球受到的向心力之比F1∶F2＝ωr∶ωr＝ω∶ω＝1∶4，故左、右套筒露出的格数之比应为1∶4。
答案：(1)第一层　B　C　(2)A　C　1∶4
3．某同学用如图所示的装置探究物体做圆周运动的向心力大小与半径、线速度、质量的关系。用一根细线系住钢球，另一端连接在固定于铁架台上端的力传感器上，直径为d的钢球静止于A点，将光电门固定在A的正下方。钢球底部竖直地粘住一片宽度为x的遮光条。
(1)用天平测出钢球质量，用刻度尺测出摆线长度。
(2)将钢球拉至不同位置由静止释放，读出钢球经过A点时力传感器的读数F及光电门的遮光时间t，算出钢球速度的平方值，具体数据见下表：
项目 1 2 3 4 5
F/N 0.124 0.143 0.162 0.181 0.200
v2/(m2·s-2) 2.0 4.0 5.8 8.0 10.1
请在下面的坐标图中，画出F－v2的关系图像。
(3)由图像可知，钢球所受的重力为________N。
(4)若图线的斜率为k，钢球质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式为_________________(用所给物理量的符号表示)。
(5)某同学通过进一步学习知道了向心力的公式，发现实验中使用公式m求得钢球经过A点的向心力比测量得到的向心力大，你认为产生误差的主要原因是________________________________________________________________________________________________________________________________________________。
解析：(2)画出F－v2的关系图像如图所示。
(3)根据F－mg＝m，整理有F＝mg＋v2
由上述式子，结合图像可知，图线的纵截距为钢球所受的重力，即mg＝0.104 N。
(4)由之前的分析可知图像的解析式为F＝mg＋v2，若图线的斜率为k，钢球的质量为m，重力加速度为g，则F与v2的关系式可改写为F＝kv2＋mg。
(5)产生误差的主要原因是光电门测出的是遮光条通过时的速度，大于钢球球心通过最低点的速度，即速度测大了。
答案：(2)见解析图　(3)0.104　(4)F＝kv2＋mg
(5)光电门测出的是遮光条通过时的速度，大于钢球球心通过最低点的速度专题提升课4　水平面和斜面内的圆周运动
INCLUDEPICTURE "专题深度剖析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
微专题一　水平面内的圆周运动
角度1　水平面内圆周运动特点
1．运动轨迹是水平面内的圆。
2．合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　如图所示，质量分别为3m、m的小球A、B固定在长L的轻杆两端，轻杆置于水平桌面上可绕中心O转动，不计阻力。当轻杆以角速度ω匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．转轴所受杆的弹力方向指向B球
B．两球所需要的向心力大小不相等
C．转轴所受杆的弹力大小为2mω2L
D．保持转动角速度不变，任一球的质量增大，转轴所受杆的拉力增大
[解析]　对于A球而言，有FA＝3mω2·，方向指向圆心，对于B球而言，有FB＝mω2·，方向也指向圆心，两球的向心力是不相等的，则对于O点，转轴所受弹力的大小F＝FA－FB＝mω2L，方向指向A，故当A球质量增大时，转轴受到杆的弹力增大，B球质量增大时，转轴受到杆的弹力减小，故A、C、D错误，B正确。
[答案]　B
角度2　与摩擦力有关的临界问题
1．物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦力提供向心力，则有F＝，静摩擦力的方向一定指向圆心。
2．如果除摩擦力外还有其他力，如绳两端连接物体，其中一个物体竖直悬挂，另外一个物体在水平面内做匀速圆周运动，此时存在一个恰不向内滑动的临界条件和一个恰不向外滑动的临界条件，静摩擦力达到最大且静摩擦力的方向分别为沿半径背离圆心和沿半径指向圆心。
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速转动，A、B间的动摩擦因数μA大于圆盘与B间的动摩擦因数μB，则下列说法正确的是(　　)
A．A、B都有沿切线方向向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C．圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．缓慢增加圆盘转动的角速度，A可能从B上滑出
[解析]　A、B所受静摩擦力指向圆心，则两物体都有沿半径方向向外滑动的趋势，A错误；根据F向＝mω2r可知，B运动所需的向心力等于A运动所需的向心力，B错误；对AB整体分析fB＝2mω2r，对A分析fA＝mω2r，即圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍，C正确；AB整体将要发生滑动时，μB·2mg＝2mωr，当A将要发生滑动时，μA·mg＝mωr，因为μA>μB，则ω2>ω1，即缓慢增加圆盘转动角速度，B先滑动，D错误。
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(多选)(2025·湖南邵阳市期末)如图所示，A、B两个材料相同的物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量为m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，两物体始终相对盘静止，则(　　)
A．A与B的线速度大小之比为2∶1
B．A与B的角速度之比为1∶1
C．A与B的向心加速度大小之比为1∶1
D．在转盘转速增加时，A比B先开始滑动
[解析]　A与B的角速度均等于圆盘的角速度，则有ωA∶ωB＝1∶1，根据v＝ωr，可得vA∶vB＝2R∶R＝2∶1，故A、B正确；根据a＝ω2r，可得aA∶aB＝2R∶R＝2∶1，故C错误；由静摩擦力提供向心力可得f＝ma，可得A与B所受摩擦力大小相等，最大静摩擦力fm＝μmg，A的质量小，最大静摩擦力小，所以A比B先滑动，故D正确。
[答案]　ABD
角度3　与弹力有关的临界问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。绳中拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳中拉力恰好为最大承受力等。
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　质量为m的小球由轻绳a和b分别系于一轻质细杆的B点和A点，如图所示。绳a与水平方向成θ角，绳b在水平方向且长为l。当轻杆绕轴AB以角速度ω匀速转动时，小球在水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A．a绳的张力可能为零
B．a绳的张力随角速度的增大而增大
C．当角速度ω＞时，b绳将出现弹力
D．若b绳突然被剪断，则a绳的弹力一定发生变化
[解析]　由于小球所受重力不为零，则a绳的张力不可能为零，b绳的张力可能为零，故A错误；由于a绳的张力在竖直方向的分力等于重力，角θ不变，所以a绳张力不变，b绳的张力随角速度的增大而增大，故B错误；若b绳中的张力为零，设a绳中的张力为F，对小球有，F sin θ＝mg，F cos θ＝mω2l，解得ω＝ ，即当角速度ω＞时，b绳将出现弹力，故C正确；若ω＝ ，则b绳突然被剪断时，a绳的弹力不发生变化，故D错误。
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。
(1)当v1＝ 时，求细线对小球的拉力大小。
(2)当v2＝ 时，求细线对小球的拉力大小。
[解析]　小球离开圆锥面的临界条件为圆锥体对小球的支持力FN＝0
此时对小球受力分析如图甲所示
设此时小球的线速度为v0，则F＝m eq \f(v,r)＝m eq \f(v,Lsin 30°)＝mgtan 30°，解得v0＝ 。
(1)因v1对小球受力分析，如图乙所示
分解得FT′sin 30°－FNcos 30°＝m eq \f(v,Lsin 30°)，FT′cos 30°＋FNsin 30°＝mg，解得FT′＝mg。
(2)因为v2>v0，则小球离开圆锥面，对小球受力分析，如图丙所示
有FT″sin α＝m eq \f(v,Lsin α)，FT″cos α＝mg
解得FT″＝2mg。
[答案]　(1)mg　(2)2mg
微专题二　斜面内的圆周运动
1．常见模型
(1)如图甲所示，静摩擦力控制下的圆周运动
(2)如图乙所示，轻绳控制下的圆周运动
(3)如图丙所示，轻杆控制下的圆周运动
　　
2．分析方法
通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动摩擦力。
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　如图所示，倾角为30°的倾斜圆盘绕垂直于盘面的轴以角速度ω匀速转动，盘面上有一个离转轴距离为r、质量为m的小物体(可视为质点)随圆盘一起转动。PQ、MN是小物体轨迹圆互相垂直的两条直径，P、Q、M、N是圆周上的四个点，且P是轨迹圆上的最高点，Q是轨迹圆上的最低点，则(　　)
A．小物体所受静摩擦力最大值为mω2r＋mg
B．小物体在P点最容易发生滑动
C．在最高点P处，小物体所受静摩擦力一定指向圆心
D．在M处，小物体所受静摩擦力大小mω2r
[解析]　A物体在P点受重力和静摩擦力以及支持力，沿斜面方向的合力提供向心力，所以摩擦力可能背离圆心，也可能指向圆心，所以背离圆心时mg sin 30°－f＝mω2r，解得f＝mg－mω2r，当摩擦力指向圆心时mg sin 30°＋f＝mω2r，解得f＝mω2r－mg，物体在Q点时合力提供向心力，所以摩擦力沿斜面向上，根据牛顿第二定律f－mg sin 30°＝mω2r，解得f＝mω2r＋mg，所以小物体所受静摩擦力最大值为mω2r＋mg，即小物体在Q点最容易发生滑动，故A正确，B、C错误；小物体在M点所受的合力提供向心力，所以f2＝(mω2r)2＋(mg sin 30°)2，解得f＝m，故D错误。
[答案]　A(共53张PPT)
第4节　生活中的圆周运动
学习目标
1．根据所学知识分析生活中的各种圆周运动现象，了解其向心力来源。　2.通过向心力公式的推导，分析汽车过拱形桥和凹形路面时的受力以及航天器中的失重现象。　3.通过观察洗衣机的脱水筒分析离心运动，掌握物体做离心运动的条件。　4.观察生活中的离心现象，了解其在生活中的应用，并知道离心运动所带来的危害。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、火车转弯
1．火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上在做__________，因而具有_____加速度，由于其质量巨大，所以需要很大的向心力。
圆周运动
向心
2．火车转弯时向心力的来源分析
(1)若转弯时内外轨一样高，火车转弯时，外侧车轮的轮缘挤压外轨，火车的向心力由外轨对车轮轮缘的_____提供(如图甲所示)，由于火车的质量很大，转弯所需的向心力很大，铁轨和车轮极易受损。
弹力
(2)若转弯时外轨略高于内轨，根据转弯处轨道的半径和规定的行驶速度，适当调整内外轨的高度差，使转弯时所需的向心力由__________和__________的合力提供，从而减轻外轨与轮缘的挤压，如图乙所示。
重力G
支持力FN
G－FN
小于
大于
mg－FN
2．完全失重状态：当v＝_____时，座舱对航天员的支持力FN＝0，航天员处于__________状态。
完全失重
四、离心运动
1．定义：做圆周运动的物体沿切线飞出或__________圆心的运动。
2．原因：向心力突然_____或合力不足以提供__________。
3．离心运动的应用和防止
(1)应用：离心干燥器；洗衣机的_____；离心制管技术。
(2)防止：汽车在公路转弯处必须__________；转动的砂轮、飞轮的转速不能太高。
逐渐远离
消失
所需的向心力
脱水桶
限速行驶
判断下列说法是否正确。
(1)火车弯道的半径很大，故火车转弯需要的向心力很小。(　　)
(2)火车转弯时的向心力一定是由重力与铁轨支持力的合力提供的。(　　)
(3)汽车驶过拱形桥最高点，对桥的压力可能等于零。(　　)
(4)汽车过拱形桥或凹形路面时，向心加速度的方向都是竖直向上的。(　　)
(5)航天器中处于完全失重状态的物体不受重力作用。(　　)
(6)做圆周运动的物体突然失去向心力时沿切线方向远离圆心。(　　)
×　
√
×　
×　
√
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　车辆转弯问题
1．火车转弯时的运动是圆周运动，分析火车的运动回答下列问题：
(1)如果轨道是水平的，那么火车转弯时受到哪些力的作用？需要的向心力由谁来提供？
[提示]　火车受重力、支持力、牵引力、摩擦力和外轨对火车的弹力作用，外轨对火车的弹力提供火车转弯所需的向心力。
(2)靠这种方式使火车转弯有哪些危害？如何改进？
