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(共42张PPT)
第3节　动能和动能定理
学习目标
1．知道动能的符号、单位和表达式，会根据动能的表达式计算物体的动能。
2．能运用牛顿第二定律与运动学公式导出动能定理，理解动能定理的物理意义。
3．能应用动能定理解决简单的问题。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、动能的表达式
1．定义：物体由于运动而具有的能量。
2．表达式：Ek＝______。
3．单位：与功的单位相同，在国际单位制中都是______，这是因为
1 kg(m/s)2＝1 N·m＝1 J。
4．动能是_____量。
焦耳
标
二、动能定理
1．推导：质量为m的某物体在光滑水平面上运动，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2，如图所示。

在这个过程中，恒力F做的功W＝Fl，根据牛顿第二定律，有F＝______
再根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式，有l＝____________
把F、l的表达式代入W＝Fl中，可得F做的功W＝__________________。
ma
2．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中____________。
3．表达式：W＝____________。
说明：式中W为____________，它等于各力做功的____________。
4．适用范围
不仅适用于______做功和______运动，也适用于______做功和______运动的情况。
动能的变化
Ek2－Ek1
合力做的功
代数和
恒力
直线
变力
曲线
判断下列说法是否正确。
(1)速度大的物体动能也大。(　　)
(2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。(　　)
(3)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同。　(　　)
(4)做匀速圆周运动的物体，速度改变，动能不变。　(　　)
(5)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。(　　)
(6)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。(　　)
(7)物体的动能增加，合外力做正功。(　　)
×　
√
×　
×　
×　
√
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　动能和动能定理
如图所示，一个物体的质量为m、初速度为v1，在与运动方向相同的恒力F(不计摩擦阻力)的作用下发生一段位移l，速度增大到v2，则：
(1)力F对物体所做的功是多少？
[提示]　W＝Fl。
(2)物体的加速度是多少？
(3)物体的初速、末速、位移之间有什么关系？
(4)结合上述三式你能综合推导得到什么样的式子？
1．动能
(1)对动能的理解
①动能是标量，没有负值，与物体的速度方向无关。
②动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。
③动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。

2．动能定理
(1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功。
(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。

②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。
　 关于动能，下列说法错误的是(　　)
A．凡是运动的物体都具有动能
B．动能没有负值
C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能却不一定变化
D．动能不变的物体一定处于平衡状态
√
　下列关于动能定理的说法正确的是(　　)
A．合外力对物体做多少正功，动能就增加多少
B．合外力对物体做多少负功，动能就增加多少
C．合外力对物体做正功，动能也可能保持不变
D．不管合外力对物体做多少正功，动能均保持不变
√
[解析]　合外力做正功时，物体的动能增加，增加量等于合外力所做的功，故A正确；合外力做负功时，物体的动能减少，减少量等于合外力做功的绝对值，故B错误；只要合外力做功，物体的动能就一定会发生改变，故C、D错误。
知识点二　动能定理的基本应用
1．解题步骤
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程。
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和。
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
2．优先应用动能定理的情况
(1)不涉及物体运动过程中的加速度和时间的问题。
(2)变力做功或曲线运动问题。
(3)涉及F、l、m、v、W、Ek等物理量的问题。
(4)有多个运动过程且不需要研究整个过程的中间状态的问题。
√
√
知识点三　应用动能定理处理多过程问题
力学综合题中的多过程问题，关键是抓住物理情境中出现的运动状态与运动过程，将全过程分解成几个简单的子过程。找出各过程是由什么物理量联系起来的，然后分别对每个子过程进行受力分析、过程分析和能量分析，选择合适的规律列出相应的方程求解。
(1)动能定理往往用于分析单个研究对象(可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统)的运动过程，当物体的运动包含多个不同过程时，分析每个过程各力的做功情况和物体的初、末动能，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间过程的速度时，也可以对整个过程应用动能定理求解。
(2)应用动能定理时，必须明确各个力做功的正、负。当一个力做负功时，可设物体克服该力做的功为W，将该力做的功表示为－W，也可以直接用字母W表示该力做的功，使其字母本身含有负号。
　【教材经典P99第6题改编】如图所示，粗糙水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨半径R＝0.4 m。质量m＝1 kg的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点的速度v1＝5 m/s，之后沿半圆形导轨运动，到达C点的速度v2＝2 m/s。已知物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，AB间长度L＝1 m，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)物体沿半圆形导轨运动过程中克服阻力所做的功；
[答案]　2.5 J　
(2)弹簧压缩至A点时的弹性势能。
[答案]　17.5 J
(1)物体首次滑入圆轨道C点时对轨道的压力大小；
[答案]　84 N　
(2)释放点A的高度H；
[答案]　1.02 m　
(3)物体最终停止的位置到C点的距离s。
[解析]　对全过程，由动能定理可得
mgH－μmgl＝0
解得l＝5.1 m
且l＝4×1.1 m＋x
可得x＝0.7 m
则物体最终停止的位置到C点的距离
s＝lBC－x＝0.4 m。
[答案]　0.4 m
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(动能和动能定理)关于运动物体的受力、速度和动能，下列说法正确的是(　　)
A．物体受到的合外力不为零，其速度必定变化
B．物体的动能不变，其所受的合外力必定为零
C．物体受到的合外力对物体做功，它的速度一定变大
D．物体受到的合外力对物体不做功，它的速度必定不变
√
解析：物体受到的合外力不为零，则具有加速度，其速度必定变化，故A正确；物体的动能不变，只能说明物体速度大小不变，而物体速度方向可能改变，所以其所受合外力不一定为零，例如匀速圆周运动，故B错误；物体受到的合外力对物体做正功，它的速度一定变大，物体受到的合外力对物体做负功，它的速度一定变小，故C错误；物体受到的合外力对物体不做功，它的速度大小一定不变，但方向可能改变，例如匀速圆周运动，故D错误。
√
解析：结合题意可知，雨滴在地面附近下落过程做匀速运动，对雨滴下落高度h的过程分析，由动能定理有mgh－Wf＝0，即Wf＝mgh，B正确，A、C、D错误。
√(共43张PPT)
第4节　机械能守恒定律
学习目标
1．知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化。
2．会正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件。
3．在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能应用机械能守恒定律解决简单问题。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、追寻守恒量
伽利略实验表明：小球在运动过程中，有某种“东西”是不变的，这个“东西”就是______。
能量
二、动能与势能的相互转化
1．重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能______，动能______，____________转化成了动能；若重力做负功，则______转化为____________。
2．弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能______，物体的动能______，____________转化为动能。
3．机械能：____________、弹性势能和______的统称，表达式为E＝Ek＋Ep。
减少
增加
重力势能
动能
重力势能
减少
增加
弹性势能
重力势能
动能
mgh1－mgh2
2．内容：在只有______或______做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能____________。
3．表达式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
重力
弹力
保持不变
判断下列说法是否正确。
(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。(　　)
(2)弹性势能发生了改变，一定有弹力做功。(　　)
(3)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。(　　)
(4)合力为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
(5)合力做功为零，物体的机械能保持不变。(　　)
(6)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒。(　　)
×　
√
√
×　
×　
√
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　机械能守恒的判断
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞
奔而下。(忽略轨道的阻力和其他阻力)过山车下滑
时，过山车受哪些力作用？各做什么功？动能和势能怎么变化？机械能守恒吗？
[提示]　过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能守恒。
1．对守恒条件的理解
(1)单个物体只受重力，不受其他力，如自由落体运动；
(2)单个物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，如物体沿光滑固定的斜面下滑，物体受重力和支持力作用，但支持力不做功；
(3)对于多个物体组成的系统来说，除重力和系统内的弹力做功之外，外力不做功，有内力做功，但内力做功的代数和为零。
2．机械能守恒的判断方法
(1)做功条件分析法：应用机械能守恒的条件进行判断。分析物体(或系统)的受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则物体(或系统)的机械能守恒。
(2)能量转化分析法：从能量转化的角度进行判断。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，机械能也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒。
(3)增减情况分析法：直接从机械能的各种形式的能量的增减情况进行判断。若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒。
　【教材经典P93第1题改编】下列各实例的运动过程中(除A项外都不计空气阻力)，物体机械能守恒的是(　　)
A．带着张开的降落伞的跳伞运动员在空中匀速下落
B．抛出的标枪在空中运动
C．拉着一个金属块使它沿光滑的斜面匀速上升
D．在光滑水平面上运动的小球，碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来
√
[解析]　跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落时，动能不变，重力势能减小，机械能减小，故A错误；被抛出的标枪在空中运动时，只有重力做功，机械能守恒，故B正确；金属块在拉力作用下沿着光滑的斜面匀速上升时，动能不变，重力势能变大，故机械能变大，故C错误；小球碰到弹簧被弹回的过程中只有弹簧弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，此过程中，弹簧对小球做功，则小球的机械能不守恒，故D错误。
　(多选)在下面列举的各个实例中，不考虑空气阻力，说法正确的是(　　)

A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．图乙中，在平行于斜面向下的大小等于摩擦力的拉力F作用下，物体B沿斜面下滑时(斜面A不动)，物体B机械能保持不变
C．图丙为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动，小球只有重力势能与动能的相互转化，则图丙中小球机械能守恒
D．图丁中，ω越来越大，小球慢慢升高，小球的机械能仍然守恒
√
√
[解析]　题图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，由于弹簧的弹性势能不断增加，故物体A的机械能不断减少，A错误；题图乙中，在平行于斜面向下的大小等于摩擦力的拉力F作用下，物体B沿斜面下滑时(斜面A不动)，对物体B，除重力外的其他力所做功的代数和为零，故物体B机械能保持不变，B正确；题图丙为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动，小球只有重力势能与动能的相互转化，则题图丙中小球机械能守恒，C正确；题图丁中，ω越来越大，小球慢慢升高，由v＝rω可知，小球的线速度也慢慢增大，可知小球的动能和重力势能均增大，故小球的机械能增大，D错误。
知识点二　单物体的机械能守恒问题
如图所示，这是运动员投掷铅球的动作，如果忽略
铅球所受的空气阻力。
(1)铅球在空中运动过程中，机械能是否守恒？
[提示]　由于阻力可以忽略，铅球在空中运动过程中，只有重力做功，机械能守恒。
(2)若铅球被抛出时速度大小一定，则铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
[提示]　根据机械能守恒定律可知，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关。
(3)在求解铅球落地速度的大小时，可以考虑应用什么规律？
[提示]　可以应用机械能守恒定律，也可以应用动能定理。
1．三个表达式
项目 表达式 物理意义
守恒 角度 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
转化 角度 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
转移 角度 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能(不用选择参考平面)
2.解题思路
角度1　重力作用下的机械能守恒
　【教材经典P99第5题】从地面以v0的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为g，以地面为重力势能的零势能面。
(1)求物体上升的最大高度h。
(2)物体的重力势能为动能的一半时，求物体离地面的高度h1。
(3)物体的重力势能和动能相等时，求物体离地面的高度h2。
(4)物体的动能是重力势能的一半时，求物体离地面的高度h3。
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升的高度。
[答案]　3.5R
√
　(2025·江苏徐州市期末)一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上，其正上方A位置有一个小球，小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。下列关于小球下落阶段的说法正确的是(　　)

A．在B位置，小球动能最大
B．从A→D位置，小球机械能守恒
C．从A→D位置，小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
D．从A→C位置，小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
√
[解析]　小球从A到B做自由落体运动，从B到C过程，由于弹簧弹力小于小球重力，小球做加速度减小的加速运动，在C位置小球所受弹力大小等于重力，此时小球加速度为零，小球的速度最大，动能最大，故A错误；小球从A→D位置，由于弹力对小球做负功，所以小球的机械能不守恒，故B错误；小球从A→D位置，由于小球在A、D两位置的动能均为零，根据系统机械能守恒可知，从A→D位置，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故C错误；根据系统机械能守恒可知，从A→C位置小球重力势能的减少量等于小球动能与弹簧弹性势能的增加量之和，即小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(机械能守恒的判断)(2024·重庆卷，T2)2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器、上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段，则组合体着陆月球的过程中(　　)
A．减速阶段所受合外力为0
B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒
D．自由下落阶段加速度大小g＝9.8 m/s2
√
√
3．(单物体的机械能守恒问题)如图所示，小物块m沿光滑曲面从A点由静止下滑。已知A点离地面高度为h1，B点离地面高度为h2，当地重力加速度为g，以A点所在位置的水平面为参考平面。下列说法正确的是(　　)

A．小物块在B点的重力势能为mgh2
B．下滑到B点过程中，小物块的机械能先增大后减小
C．小物块在B点的机械能为0
D．下滑到B点过程中，小物块重力势能的变化量为mgh1－mgh2
√
解析：根据重力势能的定义式可得，小物块在B点的重力势能EpB＝－mg(h1－h2)，重力势能的变化量ΔEp＝mgh2－mgh1，故A、D错误；小物块下滑到B点过程中，只有重力做功，小物块的机械能守恒，初始时机械能为零，所以小物块在B点的机械能为零，故C正确，B错误。
4．(与弹簧有关的机械能守恒问题)(多选)如图所示，水平地面上固定一竖直轻质弹簧，有一物体由弹簧正上方某位置竖直下落，从与弹簧接触到第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．物体的动能逐渐减小
B．物体的机械能守恒
C．弹簧的弹力对物体做负功
D．弹簧的弹性势能逐渐增大
√
√
解析：物体开始接触弹簧时，重力大于弹力，物体加速度向下，则物体速度增加；当重力等于弹力时速度最大，以后的过程中，重力小于弹力，则加速度向上，物体速度减小，则物体的动能先增加后减小，A错误；弹簧的弹力对物体做负功，则物体的机械能减小，B错误，C正确；物体向下运动过程中，弹簧的形变量逐渐增加，可知弹簧的弹性势能逐渐增大，D正确。(共21张PPT)
专题提升课9　能量观点在
常见模型中的应用
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　天体运动中的能量问题
√
√
　 如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度v顺时针匀速转动。现将质量为m的物块无初速度地放在传送带的左端，经过一段时间物块恰好与传送带相对静止。设物块与传送带间的动摩擦因数为μ。
微专题二　传送带模型中的能量问题
(1)这一过程摩擦力对物块做的功为多少？
(2)传送带克服摩擦力做的功为多少？
(3)系统摩擦产生的热量为多少？
(4)与不放物块时相比，电动机多做的功为多少？
[解析]　与不放物块时相比，电动机多做的功
ΔW＝Wf2＝mv2。
[答案]　mv2　
(5)与不放物块时相比，电动机多做的这部分功与哪种能量的变化对应？总结这条功能关系。
[答案]　见解析
　(2025·重庆沙坪坝区期末)如图，绷紧的传送带AB与水平地面倾角θ＝37°，A、B两端相距L＝20 m，传送带以v＝4 m/s的速度顺时针匀速运转。一个质量为1 kg的小物块从传送带下端A相对地面以v0＝2 m/s的初速度开始沿传送带向上运动。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
(1)若物块与传送带间的动摩擦因数μ1＝0.8，求物块在传送带上运动的过程中摩擦力对物块做的总功W1。
[答案]　126 J　
(2)若物块与传送带间的动摩擦因数μ2＝0.5，求物块在传送带上运动的过程中摩擦力对物块做的总功W2以及物块与传送带之间摩擦产生的热量Q。
[解析]　由题意知，μ2＝0.5则减速至零的过程中，根据牛顿第二定律有
ma＝mg sin θ－μ2mg cos θ
解得a＝2 m/s2
[答案]　0　32 J
　 如图所示，一质量为M的木板静止置于光滑的水平面上，一质量为m的木块(可视为质点)，以初速度v0滑上木板的左端，已知木块和木板间的动摩擦因数为μ，木块始终没有滑离木板。
微专题三　板块模型中的能量问题
(1)求刚开始时，木块和木板各自的加速度大小。
(2)求木板最终的速度大小。
(3)为使木块不掉下木板，板长至少多少？
(4)求因摩擦而产生的热量。INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\基础对点练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
题组1　动能和动能定理
1．下面有关动能的说法正确的是(　　)
A．物体只有做匀速运动时，动能才不变
B．物体做平抛运动时，水平方向速度不变，物体的动能也不变
C．物体做自由落体运动时，重力做功，物体的动能增加
D．物体的动能变化时，速度不一定变化，速度变化时，动能一定变化
解析：选C。物体只要速率不变，动能就不变，例如匀速圆周运动，故A错误；做平抛运动的物体动能逐渐增大，B错误；物体做自由落体运动时，其合力等于重力，重力做正功，物体的动能增加，故C正确；物体的动能变化时，速度的大小一定变化，故D错误。
2．(多选)关于运动物体所受的合力、合力做的功、运动物体动能的变化，下列说法正确的是(　　)
A．运动物体所受的合力不为零，合力必做功，物体的动能一定要变化
B．运动物体所受的合力为零，则物体的动能一定不变
C．运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力不一定为零
D．运动物体所受合力不为零，则该物体一定做变速运动
解析：选BCD。由功的公式W＝Fl cos α知，合力不为零，但若α＝90°，则合力做的功也为零，故A错误；若合力为零，则合力做的功也为零，由动能定理W＝Ek2－Ek1知，物体的动能不发生改变，故B正确；运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力不一定为零，如匀速圆周运动，速度大小不变，动能不变，但合外力不为零，故C正确；运动物体所受合力不为零，根据牛顿第二定律可知，加速度不为零，则该物体一定做变速运动，故D正确。
题组2　动能定理的基本应用
3．(2025·云南卷，T2)如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐渐加速到144 km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E25GKTWLQ62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E25GKTWLQ62.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E25GKTWLQ62.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E25GKTWLQ62.TIF" \* MERGEFORMAT
A．4×105 J　　　　　　　 B．4×104 J
C．4×103 J D．4×102 J
解析：选B。由单位制可知144 km/h＝40 m/s，高中生的质量约为m＝50 kg，则当列车加速到v＝40 m/s时高中生的动能约为Ek＝mv2＝40 000 J，对高中生由动能定理得W＝Ek－0，解得列车对高中生所做的功约为W＝4×104J，B正确。
4．如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度v0出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S79.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S79.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S79.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S79.TIF" \* MERGEFORMAT
A． eq \f(mv,2πL)　　　　　　　　 B． eq \f(mv,4πL)
C． eq \f(mv,8πL) D． eq \f(mv,16πL)
解析：选B。在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理－f·2πL＝0－mv，可得摩擦力的大小f＝ eq \f(mv,4πL)，故选B。
5．一半径为R的圆柱体水平固定，横截面如图所示。长度为πR、不可伸长的轻细绳，一端固定在圆柱体最高点P处，另一端系一个小球。小球位于P点右侧同一水平高度的Q点时，绳刚好拉直。将小球从Q点由静止释放，当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球的速度大小为(重力加速度为g，不计空气阻力)　(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\21GKW48.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/21GKW48.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/21GKW48.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/21GKW48.TIF" \* MERGEFORMAT
A． B．
C． D．2
解析：选A。当与圆柱体未接触部分的细绳竖直时，小球下落的高度h＝R＋πR－＝R＋，根据动能定理有mgh＝mv2，解得v＝，故A正确，B、C、D错误。
6．某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳，将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\ADM5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/ADM5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/ADM5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/ADM5.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "H:\\ADM6.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/ADM6.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/ADM6.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/ADM6.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：选A。设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知运动员在沿斜面下滑过程中根据动能定理有Ek＝mgx tan θ，即＝mg tan θ，下滑过程中开始阶段倾角θ不变，Ek－x图像为一条直线，经过圆弧轨道过程中θ先减小后增大，即图像斜率先减小后增大，A正确、B、C、D错误。
题组3　动能定理解决多过程问题
7．某水上乐园设备公司设计了一款水滑梯，设计简图如图所示，倾斜滑道与水平滑道材料相同且平滑连接。游客的质量为m，倾斜滑道高度为h、倾角为θ，游客与滑道间的动摩擦因数为μ，游客在水平滑道上停止点A到O点的水平距离为x，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB95.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB95.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB95.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB95.TIF" \* MERGEFORMAT
A．h和μ一定，θ越大，x越大
B．h和μ一定，θ越大，x越小
C．h和μ一定，x的大小与θ、m无关
D．h和μ一定，m越小，x越大
解析：选C。对游客从最高点下滑至A点的过程，根据动能定理可得mgh－μmg－μmg＝0，整理得x＝，所以x与m和θ角无关。
8．如图，两块弹性挡板竖直固定在水平地面上，相距8 m，一个小木块(体积很小，可视为质点)从两块挡板正中间开始以初速度10 m/s向右运动，木块与地面之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g取10 m/s2，每次木块与挡板碰撞后，都会以原速率反弹，则最终木块停止的位置与左边挡板距离为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25C-43.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25C-43.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25C-43.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25C-43.TIF" \* MERGEFORMAT
A．1 m　　　　　　　　 B．2 m
C．3 m D．7 m
解析：选C。从开始至停下，根据动能定理可得－μmgs＝0－mv2，得运动的总路程s＝25 m，因＋5 m＝s，故停下位置距离左边挡板距离x＝L－5 m＝3 m。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\综合提升练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
9．(2025·广西玉林市期中)如图所示，运动员把质量为m的足球从水平地面踢出，足球在空中达到的最高点高度为h，在最高点时的速度为v，不计空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S83.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S83.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S83.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S83.TIF" \* MERGEFORMAT
A．足球从被踢出至运动到最高点的过程中，重力势能减少了mgh
B．运动员对足球做的功为mgh＋mv2
C．足球克服重力做的功为mgh＋mv2
D．足球运动到最高点时，重力的瞬时功率最大
解析：选B。足球从被踢出至运动到最高点的过程中，高度增加了h，则重力势能增加了mgh，故A错误；根据动能定理可得W人－mgh＝mv2，故运动员踢球时对足球做的功W人＝mgh＋mv2，故B正确；足球上升过程，重力做功WG＝－mgh，则克服重力做的功为mgh，故C错误；足球从被踢出至运动到最高点的过程中，竖直方向速度一直减小，运动到最高点时，竖直方向速度为零，重力的瞬时功率为零，故D错误。
10．(多选)(2023·广东卷，T8)人们用滑道从高处向低处运送货物。如图所示，可看作质点的货物从圆弧滑道顶端P点静止释放，沿滑道运动到圆弧末端Q点时速度大小为6 m/s。已知货物质量为20 kg，滑道高度h为4 m，且过Q点的切线水平，重力加速度g取10 m/s2。关于货物从P点运动到Q点的过程，下列说法正确的有(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\23cgl5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23cgl5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23cgl5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23cgl5.TIF" \* MERGEFORMAT
A．重力做的功为360 J
B．克服阻力做的功为440 J
C．经过Q点时向心加速度大小为9 m/s2
D．经过Q点时对轨道的压力大小为380 N
解析：选BCD。重力做的功WG＝mgh＝800 J，A错误；下滑过程根据动能定理可得WG－Wf＝mv，代入数据解得克服阻力做的功Wf＝440 J，B正确；经过Q点时向心加速度大小a＝ eq \f(v,h)＝9 m/s2，C正确；经过Q点时，根据牛顿第二定律可得F－mg＝ma，解得货物受到的支持力大小F＝380 N，根据牛顿第三定律可知，货物对轨道的压力大小为380 N，D正确。
11．(12分)如图所示，某人将一个质量m＝0.5 kg的石块从距离水平地面h＝9.35 m高处以37°角斜向上抛出，初速度大小v0＝5 m/s，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT38.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT38.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT38.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT38.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)人对石块做的功；(4分)
(2)石块在空中运动的总时间；(4分)
(3)石块落到水平地面瞬间的速度大小。(4分)
解析：(1)根据动能定理可得人对石块做的功
W＝Ek＝mv
代入数据可得W＝6.25 J。
(2)抛出时，石块竖直方向的分速度
vy0＝v0sin 37°＝3 m/s
竖直方向，根据运动学公式
h＝－vy0t＋gt2
代入数据解得t＝1.7 s。
(3)全过程根据动能定理得
mgh＝mv2－mv
代入数据解得v＝2 m/s。
答案：(1)6.25 J　(2)1.7 s　(3)2 m/s(共26张PPT)
专题提升课6　课后达标检测
√
√
√
√
2．如图甲所示，质量为5 kg的物体在斜向下、与水平方向成30°角的力F作用下，沿水平面开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，则力F所做的功为(　　)
A．60 J　　　　　　　 　 B．104 J
C．120 J D．208 J
√
√
4．质量为1.5×103 kg的汽车以某一恒定功率启动后沿平直路面行驶，且行驶过程中受到的阻力恒定，汽车能够达到的最大速度为30 m/s。若汽车的速度大小为10 m/s时的加速度大小为4 m/s2，则该恒定功率为(　　)
A．90 kW B．75 kW
C．60 kW D．4 kW
√
5．(2025·江苏无锡市期中)在通往某景区的公路上，一辆小汽车沿水平面由静止启动，在前20 s内做匀加速直线运动，第20 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t图像如图所示。已知汽车的质量m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力和空气阻力的合力大小恒为车重的0.2，重力加速度g取10 m/s2，则汽车的最大速度为(　　)

