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牡丹江市第一高级中学2026届高三热身训练一
数学2026.5.25
胸藏数学底气，落笔皆是佳绩：放平心态作答，所愿皆能成真！
注意事项：
1.答题前，考生须将自已的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形
码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.
3.回答非选择题时，请使用0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域
内，超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效.
4保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
个选项是符合题目要求的.
1.复数=-2+3i,则复数三对应的点在()
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知集合M={xx-3≤0}，N={xx>},则M∩N=()
A.[-1,+oo)）
B.(0,3)
C.(1,3
D.（-1,+0)
3知a6是单位向量，且2
B、1
c.v3
2
2
D.、g
2
4双曲线Cx)=>0.b>0的渐近线方程为y=±与x,则C的离心率为()y
B
c v6
D.v5
4
2
2
5知一组数据：4,6,4,10,12的平均数为8，则该组数据的第40百分位数为()
A.6
B.7
C.8
D.9
x(x+4),x≥0，
6.数f(x)=
若f(a)=12,则实数a=(
x(4-x),x<0,
A.1
B.2
C.-1
D.-2
7.己知圆柱和圆锥的高均为3，侧面积之比为1：3，底面半径之比为1：2，则圆锥的体积为()
A.27π
B.36元
C.72π
D.108π
8.某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成
(如图1)，运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线AB上选
外侧分道线
取一点P作为起跑点，沿直线P2加速后从点Q切入弯道内侧分
内侧分道线
道线，即P9与内侧分道线相切以半圆的圆心O为原点，建立平
面直角坐标系（如图2）.若OA=40,PQ=9,则直线P9的
图1
图2
方程为()
A.40x+9y-1640=0
B.40x-9y-1640=0
C.9x+40y-369=0
D.9x-40y-369=0
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
第1页共3页牡丹江市第一高级中学 2026届高三热身训练一
数 学 2026.5.25
胸藏数学底气，落笔皆是佳绩!放平心态作答，所愿皆能成真！
注意事项：
1.答题前，考生须将自己的姓名、班级、考场/座位号填写在答题卡指定位置上，并粘贴条形
码．
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3.回答非选择题时，请使用 0.5毫米黑色字迹签字笔将答案写在答题卡各题目的答题区域内，
超出答题区域或在草稿纸、本试题卷上书写的答案无效．
4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄皱、弄破，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的．
1.复数 ，则复数 对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【详解】由题意知， ，则 ，
在复平面内对应的点为 ，在第一象限.
2. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C【详解】 ，又 ，则
3. 已知 是单位向量，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【详解】因为 是单位向量，且 ,所以
4. 双曲线 的渐近线方程为 ，则 C的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D【详解】由题意得 ，则 .
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5. 知一组数据：4，6，a，10，12的平均数为 8，则该组数据的第 40百分位数为（ ）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【详解】由题意可得 ，解得 ，将数据按升序排列可得
，
因为 为整数，所以该组数据的第 40百分位数为 .
6. 函数 ， ，则实数 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【详解】当 时， ，即 解得 或 （舍），
当 时， ，即 ， ，
方程无实数解，综上 .
7. 已知圆柱和圆锥的高均为 3，侧面积之比为 ，底面半径之比为 ，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C【详解】设圆锥、圆柱的底面半径为 ， ，则圆锥的母线长为 ，
则圆锥、圆柱的侧面积分别为 、 ，
则 ，得 ，则圆锥的体积为 .
8. 某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图 1）.运动员比赛时，从某条跑道弯道处
的起跑线 上选取一点 P作为起跑点，沿直线 加速后从点 Q切入弯道内侧分道线，即 与内侧分道
线相切.以半圆的圆心 O为原点，建立平面直角坐标系（如图 2）.若 ， ，则直线 的方
程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【详解】因为 是圆 的切线，所以 ，且 ，
由勾股定理可得 ，因此点 的坐标为 ，
因为 ，所以圆 的切线 的斜率为 ，
所以圆 的切线 的方程为 ，化简，得 .
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求，全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 若 ， ， 表示不同的平面，l表示直线，则下列条件能得出 的是（ ）
A. ， B. ，
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C. ， D. ，
【答案】ABC
【详解】根据面面垂直的判定定理， ， ，推出 ，正确.
已知 ，由线面平行的性质，可得 内存在直线 满足 ；
又 ，因此 ，结合面面垂直判定可得 ，正确.
已知 ， ，由面面平行的性质，推出 ，正确.
若 ， ，则 与 可以平行，也可以相交，且相交时不一定垂直，无法推出 ，错误.
10. 将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，再将所得图象向
右平移 个单位长度，得到函数 的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 在 上只有一个零点
C. 在 上单调递增
D. 点 是 图象的一个对称中心
【答案】BD
【详解】将函数 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 ，纵坐标保持不变，
可以得到 ，再将所得图象向右平移 个单位长度，
可得到函数 的图象．
对于 A选项，函数 的最小正周期为 ，A选项错误；
对于 B选项， ， ， 解得 ，
只有一个零点，B选项正确；
对于 C选项， ， ，而 在 上不单调，
故 在 上并不单调，C选项错误；
对于 D选项， ，D选项正确．
故选：BD.
11. 已知椭圆 ， ， 分别是椭圆 C的左右焦点，O是坐标原点，P是椭圆 C上任意一点，
点 ，则下列结论正确的有（ ）
A. 的周长为 6 B. 的面积为 时，
C. 周长的最小值是 D. 面积的最大值为
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【答案】ACD
【详解】由题意得 ， ，故 的周长为 ，故 A正确，
当 的面积为 时，有 ，即 ，故 B错误，
周长为 ,
当 三点共线， 在 之间时 的周长最小，此时
,
故 周长的最小值为 ，故 C正确，
直线 的方程为 ，即 ，
设与直线 平行且与椭圆相切的直线方程为 ，
联立 ，得 ，
则 ，解得 ，
当 时，直线与椭圆切点到直线 的距离最大，即 ，
故 面积的最大值为 ，故 D正确.