[提示]　对确定的弯道，火车转弯时速度越大，需要的向心力越大，容易造成对外轨的损坏，甚至造成火车脱轨。可以把弯道处建成外高内低的斜面，由重力和支持力的合力提供向心力。
2．摩托车在平直公路转弯和火车转弯，它们的共同点是什么？提供向心力的方式一样吗？
[提示]　摩托车在平直公路转弯和火车转弯都需要向心力，摩托车转弯时摩擦力可以提供向心力，火车质量太大，轮缘与外轨间的相互作用力太大，铁轨和车轮极易受损，需要设置特别的轨道，由重力和支持力的合力提供向心力。
1．火车转弯问题
(1)火车在弯道上的运动特点
火车在弯道上运动时实际上是在水平面内做圆周运动，由于其质量巨大，需要很大的向心力。
(2)转弯轨道受力与火车速度的关系
√
√
角度2 　汽车转弯问题
　为了使汽车快速安全通过弯道，高速公路转弯处的路面通常设计成外侧高、内侧低。已知某高速公路转弯处是一圆弧，圆弧半径r＝850 m，路面的倾角θ＝6°(tan 6°＝0.105)，汽车与路面间的动摩擦因数μ＝0.6，则在该弯道处(　　)
A．汽车受到重力、支持力和向心力
B．汽车所需的向心力等于其所受地面的支持力
C．当汽车速度等于120 km/h时，汽车会受到平行于路面指向弯道内侧的摩擦力
D．若汽车速度小于60 km/h，汽车会向内侧滑动
√
√
知识点二　汽车过桥问题与航天器中的失重现象
1．汽车过桥问题
(1)向心力来源
汽车通过拱形桥最高点和凹形路面最低点时，在竖直方向受重力和支持力，其合力提供向心力。
(2)压力的分析与讨论
若汽车质量为m，桥面圆弧半径为R，汽车在最高点或最低点速率为v，则
(3)航天器在轨做匀速圆周运动时，其内部的任何物体都可看作处于完全失重状态。
√
角度1　汽车过桥问题
　 (2025·陕西西安市期中)如图所示，一辆质量为m的汽车先过一段凹形桥，再过一段拱形桥，M、N分别为桥的最低点和最高点，且汽车通过M、N两点时的速度均不为0。汽车在通过两种桥面的过程中均未脱离桥面，下列说法正确的是(　　)
A．汽车通过M点时处于失重状态
B．汽车通过M点时的加速度可能为0
C.汽车通过N点时，无论速度多大，对桥面始终有压力
D．汽车通过N点时对桥面的压力一定比通过M点时对桥面的压力小
　【教材经典P39第4题】有一辆质量为800 kg的小汽车驶上圆弧半径为50 m的拱桥，不考虑空气阻力，g取10 m/s2。(地球半径约为6 400 km)
(1)汽车到达桥顶时速度为5 m/s，汽车对桥的压力是多大？
[答案]　7.6×103 N　
(2)汽车以多大速度经过桥顶时恰好腾空，对桥没有压力？
[答案]　80.6 km/h　
(3)汽车对地面的压力过小是不安全的。从这个角度讲，汽车过桥时的速度不能过大。对于同样的车速，拱桥圆弧的半径大些比较安全，还是小些比较安全？
[答案]　半径越大越安全　
(4)如果拱桥的半径增大到与地球半径R一样，汽车要在桥面上腾空，速度要多大？
[答案]　8 km/s
√
知识点三　离心运动
链球比赛中，高速旋转的链球被放手后会飞出(如图甲所示)；雨天，当你旋转自己的雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘切线飞出(如图乙所示)。
(1)链球飞出后受什么力？
[提示]　重力和空气阻力。
(2)你能说出水滴沿着伞的边缘切线飞出的原因吗？
[提示]　旋转雨伞时，雨滴也随着运动起来，但伞面上的雨滴受到的力不足以提供其做圆周运动的向心力，雨滴由于惯性要保持其原来的速度方向而沿切线方向飞出。
(3)物体做离心运动的条件是什么？
[提示]　物体受到的合力不足以提供所需的向心力。
1．物体做离心运动的原因：提供向心力的合外力突然消失，或者合外力不能提供足够的向心力。
注意：物体做离心运动并不是物体受到离心力作用，而是由于合外力不能提供足够的向心力。所谓“离心力”实际上并不存在。
　(多选)滚筒洗衣机里衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动，以达到脱水的效果。滚筒截面如图所示，下列说法正确的是(　　)
A．衣物运动到最低点B点时处于超重状态
B．衣物和水都做离心运动
C．衣物运动到最高点A时脱水效果更好
D．衣物运动到最低点B时脱水效果更好
√
√
如图所示，一个杯子放在水平餐桌转盘上随转盘做匀速圆周运动，角速度恒定，则(　　)
A．杯子受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B．杯子受到的摩擦力方向始终指向转盘中心
C．杯子离转盘中心越近越容易做离心运动
D．若给杯子中加水，则杯子更容易做离心运动
√
[解析]　杯子受到重力、支持力和摩擦力三个力，向心力不是杯子的实际受力，故A错误；杯子做匀速圆周运动，向心力由摩擦力提供，始终指向转盘中心，故B正确；因杯子做匀速圆周运动，则有Ff＝mω2r，杯子离转盘中心越近，所需摩擦力越小，不会达到最大静摩擦力，越不容易做离心运动，故C错误；根据Ff＝mω2r≤μmg可知，给杯子中加水，杯子并不会更容易做离心运动，故D错误。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
2．(车辆转弯问题)如图所示，某公路急转弯处是一圆弧，路面外高内低，当轿车行驶的速率为vc时，轿车恰好没有向公路内、外两侧滑动的趋势，则在该弯道处(　　)
A．有质量更大的卡车经过时，与轿车相比，vc的值变小
B．路面结冰时，与未结冰时相比，vc的值变小
C．车速高于vc时，车辆就会向外侧滑动
D．车速高于vc，但不超出某一最高限度时，车辆不会向外侧滑动
√
3．(汽车过桥问题与航天器中的失重现象)用模拟实验来研究汽车通过拱形桥的最高点时对桥面的压力的装置如图所示。在较大的平直木板上相隔一定距离钉几个钉子，将三合板弯曲成拱桥形卡入钉子内形成拱形桥，三合板上表面事先铺上一层牛仔布以增加摩擦，这样玩具惯性车就可以在桥面上跑起来了。把这套系统放在电子秤上做实验，关于实验中电子秤的示数，下列说法正确的是(　　)
A．玩具车静止在拱桥顶端时的示数小一些
B．玩具车运动通过拱桥顶端时的示数大一些
C．玩具车运动通过拱桥顶端时处于超重状态
D．玩具车运动通过拱桥顶端时速度越大(未离开拱桥)，示数越小
解析：玩具车通过拱桥顶端时处于失重状态，速度越大示数越小，故D正确。
√
4．(离心运动)如图所示，光滑的水平面上，小球m在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是(　　)
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
√
解析：若F突然消失，则小球所受合力突变为零，将沿切线方向匀速飞出，A正确；若F突然变小不足以提供所需向心力，小球将做逐渐远离圆心的离心运动，B、D错误；若F突然变大，超过了所需向心力，小球将做逐渐靠近圆心的运动，C错误。(共40张PPT)
第3节　向心加速度
学习目标
1．通过实例，理解向心加速度的概念。　2.知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算。　3.了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。　4.能根据问题情境选择合适的向心加速度公式。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、匀速圆周运动的加速度方向
1．匀速圆周运动的速度方向不断改变，一定是变速运动，必定有加速度。
2．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向_____，我们把它叫作向心加速度。
3．向心加速度方向：沿半径指向圆心，与线速度方向_____，且时刻在变化。
圆心
垂直
二、匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度由向心力产生，大小an＝_____＝_____。
2．对于做匀速圆周运动的物体，向心加速度的大小_____。
3．物理意义：描述做圆周运动的物体速度方向改变的快慢。
ω2r
不变
×　
√
×　
√
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　向心加速度的理解
1．图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？
[提示]　具有加速度。
2．做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？
[提示]　从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。
3．除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确定向心加速度的方向？
[提示]　从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方向。
1．向心加速度的理解
匀速圆周运动的速度大小不变，切线方向合力为零，因此匀速圆周运动的加速度就是向心加速度。其大小不变，方向永远与速度垂直，指向圆心。
2．圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
3．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度，向心加速度只改变速度的方向，切向加速度只改变线速度的大小，所以在变速圆周运动中，向心加速度的方向总是指向圆心。
关于圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在变速圆周运动中，向心加速度的方向不指向圆心
[解析]　无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度的方向都时刻指向圆心，故向心加速度不恒定，故A正确，B、C、D错误。
√
(多选)关于圆周运动中的向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的大小变化越快
B．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快
C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
√
√
[解析]　向心加速度是描述做圆周运动的物体线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快，A错误，B正确；向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，C正确；在匀速圆周运动中向心加速度方向不断变化，不是恒量，D错误。
知识点二　向心加速度的计算
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？
[提示]　A、B两个点的线速度大小相同，向心加速度与半径成反比。
(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？
[提示]　B、C两个点的角速度相同，向心加速度与半径成正比。
2．对向心加速度表达式的理解
(1)向心加速度的几种表达式
(2)向心加速度的大小与半径的关系
①当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。
③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。
④an与r的关系图像：如图所示，由an－r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。
(3)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。
模型1　皮带传动模型
　 【教材经典P34第3题】一部机器与电动机通过皮带连接，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍，皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度大小为0.10 m/s2。
(1)电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比n1∶n2是多少？
[解析]　由于皮带与两轮之间不发生滑动，所以两轮边缘上各点的线速度大小相等。设电动机皮带轮与机器皮带轮边缘上质点的线速度大小分别为v1、v2，角速度大小分别为ω1、ω2，边缘上质点运动的半径分别为r1、r2，则v1＝v2，v1＝ω1r1，v2＝ω2r2，又ω＝2πn，所以n1∶n2＝ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1。
[答案]　3∶1　
(2)机器皮带轮上A点到转轴的距离为轮半径的一半，A点的向心加速度大小是多少？
[答案]　0.05 m/s2　
(3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度大小是多少？
[答案]　0.3 m/s2
【教材经典P40第2题改编】如图是一皮带传动装置的示意图。右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，那么下列选项正确的是(　　)