A．25 m/s B．28 m/s
C．30 m/s D．35 m/s
√
√
7．(10分)如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率继续加速直到重物做vm＝6 m/s的匀速运动。g取10 m/s2，不计额外功。求：
(1)重物在匀加速运动时的牵引力大小；(3分)　
解析：根据牛顿第二定律
F－mg＝ma得
F＝mg＋ma＝6×104 N
即重物在匀加速运动时的牵引力大小为6×104 N。
答案：6×104 N　
(2)起重机允许输出的最大功率；(3分)
解析：设起重机允许输出的最大功率为P，重物达到最大速度时，拉力F1等于重力
F1＝mg
P＝F1vm＝mgvm＝3×105 W
即起重机允许输出的最大功率为3×105 W。
答案：3×105 W　
(3)起重机在第2 s末的输出功率。(4分)
即重物做匀加速运动所经历的时间2.5 s
由t2＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P′，则
v2＝at2
P′＝Fv2
联立解得P′＝2.4×105 W。
答案：2.4×105 W
8．(10分)(2025·陕西西安市期末)如图所示，一辆质量
m＝2.0×103 kg的某款新能源汽车在平直公路上行驶，
发动机的额定功率P0＝80 kW，设汽车行驶过程中受到的阻力大小恒为f＝4.0×103 N。
(1)在不超过额定功率的前提下，求该汽车所能达到的最大速度vm。(4分)
解析：设汽车以额定功率启动后达到最大速度vm时牵引力为F0，汽车达到最大速度时有
F0＝f＝4.0×103 N
而功率P0＝F0vm
代入数据解得vm＝20 m/s。
答案：20 m/s　
(2)如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度的大小为2.0 m/s2，求在发动机不超过额定功率的前提下，求汽车维持匀加速运动的时间t。(6分)
解析：设汽车在做匀加速运动时，牵引力为F，根据牛顿第二定律F－f＝ma
解得F＝8.0×103 N
设保持匀加速的时间t，匀加速达到的最大速度为v1，则有P0＝Fv1
解得v1＝10 m/s
而由速度—时间规律有
v1＝at
解得t＝5.0 s。
答案：5.0 s
9．(14分)(2025·江苏镇江市期中)一辆列车总质量m＝600 t，发动机的额定功率P＝1.8×106 W。列车在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力f是车重力的0.01，重力加速度g取10 m/s2。
(1)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度v＝10 m/s时，求列车的瞬时加速度a。(4分)
答案：0.2 m/s2　
(2)在水平轨道上以速度36 km/h匀速行驶时，求发动机的实际功率P1。(4分)
解析：匀速行驶时有F1＝f
则P1＝fv1＝6×105 W。
答案：6×105 W　
(3)若列车从静止起动，保持0.3 m/s2的加速度做匀加速运动，求这一过程维持的最长时间。(6分)
答案：25 sINCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(14分)(2025·内蒙古呼和浩特市期中)如图所示，与水平面夹角θ＝37°的倾斜传送带始终绷紧，传送带下端A点与上端B点间的距离l＝12 m，电动机带动传送带以恒定的速率v＝2.4 m/s向上运动。现将一质量为5 kg的物体无初速度地放于A处，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，求：
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S121.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S121.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S121.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S121.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)物体从A运动到B共需多少时间；(6分)
(2)物体从A运动到B过程中，摩擦力对物块做的功；(4分)
(3)物体从A点到达B点的过程中，传送带多消耗的电能。(4分)
解析：(1)物体达到与传送带共速前，根据牛顿第二定律可得
μmg cos 37°－mg sin 37°＝ma1
解得a1＝0.4 m/s2
物体达到与传送带共速所需的时间
t1＝＝6 s，t1时间内物体的位移
x1＝t1＝×6 m＝7.2 m物体与传送带共速后，因μmg cos 37°>mg sin 37°，可知物体与传送带保持相对静止匀速运动，则有
t2＝＝2 s
则物体从A运动到B共需时间
t＝t1＋t2＝8 s。
(2)物体从A运动到B过程中，根据动能定理可得
Wf－mgl sin θ＝mv2－0
解得摩擦力对物块做的功Wf＝374.4 J。
(3)物体在匀加速阶段，与传送带的相对位移
Δx＝vt1－x1＝7.2 m
则物体与传送带因摩擦产生的内能
Q＝μmg cos θ·Δx
根据能量守恒可知，物体从A点到达B点的过程中，传送带多消耗的电能
E电＝mgl sin θ＋mv2＋Q
联立解得E电＝604.8 J。
答案：(1)8 s　(2)374.4 J　(3)604.8 J
2．(14分)(2025·河北衡水市开学考)如图所示，地面和固定半圆轨道面均光滑，质量M＝1 kg、长L＝4 m的小车静止在水平地面上，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平。现有一质量m＝2 kg、大小不计的滑块以v0＝6 m/s的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动。已知小车与墙壁碰撞前小车和滑块已经共速，小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，滑块与小车表面的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S122.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S122.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S122.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S122.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求滑块与小车共速时的速度大小。(4分)
(2)求滑块与小车共速时离小车右端的距离。(4分)
(3)若要滑块能沿半圆轨道运动的过程中不脱离轨道，则求半圆轨道的半径R的取值范围。(6分)
解析：(1)根据牛顿第二定律：对滑块有
μmg＝ma1
对小车有μmg＝Ma2
当滑块相对小车静止时，两者速度相等，即
v0－a1t＝a2t
由以上各式解得t＝1 s
此时小车的速度v2＝a2t＝4 m/s。
(2)滑块的位移x1＝v0t－a1t2
小车的位移x2＝a2t2
两者共速时，滑块离小车右端
L2＝L－(x1－x2)
联立解得L2＝1 m。
(3)若滑块恰能通过最高点，设滑至最高点的速度为vm，则有mg＝m eq \f(v,R1)
根据动能定理得
－μmgL2－mg·2R1＝mv－mv
解得R1＝0.24 m
若滑块恰好滑至位于圆弧处的T点时就停止，则滑块也能沿圆轨道运动而不脱离圆轨道。根据动能定理得－μmgL2－mgR2＝0－mv
解得R2＝0.6 m
所以滑块不脱离圆轨道必须满足R≤0.24 m或R≥0.6 m。　
答案：(1)4 m/s　(2)1 m　(3)R≤0.24 m或R≥0.6 mINCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\基础对点练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
题组1　重力做功的特点
1．关于重力势能，下列说法正确的是(　　)
A．重力势能的大小只由物体本身决定
B．物体在A、B两点的重力势能分别为EpA＝2J，EpB＝－3 J，则EpAC．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零
D．重力势能是物体和地球所共有的
解析：选D。由公式Ep＝mgh可知，重力势能的大小由物体的质量m、重力加速度g和相对于参考平面的高度h共同决定，故A错误；物体在A、B两点的重力势能分别为EpA＝2 J，EpB＝－3 J，则EpA>EpB，故B错误；选择地面为参考平面，在地面上的物体具有的重力势能等于零，不选择地面为参考平面，在地面上的物体具有的重力势能不等于零，故C错误；重力的施力物体是地球，受力物体是地球上的物体，重力势能是物体和地球所共有的，故D正确。
2．如图所示，一个质量为60 kg的运动员正在做俯卧撑。若运动员某次撑起身体的过程中重心升高了0.1 m，重力加速度大小g取10 m/s2，则该过程中运动员克服重力做的功为　(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT24.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT24.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT24.TIF" \* MERGEFORMAT
A.300 J　　　　　　 　 B．600 J
C．30 J D．60 J
解析：选D。在撑起身体的过程中，重力做功WG＝－mgh＝－60 J，所以克服重力做功为60 J。
题组2　重力做功与重力势能的变化
3．(2025·宁夏吴忠市期末)如图所示，桌面离地高h，质量为m的小球离地高H，若以桌面为参考平面，则小球的重力势能为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S71A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S71A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S71A.TIF" \* MERGEFORMAT
A．mgh B．－mgH
C．mg(H－h) D．mg(H＋h)
解析：选C。若以桌面为参考平面，则小球距零势能面的高度H0＝H－h，根据重力势能的定义可知，小球的重力势能Ep＝mgH0，解得Ep＝mg(H－h)。
4．(多选)(2025·天津静海市期末)关于重力做功和重力势能的说法正确的是(　　)
A．如果重力对物体做正功，则物体的重力势能增大
B．如果重力对物体做正功，则物体的重力势能减小
C．物体的重力势能具有相对性，与参考平面的选取有关
D．重力势能是物体与地球组成的系统具有的，而不是物体单独具有的
解析：选BCD。如果重力对物体做正功，则物体的重力势能减小，故A错误，B正确；物体的重力势能具有相对性，相对不同的参考平面，物体具有不同的高度h，根据Ep＝mgh可知，物体具有不同数值的重力势能，故C正确；重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的，故D正确。
5．(2025·云南曲靖市期末)排球是许多人喜爱的体育项目之一，如图所示为某同学将排球竖直向上垫起，一段时间后排球落回地面。已知排球在最高点时的重力势能为1 J，落到地面时的重力势能为－2 J，下列说法正确的是　(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S71.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S71.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S71.TIF" \* MERGEFORMAT
A．重力对排球所做的功等于重力与路程的乘积
B．上升阶段排球克服重力做的功大于下降阶段重力做的功
C．排球在最高点的重力势能大于落到地面时的重力势能
D．考虑阻力时，上升阶段排球的重力做的功和重力势能变化量绝对值间的关系为|WG|>|ΔEp|　
解析：选C。重力对排球所做的功等于重力与竖直高度的乘积，A错误；排球在最高点时的重力势能为1 J，上升阶段排球克服重力做功为1 J，落到地面时的重力势能为－2 J，则下降阶段重力做功3 J，则上升阶段排球克服重力做的功小于下降阶段重力做的功，B错误；排球在最高点的重力势能大于落到地面时的重力势能，C正确；上升阶段排球的重力做的功和重力势能变化量绝对值间的关系为|WG|＝|ΔEp|，与是否有阻力无关，D错误。
6．如图所示，关于小球下落过程中重力做功和重力势能的变化，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\RJ1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/RJ1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/RJ1.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小球从A点下落至桌面的过程，重力做正功，重力势能增加
B．小球从桌面下落至B点的过程，重力做负功，重力势能减少
C.小球从A点下落至B点的过程，重力势能的减少量与参考平面的选取有关
D．小球从A点下落至B点的过程，重力做功的多少与参考平面的选取无关
解析：选D。小球从A点下落至桌面的过程，重力方向与位移方向相同，则重力做正功，重力势能减少，故A错误；小球从桌面下落至B点的过程，重力方向与位移方向相同，重力做正功，重力势能减少，故B错误；由于重力势能变化量具有绝对性，即与所选参考平面无关，结合重力做功与重力势能变化量的关系可知，重力做功的多少与所选参考平面无关，故C错误，D正确。
7．一个0.1 kg的球从1.8 m的高处落到地上又弹回到的1 m高度，选下落起点为参考面，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．整个过程重力做功为1.8 J
B．整个过程重力做了1 J的功
C．物体的重力势能一定减少了0.8 J
D．物体在地面时的重力势能为0
解析：选C。整个过程重力做功WG＝mgΔh＝0.1×10×0.8 J＝0.8 J，所以物体的重力势能减少了0.8 J，故A、B错误，C正确；物体在地面时的重力势能Ep＝－mgh＝－1.8 J，故D错误。
题组3　弹性势能
8．如图所示，小明在玩蹦床游戏。当他从接触床面到运动至最低点的过程中，下列说法不正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT26.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT26.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT26.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小明的重力势能一直减小
B．蹦床的弹性势能一直增大
C．小明在最低点时的速度为零
D．小明受到蹦床的弹力是由于自身发生形变
解析：选D。从接触床面到运动至最低点的过程中，高度减小，小明的重力势能一直减小，A正确，不符合题意；从接触床面到运动至最低点的过程中，弹簧的形变量一直在增大，所以蹦床的弹性势能一直增大，B正确，不符合题意；小明运动到最低点时不能再向下运动了，说明小明此时的速度等于零，C正确，不符合题意；小明受到蹦床的弹力是由于蹦床发生形变，D错误，符合题意。
9．(2025·山西大同市期末)关于弹性势能，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧在任何状态下都具有弹性势能
B．弹簧只有在发生弹性形变时才具有弹性势能
C．弹性势能不可以与其他形式的能相互转化
D．弹性势能在国际单位制中的单位是瓦特
解析：选B。发生弹性形变的物体，恢复原状的过程能够对外做功，即具有弹性势能，故A错误，B正确；弹性势能可以与其他形式的能相互转化，如撑竿跳高过程中撑竿的弹性势能与其他形式的能之间的转化，故C错误；弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳，故D错误。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\综合提升练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
10．(多选)质量为m的物体，由静止开始下落，其下落的加速度为g，重力加速度为g，在其下落h的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．物体所受重力做的功为mgh
B．物体所受阻力做功为mgh
C．物体重力势能减少了mgh
D．物体所受合力做功为mgh
解析：选AD。物体所受重力做的功WG＝mgh，则物体重力势能减少了mgh，故A正确，C错误；根据牛顿第二定律可得mg－f＝ma＝mg，解得f＝mg，物体所受阻力做功Wf＝－fh＝－mgh，物体所受合力做功W合＝F合h＝mah＝mgh，故B错误，D正确。
11．如图所示，质量为50 kg的同学在做仰卧起坐运动。若该同学上半身的质量约为全身质量的，她在1 min内做了50个仰卧起坐，每次上半身重心上升的距离均为0.3 m，g取10 m/s2，则她每次坐起克服重力做的功W和仰卧起坐的功率P分别约为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT28.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT28.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT28.TIF" \* MERGEFORMAT
A.W＝150 J，P＝125 W
B．W＝150 J，P＝250 W
C．W＝90 J，P＝75 W
D．W＝90 J，P＝150 W
解析：选C。每次上半身重心上升的高度均为0.3 m，则她每次克服重力做的功W＝mgh＝90 J，每次仰卧起坐的时间t＝ s＝1.2 s，则相应的平均功率约为P＝＝75 W。
12．(8分)如图所示，假设某跳高运动员质量为60 kg、身高为1.8 m，在某次背越式跳高中跳过2.1 m 高的横杆而平落在垫子上，落垫时运动员的重心离地高度为60 cm。g取10 m/s2，试估算：
INCLUDEPICTURE "H:\\24H14.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/24H14.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24H14.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)上升阶段运动员至少要克服重力做多少功？(4分)
(2)下降阶段重力做了多少功？(4分)
解析：(1)上升阶段，重心升高的距离约为
h1＝2.1 m－ m＝1.2 m
克服重力做功W1＝mgh1＝720 J。
(2)下降阶段，重心下降距离
h2＝2.1 m－0.6 m＝1.5 m
重力做功W2＝mgh2＝900 J。
答案：(1)720 J　(2)900 J
13．(10分)如图所示，质量为m的小球，用一长为l的细线悬于O点，将悬线拉直成水平状态，并给小球一个向下的速度让小球向下运动，O点正下方D处有一钉子，小球运动到B处时会以D为圆心做圆周运动，并经过C点，若已知OD＝l，则小球由A点运动到C点的过程中，重力势能减少了多少？重力做功为多少？
INCLUDEPICTURE "H:\\W21.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/W21.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/W21.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：从A点运动到C点，小球下落h＝l
故重力做功
WG＝mgh＝mgl
重力势能的变化量ΔEp＝－WG＝－mgl
负号表示小球的重力势能减少了。
答案：mgl　mglINCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\基础对点练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
题组1　功的理解及正、负功的判断
1．(2024·海南卷，T1)神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中(　　)
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
解析：选A。返回舱在减速的过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A正确，B错误；主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C错误；返回舱的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D错误。
2．(2025·黑龙江哈尔滨市期中)如图所示的是商场的智能化自动扶梯，无人乘行时，扶梯运转得很慢；有人站上扶梯时，它先缓慢加速，再匀速运转。一顾客乘扶梯上楼，恰好经历这两个过程，则(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S62.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S62.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S62.TIF" \* MERGEFORMAT
A．加速过程中摩擦力对人做负功
B．加速过程中支持力对人做负功
C．匀速过程中摩擦力对人做正功
D．匀速过程中支持力对人做正功
解析：选D。根据题意可知，加速过程中人的加速度方向为右上方，可知人受竖直向上的支持力、水平向右的摩擦力和竖直向下的重力，由W＝Fx cosθ可知，摩擦力和支持力均对人做正功，故A、B错误；根据题意可知，匀速过程中人受力平衡，可知人受竖直向上的支持力和竖直向下的重力，不受摩擦力，由W＝Fx cos θ可知，支持力对人做正功，故C错误，D正确。
题组2　恒力做功的计算
3．(2025·云南曲靖市期中)某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进l距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进l距离，则先后两次拉力F做的功W1和W2的关系是(　　)
A．W1>W2　　　　　　 B．W1＝W2
C．W1解析：选B。拉力做功W1＝W2＝Fl。
4．某人用与水平方向成60°角、大小为40 N的恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0 m，人放手后，小车又前进了2.0 m才停下来，则小车在运动过程中，人的推力所做的功为(　　)
A．140 J B．100 J
C．60 J D．无法确定
解析：选B。推力做功的大小W＝Fl cos 60°＝40×5× J＝100 J，撤去推力，小车由于惯性继续向前运动，推力不做功，所以在小车运动过程中，推力做的总功为100 J，故B正确，A、C、D错误。
5．质量m＝1 kg的物体在粗糙水平地面上做匀速直线运动，物体在水平方向受到5.0 N的拉力，若物体运动的距离s＝5 m(g取10 m/s2)，则(　　)
A．物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.05
B．拉力做的功为25 J
C．合力做的功为25 J
D．摩擦力做的功为25 J
解析：选B。物体做匀速直线运动，所受合力为0，则物体所受的滑动摩擦力大小Ff＝F＝5.0 N，物体对水平地面的压力大小FN＝mg＝10 N，由Ff＝μFN得μ＝0.5，A错误；拉力做功WF＝Fs＝5.0×5 J＝25 J，B正确；合力为0，则合力做功为0，C错误；摩擦力做功Wf＝－Ffs＝－5.0×5 J＝－25 J，D错误。
题组3　功率的理解和计算
6．质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N。此时，汽车发动机输出的实际功率是(　　)
A．90 W　　　　　　 B．30 kW
C．36 kW D．300 kW
解析：选C。根据汽车做匀速直线运动可得此时汽车的牵引力等于阻力，即F＝f ＝1.8×103 N，此时汽车发动机的实际输出功率即瞬时功率，根据P＝ Fv，代入数据解得此时汽车发动机的实际输出功率为36 kW，A、B、D错误，C正确。
7．(2025·河南信阳市开学考)如图所示，小明体重为600N，小亮体重为400 N，两人同时从一楼出发上到三楼，小明先到达，小亮后到达，则下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S63.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S63.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S63.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小明上楼功率大 B．小亮上楼功率大
C．小明上楼做功少 D．小亮上楼做功多
解析：选A。根据W＝Gh可知小明体重较大，则小明上楼做功多；根据P＝可知，小明用时间较短，可知小明上楼的功率大。
8．(2025·广东韶关市期末)甲、乙两物体所受重力之比为1∶2，它们从同一高度同时释放各自做自由落体运动，历时4 s落地，则甲物体下落第1 s末和乙物体下落第3 s末重力的瞬时功率之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶6 D．1∶9
解析：选C。根据PG＝mgvy＝mg·gt＝mg2t，可得甲物体下落第1 s末和乙物体下落第3 s末重力的瞬时功率之比PG甲∶PG乙＝(1×1)∶(2×3)＝1∶6。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\综合提升练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
9．(多选)如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT8.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../25WT8.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25WT8.TIF" \* MERGEFORMAT
A．支持力做功为mgl
B．重力做功为mgl
C．拉力做功为Fl cos θ
D．滑动摩擦力做功为－μ(mg－F sin θ)l
解析：选CD。支持力、重力与雪橇的位移垂直，即力与位移的夹角α＝90°，根据功的定义式W＝Fx cos α，可知支持力与重力对雪橇做功为零，A、B错误；由功的定义式知拉力做功W＝Fx cos α＝Fl cos θ，C正确；雪橇受到的摩擦力大小Ff＝μFN，竖直方向FN＋F sin θ＝mg，摩擦力做功W1＝－Ffl，联立解得滑动摩擦力做功W1＝－μ(mg－F sin θ)l，D正确。
10．如图所示，同一物体分别沿斜面AO、BO、CO自斜面顶点由静止开始下滑，该物体与各斜面间的动摩擦因数均相同，在滑行过程中克服摩擦力做功分别为WA、WB和WC，不计空气阻力，则(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25C-20.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../25C-20.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25C-20.TIF" \* MERGEFORMAT
A．WA>WB>WC B．WA＝WB>WC
C．WA>WB＝WC D．WA＝WB＝WC
解析：选D。设物体与斜面间的动摩擦因数为μ，斜面的倾角为θ，O、D间的水平距离为x，物体的质量为m，则物体下滑过程中克服摩擦力做功W＝fs＝μmg cos θ·＝μmgx，可知物体下滑过程中克服摩擦力做功与斜面的倾角大小无关，所以有WA＝WB＝WC。
11．(2025·黑龙江大庆市期中)如图所示，质量m＝10 kg的物体在F＝100 N斜向下的推力作用下，沿水平面以v＝1 m/s的速度匀速前进x＝1 m，已知F与水平方向的夹角θ＝30°，重力加速度g取10 m/s2，则(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S64.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S64.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S64.TIF" \* MERGEFORMAT
A．推力F做的功为100 J
B．推力F的功率为100 W
C．物体与水平面间的动摩擦因数为
D．物体克服摩擦力做功为50 J
解析：选C。推力F做的功WF＝Fx cos θ＝50 J，故A错误；推力F的功率P＝Fv cos θ＝50 W，故B错误；物体做匀速运动，根据受力平衡可得F cos θ＝f，N＝mg＋F sin θ，解得f＝50 N，N＝150 N，则物体与水平面间的动摩擦因数μ＝＝，故C正确；物体克服摩擦力做功Wf＝fx＝50 J，故D错误。
12．(8分)如图所示，倾角α＝30°的足够长的斜面体固定在水平面上，质量m＝0.2 kg的小球由斜面体的顶端以v0＝10 m/s的初速度沿水平方向抛出，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT9.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../25WT9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25WT9.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)小球由抛出到落在斜面体的过程中重力做功的平均功率；(4分)
(2)小球落在斜面体瞬间重力的瞬时功率。(4分)
解析：(1)小球落到斜面上时tan 60°＝
解得t＝2 s
则小球由抛出到落在斜面体的过程中重力做功的平均功率＝mg＝20 W。
(2)小球落在斜面体瞬间重力的瞬时功率
P＝mg·gt＝40 W。
答案：(1)20 W　(2)40 W第3节　动能和动能定理
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．知道动能的符号、单位和表达式，会根据动能的表达式计算物体的动能。
2．能运用牛顿第二定律与运动学公式导出动能定理，理解动能定理的物理意义。
3．能应用动能定理解决简单的问题。
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、动能的表达式
1．定义：物体由于运动而具有的能量。
2．表达式：Ek＝mv2。
3．单位：与功的单位相同，在国际单位制中都是焦耳，这是因为1 kg(m/s)2＝1 N·m＝1 J。
4．动能是标量。
二、动能定理
1．推导：质量为m的某物体在光滑水平面上运动，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度由v1增加到v2，如图所示。
INCLUDEPICTURE "H:\\HB2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/HB2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/HB2.TIF" \* MERGEFORMAT
在这个过程中，恒力F做的功W＝Fl，根据牛顿第二定律，有F＝ma
再根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式，有l＝ eq \f(v－v,2a)
把F、l的表达式代入W＝Fl中，可得F做的功W＝mv－mv。
2．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。
3．表达式：W＝Ek2－Ek1。
说明：式中W为合力做的功，它等于各力做功的代数和。
4．适用范围
不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动的情况。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确。
(1)速度大的物体动能也大。(　　)
(2)某物体的速度加倍，它的动能也加倍。(　　)
(3)两质量相同的物体，动能相同，速度一定相同。　(　　)
(4)做匀速圆周运动的物体，速度改变，动能不变。　(　　)
(5)合外力做功不等于零，物体的动能一定变化。(　　)
(6)物体的速度发生变化，合外力做功一定不等于零。(　　)
(7)物体的动能增加，合外力做正功。(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
(6)×　(7)√
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　动能和动能定理
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示，一个物体的质量为m、初速度为v1，在与运动方向相同的恒力F(不计摩擦阻力)的作用下发生一段位移l，速度增大到v2，则：
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB89B.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB89B.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB89B.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)力F对物体所做的功是多少？
(2)物体的加速度是多少？
(3)物体的初速、末速、位移之间有什么关系？
(4)结合上述三式你能综合推导得到什么样的式子？
[提示]　(1)W＝Fl。
(2)由牛顿第二定律得F＝ma，则a＝。
(3)由运动学公式得2al＝v－v，即l＝ eq \f(v－v,2a)。
(4)把上面F、l的表达式代入W＝Fl得W＝ eq \f(ma（v－v）,2a)，也就是W＝mv－mv。
1．动能
(1)对动能的理解
①动能是标量，没有负值，与物体的速度方向无关。
②动能是状态量，具有瞬时性，与物体的运动状态(或某一时刻的速度)相对应。
③动能具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，动能也不同，一般以地面为参考系。
(2)动能变化量ΔEk
物体动能的变化量是末动能与初动能之差，即ΔEk＝mv－mv，若ΔEk>0，则表示物体的动能增加，若ΔEk<0，则表示物体的动能减少。
2．动能定理
(1)表达式W＝ΔEk中的W为外力对物体做的总功。
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB89C.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB89C.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB89C.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)动能定理描述了做功和动能变化的两种关系。
①等值关系：物体动能的变化量等于合力对它做的功。
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB89D.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB89D.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB89D.TIF" \* MERGEFORMAT
②因果关系：合力对物体做功是引起物体动能变化的原因，做功的过程实质上是其他形式的能与动能相互转化的过程，转化了多少由合力做的功来度量。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　关于动能，下列说法错误的是(　　)
A．凡是运动的物体都具有动能
B．动能没有负值
C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能却不一定变化
D．动能不变的物体一定处于平衡状态
[解析]　物体由于运动而具有的能量叫作动能，A正确，不符合题意；由Ek＝mv2知，Ek≥0，B正确，不符合题意；速度是矢量，当速度大小不变而方向变化时，动能不变，但动能变化时，速度的大小一定发生了改变，C正确，不符合题意；物体做匀速圆周运动时，其动能不变，但物体却处于非平衡状态，D错误，符合题意。
[答案]　D
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　下列关于动能定理的说法正确的是(　　)
A．合外力对物体做多少正功，动能就增加多少
B．合外力对物体做多少负功，动能就增加多少
C．合外力对物体做正功，动能也可能保持不变
D．不管合外力对物体做多少正功，动能均保持不变
[解析]　合外力做正功时，物体的动能增加，增加量等于合外力所做的功，故A正确；合外力做负功时，物体的动能减少，减少量等于合外力做功的绝对值，故B错误；只要合外力做功，物体的动能就一定会发生改变，故C、D错误。
[答案]　A
知识点二　动能定理的基本应用
1．解题步骤
(1)选取研究对象(通常是单个物体)，明确它的运动过程。
(2)对研究对象进行受力分析，明确各力做功的情况，求出外力做功的代数和。
(3)明确物体在初、末状态的动能Ek1、Ek2。
(4)列出动能定理的方程W＝Ek2－Ek1，结合其他必要的辅助方程求解并验算。
2．优先应用动能定理的情况
(1)不涉及物体运动过程中的加速度和时间的问题。
(2)变力做功或曲线运动问题。
(3)涉及F、l、m、v、W、Ek等物理量的问题。
(4)有多个运动过程且不需要研究整个过程的中间状态的问题。
角度1　应用动能定理求恒力做功
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·安徽卷，T2)某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v。已知人与滑板的总质量为m，可视为质点。重力加速度大小为g，不计空气阻力。则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为(　　)
A．mgh　　　　　　　　 B．mv2
C．mgh＋mv2 D．mgh－mv2
[解析]　人在下滑的过程中，由动能定理可得mgh－Wf＝mv2－0，可得此过程中人与滑板克服摩擦力做的功Wf＝mgh－mv2。
[答案]　D
角度2　应用动能定理求变力做功
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，一质量为m的小球以大小为v0的初速度从地面竖直上抛，刚落回地面时的速度大小为，已知小球在运动过程中所受空气阻力大小恒定，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S75.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S75.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S75.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小球在运动过程中所受空气阻力大小为
B．小球在运动过程中所受空气阻力大小为mg
C．小球能到达的最高点距地面 eq \f(3v,16g)
D．小球能到达的最高点距地面 eq \f(5v,16g)
[解析]　设小球所受的空气阻力大小为f，上升的最大高度为h。根据动能定理得上升过程有－(mg＋f)h＝0－mv，下落过程有(mg－f)h＝m－0，联立解得f＝mg，h＝ eq \f(5v,16g)。
[答案]　D
知识点三　应用动能定理处理多过程问题
力学综合题中的多过程问题，关键是抓住物理情境中出现的运动状态与运动过程，将全过程分解成几个简单的子过程。找出各过程是由什么物理量联系起来的，然后分别对每个子过程进行受力分析、过程分析和能量分析，选择合适的规律列出相应的方程求解。
(1)动能定理往往用于分析单个研究对象(可以是单个物体，也可以是多个物体组成的系统)的运动过程，当物体的运动包含多个不同过程时，分析每个过程各力的做功情况和物体的初、末动能，可分段应用动能定理求解；当所求解的问题不涉及中间过程的速度时，也可以对整个过程应用动能定理求解。
(2)应用动能定理时，必须明确各个力做功的正、负。当一个力做负功时，可设物体克服该力做的功为W，将该力做的功表示为－W，也可以直接用字母W表示该力做的功，使其字母本身含有负号。
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P99第6题改编】如图所示，粗糙水平面AB与竖直面内的粗糙半圆形导轨在B点相接，导轨半径R＝0.4 m。质量m＝1 kg的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点的速度v1＝5 m/s，之后沿半圆形导轨运动，到达C点的速度v2＝2 m/s。已知物体与水平面间的动摩擦因数μ＝0.5，AB间长度L＝1 m，重力加速度g取10 m/s2，求：
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT31.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT31.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT31.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)物体沿半圆形导轨运动过程中克服阻力所做的功；
(2)弹簧压缩至A点时的弹性势能。
[解析]　(1)物体从B至C的过程中，由动能定理得
－2mgR－W＝mv－mv
代入数据解得W＝2.5 J。
(2)物块从A至B的过程中，由动能定理得
W弹－μmgL＝mv－0
代入数据解得W弹＝17.5 J
由W弹＝－ΔEp＝－(0－Ep)，得Ep＝17.5 J。
[答案]　(1)2.5 J　(2)17.5 J
规范一练　应用动能定理解决多过程问题
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，固定光滑斜面AB的倾角θ＝53°，BC为水平面，BC长度lBC＝1.1 m，CD为光滑的竖直圆弧轨道，半径R＝0.5 m。一个质量m＝2 kg的物体，从斜面上A点由静止开始下滑，物体与水平面BC间的动摩擦因数μ＝0.2，轨道在B、C两点平滑连接。物体到达D点后，继续竖直向上运动，最高点到D点的高度h＝0.3 m。不计空气阻力，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2。求：
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT32.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT32.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT32.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)物体首次滑入圆轨道C点时对轨道的压力大小；
(2)释放点A的高度H；
(3)物体最终停止的位置到C点的距离s。
[解析]　(1)对首次由C到最高点的过程，由动能定理得－mg(h＋R)＝0－mv
解得vC＝4 m/s
在C点时由牛顿第二定律可得
FN－mg＝ eq \f(mv,R)
解得FN＝84 N
根据牛顿第三定律可知，物体首次滑入圆轨道C点时对轨道的压力大小为84 N。
(2)对由A到C的过程，由动能定理可得
mgH－μmglBC＝mv
解得H＝1.02 m。
(3)对全过程，由动能定理可得
mgH－μmgl＝0
解得l＝5.1 m
且l＝4×1.1 m＋x
可得x＝0.7 m
则物体最终停止的位置到C点的距离
s＝lBC－x＝0.4 m。
[答案]　(1)84 N　(2)1.02 m　(3)0.4 m
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(动能和动能定理)关于运动物体的受力、速度和动能，下列说法正确的是(　　)
A．物体受到的合外力不为零，其速度必定变化
B．物体的动能不变，其所受的合外力必定为零
C．物体受到的合外力对物体做功，它的速度一定变大
D．物体受到的合外力对物体不做功，它的速度必定不变
解析：选A。物体受到的合外力不为零，则具有加速度，其速度必定变化，故A正确；物体的动能不变，只能说明物体速度大小不变，而物体速度方向可能改变，所以其所受合外力不一定为零，例如匀速圆周运动，故B错误；物体受到的合外力对物体做正功，它的速度一定变大，物体受到的合外力对物体做负功，它的速度一定变小，故C错误；物体受到的合外力对物体不做功，它的速度大小一定不变，但方向可能改变，例如匀速圆周运动，故D错误。
2．(动能定理的基本应用)(2023·新课标卷，T15)无风时，雨滴受空气阻力的作用在地面附近会以恒定的速率竖直下落。一质量为m的雨滴在地面附近以速率v下落高度h的过程中，克服空气阻力做的功为(重力加速度大小为g)(　　)
A. 0　　　　　　　　　 B．mgh
C．mv2－mgh D．mv2＋mgh
解析：选B。结合题意可知，雨滴在地面附近下落过程做匀速运动，对雨滴下落高度h的过程分析，由动能定理有mgh－Wf＝0，即Wf＝mgh，B正确，A、C、D错误。
3．(动能定理解决多过程问题)(2025·辽宁沈阳市期末)冰壶比赛是冬奥会比赛项目之一，如图所示，运动员把冰壶沿平直冰面投出，冰壶先在冰面AB段自由滑行，再进入冰刷刷过的冰面BC段并最终停在C点。已知冰壶与AB段、BC段间的动摩擦因数之比为3∶2，冰壶在AB段和BC段滑行的位移大小之比为2∶1，则冰壶在A点和B点速度大小的比值为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S77.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S77.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S77.TIF" \* MERGEFORMAT
A．4 B．3
C．2 D．
解析：选C。设冰壶与AB段、BC段间的动摩擦因数分别为μ1、μ2，冰壶在AB段和BC段滑行的位移大小分别为x1、x2。冰壶在AB段滑行时，根据动能定理得－μ1mgx1＝mv－mv，冰壶在BC段滑行时，根据动能定理得－μ2mgx2＝0－mv，依题意μ1∶μ2＝3∶2，x1∶x2＝2∶1，联立解得＝2。(共12张PPT)
专题提升课9　课后达标检测
1．(14分)(2025·内蒙古呼和浩特市期中)如图所示，与水平面夹角θ＝37°的倾斜传送带始终绷紧，传送带下端A点与上端B点间的距离l＝12 m，电动机带动传送带以恒定的速率v＝2.4 m/s向上运动。现将一质量为5 kg的物体无初速度地放于A处，已知物体与传送带间的动摩擦因数μ＝0.8，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，重力加速度g取10 m/s2，求：
(1)物体从A运动到B共需多少时间；(6分)
答案：8 s　
(2)物体从A运动到B过程中，摩擦力对物块做的功；(4分)
答案：374.4 J　
(3)物体从A点到达B点的过程中，传送带多消耗的电能。(4分)
答案：604.8 J
2．(14分)(2025·河北衡水市开学考)如图所示，地面和固定半圆轨道面均光滑，质量M＝1 kg、长L＝4 m的小车静止在水平地面上，小车上表面与半圆轨道最低点P的切线相平。现有一质量m＝2 kg、大小不计的滑块以v0＝6 m/s的初速度滑上小车左端，带动小车向右运动。已知小车与墙壁碰撞前小车和滑块已经共速，小车与墙壁碰撞时即被粘在墙壁上，滑块与小车表面的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2。
(1)求滑块与小车共速时的速度大小。(4分)
解析：根据牛顿第二定律：对滑块有
μmg＝ma1
对小车有μmg＝Ma2
当滑块相对小车静止时，两者速度相等，即
v0－a1t＝a2t
由以上各式解得t＝1 s
此时小车的速度v2＝a2t＝4 m/s。
答案：4 m/s　
(2)求滑块与小车共速时离小车右端的距离。(4分)
答案：1 m　
(3)若要滑块能沿半圆轨道运动的过程中不脱离轨道，则求半圆轨道的半径R的取值范围。(6分)
答案：R≤0.24 m或R≥0.6 m(共25张PPT)
第4节　课后达标检测
√
题组1　机械能守恒的判断
1．下列叙述正确的是(　　)
A．做匀速直线运动物体的机械能一定守恒
B．做变速直线运动物体的机械能一定守恒
C．外力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒
D．系统内只有重力或弹力做功时，系统的机械能一定守恒
解析：做匀速直线运动物体的机械能不一定守恒，如物体匀速上升，故A错误；做匀变速直线运动的物体机械能可能不守恒，如水平面上做匀加速直线运动的物体，机械能增加，故B错误；外力对物体做功为零，物体的机械能不一定守恒，例如物体向上做匀速直线运动时，外力对物体做功为零，机械能增加，故C错误；系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒，故D正确。
√
2．(2025·四川自贡市开学考)如图所示，是运 -20加油机给歼 -10战斗机加油的情景，在加油过程中，加油机和战斗机的飞行高度、速度和方向均不变，关于加油机和战斗机的机械能说法正确的是(　　)

A．战斗机动能增大，势能减小，机械能不变
B．加油机动能减小，势能不变，机械能不变
C．加油机动能减小，势能不变，机械能减小
D．战斗机动能增大，势能增大，机械能增大
解析：战斗机油量增加，质量增大，速度不变，动能增大，高度不变，重力势能增大。机械能为动能和重力势能之和，所以战斗机机械能增大。加油机油量减少，质量减少，速度不变，动能减小，高度不变，重力势能减小。机械能为动能和重力势能之和，所以加油机机械能减小，故A、B、C错误，D正确。
√
题组2　单物体的机械能守恒问题
3．(2024·1月浙江选考，T3)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球(　　)

A．从1到2动能减少mgh
B．从1到2重力势能增加mgh
C．从2到3动能增加mgh
D．从2到3机械能不变
解析：由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2重力势能增加mgh，且1到2动能减少量大于mgh，A错误，B正确； 从2到3由于空气阻力作用，机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加量小于mgh，C、D错误。
√
4．(多选)两质量相同的物体A和B，分别从两个高度相同的光滑斜面和光滑圆弧形斜坡的顶端滑向底部，如图所示。若它们的初速度为零，则下列说法正确的是(　　)

A．下滑过程中重力做的功不相等
B．它们在顶端时的机械能相等
C．它们到达底部时的动能相等
D．它们到达底部时的速度相同
√
√
√
6．(多选)如图所示，上表面是光滑圆弧的质量为M的小车A置于光滑水平面上，有一质量为m的物体B在弧上自由滑下的同时释放A，则(　　)

A．在B下滑的过程中，B的机械能守恒
B．圆弧轨道对B的支持力对B不做功
C．在B下滑的过程中，A的机械能增加
D．A、B组成的系统机械能守恒
√
解析：在B下滑的过程中，A向左运动，除了B所受的重力做功外，圆弧轨道对B的支持力对B做负功，故B的机械能减少，A、B错误；B对圆弧轨道的压力对A做正功，故A的机械能增加，C正确；A、B组成的系统只发生系统内动能和重力势能之间的相互转化，系统机械能守恒，D正确。
√
7．(2025·黑龙江哈尔滨市期中)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放，不计空气阻力，在各自轨迹的最低点(　　)