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 记 为等差数列 的前 n项和，若 ， ，则 ______．
【答案】70
【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ，通项公式为 ，
由 ，得： ①
由 ，得： ②
联立解得 ， ，
.
13. 如图，已知斜四棱柱 ，底面 是正方形，
，则图二所示的几何体的体积为
__________.
【答案】 ；
14. 投掷一枚质地均匀的骰子，直到掷出数字 1或 6为止，则在掷出 1或 6之前，数字 2，3，4，5每个都
至少出现一次的概率为_________．
【详解】定义状态 i（ ）表示在停止事件（掷出 1或 6）发生之前，
已经观察到不同的数字来自集合 的个数，
设 为从状态 i出发最终成功的概率（即最终在掷出 1或 6之前已经收集全 4个数字），
显然，当 时，已经收集全 4个数字，此后无论掷出什么，只要首次掷出 1或 6时即成功，因此 ，
对于状态 i（ ），考虑下一次掷骰子的结果，有三种可能：
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①掷出数字 1或 6（概率为 ），此时停止，但由于尚未收集全 4个数字（ ），因此失败，成功的
概率为 0，
②掷出一个已经出现过的属于 的数字（概率为 ），状态保持不变，
③掷出一个未出现过的属于 的新数字（概率为 ），状态转移到 ，
因此，从状态 i出发，最终成功的概率满足方程：
，
化简得 ，移项得 ，
即 ．
利用 ，依次计算得
，
，
因此，所求概率为 ．
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，角 的对边分别为 ，且 ．
（1）求角 A的大小；
（2）若 ， ，求 的面积．
【小问 1详解】
因为 ，所以由正弦定理得 ，
整理得： ，
因为 ，所以 ，故 ，
因为 ，所以 ．
【小问 2详解】由余弦定理，得 ，即 ，
整理得 ，又 ， ，
所以 ，所以 ，
故 的面积为 ．
16 我国人工智能大模型发展迅猛，其中语言模型（处理、理解和生成人类语言）和多模态模型（处理、理
解和生成文本、图像、音视频等）是其中两个重要的领域，某研究机构对 2025年某区域的企业发布的所有
大模型中随机抽取了 14款进行标准化测试，由测试数据得到下面的散点图：
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(1)用频率估计概率，根据 2025年该区域的企业发布大模型的分布情况，估计该区域 2026发布的大模型是
多模态模型的概率；
(2)若 t为时间变量，y为分数，根据多模态模型数据 （ ，2，3，4，5，6， 表示 2025年 1月
份， 表示 2025年 6月份，…），计算得 ， ， .
（i）建立 y关于 t的线性回归方程；
（ii）根据语言模型的数据建立的回归方程为 ，该区域的某家企业在 2026年 4月发布了 1
款标准化测试得分为 68分的大模型，定义统计量 ，Q值越小的大模型发生的可能性越大，则
该款大模型更有可能是语言模型还是多模态模型，并说明理由.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 ， ，
, .
【详解】（1）由 2025年的数据可知，随机抽取了 14款大模型，其中多模态模型有 6款，用频率估计概率，
多模态模型的频率为 ，所以该区域 2026发布的大模型是多模态模型的概率为 .
（2）(i) 因为 ， ， ，
表示 2025年 1月份， 表示 2025年 6月份，所以
所以 ，
所以 ，根据 ，
所以 y关于 t的线性回归方程为：
(ii) 已知 2026年 4月，则 ，计算多模态模型的预测值和残差， ，残差为：
，所以 .再计算语言模型的预测值和残差， ，残差为：
， ，所以 ，所以根据 值越小的大模型发生的可能性越大，所以
该款大模型更有可能是语言模型.
17. 如图，在四棱锥 中， ， ， 两两垂直， ，
，且 .
（1）证明：平面 平面 .
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（2）设 ，三棱锥 的体积为 .
（i）求 的单调区间；
（ii）当 取得最大值时，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【小问 1详解】因为 ，且 ， 面 ，所以 面
，
因为 面 ，所以平面 平面 .
【小问 2详解】（ i）由 可知，当 时， ，因为
，所以 ，
可知 ，
因为 ，所以 ，可知 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
则 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 .
（ii）由（i）可知函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，
即函数在 时取得极大值，也是最大值，
则 ，
以 为坐标原点，以 为 轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
设面 的法向量为 ，可知 ，即 ，
令 ，解得 ，可得面 的一个法向量为 ，
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .
18．已知抛物线 ： 的焦点为 F，顶点为 ，点 在 上.
(1)求 的方程；
(2)已知点 在 上，过 M且斜率为 2的直线交 于点 Q，令 .
（i）求点 P的坐标（用 t表示）；
（ii）设直线 与 的另一个交点为 N，焦点 F到直线 的距离是否存在最大值 若存在求其最大值.若不
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存在，请说明理由.
【详解】（1）将点 代入 得 ，所以 ： .
（2）（i）过 M点斜率为 2的直线 ，
直线方程 ，由 得 ，
可得 ，设 ，由 得 ，
即 ，解得 ，所以 .
（ii）因为 ，所以直线 方程为 ，
解方程组 ，得 ，所以 ，
直线 ： ，整理得 ，因此直线 过定点 .又
，所以 ，所以点 F到直线 的最大距离为 .
19.已知函数 .
（1）若 有 3个零点，求 的取值范围；
（2）设 为 的极值点， .
（i）证明： ；
（ii）数列 满足 ，
证明： .
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