A．A、B、C、D点的角速度之比为2∶1∶2∶1
B．A、B、C、D点的线速度之比为2∶1∶2∶4
C．A、B、C、D点的向心加速度之比为2∶1∶2∶4
D．A点和C点的线速度相同
√
√
模型3　同轴转动模型
　 (2025·广东珠海市期末)如图所示的是一种古老的舂米机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起，然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落。已知OB>OC，则在横梁绕O转动过程中(　　)
A．B、C的向心加速度满足aB>aC B．B、C的角速度关系满足ωB<ωC
C．B、C的角速度关系满足ωB>ωC D．B、C的线速度关系满足vB√
[解析]　B、C同轴转动，角速度关系满足ωB＝ωC，故B、C错误；根据a＝ω2r，由于OB>OC，则B、C的向心加速度满足aB>aC，故A正确；根据v＝ωr，由于OB>OC，则B、C的线速度关系满足vB>vC，故D错误。
(多选)如图所示，地球绕与赤道面垂直的地轴由西向东匀速转动，O为地心。A点和C点位于赤道上，B点与C点位于同一条经线上。以地心O为参考系，记A、B、C三点的线速度大小分别为vA、vB和vC，向心加速度大小分别为aA、aB和aC，绕地轴转动的周期分别为TA、TB和TC，下列说法正确的是(　　)
A．vA＝vC＞vB
B．TA＝TB＞TC
C.aA＝aC＞aB
D．aA、aB和aC的方向均始终指向地心O
√
√
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法错误的是(　　)
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
√
解析：向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，A正确；向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，B正确；物体做匀速圆周运动时，只有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不始终指向圆心，C错误，D正确。
2．(向心加速度的理解)(2025·黑龙江哈尔滨市期末)如图为冬奥会上安置在比赛场地外侧的高速轨道摄像机系统，当运动员加速通过弯道时，摄像机与运动员保持同步运动以获得高清视频。关于摄像机，下列说法正确的是(　　)
A．在弯道上运动的速度不变
B．角速度比运动员在弯道上运动的更大
C．所受合外力的大致方向为F1
D．向心加速度比运动员的向心加速度更小
√
解析：在弯道上运动的速度方向不断变化，则速度不断变化，A错误；摄像机与运动员保持同步运动，则角速度与运动员在弯道上的角速度相同，B错误；运动员加速通过弯道，则摄像机也加速通过弯道，所受合力方向指向轨迹的内侧，且与速度夹角为锐角，则所受合外力的大致方向为F1，C正确；根据a＝ω2r，因角速度相同，而摄像机转弯的半径较大，则摄像机的向心加速度比运动员的向心加速度更大，D错误。
3．(向心加速度的大小)(2025·广东佛山市期末)汽车瞬态工况法尾气检测如图所示，汽车驱动轮与两个半径相同的滚筒接触，车轮与滚筒的半径之比为2∶1，驱动轮按照恒定的转速转动，后轮不动，模拟车辆实际行驶状况，检测尾气，车轮与滚筒之间不打滑，P、Q两点分别处于驱动轮边缘和滚筒边缘，以下说法正确的是(　　)
A．两滚筒的转动方向相反
B．P、Q两点在相同时间内转过的角度相等
C．P、Q两点在相同时间内通过的弧长相等
D．P、Q两点的向心加速度大小之比为2∶1
√第2课时　向心力
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
一、向心力
1．定义：做匀速圆周运动的物体所受的总指向圆心的合力叫作向心力。
2．方向：始终沿半径指向圆心。
3．效果力：它是由某个力或者几个力的合力提供的，是根据力的效果命名的。
二、向心力的大小
表达式：Fn＝m_ω2r＝m。
三、变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
1．做变速圆周运动的物体所受的合力并不严格指向运动轨迹的圆心。合力F可以分解为两个相互垂直的分力：
(1)跟圆周相切的分力Ft，Ft与物体运动的速度方向相同或相反，只改变速度的大小。
(2)指向圆心的分力Fn，Fn与物体运动的速度方向垂直，Fn提供物体做圆周运动所需的向心力，只改变速度的方向。
2．一般曲线运动
(1)定义：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动。
(2)处理方法：一般的曲线运动，可以把曲线分割成许多很短的小段，每一小段可看作一小段圆弧，研究质点在这一小段的运动时， 可以采用圆周运动的分析方法进行处理，如图所示。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力。(　　)
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的。(　　)
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力。(　　)
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心。(　　)
(5)变速圆周运动的向心力大小改变。(　　)
(6)做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变。(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√　(6)√
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
知识点一　向心力
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．自行车转弯时的运动可看作匀速圆周运动，观察此图，思考以下问题：哪个力充当自行车转弯时做圆周运动的向心力？
2．如图所示，汽车正在匀速率转弯，小球正在绳子拉力作用下做匀速圆周运动，请思考：
(1)它们的向心力分别是由什么力提供的？
(2)物体做匀速圆周运动时，它所受的向心力的大小、方向有什么特点？
[提示]　1.地面静摩擦力提供自行车转弯时的向心力。
2．(1)汽车转弯时的向心力由地面的静摩擦力提供，小球的向心力由重力和绳子拉力的合力提供。
(2)大小不变，方向时刻改变。
　
1．向心力的方向：无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力。
2．向心力的作用效果：改变线速度的方向。
3．向心力的来源
(1)向心力是根据力的作用效果命名的，它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供。
(2)物体做匀速圆周运动的条件：合外力大小不变，方向始终与线速度方向垂直且指向圆心。
INCLUDEPICTURE "特别提醒A.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\特别提醒A.TIF" \* MERGEFORMATINET 　向心力不是具有特定性质的某种力，任何性质的力都可以作为向心力，做匀速圆周运动的物体，所受的合力提供向心力。
角度1　对向心力的理解
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　下列关于向心力的说法正确的是(　　)
A．物体由于做圆周运动而产生了向心力
B．向心力就是物体受到的合力
C．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
D．向心力改变做圆周运动的物体的速度方向
[解析]　物体做圆周运动就需要有向心力，向心力是由外界提供的，不是由物体本身产生的，A错误；匀速圆周运动中由合力提供向心力，变速圆周运动中合力与向心力是不同的，B错误；向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，即向心力是变化的，C错误；向心力的方向与速度方向垂直，不改变速度的大小，只改变速度的方向，D正确。
[答案]　D
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　下列关于向心力的叙述不正确的是(　　)
A．向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B．做匀速圆周运动的物体，除了受到别的作用力外，还受到一个向心力的作用
C．向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小
D．向心力可以由某个力来提供，也可以由某几个力的合力来提供，或者由某一个力的分力来提供
[解析]　向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，是一个变力，故A正确，不符合题意；向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以由物体所受的合力提供，也可以由某一个力的分力提供，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，故B错误，符合题意，D正确，不符合题意；向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，所以向心力只改变速度方向，不改变速度大小，故C正确，不符合题意。
[答案]　B
角度2　向心力来源的分析
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　画出各图中物体A的受力示意图，并分析其所受向心力的来源。
[解析]　题图a、题图b、题图c中，向心力由物体所受的重力和绳子拉力的合力提供，也可以认为是由绳子拉力的一个分力提供，拉力的另一个分力与重力平衡；题图d中，向心力由绳子的拉力提供；题图e中，向心力由物体所受的静摩擦力提供；题图f中，向心力由侧壁对物体的支持力提供；题图g中，向心力由物体所受的重力和斜面的支持力的合力提供，也可以认为是由支持力的水平分力提供，其竖直分力与重力平衡；题图h中，向心力由飞机所受的重力和空气对飞机的“推举力”的合力提供，这个“推举力”的本质是弹力，弹力总与接触面垂直，所以飞机机身有一定的倾角；它们的受力示意图如图；通过以上分析可以清楚看到，向心力不是某种性质力，而是由重力、弹力、摩擦力这些性质力的合力或分力来提供。
　
　　　　　　
[答案]　见解析
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(2024·广东卷，T5)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　)
A．r　 B．l
C．r D．l
[解析]　由题意可知当插销刚卡紧固定端盖时弹簧的伸长量Δx＝，根据胡克定律有F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销，由弹力提供向心力有F＝mlω2，对卷轴有v＝rω，联立解得v＝r。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　一个圆盘在水平面内匀速转动，角速度是3 rad/s。盘面上距圆盘中心0.2 m的位置有一个质量为0.1 kg的小物体随圆盘一起做匀速圆周运动，如图所示。已知小物体与盘面间的动摩擦因数为0.5，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10 m/s2。
(1)求小物体的线速度大小。
(2)求小物体的向心力大小。
(3)当圆盘的角速度增加到多大时，小物体会相对于圆盘滑动？
[解析]　(1)小物体的线速度大小
v＝ωr＝3×0.2 m/s＝0.6 m/s。
(2)小物体的向心力大小
F＝mω2r＝0.1×32×0.2 N＝0.18 N。
(3)当小物体刚好相对于圆盘滑动时，最大静摩擦力提供向心力，则有Ffm＝mωr
又Ffm＝μFN＝μmg
联立可得ω1＝＝ rad/s＝5 rad/s。
[答案]　(1)0.6 m/s　(2)0.18 N　(3)5 rad/s
知识点二　变速圆周运动和一般曲线运动
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
荡秋千是小朋友很喜欢的游戏，当秋千由上向下荡时：
(1)小朋友做的是匀速圆周运动还是变速圆周运动？
(2)绳子拉力与重力的合力指向悬挂点吗？运动过程中，公式Fn＝m＝mω2r还适用吗？
[提示]　(1)小朋友做的是变速圆周运动。
(2)小朋友荡到最低点时，绳子拉力与重力的合力指向悬挂点，在其他位置，合力不指向悬挂点。运动过程中公式Fn＝m＝mω2r仍然适用。
　
1．变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合外力不指向圆心，合力F产生改变速度大小和方向两个作用效果。即：
(2)向心力公式：某一点的向心力仍可用Fn＝m＝mω2r公式求解，只不过v、ω都是指那一点的瞬时物理量。
2．一般曲线运动