A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定大于Q球的动能
C．P球的机械能一定大于Q球的机械能
D．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
√
9．(12分)如图所示，质量为m的小球固定在长为L的细绳
一端，绕细绳的另一端O点在竖直平面内做圆周运动(重力
加速度为g)。
(1)求小球恰好能通过最高点的速度大小。(4分)
(2)在第(1)问的基础上求小球经过最低点的速度。(4分)
(3)已知小球在竖直面内做圆周运动，求证最低点和最高点绳中拉力之差是一个定值，并求出这个值。(4分)
答案：见解析
10．(12分)如图所示，竖直平面内有一固定光滑弧形轨道AB与粗糙水平地面平滑连接，B为弧形轨道的最低点。已知弧形轨道最高点A距离水平地面的高度h＝0.45 m。现有一滑块(可视为质点)，从A点由静止开始沿弧形轨道下滑，滑块与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.2，最后在水平地面上的C点停止运动。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)滑块滑至B点时速度的大小；(6分)
答案：3 m/s　
(2)滑块在水平地面上滑行距离的大小。(6分)
答案：2.25 m专题提升课6　变力做功与机车启动问题
INCLUDEPICTURE "专题深度剖析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
微专题一　变力做功的计算
方法 常见情境 方法概述
微元法 INCLUDEPICTURE "H:\\DR8.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../DR8.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../DR8.TIF" \* MERGEFORMAT 将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题
平均力法 INCLUDEPICTURE "H:\\DR9.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../DR9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../DR9.TIF" \* MERGEFORMAT 在求解变力做功时，若物体受到的力方向不变，而大小随位移呈线性变化，即力均匀变化时，则可以认为物体受到一大小为F＝的恒力作用，F1、F2分别为物体初、末态所受到的力，然后用公式W＝Fl cos α求此力所做的功
图像法 INCLUDEPICTURE "H:\\DR10.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../DR10.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../DR10.TIF" \* MERGEFORMAT 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)
化变力为恒力 INCLUDEPICTURE "H:\\DR11.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../DR11.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../DR11.TIF" \* MERGEFORMAT 变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Fl cos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中
用W＝Pt计算 INCLUDEPICTURE "H:\\DR12.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../DR12.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../DR12.TIF" \* MERGEFORMAT 这是一种等效代换的观点，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的这一条件
方法1　微元法的应用
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　在水平面上，有一弯曲的槽道AB，由半径分别为和R的两个半圆构成，如图所示。现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点拉至B点，若拉力F的方向时刻与小球运动方向一致，则此过程中拉力做的功为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\22L2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../22L2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../22L2.TIF" \* MERGEFORMAT
A．0　　　　　　　　　 B．FR
C．πFR D．2πFR
[解析]　小球受的拉力F在整个过程中大小不变，方向时刻变化，是变力。但是如果把圆周分成无数微小的弧段，每一小段可近似看成直线，拉力F在每一小段上方向不变且与位移方向相同，每一小段上可用恒力做功的公式计算，然后将各段做的功累加起来。设每一小段的长度分别为l1，l2，…，ln，拉力在每一段上做的功W1＝Fl1，W2＝Fl2，…，Wn＝Fln，拉力在整个过程中所做的功W＝W1＋W2＋…＋Wn＝F(l1＋l2＋…＋ln)＝F＝πFR。
[答案]　C
方法2　图像法的应用
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)质量为2 kg的物体在水平面上沿直线运动，受到的阻力大小恒定。经某点开始沿运动方向的水平拉力F与运动距离x的关系如图所示，0～3 m物体做匀速直线运动。下列对图示过程的说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT10.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../25WT10.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25WT10.TIF" \* MERGEFORMAT
A．在x＝5 m处物体加速度大小为3 m/s2
B．0～7 m拉力对物体做功为40 J
C.0～7 m物体克服阻力做功为28 J
D．0～7 m合力对物体做功为68 J
[解析]　根据题意可知，0～3 m物体做匀速直线运动，结合题图可得，阻力为4 N，由于阻力不变，由题图可知，在3～7 m水平拉力F与x的关系式为F＝x－(N)，则在x＝5 m处F＝7 N，由牛顿第二定律有a＝＝ m/s2＝1.5 m/s2，故A错误；由公式W＝Fx可知，F－x图像的面积表示做功，由图可得，0～7 m拉力对物体做功WF＝3×4 J＋×(4＋10)×(7－3) J＝40 J，故B正确；0～7 m物体克服阻力做功W＝4×7 J＝28 J，故C正确；根据题意可知，W合＝WF＋Wf，又有Wf＝－W＝－28 J，则W合＝12 J，故D错误。
[答案]　BC
方法3　化变力为恒力
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，质量为m的滑块(可视为质点)，从半径为R的半球面的上端A点处以初速度v0滑下，B为最低点，O为球心，A、O、C三点等高，从A到C滑动过程中滑块所受的摩擦力大小恒为Ff，则滑块(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB77.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../23WLB77.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../23WLB77.TIF" \* MERGEFORMAT
A．从A到B过程，重力做功为零
B．从A到B过程，弹力做功不为零
C．从A到B过程，摩擦力做功为－πRFf
D．从A到C过程，摩擦力做功为－πRFf
[解析]　由题图可得从A到B过程，重力做正功，弹力始终与速度垂直不做功，故A、B错误；从A到B过程，摩擦力做功为Wf＝－Ff·s＝－Ff··2πR＝－πRFf，故C错误；从A到C过程，摩擦力做功为Wf′＝－Ff·s′＝－Ff··2πR＝－πRFf，故D正确。
[答案]　D
微专题二　机车启动问题
1．两种启动方式
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像 INCLUDEPICTURE "H:\\179a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../179a.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../179a.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\180a.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../180a.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../180a.TIF" \* MERGEFORMAT
v－t图像 INCLUDEPICTURE "H:\\179b.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../179b.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../179b.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\180b.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../180b.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../180b.TIF" \* MERGEFORMAT
牵引力的变化图像 INCLUDEPICTURE "H:\\181.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../181.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../181.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "H:\\182.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../182.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../182.TIF" \* MERGEFORMAT
OA段 过程分析 v↑ F＝↓ a＝↓ a＝不变 F不变P＝Fv↑直到P额＝Fv1
运动性质 加速度减小的加速直线运动 匀加速直线运动，维持时间t0＝
AB段 过程分析 F＝Ff a＝0 Ff＝ v↑ F＝↓ a＝↓
运动性质 以速度vm做匀速直线运动 加速度减小的加速直线运动
BC段 过程分析 — F＝Ff a＝0 Ff＝
运动性质 以速度vm做匀速直线运动
2.两个理论依据
(1)机车功率：P＝Fv；
(2)牛顿第二定律：F－Ff＝ma。
3．几个物理量
(1)汽车的最大速度vm的求法
汽车做匀速运动时速度最大，此时牵引力F等于阻力Ff，故vm＝＝。
(2)匀加速启动时，做匀加速运动的时间t的求法
牵引力F＝ma＋Ff，匀加速运动的最大速度vm′＝，时间t＝。
(3)瞬时加速度a的求法
根据F＝求出牵引力，则加速度a＝。
角度1　恒定功率启动
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2023·湖北卷，T4)两节动车的额定功率分别为P1和P2，在某平直铁轨上能达到的最大速度分别为v1和v2。现将它们编成动车组，设每节动车运行时受到的阻力在编组前后不变，则该动车组在此铁轨上能达到的最大速度为(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
[解析]　由题意可知对两节动车分别有P1＝f1v1，P2＝f2v2，当将它们编组后有P1＋P2＝(f1＋f2)v，联立可得v＝。
[答案]　D
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　中国大型起重机吊装精细化操控有较高的稳定性，现一塔式起重机以额定功率将地面上的重物由静止沿竖直方向吊起，若吊升高度足够且不计额外功，则(　　)
A.重物的速度一直增加
B．重物先做匀加速直线运动后做匀速直线运动
C．重物所受起重机牵引力保持不变
D．重物所受起重机牵引力先减小后不变
[解析]　起重机以额定功率将地面上的重物由静止沿竖直方向吊起，满足P m＝Tv，T－mg＝ma，保持额定功率不变，随着速度逐渐增大，牵引力逐渐减小，则加速度逐渐减小，当牵引力减小到等于重力时，加速度为零，此后做匀速直线运动，故重物的速度先增大后不变，故A错误；根据运动过程的分析可知，重物先做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动，故B错误；重物所受起重机牵引力先逐渐减小，后等于重力保持不变，故C错误，D正确。
[答案]　D
角度2　恒定加速度启动
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)我国新能源汽车发展迅猛，已成为全球最大的新能源汽车产销国。质量为m的某新能源汽车在水平路面上以恒定加速度a启动，其v－t图像如图所示，其中OA段和BC段为直线。已知汽车动力系统的额定功率为P，汽车所受阻力大小恒为f，则下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S65.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S65.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S65.TIF" \* MERGEFORMAT
A．汽车做匀加速运动的最大速度v1＝
B．汽车能达到的最大行驶速度v2＝
C．汽车速度为时的功率P′＝
D．汽车速度为时的加速度大小a′＝－
[解析]　根据牛顿第二定律有F－f＝ma，解得F＝f＋ma，则汽车做匀加速运动的最大速度v1＝＝，故A错误；当牵引力与阻力平衡时，汽车达到最大行驶速度，即v2＝，故B错误；汽车速度为时，功率P′＝F·＝，故C正确；汽车速度为时，牵引力大小F′＝＝，根据牛顿第二定律有F′－f＝ma′，解得a′＝－，故D正确。
[答案]　CD
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例7LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·江苏无锡市期末)一辆质量为1.5×103 kg的汽车从静止开始启动，保持额定功率在倾角正弦值为0.1的斜坡上沿斜坡向上行驶。汽车所受摩擦阻力恒为车重的0.2，汽车达到的最大速度为16 m/s，g取10 m/s2。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S66.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S66.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S66.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求汽车发动机的额定功率。
(2)若汽车沿斜坡向上从静止开始以a＝3 m/s2的加速度匀加速启动，求汽车匀加速运动过程所用的时间。
[解析]　(1)根据题意可知，汽车所受阻力
f＝0.2mg
根据额定功率公式可得
P额＝Fvm
F＝f＋mg sin α
解得P额＝72 kW。
(2)当汽车以恒定加速度运动时，则有
F′－f－mg sin α＝ma
P额＝F′v
解得v＝8 m/s
根据v＝at可得t＝ s。
[答案]　(1)72 kW　(2) sINCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(多选)如图所示，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短。若不计弹簧质量和空气阻力，则在小球由b→c的运动过程中，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\22L28.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/22L28.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/22L28.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/22L28.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小球和弹簧构成的系统总机械能守恒
B．小球的重力势能随时间先减少后增加
C．小球在b点时动能最大
D．小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
解析：选AD。小球由b→c运动过程中，对于小球和弹簧组成的系统，由于只有重力和系统内弹簧的弹力做功，所以系统总机械能守恒，故A正确；小球不断下降，重力势能不断减小，故B错误；小球从b到c过程，先加速后减速，故动能先变大后变小，动能最大的位置在b、c之间的某点，故C错误；小球从b到c过程中，重力势能、动能、弹性势能相互转化，机械能总量守恒，故动能和重力势能的减少量等于弹性势能的增加量，即小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。
2．(多选)(2025·福建泉州市期中)如图所示，轻绳跨过定滑轮悬挂两物体P和Q，其质量关系为mP>mQ，轻绳及定滑轮的质量、摩擦力及空气阻力均不计，则在系统由静止开始运动到Q刚要碰到滑轮的过程中(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S101.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S101.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S101.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S101.TIF" \* MERGEFORMAT
A．P减少的重力势能大于Q增加的机械能
B．P减少的重力势能小于Q增加的机械能
C．P增加的动能大于Q增加的动能
D．P增加的动能小于Q增加的动能
解析：选AC。P、Q组成的系统机械能守恒，P减少的重力势能等于Q增加的机械能与P增加的动能之和，故P减少的重力势能大于Q增加的机械能，故A正确，B错误；P、Q速度大小始终相等，由于mP>mQ，P增加的动能大于Q增加的动能，故C正确，D错误。
3．(2025·北京西城区期末)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球A和B之间用一根长为L的轻杆连接，轻杆可绕中心O的水平轴无摩擦转动，现让杆处于水平位置无初速度释放，在杆转至竖直的过程中(轻杆质量不计)(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S102.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S102.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S102.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S102.TIF" \* MERGEFORMAT
A．A球机械能减小
B．杆对B球不做功，B球机械能守恒
C．A球和B球总机械能守恒
D．A球和B球总机械能不守恒
解析：选C。释放后，A球向上运动，速度增大，高度增大，所以A球的动能和势能都增大，即A球的机械能增大，故A错误；在杆从水平转至竖直的过程中，A球和B球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，又根据机械能守恒可得EA增＝EB减，所以A球的机械能增大，B球的机械能减少，杆对B球做负功，故B、D错误，C正确。
4．(2025·辽宁朝阳市期末)如图所示，B物体的质量是A物体质量的一半，不计所有摩擦，A物体从离地面高H处由静止开始下落，以地面为零势能面，当A物体的动能与其重力势能相等时，A物体距地面的高度为(设该过程中B物体未与滑轮相碰)(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S103.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S103.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S103.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S103.TIF" \* MERGEFORMAT
A．0.4H　　　　　　　　 B．0.2H
C．0.8H D．H
解析：选A。对A、B两物体组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，B的重力势能不变，所以A重力势能的减小量等于系统动能的增加量，有mAg(H－h)＝(mA＋mB)v2，又因为物体A的动能与其重力势能相等，有mAgh＝mAv2，又因为B物体的质量是A物体质量的一半，解得h＝0.4H。
5．如图所示，物体A、B质量相同，在倾角为30°的光滑斜面上，滑轮及绳子质量均不计，现将系统由静止释放，则物体A在下降h距离时的速度大小为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB112.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB112.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB112.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB112.TIF" \* MERGEFORMAT
A．　　　　　　　　 B．2
C． D．
解析：选A。设物体A在下降h距离时的速度为v，则此时物体B的速度为，由机械能守恒定律得mgh＋mg×h sin 30°＝mv2＋m，解得v＝。
6．(多选)质量分别为2 kg、3 kg的物体A和B，系在一根不可伸长的轻绳两端，细绳跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的轻质定滑轮，此时物体A离地面的高度为0.8 m，如图所示。斜面光滑且足够长，始终保持静止，g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\24H39.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/24H39.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24H39.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24H39.TIF" \* MERGEFORMAT
A．物体A落地的速度为4 m/s
B．物体A落地的速度为 m/s
C．物体B沿斜面上滑的最大距离为0.96 m
D．物体B沿斜面上滑的最大距离为0.88 m
解析：选BC。把A、B看成整体，所以整体机械能守恒，有mAgh－mBgh sin 30°＝(mA＋mB)v2，代入数据，得v＝ m/s，A错误，B正确；A物体落地前，B物体滑行的距离x1＝0.8 m，A物体落地后，B物体受的合力为mg sin 30°，加速度为g sin 30°，则x2＝，代入数据解得x2＝0.16 m，物体B沿斜面上滑的最大距离x＝x1＋x2＝0.8 m＋0.16 m＝0.96 m，C正确，D错误。
7．(12分)如图所示，一条不可伸长的轻质软绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个质量分别为m、3m的小球a和b，用手按住a球静止于地面时，b球离地面的高度为h，两小球均可视为质点，定滑轮的质量及一切阻力均不计，a球与定滑轮间距足够大，不会相碰，释放a球后，求：
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S105.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S105.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S105.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S105.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)b球落地前的加速度大小；(4分)
(2)b球落地前的动能大小；(4分)
(3)a球能到达的最大高度。(4分)
解析：(1)b球落地前，两球的加速度大小相等，以b球为对象，根据牛顿第二定律可得
3mg－T＝3ma
以a球为对象，根据牛顿第二定律可得
T－mg＝ma
联立解得a＝g。
(2)b球落地前过程，根据系统机械能守恒可得
3mgh－mgh＝(3m＋m)v2
解得b球落地前瞬间的速度大小v＝
则b球落地前的动能
Ekb＝×3mv2＝mgh。
(3)b球落地后，a球继续做竖直上抛运动，继续上升的高度
h′＝＝h
则a球能到达的最大高度
hm＝h＋h′＝h。
答案：(1)g　(2)mgh　(3)h
8．(12分)(2025·河北衡水市期末)如图所示，将内壁光滑的细管弯成四分之三圆形的轨道(圆心为O)并竖直固定，轨道半径为R，细管内径远小于R。轻绳穿过细管连接小球A和重物B，小球A的质量为m，直径略小于细管内径，用手托住重物B使小球A静止在Q点(OQ与竖直直径的夹角为53°)；松手后，小球A运动至P点(OP与竖直直径的夹角为37°)时对细管恰无作用力。重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，π取3.2，求：
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S106.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S106.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S106.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S106.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)小球A静止在Q点时对细管壁的压力大小N；(6分)
(2)重物B的质量M。(6分)
解析：(1)小球A静止在Q点时根据平衡条件有
N1＝mg cos 53°
根据牛顿第三定律有
N＝ N1
解得N＝0.6mg。
(2)小球A从Q点到P点，根据机械能守恒定律有
Mg·－mg·R(cos 37°＋cos 53°)＝(M＋m)v2
对小球A在P点时，根据牛顿第二定律有
mg cos 37°＝m
解得M＝1.5m。
答案：(1)0.6mg　(2)1.5mINCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2025·江苏镇江市期中)利用图1所示的装置做“验证机械能守恒定律”实验。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S128.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S128.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S128.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S128.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)除图1中所示的装置之外，还必须使用的器材是________。
A．交流电源、天平(含砝码)
B．交流电源、刻度尺
C．直流电源、天平(含砝码)
D．直流电源、刻度尺
(2)实验中，先接通电源，再释放重物，得到图2所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC，已知当地重力加速度为g，计时器打点周期为T，求出B点的速度表达式vB＝________，若从O点到B点的过程中机械能守恒，应满足的关系式为__________________。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S129.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S129.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S129.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S129.TIF" \* MERGEFORMAT
(3)大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是________。
A．该误差属于偶然误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差
B．该误差属于系统误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差
C．该误差属于偶然误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差
D．该误差属于系统误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差
解析：(1)打点计时器需要用到交变电流；验证动能的增加量和重力势能的减小量是否相等，两端都有质量，可以约去，不需要天平测量质量；测量点迹间的距离要用刻度尺。
(2)重物下落过程做匀加速直线运动，由匀变速直线运动的推论可知，打B点时的速度vB＝。
若从打O点到打B点的过程中，机械能守恒，应满足的关系式为mghB＝mv，即满足ghB＝。
(3)此实验因空气阻力以及摩擦力的存在，总会使减小的重力势能略大于增加的动能，这属于系统误差，是不可避免的，但想要实验结果更加准确，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差。
答案：(1)B　(2)　ghB＝　(3)D
2．(2025·北京顺义区期末)利用如图甲装置做“验证机械能守恒定律”实验。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S130.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S130.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S130.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S130.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)为验证机械能是否守恒，需要比较重物下落过程中任意两点间的________。
A．动能变化量与势能变化量
B．速度变化量和势能变化量
C．速度变化量和高度变化量
(2)此实验过程中机械能是否守恒，可以通过计算纸带打下两点的过程中，重物减少的重力势能是否等于其增加的动能来验证。图乙是实验中得到的一条纸带。O为重物开始下落时记录的点，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，得到它们之间的距离分别为sA、sB、sC。若重物质量用m表示，已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，则在打下O点到B点的过程中，重力势能的减少量ΔEp ＝ mg(sA ＋sB)，动能的增加量ΔEk ＝__________________。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S131.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S131.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S131.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S131.TIF" \* MERGEFORMAT
(3)大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量大于动能的增加量，原因是________。
A．利用公式v＝gt计算重物速度
B．利用公式v＝计算重物速度
C．存在空气阻力和摩擦阻力的影响
D．没有采用多次实验取平均值的方法
(4)某同学想用下述方法研究机械能是否守恒，在纸带上选取多个计数点，测量它们到起始点O的距离h，计算对应计数点的重物速度v，描绘v2－h图像，并做如下判断：若图像是一条过原点的直线，则重物下落过程中机械能守恒。请你分析论证该同学的判断依据是否正确_________________________________
________________________________________________________________
________________________________________________________________________。
解析：(1)根据机械能守恒定律可得mgh＝mv2－0，故需要比较动能变化量与势能变化量。
(2)根据匀变速直线运动中间时刻速度等于该段过程的平均速度，则有vB＝，则从打O点到打B点的过程中，动能变化量ΔEk＝mv－0＝m。　
(3)该实验中存在摩擦、空气阻力，实际加速度不是g，而利用公式v＝gt、v＝计算重物速度时都认为机械能守恒，则重力势能的减少量等于动能的增加量，故A、B错误；存在空气阻力和摩擦阻力的影响时，重力势能一部分会转化为内能，则重力势能的减少量大于动能的增加量，故C正确；采用多次实验取平均值的方法是为了减小偶然误差，故D错误。
(4)该同学的判断依据不正确。在重物下落h的过程中，若阻力f恒定，根据mgh－fh＝mv2－0，可得v2＝2h，可知v2－h图像就是过原点的一条直线。要想通过v2－h图像的方法验证机械能是否守恒，还必须看图像的斜率是否接近2g。
答案：(1)A　(2)m　(3)C　(4)见解析
3．(2025·广西南宁市期末)如图甲所示的是一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。已知重力加速度为g。实验步骤如下：
A．将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调节水平；
B．测出遮光条宽度d；
C．将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离L；
D．释放滑块，读出遮光条通过光电门的遮光时间Δt；
E．用天平测出槽码和托盘总质量m，滑块和遮光条总质量M；
F．改变遮光条到光电门的距离，重复步骤C、D
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S132.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S132.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S132.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S132.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)关于该实验，下列说法正确的是________。
A．调节气垫导轨水平时，应在给导轨充气前，调节底脚螺丝使滑块在导轨上匀速滑动
B．调节气垫导轨水平时，应在给导轨充气后，调节底脚螺丝使滑块在导轨上匀速滑动
C．槽码和托盘总质量m与滑块和遮光条总质量M应满足m M
(2)某次测得遮光条到光电门的距离为L1，遮光条通过光电门的时间t1，遮光条通过光电门的速率为______；滑块从释放到光电门的过程中，系统势能的减少量ΔEp减＝______；若在实验误差允许范围内，满足关系式______________________________________________________________________________________(用题中相关字母表示)，则说明系统机械能守恒。
(3)保持M、d不变，两位同学分别用不同质量的槽码进行实验，并且通过改变遮光条到光电门的距离L，重复步骤C、D，得到几组不同的L，同时测出相应的t，他们在同一幅L－图像中描绘出如图乙中的a图线和b图线，分析原因可知a图线槽码和托盘总质量________(选填“>”“<”或“＝”)b图线槽码和托盘总质量。
解析：(1)给导轨充气后，调节底脚螺丝直至滑块能做匀速直线运动，说明导轨已经调节水平，故A错误，B正确；本实验验证的是系统机械能守恒，槽码和托盘总质量m与滑块和遮光条总质量M不需要满足m M，故C错误。
(2)遮光条通过光电门的速率v＝。滑块从释放到光电门的过程中，系统势能的减少量ΔEp＝mgL1。系统机械能守恒，则有mgL1＝(M＋m)v2，联立可得mgL1＝(M＋m)。
(3)由上一问分析，可得L＝·，可知L－图像中图线的斜率k＝＝，可得a图线槽码和托盘总质量小于b图线槽码和托盘总质量。
答案：(1)B　(2)　mgL1　mgL1＝(M＋m)　(3)<
4．(2025·江西南昌市期末)在进行“验证机械能守恒定律”的实验中，甲、乙两实验小组分别采用了如图1和图2所示的装置进行实验。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S134.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S134.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S134.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S134.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)甲组同学采用了图1所示的方案，除带夹子的重物、纸带、铁架台(含铁夹)、电磁打点计时器、交流电源、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是________。(填正确答案前的字母标号)
A．秒表　　B．刻度尺　　C．天平(含砝码)
(2)甲组同学释放纸带前的瞬间，重物和手的位置下列合理的是________。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S135.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S135.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S135.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S135.TIF" \* MERGEFORMAT
(3)比较两种实验方案，你认为________(选填“甲”或“乙”)组同学采用的实验方案误差更小。
(4)乙组同学采用图2所示的方案完成实验，选出一条纸带如图3所示，其中O点为起始点，A、B、C三个连续计时点到O点的距离分别为h1、h2、h3，打点计时器打点周期为T，重物质量m1大于m2，重力加速度为g。打下B点时重物速度大小为____________，若通过纸带验证OB过程系统机械能守恒，其表达式为________________________________________________________________________。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S136.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S136.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S136.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S136.TIF" \* MERGEFORMAT
解析：(1)通过打点计时器可以知道计数点之间的时间间隔，所以不需要秒表；由于验证机械能守恒的表达式中质量可以约去，所以不需要天平；需要用刻度尺测量纸带上计数点间的距离，B正确。
(2)为了减小实验误差，释放前必须保持提起的纸带处于竖直位置，手提纸带的一端，并且使重物靠近打点计时器，故合理的为C。
(3)甲组方案更合理，因为在乙组的方案中还受到细线与滑轮之间的阻力影响。
(4)B点的速度大小vB＝，若机械能守恒，则有m1gh2－m2gh2＝m1v＋m2v，整理有(m1－m2)gh2＝。
答案：(1)B　(2)C　(3)甲　(4)　　(m1－m2)gh2＝
5．(2025·广西贺州市期末)小七同学利用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律。在水平桌面边缘处放有一倾角为θ的斜面，最低点与桌面边缘平滑连接。桌面与地面之间的竖直距离为H。小球从斜面上静止释放，从最低点进入桌面后立即从边缘飞出。小七从距离桌面不同的高度h静止释放小球，并测得每一次小球从水平桌面抛出后到落地前的水平位移x。空气阻力可以忽略。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S137.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S137.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S137.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S137.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)为了使x的测量尽可能准确，小七从同一高度h多次静止释放小球，在地面上留下了一系列落点， 如图乙所示，则此高度对应的x＝__________cm。
(2)假设斜面光滑，为了验证小球在斜面上的运动过程是否满足机械能守恒定律，小七用线性图线来处理实验获得的多组h和x的数据。如果小球在斜面上的运动过程满足机械能守恒定律，则下面的图像正确的是__________，正确图像的斜率为__________(用题目所给已知量表示)。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S138.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S138.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S138.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S138.TIF" \* MERGEFORMAT
(3)接上问，小七选择了正确的线性图线来处理数据，发现实验数据的图像确实是一条直线，但斜率却只有理论值的a倍(a<1)，对此，小七猜测可能是由于斜面的摩擦力不可忽略，并利用动能定理算出了斜面的动摩擦因数μ，则μ＝__________(用题目所给已知量表示)。
解析：(1)由题图乙可知，刻度尺的分度值是1 mm，此高度对应的x＝55.50 cm。
(2)根据机械能守恒有mgh＝mv2，根据平抛运动规律有v＝，H＝gt2，可解得x2＝4Hh，则x＝2，所以为了得到线性关系的图像以便进行定量分析，该同学应作出x－图像，图像斜率为2。
(3)斜面的摩擦力不可忽略，则有mgh－μmg cos θ×＝mv′2，根据平抛运动规律有v′＝，H＝gt2，可解得x′2＝4Hh－，有x′＝2·，斜率只有理论值的a倍，则有2＝2a，解得μ＝(1－a2)tan θ。
答案：(1)55.50　(2)A　2　(3)(1－a2)tan θINCLUDEPICTURE "物RJBX2第八章LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\物RJBX2第八章LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../物RJBX2第八章LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../物RJBX2第八章LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
第1节　功与功率
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．理解功的概念，知道W＝Fl cos α的适用范围，会用功的公式进行计算。　2.理解正、负功的概念，会根据公式计算多个力所做的总功。　3.理解功率的概念，能运用功率的定义式P＝进行有关的计算。　4.根据功率的定义导出P＝Fv，会分析P、F、v三者的关系。
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、功
1．功的定义：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段位移，我们就说这个力对物体做了功。
2．做功的因素：力；物体在力的方向上发生的位移。
3．功的公式
(1)力F与位移l同向时：W＝Fl。
(2)力F与位移l有夹角α时：W＝Fl_cos_α，其中F、l、cos α分别表示力的大小、位移的大小、力与位移夹角的余弦。
4．适用条件：W＝Fl cos α仅适用于求恒力做的功。
5．单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。1 J＝1 N·m。
6．标矢性：功是标量。
二、正功和负功
1．做正功和负功的条件
由W＝Fl cos α可知
(1)当0≤α<时，cos α>0，W>0，力对物体做正功；
(2)当<α≤π时，cos α<0，W<0，力对物体做负功，或称物体克服这个力做功；
(3)当α＝时，cos α＝0，W＝0，力对物体不做功。　
INCLUDEPICTURE "特别提醒A.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\特别提醒A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../特别提醒A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../特别提醒A.TIF" \* MERGEFORMAT 　功的正负只表示是动力做功还是阻力做功，不表示大小，比较大小要取绝对值。
2．总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的代数和。它也就是这几个力的合力对物体所做的功。
三、功率
1．定义：功W与完成这些功所用时间t的比值。
2．公式：P＝。
3．单位：瓦特，简称瓦，符号W。
4．意义：功率是表示物体做功快慢的物理量。
5．功率是标量。
6．功率与速度
(1)关系：一个沿着物体位移方向的力对物体做功的功率，等于这个力与物体速度的乘积。
(2)关系式：P＝Fv。
①若v是物体的平均速度，则P＝Fv为对应时间t内的平均功率。
②若v是瞬时速度，则P表示该时刻的瞬时功率。
(3)应用：从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度成反比，要增大牵引力，就要减小速度；但要提高速度和增大牵引力，必须提高发动机的额定功率。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确。
(1)汽车沿斜坡向上加速行驶时，牵引力对汽车一定做功。(　　)
(2)功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和。(　　)
(3)力对物体做功越快，力的功率一定越大。(　　)
(4)发动机不能在实际功率等于额定功率情况下长时间工作。(　　)
(5)汽车爬坡时常常需要换高速挡。(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　功的理解及正、负功的判断
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示，马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB60.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../23WLB60.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../23WLB60.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)小车(包括人)受到几个力作用？每个力对小车做功吗？做正功还是负功？
(2)马对小车做的功是否等于马的拉力F(设F与水平方向的夹角为α)和小车的位移l的乘积？
(3)若小车做匀加速运动，合力做什么功？若小车做匀减速运动，合力做什么功？怎样求合力做的功？
[提示]　(1)小车(包括人)受4个力作用：重力、支持力、拉力、摩擦力，其中拉力做正功，摩擦力做负功，重力和支持力不做功。
(2)不等于。因为W＝Fl cos α。
(3)若小车做匀加速运动，则合力做正功。若小车做匀减速运动，则合力做负功。合力做的功等于拉力F做的功与摩擦力做的功的代数和，或者等于拉力和摩擦力的合力做的功。
1．对功的理解
功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的代数和，或者等于合力所做的功。
2．正、负功的判断
(1)根据力F的方向和物体位移l方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形。
(2)根据力的方向与物体瞬时速度方向的夹角θ判断——常用于曲线运动的情形。
如图所示：
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB61.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../23WLB61.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../23WLB61.TIF" \* MERGEFORMAT
①若夹角θ是锐角，则力做正功。
②若夹角θ是钝角，则力做负功。
③若夹角θ是直角，则力不做功。
3．正负功的物理意义
项目 动力学角度 能量角度
正功 力对物体做正功，这个力是动力，对物体的运动起推动作用 力对物体做正功，向物体提供了能量，使物体的能量增加
负功 力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用 力对物体做负功，物体向外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，物体自身的能量减少
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·江苏淮安市期中)如图所示，一物体静止在斜面上，现在使斜面体向右匀速移动一段距离，物体相对斜面始终静止，则下列关于物体所受各力对物体做功的说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S54A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S54A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S54A.TIF" \* MERGEFORMAT
A．重力做正功　　　　 B．支持力不做功
C．摩擦力做负功 D．合力做正功
[解析]　对物体受力分析可知物体受重力、弹力和摩擦力，受力分析图如图所示，由于物体在水平方向移动，重力的方向与物体位移方向垂直，所以重力对物体不做功，支持力的方向与位移方向的夹角小于90°，则支持力对物体做正功，摩擦力的方向与位移方向的夹角大于90°，所以摩擦力对物体做负功，所受合外力为0，故合外力不做功。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S54.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S54.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S54.TIF" \* MERGEFORMAT
[答案]　C
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·江苏镇江市期中)如图所示，若用轻绳拴一物体，使物体以恒定加速度向下做减速运动，则下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S55.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S55.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S55.TIF" \* MERGEFORMAT
A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功
B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功
C．重力做正功，拉力做正功，合外力做负功
D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功
[解析]　物体所受重力与速度方向相同，所以重力做正功，拉力与速度方向相反，所以拉力做负功，由物体以恒定加速度向下做减速运动可知加速度向上，合外力向上，与速度方向相反，所以合外力做负功。
[答案]　A
知识点二　恒力做功的计算
1．恒力功的求法
(1)W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移l cos α，即物体的位移分解为沿F方向上和垂直于F方向上的两个分位移l1和l2，则F做的功W＝Fl1＝Fl cos α。
(2)W等于力F在位移l方向上的分力F cos α乘以物体的位移l，即将力F分解为沿l方向上和垂直于l方向上的两个分力F1和F2，则F做的功W＝F1l＝Fl cos α。
2．总功的计算
(1)先由W＝Fl cos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合l cos α计算总功，此时α为F合的方向与位移l的方向间的夹角。
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图，在大小F＝10 N的方向向右的水平恒力作用下，物体受到的滑动摩擦力大小f＝6 N。物体水平向右移动5 m的过程中，以下说法不正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../25WT2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25WT2.TIF" \* MERGEFORMAT
A．恒力F对物体做功50 J
B．滑动摩擦力f对物体做功30 J
C．合力对物体做功20 J
D．物体克服f做功30 J
[解析]　由做功公式可得，恒力F对物体做功W＝Fx＝10×5 J＝50 J，故A正确；由做功公式可得，滑动摩擦力f对物体做功Wf＝－fx＝－30 J，则物体克服f做功为30 J，故B错误，D正确；合力对物体做功W合＝W＋Wf＝20 J，故C正确。
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·江苏徐州市期末)如图所示，质量为m的飞机在水平甲板上，受到与竖直方向成θ角的斜向下的拉力F作用，沿水平方向移动了距离s，飞机与水平面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S56.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S56.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S56.TIF" \* MERGEFORMAT
A．摩擦力做的功为fs
B．摩擦力做的功为－fs
C．重力做的功为0
D．力F做的功为Fs cos θ
[解析]　摩擦力大小为f做负功，则摩擦力做的功Ff＝－fs，故A错误，B正确；由于竖直方向上没有位移，故重力不做功，故C正确；由题意得，拉力与位移方向上的夹角为90°－θ，则根据功的公式得WF＝Fs cos (90°－θ)＝Fs sin θ，故D错误。
[答案]　BC
知识点三　功率的理解和计算
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示，某部队正用吊车将一台坦克车从码头上吊起装上舰船。
(1)将质量为m的坦克车以速度v匀速吊起，坦克车在时间t内匀速上升高度h。怎样计算吊车的功率？其瞬时功率是多少？
(2)若坦克车在相同的时间t内，从静止开始以加速度a匀加速上升高度h时，该过程中吊车的平均功率是多少？其瞬时功率是多少？
[提示]　(1)吊车对坦克车做的功W＝mgh，功率P＝＝；P瞬＝Fv＝mgv。
(2)该过程中吊车的平均功率
P′＝＝＝。
其瞬时功率P瞬′＝F′v＝(mg＋ma)at。
1．公式P＝和P＝Fv的比较
项目 P＝ P＝Fv
适用条件 (1)功率的定义式，适用于任何情况下功率的计算，一般用来求平均功率(2)当时间t→0时，可由定义式确定瞬时功率 (1)功率的计算式，仅适用于F与v同向的情况，一般用来求瞬时功率(2)当v为平均速度时，所求功率为平均功率
联系 (1)公式P＝Fv是P＝的推论(2)功率P的大小与W、t无关　
2.功率的计算
(1)平均功率的计算
①利用P＝。
②利用P＝Fcos α，其中为物体运动的平均速度。
(2)瞬时功率的计算
①利用公式P＝Fv cos α，其中v为瞬时速度。
②利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度。
③利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体所受外力在速度v方向上的分力。
角度1　对功率的理解
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　下列关于功率的说法正确的是(　　)
A．由P＝可知，机械做功越多，其功率越大
B．由P＝Fv可知，汽车的牵引力越大，其发动机功率越大
C．由P＝Fv可知，汽车的速度越大，其发动机功率越大
D．由P＝Fv可知，发动机在额定功率下工作时，汽车的速度越大，其牵引力越小
[解析]　功率是单位时间内做功的多少，做功多，功率不一定大，还与时间有关，故A错误；由公式P＝Fv可知，发动机功率一定时，速度越大，牵引力越小，速度越小，牵引力越大，故B、C错误，D正确。
[答案]　D
角度2　瞬时功率和平均功率的求解
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，质量m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
(2)前2 s内重力的平均功率；
(3)2 s末重力的瞬时功率。
[解析]　(1)木块所受的合外力
F合＝mg sin θ－μmg cos θ＝mg(sin θ－μcos θ)＝2×10×(0.6－0.5×0.8) N＝4 N
木块的加速度a＝＝ m/s2＝2 m/s2
前2 s内木块的位移x＝at2＝×2×22 m＝4 m
所以，重力在前2 s内做的功W＝mgx sin θ＝2×10×4×0.6 J＝48 J。
(2)重力在前2 s内的平均功率＝＝ W＝24 W。
(3)木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率P＝mgv sin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。
[答案]　(1)48 J　(2)24 W　(3)48 W
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例7LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·浙江宁波市期末)如图所示，一台起重吊车将质量m＝500 kg的重物由静止开始以 a＝0.2 m/s2加速度竖直向上匀加速提升，t＝10 s末之后保持功率不变继续提升重物，直至重物匀速上升。g取10 m/s2不计空气阻力，求：
(1)前10 s内起重吊车拉力F的大小；
(2)10 s末起重机的瞬时功率P；
(3)重物上升的最大速度vm；
(4)重物开始运动后15 s内起重机提升重物的平均功率。
[解析]　(1)由牛顿第二定律有F－mg＝ma
解得F＝5 100 N。
(2)起重机做匀加速直线运动，有
v＝at
P＝Fv
解得P＝10 200 W。
(3)达到最大速度时，加速度为零，有
P＝mgvm
解得vm＝2.04 m/s。
(4)匀加速直线运动阶段拉力做功
W1＝Fh
h＝at2
10 s到15 s拉力做功
W2＝Pt′＝51 000 J
平均功率＝＝6 800 W。
[答案]　(1)5 100 N　(2)10 200 W　(3)2.04 m/s
(4)6 800 W
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(功的理解及正、负功的判断)(2025·辽宁大连市期中)如图所示，在匀速上升的升降机中，物块始终静止在固定的斜面上，关于物块所受各力做功的说法正确的是(　　)
A．重力做正功　　　　 B．支持力做负功
C．摩擦力不做功 D．摩擦力做正功
解析：选D。重力方向竖直向下，位移方向竖直向上，可知重力做负功，A错误；支持力垂直于斜面向上，与位移的夹角为锐角，可知支持力做正功，B错误；摩擦力方向沿斜面向上，与位移的夹角为锐角，可知摩擦力做正功，C错误，D正确。
2．(恒力做功的计算)(2025·江苏常州市期末)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。现使斜面向右水平匀速移动一段距离L，物体与斜面的相对位置不变，如图所示，在此过程中摩擦力对物体所做的功为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S60.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S60.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S60.TIF" \* MERGEFORMAT
A．μmgL cos2θ B．－μmgL cos2θ
C．mgL sinθcos θ D．－mgL sin θcos θ
解析：选C。物体在斜面静止受力如图所示，由平衡条件得，物体所受的静摩擦力f＝mg sin θ，摩擦力对物体做的功W＝fL cos θ＝mgL sin θcos θ。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S61.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S61.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S61.TIF" \* MERGEFORMAT
3．(功率的理解和计算)质量为m的物体静止在粗糙水平地面上，现用一水平恒力F拉动物体，经过一段时间后其速度变为v，重力加速度为g，则(　　)
A．在这段时间内，摩擦力做正功
B．在这段时间内，拉力做负功
C．物体的速度为v时，拉力的瞬时功率为Fv
D．物体的速度为v时，重力的功率为mgv
解析：选C。由于摩擦力方向与运动方向相反，所以摩擦力对物体做负功，故A错误；由于拉力方向与运动方向相同，所以拉力对物体做正功，故B错误；物体的速度为v时，拉力的瞬时功率P＝Fv，由于重力与速度方向垂直，所以重力的功率为0，故C正确，D错误。
4．(平均功率和瞬时功率)如图所示，竖直墙面上的M点到地面有Ⅰ、Ⅱ两条固定光滑轨道，从M点静止释放的物块沿不同轨道滑到地面，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25B-63.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../25B-63.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../../25B-63.TIF" \* MERGEFORMAT
A．物块滑到地面时，沿Ⅰ下滑重力的瞬时功率等于沿Ⅱ下滑重力的瞬时功率
B．物块滑到地面时，沿Ⅰ下滑重力的瞬时功率大于沿Ⅱ下滑重力的瞬时功率
C．物块运动过程中，沿Ⅰ下滑重力的平均功率等于沿Ⅱ下滑重力的平均功率
D．物块运动过程中，沿Ⅰ下滑重力的平均功率小于沿Ⅱ下滑重力的平均功率
解析：选B。设轨道的倾角为θ，根据2ax＝v2，a＝g sin θ，x＝，可知两次物块到达底端的速度大小相等，则重力的瞬时功率P＝mgv sin θ，可知物块滑到地面时，沿Ⅰ下滑的重力的瞬时功率大于沿Ⅱ下滑的重力的瞬时功率，故A错误，B正确；根据＝gt2sin θ，则物块重力的平均功率＝＝mgh，则物块运动过程中，沿Ⅰ下滑时重力的平均功率大于沿Ⅱ下滑时重力的平均功率，故C、D错误。(共25张PPT)
第3节　课后达标检测
√