在分析质点经过曲线上某位置的运动时，把包含该位置的曲线上的一小段看成某个圆周的一部分，对该部分用Fn＝m＝mω2r求解。只是不同位置对应的“圆周运动”的“圆心”和“半径”不同。
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　如图所示，某物体沿光滑圆弧轨道由最高点滑到最低点过程中，物体的速率逐渐增大，则(　　)
A．物体的合外力为零
B．物体的合力大小不变，方向始终指向圆心O
C．物体的合外力就是向心力
D．物体的合力方向始终与其运动方向不垂直(最低点除外)
[解析]　物体做加速曲线运动，合力不为零，A错误；物体做速度大小变化的圆周运动，合力不指向圆心，合力沿半径方向的分力提供向心力，合力沿切线方向的分力使物体速度变大，即除在最低点外，物体的速度方向与合力方向间的夹角为锐角，合力方向与速度方向不垂直，B、C错误，D正确。
[答案]　D
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(向心力)(多选)关于匀速圆周运动的向心力，下列说法正确的是(　　)
A．向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的
B.向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力
C．对稳定的圆周运动，向心力是一个恒力
D．向心力的效果是改变质点的线速度大小和方向
解析：选AB。向心力是指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的，A正确；向心力可以是多个力的合力，也可以是其中的一个力或某一个力的分力，B正确；向心力的方向总是指向圆心，方向不断变化，是一个变力，C错误；向心力的效果是改变质点的线速度方向，不改变线速度的大小，D错误。
2．(向心力来源的分析)如图所示，内壁光滑的锥形圆筒固定在水平地面上，小球沿内壁在某一水平面内做匀速圆周运动，该小球的向心力　(　　)
A．由重力和支持力的合力提供
B．由重力、支持力和摩擦力的合力提供
C．只由重力提供
D．只由支持力提供
解析：选A。圆筒内壁光滑，小球做匀速圆周运动，合力完全提供向心力，因此小球所受重力和支持力的合力来提供向心力。
3．(向心力来源的分析)如图所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面间始终保持相对静止。当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是(　　)
A．两物体受到的摩擦力都增大
B．两物体受到的摩擦力大小都不变
C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D．物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
解析：选D。容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变。以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由Ff＝Fn＝mω2r得其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确。
4．(变速圆周运动)如图，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针)。某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对于圆盘静止。在这段时间内，关于橡皮块所受摩擦力Ff的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是(　　)
解析：选C。因为圆盘转速不断增大，所以橡皮块将随圆盘一起做加速圆周运动，此时摩擦力Ff既要提供指向圆心的向心力，又要提供与运动方向相同的切向力，所以合力方向应该在轨道内侧且与速度方向成锐角，故C正确。
INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\基础对点练.TIF" \* MERGEFORMATINET
题组1　向心力
1．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，小球A紧贴内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A.小球受到重力、弹力和向心力
B．小球受到的弹力大于小球所受的重力
C．小球受到的合力等于零
D．小球受到的弹力小于小球的向心力
解析：选B。小球受重力、弹力两个力的作用，受力分析如图所示，两力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可知，小球受到的弹力大于小球所受的重力，也大于小球的向心力。
2．(2023·全国甲卷，T17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C。质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T＝，合外力提供向心力，有F合＝Fn＝mr，联立可得Fn＝r3，其中为常数，r的指数为3，故题中n＝3。
3．如图所示的是一种新型高速列车，当它转弯时，车厢会自动倾斜，提供转弯需要的向心力；假设这种新型列车以360 km/h的速度在水平面内转弯，弯道半径为1.5 km，则质量为75 kg的乘客在列车转弯过程中所受到的合外力为(　　)
A．0　　　　　　　 　　 B．1 000 N
C．500 N D．500 N
解析：选D。列车拐弯时做圆周运动，乘客所受的合力F合＝m，又360 km/h＝100 m/s，1.5 km＝1 500 m，得F合＝75× N＝500 N。
4．如图所示，运动员双手握住柄环，站在投掷圈后缘，经过预摆和3～4圈连续加速旋转，最后用力将链球掷出。整个过程可简化为圆周运动和斜抛运动，忽略链条质量和空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．链球圆周运动过程中，钢绳的拉力提供向心力
B．链球圆周运动过程中受到重力、拉力和向心力
C．链球掷出后运动到最高点时合外力不为零
D．链球掷出后运动到最高点时速度为零
解析：选C。链球圆周运动过程中受到重力、拉力，拉力和重力的合力提供两方面的效果，一是径向的合力提供向心力，切向的合力提供切向力，故A、B错误；松手后链球做斜抛运动，在最高点时，有水平方向的速度，速度不为零，仍受重力作用，合外力不为零，故C正确，D错误。
5．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是(　　)
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析：选D。物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，如图所示，重力G与静摩擦力F平衡，即G＝F，则静摩擦力不变，且与物体的角速度无关，因为支持力FN提供向心力，即FN＝mrω2，所以当圆筒的角速度ω增大以后，需要的向心力变大，则物体所受弹力FN增大。
题组2　变速圆周运动和一般曲线运动
6．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是(　　)
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
解析：选CD。分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图。如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。
7．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时两悬线的拉力之比FB∶FA为(g取10 m/s2)(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：选C。FB＝mg，FA＝mg＋m＝3mg，所以 FB∶FA＝1∶3。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\综合提升练.TIF" \* MERGEFORMATINET
8．滚筒洗衣机脱水时，衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动。滚筒截面如图所示，A、B为滚筒的最高点和最低点，O为转轴，则脱水过程中　(　　)
A．滚筒对衣物作用力大小恒定
B．滚筒对衣物作用力始终指向转轴
C．衣物到B点时处于失重状态
D．衣物到B点时脱水效果更好
解析：选D。在最低点时有FN1－mg＝，在最高点有FN2＋mg＝，则FN1>FN2，衣物运动到最低点B时脱水效果更好，故A、C错误，D正确；衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动，速度大小不变，以在与转轴等高点为例，衣服受到滚筒水平指向转轴的弹力，竖直方向还受到竖直向上的摩擦力与重力平衡，根据力的合成可知此时滚筒对衣物作用力没有指向转轴，故B错误。
9．(多选) 一名运动员骑自行车沿如图所示的水平轨道运动，其中abc为一段圆弧轨道，自行车上的码表示数一直为72 km/h，运动员及自行车可视为质点，则(　　)
A．自行车的速度一直保持不变
B．自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向
C．整个过程中，自行车与轨道间的摩擦力方向始终与运动方向相反
D．自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向不可能沿圆弧的切线方向
解析：选BD。沿圆弧轨道abc运动时，速度大小不变，但方向一直沿切线方向在改变，故速度在变，故A错误；曲线运动某点的速度方向沿该点的切线方向，故自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向，故B正确；自行车沿圆弧轨道abc运动时，摩擦力提供向心力，指向圆心，故C错误；自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向指向圆弧的圆心，故D正确。
10．一种玩具的结构如图所示，竖直放置的光滑圆环的半径R＝ m，环上有一穿孔的小球m，小球只能沿环做无摩擦的滑动。如果圆环绕着通过环心的竖直轴O1O2以ω＝ rad/s的角速度旋转，则小球相对于环静止时和环心O的连线与O1O2的夹角θ为(g取10 m/s2)(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选A。小球受到重力mg和圆环的支持力FN两个力的作用，两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝mω2Rsin θ，可得cos θ＝＝，故θ＝30°。
11．工厂中的行车示意图如图所示。钢丝绳悬点O到所吊铸件重心P的距离为3 m，铸件质量为2 t，行车以3 m/s 的速度匀速行驶，重力加速度g取10 m/s2。当行车突然停止运动时，钢丝绳受到的拉力为(　　)
A．2.6×104 N B．2.0×104 N
C．1.4×104 N D．3.9×104 N
解析：选A。当行车突然停止运动时，铸件做圆周运动，根据牛顿第二定律有FT－mg＝m，则FT＝mg＋m，代入数据解得FT＝2.6×104 N，根据牛顿第三定律有FT′＝FT＝2.6×104 N。
12．(8分)做匀速圆周运动的物体，质量为1 kg，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，物体做匀速圆周运动时，求：
(1)线速度的大小；(4分)
(2)向心力的大小。(4分)
解析：(1)线速度大小v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)向心力的大小Fn＝＝ N＝5 N。
答案：(1)10 m/s　(2)5 N
13．(12分)如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动。
已知小球质量m＝0.40 kg，线速度大小v＝1.0 m/s，细线长L＝0.25 m。
(1)求小球的角速度大小ω。(4分)
(2)求细线对小球的拉力大小F。(4分)
(3)若细线最大能承受6.4 N的拉力，求小球运行的最大线速度。(4分)
解析：(1)小球的角速度大小
ω＝＝ rad/s＝4.0 rad/s。
(2)细线对小球的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得F＝m＝0.40× N＝1.6 N。
(3)细线对小球的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得F m＝m，解得v m＝ ＝2.0 m/s。
答案：(1)4.0 rad/s　 (2)1.6 N　(3)2.0 m/s
第3节　向心加速度
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．通过实例，理解向心加速度的概念。　2.知道匀速圆周运动中向心加速度大小的表达式，理解向心加速度与半径的关系，并会用来进行简单的计算。　3.了解分析匀速圆周运动速度变化量时用到的极限思想。　4.能根据问题情境选择合适的向心加速度公式。
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
一、匀速圆周运动的加速度方向
1．匀速圆周运动的速度方向不断改变，一定是变速运动，必定有加速度。
2．向心加速度定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，我们把它叫作向心加速度。
3．向心加速度方向：沿半径指向圆心，与线速度方向垂直，且时刻在变化。
二、匀速圆周运动的加速度大小
1．向心加速度由向心力产生，大小an＝＝ω2r。
2．对于做匀速圆周运动的物体，向心加速度的大小不变。
3．物理意义：描述做圆周运动的物体速度方向改变的快慢。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
判断下列说法是否正确。
(1)匀速圆周运动是加速度不变的曲线运动。(　　)
(2)匀速圆周运动的向心加速度的方向始终与速度方向垂直。(　　)
(3)物体做匀速圆周运动时，速度变化量为零。(　　)
(4)匀速圆周运动的向心加速度的方向指向圆心，大小不变。(　　)
(5)变速圆周运动的向心加速度的方向不指向圆心，大小变化。(　　)
(6)根据a＝ 知加速度a与半径r成反比。(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×　(6)×
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
知识点一　向心加速度的理解
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
1．图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？
2．做匀速圆周运动的物体的加速度方向如何确定？你的依据是什么？
3．除了用牛顿第二定律确定向心加速度的方向外，你还有什么方法可确定向心加速度的方向？
[提示]　1.具有加速度。
2．从动力学角度，由牛顿第二定律确定；加速度的方向与合外力方向一致。
3．从运动学角度，利用加速度的方向与速度变化量的方向一致确定加速度方向。
　
1．向心加速度的理解
匀速圆周运动的速度大小不变，切线方向合力为零，因此匀速圆周运动的加速度就是向心加速度。其大小不变，方向永远与速度垂直，指向圆心。
2．圆周运动的性质
不论向心加速度an的大小是否变化，an的方向是时刻改变的，所以圆周运动的向心加速度时刻发生改变，圆周运动一定是非匀变速曲线运动。
3．变速圆周运动的向心加速度
做变速圆周运动的物体，加速度一般不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度，向心加速度只改变速度的方向，切向加速度只改变线速度的大小，所以在变速圆周运动中，向心加速度的方向总是指向圆心。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　关于圆周运动的向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度的方向始终指向圆心
B．向心加速度的方向保持不变
C．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的
D．在变速圆周运动中，向心加速度的方向不指向圆心
[解析]　无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心加速度的方向都时刻指向圆心，故向心加速度不恒定，故A正确，B、C、D错误。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(多选)关于圆周运动中的向心加速度，下列说法正确的是(　　)
A．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的大小变化越快
B．向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快
C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直
D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量
[解析]　向心加速度是描述做圆周运动的物体线速度方向变化快慢的物理量，向心加速度越大，说明做圆周运动的物体线速度的方向变化越快，A错误，B正确；向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直，C正确；在匀速圆周运动中向心加速度方向不断变化，不是恒量，D错误。
[答案]　BC
知识点二　向心加速度的计算
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET )
如图所示，自行车的大齿轮、小齿轮、后轮三个轮子的半径不一样，A、B、C是它们边缘上的三个点，请思考：
(1)A和B两个点的向心加速度与半径有什么关系？
(2)B和C两个点的向心加速度与半径有什么关系？
[提示]　(1)A、B两个点的线速度大小相同，向心加速度与半径成反比。
(2)B、C两个点的角速度相同，向心加速度与半径成正比。
　
1．向心加速度的大小
根据牛顿第二定律F＝ma和向心力表达式Fn＝m可得向心加速度的大小an＝或an＝ω2r。
2．对向心加速度表达式的理解
(1)向心加速度的几种表达式
(2)向心加速度的大小与半径的关系
①当半径一定时，向心加速度的大小与角速度的平方成正比，也与线速度的平方成正比。随频率的增大或周期的减小而增大。
②当角速度一定时，向心加速度与运动半径成正比。
③当线速度一定时，向心加速度与运动半径成反比。
④an与r的关系图像：如图所示，由an－r图像可以看出，an与r成正比还是反比，要看是ω恒定还是v恒定。
(3)向心加速度的公式适用于所有圆周运动的向心加速度的计算，包括非匀速圆周运动，但an与v具有瞬时对应性。
模型1　皮带传动模型
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　【教材经典P34第3题】一部机器与电动机通过皮带连接，机器皮带轮的半径是电动机皮带轮半径的3倍，皮带与两轮之间不发生滑动。已知机器皮带轮边缘上一点的向心加速度大小为0.10 m/s2。
(1)电动机皮带轮与机器皮带轮的转速之比n1∶n2是多少？
(2)机器皮带轮上A点到转轴的距离为轮半径的一半，A点的向心加速度大小是多少？
(3)电动机皮带轮边缘上某点的向心加速度大小是多少？
[解析]　(1)由于皮带与两轮之间不发生滑动，所以两轮边缘上各点的线速度大小相等。设电动机皮带轮与机器皮带轮边缘上质点的线速度大小分别为v1、v2，角速度大小分别为ω1、ω2，边缘上质点运动的半径分别为r1、r2，则v1＝v2，v1＝ω1r1，v2＝ω2r2，又ω＝2πn，所以n1∶n2＝ω1∶ω2＝r2∶r1＝3∶1。
(2)A点的向心加速度anA＝ω×＝0.10× m/s2＝0.05 m/s2。
(3)电动机皮带轮边缘上质点的向心加速度an＝ eq \f(v,r1)＝ eq \f(v,r2)×＝0.1×3 m/s2＝0.3 m/s2。
[答案]　(1)3∶1　(2)0.05 m/s2　(3)0.3 m/s2
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　【教材经典P40第2题改编】如图是一皮带传动装置的示意图。右轮半径为r，A是它边缘上的一点。左侧是一轮轴，大轮半径为4r，小轮半径为2r。B点在小轮上，到小轮中心的距离为r。C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上。如果传动过程中皮带不打滑，那么下列选项正确的是(　　)
A．A、B、C、D点的角速度之比为2∶1∶2∶1
B．A、B、C、D点的线速度之比为2∶1∶2∶4
C．A、B、C、D点的向心加速度之比为2∶1∶2∶4
D．A点和C点的线速度相同
[解析]　A、C点的线速度大小相等，故＝＝；又因为B、C、D点的角速度相等，则A、B、C、D点的角速度之比为2∶1∶1∶1，故A错误。B、C、D点的角速度相等，由v＝ωR得B、C、D点的线速度之比等于半径之比，B、C、D点的线速度之比为1∶2∶4；A、B、C、D点的线速度之比为2∶1∶2∶4，故B正确。由an＝ω2R得，B、C、D点的向心加速度之比等于半径之比，B、C、D点的向心加速度之比为1∶2∶4；由an＝得，A、C点的向心加速度之比为半径的反比，故＝，得A、B、C、D点的向心加速度之比为4∶1∶2∶4，故C错误。A点和C点的线速度大小相等，方向不同，故D错误。
[答案]　B
模型2　齿轮传动模型
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　某变速箱中有甲、乙、丙三个齿轮，如图所示，其半径分别为r1、r2、r3，若甲轮匀速转动的角速度大小为ω，三个轮相互不打滑，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小为(　　)
A． eq \f(rω2,r1)　 B． eq \f(rω2,r3)
C． D． eq \f(rω2,r2)
[解析]　三轮相互不打滑，则三轮边缘上各点线速度大小相同，设为v，由甲轮可知v＝ωr1，则丙轮边缘上各点的向心加速度大小a＝＝ eq \f(rω2,r3)。
[答案]　B
模型3　同轴转动模型
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(2025·广东珠海市期末)如图所示的是一种古老的舂米机。舂米时，稻谷放在石臼A中，横梁可以绕O转动，在横梁前端B处固定一舂米锤，脚踏在横梁另一端C点往下压时，舂米锤便向上抬起，然后提起脚，舂米锤就向下运动，击打A中的稻谷，使稻谷的壳脱落。已知OB>OC，则在横梁绕O转动过程中(　　)
A．B、C的向心加速度满足aB>aC
B．B、C的角速度关系满足ωB<ωC
C．B、C的角速度关系满足ωB>ωC
D．B、C的线速度关系满足vB[解析]　B、C同轴转动，角速度关系满足ωB＝ωC，故B、C错误；根据a＝ω2r，由于OB>OC，则B、C的向心加速度满足aB>aC，故A正确；根据v＝ωr，由于OB>OC，则B、C的线速度关系满足vB>vC，故D错误。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例7LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(多选)如图所示，地球绕与赤道面垂直的地轴由西向东匀速转动，O为地心。A点和C点位于赤道上，B点与C点位于同一条经线上。以地心O为参考系，记A、B、C三点的线速度大小分别为vA、vB和vC，向心加速度大小分别为aA、aB和aC，绕地轴转动的周期分别为TA、TB和TC，下列说法正确的是(　　)
A．vA＝vC＞vB
B．TA＝TB＞TC
C.aA＝aC＞aB
D．aA、aB和aC的方向均始终指向地心O
[解析]　A、B、C三点均随地球绕地轴转动，属于同轴转动，则角速度相同，根据v＝ωr可知vA＝vC＞vB，故A正确；根据T＝可知，周期相同，故B错误；根据a＝ω2r可知aA＝aC＞aB，故C正确；向心加速度指向轨迹圆心，故A、C向心加速度指向地心，B向心加速度不指向地心，故D错误。
[答案]　AC
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
1．(向心加速度的理解)下列关于向心加速度的说法错误的是(　　)
A．向心加速度的方向始终与速度方向垂直
B．向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小
C．物体做圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
D．物体做匀速圆周运动时的加速度方向始终指向圆心
解析：选C。向心加速度的方向沿半径指向圆心，速度方向则沿圆周的切线方向，向心加速度的方向始终与速度方向垂直，A正确；向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小，B正确；物体做匀速圆周运动时，只有向心加速度，加速度方向始终指向圆心，物体做变速圆周运动时，加速度的方向并不始终指向圆心，C错误，D正确。
2．(向心加速度的理解)(2025·黑龙江哈尔滨市期末)如图为冬奥会上安置在比赛场地外侧的高速轨道摄像机系统，当运动员加速通过弯道时，摄像机与运动员保持同步运动以获得高清视频。关于摄像机，下列说法正确的是(　　)
A．在弯道上运动的速度不变
B．角速度比运动员在弯道上运动的更大
C．所受合外力的大致方向为F1
D．向心加速度比运动员的向心加速度更小
解析：选C。在弯道上运动的速度方向不断变化，则速度不断变化，A错误；摄像机与运动员保持同步运动，则角速度与运动员在弯道上的角速度相同，B错误；运动员加速通过弯道，则摄像机也加速通过弯道，所受合力方向指向轨迹的内侧，且与速度夹角为锐角，则所受合外力的大致方向为F1，C正确；根据a＝ω2r，因角速度相同，而摄像机转弯的半径较大，则摄像机的向心加速度比运动员的向心加速度更大，D错误。