题组1　动能和动能定理
1．下面有关动能的说法正确的是(　　)
A．物体只有做匀速运动时，动能才不变
B．物体做平抛运动时，水平方向速度不变，物体的动能也不变
C．物体做自由落体运动时，重力做功，物体的动能增加
D．物体的动能变化时，速度不一定变化，速度变化时，动能一定变化
解析：物体只要速率不变，动能就不变，例如匀速圆周运动，故A错误；做平抛运动的物体动能逐渐增大，B错误；物体做自由落体运动时，其合力等于重力，重力做正功，物体的动能增加，故C正确；物体的动能变化时，速度的大小一定变化，故D错误。
√
2．(多选)关于运动物体所受的合力、合力做的功、运动物体动能的变化，下列说法正确的是(　　)
A．运动物体所受的合力不为零，合力必做功，物体的动能一定要变化
B．运动物体所受的合力为零，则物体的动能一定不变
C．运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力不一定为零
D．运动物体所受合力不为零，则该物体一定做变速运动
√
√
解析：由功的公式W＝Fl cos α知，合力不为零，但若α＝90°，则合力做的功也为零，故A错误；若合力为零，则合力做的功也为零，由动能定理W＝Ek2－Ek1知，物体的动能不发生改变，故B正确；运动物体的动能保持不变，则该物体所受合力不一定为零，如匀速圆周运动，速度大小不变，动能不变，但合外力不为零，故C正确；运动物体所受合力不为零，根据牛顿第二定律可知，加速度不为零，则该物体一定做变速运动，故D正确。
√
题组2　动能定理的基本应用
3．(2025·云南卷，T2)如图所示，中老铁路国际旅客列车从云南某车站由静止出发，沿水平直轨道逐渐加速到144 km/h，在此过程中列车对座椅上的一高中生所做的功最接近(　　)

A．4×105 J　　　　　　　 B．4×104 J
C．4×103 J D．4×102 J
√
√
√
6．某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳，将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能Ek与水平位移x的关系图像正确的是(　　)
√
题组3　动能定理解决多过程问题
7．某水上乐园设备公司设计了一款水滑梯，设计简图如图所示，倾斜滑道与水平滑道材料相同且平滑连接。游客的质量为m，倾斜滑道高度为h、倾角为θ，游客与滑道间的动摩擦因数为μ，游客在水平滑道上停止点A到O点的水平距离为x，下列说法正确的是(　　)
A．h和μ一定，θ越大，x越大
B．h和μ一定，θ越大，x越小
C．h和μ一定，x的大小与θ、m无关
D．h和μ一定，m越小，x越大
√
8．如图，两块弹性挡板竖直固定在水平地面上，相距8 m，一个小木块(体积很小，可视为质点)从两块挡板正中间开始以初速度10 m/s向右运动，木块与地面之间的动摩擦因数为0.2，重力加速度g取10 m/s2，每次木块与挡板碰撞后，都会以原速率反弹，则最终木块停止的位置与左边挡板距离为(　　)

A．1 m　　　　　　　　 B．2 m
C．3 m D．7 m
√
√
√
√
11．(12分)如图所示，某人将一个质量m＝0.5 kg的石块从距离水平地面h＝9.35 m高处以37°角斜向上抛出，初速度大小v0＝5 m/s，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，求：
(1)人对石块做的功；(4分)
答案：6.25 J　
(2)石块在空中运动的总时间；(4分)
答案：1.7 s　
(3)石块落到水平地面瞬间的速度大小。(4分)(共22张PPT)
第1节　课后达标检测
√
题组1　功的理解及正、负功的判断
1．(2024·海南卷，T1)神舟十七号载人飞船返回舱于2024年4月30日在东风着陆场成功着陆，在飞船返回至离地面十几公里时打开主伞飞船快速减速，返回舱速度大大减小，在减速过程中(　　)
A．返回舱处于超重状态
B．返回舱处于失重状态
C．主伞的拉力不做功
D．重力对返回舱做负功
解析：返回舱在减速的过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A正确，B错误；主伞的拉力与返回舱运动方向相反，对返回舱做负功，故C错误；返回舱的重力与返回舱运动方向相同，重力对返回舱做正功，故D错误。
√
2．(2025·黑龙江哈尔滨市期中)如图所示的是商场的智能化自动扶梯，无人乘行时，扶梯运转得很慢；有人站上扶梯时，它先缓慢加速，再匀速运转。一顾客乘扶梯上楼，恰好经历这两个过程，则(　　)

A．加速过程中摩擦力对人做负功
B．加速过程中支持力对人做负功
C．匀速过程中摩擦力对人做正功
D．匀速过程中支持力对人做正功
解析：根据题意可知，加速过程中人的加速度方向为右上方，可知人受竖直向上的支持力、水平向右的摩擦力和竖直向下的重力，由W＝Fx cosθ可知，摩擦力和支持力均对人做正功，故A、B错误；根据题意可知，匀速过程中人受力平衡，可知人受竖直向上的支持力和竖直向下的重力，不受摩擦力，由W＝Fx cos θ可知，支持力对人做正功，故C错误，D正确。
√
题组2　恒力做功的计算
3．(2025·云南曲靖市期中)某人用同一水平力F先后两次拉同一物体，第一次使此物体从静止开始在光滑水平面上前进l距离，第二次使此物体从静止开始在粗糙水平面上前进l距离，则先后两次拉力F做的功W1和W2的关系是(　　)
A．W1>W2　　　　　　 B．W1＝W2
C．W1解析：拉力做功W1＝W2＝Fl。
√
4．某人用与水平方向成60°角、大小为40 N的恒力推着小车在粗糙的水平面上前进了5.0 m，人放手后，小车又前进了2.0 m才停下来，则小车在运动过程中，人的推力所做的功为(　　)
A．140 J B．100 J
C．60 J D．无法确定
√
5．质量m＝1 kg的物体在粗糙水平地面上做匀速直线运动，物体在水平方向受到5.0 N的拉力，若物体运动的距离s＝5 m(g取10 m/s2)，则(　　)
A．物体与地面间的动摩擦因数μ＝0.05
B．拉力做的功为25 J
C．合力做的功为25 J
D．摩擦力做的功为25 J
解析：物体做匀速直线运动，所受合力为0，则物体所受的滑动摩擦力大小Ff＝F＝5.0 N，物体对水平地面的压力大小FN＝mg＝10 N，由Ff＝μFN得μ＝0.5，A错误；拉力做功WF＝Fs＝5.0×5 J＝25 J，B正确；合力为0，则合力做功为0，C错误；摩擦力做功Wf＝－Ffs＝－5.0×5 J＝－25 J，D错误。
√
题组3　功率的理解和计算
6．质量为1.5×103 kg的汽车在水平路面上匀速行驶，速度为20 m/s，受到的阻力大小为1.8×103 N。此时，汽车发动机输出的实际功率是(　　)
A．90 W　　　　　　 B．30 kW
C．36 kW D．300 kW
解析：根据汽车做匀速直线运动可得此时汽车的牵引力等于阻力，即F＝f ＝1.8×103 N，此时汽车发动机的实际输出功率即瞬时功率，根据P＝ Fv，代入数据解得此时汽车发动机的实际输出功率为36 kW，A、B、D错误，C正确。
√
7．(2025·河南信阳市开学考)如图所示，小明体重为600N，小亮体重为400 N，两人同时从一楼出发上到三楼，小明先到达，小亮后到达，则下列说法正确的是(　　)

A．小明上楼功率大 B．小亮上楼功率大
C．小明上楼做功少 D．小亮上楼做功多
√
8．(2025·广东韶关市期末)甲、乙两物体所受重力之比为1∶2，它们从同一高度同时释放各自做自由落体运动，历时4 s落地，则甲物体下落第1 s末和乙物体下落第3 s末重力的瞬时功率之比为(　　)
A．1∶2 B．1∶3
C．1∶6 D．1∶9
解析：根据PG＝mgvy＝mg·gt＝mg2t，可得甲物体下落第1 s末和乙物体下落第3 s末重力的瞬时功率之比PG甲∶PG乙＝(1×1)∶(2×3)＝1∶6。
√
9．(多选)如图所示，坐在雪橇上的人与雪橇的总质量为m，在与水平面成θ角的恒定拉力F作用下，沿水平地面向右移动了一段距离l。已知雪橇与地面间的动摩擦因数为μ，则雪橇受到的(　　)

A．支持力做功为mgl
B．重力做功为mgl
C．拉力做功为Fl cos θ
D．滑动摩擦力做功为－μ(mg－F sin θ)l
√
解析：支持力、重力与雪橇的位移垂直，即力与位移的夹角α＝90°，根据功的定义式W＝Fx cos α，可知支持力与重力对雪橇做功为零，A、B错误；由功的定义式知拉力做功W＝Fx cos α＝Fl cos θ，C正确；雪橇受到的摩擦力大小Ff＝μFN，竖直方向FN＋F sin θ＝mg，摩擦力做功W1＝－Ffl，联立解得滑动摩擦力做功W1＝－μ(mg－F sin θ)l，D正确。
√
10．如图所示，同一物体分别沿斜面AO、BO、CO自斜面顶点由静止开始下滑，该物体与各斜面间的动摩擦因数均相同，在滑行过程中克服摩擦力做功分别为WA、WB和WC，不计空气阻力，则(　　)

A．WA>WB>WC B．WA＝WB>WC
C．WA>WB＝WC D．WA＝WB＝WC
√
答案：20 W　
(2)小球落在斜面体瞬间重力的瞬时功率。(4分)
解析：小球落在斜面体瞬间重力的瞬时功率
P＝mg·gt＝40 W。
答案：40 W(共25张PPT)
专题提升课7　机械能守恒定律的应用
专题深度剖析
PART
01
第一部分
角度1　轻绳牵连物体模型
微专题一　多物体组成的系统机械能守恒问题
1．分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
2．用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
3．对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
　【教材经典P101第6题改编】如图所示，轻质动滑轮下方用轻质细线悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线均竖直。开始时，重物A、B处于静止状态且距地面高度均为h，释放后A、B开始运动。已知A、B质量相等，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g。
(1)求重物B刚要落地时的速度大小。
(2)若重物A上升过程中不会碰到动滑轮，求A离地面的最大高度。
[答案]　1.6h
　(2025·黑龙江哈尔滨市期末)如图所示，半径为R的六分之一光滑圆弧支架竖直放置，支架的底部CD水平，离地面足够高，圆心O在C点的正上方，右侧边缘P点固定一个光滑轻质小轮(滑轮大小不计)。可视为质点的小球A、B系在长为3R的跨过小轮的轻绳两端，两球的质量分别为3m、m。现将A球从紧靠小轮P处由静止释放，取CD面为零势能面，重力加速度为g，不计空气阻力。求：
(1)释放前A、B系统的重力势能Ep；
[答案]　－mgR　
(2)A球刚释放时的加速度大小a；
(3)A球运动到C点时的速度大小vA。
角度2　轻杆连接物体模型

角速度相等的情景
1．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。由v＝ωr知，v与r成正比。
2．杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
3．对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
√
√
角度3　弹簧连接物体模型
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，则系统机械能守恒。
2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)。
√
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的物体各部分(形状规则)的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化与动能变化的关系列式求解。
微专题二　非质点类物体的机械能守恒问题
　如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g)(共41张PPT)
第5节　实验：验证机械能守恒定律
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、实验思路
1．实验目的
(1)掌握验证机械能守恒定律的方法。
(2)会用计算法和图像法处理实验数据。
2．实验思路
情形1：自由下落的物体只受到重力作用，满足机械能守恒的条件。
情形2：物体沿光滑斜面下滑时，虽然受到重力和斜面的支持力，但支持力与物体位移方向垂直，对物体不做功，也满足机械能守恒的条件。
四、实验方案
方案一　研究自由下落物体的机械能
1．实验器材
铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源(4～6 V)。
2．实验步骤
(1)安装实验装置
如图所示，将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，用导线将打点计时器与低压交流电源相连接。
(2)进行实验
①将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔。用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落，打点结束后立即关闭打点计时器电源。
②更换纸带重复做3～5次实验。
4．误差分析
(1)偶然误差：在进行长度测量时，测量及读数不准确造成误差。
(2)系统误差：重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象。
方案二　研究沿斜面下滑物体的机械能
利用气垫导轨和数字计时器记录物体沿光滑斜面下滑的运动过程。
实验装置如图所示。
典例分类讲解
PART
02
第二部分
题型一　研究自由下落物体的机械能
　 (2025·广西玉林市期中)某同学用如图甲所示的实验装置做“验证机械能守恒定律”的实验。实验时让质量m＝0.5 kg的重物从高处由静止开始下落，重物上拖着的纸带通过打点计时器打出一系列的点，如图乙为实验时打出的一条纸带，选取纸带上连续打出三个点A、B、C，测出各点距起点P的距离，重力加速度g取9.8 m/s2，请回答下列问题：
(1)下列操作或分析中正确的有________。
A．必须要称出重物的质量
B．计时器两限位孔必须在同一竖直线上
C．实验时，应先释放重物，再打开电源
D．用秒表测重物下落的时间
B　
(2)打下计数点B时重物的速度大小为______m/s。
0.98
(3)重物从P到B减小的重力势能为________J，增加的动能为________J(计算结果保留3位小数)。
0.245
0.240
C
题型二　研究连接体的机械能
　(2025·河北保定市期末)如图所示的是一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。

主要实验步骤如下：
A．将气垫导轨放在水平桌面上，并调至水平；
B．测出遮光条的宽度d；
C．将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离l；
D．释放滑块，读出遮光条通过光电门的挡光时间t；
E．用天平称出托盘和砝码的总质量m；
F．……
已知重力加速度为g，回答下列问题：
(1)为验证机械能守恒定律，还需要测量的物理量是__________________________。
[解析]　托盘、砝码以及滑块和遮光条组成的系统机械能守恒，所以还需要测量滑块和遮光条的总质量M。
滑块和遮光条的总质量M
(2)若以上测得的物理量满足关系式________________(用测得的物理量符号表示)，则可以得出机械能守恒的结论。
　用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律，物块2从高处由静止开始下落，物块1上拖着的纸带打出了一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。图乙给出的是实验中获取的一条纸带，其中0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个计时点(图中未标出)，计数点间的距离如图乙所示。已知物块1、2的质量分别为m1＝50 g、m2＝150 g。(电源频率为50 Hz，结果均保留2位有效数字)
(1)在纸带上打下计数点5时的速度v5＝______m/s。
2.4
(2)在打点0～5过程中，系统动能的增加量ΔEk＝______J，系统重力势能的减少量ΔEp＝________J。(g取10 m/s2)
0.58　
0.60
9.7
题型三　教材实验创新
　 (2025·江苏无锡市期中)某同学设计出如图所示的实验装置来验证机械能守恒定律。让小球自由下落，下落过程中小球的球心经过光电门1和光电门2。小球直径为d，光电计时器记录下小球通过光电门的时间Δt1、Δt2，已知当地的重力加速度为g。
(1)为了验证机械能守恒定律，该实验还需要测量下列哪些物理量____(填选项序号)。　
A．小球的质量m
B．光电门1和光电门2之间的距离h
C．小球从光电门1到光电门2下落的时间t
B
(2)小球通过光电门1时的瞬时速度v1＝__________(用题中所给的物理量
符号表示)。
(3)若满足表达式________________(用题中所给的物理量符号表示)，就可以验证小球下落过程中机械能守恒。
(4)小明和小凯实验前发现光电门1损坏，就拆掉光电门1，用其余器材做实验，他们上下调节光电门2，记录多组实验数据，利用记录的数据作出图像，根据图像判断机械能守恒是否成立。
①除光电门记录Δt以外，他们还补充测量了一个物理量X，X应该代表________________________。
释放点到光电门2的高度专题提升课7　机械能守恒定律的应用
INCLUDEPICTURE "专题深度剖析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
微专题一　多物体组成的系统机械能守恒问题
角度1　轻绳牵连物体模型
INCLUDEPICTURE "H:\\23ETDB51.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23ETDB51.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23ETDB51.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23ETDB51.TIF" \* MERGEFORMAT
　 速率相等的情景　　　　
1．分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
2．用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
3．对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P101第6题改编】如图所示，轻质动滑轮下方用轻质细线悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物B，悬挂滑轮的轻质细线均竖直。开始时，重物A、B处于静止状态且距地面高度均为h，释放后A、B开始运动。已知A、B质量相等，假设摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，重力加速度为g。
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT52.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT52.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT52.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT52.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求重物B刚要落地时的速度大小。
(2)若重物A上升过程中不会碰到动滑轮，求A离地面的最大高度。
[解析]　(1)重物B刚要落地时，重物B下落的高度为h，重物A上升的高度为0.5h。因不计滑轮质量和阻力，A、B组成的系统机械能守恒，取地面为参考平面，根据系统的机械能守恒得
mgh＝mg·h＋mv＋mv
由滑轮组关系可知vB＝2vA
联立解得vA＝，vB＝2。
(2)重物B刚要落地时，重物A距地面的高度H1＝1.5h
重物B落地后，设重物A再上升的高度为H2，由动能定理得－mgH2＝0－mv
解得H2＝0.1h
则重物A离地面的最大高度H＝H1＋H2＝1.6h。
[答案]　(1)2　(2)1.6h
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·黑龙江哈尔滨市期末)如图所示，半径为R的六分之一光滑圆弧支架竖直放置，支架的底部CD水平，离地面足够高，圆心O在C点的正上方，右侧边缘P点固定一个光滑轻质小轮(滑轮大小不计)。可视为质点的小球A、B系在长为3R的跨过小轮的轻绳两端，两球的质量分别为3m、m。现将A球从紧靠小轮P处由静止释放，取CD面为零势能面，重力加速度为g，不计空气阻力。求：
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S96.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S96.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S96.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S96.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)释放前A、B系统的重力势能Ep；
(2)A球刚释放时的加速度大小a；
(3)A球运动到C点时的速度大小vA。
[解析]　(1)取CD面为零势能面，A球距离零势能面的高度
hA＝R－R cos 60°＝R
B球在零势能面以下的距离
hB＝3R－R＝2.5R
所以系统的重力势能
Ep＝3mghA－mghB
解得Ep＝－mgR。
(2)根据牛顿第二定律有
3mg sin 60°－T＝3ma
T－mg＝ma
解得a＝g。
(3)由题意可知，A、B组成的系统机械能守恒，有
×3mv＋mv＝3mghA－mgR
在C点对A球的速度进行分解，如图所示
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S97.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S97.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S97.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S97.TIF" \* MERGEFORMAT
根据几何关系，有vB＝vA cos 30°
联立解得vA＝。
[答案]　(1)－mgR　(2)g　(3)
角度2　轻杆连接物体模型
INCLUDEPICTURE "H:\\23ETDB52.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23ETDB52.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23ETDB52.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23ETDB52.TIF" \* MERGEFORMAT
角速度相等的情景
1．平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。由v＝ωr知，v与r成正比。
2．杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
3．对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·黑龙江哈尔滨市期末)如图所示，一轻杆可绕光滑固定转轴O在竖直平面内自由转动，杆的两端固定有两小球A和B(均可视为质点)。A、B的质量分别为m和4m，到转轴O的距离分别为2l和l，现使轻杆从水平位置由静止开始绕转轴O自由转动，当A球到达最高点时，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S98.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S98.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S98.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S98.TIF" \* MERGEFORMAT
A．球A的角速度大小ω＝
B．转动过程中轻杆对B做正功
C．球B重力势能减少量等于球A机械能的增加量
D．转动过程中A的机械能守恒
[解析]　当A运动到最高点时，A的重力势能和动能都增大，所以A的机械能不守恒，故D错误；在A到最高点的过程中，A的机械能增加，B的机械能减少，对B而言，杆对B做了负功，故B错误；对A、B和轻杆的系统机械能守恒，则有球B机械能的减少量等于球A机械能的增加量，故C错误；同轴转动角速度相等，对A、B和轻杆的系统机械能守恒列式有4mgl＝2mgl＋mv＋×4mv，vA＝2ωl，vB＝ωl，联立解得ω＝，vA＝，vB＝，故A正确。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，在竖直平面内有一半径为R的四分之一圆弧轨道BC，与竖直轨道AB和水平轨道CD相切，轨道均光滑。现有长也为R的轻杆，两端固定质量均为m的相同小球a、b(可视为质点)，用某装置控制住小球a，使轻杆竖直且小球b与B点等高，然后由静止释放，杆将沿轨道下滑。设小球始终与轨道接触，重力加速度为g，则(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\24H37.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/24H37.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24H37.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24H37.TIF" \* MERGEFORMAT
A．下滑过程中a球机械能增加
B．下滑过程中b球机械能守恒
C．小球a滑过C点后，a球速度大于
D．从释放至a球到滑过C点的过程中，轻杆对b球做正功为
[解析]　最终a、b都滑至水平轨道时(即小球a滑过C点后)速度相等，设为v，下滑过程中只有重力对a、b组成的系统做功，则根据机械能守恒定律有2mg＝·2mv2，解得v＝，故C错误；设从释放至a球滑过C点的过程中，轻杆对b球做功为W，对b球根据动能定理有W＋mgR＝mv2，解得W＝mgR，故D正确；根据前面分析可知，下滑过程中，杆对a球做负功，对b球做正功，所以a球机械能减少，b球机械能增加，故A、B错误。
[答案]　D
角度3　弹簧连接物体模型
1．由于弹簧的形变会具有弹性势能，系统的总动能将发生变化，若系统所受的外力(除重力外)和除弹簧弹力以外的内力不做功，则系统机械能守恒。
2．弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。
3．如果系统内每个物体除弹簧弹力外所受合力为零，当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度(如绷紧的弹簧由静止释放)。
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑。已知弹簧原长为L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB114.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB114.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB114.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB114.TIF" \* MERGEFORMAT
A．圆环的机械能守恒
B．弹簧弹性势能变化了mgL
C．圆环下滑到最大距离时加速度为零
D．圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和先增大后减小
[解析]　下滑过程中，弹簧的弹力对圆环做功，则圆环机械能不守恒，故A错误；根据几何关系可知，圆环下滑的最大距离为L，根据系统的机械能守恒可知，弹簧弹性势能的增加量等于圆环重力势能的减少量，则弹簧的弹性势能变化了ΔEp＝mgh＝mgL，故B正确；圆环刚向下运动时，重力大于弹力，随着弹力逐渐增大，加速度逐渐减小，当圆环加速度减小到零时，速度最大，继续向下运动，弹簧弹力增大，则圆环下滑到最大距离时合力不为零，加速度不为零，故C错误；根据题意可知，圆环的速度先增大后减小，动能先增大后减小，根据系统的机械能守恒可知，圆环的重力势能与弹簧的弹性势能之和先减小后增大，故D错误。
[答案]　B
微专题二　非质点类物体的机械能守恒问题
1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
2．物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的物体各部分(形状规则)的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化与动能变化的关系列式求解。
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，总长为L的光滑匀质铁链跨过一个光滑的轻质小滑轮，不计滑轮大小，开始时下端A、B相平齐，当略有扰动时其A端下落，则当铁链刚脱离滑轮的瞬间，铁链的速度为多大？(重力加速度为g)
INCLUDEPICTURE "H:\\SY18.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/SY18.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/SY18.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/SY18.TIF" \* MERGEFORMAT
[解析]　方法一：取整个铁链为研究对象
设整个铁链的质量为m，初始位置的重心在A点上方L处，末位置的重心在A点，则重力势能的减少量为ΔEp＝mg·L
由机械能守恒定律得mv2＝mg·L，则v＝。
方法二：将铁链看成两段
铁链由初始状态到刚离开滑轮时，等效于铁链BB′部分移到AA′位置
重力势能减少量为ΔEp＝mg·
由机械能守恒定律得mv2＝mg·
则v＝。
[答案]　第2节　重力势能
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．知道重力做功与路径无关。　2.理解重力势能的概念，知道重力势能具有相对性、系统性，会用重力势能的计算公式进行相关计算。　3.理解重力做功与重力势能变化的关系。　4.理解弹性势能的概念，会分析决定弹性势能大小的相关因素。
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、重力做的功
1．表达式：WG＝mgΔh，Δh指初位置与末位置的高度差。
2．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
二、重力势能
1．定义：物体由于处于一定高度而具有的能。
2．大小：Ep＝mgh，式中h是物体重心到参考平面的高度。
3．单位：焦耳；符号为J。
4．重力做功与重力势能的关系
(1)关系式：WG＝Ep1－Ep2。
(2)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，即WG>0，Ep1>Ep2；当物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即WG<0，Ep15．重力势能的相对性
(1)重力势能的相对性
物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫作参考平面，在这个水平面上，物体的重力势能取为0。通常选择地面为参考平面。选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是不同的，但重力势能的差值相同。
(2)标矢性：重力势能为标量，但有正负。物体在参考平面上方时，重力势能为正值；在参考平面下方时，重力势能为负值。
INCLUDEPICTURE "特别提醒A.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\特别提醒A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/特别提醒A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/特别提醒A.TIF" \* MERGEFORMAT 　重力势能是标量，但有正负，正负表示大小。
三、弹性势能
1．定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用而具有的势能。
2．弹簧的弹性势能：弹性势能跟形变的大小有关。弹簧的长度为原长时，弹性势能为0。在弹性限度内，弹簧的弹性势能跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关，被拉伸或压缩的长度越长，恢复原状过程中对外做的功就越多，弹簧的弹性势能就越大。弹簧的弹性势能还跟弹簧的劲度系数有关。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确。
(1)物体只要运动，其重力一定做功。(　　)
(2)物体的高度只要发生变化，其重力一定做功。(　　)
(3)重力做功多少取决于物体所受的重力和它通过的路程。(　　)
(4)重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1与Ep2方向相反。(　　)
(5)不同弹簧的形变量相同时弹力做功相同。(　　)
(6)弹簧被压缩时，弹性势能为负；弹簧被拉伸时，弹性势能为正。(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)×
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　重力做功的特点
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中思考并讨论以下问题：
INCLUDEPICTURE "H:\\22L6.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/22L6.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/22L6.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)甲、乙、丙三种情况下重力做的功各是多少？
(2)重力做功有什么特点？
[提示]　(1)三种情况下重力做的功都是mgh。
(2)物体运动时，重力对其做的功只跟其起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
1．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体的运动性质、是否受其他力以及运动的路径无关。
2．重力做功的求解：重力是恒力，而恒力做功等于力F与在力F方向上的位移的乘积，重力方向是竖直向下的，因此重力做功只与竖直方向上的位移有关。往高处运动，竖直方向上的位移与重力方向相反，重力做负功，往低处运动，竖直方向上的位移与重力方向相同，重力做正功，其大小都为mgΔh(Δh为始末位置的高度差)。
角度1　重力做功的特点
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，一物体从A点出发，分别沿粗糙斜面AB和光滑斜面AC下滑及斜向上抛出，运动后到达同一水平面上的B、C、D三点。关于重力的做功情况，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\24H9.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/24H9.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24H9.TIF" \* MERGEFORMAT
A．沿AB面滑下时，重力做功最多
B．沿AC面滑下时，重力做功最多
C．沿AD抛物线运动时，重力做功最多
D．三种情况下运动时，重力做的功相等
[解析]　由于重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关，故三种情况下运动时，重力做的功相等，均为WG＝mgh。
[答案]　D
角度2　重力做功的求解
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，质量为m的小球从高为h处的斜面上的A点滚下经过水平面BC后，再滚上另一斜面，当它到达高为的D点时，速度为零，在这个过程中，重力做功为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\DR20.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/DR20.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/DR20.TIF" \* MERGEFORMAT
A．　　　　　　　 B．
C．mgh D．0
[解析]　方法一：分段法
小球由A→B，重力做正功W1＝mgh
小球由B→C，重力做功为0
小球由C→D，重力做负功W2＝－mg·
故小球由A→D全过程中重力做功
WG＝W1＋W2＝mg＝mgh。
方法二：全过程法
全过程，小球的高度差h1－h2＝h，故WG＝mgh。
[答案]　B
知识点二　重力做功和重力势能的变化
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示，幼儿园的小朋友们正在玩滑梯(选地面为参考面)：
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB81A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB81A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB81A.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)在最高点(高度为h)和地面的重力势能各是多少？
(2)下滑过程中重力做多少功？重力势能如何变化？
[提示]　(1)最高点与最低点的重力势能分别为mgh、0。
(2)重力做功W＝mgh。重力势能减少了mgh。
1．对重力势能的理解
(1)系统性：重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上的物体单独具有的。
(2)相对性：重力势能Ep＝mgh与参考平面的选择有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度。重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正、负之分。当物体在参考平面上方时，Ep为正值；当物体在参考平面下方时，Ep为负值。注意物体重力势能的正、负是表示比零势能大，还是比零势能小。
(3)参考平面选择的任意性：视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所到达的最低点为零势能面。
(4)重力势能变化的绝对性：物体从一个位置运动到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取及过程无关，它的变化量是绝对的。
2．重力做功与重力势能的变化
(1)表达式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(2)重力做多少正功，重力势能就减少多少；克服重力做多少功，重力势能就增加多少。
角度1　对重力势能的理解
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·山西大同市期末)关于重力势能，下列说法正确的是(　　)
A．重力势能的变化只跟物体所处的初、末位置有关，与物体实际经过的路径无关
B．物体与参考平面的距离越大，它的重力势能也越大
C.重力势能的变化量与参考平面的选取无关
D．一个物体的重力势能从－10 J变化到4 J，重力势能减少了
[解析]　重力势能的变化只跟物体所处的初、末位置有关，与物体实际经过的路径无关，且重力势能的变化量与参考平面的选取无关，但物体重力势能的大小与零势能参考面的选取有关，所以放在地面上的物体重力势能不一定为零，故A、C正确；若物体在零势能参考面的上方，则物体与参考平面的距离越大，它的重力势能越大；反之，若物体在零势能参考面的下方，则物体与参考平面的距离越大，它的重力势能越小，故B错误；一个物体的重力势能从－10 J变化到4 J，重力势能增加，故D错误。
[答案]　AC
角度2　重力做功和重力势能的变化
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P83第4题改编】如图所示，质量为m的小球，从A点下落到地面上的B点小球到桌面的距离为h1，桌面高为h2。若以桌面为参考平面，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT19.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT19.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT19.TIF" \* MERGEFORMAT
A.小球在A点的重力势能为mg(h1＋h2)
B．小球在B点的重力势能为－mgh2
C．整个下落过程中小球的重力势能减少mgh1
D．整个下落过程中小球的重力势能减少mgh2
[解析]　小球在A点的重力势能为mgh1，故A错误；小球在B点的重力势能为－mgh2，故B正确；整个下落过程中小球重力做功WG＝mg(h1＋h2)，重力做正功，则整个下落过程中小球的重力势能减少mg(h1＋h2)，故C、D错误。
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　一个0.1 kg的球从1.8 m的高处落到地上又弹回到1 m高度，选下落起点为参考面(g取10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．整个过程重力做功为1.8 J
B．整个过程重力做了0.8 J的负功
C．整个过程物体的重力势能一定减少了0.8 J
D．物体在地面时的重力势能为0
[解析]　整个过程重力做功WG＝mgΔh＝0.1×10×(1.8－1) J＝0.8 J，可知整个过程重力做功为0.8 J，则物体的重力势能一定减少了0.8 J；选下落起点为参考面，物体在地面时的重力势能Ep＝－mgh＝－0.1×10×1.8 J＝－1.8 J。
[答案]　C
知识点三　弹性势能
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示，某人正在用拉力器锻炼臂力。
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB81C.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB81C.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB81C.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)人不用力时，弹簧不伸长，此时弹簧有弹性势能吗？
(2)人拉弹簧时对弹簧做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？
(3)在弹簧弹性限度内，人将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多吗？弹性势能越大吗？
(4)有的拉力器有2条弹簧，有的有4条弹簧，拉伸相同长度，用力一样吗？克服弹力做功相同吗？
[提示]　(1)弹簧不伸长，没有弹性势能。
(2)人对弹簧做正功，弹性势能增加。
(3)将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多，弹性势能越大。
(4)用力不一样，克服弹力做功也不相同。
1．对弹性势能的理解
(1)
(2)
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
如图所示，O为弹簧的原长处。
INCLUDEPICTURE "H:\\TY44.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/TY44.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/TY44.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)弹力做负功时：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功时：如物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp。
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·山西大同市期末)如图所示的一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩至最短的过程中，以下说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S73.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S73.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S73.TIF" \* MERGEFORMAT
A．弹簧的弹力大小与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
[解析]　由F＝kx知弹簧的弹力大小与弹簧的压缩量成正比，故A正确；弹簧开始被压缩时弹力较小，发生相同的位移时弹力做的功较少，弹簧的压缩量变大时，物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功较多，故B正确；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故C错误，D正确。
[答案]　ABD
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例7LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中(弹簧保持竖直)，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT20.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT20.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT20.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小球的速度先增大后减小
B．重力势能先减小后增大
C．弹性势能先增大后减小
D．重力先做正功后做负功
[解析]　在小球刚接触弹簧的时候，弹簧的弹力小于小球所受的重力，合力向下，小球还是向下加速，当弹簧的弹力和小球所受的重力相等时，小球的速度达到最大，之后弹力大于重力，小球开始减速，直至减为零。根据以上分析，小球的速度先增大后增小，故A正确；小球一直向下运动，小球的重力做正功，重力势能一直减小，故B、D错误；弹簧的弹力一直做负功，弹簧的弹性势能一直在增大，故C错误。
[答案]　A
综合一练　功和功率　重力做功与重力势能变化的综合问题
INCLUDEPICTURE "例8LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例8LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例8LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例8LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·吉林四平市期中)如图所示的是一种大型机械车间运输货物的天车，天车通过钢索竖直悬挂货物，现将一质量m＝2 000 kg的货物(可视为质点)沿着与水平方向成30°角的方向匀速吊起，使货物在10 s内向斜上方移动了L＝5 m的距离，空气阻力不计，钢索始终竖直，重力加速度g取10 m/s2。求：
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S74.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S74.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)10 s内钢索对货物的拉力做的功WF；
(2)10 s末拉力的瞬时功率P；
(3)10 s内货物的重力做的功WG及重力势能的变化量ΔEp。
[解析]　(1)货物做匀速直线运动，由平衡条件可知钢索拉力大小
F＝mg＝2×104 N
10 s内钢索对货物的拉力做的功
WF＝FL sin 30°
代入数据解得WF＝5×104 J。
(2)10 s末时的速度大小
v＝＝0.5 m/s
10 s末钢索拉力的瞬时功率P＝Fv sin 30°
代入数据解得P＝5×103 W。
(3)10 s内重力做的功
WG＝－mgL sin 30°＝－5×104 J
由于WG＝－ΔEp，解得ΔEp＝5×104 J。
[答案]　(1)5×104 J　(2)5×103 W　(3)－5×104 J　5×104 J
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(重力做功的特点)如图所示，静止的小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为h，桌面距地面高为H，小球质量为m，则以下说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT21.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT21.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT21.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小球的重力势能的减少量为mgh
B．以地面为参考面，小球的重力势能的减少量为mg(H＋h)
C．小球沿竖直轨道下滑到桌面上的过程，重力做功最少
D．小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，重力做功不一样多
解析：选A。小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，下降的竖直高度都相同，所以重力做功一样多，故C、D错误；重力势能的变化量与零势能面的选取无关，重力做的正功就等于重力势能的减少量，重力做功为mgh，重力势能的减少量为mgh，故B错误，A正确。
2．(重力做功的求解)【教材经典P83第2题改编】如图所示，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中到达最高点2的高度为h，重力加速度为g，则(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT22.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT22.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT22.TIF" \* MERGEFORMAT
A．由位置1到位置2重力做功mgh
B．由位置2到位置3重力做功－mgh
C．由位置1到位置3重力做功2mgh
D．由位置1到位置3重力做功为零
解析：选D。由位置1到位置2，高度增加，重力做负功，故重力做功为－mgh，故A错误；由位置2到位置3，高度降低，重力做正功，故重力做功为mgh，故B错误；由位置1到位置3，两位置等高，故重力做功为零，故C错误，D正确。
3．(重力做功与重力势能的变化)假设某一青年在楼上将球水平抛出，抛出点离地4.5 m，球质量为0.6 kg，在离地2.0 m处被另一青年接到，重力加速度取10 m/s2，在球被抛出至被接到的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．重力做功15 J
B．重力势能增加了15 J
C．若以抛出点为参考平面，球被接到时的重力势能为－27 J
D．若以地面为参考平面时，上述过程中球重力势能的变化量最大
解析：选A。重力做功WG＝mg(h－h1)＝15 J，故A正确；重力做正功，重力势能减小，故重力势能减少了15 J，故B错误；若以抛出点为参考平面，球被接到时的重力势能Ep＝－mg(h－h1)＝－15 J，故C错误；重力势能的变化量与重力做功对应，与参考平面的选取无关，故D错误。
4．(重力势能和弹性势能)如图所示，质量为m的物块与弹簧连接，静止在倾角为θ的光滑斜面上，且弹簧与斜面平行。用一外力使物块缓慢沿斜面运动直至弹簧恢复原长，重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k。该过程中，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT23.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT23.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT23.TIF" \* MERGEFORMAT
A．弹簧弹力做负功
B．弹簧的弹性势能一直增大
C.物块的重力势能增加了
D．物块的重力势能增加了
解析：选D。用一外力使物块缓慢沿斜面运动直至弹簧恢复原长，弹簧弹力做正功，弹簧弹性势能减小，故A、B错误；物块静止时，根据受力平衡有mg sinθ＝kx，弹簧恢复原长的过程中，物块的重力势能增加了ΔEp＝mgx sin θ＝，故C错误，D正确。(共26张PPT)
第2节　课后达标检测
√
题组1　重力做功的特点
1．关于重力势能，下列说法正确的是(　　)
A．重力势能的大小只由物体本身决定
B．物体在A、B两点的重力势能分别为EpA＝2J，EpB＝－3 J，则EpAC．在地面上的物体，它具有的重力势能一定等于零
D．重力势能是物体和地球所共有的
解析：由公式Ep＝mgh可知，重力势能的大小由物体的质量m、重力加速度g和相对于参考平面的高度h共同决定，故A错误；物体在A、B两点的重力势能分别为EpA＝2 J，EpB＝－3 J，则EpA>EpB，故B错误；选择地面为参考平面，在地面上的物体具有的重力势能等于零，不选择地面为参考平面，在地面上的物体具有的重力势能不等于零，故C错误；重力的施力物体是地球，受力物体是地球上的物体，重力势能是物体和地球所共有的，故D正确。
√
2．如图所示，一个质量为60 kg的运动员正在做俯卧撑。若运动员某次撑起身体的过程中重心升高了0.1 m，重力加速度大小g取10 m/s2，则该过程中运动员克服重力做的功为　(　　)