3．(向心加速度的大小)(2025·广东佛山市期末)汽车瞬态工况法尾气检测如图所示，汽车驱动轮与两个半径相同的滚筒接触，车轮与滚筒的半径之比为2∶1，驱动轮按照恒定的转速转动，后轮不动，模拟车辆实际行驶状况，检测尾气，车轮与滚筒之间不打滑，P、Q两点分别处于驱动轮边缘和滚筒边缘，以下说法正确的是(　　)
A．两滚筒的转动方向相反
B．P、Q两点在相同时间内转过的角度相等
C．P、Q两点在相同时间内通过的弧长相等
D．P、Q两点的向心加速度大小之比为2∶1
解析：选C。驱动轮沿顺时针方向运动，根据静摩擦力方向可知右侧滚轮逆时针运动，同理左侧滚轮逆时针运动，故A错误；P、Q两点同缘传动，可知两点的线速度大小相等，即相等时间内两点通过的弧长相等，因车轮与滚筒的半径不同，所以转过的角度不同，故B错误，C正确；根据a＝，可知P、Q两点的向心加速度大小之比aP∶aQ＝1∶2，故D错误。(共46张PPT)
第六章 圆周运动
第1节　圆周运动
学习目标
1．理解线速度、角速度、转速、周期等概念，会对它们进行定量计算。　2.知道线速度、角速度、周期之间的关系。　3.理解匀速圆周运动的概念和特点。　4.会分析常见传动装置中各物理量间的关系。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、线速度
1．定义：物体做圆周运动通过的______与所用______的比值。
2．定义式：v＝______。
3．标矢性：线速度是______，其方向为物体做圆周运动时该点的______方向。
4．物理意义：描述做圆周运动的物体沿着圆弧运动的快慢的物理量。
弧长
时间
矢量
切线
5．匀速圆周运动
(1)定义：线速度的大小处处______的圆周运动。
(2)性质：线速度的方向是时刻变化的，所以匀速圆周运动是一种______运动。
相等
变速
二、角速度
1．定义：做曲线运动的物体在Δt时间内由A运动到B，半径OA在这段时间内转过的角Δθ与所用时间Δt之比叫作角速度。
2．定义式：ω＝______。
3．单位：弧度每秒，符号是______或rad·s-1，在运算中，角速度的单位可以写为______。
4．物理意义：描述做圆周运动的物体绕圆心转动的快慢的物理量。
5．匀速圆周运动的角速度：匀速圆周运动是角速度______的圆周运动。
rad/s
s-1
不变
三、周期
1．周期：做匀速圆周运动的物体，运动一周所用的时间，用T表示，国际单位制单位为秒(s)。
2．转速：物体转动的圈数与所用时间之比，常用n表示，单位为_________或转每分(r/min)。
转每秒(r/s)
四、线速度与角速度的关系
1．两者关系：在圆周运动中，线速度的大小等于角速度的大小与半径的_________。
2．关系式：_________。
乘积
v＝ωr
判断下列说法是否正确。
(1)做匀速圆周运动的物体，相同时间内位移相同。(　　)
(2)做匀速圆周运动的物体，其所受合外力不为零。(　　)
(3)做匀速圆周运动的物体，其线速度不变。(　　)
(4)做匀速圆周运动的物体，其角速度大小不变。　(　　)
(5)做匀速圆周运动的物体，周期越大，角速度越小。(　　)
(6)匀速圆周运动是一种匀速运动。(　　)
×　
√
×　
√
√
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　圆周运动的物理量及相互关系
如图所示，有一个玩具陀螺，a、b、c是陀螺上的三个点；当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时：
(1)a、b、c三点角速度和周期各有什么关系？
[提示]　ωa＝ωb＝ωc，Ta＝Tb＝Tc。
(2)a、b、c三点做圆周运动的线速度有什么关系？
[提示]　va＝vc＞vb。
1．圆周运动的物理量的理解
(1)线速度：单位时间(1 s内)转过的弧长。
(2)角速度：单位时间(1 s内)转过的圆心角。
(3)周期：转一圈所用的时间。
(4)频率(转速)：单位时间内转过的圈数。
(3)v＝ωr。
汽车在公路上行驶一般不打滑，轮子转一周，汽车向前行驶的距离等于车轮的周长。某国产轿车的车轮半径约为30 cm，当该型号轿车在高速公路上行驶时，驾驶员面前的速率计的指针指在“120 km/h”上，可估算出该车车轮的转速约为(　　)
A．1 000 r/s B．1 000 r/min
C．1 000 r/h D．2 000 r/s
[解析]　由题意知车的速度大小v＝120 km/h≈33.3 m/s，车轮半径约为r＝30 cm＝0.3 m，设转速为n，根据v＝2πrn，代入以上数据得n≈17.7 r/s≈
1 060 r/min。
√
A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，如图所示，在相同的时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，以下说法不正确的是(　　)
A．A、B运动的线速度大小之比为3∶4
B．A、B运动的角速度大小之比为3∶2
C．A、B运动的周期之比为2∶3
D．A、B做圆周运动的半径之比为8∶9
√
如图为车牌自动识别系统的直杆道闸，离地面高为1 m的细直杆可绕O在竖直面内匀速转动。汽车从自动识别线ab处到达直杆处的时间为3.3 s，自动识别系统的反应时间为0.3 s；汽车可看成高1.6 m的长方体，其左侧面底边在aa′直线上，且O到汽车左侧面的距离为0.6 m，要使汽车安全通过道闸，直杆转动的角速度至少为(　　)
√
知识点二　常见传动模型及特点
跷跷板的支点位于板的中点，两个小朋友坐在两端。

讨论：(1)在撬动跷跷板的某一时刻，两个小朋友的线速度的大小关系及角速度的大小关系如何？
[提示]　线速度和角速度大小都相同。
(2)如果跷跷板的支点不在板的中点，那么线速度和角速度的大小关系如何？
[提示]　角速度相同，线速度大小不同。
1．三种传动装置
2.求解思路
(1)分清传动特点：若属于皮带传动或齿轮传动，则轮子边缘各点线速度大小相等；若属于同轴转动，则轮上各点的角速度相等。
(2)确定半径关系：根据装置中各点位置确定半径关系，或根据题意确定半径关系。
模型1　皮带传动模型
　 (多选)如图所示的传动装置中，A轮顺时针转动，并通过皮带带动B轮转动(皮带不打滑)。a、b分别是两轮边缘上的点，它们的线速度大小分别为va、vb，下列判断正确的是(　　)
A．B轮顺时针转动
B．B轮逆时针转动
C．va＝vb
D．va＞vb
√
√
[解析]　由题图可知，B轮的转动方向与A轮转动方向一定是相反的，所以B轮逆时针转动，故A错误，B正确；a点与b点属于同缘传动，所以两点具有相等的线速度，即va＝vb，故C正确，D错误。
模型2　齿轮传动模型
　 在如图所示的齿轮传动中，三个齿轮的半径之比为1∶2∶3，当齿轮转动时，小齿轮边缘的A点和大齿轮边缘的B点(　　)
A．线速度大小之比为1∶3
B．角速度大小之比为3∶1
C．周期之比为1∶1
D．转速之比为1∶3
√
模型3　同轴转动模型
　 如图所示，当用扳手拧螺母时，扳手上的P、Q两点的角速度分别为ωP和ωQ，线速度大小分别为vP和vQ，则(　　)
A．ωP<ωQ，vPB．ωP<ωQ，vP＝vQ
C．ωP＝ωQ，vPD．ωP＝ωQ，vP>vQ
[解析]　由于P、Q两点属于同轴转动，所以P、Q两点的角速度是相等的，即ωP＝ωQ，同时由题图可知Q点到螺母的距离比较大，根据v＝ωr可知Q点的线速度大，即vP＜vQ。
√
模型4　混合传动模型
　 绿色出行，自行车是一种不错的选择。自行车基本原理如图所示，a、b、c分别为链轮、飞轮和后轮上的三个点，已知链轮、飞轮和后轮的半径之比为2∶1∶6，将后轮悬空，匀速转动踏板时，a、b、c三点的(　　)
A．线速度大小之比为6∶6∶1
B．角速度之比为1∶6∶6
C．转速之比为2∶2∶1
D．周期之比为2∶1∶1
√
知识点三　匀速圆周运动及周期性
1．对匀速圆周运动的理解
(1)匀中有变：由于匀速圆周运动是曲线运动，其速度方向沿着圆周的切线方向，所以物体做匀速圆周运动时，速度的方向时刻在变化。
(2)匀速的含义
①速度的大小不变，即速率不变；
②转动快慢不变，即角速度大小不变。
2．匀速圆周运动的周期性
(1)问题特点：匀速圆周运动的多解问题常涉及两个物体的两种不同运动，其中一个是匀速圆周运动，另一个是其他形式的运动。一般处理这类问题时，要把一个物体运动的时间t，与圆周运动的周期T联系起来，才能更快解决问题。
(2)分析技巧
①抓住联系点：明确题中多个物体的运动性质；多个物体参与运动时，虽然每个运动独立进行，但一定有联系点，其联系点一般是时间或位移等。
②先特殊后一般：先考虑第一个周期的情况，再根据运动的周期性，考虑多个周期的规律。
　(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列说法正确的是(　　)
A．相等的时间内通过的路程相等
B．相等的时间内通过的弧长相等
C．相等的时间内通过的位移相等
D．在任何相等的时间里，连接物体和圆心的半径转过的角度都相等
[解析]　匀速圆周运动是指线速度大小不变的圆周运动，因此在相等时间内通过的路程相等，弧长相等，转过的角度也相等，A、B、D正确；相等时间内通过的位移大小相等，方向不一定相同，C错误。
√
√
√
如图所示，直径为d的纸质圆筒，以角速度ω绕中心轴匀速转动，把枪口对准圆筒轴线，使子弹穿过圆筒，结果发现圆筒上只有一个弹孔，忽略子弹重力、圆筒的阻力及空气阻力。
(1)子弹做什么运动？圆筒做什么运动？
[解析]　子弹不受外力，子弹做匀速直线运动；圆筒匀速转动，圆筒做匀速圆周运动。
[答案]　见解析　
(2)为什么圆筒上只有一个弹孔？
[解析]　子弹从进入的弹孔中射出，所以只留下了一个弹孔。
[答案]　见解析　
(3)子弹与圆筒的运动时间有何关系？
(4)子弹的速度v应满足什么条件？
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
√
2．(常见传动模型及特点)如图所示，秒针绕O点转动，A、B为秒针的两个端点。在转动时，A、B的角速度和线速度分别记为ωA、ωB和vA、vB，则(　　)
A.ωA<ωB B．ωA>ωB
C．vAvB
解析：A、B为秒针的两个端点，他们属于同轴转动，故A、B的角速度大小相等，A、B错误；转动过程中，A点的半径小于B的半径，根据线速度与角速度的关系v＝ωr，可得vA√
3．(常见传动模型及特点)如图所示为学生使用的修正带，修正带的核心结构为咬合良好的两个齿轮，大、小齿轮的齿数之比n1∶n2＝k∶1。A、B两点分别位于大、小齿轮的边缘，当使用修正带时，纸带的运动会带动两轮转动，则两轮转动时，A、B两点的(　　)
A．角速度之比为1∶k
B．角速度之比为1∶1
C．线速度大小之比为1∶k
D．转速之比为k∶1
√
√INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\基础对点练.TIF" \* MERGEFORMATINET
题组1　向心力
1．如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，小球A紧贴内壁在图中所示的水平面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是(　　)
A.小球受到重力、弹力和向心力
B．小球受到的弹力大于小球所受的重力
C．小球受到的合力等于零
D．小球受到的弹力小于小球的向心力
解析：选B。小球受重力、弹力两个力的作用，受力分析如图所示，两力的合力提供小球做匀速圆周运动的向心力，由图可知，小球受到的弹力大于小球所受的重力，也大于小球的向心力。
2．(2023·全国甲卷，T17)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C。质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T＝，合外力提供向心力，有F合＝Fn＝mr，联立可得Fn＝r3，其中为常数，r的指数为3，故题中n＝3。
3．如图所示的是一种新型高速列车，当它转弯时，车厢会自动倾斜，提供转弯需要的向心力；假设这种新型列车以360 km/h的速度在水平面内转弯，弯道半径为1.5 km，则质量为75 kg的乘客在列车转弯过程中所受到的合外力为(　　)
A．0　　　　　　　 　　 B．1 000 N
C．500 N D．500 N
解析：选D。列车拐弯时做圆周运动，乘客所受的合力F合＝m，又360 km/h＝100 m/s，1.5 km＝1 500 m，得F合＝75× N＝500 N。
4．如图所示，运动员双手握住柄环，站在投掷圈后缘，经过预摆和3～4圈连续加速旋转，最后用力将链球掷出。整个过程可简化为圆周运动和斜抛运动，忽略链条质量和空气阻力，则下列说法正确的是(　　)
A．链球圆周运动过程中，钢绳的拉力提供向心力
B．链球圆周运动过程中受到重力、拉力和向心力
C．链球掷出后运动到最高点时合外力不为零
D．链球掷出后运动到最高点时速度为零
解析：选C。链球圆周运动过程中受到重力、拉力，拉力和重力的合力提供两方面的效果，一是径向的合力提供向心力，切向的合力提供切向力，故A、B错误；松手后链球做斜抛运动，在最高点时，有水平方向的速度，速度不为零，仍受重力作用，合外力不为零，故C正确，D错误。
5．如图所示，在匀速转动的圆筒内壁上，有一物体随圆筒一起转动而未滑动。当圆筒的角速度增大以后，下列说法正确的是(　　)
A．物体所受弹力增大，摩擦力也增大了
B．物体所受弹力增大，摩擦力减小了
C．物体所受弹力和摩擦力都减小了
D．物体所受弹力增大，摩擦力不变
解析：选D。物体做匀速圆周运动，合力指向圆心，对物体受力分析，受重力、竖直向上的静摩擦力、指向圆心的支持力，如图所示，重力G与静摩擦力F平衡，即G＝F，则静摩擦力不变，且与物体的角速度无关，因为支持力FN提供向心力，即FN＝mrω2，所以当圆筒的角速度ω增大以后，需要的向心力变大，则物体所受弹力FN增大。
题组2　变速圆周运动和一般曲线运动
6．(多选)如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需向心力是(　　)
A．绳的拉力
B．重力和绳拉力的合力
C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力
D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力
解析：选CD。分析向心力来源时就沿着半径方向求合力即可，注意作出正确的受力分析图。如图所示，对小球进行受力分析，它受到重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合力。因此，它可以是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力。
7．如图所示，将完全相同的两小球A、B用长L＝0.8 m的细绳悬于以v＝4 m/s向右匀速运动的小车顶部，两球与小车前后壁接触，由于某种原因，小车突然停止，此时两悬线的拉力之比FB∶FA为(g取10 m/s2)(　　)
A．1∶1 B．1∶2
C．1∶3 D．1∶4
解析：选C。FB＝mg，FA＝mg＋m＝3mg，所以 FB∶FA＝1∶3。
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8．滚筒洗衣机脱水时，衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动。滚筒截面如图所示，A、B为滚筒的最高点和最低点，O为转轴，则脱水过程中　(　　)
A．滚筒对衣物作用力大小恒定
B．滚筒对衣物作用力始终指向转轴
C．衣物到B点时处于失重状态
D．衣物到B点时脱水效果更好
解析：选D。在最低点时有FN1－mg＝，在最高点有FN2＋mg＝，则FN1>FN2，衣物运动到最低点B时脱水效果更好，故A、C错误，D正确；衣物随着滚筒做高速匀速圆周运动，速度大小不变，以在与转轴等高点为例，衣服受到滚筒水平指向转轴的弹力，竖直方向还受到竖直向上的摩擦力与重力平衡，根据力的合成可知此时滚筒对衣物作用力没有指向转轴，故B错误。
9．(多选) 一名运动员骑自行车沿如图所示的水平轨道运动，其中abc为一段圆弧轨道，自行车上的码表示数一直为72 km/h，运动员及自行车可视为质点，则(　　)
A．自行车的速度一直保持不变
B．自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向
C．整个过程中，自行车与轨道间的摩擦力方向始终与运动方向相反
D．自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向不可能沿圆弧的切线方向
解析：选BD。沿圆弧轨道abc运动时，速度大小不变，但方向一直沿切线方向在改变，故速度在变，故A错误；曲线运动某点的速度方向沿该点的切线方向，故自行车沿圆弧轨道abc运动到b点时，速度沿圆弧在该点的切线方向，故B正确；自行车沿圆弧轨道abc运动时，摩擦力提供向心力，指向圆心，故C错误；自行车在圆弧轨道abc上运动时的合力方向指向圆弧的圆心，故D正确。
10．一种玩具的结构如图所示，竖直放置的光滑圆环的半径R＝ m，环上有一穿孔的小球m，小球只能沿环做无摩擦的滑动。如果圆环绕着通过环心的竖直轴O1O2以ω＝ rad/s的角速度旋转，则小球相对于环静止时和环心O的连线与O1O2的夹角θ为(g取10 m/s2)(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
解析：选A。小球受到重力mg和圆环的支持力FN两个力的作用，两个力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有mgtan θ＝mω2Rsin θ，可得cos θ＝＝，故θ＝30°。
11．工厂中的行车示意图如图所示。钢丝绳悬点O到所吊铸件重心P的距离为3 m，铸件质量为2 t，行车以3 m/s 的速度匀速行驶，重力加速度g取10 m/s2。当行车突然停止运动时，钢丝绳受到的拉力为(　　)
A．2.6×104 N B．2.0×104 N
C．1.4×104 N D．3.9×104 N
解析：选A。当行车突然停止运动时，铸件做圆周运动，根据牛顿第二定律有FT－mg＝m，则FT＝mg＋m，代入数据解得FT＝2.6×104 N，根据牛顿第三定律有FT′＝FT＝2.6×104 N。
12．(8分)做匀速圆周运动的物体，质量为1 kg，10 s内沿半径为20 m的圆周运动100 m，物体做匀速圆周运动时，求：
(1)线速度的大小；(4分)
(2)向心力的大小。(4分)
解析：(1)线速度大小v＝＝ m/s＝10 m/s。
(2)向心力的大小Fn＝＝ N＝5 N。
答案：(1)10 m/s　(2)5 N
13．(12分)如图所示，小球通过细线绕圆心O在光滑水平面上做匀速圆周运动。
已知小球质量m＝0.40 kg，线速度大小v＝1.0 m/s，细线长L＝0.25 m。
(1)求小球的角速度大小ω。(4分)
(2)求细线对小球的拉力大小F。(4分)
(3)若细线最大能承受6.4 N的拉力，求小球运行的最大线速度。(4分)
解析：(1)小球的角速度大小
ω＝＝ rad/s＝4.0 rad/s。
(2)细线对小球的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得F＝m＝0.40× N＝1.6 N。
(3)细线对小球的拉力提供向心力，根据牛顿第二定律得F m＝m，解得v m＝ ＝2.0 m/s。
答案：(1)4.0 rad/s　 (2)1.6 N　(3)2.0 m/s专题提升课3　竖直面内的圆周运动
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微专题一　竖直面内的匀速圆周运动
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　【教材经典P42第4题】如图所示，一长为l的轻杆的一端固定在水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做角速度为ω的匀速圆周运动，重力加速度为g。
(1)小球运动到最高点时，求杆对球的作用力。
(2)小球运动到水平位置A时，求杆对球的作用力。
[解析]　(1)因转动的角速度大小未知，故小球在最高点时，杆对球的作用力F1方向不能确定。当F1＝0时则有mg＝mω2l，解得ω＝。
若ω＞，杆对小球的拉力大小F1方向竖直向下，则有F1＋mg＝mω2l，解得F1＝m(ω2l－g)
若ω＝，F1＝0，杆对小球恰好无作用力
若ω＜ ，杆对小球的支持力大小F1方向竖直向上，则有mg－F1＝mω2l，解得F1＝m(g－ω2l)。
(2)小球运动到水平位置A处时，杆对球的竖直方向分力Fy＝mg，水平分力Fx＝mω2l，故杆对球的作用力大小F2＝ eq \r(F＋F)＝m。设该作用力与水平方向夹角为θ，则有tan θ＝＝＝，故在位置A处杆对球的作用力方向斜向右上，与水平方向夹角的正切值tan θ＝。
[答案]　见解析
微专题二　竖直面内的变速圆周运动
项目 轻绳模型 轻杆模型
常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
过最高点的临界条件 由mg＝m eq \f(v,r)得v临＝ v临＝0
讨论分析 (1)能过最高点时，v≥ ，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN(2)不能过最高点时，v＜，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道，如图所示 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为支持力，沿半径背离圆心(2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN背离圆心，随v的增大而减小(3)当v＝时，FN＝0(4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN指向圆心并随v的增大而增大
模型1　轻绳模型
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　(多选)(2025·福建宁德市期末)杂技表演水流星如图所示，一根绳系着盛水的杯子，随着演员的抡动，杯子就在竖直平面做圆周运动，已知轨迹半径r＝0.4 m，水的质量为200 g，杯子的质量为50 g，绳子质量不计，重力加速度g取10 m/s2，则下列说法正确的是(　　)
A．杯子运动到最高点时，水刚好不落下，则最高点速度为4 m/s
B．当杯子到最高点速度为6 m/s时，则水对杯子的弹力大小为16 N，方向竖直向下
C．杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度增加是因为合力沿切线方向的分力与速度同向
D．杯子在最低点时处于超重状态
[解析]　杯子运动到最高点时，水刚好不落下，对水则有mg＝m，所以杯子在最高点时的速度v＝＝2 m/s，故A错误；当杯子到最高点速度为6 m/s时，对水根据牛顿第二定律有FN＋mg＝m，解得FN＝16 N，即杯子对水的弹力为16 N，方向竖直向下，根据牛顿第三定律可得水对杯子的弹力大小为16 N，方向竖直向上，故B错误；杯子在运动过程中做的是变速圆周运动，沿圆周下降过程速度增加是因为其受到的合力沿切线方向的分力与速度同向，故C正确；杯子在最低点时加速度方向竖直向上，此时杯子处于超重状态，故D正确。
[答案]　CD
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　【教材经典P41第1题】如图所示，半径R＝0.40 m的光滑半圆环轨道处于竖直平面内，半圆环与水平地面相切于圆环的端点A。一小球从A点冲上竖直半圆环，沿轨道运动到B点飞出，最后落在水平地面上的C点(图上未画)，g取10 m/s2。
(1)能实现上述运动时，小球在B点的最小速度是多少？
(2)能实现上述运动时，A、C间的最小距离是多少？
[解析]　(1)小球在B点速度最小时，小球与半圆环轨道间的弹力恰好等于0，此时小球仅受竖直向下的重力作用，根据牛顿第二定律有mg＝m eq \f(v,R)，解得vmin＝＝2 m/s。
(2)小球从B点水平飞出做平抛运动，小球以最小速度平抛时距离最小。设小球做平抛运动的时间为t，A、C间最小距离为x，则水平方向有x＝vmint，竖直方向有2R＝gt2，由此解得t＝0.4 s，x＝0.8 m。　
[答案]　(1)2 m/s　(2)0.8 m
模型2　轻杆模型
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "F:\\2025 PPT 备用\\7月\\17 物理\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET 　如图甲所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动。当小球运动到圆形管道的最高点时，管道对小球的弹力与在最高点时的速度平方的关系如图乙所示(取竖直向下为正方向)。MN为通过圆心的一条水平线。不计小球半径、管道的粗细，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
A．管道的半径为
B．小球的质量为
C．小球在MN以下的管道中运动时，内侧管壁对小球可能有作用力
D．小球在MN以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
[解析]　由题图乙可知，当v2＝b时，FN＝0，此时mg＝m，解得R＝，A错误；当v2＝0时，此时FN＝mg＝a，所以m＝，B正确；小球在水平线MN以下的管道中运动时，由于向心力的方向要指向圆心，则管壁必然要提供指向圆心的支持力，只有外壁才可以提供这个力，所以内侧管壁对小球没有作用力，C错误；小球在水平线MN以上的管道中运动时，重力沿径向的分量必然参与提供向心力，故外侧管壁可能对小球有作用力，内侧管壁也可能对小球有作用力，还可能均无作用力，D错误。
[答案]　B(共23张PPT)
专题提升课4　水平面和斜
面内的圆周运动
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　水平面内的圆周运动
角度1　水平面内圆周运动特点
1．运动轨迹是水平面内的圆。
2．合外力沿水平方向指向圆心，提供向心力，竖直方向合力为零，物体在水平面内做匀速圆周运动。