A.300 J　　　　　　 　 B．600 J
C．30 J D．60 J
解析：在撑起身体的过程中，重力做功WG＝－mgh＝－60 J，所以克服重力做功为60 J。
√
题组2　重力做功与重力势能的变化
3．(2025·宁夏吴忠市期末)如图所示，桌面离地高h，质量为m的小球离地高H，若以桌面为参考平面，则小球的重力势能为(　　)

A．mgh B．－mgH
C．mg(H－h) D．mg(H＋h)
解析：若以桌面为参考平面，则小球距零势能面的高度H0＝H－h，根据重力势能的定义可知，小球的重力势能Ep＝mgH0，解得Ep＝mg(H－h)。
√
4．(多选)(2025·天津静海市期末)关于重力做功和重力势能的说法正确的是(　　)
A．如果重力对物体做正功，则物体的重力势能增大
B．如果重力对物体做正功，则物体的重力势能减小
C．物体的重力势能具有相对性，与参考平面的选取有关
D．重力势能是物体与地球组成的系统具有的，而不是物体单独具有的
√
√
解析：如果重力对物体做正功，则物体的重力势能减小，故A错误，B正确；物体的重力势能具有相对性，相对不同的参考平面，物体具有不同的高度h，根据Ep＝mgh可知，物体具有不同数值的重力势能，故C正确；重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单独具有的，故D正确。
√
5．(2025·云南曲靖市期末)排球是许多人喜爱的体育项目之一，如图所示为某同学将排球竖直向上垫起，一段时间后排球落回地面。已知排球在最高点时的重力势能为1 J，落到地面时的重力势能为－2 J，下列说法正确的是　(　　)
A．重力对排球所做的功等于重力与路程的乘积
B．上升阶段排球克服重力做的功大于下降阶段重力做的功
C．排球在最高点的重力势能大于落到地面时的重力势能
D．考虑阻力时，上升阶段排球的重力做的功和重力势能变化量绝对值间的关系为|WG|>|ΔEp|　
解析：重力对排球所做的功等于重力与竖直高度的乘积，A错误；排球在最高点时的重力势能为1 J，上升阶段排球克服重力做功为1 J，落到地面时的重力势能为－2 J，则下降阶段重力做功3 J，则上升阶段排球克服重力做的功小于下降阶段重力做的功，B错误；排球在最高点的重力势能大于落到地面时的重力势能，C正确；上升阶段排球的重力做的功和重力势能变化量绝对值间的关系为|WG|＝|ΔEp|，与是否有阻力无关，D错误。
√
6．如图所示，关于小球下落过程中重力做功和重力势能的变化，下列说法正确的是(　　)

A．小球从A点下落至桌面的过程，重力做正功，重力势能增加
B．小球从桌面下落至B点的过程，重力做负功，重力势能减少
C.小球从A点下落至B点的过程，重力势能的减少量与参考平面的选取有关
D．小球从A点下落至B点的过程，重力做功的多少与参考平面的选取无关
解析：小球从A点下落至桌面的过程，重力方向与位移方向相同，则重力做正功，重力势能减少，故A错误；小球从桌面下落至B点的过程，重力方向与位移方向相同，重力做正功，重力势能减少，故B错误；由于重力势能变化量具有绝对性，即与所选参考平面无关，结合重力做功与重力势能变化量的关系可知，重力做功的多少与所选参考平面无关，故C错误，D正确。
√
7．一个0.1 kg的球从1.8 m的高处落到地上又弹回到的1 m高度，选下落起点为参考面，重力加速度g取10 m/s2，下列说法正确的是(　　)
A．整个过程重力做功为1.8 J
B．整个过程重力做了1 J的功
C．物体的重力势能一定减少了0.8 J
D．物体在地面时的重力势能为0
解析：整个过程重力做功WG＝mgΔh＝0.1×10×0.8 J＝0.8 J，所以物体的重力势能减少了0.8 J，故A、B错误，C正确；物体在地面时的重力势能Ep＝－mgh＝－1.8 J，故D错误。
√
题组3　弹性势能
8．如图所示，小明在玩蹦床游戏。当他从接触床面到运动至最低点的过程中，下列说法不正确的是(　　)

A．小明的重力势能一直减小
B．蹦床的弹性势能一直增大
C．小明在最低点时的速度为零
D．小明受到蹦床的弹力是由于自身发生形变
解析：从接触床面到运动至最低点的过程中，高度减小，小明的重力势能一直减小，A正确，不符合题意；从接触床面到运动至最低点的过程中，弹簧的形变量一直在增大，所以蹦床的弹性势能一直增大，B正确，不符合题意；小明运动到最低点时不能再向下运动了，说明小明此时的速度等于零，C正确，不符合题意；小明受到蹦床的弹力是由于蹦床发生形变，D错误，符合题意。
√
9．(2025·山西大同市期末)关于弹性势能，下列说法正确的是(　　)
A．弹簧在任何状态下都具有弹性势能
B．弹簧只有在发生弹性形变时才具有弹性势能
C．弹性势能不可以与其他形式的能相互转化
D．弹性势能在国际单位制中的单位是瓦特
解析：发生弹性形变的物体，恢复原状的过程能够对外做功，即具有弹性势能，故A错误，B正确；弹性势能可以与其他形式的能相互转化，如撑竿跳高过程中撑竿的弹性势能与其他形式的能之间的转化，故C错误；弹性势能在国际单位制中的单位是焦耳，故D错误。
√
√
√
12．(8分)如图所示，假设某跳高运动员质量为60 kg、身高为1.8 m，在某次背越式跳高中跳过2.1 m 高的横杆而平落在垫子上，落垫时运动员的重心离地高度为60 cm。g取10 m/s2，试估算：
(1)上升阶段运动员至少要克服重力做多少功？(4分)
答案：720 J　
(2)下降阶段重力做了多少功？(4分)
解析：下降阶段，重心下降距离
h2＝2.1 m－0.6 m＝1.5 m
重力做功W2＝mgh2＝900 J。
答案：900 J(共29张PPT)
专题提升课6　变力做功与机车启动问题
专题深度剖析
PART
01
第一部分
微专题一　变力做功的计算
方法 常见情境 方法概述
微元法 将物体的位移分割成许多小段，因小段很小，每一小段上作用在物体上的力可以视为恒力，这样就将求变力做功转化为求在无数个无穷小的位移方向上的恒力所做功的代数和。此法在中学阶段，常应用于求解大小不变、方向改变的变力做功问题
方法 常见情境 方法概述
图像法 在F－x图像中，图线与x轴所围“面积”的代数和就表示力F在这段位移所做的功，且位于x轴上方的“面积”为正，位于x轴下方的“面积”为负，但此方法只适用于便于求图线所围面积的情况(如三角形、矩形、圆等规则的几何图形)
方法 常见情境 方法概述
化变力为恒力 变力做功直接求解时，通常都比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功，用W＝Fl cos α求解。此法常常应用于轻绳通过定滑轮拉物体的问题中
用W＝Pt计算 这是一种等效代换的观点，用W＝Pt计算功时，必须满足变力的功率是一定的这一条件
√
方法2　图像法的应用
(多选)质量为2 kg的物体在水平面上沿直线运动，受到的阻力大小恒定。经某点开始沿运动方向的水平拉力F与运动距离x的关系如图所示，0～3 m物体做匀速直线运动。下列对图示过程的说法正确的是(　　)

A．在x＝5 m处物体加速度大小为3 m/s2
B．0～7 m拉力对物体做功为40 J
C.0～7 m物体克服阻力做功为28 J
D．0～7 m合力对物体做功为68 J
√
√
√
1．两种启动方式
微专题二　机车启动问题
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
P－t图像
v－t图像
两种方式 以恒定功率启动 以恒定加速度启动
牵引力的变化图像
√
中国大型起重机吊装精细化操控有较高的稳定性，现一塔式起重机以额定功率将地面上的重物由静止沿竖直方向吊起，若吊升高度足够且不计额外功，则(　　)
A.重物的速度一直增加
B．重物先做匀加速直线运动后做匀速直线运动
C．重物所受起重机牵引力保持不变
D．重物所受起重机牵引力先减小后不变
√
[解析]　起重机以额定功率将地面上的重物由静止沿竖直方向吊起，满足P m＝Tv，T－mg＝ma，保持额定功率不变，随着速度逐渐增大，牵引力逐渐减小，则加速度逐渐减小，当牵引力减小到等于重力时，加速度为零，此后做匀速直线运动，故重物的速度先增大后不变，故A错误；根据运动过程的分析可知，重物先做加速度减小的加速运动，后做匀速直线运动，故B错误；重物所受起重机牵引力先逐渐减小，后等于重力保持不变，故C错误，D正确。
√
√
(2025·江苏无锡市期末)一辆质量为1.5×103 kg的汽车从静止开始启动，保持额定功率在倾角正弦值为0.1的斜坡上沿斜坡向上行驶。汽车所受摩擦阻力恒为车重的0.2，汽车达到的最大速度为16 m/s，g取10 m/s2。

(1)求汽车发动机的额定功率。
[解析]　根据题意可知，汽车所受阻力
f＝0.2mg
根据额定功率公式可得
P额＝Fvm
F＝f＋mg sin α
解得P额＝72 kW。
[答案]　72 kW　
(2)若汽车沿斜坡向上从静止开始以a＝3 m/s2的加速度匀加速启动，求汽车匀加速运动过程所用的时间。专题提升课8　功能关系和能量守恒
INCLUDEPICTURE "专题深度剖析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
微专题一　功能关系的理解和应用
1．常用功能关系
功 能的变化 表达式
重力做功 正功 重力势能减少 重力势能变化 WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
负功 重力势能增加
弹力做功 正功 弹性势能减少 弹性势能变化 W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
负功 弹性势能增加
合力做功 正功 动能增加 动能变化 W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1
负功 动能减少
除重力(或系统内弹力)外其他力做功 正功 机械能增加 机械能变化 W其他＝ΔE＝E2－E1
负功 机械能减少
一对滑动摩擦力做的总功 负功 机械能减少 内能变化 Q＝Ffd相对
2．解题步骤
(1)明确研究对象及研究过程。
(2)明确该过程中哪些形式的能量在变化。
(3)确定参与转化的能量中，哪些能量增加，哪些能量减少。
(4)列出增加的能量和减少的能量之间的守恒式(或初、末状态能量相等的守恒式)。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，在竖直平面内有一半径为R的圆弧轨道，半径OA水平、OB竖直，一个质量为m的小球自A点正上方的P点由静止开始自由下落，小球沿轨道到达最高点B时恰好对轨道没有压力。已知AP＝2R，重力加速度为g，则小球从P到B的运动过程中(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\22L39.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/22L39.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/22L39.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/22L39.TIF" \* MERGEFORMAT
A．重力做功2mgR
B．机械能减少mgR
C．合外力做功mgR
D．克服摩擦力做功mgR
[解析]　小球从P到B的过程中，重力做功mgR，A错误；小球在A点正上方由静止释放，通过B点时恰好对轨道没有压力，只有重力提供向心力，即mg＝，得 v2＝gR，设克服摩擦力做的功为Wf，
对全过程运用动能定理mgR－Wf＝mv2－0＝mgR，得Wf＝mgR，C错误，D正确；克服摩擦力做的功等于机械能的减少量，B错误。
[答案]　D
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)(2025·甘肃甘南市期末)如图所示，小球套在固定倾斜的光滑杆上，轻质弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内。图中AO水平，BO间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，AB段长度等于BC。现让小球从A处由静止释放，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S108.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S108.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S108.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S108.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小球从A→B过程中，小球的重力做正功
B．小球从A→C过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A→B过程中，弹簧的弹性势能增加
D．小球从A→C过程中，弹簧对小球先做正功后做负功
[解析]　小球从A→B过程中，小球的高度降低，重力做正功，故A正确；小球从A→C过程中，由于弹簧对小球要做功，所以小球的机械能不守恒，故B错误；小球从A→B过程中，弹簧形变量变小，弹簧的弹性势能减小，故C错误；小球从A→C过程中，从A到B，弹簧对小球做正功，从B到C，弹簧对小球做负功，故D正确。
[答案]　AD
微专题二　动力学方法和功能关系的应用
1．动力学分析法：在某一个点对物体受力分析，用牛顿第二定律列方程。注意圆周运动的向心力表达式及向心力来源。
2．功能关系分析法：对物体运动的某一过程应用动能定理或机械能守恒定律列方程，应用动能定理解题只需考虑外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理。
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·安徽淮北市期末)如图所示，竖直平面内有一半径R＝1 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，质量m＝0.2 kg的小球(可看作质点)从B点正上方H＝1.5 m高处的A点自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出，不计空气阻力，(g取10 m/s2)求：
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S109.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S109.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S109.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S109.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)小球经过B点时的动能；
(2)小球经过最低点C时的速度大小vC；
(3)小球经过最低点C时对轨道的压力大小。
[解析]　(1)由机械能守恒定律可知，小球经过B点时的动能EkB＝mgH＝3 J。
(2)由A到C由动能定理有
mg(R＋H)＝mv
解得vC＝5 m/s。
(3)在C点时由牛顿第二定律有
FN－mg＝m eq \f(v,R)
解得FN＝12 N
根据牛顿第三定律可知小球经过最低点C时对轨道的压力
FN′＝FN＝12 N。
[答案]　(1)3 J　(2)5 m/s　(3)12 N
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·江苏无锡市期中)如图所示，一轨道由曲面AB、竖直圆轨道、水平轨道BD和固定斜面DEF平滑连接组成，其中曲面和圆轨道光滑，圆轨道最低点B相互错开。现将一质量m＝0.5 kg的滑块(可看成质点)从AB轨道上距离地面某一高度由静止释放，水平轨道和斜面粗糙且与滑块间的动摩擦因数均为μ＝0.2，若已知圆轨道半径R＝0.8 m，水平轨道的长度xBD＝9 m，斜面宽度dDF＝2 m，倾角θ＝45°，g取10 m/s2，滑块从h＝2.4 m高处由静止开始滑下，求：
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S110.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S110.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S110.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S110.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)滑块运动至圆轨道最高点C时对轨道压力大小；
(2)滑块在斜面上向上运动的最大距离；
(3)滑块最终停止的位置(用距离D点描述)。
[解析]　(1)滑块从静止开始下滑到C的过程，根据动能定理可得
mgh－2mgR＝mv
解得vC＝4 m/s
在C点，根据牛顿第二定律可得
N＋mg＝m eq \f(v,R)
解得N＝5 N。
由牛顿第三定律知滑块在C点对轨道压力大小为5 N。
(2)滑块从静止开始下滑到第一次到达D点过程，根据动能定理可得
mgh－μmgxBD＝mv－0
解得vD＝2 m/s
滑块在斜面上向上运动的过程，根据牛顿第二定律可得
mg sin θ＋μmg cos θ＝ma
解得a＝6 m/s2
根据运动学公式可得滑块在斜面上向上运动的最大距离xm＝ eq \f(v,2a)＝ m。
(3)设滑块最终停止的位置与D点的距离为s，滑块从斜面上下滑到最终停止过程，有
mgxmsin 45°－μmg cos 45°·xm－μmgs＝0
解得s＝2 m
则滑块停在D点左侧2 m处。
[答案]　(1)5 N　(2) m　(3)D点左侧2 m处
微专题三　能量守恒定律的理解和应用
对能量守恒定律的理解
(1)转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2024·江西卷，T5)庐山瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”瀑布高150 m，水流量10 m3/s，假设利用瀑布来发电，能量转化效率为70%，重力加速度g取10 m/s2，则发电功率为(　　)
A．109 W　　　　　　　　 B．107 W
C．105 W D．103 W
[解析]　由题知，Δt时间内流出的水量m＝ρQΔt＝1.0×104Δt，发电过程中水的重力势能转化为电能，则有P＝×70%≈1.0×107 W。
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，粗糙的水平轨道AB与半径R＝0.9 m的光滑竖直半圆形轨道BC相切于B点。压缩后锁定的轻弹簧一端固定在水平轨道的左端，另一端紧靠静止在A点的质量m＝1 kg的小物块(不拴接)。解除弹簧锁定后，物块从A点开始沿AB轨道运动，进入半圆形轨道BC之后，恰好能通过轨道BC的最高点C，最后落回到水平轨道AB上。已知A、B两点的距离L＝2 m，物块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
INCLUDEPICTURE "H:\\24H44.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/24H44.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24H44.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24H44.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)小物块从C点落回水平轨道AB上的位置到B点的距离；
(2)小物块运动到B点时对半圆形轨道的弹力；
(3)解除锁定前弹簧的弹性势能。
[解析]　(1)由题意可知，物块在C点，由牛顿第二定律可得mg＝m eq \f(v,R)，解得vC＝3 m/s
小物块从C点做平抛运动，设落到水平轨道AB上的位置到B点的距离为x，则有2R＝gt2
x＝vCt，解得x＝1.8 m。
(2)物块从B到C过程中，由机械能守恒定律可得
mg·2R＋mv＝mv
在B点，由牛顿第二定律可得FN－mg＝m eq \f(v,R)，解得FN＝60 N，由牛顿第三定律可知，小物块在B点对圆轨道的弹力大小为60 N，方向竖直向下。
(3)物块从A到B，由能量守恒定律可得
EpA－μmgL＝mv，解得EpA＝26.5 J。
[答案]　(1)1.8 m　(2)60 N，方向竖直向下
(3)26.5 J
规范一练　动力学和功能关系的综合应用
INCLUDEPICTURE "例7LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例7LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例7LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·黑龙江大庆市期中)滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示的是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8 m，一运动员从轨道上的A点以3 m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为60 kg，B、E两点与水平面CD的竖直高度分别为h和H，且h＝2 m，H＝2.8 m，g取10 m/s2。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S111.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S111.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S111.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S111.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求运动员从A运动到达B点时的速度大小vB。
(2)求运动员第一次离开圆弧轨道BC末端时，滑板对轨道的压力大小。
(3)求轨道CD段的动摩擦因数μ。
(4)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时的速度大小；如不能，则最后停在何处？
[解析]　(1)运动员在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，则有
vB＝
解得vB＝2v0＝6 m/s。
(2)从B运动到C点，根据动能定理可得
mgh＝mv－mv
在最低点C，根据牛顿第二定律可得
F－mg＝m eq \f(v,R)
又h＝R(1－cos 60°)
联立可得F＝1 740 N
根据牛顿第三定律可知，运动员离开圆弧轨道BC末端时，滑板对轨道的压力大小为1 740 N。
(3)由B点到E点，由动能定理可得
mgh－μmgsCD－mgH＝0－mv
代入数据可得μ＝0.125。
(4)设运动员左侧能到达的最大高度为h′，从B点到第一次返回左侧最高处，根据动能定理有
mgh－mgh′－μmg·2sCD＝0－mv
解得h′＝1.8 m所以第一次返回时，运动员不能回到B点；设运动员从B点运动到停止的过程中，在CD段的总路程为s，由动能定理可得
mgh－μmgs＝0－mv
代入数据解得s＝30.4 m
因为s＝3sCD＋6.4 m
所以运动员最后停在D点左侧6.4 m处或C点右侧1.6 m处。
[答案]　(1)6 m/s　(2)1 740 N　(3)0.125
(4)见解析专题提升课9　能量观点在常见模型中的应用
INCLUDEPICTURE "专题深度剖析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/专题深度剖析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
微专题一　天体运动中的能量问题
求解天体运动中的机械能问题的解题步骤：
(1)由万有引力提供向心力，利用＝m求解线速度大小，进而求出天体在轨道上运动的动能。
(2)求出天体在轨道上的机械能E＝Ek＋Ep。
(3)根据ΔE＝E1－E2求出机械能变化。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)2024年11月15日，天舟八号货运飞船在长征七号遥九运载火箭托举下成功入轨，此后与空间站对接成为组合体，在距离地面高度H的圆轨道匀速运行。若取无穷远处为引力势能零点，质量为m的物体在地球引力场中具有的引力势能Ep＝－(式中G为引力常量，M为地球的质量，r0为物体到地心的距离)。已知地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，货运飞船与空间站组合体的质量为m0，则下列说法正确的是(　　)
A.先使货运飞船与空间站在同一轨道上运行，然后货运飞船加速追上空间站实现对接
B．若组合体返回地球，则需加速离开该轨道
C．在该轨道上组合体的引力势能为－
D．在该轨道上组合体的机械能为－
[解析]　货运飞船与空间站在同一轨道上运行，货运飞船加速后将会做离心运动，不能实现与空间站对接，故A错误；若组合体返回地球，则需减速做向心运动从而离开该轨道，故B错误；由题意可知，在该轨道上组合体的引力势能Ep＝－，故C正确；根据G＝m0，可得组合体在该轨道上运行时的动能Ek＝m0v2＝，则在该轨道上组合体的机械能E＝Ep＋Ek＝－，故D正确。
[答案]　CD
微专题二　传送带模型中的能量问题
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，水平传送带由电动机带动，并始终保持以速度v顺时针匀速转动。现将质量为m的物块无初速度地放在传送带的左端，经过一段时间物块恰好与传送带相对静止。设物块与传送带间的动摩擦因数为μ。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S123.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S123.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S123.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S123.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)这一过程摩擦力对物块做的功为多少？
(2)传送带克服摩擦力做的功为多少？
(3)系统摩擦产生的热量为多少？
(4)与不放物块时相比，电动机多做的功为多少？
(5)与不放物块时相比，电动机多做的这部分功与哪种能量的变化对应？总结这条功能关系。
[解析]　(1)物块的加速度a＝μg
这一过程摩擦力对物块做的功
Wf1＝μmg·＝mv2。
(2)传送带克服摩擦力做的功
Wf2＝μmg·v·＝mv2。
(3)系统摩擦产生的热量
Q＝μmg＝μmg·v·＝mv2。
(4)与不放物块时相比，电动机多做的功
ΔW＝Wf2＝mv2。
(5)与不放物块时相比，电动机多做的这部分功转化为热量Q以及木块的动能，即
ΔW＝Q＋mv2。
[答案]　(1)mv2　(2)mv2　(3)mv2　(4)mv2　(5)见解析
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·重庆沙坪坝区期末)如图，绷紧的传送带AB与水平地面倾角θ＝37°，A、B两端相距L＝20 m，传送带以v＝4 m/s的速度顺时针匀速运转。一个质量为1 kg的小物块从传送带下端A相对地面以v0＝2 m/s的初速度开始沿传送带向上运动。重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S124.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S124.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S124.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S124.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)若物块与传送带间的动摩擦因数μ1＝0.8，求物块在传送带上运动的过程中摩擦力对物块做的总功W1。
(2)若物块与传送带间的动摩擦因数μ2＝0.5，求物块在传送带上运动的过程中摩擦力对物块做的总功W2以及物块与传送带之间摩擦产生的热量Q。
[解析]　(1)由题意可知，μ1＝0.8>tan θ＝0.75，故物块先加速后匀速，根据动能定理有
mv2－mv＝W1－mgL sin θ
解得W1＝126 J。
(2)由题意知，μ2＝0.5则减速至零的过程中，根据牛顿第二定律有
ma＝mg sin θ－μ2mg cos θ
解得a＝2 m/s2
则所用时间t＝＝1 s
则传送带的位移x传＝v×2t＝8 m
则物块与传送带之间摩擦产生的热量
Q＝fs相对＝μ2mg cos θ(x传－x物)＝32 J。
[答案]　(1)126 J　(2)0　32 J
微专题三　板块模型中的能量问题
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，一质量为M的木板静止置于光滑的水平面上，一质量为m的木块(可视为质点)，以初速度v0滑上木板的左端，已知木块和木板间的动摩擦因数为μ，木块始终没有滑离木板。
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT70.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT70.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT70.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT70.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求刚开始时，木块和木板各自的加速度大小。
(2)求木板最终的速度大小。
(3)为使木块不掉下木板，板长至少多少？
(4)求因摩擦而产生的热量。
[解析]　(1)刚开始时，以木块为研究对象，根据牛顿第二定律可得μmg＝ma1
解得a1＝μg
以木板为研究对象，根据牛顿第二定律可得
μmg＝Ma2
解得a2＝。
(2)木块始终没有滑离木板，设共同速度为v，所用时间为t，则有v＝v0－a1t，v＝a2t
联立解得t＝，v＝。
(3)为使木块不掉下木板，板长至少为L＝x1－x2＝t－t＝t＝ eq \f(Mv,2μ(m＋M)g)。
(4)根据能量守恒定律可得
Q＝mv－(m＋M)v2
联立可得Q＝ eq \f(mMv,2(m＋M))。
[答案]　(1)μg　　(2)
(3) eq \f(Mv,2μ(m＋M)g)　(4) eq \f(mMv,2(m＋M))(共49张PPT)
第2节　重力势能
学习目标
1．知道重力做功与路径无关。　2.理解重力势能的概念，知道重力势能具有相对性、系统性，会用重力势能的计算公式进行相关计算。　3.理解重力做功与重力势能变化的关系。　4.理解弹性势能的概念，会分析决定弹性势能大小的相关因素。
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、重力做的功
1．表达式：WG＝________，Δh指初位置与末位置的高度差。
2．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的_________________有关，而跟物体运动的______无关。
mgΔh
起点和终点的位置
路径
二、重力势能
1．定义：物体由于处于一定高度而具有的能。
2．大小：Ep＝______，式中h是物体重心到参考平面的高度。
3．单位：______；符号为______。
4．重力做功与重力势能的关系
(1)关系式：WG＝____________。
(2)当物体由高处运动到低处时，重力做正功，重力势能减少，即WG>0，Ep1>Ep2；当物体由低处运动到高处时，重力做负功，重力势能增加，即WG<0，Ep1mgh
焦耳
J
Ep1－Ep2
5．重力势能的相对性
(1)重力势能的相对性
物体的重力势能总是相对于某一水平面来说的，这个水平面叫作参考平面，在这个水平面上，物体的重力势能取为0。通常选择______为参考平面。选择不同的参考平面，物体重力势能的数值是______的，但重力势能的差值______。
地面
不同
相同
(2)标矢性：重力势能为______量，但有正负。物体在参考平面上方时，重力势能为______值；在参考平面下方时，重力势能为______值。
　重力势能是标量，但有正负，正负表示大小。
标
正
负
三、弹性势能
1．定义：发生____________的物体的各部分之间，由于有______的相互作用而具有的势能。
2．弹簧的弹性势能：弹性势能跟____________有关。弹簧的长度为原长时，弹性势能为0。在弹性限度内，弹簧的弹性势能跟弹簧被______或______的长度有关，被拉伸或压缩的长度越长，恢复原状过程中对外做的功就______，弹簧的弹性势能就______。弹簧的弹性势能还跟弹簧的____________有关。
弹性形变
弹力
形变的大小
拉伸
压缩
越多
越大
劲度系数
判断下列说法是否正确。
(1)物体只要运动，其重力一定做功。(　　)
(2)物体的高度只要发生变化，其重力一定做功。(　　)
(3)重力做功多少取决于物体所受的重力和它通过的路程。(　　)
(4)重力势能Ep1＝2 J，Ep2＝－3 J，则Ep1与Ep2方向相反。(　　)
(5)不同弹簧的形变量相同时弹力做功相同。(　　)
(6)弹簧被压缩时，弹性势能为负；弹簧被拉伸时，弹性势能为正。 (　　)
×　
√
×　
×　
×　
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　重力做功的特点
如图所示，一个质量为m的物体，从高度为h1的位置A分别按下列三种方式运动到高度为h2的位置B，在这个过程中思考并讨论以下问题：
(1)甲、乙、丙三种情况下重力做的功各是多少？
[提示]　三种情况下重力做的功都是mgh。
(2)重力做功有什么特点？
[提示]　物体运动时，重力对其做的功只跟其起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。
1．重力做功的特点：物体运动时，重力对它做的功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体的运动性质、是否受其他力以及运动的路径无关。
2．重力做功的求解：重力是恒力，而恒力做功等于力F与在力F方向上的位移的乘积，重力方向是竖直向下的，因此重力做功只与竖直方向上的位移有关。往高处运动，竖直方向上的位移与重力方向相反，重力做负功，往低处运动，竖直方向上的位移与重力方向相同，重力做正功，其大小都为mgΔh(Δh为始末位置的高度差)。
角度1　重力做功的特点
　如图所示，一物体从A点出发，分别沿粗糙斜面AB和光滑斜面AC下滑及斜向上抛出，运动后到达同一水平面上的B、C、D三点。关于重力的做功情况，下列说法正确的是(　　)

A．沿AB面滑下时，重力做功最多
B．沿AC面滑下时，重力做功最多
C．沿AD抛物线运动时，重力做功最多
D．三种情况下运动时，重力做的功相等
√
[解析]　由于重力做功与路径无关，只与初、末位置的高度差有关，故三种情况下运动时，重力做的功相等，均为WG＝mgh。
√
知识点二　重力做功和重力势能的变化
如图所示，幼儿园的小朋友们正在玩滑梯(选地面为参考面)：
(1)在最高点(高度为h)和地面的重力势能各是多少？
[提示]　最高点与最低点的重力势能分别为mgh、0。
(2)下滑过程中重力做多少功？重力势能如何变化？
[提示]　重力做功W＝mgh。重力势能减少了mgh。
1．对重力势能的理解
(1)系统性：重力势能是物体和地球所组成的系统共同具有的能量，不是地球上的物体单独具有的。
(2)相对性：重力势能Ep＝mgh与参考平面的选择有关，式中的h是物体重心到参考平面的高度。重力势能是标量，只有大小而无方向，但有正、负之分。当物体在参考平面上方时，Ep为正值；当物体在参考平面下方时，Ep为负值。注意物体重力势能的正、负是表示比零势能大，还是比零势能小。
(3)参考平面选择的任意性：视处理问题的方便而定，一般选择地面或物体运动时所到达的最低点为零势能面。
(4)重力势能变化的绝对性：物体从一个位置运动到另一个位置的过程中，重力势能的变化与参考平面的选取及过程无关，它的变化量是绝对的。
2．重力做功与重力势能的变化
(1)表达式：WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(2)重力做多少正功，重力势能就减少多少；克服重力做多少功，重力势能就增加多少。
√
角度1　对重力势能的理解
　(多选)(2025·山西大同市期末)关于重力势能，下列说法正确的是(　　)
A．重力势能的变化只跟物体所处的初、末位置有关，与物体实际经过的路径无关
B．物体与参考平面的距离越大，它的重力势能也越大
C.重力势能的变化量与参考平面的选取无关
D．一个物体的重力势能从－10 J变化到4 J，重力势能减少了
√
[解析]　重力势能的变化只跟物体所处的初、末位置有关，与物体实际经过的路径无关，且重力势能的变化量与参考平面的选取无关，但物体重力势能的大小与零势能参考面的选取有关，所以放在地面上的物体重力势能不一定为零，故A、C正确；若物体在零势能参考面的上方，则物体与参考平面的距离越大，它的重力势能越大；反之，若物体在零势能参考面的下方，则物体与参考平面的距离越大，它的重力势能越小，故B错误；一个物体的重力势能从－10 J变化到4 J，重力势能增加，故D错误。
√
角度2　重力做功和重力势能的变化
　【教材经典P83第4题改编】如图所示，质量为m的小球，从A点下落到地面上的B点小球到桌面的距离为h1，桌面高为h2。若以桌面为参考平面，下列说法正确的是(　　)

A.小球在A点的重力势能为mg(h1＋h2)
B．小球在B点的重力势能为－mgh2
C．整个下落过程中小球的重力势能减少mgh1
D．整个下落过程中小球的重力势能减少mgh2
[解析]　小球在A点的重力势能为mgh1，故A错误；小球在B点的重力势能为－mgh2，故B正确；整个下落过程中小球重力做功WG＝mg(h1＋h2)，重力做正功，则整个下落过程中小球的重力势能减少mg(h1＋h2)，故C、D错误。
　一个0.1 kg的球从1.8 m的高处落到地上又弹回到1 m高度，选下落起点为参考面(g取10 m/s2)，下列说法正确的是(　　)
A．整个过程重力做功为1.8 J
B．整个过程重力做了0.8 J的负功
C．整个过程物体的重力势能一定减少了0.8 J
D．物体在地面时的重力势能为0
[解析]　整个过程重力做功WG＝mgΔh＝0.1×10×(1.8－1) J＝0.8 J，可知整个过程重力做功为0.8 J，则物体的重力势能一定减少了0.8 J；选下落起点为参考面，物体在地面时的重力势能Ep＝－mgh＝－0.1×10×1.8 J＝
－1.8 J。
√
知识点三　弹性势能
如图所示，某人正在用拉力器锻炼臂力。

(1)人不用力时，弹簧不伸长，此时弹簧有弹性势能吗？
[提示]　弹簧不伸长，没有弹性势能。
(2)人拉弹簧时对弹簧做什么功？弹簧的弹性势能怎么变化？
[提示]　人对弹簧做正功，弹性势能增加。
(3)在弹簧弹性限度内，人将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多吗？弹性势能越大吗？
[提示]　将弹簧拉得越长，克服弹力做功越多，弹性势能越大。
(4)有的拉力器有2条弹簧，有的有4条弹簧，拉伸相同长度，用力一样吗？克服弹力做功相同吗？
[提示]　用力不一样，克服弹力做功也不相同。
2．弹力做功与弹性势能变化的关系
如图所示，O为弹簧的原长处。

(1)弹力做负功时：如物体由O向A运动(压缩)或者由O向A′运动(伸长)时，弹性势能增大，其他形式的能转化为弹性势能。
(2)弹力做正功时：如物体由A向O运动，或者由A′向O运动时，弹性势能减小，弹性势能转化为其他形式的能。
(3)弹力做功与弹性势能变化的关系为W弹＝－ΔEp。
　(多选)(2025·山西大同市期末)如图所示的一个物体以速度v0冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，墙壁和物体间的弹簧被物体压缩至最短的过程中，以下说法正确的是(　　)

A．弹簧的弹力大小与弹簧的压缩量成正比
B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等
C．弹簧的弹力做正功，弹性势能增加
D．弹簧的弹力做负功，弹性势能增加
√
√
√
[解析]　由F＝kx知弹簧的弹力大小与弹簧的压缩量成正比，故A正确；弹簧开始被压缩时弹力较小，发生相同的位移时弹力做的功较少，弹簧的压缩量变大时，物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功较多，故B正确；物体压缩弹簧的过程，弹簧的弹力与弹力作用点的位移方向相反，所以弹力做负功，弹性势能增加，故C错误，D正确。
　如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中(弹簧保持竖直)，下列说法正确的是(　　)

A．小球的速度先增大后减小
B．重力势能先减小后增大
C．弹性势能先增大后减小
D．重力先做正功后做负功
√
[解析]　在小球刚接触弹簧的时候，弹簧的弹力小于小球所受的重力，合力向下，小球还是向下加速，当弹簧的弹力和小球所受的重力相等时，小球的速度达到最大，之后弹力大于重力，小球开始减速，直至减为零。根据以上分析，小球的速度先增大后增小，故A正确；小球一直向下运动，小球的重力做正功，重力势能一直减小，故B、D错误；弹簧的弹力一直做负功，弹簧的弹性势能一直在增大，故C错误。
综合一练　功和功率　重力做功与重力势能变化的综合问题
　 (2025·吉林四平市期中)如图所示的是一种大型机械车间运输货物的天车，天车通过钢索竖直悬挂货物，现将一质量m＝2 000 kg的货物(可视为质点)沿着与水平方向成30°角的方向匀速吊起，使货物在10 s内向斜上方移动了L＝5 m的距离，空气阻力不计，钢索始终竖直，重力加速度g取10 m/s2。求：
(1)10 s内钢索对货物的拉力做的功WF；
[解析]　货物做匀速直线运动，由平衡条件可知钢索拉力大小
F＝mg＝2×104 N
10 s内钢索对货物的拉力做的功
WF＝FL sin 30°
代入数据解得WF＝5×104 J。
[答案]　5×104 J　
(2)10 s末拉力的瞬时功率P；
[答案]　5×103 W　
(3)10 s内货物的重力做的功WG及重力势能的变化量ΔEp。
[解析]　10 s内重力做的功
WG＝－mgL sin 30°＝－5×104 J
由于WG＝－ΔEp，解得ΔEp＝5×104 J。
[答案]　－5×104 J　5×104 J
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(重力做功的特点)如图所示，静止的小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，轨道高度为h，桌面距地面高为H，小球质量为m，则以下说法正确的是(　　)

A．小球的重力势能的减少量为mgh
B．以地面为参考面，小球的重力势能的减少量为mg(H＋h)
C．小球沿竖直轨道下滑到桌面上的过程，重力做功最少
D．小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，重力做功不一样多
√
解析：小球沿不同的轨道由同一位置滑到水平桌面上，下降的竖直高度都相同，所以重力做功一样多，故C、D错误；重力势能的变化量与零势能面的选取无关，重力做的正功就等于重力势能的减少量，重力做功为mgh，重力势能的减少量为mgh，故B错误，A正确。
2．(重力做功的求解)【教材经典P83第2题改编】如图所示，质量为m的足球在地面1的位置被踢出后落到地面3的位置，在空中到达最高点2的高度为h，重力加速度为g，则(　　)

A．由位置1到位置2重力做功mgh
B．由位置2到位置3重力做功－mgh
C．由位置1到位置3重力做功2mgh
D．由位置1到位置3重力做功为零
√
解析：由位置1到位置2，高度增加，重力做负功，故重力做功为－mgh，故A错误；由位置2到位置3，高度降低，重力做正功，故重力做功为mgh，故B错误；由位置1到位置3，两位置等高，故重力做功为零，故C错误，D正确。
3．(重力做功与重力势能的变化)假设某一青年在楼上将球水平抛出，抛出点离地4.5 m，球质量为0.6 kg，在离地2.0 m处被另一青年接到，重力加速度取10 m/s2，在球被抛出至被接到的过程中，下列说法正确的是(　　)
A．重力做功15 J
B．重力势能增加了15 J
C．若以抛出点为参考平面，球被接到时的重力势能为－27 J
D．若以地面为参考平面时，上述过程中球重力势能的变化量最大
√
解析：重力做功WG＝mg(h－h1)＝15 J，故A正确；重力做正功，重力势能减小，故重力势能减少了15 J，故B错误；若以抛出点为参考平面，球被接到时的重力势能Ep＝－mg(h－h1)＝－15 J，故C错误；重力势能的变化量与重力做功对应，与参考平面的选取无关，故D错误。
√(共34张PPT)
专题提升课8　功能关系和能量守恒
专题深度剖析
PART
01
第一部分
1．常用功能关系
微专题一　功能关系的理解和应用
功 能的变化 表达式
重力做功 正功 重力势 能减少 重力势能变化 WG＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
负功 重力势 能增加
功 能的变化 表达式
弹力做功 正功 弹性势 能减少 弹性势能变化 W弹＝－ΔEp＝Ep1－Ep2
负功 弹性势 能增加
合力做功 正功 动能增加 动能 变化 W合＝ΔEk＝Ek2－Ek1
负功 动能减少
功 能的变化 表达式
除重力(或 系统内弹 力)外其他 力做功 正功 机械能 增加 机械能 变化 W其他＝ΔE＝E2－E1
负功 机械能 减少
一对滑动 摩擦力做 的总功 负功 机械能 减少 内能 变化 Q＝Ffd相对
2．解题步骤
(1)明确研究对象及研究过程。
(2)明确该过程中哪些形式的能量在变化。
(3)确定参与转化的能量中，哪些能量增加，哪些能量减少。
(4)列出增加的能量和减少的能量之间的守恒式(或初、末状态能量相等的守恒式)。
√
　(多选)(2025·甘肃甘南市期末)如图所示，小球套在固定倾斜的光滑杆上，轻质弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连，弹簧与杆在同一竖直平面内。图中AO水平，BO间连线长度恰好与弹簧原长相等，且与杆垂直，AB段长度等于BC。现让小球从A处由静止释放，下列说法正确的是(　　)

A．小球从A→B过程中，小球的重力做正功
B．小球从A→C过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A→B过程中，弹簧的弹性势能增加
D．小球从A→C过程中，弹簧对小球先做正功后做负功
√
√
[解析]　小球从A→B过程中，小球的高度降低，重力做正功，故A正确；小球从A→C过程中，由于弹簧对小球要做功，所以小球的机械能不守恒，故B错误；小球从A→B过程中，弹簧形变量变小，弹簧的弹性势能减小，故C错误；小球从A→C过程中，从A到B，弹簧对小球做正功，从B到C，弹簧对小球做负功，故D正确。
1．动力学分析法：在某一个点对物体受力分析，用牛顿第二定律列方程。注意圆周运动的向心力表达式及向心力来源。
2．功能关系分析法：对物体运动的某一过程应用动能定理或机械能守恒定律列方程，应用动能定理解题只需考虑外力做功和初、末两个状态的动能，并且可以把不同的运动过程合并为一个全过程来处理。
微专题二　动力学方法和功能关系的应用
　(2025·安徽淮北市期末)如图所示，竖直平面内有一半
径R＝1 m的光滑圆弧槽BCD，B点与圆心O等高，质量m＝
0.2 kg的小球(可看作质点)从B点正上方H＝1.5 m高处的A点
自由下落，由B点进入圆弧轨道，从D点飞出，不计空气阻力，(g取10 m/s2)求：
(1)小球经过B点时的动能；
[解析]　由机械能守恒定律可知，小球经过B点时的动能EkB＝mgH＝3 J。
[答案]　3 J　
(2)小球经过最低点C时的速度大小vC；
(3)小球经过最低点C时对轨道的压力大小。
[答案]　12 N
　(2025·江苏无锡市期中)如图所示，一轨道由曲面AB、竖直圆轨道、水平轨道BD和固定斜面DEF平滑连接组成，其中曲面和圆轨道光滑，圆轨道最低点B相互错开。现将一质量m＝0.5 kg的滑块(可看成质点)从AB轨道上距离地面某一高度由静止释放，水平轨道和斜面粗糙且与滑块间的动摩擦因数均为μ＝0.2，若已知圆轨道半径R＝0.8 m，水平轨道的长度xBD＝
9 m，斜面宽度dDF＝2 m，倾角θ＝45°，g取10 m/s2，滑块从h＝2.4 m高处由静止开始滑下，求：
(1)滑块运动至圆轨道最高点C时对轨道压力大小；
[答案]　5 N　
(2)滑块在斜面上向上运动的最大距离；
(3)滑块最终停止的位置(用距离D点描述)。
[解析]　设滑块最终停止的位置与D点的距离为s，滑块从斜面上下滑到最终停止过程，有
mgxmsin 45°－μmg cos 45°·xm－μmgs＝0
解得s＝2 m
则滑块停在D点左侧2 m处。
[答案]　D点左侧2 m处
对能量守恒定律的理解
(1)转化：某种形式的能量减少，一定存在其他形式的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
(2)转移：某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。
微专题三　能量守恒定律的理解和应用
　(2024·江西卷，T5)庐山瀑布“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”瀑布高150 m，水流量10 m3/s，假设利用瀑布来发电，能量转化效率为70%，重力加速度g取10 m/s2，则发电功率为(　　)
A．109 W　　　　　　　　 B．107 W
C．105 W D．103 W
√
　如图所示，粗糙的水平轨道AB与半径R＝0.9 m的光滑竖直半圆形轨道BC相切于B点。压缩后锁定的轻弹簧一端固定在水平轨道的左端，另一端紧靠静止在A点的质量m＝1 kg的小物块(不拴接)。解除弹簧锁定后，物块从A点开始沿AB轨道运动，进入半圆形轨道BC之后，恰好能通过轨道BC的最高点C，最后落回到水平轨道AB上。已知A、B两点的距离L＝2 m，物块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，g取10 m/s2，不计空气阻力。求：
(1)小物块从C点落回水平轨道AB上的位置到B点的距离；
[答案]　1.8 m　
(2)小物块运动到B点时对半圆形轨道的弹力；
[答案]　60 N，方向竖直向下
(3)解除锁定前弹簧的弹性势能。
[答案]　26.5 J
规范一练　动力学和功能关系的综合应用
　(2025·黑龙江大庆市期中)滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示的是滑板运动的轨道，BC和DE是两段光滑圆弧形轨道，BC段的圆心为O点，圆心角为60°，半径OC与水平轨道CD垂直，水平轨道CD段粗糙且长8 m，一运动员从轨道上的A点以
3 m/s的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道BC，经CD轨道后冲上DE轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为60 kg，B、E两点与水平面CD的竖直高度分别为h和H，且h＝2 m，H＝2.8 m，g取10 m/s2。
(1)求运动员从A运动到达B点时的速度大小vB。
[答案]　6 m/s　
(2)求运动员第一次离开圆弧轨道BC末端时，滑板对轨道的压力大小。
又h＝R(1－cos 60°)
联立可得F＝1 740 N
根据牛顿第三定律可知，运动员离开圆弧轨道BC末端时，滑板对轨道的压力大小为1 740 N。
[答案]　1 740 N　
(3)求轨道CD段的动摩擦因数μ。
[答案]　0.125
(4)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如能，请求出回到B点时的速度大小；如不能，则最后停在何处？
代入数据解得s＝30.4 m
因为s＝3sCD＋6.4 m
所以运动员最后停在D点左侧6.4 m处或C点右侧1.6 m处。
[答案]　见解析INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\基础对点练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
题组1　变力做功的求解
1．(多选)如图所示，摆球质量为m，悬线长为L，把悬线拉到水平位置后放手。设在摆球运动过程中空气阻力F阻的大小不变，则下列说法正确的是(　　)
A.重力做的功为mgL
B．悬线的拉力做的功为0
C．空气阻力F阻做的功为－mgL
D．空气阻力F阻做的功为－F阻πL
解析：选ABD。由重力做功特点得重力做功WG＝mgL，A正确；悬线的拉力始终与v垂直，不做功，B正确；由微元法可求得空气阻力做功WF阻＝－F阻πL，D正确，C错误。
2．如图甲所示，质量为5 kg的物体在斜向下、与水平方向成30°角的力F作用下，沿水平面开始运动，推力大小F随位移大小x变化的情况如图乙所示，则力F所做的功为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT16.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../25WT16.TIF" \* MERGEFORMAT
A．60 J　　　　　　　 　 B．104 J
C．120 J D．208 J
解析：选B。力F所做的功W＝Fx cos 30°≈104 J。
题组2　机车启动问题
3．一质量为m的小轿车以恒定功率P启动，沿平直路面行驶，若行驶过程中受到的阻力大小不变，则能够达到的最大速度为v，当小轿车的速度大小为时，则其加速度大小为(　　)
A． B．
C． D．
解析：选A。小轿车速度达到最大后，将匀速前进，设阻力为Ff，牵引力为F1，根据功率与速度的关系式P＝Fv和力的平衡条件得P＝F1v，F1＝Ff。当小轿车的速度大小为时，设牵引力为F2，则有P＝F2·，根据牛顿第二定律得F2－Ff＝ma，联立解得a＝。
4．质量为1.5×103 kg的汽车以某一恒定功率启动后沿平直路面行驶，且行驶过程中受到的阻力恒定，汽车能够达到的最大速度为30 m/s。若汽车的速度大小为10 m/s时的加速度大小为4 m/s2，则该恒定功率为(　　)
A．90 kW B．75 kW
C．60 kW D．4 kW
解析：选A。汽车以恒定的功率启动，由牛顿第二定律F－Ff＝ma和功率Pm＝Fv，联立可得－Ff＝ma。速度为10 m/s时的加速度大小为4 m/s2，即－Ff＝4m；而汽车达到最大速度时加速度为零，有＝Ff，联立两式代入数据解得Pm＝60m＝60×1.5×103 W＝90 kW。
5．(2025·江苏无锡市期中)在通往某景区的公路上，一辆小汽车沿水平面由静止启动，在前20 s内做匀加速直线运动，第20 s末达到额定功率，之后保持额定功率运动，其v－t图像如图所示。已知汽车的质量m＝1×103 kg，汽车受到地面的阻力和空气阻力的合力大小恒为车重的0.2，重力加速度g取10 m/s2，则汽车的最大速度为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S68.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../E26TWLR2S68.TIF" \* MERGEFORMAT
A．25 m/s B．28 m/s
C．30 m/s D．35 m/s
解析：选C。由题意可知汽车受到地面的阻力和空气阻力的合力大小f＝0.2mg＝2 000 N，由v－t图像可知做匀加速时的加速度a＝ m/s2＝1 m/s2，根据牛顿第二定律可得F1－f＝ma，解得匀加速时的牵引力大小F1＝3 000 N，当速度v1＝20 m/s时，功率达到额定功率，则有P额＝F1v1＝60 000 W，当牵引力等于阻力时，汽车的速度达到最大，则有vm＝＝30 m/s。
6．(多选)电动方程式是目前世界上新能源汽车运动中级别最高的赛事，赛车在专业赛道水平路面上由静止启动，在前2 s内做匀加速直线运动，2 s末达到额定功率，之后保持额定功率继续运动，其v－t图像如图所示。已知赛车的质量m＝8×102 kg，赛车受到地面的阻力为车重的，g取10 m/s2，下列说法正确的是　(　　)
A．赛车在2 s时的瞬时功率P＝128 kw
B．赛车在加速过程中牵引力保持不变
C．该赛车的最大速度是288 km/h
D．当速度v＝20 m/s时，其加速度为5 m/s2
解析：选AC。赛车在前2 s内的加速度a＝m/s2＝8 m/s2，牵引力F＝ma＋kmg＝800×(8＋×10) N＝8 000 N，2 s时的瞬时功率P＝Fv＝8 000×16 W＝128 kW，A正确；赛车达到最大功率时，随速度的增加，牵引力逐渐减小，B错误；该赛车的最大速度是vm＝＝ m/s＝80 m/s＝288 km/h，C正确；当速度v＝20 m/s时，其加速度a′＝＝(－0.2×10) m/s2＝6 m/s2，D错误。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\综合提升练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../../综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
7．(10分)如图所示为修建高层建筑常用的塔式起重机。在起重机将质量m＝5×103 kg的重物竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀加速直线运动，加速度a＝2 m/s2，当起重机输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率继续加速直到重物做vm＝6 m/s的匀速运动。g取10 m/s2，不计额外功。求：
(1)重物在匀加速运动时的牵引力大小；(3分)　
(2)起重机允许输出的最大功率；(3分)
(3)起重机在第2 s末的输出功率。(4分)
解析：(1)根据牛顿第二定律
F－mg＝ma得
F＝mg＋ma＝6×104 N
即重物在匀加速运动时的牵引力大小为6×104 N。
(2)设起重机允许输出的最大功率为P，重物达到最大速度时，拉力F1等于重力
F1＝mg
P＝F1vm＝mgvm＝3×105 W
即起重机允许输出的最大功率为3×105 W。
(3)设匀加速运动结束时重物速度为v1，此时起重机功率为P，重物受到拉力为F，则有v1＝
又根据匀变速运动规律可知v1＝at1
t1＝＝2.5 s
即重物做匀加速运动所经历的时间2.5 s
由t2＝2 s时，重物处于匀加速运动阶段，设此时速度为v2，输出功率为P′，则
v2＝at2
P′＝Fv2
联立解得P′＝2.4×105 W。
答案：(1)6×104 N　(2)3×105 W　(3)2.4×105 W
8．(10分)(2025·陕西西安市期末)如图所示，一辆质量m＝2.0×103 kg的某款新能源汽车在平直公路上行驶，发动机的额定功率P0＝80 kW，设汽车行驶过程中受到的阻力大小恒为f＝4.0×103 N。
(1)在不超过额定功率的前提下，求该汽车所能达到的最大速度vm。(4分)
(2)如果汽车从静止开始做匀加速直线运动，加速度的大小为2.0 m/s2，求在发动机不超过额定功率的前提下，求汽车维持匀加速运动的时间t。(6分)
解析：(1)设汽车以额定功率启动后达到最大速度vm时牵引力为F0，汽车达到最大速度时有
F0＝f＝4.0×103 N
而功率P0＝F0vm
代入数据解得vm＝20 m/s。
(2)设汽车在做匀加速运动时，牵引力为F，根据牛顿第二定律F－f＝ma
解得F＝8.0×103 N
设保持匀加速的时间t，匀加速达到的最大速度为v1，则有P0＝Fv1
解得v1＝10 m/s
而由速度—时间规律有
v1＝at
解得t＝5.0 s。
答案：(1)20 m/s　(2)5.0 s
9．(14分)(2025·江苏镇江市期中)一辆列车总质量m＝600 t，发动机的额定功率P＝1.8×106 W。列车在轨道上行驶时，轨道对列车的阻力f是车重力的0.01，重力加速度g取10 m/s2。
(1)在水平轨道上，发动机以额定功率P工作，当行驶速度v＝10 m/s时，求列车的瞬时加速度a。(4分)
(2)在水平轨道上以速度36 km/h匀速行驶时，求发动机的实际功率P1。(4分)
(3)若列车从静止起动，保持0.3 m/s2的加速度做匀加速运动，求这一过程维持的最长时间。(6分)
解析：(1)当行驶速度v＝10 m/s时，列车所受牵引力
F＝＝1.8×105 N
阻力f＝0.01mg＝6×104 N
由牛顿第二定律有F－f＝ma
得a＝＝0.2 m/s2。
(2)匀速行驶时有F1＝f
则P1＝fv1＝6×105 W。
(3)由牛顿第二定律得F2－f＝ma2
得F2＝f＋ma2＝2.4×105 N
列车匀加速直线运动的末速度
v2＝＝7.5 m/s
列车匀加速直线运动过程维持的最长时间
t＝＝25 s。
答案：(1)0.2 m/s2　(2)6×105 W　(3)25 s(共24张PPT)
专题提升课8　课后达标检测
√
1．(2025·宁夏固原市期末)关于功能关系，下列说法正确的是(　　)
A．重力做正功，重力势能增加
B．弹力做负功，弹性势能减少
C．系统除重力或弹力做功外其他力做的功等于系统机械能的变化量
D．摩擦力做的功等于过程中产生的内能
解析：由重力做功与重力势能变化的关系可得WG＝－ΔEp，可知重力做正功，重力势能减少，A错误；由弹力做功与弹性势能变化的关系可得W弹＝－ΔEp弹，可知弹力做负功，弹性势能增加，B错误；系统除重力或弹力做功外其他力做的功等于系统机械能的变化量，C正确；若是滑动摩擦力做的功就可能等于过程中产生的内能和物体动能变化量之和，若是静摩擦力做功，就不会产生内能，D错误。
√
2．(2025·四川眉山市期中)在某届世界游泳锦标赛跳水项目混合全能比赛中，中国运动员为中国跳水队迎来自1982年参加世锦赛以来的第100枚金牌。图示为某运动员在10 m台决赛入水前的精彩瞬间。关于该运动员在空中运动的过程中的能量(忽略一切阻力)，下列说法正确的是(　　)

A．该运动员在上升过程中，动能在变大
B．该运动员在上升过程中，机械能在变大
C．该运动员在下降过程中，重力势能在变大
D．该运动员在空中运动的过程中，机械能总量不变
解析：该运动员在上升过程中，速度减小，动能在变小，故A错误；该运动员在上升过程中，忽略一切阻力，只有重力做功，则机械能不变，故B错误；该运动员在下降过程中，重力做正功，重力势能在变小，故C错误；该运动员在空中运动的过程中，忽略一切阻力，只有重力做功，机械能守恒，机械能总量不变，故D正确。
√
√
4．(多选)长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g。下列说法正确的有(　　)

A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
√
解析：甲、乙两颗手榴弹竖直方向下落的高度相同，由平抛运动的特点可知，它们的运动时间相等，A错误；落地前瞬间，PG＝mgvy＝mg2t，由于运动时间相等，故重力的瞬时功率相等，B正确；从投出到落地，重力做的功为mgh，故重力势能减少mgh，C正确；从投出到落地过程中只有重力做功，手榴弹的机械能守恒，D错误。
√
5．(多选)(2025·黑龙江哈尔滨市期中)如图，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点。在从A到B的过程中，物块(　　)