　如图所示，质量分别为3m、m的小球A、B固定在长L的轻杆两端，轻杆置于水平桌面上可绕中心O转动，不计阻力。当轻杆以角速度ω匀速转动时，下列说法正确的是(　　)
A．转轴所受杆的弹力方向指向B球
B．两球所需要的向心力大小不相等
C．转轴所受杆的弹力大小为2mω2L
D．保持转动角速度不变，任一球的质量增大，转轴所受杆的拉力增大
√
如图所示，粗糙水平圆盘上，质量相等的A、B两物块叠放在一起，随圆盘一起做匀速转动，A、B间的动摩擦因数μA大于圆盘与B间的动摩擦因数μB，则下列说法正确的是(　　)
A．A、B都有沿切线方向向后滑动的趋势
B．B运动所需的向心力大于A运动所需的向心力
C．圆盘对B的摩擦力是B对A的摩擦力的2倍
D．缓慢增加圆盘转动的角速度，A可能从B上滑出
√
(多选)(2025·湖南邵阳市期末)如图所示，A、B两个材料相同的物体放在水平旋转的圆盘上，A的质量为m，B的质量为2m，B离轴距离为R，A离轴距离为2R，两物体始终相对盘静止，则(　　)
A．A与B的线速度大小之比为2∶1
B．A与B的角速度之比为1∶1
C．A与B的向心加速度大小之比为1∶1
D．在转盘转速增加时，A比B先开始滑动
√
√
√
[解析]　A与B的角速度均等于圆盘的角速度，则有ωA∶ωB＝1∶1，根据v＝ωr，可得vA∶vB＝2R∶R＝2∶1，故A、B正确；根据a＝ω2r，可得aA∶aB＝2R∶R＝2∶1，故C错误；由静摩擦力提供向心力可得f＝ma，可得A与B所受摩擦力大小相等，最大静摩擦力fm＝μmg，A的质量小，最大静摩擦力小，所以A比B先滑动，故D正确。
角度3　与弹力有关的临界问题
压力、支持力的临界条件是物体间的弹力恰好为零。绳中拉力的临界条件是绳恰好拉直且其上无弹力或绳中拉力恰好为最大承受力等。
√
　如图所示，在光滑的圆锥体顶用长为L的细线悬挂一质量为m的小球，圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30°，小球以速率v绕圆锥体轴线做水平圆周运动。
[答案]　2mg
1．常见模型
(1)如图甲所示，静摩擦力控制下的圆周运动
(2)如图乙所示，轻绳控制下的圆周运动
(3)如图丙所示，轻杆控制下的圆周运动
微专题二　斜面内的圆周运动
2．分析方法
通常分析物体在最高点和最低点的受力情况求临界状态。物体在斜面上运动时，若受摩擦力，还要参照水平面内圆周运动的临界问题分析摩擦力的突变问题，如静摩擦力的方向变化、静摩擦力变为滑动摩擦力。
√INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
题组1　车辆转弯问题
1．一汽车在水平地面上以恒定速率行驶，汽车通过如图所示的a、b、c三处时的向心力(　　)
A．FaFb>Fc
C．Fa>Fc>Fb D．Fa＝Fb＝Fc
解析：选A。汽车在水平地面上以恒定速率行驶，通过题图所示的a、b、c三处时半径逐渐减小，故由向心力F＝m，解得Fa2．摩托车沿水平的圆弧弯道以不变的速率转弯，则它　(　　)
A．受到重力、弹力、摩擦力和向心力的作用
B．所受的地面作用力恰好与重力平衡
C．所受的合力可能不变
D．所受的合力始终变化
解析：选D。摩托车沿圆弧弯道以不变的速率行驶时，受到重力、弹力和摩擦力的作用，向心力是合力的效果，不是实际受力，故A错误；地面的作用力是摩擦力和支持力的合力，方向不沿竖直方向，故与重力不平衡，故B错误；摩托车做匀速圆周运动，合力方向始终指向圆心，所以所受合力始终变化，故C错误，D正确。
题组2　汽车过桥问题与航天器中的失重现象
3．(多选)图为一汽车(质量一定)通过凹形桥(曲率半径一定)最低点时的示意图，下列判断正确的是(　　)
A．汽车的角速度越大，对桥底的压力越大
B．汽车的速度越大，对桥底的压力越小
C．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越大
D．汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越小
解析：选AC。根据FN－mg＝ma＝mω2r＝m，结合牛顿第三定律可知，汽车的角速度越大，对桥底的压力越大；汽车的速度越大，对桥底的压力越大；汽车的向心加速度越大，对桥底的压力越大。
4．(多选)关于绕地球做匀速圆周运动的宇宙飞船，下列说法正确的是(　　)
A．在飞船内可以用天平测量物体的质量
B．在飞船内可以用水银气压计测舱内的气压
C．在飞船内可以用弹簧测力计测拉力
D．在飞船内将重物挂于弹簧测力计上，弹簧测力计示数为零，但重物仍受地球的引力
解析：选CD。飞船内物体处于完全失重状态，此时放在天平上的物体对天平的压力为零，因此不能用天平测物体的质量，故A错误；同理水银也不会产生压力，故水银气压计也不能使用，故B错误；弹簧测力计测拉力遵从胡克定律，拉力的大小与弹簧伸长量成正比，故C正确；物体处于完全失重状态时并不是不受重力，而是重力提供了物体做圆周运动的向心力，故D正确。
5．对汽车通过拱形桥的测试是检验汽车性能的一个方面，拱形桥位于同一圆周上，如图所示。某次测试中汽车匀速率通过拱形桥，对该过程的说法正确的是(　　)
A．汽车运动的加速度保持不变
B．汽车运动的向心力大小保持不变
C.桥面对汽车的支持力先减小后增大
D．汽车过桥的过程中处于超重状态
解析：选B。根据题意可知，汽车做匀速圆周运动，其加速度方向始终指向圆心，根据a＝可知，加速度大小不变，方向时刻在改变，即汽车运动的加速度发生了改变，故A错误；汽车做匀速圆周运动，其所需要的向心力F＝m，可知汽车运动的向心力大小保持不变，故B正确；令汽车所在位置的半径与竖直方向夹角为θ，汽车做匀速圆周运动，由沿半径方向的合力提供向心力，则有mg cos θ－FN＝m，解得FN＝mg cos θ－m，在汽车过拱形桥过程，θ先减小后增大，可知桥面对汽车的支持力先增大后减小，故C错误；汽车过桥的过程中，汽车的向心加速度总指向圆心，即汽车存在竖直向下的分加速度，可知汽车过桥的过程中处于失重状态，故D错误。
6．某游乐场里的过山车示意图如图所示，若过山车经过A、B两点的速率相同，则过山车(　　)
A．在A点时处于失重状态
B．在B点时处于超重状态
C．A点的向心加速度小于B点的向心加速度
D．在B点时乘客对座椅的压力可能为零
解析：选D。对过山车由圆周运动的规律可知，在A点有FN－mg＝m eq \f(v,RA)，解得FN＝mg＋m eq \f(v,RA)＞mg，可知在A点时过山车处于超重状态，故A错误；在B点，由牛顿第二定律得mg－FN′＝m eq \f(v,RB)，解得FN′＝mg－m eq \f(v,RB)＜mg，可知在B点过山车处于失重状态，故B错误；过山车从A到B，速度大小不变，根据an＝及RA＜RB，可知在B点的向心加速度较小，故C错误；根据FN′＝mg－m eq \f(v,RB)＜mg可知，当vB＝时，FN′＝0，根据牛顿第三定律可知，此时在B点时乘客对座椅的压力可能为零，故D正确。
题组3　离心运动
7．一摩托车比赛转弯时的情形如图所示。转弯处路面常是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此速度，摩托车将发生滑动。对于摩托车滑动的问题，下列论述正确的是(　　)
A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用
B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力
C．摩托车将沿其线速度的方向沿直线滑去
D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去
解析：选B。摩托车只受重力、地面支持力和地面摩擦力的作用，没有离心力，A错误；摩托车正常转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合力等于向心力，如果向外滑动，则说明提供的向心力即合力小于需要的向心力，B正确；摩托车将沿曲线做离心运动，C、D错误。
8．(多选)离心沉淀器可以加速物质的沉淀，它的示意图如图所示，试管中先装水，再加入粉笔末后搅拌均匀，当试管绕竖直轴高速旋转时，两个试管几乎成水平状态，然后可观察到粉笔末沉淀在试管的底端，则(　　)
A．旋转越快，试管的高度越低
B．粉笔末向试管底部运动是一种离心现象
C．旋转越快，粉笔末的沉淀现象越明显
D．旋转越快，粉笔末的沉淀现象越不明显
解析：选BC。对试管整体分析，整体受到的合力提供向心力，设试管中心线与竖直方向夹角为α，则提供的向心力为mg tan α，当转速增大时，需要的向心力增大，故角度α增大，管越高，A错误；离心沉淀器是一种离心设备，不同的物质混合，当离心沉淀器工作时，会发生离心现象，B正确；转速越快，离心运动越剧烈，粉笔末沉淀现象越明显，C正确，D错误。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "../../综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
9．(2025·天津南开区期中)钢架雪车是一项精彩刺激的冬奥会比赛项目，运动员从起跑区推动雪车起跑后俯卧在雪车上，经出发区、滑行区和减速区等一系列直道、弯道后到达终点，用时少者获胜。图(a)是比赛中一名运动员通过滑行区某弯道时的照片。假设可视为质点的运动员和车的总质量为m，其在弯道P处做水平面内圆周运动可简化为如图(b)所示的模型，车在P处的速率为v，弯道表面与水平面成θ角，此时车相对弯道无侧向滑动，不计摩擦阻力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　)
A．在P处车对弯道的压力大小为mg cos θ
B．在P处运动员和车的向心加速度大小为g tan θ
C．在P处运动员和车做圆周运动的半径为
D．若雪车在更靠近轨道内侧的位置无侧滑通过该处弯道，则速率比原来大
解析：选B。对人和车受力分析，如图所示，根据几何关系FN＝，根据牛顿第三定律，可知车对弯道的压力大小F压＝，故A错误；根据牛顿第二定律可得mg tan θ＝m＝ma，解得R＝，a＝g tan θ，故B正确，C错误；若雪车滑行的位置更加靠近轨道内侧，则圆周运动的半径减小，根据mg tan θ＝m可知，其速率比原来小，故D错误。
10．(多选)一个质量为m的物体(体积可忽略)，在半径为R的光滑半球顶点处以水平速度v0运动，如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．若v0＝，则物体对半球顶点无压力
B．若v0＝ ，则物体对半球顶点的压力为mg
C．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为mg
D．若v0＝0，则物体对半球顶点的压力为零
解析：选AC。设物体受到的支持力为FN，若v0＝，则mg－FN＝m eq \f(v,R)，得FN＝0，由牛顿第三定律知物体对半球顶点无压力，A正确；若v0＝，则mg－FN＝m eq \f(v,R)，得FN＝mg，由牛顿第三定律知物体对半球顶点的压力为mg，B错误；若v0＝0，根据牛顿第二定律有mg－FN＝m eq \f(v,R)＝0，得FN＝mg，由牛顿第三定律知物体对半球顶点的压力为mg，C正确，D错误。
11．(12分)现有一辆质量m＝9 000 kg的轿车，行驶在沥青铺设的公路上，g取10 m/s2。
(1)如果汽车在公路的水平弯道上以30 m/s的速度转弯，轮胎与地面间的径向最大静摩擦力为车重的0.6，若要汽车不向外发生侧滑，弯道的最小半径是多少？(4分)
(2)如果汽车驶过半径R′＝90 m的一段凸形桥面
①若汽车以20 m/s的速度通过桥面最高点时，对桥面的压力是多大？(4分)
②若汽车在过最高点时不能脱离桥面，则汽车的速度不能超过多少？(4分)
解析：(1)对汽车进行受力分析，由静摩擦力提供向心力，则有0.6mg＝m eq \f(v,Rmin)
解得Rmin＝150 m。
(2)①对汽车进行受力分析，由沿半径方向的合力提供向心力，则有
mg－FN1＝m eq \f(v,R′)
根据牛顿第三定律有
FN2＝FN1
解得FN2＝5×104 N。
②若汽车在过最高点时不能脱离桥面，当速度最大时，恰好由重力提供向心力，则有mg＝m eq \f(v,R′)
解得vmax＝30 m/s。
答案：(1)150 m　(2)①5×104 N　②30 m/s
12．(12分)高速列车转弯时可认为是在水平面做圆周运动。为了让列车顺利转弯，同时避免车轮和铁轨受损，在修建铁路时会让外轨高于内轨，选择合适的内外轨高度差，以使列车以规定速度转弯时所需要的向心力完全由重力和支持力的合力来提供，如图所示。已知某段弯道内外轨道的倾角为θ，弯道的半径为R，重力加速度为g。
(1)若质量为m的一高速列车以规定速度通过上述弯道时，求该列车对轨道的压力大小。(6分)
(2)若列车在弯道上行驶的速度大于规定速度，将会出现什么现象或造成什么后果？(请写出三条)(6分)
解析：(1)如图所示，有FNcos θ＝mg
得FN＝
由牛顿第三定律知，列车对轨道的压力大小FN′＝。
(2)①铁轨对车轮的摩擦力增大；
②将会出现外侧车轮的轮缘对外轨有侧向挤压力(或外轨对外侧车轮的轮缘有侧向挤压力)；
③可能造成车轮和铁轨受损(变形)，甚至出现列车脱轨，造成财产损失和人员伤亡的严重后果。
答案：(1)　(2)见解析

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