A．加速度先减小后增大
B．经过O点时的速度最大
C．弹簧的弹性势能先减小后增大
D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
√
√
解析：对小物块受力分析，在竖直方向受重力和支持力，二力平衡，在水平方向受弹簧的弹力和滑动摩擦力，从A到O，弹簧的弹力一直减小到零，可知弹力先大于滑动摩擦力后小于滑动摩擦力，则小物块受到的合力大小先减小后增大，由牛顿第二定律可知，小物块的加速度大小先减小后增大；小物块从O到B，弹簧伸长，弹力向左，且逐渐增大，滑动摩擦力向左，因此小物块受到的合力向左逐渐增大，则加速度逐渐增大，因此从A到B的过程中，物块的加速度先减小后增大，A正确。
小物块从A到O，可知弹力先大于滑动摩擦力，其合力向右，小物块做加速运动，速度逐渐增大，当弹力大小等于滑动摩擦力时，合力是零，加速度是零，小物块向右速度达到最大，之后弹力小于滑动摩擦力，其合力向左，加速度向左，小物块做减速运动，经过O点时弹力是零，滑动摩擦力不是零，则速度仍逐渐减小，因此小物块经过O点时的速度不是最大，B错误。小物块从A到O，弹簧由最短变为原长，从O到B，弹簧由原长伸长到最长，因此弹簧的弹性势能先减小后增大，C正确。在从A到B的过程中，对小物块由动能定理可得W弹－W克f＝0，可得W弹＝W克f，即小物块所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功，D正确。
(1)小球运动到B处时对轨道的压力大小；(6分)
答案：5mg　
(2)小球在BC上运动过程中，摩擦力对小球做的功。(6分)
7．(14分)(2025·河北保定市期末)如图所示，AB是一个倾角为37°的足够长倾斜轨道，在B处与水平面平滑连接，CDE是由两个半径为R的半圆管组成的“S”形轨道，EFG是以C为圆心的四分之一圆弧面。从AB某位置由静止释放一个质量为m的小物块，小物块恰好能运动到E点。已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，其余部分摩擦不计，重力加速度为g。求：
(1)小物块在C点对轨道的压力大小；(4分)
答案：9mg　
(2)小物块从倾斜轨道释放点到水平面的高度；(4分)　
答案：6R　
(3)若小物块停在E点后给小物块一个微小扰动(视为从静止出发)使其向右运动，小物块在下滑高度为多少时与轨道脱离。(6分)
8．(14分)(2025·河北保定市期末)如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能到达最高点C，C、O、B三点在同一竖直线上。(不计空气阻力)试求：
(1)物体到达B点时的速度大小；(4分)
(2)物体在A点时弹簧的弹性势能；(4分)
答案：3mgR　
(3)物体从B点运动至C点的过程中克服摩擦力做的功。(6分)第5节　实验：验证机械能守恒定律
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、实验思路
1．实验目的
(1)掌握验证机械能守恒定律的方法。
(2)会用计算法和图像法处理实验数据。
2．实验思路
情形1：自由下落的物体只受到重力作用，满足机械能守恒的条件。
情形2：物体沿光滑斜面下滑时，虽然受到重力和斜面的支持力，但支持力与物体位移方向垂直，对物体不做功，也满足机械能守恒的条件。
二、物理量的测量
1．质量的测量：可用天平测量。
2．高度的测量：可用刻度尺测量。
3．瞬时速度的测量
(1)用打点计时器打下的纸带测量
测出打n点前、后相邻两段相等时间T内物体运动的距离xn和xn＋1(或测出hn－1和hn＋1)，由公式vn＝或vn＝即可得到打n点时物体的瞬时速度，如图所示。
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB126.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB126.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB126.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB126.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)用光电门测量
遮光条通过光电门时的瞬时速度等于遮光条通过光电门时的平均速度，则根据遮光条的宽度l和遮光时间Δt，可以算出物体经过光电门时的速度v＝。
三、数据分析
方法1：计算物体在选定位置上动能与势能的和是否满足
mv＋mgh2＝mv＋mgh1①
方法2：计算重物在某两点间的动能变化和势能变化是否满足
mv－mv＝mgh1－mgh2②
若在误差允许范围内，等式①(或②)成立，即可验证机械能守恒。
四、实验方案
方案一　研究自由下落物体的机械能
1．实验器材
铁架台(带铁夹)、打点计时器、重物(带夹子)、纸带、复写纸、导线、毫米刻度尺、低压交流电源(4～6 V)。
2．实验步骤
(1)安装实验装置
如图所示，将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，用导线将打点计时器与低压交流电源相连接。
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB127.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB127.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB127.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB127.TIF" \* MERGEFORMAT
(2)进行实验
①将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过打点计时器的限位孔。用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方。先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落，打点结束后立即关闭打点计时器电源。
②更换纸带重复做3～5次实验。
(3)选取纸带(分两种情况)
①如果根据mgh＝mv2验证，应选点迹清晰，所打点在同一条直线上，且第1、2两点间
距离略小于2 mm的纸带。(根据h＝gt2知，当t＝0.02 s时h＝1.96 mm，说明重物是在打第一个点时开始下落的)
②如果根据mgΔh＝mv－mv验证，由于重力势能的相对性，处理纸带时，选择适当的点为基准点，这样纸带上打出的第1、2两点间的距离是否略小于2 mm就无关紧要了，只要后面的点迹清晰就可选用。
3．数据处理
方法1：利用起始点和第n点计算
代入mghn和mv，如果在实验误差允许的范围内mghn和mv相等，即可验证机械能守恒定律。
方法2：任取两点计算
(1)任取两点A、B，测出hAB，计算出mghAB。
(2)计算出mv－mv的值。
(3)在实验误差允许的范围内，若mghAB＝mv－mv 成立，即可验证机械能守恒定律。
方法3：图像法
从纸带上选取多个点，测量从第一个点到选取各点的下落高度h，并计算出各点速度的二次方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出v2－h图线。若在误差允许的范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则可验证机械能守恒定律。
4．误差分析
(1)偶然误差：在进行长度测量时，测量及读数不准确造成误差。
(2)系统误差：重物下落要克服阻力做功，部分机械能转化成内能，下落高度越大，机械能损失越多，所以实验数据出现了各计数点对应的机械能依次略有减小的现象。
方案二　研究沿斜面下滑物体的机械能
利用气垫导轨和数字计时器记录物体沿光滑斜面下滑的运动过程。
实验装置如图所示。
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB128.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB128.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB128.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB128.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)先非常仔细地把气垫导轨调成水平，然后用垫块把导轨的一端垫高h1。
质量为m的滑块上面装有宽为l的挡光片，让它由导轨上端任一处滑下，测出它通过光电门
G1和G2时的时间Δt1和Δt2，就可算出它由G1到G2这段过程中动能的增加量ΔEk＝m。　
(2)由图可知＝，由已知的L值和所取的h1、s值可算出Δh值，然后可以求出滑块由G1到G2这段过程中重力势能的减少量ΔEp＝mgΔh。
(3)由实验结果可看出，在误差允许的范围内ΔEp＝ΔEk，从而验证了机械能守恒定律。
INCLUDEPICTURE "典例分类讲解LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\典例分类讲解LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/典例分类讲解LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/典例分类讲解LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/典例分类讲解LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
题型一　研究自由下落物体的机械能
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·广西玉林市期中)某同学用如图甲所示的实验装置做“验证机械能守恒定律”的实验。实验时让质量m＝0.5 kg的重物从高处由静止开始下落，重物上拖着的纸带通过打点计时器打出一系列的点，如图乙为实验时打出的一条纸带，选取纸带上连续打出三个点A、B、C，测出各点距起点P的距离，重力加速度g取9.8 m/s2，请回答下列问题：
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S139.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S139.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S139.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S139.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)下列操作或分析中正确的有________。
A．必须要称出重物的质量
B．计时器两限位孔必须在同一竖直线上
C．实验时，应先释放重物，再打开电源
D．用秒表测重物下落的时间
(2)打下计数点B时重物的速度大小为______m/s。
(3)重物从P到B减小的重力势能为________J，增加的动能为________J(计算结果保留3位小数)。
(4)根据纸带计算出相关各点的速度v，用刻度尺量出下落的距离h，以为纵轴，以h为横轴做出的图像应该是图中的________。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S140.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S140.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S140.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S140.TIF" \* MERGEFORMAT
[解析]　(1)因为我们是比较mgh、mv2的大小关系，m可约去，不需要测量重物的质量，故A错误；为了减小纸带与限位孔之间的摩擦力，两限位孔必须在同一竖直线，故B正确；实验时，为了尽量多的利用纸带的有效长度，应先打开电源，再释放重物，故C错误；打点计时器本身就是计时仪器，不需用秒表测重物下落的时间，故D错误。
(2)B点的瞬时速度vB＝，带入数值计算得vB＝＝＝0.98 m/s。
(3)从开始下落到B点的过程中，重力势能的减小量ΔEp＝mgΔh，带入数值，计算得ΔEp＝0.5×9.8×(5.01×10-2) J≈0.245 J。
重物到B点时增加的动能Ek＝mv，又vB＝0.98 m/s，带入数值得Ek＝×0.5×0.982 J≈0.240 J。　
(4)由机械能守恒有mgh＝mv2，即＝gh，则－h图像为过原点的直线。
[答案]　(1)B　(2)0.98　(3)0.245　0.240　(4)C
题型二　研究连接体的机械能
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·河北保定市期末)如图所示的是一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S141.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S141.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S141.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S141.TIF" \* MERGEFORMAT
主要实验步骤如下：
A．将气垫导轨放在水平桌面上，并调至水平；
B．测出遮光条的宽度d；
C．将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离l；
D．释放滑块，读出遮光条通过光电门的挡光时间t；
E．用天平称出托盘和砝码的总质量m；
F．……
已知重力加速度为g，回答下列问题：
(1)为验证机械能守恒定律，还需要测量的物理量是__________________。
(2)若以上测得的物理量满足关系式________________(用测得的物理量符号表示)，则可以得出机械能守恒的结论。
[解析]　(1)托盘、砝码以及滑块和遮光条组成的系统机械能守恒，所以还需要测量滑块和遮光条的总质量M。
(2)根据系统机械能守恒，动能的增量等于势能的减少量，则可得(M＋m)v2＝mgl，又v＝，联立可得(M＋m)＝mgl。
[答案]　(1)滑块和遮光条的总质量M
(2)(M＋m)＝mgl
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　用如图甲所示的实验装置验证机械能守恒定律，物块2从高处由静止开始下落，物块1上拖着的纸带打出了一系列的点，对纸带上的点迹进行测量，即可验证机械能守恒定律。图乙给出的是实验中获取的一条纸带，其中0是打下的第一个点，每相邻两计数点间还有4个计时点(图中未标出)，计数点间的距离如图乙所示。已知物块1、2的质量分别为m1＝50 g、m2＝150 g。(电源频率为50 Hz，结果均保留2位有效数字)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S142.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S142.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S142.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S142.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)在纸带上打下计数点5时的速度v5＝______m/s。
(2)在打点0～5过程中，系统动能的增加量ΔEk＝______J，系统重力势能的减少量ΔEp＝________J。(g取10 m/s2)
(3)若某同学作出的v2－h图像如图丙所示，则当地的实际重力加速度g＝________ m/s2。
[解析]　(1)每相邻两计数点间还有4个计时点，相邻计数点的时间间隔T＝5×0.02 s＝0.1 s，根据在匀变速直线运动中时间中点的瞬时速度等于该过程中的平均速度，可知打点5时的速度v5＝＝×10-2 m/s＝2.4 m/s。
(2)在打点0～5过程中，系统动能的增量ΔEk＝(m1＋m2)v＝×(50＋150)×10-3×2.42 J≈0.58 J，系统重力势能的减少量等于重力做功，故ΔEp＝(m2－m1)gh5＝(150－50)×10-3×10×(38.40＋21.60)×10-2 J＝0.60 J。
(3)根据机械能守恒定律得(m1＋m2)v2＝(m2－m1)gh，则有v2＝gh，图像的斜率大小k＝g＝ m/s2＝4.85 m/s2，解得g＝9.7 m/s2。
[答案]　(1)2.4　(2)0.58　0.60　(3)9.7
题型三　教材实验创新
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·江苏无锡市期中)某同学设计出如图所示的实验装置来验证机械能守恒定律。让小球自由下落，下落过程中小球的球心经过光电门1和光电门2。小球直径为d，光电计时器记录下小球通过光电门的时间Δt1、Δt2，已知当地的重力加速度为g。
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S143.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S143.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S143.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S143.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)为了验证机械能守恒定律，该实验还需要测量下列哪些物理量__________(填选项序号)。　
A．小球的质量m
B．光电门1和光电门2之间的距离h
C．小球从光电门1到光电门2下落的时间t
(2)小球通过光电门1时的瞬时速度v1＝______________________________________________________________________________(用题中所给的物理量
符号表示)。
(3)若满足表达式________________(用题中所给的物理量符号表示)，就可以验证小球下落过程中机械能守恒。
(4)小明和小凯实验前发现光电门1损坏，就拆掉光电门1，用其余器材做实验，他们上下调节光电门2，记录多组实验数据，利用记录的数据作出图像，根据图像判断机械能守恒是否成立。
①除光电门记录Δt以外，他们还补充测量了一个物理量X，X应该代表________________________________________________________________________。
②最能直观地判断出结论的是__________(选填“－X”“－X”“Δt－X”或“(Δt)2－X”)图像。
③若该图像满足斜率k ＝ __________(用题中所给的物理量符号表示)，可以证明小球下落过程中机械能守恒。
[解析]　(1)小球经过光电门1和光电门2的速度可表示为v1＝，v2＝，小球从光电门1运动到光电门2的过程，根据机械能守恒定律可得mgh＝mv－mv，联立可得2gh＝－，由上可知，还需要知道光电门1和光电门2之间的距离h。
(2)小球经过光电门1的速度可表示为v1＝。
(3)由(1)分析可知，若满足表达式2gh＝－，就可以验证小球下落过程中机械能守恒。
(4)①由题意知，拆掉光电门1，上下调节光电门2，即改变光电门2与释放点的高度，设为H，释放点的初速度为零，根据机械能守恒则有mgH＝mv2，又v＝，可得2gH＝，由此可知X应该代表释放点到光电门2的高度。
②用X代替H，则有2gX＝，变形得＝X，可知最能直观地判断出结论的是－X。
③根据＝X，可得该图像斜率k＝，即可以证明小球下落过程中机械能守恒。
[答案]　(1)B　(2)　(3)2gh＝－　(4)①释放点到光电门2的高度　②－X　③第4节　机械能守恒定律
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "学习目标LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/学习目标LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
1．知道什么是机械能，知道物体的动能和势能可以相互转化。
2．会正确推导物体在光滑曲面上运动过程中的机械能守恒，理解机械能守恒定律的内容，知道它的含义和适用条件。
3．在具体问题中，能判定机械能是否守恒，并能应用机械能守恒定律解决简单问题。
INCLUDEPICTURE "课前知识梳理LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课前知识梳理LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
一、追寻守恒量
伽利略实验表明：小球在运动过程中，有某种“东西”是不变的，这个“东西”就是能量。
二、动能与势能的相互转化
1．重力势能与动能：只有重力做功时，若重力对物体做正功，则物体的重力势能减少，动能增加，重力势能转化成了动能；若重力做负功，则动能转化为重力势能。
2．弹性势能与动能：只有弹簧弹力做功时，若弹力做正功，则弹簧弹性势能减少，物体的动能增加，弹性势能转化为动能。
3．机械能：重力势能、弹性势能和动能的统称，表达式为E＝Ek＋Ep。
三、机械能守恒定律
1．推导：在图中，物体沿光滑曲面滑下，在某一时刻处在高度为h1的位置A，这时它的速度是v1，经过一段时间后，物体下落到高度为h2的
另一位置B，这时它的速度是v2。用W表示这一过程中重力做的功，由动能定理知，W＝mv－mv；根据重力对物体做的功等于物体重力势能的减少量，有W＝mgh1－mgh2；
从以上两式可得mgh1－mgh2＝mv－mv，则mv＋mgh2＝mv＋mgh1。
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB99.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB99.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB99.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB99.TIF" \* MERGEFORMAT
2．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的机械能保持不变。
3．表达式：Ek2＋Ep2＝Ek1＋Ep1。
INCLUDEPICTURE "深化辨析LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/深化辨析LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
判断下列说法是否正确。
(1)通过重力做功，动能和重力势能可以相互转化。(　　)
(2)弹性势能发生了改变，一定有弹力做功。(　　)
(3)机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用。(　　)
(4)合力为零，物体的机械能一定守恒。(　　)
(5)合力做功为零，物体的机械能保持不变。(　　)
(6)只有重力做功时，物体的机械能一定守恒。(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
INCLUDEPICTURE "课堂深度探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课堂深度探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
知识点一　机械能守恒的判断
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示，过山车由高处在关闭发动机的情况下飞奔而下。(忽略轨道的阻力和其他阻力)过山车下滑时，过山车受哪些力作用？各做什么功？动能和势能怎么变化？机械能守恒吗？
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB100.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB100.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB100.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB100.TIF" \* MERGEFORMAT
[提示]　过山车下滑时，如果忽略阻力作用，过山车受重力和轨道支持力作用；重力做正功，支持力不做功，动能增加，重力势能减少，机械能守恒。
1．对守恒条件的理解
(1)单个物体只受重力，不受其他力，如自由落体运动；
(2)单个物体除受重力外，还受其他力，但其他力不做功，如物体沿光滑固定的斜面下滑，物体受重力和支持力作用，但支持力不做功；
(3)对于多个物体组成的系统来说，除重力和系统内的弹力做功之外，外力不做功，有内力做功，但内力做功的代数和为零。
2．机械能守恒的判断方法
(1)做功条件分析法：应用机械能守恒的条件进行判断。分析物体(或系统)的受力情况(包括内力和外力)，明确各力做功的情况，若只有重力或弹力做功，没有其他力做功或其他力做功的代数和为零，则物体(或系统)的机械能守恒。
(2)能量转化分析法：从能量转化的角度进行判断。若只有系统内物体间动能和重力势能及弹性势能的相互转化，机械能也没有转化成其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒。
(3)增减情况分析法：直接从机械能的各种形式的能量的增减情况进行判断。若系统的动能与势能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒；若系统内各个物体的机械能均增加或均减少，则系统的机械能不守恒。
INCLUDEPICTURE "例1LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例1LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例1LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P93第1题改编】下列各实例的运动过程中(除A项外都不计空气阻力)，物体机械能守恒的是(　　)
A．带着张开的降落伞的跳伞运动员在空中匀速下落
B．抛出的标枪在空中运动
C．拉着一个金属块使它沿光滑的斜面匀速上升
D．在光滑水平面上运动的小球，碰到一个弹簧，把弹簧压缩后，又被弹回来
[解析]　跳伞运动员带着张开的降落伞在空气中匀速下落时，动能不变，重力势能减小，机械能减小，故A错误；被抛出的标枪在空中运动时，只有重力做功，机械能守恒，故B正确；金属块在拉力作用下沿着光滑的斜面匀速上升时，动能不变，重力势能变大，故机械能变大，故C错误；小球碰到弹簧被弹回的过程中只有弹簧弹力做功，小球和弹簧组成的系统机械能守恒，此过程中，弹簧对小球做功，则小球的机械能不守恒，故D错误。
[答案]　B
INCLUDEPICTURE "例2LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例2LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例2LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(多选)在下面列举的各个实例中，不考虑空气阻力，说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT41.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT41.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT41.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT41.TIF" \* MERGEFORMAT
A．图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．图乙中，在平行于斜面向下的大小等于摩擦力的拉力F作用下，物体B沿斜面下滑时(斜面A不动)，物体B机械能保持不变
C．图丙为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动，小球只有重力势能与动能的相互转化，则图丙中小球机械能守恒
D．图丁中，ω越来越大，小球慢慢升高，小球的机械能仍然守恒
[解析]　题图甲中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A与弹簧组成的系统机械能守恒，由于弹簧的弹性势能不断增加，故物体A的机械能不断减少，A错误；题图乙中，在平行于斜面向下的大小等于摩擦力的拉力F作用下，物体B沿斜面下滑时(斜面A不动)，对物体B，除重力外的其他力所做功的代数和为零，故物体B机械能保持不变，B正确；题图丙为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30°角释放后绕光滑支点摆动，小球只有重力势能与动能的相互转化，则题图丙中小球机械能守恒，C正确；题图丁中，ω越来越大，小球慢慢升高，由v＝rω可知，小球的线速度也慢慢增大，可知小球的动能和重力势能均增大，故小球的机械能增大，D错误。
[答案]　BC
知识点二　单物体的机械能守恒问题
eq \a\vs4\al( INCLUDEPICTURE "问题探究LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/问题探究LLL.TIF" \* MERGEFORMAT )
如图所示，这是运动员投掷铅球的动作，如果忽略铅球所受的空气阻力。
INCLUDEPICTURE "H:\\23WLB102.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB102.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB102.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/23WLB102.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)铅球在空中运动过程中，机械能是否守恒？
(2)若铅球被抛出时速度大小一定，则铅球落地时的速度大小与运动员将铅球抛出的方向有关吗？
(3)在求解铅球落地速度的大小时，可以考虑应用什么规律？
[提示]　(1)由于阻力可以忽略，铅球在空中运动过程中，只有重力做功，机械能守恒。
(2)根据机械能守恒定律可知，落地时速度的大小与运动员将铅球抛出的方向无关。
(3)可以应用机械能守恒定律，也可以应用动能定理。
1．三个表达式
项目 表达式 物理意义
守恒角度 Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末 初状态的机械能等于末状态的机械能
转化角度 Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp 过程中动能的增加量等于势能的减少量
转移角度 EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB 系统只有A、B两物体时，A增加的机械能等于B减少的机械能(不用选择参考平面)
2.解题思路
INCLUDEPICTURE "H:\\TY69.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/TY69.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/TY69.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/TY69.TIF" \* MERGEFORMAT
角度1　重力作用下的机械能守恒
INCLUDEPICTURE "例3LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例3LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例3LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　【教材经典P99第5题】从地面以v0的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为g，以地面为重力势能的零势能面。
(1)求物体上升的最大高度h。
(2)物体的重力势能为动能的一半时，求物体离地面的高度h1。
(3)物体的重力势能和动能相等时，求物体离地面的高度h2。
(4)物体的动能是重力势能的一半时，求物体离地面的高度h3。
(5)物体的速率为时，求物体离地面的高度h4。
[解析]　(1)抛出时物体的机械能E0＝mv，物体上升到最高点时的机械能E1＝mgh，由机械能守恒定律可知E0＝E1，联立解得h＝ eq \f(v,2g)。
(2)物体的重力势能为动能的一半时的机械能E2＝mgh1＋Ek1，由题设条件知mgh1＝Ek1，再由机械能守恒定律知E2＝E0，联立解得h1＝ eq \f(v,6g)。
(3)物体的重力势能和动能相等时的机械能E3＝mgh2＋Ek2，由题设条件知mgh2＝Ek2，再由机械能守恒定律知E3＝E0，联立解得h2＝ eq \f(v,4g)。
(4)物体的动能是重力势能的一半时的机械能E4＝mgh3＋Ek3，由题设条件知Ek3＝mgh3，再由机械能守恒定律知E4＝E0，联立解得h3＝ eq \f(v,3g)。
(5)物体的速率为时的机械能E5＝mgh4＋m，由机械能守恒定律知E0＝E5，联立解得h4＝ eq \f(3v,8g)。
[答案]　(1) eq \f(v,2g)　(2) eq \f(v,6g)　(3) eq \f(v,4g)　(4) eq \f(v,3g)　(5) eq \f(3v,8g)
INCLUDEPICTURE "例4LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例4LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例4LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，质量为m的物体，以某一初速度从A点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通过轨道最低点B时的速度为3，求：
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT42.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT42.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT42.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT42.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)物体在A点时的速度大小；
(2)物体离开C点后还能上升的高度。
[解析]　(1)物体在运动的全过程中只有重力做功，机械能守恒，选取B点为零势能点。设物体在B处的速度为vB，则mg·3R＋mv＝mv
得v0＝。
(2)设从B点上升到最高点的高度为h1，由机械能守恒可得mgh1＝mv
得h1＝4.5R
所以离开C点后还能上升
h2＝h1－R＝3.5R。
[答案]　(1)　(2)3.5R
角度2　重力和弹簧弹力作用下的机械能守恒
INCLUDEPICTURE "例5LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例5LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例5LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　如图所示，光滑斜面的顶端固定一弹簧，一质量为m的物体向右滑行，并冲上固定在地面上的斜面。设物体在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，则从A到C的过程中弹簧弹力做功是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\24H26.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/24H26.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24H26.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24H26.TIF" \* MERGEFORMAT
A．mgh－mv2　 　 　 B．mv2＋mgh
C．－mgh D．－
[解析]　根据系统机械能守恒可得mv2＝mgh＋Ep，根据弹力做功与弹性势能的变化，有W弹＝－ΔEp＝－Ep，所以W弹＝－Ep＝mgh－mv2。
[答案]　A
INCLUDEPICTURE "例6LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\例6LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/例6LLL.TIF" \* MERGEFORMAT 　(2025·江苏徐州市期末)一根轻弹簧下端固定，竖立在水平面上，其正上方A位置有一个小球，小球从静止开始下落，在B位置接触弹簧的上端，在C位置小球所受弹力大小等于重力，在D位置小球速度减小到零。下列关于小球下落阶段的说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S89.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S89.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S89.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S89.TIF" \* MERGEFORMAT
A．在B位置，小球动能最大
B．从A→D位置，小球机械能守恒
C．从A→D位置，小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
D．从A→C位置，小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量
[解析]　小球从A到B做自由落体运动，从B到C过程，由于弹簧弹力小于小球重力，小球做加速度减小的加速运动，在C位置小球所受弹力大小等于重力，此时小球加速度为零，小球的速度最大，动能最大，故A错误；小球从A→D位置，由于弹力对小球做负功，所以小球的机械能不守恒，故B错误；小球从A→D位置，由于小球在A、D两位置的动能均为零，根据系统机械能守恒可知，从A→D位置，小球重力势能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量，故C错误；根据系统机械能守恒可知，从A→C位置小球重力势能的减少量等于小球动能与弹簧弹性势能的增加量之和，即小球重力势能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。
[答案]　D
INCLUDEPICTURE "随堂巩固落实LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/随堂巩固落实LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(机械能守恒的判断)(2024·重庆卷，T2)2024年5月3日，嫦娥六号探测器成功发射，开启月球背面采样之旅，探测器的着陆器、上升器组合体着陆月球要经过减速、悬停、自由下落等阶段，则组合体着陆月球的过程中(　　)
A．减速阶段所受合外力为0
B．悬停阶段不受力
C．自由下落阶段机械能守恒
D．自由下落阶段加速度大小g＝9.8 m/s2
解析：选C。组合体在减速阶段，其加速度不为零，根据牛顿第二定律可知其所受合外力不为0，A错误；悬停阶段，组合体处于平衡状态，组合体受到月球的引力和其他力，只是所受合外力为0，B错误；自由下落阶段，组合体只受到月球引力，因此该阶段只有月球引力做功，组合体机械能守恒，C正确；自由下落阶段，组合体的加速度等于月球表面的重力加速度，而地球表面的重力加速度大小约为9.8 m/s2，月球表面的重力加速度约为地球表面重力加速度的，故自由下落阶段组合体的加速度大小g＝×9.8 m/s2≈1.6 m/s2，D错误。
2．(单物体的机械能守恒问题)如图所示，一质量为m的小球从高度为H的地方以初速度v0水平抛出。不计空气阻力，选地面为参考面，当小球在竖直方向上下降的距离为h时，其机械能为(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT43.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT43.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT43.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT43.TIF" \* MERGEFORMAT
A.mv＋mgH　 B．mv＋mgh
C．mgH－mgh D．mv＋mg(H－h)
解析：选A。小球做平抛运动，只受重力，机械能守恒，所以小球在竖直方向上下降的距离为h时的机械能等于抛出时的机械能，即E＝mgH＋mv。
3．(单物体的机械能守恒问题)如图所示，小物块m沿光滑曲面从A点由静止下滑。已知A点离地面高度为h1，B点离地面高度为h2，当地重力加速度为g，以A点所在位置的水平面为参考平面。下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT44.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT44.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT44.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT44.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小物块在B点的重力势能为mgh2
B．下滑到B点过程中，小物块的机械能先增大后减小
C．小物块在B点的机械能为0
D．下滑到B点过程中，小物块重力势能的变化量为mgh1－mgh2
解析：选C。根据重力势能的定义式可得，小物块在B点的重力势能EpB＝－mg(h1－h2)，重力势能的变化量ΔEp＝mgh2－mgh1，故A、D错误；小物块下滑到B点过程中，只有重力做功，小物块的机械能守恒，初始时机械能为零，所以小物块在B点的机械能为零，故C正确，B错误。
4．(与弹簧有关的机械能守恒问题)(多选)如图所示，水平地面上固定一竖直轻质弹簧，有一物体由弹簧正上方某位置竖直下落，从与弹簧接触到第一次到达最低点的过程中，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25C-60.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25C-60.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25C-60.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25C-60.TIF" \* MERGEFORMAT
A．物体的动能逐渐减小
B．物体的机械能守恒
C．弹簧的弹力对物体做负功
D．弹簧的弹性势能逐渐增大
解析：选CD。物体开始接触弹簧时，重力大于弹力，物体加速度向下，则物体速度增加；当重力等于弹力时速度最大，以后的过程中，重力小于弹力，则加速度向上，物体速度减小，则物体的动能先增加后减小，A错误；弹簧的弹力对物体做负功，则物体的机械能减小，B错误，C正确；物体向下运动过程中，弹簧的形变量逐渐增加，可知弹簧的弹性势能逐渐增大，D正确。(共51张PPT)
第八章　机械能守恒定律
第1节　功与功率
学习目标
课前知识梳理
PART
01
第一部分
一、功
1．功的定义：一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生了一段______，我们就说这个力对物体做了______。
2．做功的因素：力；物体在____________上发生的位移。
3．功的公式
(1)力F与位移l同向时：W＝______。
(2)力F与位移l有夹角α时：W＝____________，其中F、l、cos α分别表示力的大小、位移的大小、________________________。
位移
功
力的方向
Fl
Fl cos α
力与位移夹角的余弦
4．适用条件：W＝Fl cos α仅适用于求恒力做的功。
5．单位：在国际单位制中，功的单位是焦耳，简称焦，符号是J。1 J＝1 ______。
6．标矢性：功是标量。
N·m
>
>
正
<
<
负
＝
0
　 功的正负只表示是动力做功还是阻力做功，不表示大小，比较大小要取绝对值。
2．总功的计算
当一个物体在几个力的共同作用下发生一段位移时，这几个力对物体所做的总功，是各个力分别对物体所做功的__________。它也就是这几个力的______对物体所做的功。
代数和
合力
三、功率
1．定义：功W与完成这些功所用______的比值。
2．公式：P＝____________。
3．单位：______，简称瓦，符号W。
4．意义：功率是表示物体____________的物理量。
5．功率是______。
时间t
瓦特
做功快慢
标量
6．功率与速度
(1)关系：一个沿着物体位移方向的力对物体做功的功率，等于这个力与____________的乘积。
(2)关系式：P＝Fv。
①若v是物体的平均速度，则P＝Fv为对应时间t内的____________。
②若v是瞬时速度，则P表示该时刻的____________。
(3)应用：从P＝Fv可以看出，汽车、火车等交通工具，当发动机的功率P一定时，牵引力F与速度成______，要增大牵引力，就要______速度；但要提高速度和增大牵引力，必须提高发动机的____________。
物体速度
平均功率
瞬时功率
反比
减小
额定功率
判断下列说法是否正确。
(1)汽车沿斜坡向上加速行驶时，牵引力对汽车一定做功。(　　)
(2)功有正负，说明功是矢量，因此总功是所有外力做功的矢量和。(　　)
(3)力对物体做功越快，力的功率一定越大。(　　)
(4)发动机不能在实际功率等于额定功率情况下长时间工作。(　　)
(5)汽车爬坡时常常需要换高速挡。(　　)
×　
√
×　
√
×　
课堂深度探究
PART
02
第二部分
知识点一　功的理解及正、负功的判断
如图所示，马拉着小车(包括人)沿水平面匀速前进了一段距离。

(1)小车(包括人)受到几个力作用？每个力对小车做功吗？做正功还是负功？
[提示]　小车(包括人)受4个力作用：重力、支持力、拉力、摩擦力，其中拉力做正功，摩擦力做负功，重力和支持力不做功。
(2)马对小车做的功是否等于马的拉力F(设F与水平方向的夹角为α)和小车的位移l的乘积？
[提示]　不等于。因为W＝Fl cos α。
(3)若小车做匀加速运动，合力做什么功？若小车做匀减速运动，合力做什么功？怎样求合力做的功？
[提示]　若小车做匀加速运动，则合力做正功。若小车做匀减速运动，则合力做负功。合力做的功等于拉力F做的功与摩擦力做的功的代数和，或者等于拉力和摩擦力的合力做的功。
1．对功的理解
功是一个标量，只有大小没有方向，因此合外力做的功等于各个力做功的代数和，或者等于合力所做的功。
2．正、负功的判断
(1)根据力F的方向和物体位移l方向的夹角α判断——常用于恒力做功的情形。
(2)根据力的方向与物体瞬时速度方向的夹角θ判断——常用于曲线运动的情形。
如图所示：

①若夹角θ是锐角，则力做正功。
②若夹角θ是钝角，则力做负功。
③若夹角θ是直角，则力不做功。
3．正负功的物理意义
项目 动力学角度 能量角度
正功 力对物体做正功，这个力是动力，对物体的运动起推动作用 力对物体做正功，向物体提供了能量，使物体的能量增加
负功 力对物体做负功，这个力是阻力，对物体的运动起阻碍作用 力对物体做负功，物体向外输出能量(以消耗自身的能量为代价)，物体自身的能量减少
(2025·江苏淮安市期中)如图所示，一物体静止在斜面上，现在使斜面体向右匀速移动一段距离，物体相对斜面始终静止，则下列关于物体所受各力对物体做功的说法正确的是(　　)

A．重力做正功　　　　 B．支持力不做功
C．摩擦力做负功 D．合力做正功
√
[解析]　对物体受力分析可知物体受重力、弹力和摩擦力，受力分析图如图所示，由于物体在水平方向移动，重力的方向与物体位移方向垂直，所以重力对物体不做功，支持力的方向与位移方向的夹角小于90°，则支持力对物体做正功，摩擦力的方向与位移方向的夹角大于90°，所以摩擦力对物体做负功，所受合外力为0，故合外力不做功。
(2025·江苏镇江市期中)如图所示，若用轻绳拴一物体，使物体以恒定加速度向下做减速运动，则下列说法正确的是(　　)

A．重力做正功，拉力做负功，合外力做负功
B．重力做正功，拉力做负功，合外力做正功
C．重力做正功，拉力做正功，合外力做负功
D．重力做负功，拉力做负功，合外力做正功
√
[解析]　物体所受重力与速度方向相同，所以重力做正功，拉力与速度方向相反，所以拉力做负功，由物体以恒定加速度向下做减速运动可知加速度向上，合外力向上，与速度方向相反，所以合外力做负功。
知识点二　恒力做功的计算
1．恒力功的求法
(1)W等于力F乘以物体在力F方向上的分位移l cos α，即物体的位移分解为沿F方向上和垂直于F方向上的两个分位移l1和l2，则F做的功W＝Fl1＝Fl cos α。
(2)W等于力F在位移l方向上的分力F cos α乘以物体的位移l，即将力F分解为沿l方向上和垂直于l方向上的两个分力F1和F2，则F做的功W＝F1l＝Fl cos α。
2．总功的计算
(1)先由W＝Fl cos α计算各个力对物体所做的功W1、W2、W3、…，然后求所有力做功的代数和，即W合＝W1＋W2＋W3＋…。
(2)先由力的合成或根据牛顿第二定律求出合力F合，然后由W合＝F合l cos α计算总功，此时α为F合的方向与位移l的方向间的夹角。
如图，在大小F＝10 N的方向向右的水平恒力作用下，物体受到的滑动摩擦力大小f＝6 N。物体水平向右移动5 m的过程中，以下说法不正确的是(　　)

A．恒力F对物体做功50 J
B．滑动摩擦力f对物体做功30 J
C．合力对物体做功20 J
D．物体克服f做功30 J
√
[解析]　由做功公式可得，恒力F对物体做功W＝Fx＝10×5 J＝50 J，故A正确；由做功公式可得，滑动摩擦力f对物体做功Wf＝－fx＝－30 J，则物体克服f做功为30 J，故B错误，D正确；合力对物体做功W合＝W＋Wf＝20 J，故C正确。
(多选)(2025·江苏徐州市期末)如图所示，质量为m的飞机在水平甲板上，受到与竖直方向成θ角的斜向下的拉力F作用，沿水平方向移动了距离s，飞机与水平面之间的摩擦力大小为f，则在此过程中(　　)

A．摩擦力做的功为fs
B．摩擦力做的功为－fs
C．重力做的功为0
D．力F做的功为Fs cos θ
√
√
[解析]　摩擦力大小为f做负功，则摩擦力做的功Ff＝－fs，故A错误，B正确；由于竖直方向上没有位移，故重力不做功，故C正确；由题意得，拉力与位移方向上的夹角为90°－θ，则根据功的公式得WF＝Fs cos (90°－θ)＝Fs sin θ，故D错误。
知识点三　功率的理解和计算
如图所示，某部队正用吊车将一台坦克车从码头上吊起装上舰船。
(1)将质量为m的坦克车以速度v匀速吊起，坦克车在时间t内匀速上升高度h。怎样计算吊车的功率？其瞬时功率是多少？
(2)若坦克车在相同的时间t内，从静止开始以加速度a匀加速上升高度h时，该过程中吊车的平均功率是多少？其瞬时功率是多少？
(2)瞬时功率的计算
①利用公式P＝Fv cos α，其中v为瞬时速度。
②利用公式P＝FvF，其中vF为物体的速度在力F方向上的分速度。
③利用公式P＝Fvv，其中Fv为物体所受外力在速度v方向上的分力。
√
[解析]　功率是单位时间内做功的多少，做功多，功率不一定大，还与时间有关，故A错误；由公式P＝Fv可知，发动机功率一定时，速度越大，牵引力越小，速度越小，牵引力越大，故B、C错误，D正确。
角度2　瞬时功率和平均功率的求解
如图所示，质量m＝2 kg的木块在倾角θ＝37°的足够长的固定斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，已知sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2，求：
(1)前2 s内重力做的功；
[答案]　48 J　
(2)前2 s内重力的平均功率；
[答案]　24 W　
(3)2 s末重力的瞬时功率。
[解析]　木块在2 s末的速度v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s
2 s末重力的瞬时功率P＝mgv sin θ＝2×10×4×0.6 W＝48 W。
[答案]　48 W
(2025·浙江宁波市期末)如图所示，一台起重吊车将质
量m＝500 kg的重物由静止开始以 a＝0.2 m/s2加速度竖直
向上匀加速提升，t＝10 s末之后保持功率不变继续提升重
物，直至重物匀速上升。g取10 m/s2不计空气阻力，求：
(1)前10 s内起重吊车拉力F的大小；
[解析]　由牛顿第二定律有F－mg＝ma
解得F＝5 100 N。
[答案]　5 100 N　
(2)10 s末起重机的瞬时功率P；
[解析]　起重机做匀加速直线运动，有
v＝at
P＝Fv
解得P＝10 200 W。
[答案]　10 200 W　
(3)重物上升的最大速度vm；
[解析]　达到最大速度时，加速度为零，有
P＝mgvm
解得vm＝2.04 m/s。
[答案]　2.04 m/s
[答案]　6 800 W
随堂巩固落实
PART
03
第三部分
1．(功的理解及正、负功的判断)(2025·辽宁大连市期中)如图所示，在匀速上升的升降机中，物块始终静止在固定的斜面上，关于物块所受各力做功的说法正确的是(　　)
A．重力做正功　　　　 B．支持力做负功
C．摩擦力不做功 D．摩擦力做正功
解析：重力方向竖直向下，位移方向竖直向上，可知重力做负功，A错误；支持力垂直于斜面向上，与位移的夹角为锐角，可知支持力做正功，B错误；摩擦力方向沿斜面向上，与位移的夹角为锐角，可知摩擦力做正功，C错误，D正确。
√
2．(恒力做功的计算)(2025·江苏常州市期末)质量为m的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。现使斜面向右水平匀速移动一段距离L，物体与斜面的相对位置不变，如图所示，在此过程中摩擦力对物体所做的功为(　　)

A．μmgL cos2θ B．－μmgL cos2θ
C．mgL sinθcos θ D．－mgL sin θcos θ
√
解析：物体在斜面静止受力如图所示，由平衡条件得，物体所受的静摩擦力f＝mg sin θ，摩擦力对物体做的功W＝fL cos θ＝mgL sin θcos θ。
3．(功率的理解和计算)质量为m的物体静止在粗糙水平地面上，现用一水平恒力F拉动物体，经过一段时间后其速度变为v，重力加速度为g，则(　　)
A．在这段时间内，摩擦力做正功
B．在这段时间内，拉力做负功
C．物体的速度为v时，拉力的瞬时功率为Fv
D．物体的速度为v时，重力的功率为mgv
√
解析：由于摩擦力方向与运动方向相反，所以摩擦力对物体做负功，故A错误；由于拉力方向与运动方向相同，所以拉力对物体做正功，故B错误；物体的速度为v时，拉力的瞬时功率P＝Fv，由于重力与速度方向垂直，所以重力的功率为0，故C正确，D错误。
4．(平均功率和瞬时功率)如图所示，竖直墙面上的M点到地面有Ⅰ、Ⅱ两条固定光滑轨道，从M点静止释放的物块沿不同轨道滑到地面，下列说法正确的是(　　)
A．物块滑到地面时，沿Ⅰ下滑重力的瞬时功率等于
沿Ⅱ下滑重力的瞬时功率
B．物块滑到地面时，沿Ⅰ下滑重力的瞬时功率大于
沿Ⅱ下滑重力的瞬时功率
C．物块运动过程中，沿Ⅰ下滑重力的平均功率等于沿Ⅱ下滑重力的平均功率
D．物块运动过程中，沿Ⅰ下滑重力的平均功率小于沿Ⅱ下滑重力的平均功率
√INCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
1．(2025·宁夏固原市期末)关于功能关系，下列说法正确的是(　　)
A．重力做正功，重力势能增加
B．弹力做负功，弹性势能减少
C．系统除重力或弹力做功外其他力做的功等于系统机械能的变化量
D．摩擦力做的功等于过程中产生的内能
解析：选C。由重力做功与重力势能变化的关系可得WG＝－ΔEp，可知重力做正功，重力势能减少，A错误；由弹力做功与弹性势能变化的关系可得W弹＝－ΔEp弹，可知弹力做负功，弹性势能增加，B错误；系统除重力或弹力做功外其他力做的功等于系统机械能的变化量，C正确；若是滑动摩擦力做的功就可能等于过程中产生的内能和物体动能变化量之和，若是静摩擦力做功，就不会产生内能，D错误。
2．(2025·四川眉山市期中)在某届世界游泳锦标赛跳水项目混合全能比赛中，中国运动员为中国跳水队迎来自1982年参加世锦赛以来的第100枚金牌。图示为某运动员在10 m台决赛入水前的精彩瞬间。关于该运动员在空中运动的过程中的能量(忽略一切阻力)，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S113.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S113.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S113.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S113.TIF" \* MERGEFORMAT
A．该运动员在上升过程中，动能在变大
B．该运动员在上升过程中，机械能在变大
C．该运动员在下降过程中，重力势能在变大
D．该运动员在空中运动的过程中，机械能总量不变
解析：选D。该运动员在上升过程中，速度减小，动能在变小，故A错误；该运动员在上升过程中，忽略一切阻力，只有重力做功，则机械能不变，故B错误；该运动员在下降过程中，重力做正功，重力势能在变小，故C错误；该运动员在空中运动的过程中，忽略一切阻力，只有重力做功，机械能守恒，机械能总量不变，故D正确。
3．如图所示，半圆形轨道MON竖直放置且固定在地面上，直径MN是水平的，一小物块从M点正上方高度为H处自由下落，正好在M点滑入半圆轨道，测得其第一次离开N点后上升的最大高度为，小物块接着下落从N点滑入半圆轨道，在向M点滑行过程中(整个过程不计空气阻力)(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\22L45.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/22L45.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/22L45.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/22L45.TIF" \* MERGEFORMAT
A．小物块正好能到达M点
B．小物块一定到不了M点
C．小物块一定能冲出M点
D．不能确定小物块能否冲出M点
解析：选C。小物块第一次在半圆轨道中运动的过程，由动能定理得mg＋(－Wf)＝0－0，(Wf为小物块克服摩擦力做功大小)，解得Wf＝mgH；由于第二次小物块在半圆轨道中运动时，对应位置处速度变小，因此半圆轨道给小物块的弹力变小，摩擦力变小，摩擦力做功小于mgH，因此小物块再次冲出M点时，能上升的高度大于零而小于H，故A、B、D错误，C正确。
4．(多选)长征途中，为了突破敌方关隘，战士爬上陡峭的山头，居高临下向敌方工事内投掷手榴弹。战士在同一位置先后投出甲、乙两颗质量均为m的手榴弹。手榴弹从投出的位置到落地点的高度差为h，在空中的运动可视为平抛运动，轨迹如图所示，重力加速度为g。下列说法正确的有(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\21GKW37.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/21GKW37.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/21GKW37.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/21GKW37.TIF" \* MERGEFORMAT
A．甲在空中的运动时间比乙的长
B．两手榴弹在落地前瞬间，重力的功率相等
C．从投出到落地，每颗手榴弹的重力势能减少mgh
D．从投出到落地，每颗手榴弹的机械能变化量为mgh
解析：选BC。甲、乙两颗手榴弹竖直方向下落的高度相同，由平抛运动的特点可知，它们的运动时间相等，A错误；落地前瞬间，PG＝mgvy＝mg2t，由于运动时间相等，故重力的瞬时功率相等，B正确；从投出到落地，重力做的功为mgh，故重力势能减少mgh，C正确；从投出到落地过程中只有重力做功，手榴弹的机械能守恒，D错误。
5．(多选)(2025·黑龙江哈尔滨市期中)如图，轻质弹簧一端固定，另一端连接一小物块，O点为弹簧在原长时物块的位置。物块由A点静止释放，沿粗糙程度相同的水平面向右运动，最远到达B点。在从A到B的过程中，物块(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S116.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S116.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S116.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S116.TIF" \* MERGEFORMAT
A．加速度先减小后增大
B．经过O点时的速度最大
C．弹簧的弹性势能先减小后增大
D．所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功
解析：选ACD。对小物块受力分析，在竖直方向受重力和支持力，二力平衡，在水平方向受弹簧的弹力和滑动摩擦力，从A到O，弹簧的弹力一直减小到零，可知弹力先大于滑动摩擦力后小于滑动摩擦力，则小物块受到的合力大小先减小后增大，由牛顿第二定律可知，小物块的加速度大小先减小后增大；小物块从O到B，弹簧伸长，弹力向左，且逐渐增大，滑动摩擦力向左，因此小物块受到的合力向左逐渐增大，则加速度逐渐增大，因此从A到B的过程中，物块的加速度先减小后增大，A正确。小物块从A到O，可知弹力先大于滑动摩擦力，其合力向右，小物块做加速运动，速度逐渐增大，当弹力大小等于滑动摩擦力时，合力是零，加速度是零，小物块向右速度达到最大，之后弹力小于滑动摩擦力，其合力向左，加速度向左，小物块做减速运动，经过O点时弹力是零，滑动摩擦力不是零，则速度仍逐渐减小，因此小物块经过O点时的速度不是最大，B错误。小物块从A到O，弹簧由最短变为原长，从O到B，弹簧由原长伸长到最长，因此弹簧的弹性势能先减小后增大，C正确。在从A到B的过程中，对小物块由动能定理可得W弹－W克f＝0，可得W弹＝W克f，即小物块所受弹簧弹力做的功等于克服摩擦力做的功，D正确。
6．(12分)如图所示，质量为m的小球自由下落d后，沿竖直面内的固定轨道ABC运动，AB是半径为d的光滑圆弧，BC是直径为d的粗糙半圆弧(B是轨道的最低点)。小球恰好能运动到C点，重力加速度为g。求：
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S117.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S117.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S117.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S117.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)小球运动到B处时对轨道的压力大小；(6分)
(2)小球在BC上运动过程中，摩擦力对小球做的功。(6分)
解析：(1)从开始下落到到达B点，由动能定理得
2mgd＝mv
在B点时由牛顿第二定律有FN－mg＝m eq \f(v,d)
解得FN＝5mg
由牛顿第三定律可知小球运动到B处时对轨道的压力大小为5mg。
(2)小球恰好能运动到C点，则
mg＝m eq \f(v,\f(d,2))
从B到C由能量关系
－mgd＋Wf＝mv－mv
解得Wf＝－mgd。
答案：(1)5mg　(2)－mgd
7．(14分)(2025·河北保定市期末)如图所示，AB是一个倾角为37°的足够长倾斜轨道，在B处与水平面平滑连接，CDE是由两个半径为R的半圆管组成的“S”形轨道，EFG是以C为圆心的四分之一圆弧面。从AB某位置由静止释放一个质量为m的小物块，小物块恰好能运动到E点。已知小物块和斜面间的动摩擦因数为0.25，其余部分摩擦不计，重力加速度为g。求：
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S118.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S118.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S118.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S118.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)小物块在C点对轨道的压力大小；(4分)
(2)小物块从倾斜轨道释放点到水平面的高度；(4分)　
(3)若小物块停在E点后给小物块一个微小扰动(视为从静止出发)使其向右运动，小物块在下滑高度为多少时与轨道脱离。(6分)
解析：(1)小物块恰好能运动到E点，可知在E点时的速度为零，则由C到E由机械能守恒定律有
mv＝mg×4R
在C点时，根据牛顿第二定律，有
FNC－mg＝m eq \f(v,R)
解得FNC＝9mg
由牛顿第三定律得，小物块在C点对轨道的压力大小为9mg。
(2)从释放点到水平面由动能定理有
mgh－μmg cos 37°·＝mv
解得小物块从轨道释放点到水平面的高度h＝6R。
(3)设物块与轨道脱离的位置与C点的连线与水平方向夹角为θ，根据牛顿第二定律，有
mg sin θ＝m
由机械能守恒定律有4mgR(1－sin θ)＝mv2
解得sin θ＝
则小物块下滑的高度h′＝4R(1－sin θ)
联立可得h′＝。
答案：(1)9mg　(2)6R　(3)
8．(14分)(2025·河北保定市期末)如图所示，光滑水平面AB与竖直面内的半圆形导轨在B点相切，半圆形导轨的半径为R。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右的速度后脱离弹簧，当它经过B点进入导轨的瞬间对轨道的压力为其重力的7倍，之后向上运动恰能到达最高点C，C、O、B三点在同一竖直线上。(不计空气阻力)试求：
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S119.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S119.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S119.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S119.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)物体到达B点时的速度大小；(4分)
(2)物体在A点时弹簧的弹性势能；(4分)
(3)物体从B点运动至C点的过程中克服摩擦力做的功。(6分)
解析：(1)在B点根据牛顿第二定律得
N－mg＝m eq \f(v,R)
由牛顿第三定律有N＝N压＝7mg
解得物体到达B点时的速度大小
vB＝。
(2)从A点到B点，由系统机械能守恒可得，物体在A点时弹簧的弹性势能
Ep＝mv＝3mgR。
(3)物体恰好到达最高点C，重力提供向心力，则有
mg＝m eq \f(v,R)
从B点到C点，由动能定理可得
－2mgR－Wf＝mv－mv
联立解得克服摩擦力做的功
Wf＝mgR。
答案：(1)　(2)3mgR　(3)mgRINCLUDEPICTURE "课后达标检测LLL.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/课后达标检测LLL.TIF" \* MERGEFORMAT
INCLUDEPICTURE "基础对点练.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\基础对点练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/基础对点练.TIF" \* MERGEFORMAT
题组1　机械能守恒的判断
1．下列叙述正确的是(　　)
A．做匀速直线运动物体的机械能一定守恒
B．做变速直线运动物体的机械能一定守恒
C．外力对物体做功为零，物体的机械能一定守恒
D．系统内只有重力或弹力做功时，系统的机械能一定守恒
解析：选D。做匀速直线运动物体的机械能不一定守恒，如物体匀速上升，故A错误；做匀变速直线运动的物体机械能可能不守恒，如水平面上做匀加速直线运动的物体，机械能增加，故B错误；外力对物体做功为零，物体的机械能不一定守恒，例如物体向上做匀速直线运动时，外力对物体做功为零，机械能增加，故C错误；系统内只有重力和弹力做功时，系统的机械能一定守恒，故D正确。
2．(2025·四川自贡市开学考)如图所示，是运 20加油机给歼 10战斗机加油的情景，在加油过程中，加油机和战斗机的飞行高度、速度和方向均不变，关于加油机和战斗机的机械能说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S90.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S90.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S90.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S90.TIF" \* MERGEFORMAT
A．战斗机动能增大，势能减小，机械能不变
B．加油机动能减小，势能不变，机械能不变
C．加油机动能减小，势能不变，机械能减小
D．战斗机动能增大，势能增大，机械能增大
解析：选D。战斗机油量增加，质量增大，速度不变，动能增大，高度不变，重力势能增大。机械能为动能和重力势能之和，所以战斗机机械能增大。加油机油量减少，质量减少，速度不变，动能减小，高度不变，重力势能减小。机械能为动能和重力势能之和，所以加油机机械能减小，故A、B、C错误，D正确。
题组2　单物体的机械能守恒问题
3．(2024·1月浙江选考，T3)如图所示，质量为m的足球从水平地面上位置1被踢出后落在位置3，在空中达到最高点2的高度为h，则足球(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\24CZ2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/24CZ2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24CZ2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/24CZ2.TIF" \* MERGEFORMAT
A．从1到2动能减少mgh
B．从1到2重力势能增加mgh
C．从2到3动能增加mgh
D．从2到3机械能不变
解析：选B。由足球的运动轨迹可知，足球在空中运动时一定受到空气阻力作用，则从1到2重力势能增加mgh，且1到2动能减少量大于mgh，A错误，B正确； 从2到3由于空气阻力作用，机械能减小，重力势能减小mgh，则动能增加量小于mgh，C、D错误。
4．(多选)两质量相同的物体A和B，分别从两个高度相同的光滑斜面和光滑圆弧形斜坡的顶端滑向底部，如图所示。若它们的初速度为零，则下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT47.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT47.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT47.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT47.TIF" \* MERGEFORMAT
A．下滑过程中重力做的功不相等
B．它们在顶端时的机械能相等
C．它们到达底部时的动能相等
D．它们到达底部时的速度相同
解析：选BC。根据WG＝mgh得，质量相等，则重力相等，重力做功相等，故A错误；在顶点时，由于质量相等，则重力势能相等，动能都为零，所以机械能相等，故B正确；根据mgh＝mv2－0得，到达底端时动能等于重力做功的大小，所以到达底端时的动能相等，故C正确；根据C选项分析可知，到达底端的动能相等，速度大小相等，但方向不同，故D错误。
5．(2025·河北唐山市期中)如图所示，将质量为m的石块从离地面h高处以初速度v0斜向上抛出，最后落回地面。最高点距离地面高度为H，以抛出点为参考平面，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S93.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S93.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S93.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S93.TIF" \* MERGEFORMAT
A．石块到达地面时的动能为mv－mgh
B．石块到达地面时的重力势能为－mgh
C．石块在最高点的机械能为mgH
D．石块在整个运动过程中重力势能增加了mgh
解析：选B。根据动能定理可得mgh＝Ek－mv，可得石块到达地面时的动能Ek＝mv＋mgh，故A错误；以抛出点为参考平面，石块到达地面时的重力势能Ep＝－mgh，故B正确；石块运动过程只受重力作用，石块的机械能守恒，设石块在最高点的速度为v1，则石块在最高点的机械能E＝mv＋mg(H－h)＝mv，故C错误；石块在整个运动过程中，重力做功WG＝mgh，则石块重力势能减少了mgh，故D错误。
INCLUDEPICTURE "综合提升练.TIF" INCLUDEPICTURE "H:\\综合提升练.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/综合提升练.TIF" \* MERGEFORMAT
6．(多选)如图所示，上表面是光滑圆弧的质量为M的小车A置于光滑水平面上，有一质量为m的物体B在弧上自由滑下的同时释放A，则(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S92.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S92.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S92.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S92.TIF" \* MERGEFORMAT
A．在B下滑的过程中，B的机械能守恒
B．圆弧轨道对B的支持力对B不做功
C．在B下滑的过程中，A的机械能增加
D．A、B组成的系统机械能守恒
解析：选CD。在B下滑的过程中，A向左运动，除了B所受的重力做功外，圆弧轨道对B的支持力对B做负功，故B的机械能减少，A、B错误；B对圆弧轨道的压力对A做正功，故A的机械能增加，C正确；A、B组成的系统只发生系统内动能和重力势能之间的相互转化，系统机械能守恒，D正确。
7．(2025·黑龙江哈尔滨市期中)小球P和Q用不可伸长的轻绳悬挂在天花板上，P球的质量大于Q球的质量，悬挂P球的绳比悬挂Q球的绳短。将两球拉起，使两绳均被水平拉直，如图所示。将两球由静止释放，不计空气阻力，在各自轨迹的最低点(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S94.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S94.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S94.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S94.TIF" \* MERGEFORMAT
A．P球的速度一定大于Q球的速度
B．P球的动能一定大于Q球的动能
C．P球的机械能一定大于Q球的机械能
D．P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力
解析：选D。根据机械能守恒定律得mgl＝mv2，解得v＝ ，绳越长在最低点时速度越大，所以P球的速度一定小于Q球的速度，因为P球的质量大于Q球的质量，无法比较两球的动能，A、B错误；取天花板为零势能面，P球的机械能等于Q球的机械能，均等于零，C错误；根据牛顿第二定律得FT－mg＝m ，解得FT＝3mg，质量越大拉力越大，所以P球所受绳的拉力一定大于Q球所受绳的拉力，D正确。
8．(2025·江苏徐州市期末)如图所示，运动员将质量为m的篮球从高h处出手，进入离地面高H处的篮筐时速度为v。若以出手时的高度为零势能面，将篮球看成质点，忽略空气阻力，下列对篮球的说法正确的是(　　)
INCLUDEPICTURE "H:\\E26TWLR2S95.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S95.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S95.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/E26TWLR2S95.TIF" \* MERGEFORMAT
A．进入篮筐时势能为mgH
B．在刚出手时势能为mgh
C．刚出手的动能Ek0＝mg(H－h)＋mv2
D．经过途中P点时的动能比刚出手时的动能大
解析：选C。由于以出手时高度为零势能面，因此刚出手时势能为0，进入篮筐时势能为mg(H－h)，故A、B错误；整个过程中机械能守恒，在任何位置的机械能均为E＝mg(H－h)＋mv2，刚出手时势能为零，因此动能Ek0＝mg(H－h)＋mv2，经过途中P点时的动能比刚出手时的动能小，故D错误，C正确。
9．(12分)如图所示，质量为m的小球固定在长为L的细绳一端，绕细绳的另一端O点在竖直平面内做圆周运动(重力加速度为g)。
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT50.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT50.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT50.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT50.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)求小球恰好能通过最高点的速度大小。(4分)
(2)在第(1)问的基础上求小球经过最低点的速度。(4分)
(3)已知小球在竖直面内做圆周运动，求证最低点和最高点绳中拉力之差是一个定值，并求出这个值。(4分)
解析：(1)小球恰好能在竖直平面内做圆周运动，小球在最高点A时，绳的拉力为0，此时重力提供向心力，即mg＝m eq \f(v,L)
解得vA＝。
(2)由最高点到最低点全过程小球机械能守恒
mv＋mg·2L＝mv2
解得小球在最低点的速度v＝。
(3)设小球在最高点时速度为v1，最低点时的速度为v2，在最高点绳子的拉力为F1，最低点绳子拉力为F2，根据牛顿第二定律，在最高点有
mg＋F1＝m eq \f(v,L)
由最高点到最低点全过程小球机械能守恒有
mv＋mg·2L＝mv
在最低点，有F2－mg＝m eq \f(v,L)
联立解得，最低点和最高点绳中拉力之差ΔF＝F2－F1＝6mg。
答案：(1)　(2)　(3)见解析
10．(12分)如图所示，竖直平面内有一固定光滑弧形轨道AB与粗糙水平地面平滑连接，B为弧形轨道的最低点。已知弧形轨道最高点A距离水平地面的高度h＝0.45 m。现有一滑块(可视为质点)，从A点由静止开始沿弧形轨道下滑，滑块与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.2，最后在水平地面上的C点停止运动。不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。求：
INCLUDEPICTURE "H:\\25WT51.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "../物理/25WT51.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT51.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../物理/25WT51.TIF" \* MERGEFORMAT
(1)滑块滑至B点时速度的大小；(6分)
(2)滑块在水平地面上滑行距离的大小。(6分)
解析：(1)滑块从A点滑至B点的过程中，只有重力做功，机械能守恒，设滑块质量为m，据机械能守恒定律得mgh＝mv，解得vB＝＝3 m/s。
(2)滑块从B点滑到C点过程，据动能定理得
－μmgx＝0－mv
代入数据得x＝2.25 m。
答案：(1)3 m/s　(2)2.25 m(共32张PPT)
第5节　课后达标检测
1．(2025·江苏镇江市期中)利用图1所示的装置做“验证机械能守恒定律”实验。
(1)除图1中所示的装置之外，还必须使用的器材是________。
A．交流电源、天平(含砝码)
B．交流电源、刻度尺
C．直流电源、天平(含砝码)
D．直流电源、刻度尺
解析：打点计时器需要用到交变电流；验证动能的增加量和重力势能的减小量是否相等，两端都有质量，可以约去，不需要天平测量质量；测量点迹间的距离要用刻度尺。
B
(2)实验中，先接通电源，再释放重物，得到图2所示的一条纸带。在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，测得它们到起始点O的距离分别为hA、hB、hC，已知当地重力加速度为g，计时器打点周期为T，求出B点的速度
表达式vB＝________，若从O点到B点的过程中机械能守恒，应满足的关系
式为__________________。
(3)大多数学生的实验结果显示，重力势能的减少量略大于动能的增加量，关于这个误差下列说法正确的是________。
A．该误差属于偶然误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差
B．该误差属于系统误差，可以通过多次测量取平均值的方法来减小该误差
C．该误差属于偶然误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差
D．该误差属于系统误差，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差
D
解析：此实验因空气阻力以及摩擦力的存在，总会使减小的重力势能略大于增加的动能，这属于系统误差，是不可避免的，但想要实验结果更加准确，可以通过减小空气阻力和摩擦阻力来减小该误差。
2．(2025·北京顺义区期末)利用如图甲装置做“验证机械能守恒定律”实验。
(1)为验证机械能是否守恒，需要比较重物
下落过程中任意两点间的________。
A．动能变化量与势能变化量
B．速度变化量和势能变化量
C．速度变化量和高度变化量
A
(2)此实验过程中机械能是否守恒，可以通过计算纸带打下两点的过程中，重物减少的重力势能是否等于其增加的动能来验证。图乙是实验中得到的一条纸带。O为重物开始下落时记录的点，在纸带上选取三个连续打出的点A、B、C，得到它们之间的距离分别为sA、sB、sC。若重物质量用m表示，已知当地重力加速度为g，打点计时器打点的周期为T，则在打下O点到B点的过程中，重力势能的减少量ΔEp ＝ mg(sA ＋sB)，动能的增加量ΔEk ＝
__________________。
C
(4)某同学想用下述方法研究机械能是否守恒，在纸带上选取多个计数点，测量它们到起始点O的距离h，计算对应计数点的重物速度v，描绘v2－h图像，并做如下判断：若图像是一条过原点的直线，则重物下落过程中机械能守恒。请你分析论证该同学的判断依据是否正确______________。
答案：见解析
3．(2025·广西南宁市期末)如图甲所示的是一种利用气垫导轨“验证机械能守恒定律”的实验装置。已知重力加速度为g。实验步骤如下：
A．将气垫导轨放在水平桌面上，将导轨调节水平；
B．测出遮光条宽度d；
C．将滑块移至图示位置，测出遮光条到光电门的距离L；
D．释放滑块，读出遮光条通过光电门的遮光时间Δt；
E．用天平测出槽码和托盘总质量m，滑块和遮光条总质量M；
F．改变遮光条到光电门的距离，重复步骤C、D
(1)关于该实验，下列说法正确的是________。
A．调节气垫导轨水平时，应在给导轨充气前，调节底脚螺丝使滑块在导轨上匀速滑动
B．调节气垫导轨水平时，应在给导轨充气后，调节底脚螺丝使滑块在导轨上匀速滑动
C．槽码和托盘总质量m与滑块和遮光条总质量M应满足m M
解析：给导轨充气后，调节底脚螺丝直至滑块能做匀速直线运动，说明导轨已经调节水平，故A错误，B正确；本实验验证的是系统机械能守恒，槽码和托盘总质量m与滑块和遮光条总质量M不需要满足m M，故C错误。
B
(2)某次测得遮光条到光电门的距离为L1，遮光条通过光电门的时间t1，遮光条通过光电门的速率为______；滑块从释放到光电门的过程中，系统势能的减少量ΔEp减＝______；若在实验误差允许范围内，满足关系式
______________________(用题中相关字母表示)，则说明系统机械能守恒。
mgL1
<
4．(2025·江西南昌市期末)在进行“验证机械能守恒定律”的实验中，甲、乙两实验小组分别采用了如图1和图2所示的装置进行实验。
(1)甲组同学采用了图1所示的方案，除带夹子的重物、纸带、铁架台(含铁夹)、电磁打点计时器、交流电源、导线及开关外，在下列器材中，还必须使用的器材是________。(填正确答案前的字母标号)
A．秒表　　B．刻度尺　　C．天平(含砝码)
解析：通过打点计时器可以知道计数点之间的时间间隔，所以不需要秒表；由于验证机械能守恒的表达式中质量可以约去，所以不需要天平；需要用刻度尺测量纸带上计数点间的距离，B正确。
B
(2)甲组同学释放纸带前的瞬间，重物和手的位置下列合理的是________。
C
解析：为了减小实验误差，释放前必须保持提起的纸带处于竖直位置，手提纸带的一端，并且使重物靠近打点计时器，故合理的为C。
(3)比较两种实验方案，你认为________(选填“甲”或“乙”)组同学采用的实验方案误差更小。
解析：甲组方案更合理，因为在乙组的方案中还受到细线与滑轮之间的阻力影响。
甲
(4)乙组同学采用图2所示的方案完成实验，选出一条纸带如图3所示，其中O点为起始点，A、B、C三个连续计时点到O点的距离分别为h1、h2、h3，打点计时器打点周期为T，重物质量m1大于m2，重力加速度为g。打下B点时重物速度大小为____________，若通过纸带验证OB过程系统机械能守恒，其表达式为__________________________________。
5．(2025·广西贺州市期末)小七同学利用如图甲所示的装置验证机械能守恒定律。在水平桌面边缘处放有一倾角为θ的斜面，最低点与桌面边缘平滑连接。桌面与地面之间的竖直距离为H。小球从斜面上静止释放，从最低点进入桌面后立即从边缘飞出。小七从距离桌面不同的高度h静止释放小球，并测得每一次小球从水平桌面抛出后到落地前的水平位移x。空气阻力可以忽略。
(1)为了使x的测量尽可能准确，小七从同一高度h多次静止释放小球，在地面上留下了一系列落点， 如图乙所示，则此高度对应的x＝__________cm。
解析：由题图乙可知，刻度尺的分度值是1 mm，此高度对应的x＝
55.50 cm。
55.50　
(2)假设斜面光滑，为了验证小球在斜面上的运动过程是否满足机械能守恒定律，小七用线性图线来处理实验获得的多组h和x的数据。如果小球在斜面上的运动过程满足机械能守恒定律，则下面的图像正确的是__________，正确图像的斜率为__________(用题目所给已知量表示)。
A
(3)接上问，小七选择了正确的线性图线来处理数据，发现实验数据的图像确实是一条直线，但斜率却只有理论值的a倍(a<1)，对此，小七猜测可能是由于斜面的摩擦力不可忽略，并利用动能定理算出了斜面的动摩擦因数μ，则μ＝__________(用题目所给已知量表示)。
(1－a2)tan θ(共21张PPT)
专题提升课7　课后达标检测
√
1．(多选)如图所示，小球自a点由静止自由下落，到b点时与弹簧接触，到c点时弹簧被压缩到最短。若不计弹簧质量和空气阻力，则在小球由b→c的运动过程中，下列说法正确的是(　　)

A．小球和弹簧构成的系统总机械能守恒
B．小球的重力势能随时间先减少后增加
C．小球在b点时动能最大
D．小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量
√
解析：小球由b→c运动过程中，对于小球和弹簧组成的系统，由于只有重力和系统内弹簧的弹力做功，所以系统总机械能守恒，故A正确；小球不断下降，重力势能不断减小，故B错误；小球从b到c过程，先加速后减速，故动能先变大后变小，动能最大的位置在b、c之间的某点，故C错误；小球从b到c过程中，重力势能、动能、弹性势能相互转化，机械能总量守恒，故动能和重力势能的减少量等于弹性势能的增加量，即小球动能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量，故D正确。
√
2．(多选)(2025·福建泉州市期中)如图所示，轻绳跨过定滑轮悬挂两物体P和Q，其质量关系为mP>mQ，轻绳及定滑轮的质量、摩擦力及空气阻力均不计，则在系统由静止开始运动到Q刚要碰到滑轮的过程中(　　)

A．P减少的重力势能大于Q增加的机械能
B．P减少的重力势能小于Q增加的机械能
C．P增加的动能大于Q增加的动能
D．P增加的动能小于Q增加的动能
√
解析：P、Q组成的系统机械能守恒，P减少的重力势能等于Q增加的机械能与P增加的动能之和，故P减少的重力势能大于Q增加的机械能，故A正确，B错误；P、Q速度大小始终相等，由于mP>mQ，P增加的动能大于Q增加的动能，故C正确，D错误。
√
3．(2025·北京西城区期末)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球A和B之间用一根长为L的轻杆连接，轻杆可绕中心O的水平轴无摩擦转动，现让杆处于水平位置无初速度释放，在杆转至竖直的过程中(轻杆质量不计)(　　)

A．A球机械能减小
B．杆对B球不做功，B球机械能守恒
C．A球和B球总机械能守恒
D．A球和B球总机械能不守恒
解析：释放后，A球向上运动，速度增大，高度增大，所以A球的动能和势能都增大，即A球的机械能增大，故A错误；在杆从水平转至竖直的过程中，A球和B球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，又根据机械能守恒可得EA增＝EB减，所以A球的机械能增大，B球的机械能减少，杆对B球做负功，故B、D错误，C正确。
√
√
√
√
7．(12分)如图所示，一条不可伸长的轻质软绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个质量分别为m、3m的小球a和b，用手按住a球静止于地面时，b球离地面的高度为h，两小球均可视为质点，定滑轮的质量及一切阻力均不计，a球与定滑轮间距足够大，不会相碰，释放a球后，求：
(1)b球落地前的加速度大小；(4分)
(2)b球落地前的动能大小；(4分)
(3)a球能到达的最大高度。(4分)
8．(12分)(2025·河北衡水市期末)如图所示，将内壁光滑的细管弯成四分之三圆形的轨道(圆心为O)并竖直固定，轨道半径为R，细管内径远小于R。轻绳穿过细管连接小球A和重物B，小球A的质量为m，直径略小于细管内径，用手托住重物B使小球A静止在Q点(OQ与竖直直径的夹角为53°)；松手后，小球A运动至P点(OP与竖直直径的夹角为37°)时对细管恰无作用力。重力加速度为g，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，π取3.2，求：
(1)小球A静止在Q点时对细管壁的压力大小N；(6分)
解析：小球A静止在Q点时根据平衡条件有
N1＝mg cos 53°
根据牛顿第三定律有
N＝ N1
解得N＝0.6mg。
答案：0.6mg　
(2)重物B的质量M。(6分)
答案：1.5m

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