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2026年普通高等学校招生全国统一考试数学模拟卷（新Ⅰ卷）
满分150分 时间120分
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填
写在答题卡上用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如
需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案答案不能答在试卷上，
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相
应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．若集合，则（ ）
A． B． C．或 D．
2．已知复数，则（ ）
A． B． C．2 D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足，，若，则（ ）
A．512 B．678 C．1010 D．1022
5．在如图的平面图形中，已知,则的值为
A． B．
C． D．0
6．森林植被是主要由树木组成的植物群落，常见的典型类型包括：常绿阔叶林（以云南西双版纳为代表）、落叶阔叶林（以华北地区为代表）和针叶林（以大兴安岭为代表）．某地理研究团队计划派5个研究小组对这三种典型森林植被的3个代表地区进行考察，要求每个研究小组只分配到一个地区，每个地区至少分配1个研究小组，则不同的分配方案共有（ ）
A．300种 B．240种 C．150种 D．120种
7．已知函数 . 设甲: ；乙: 是偶函数，则（ ）
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲是乙的既不充分也不必要条件
8．过双曲线：（）的右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若点关于点的对称点恰好落在双曲线上，则双曲线的渐近线的方程为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（每小题6分，共40分）
9．已知数据，，…，的平均数为，标准差为，中位数为，极差为.由这组数据得到新数据，，…，，其中（），则下列命题中正确的是（ ）
A．新数据的平均数是 B．新数据的标准差是
C．新数据的中位数是 D．新数据的极差是
10．在圆台中，，AB，CD分别为上、下底面的直径，，且，动点P、Q分别在线段AC和上运动（含端点），满足，则（ ）
A．圆台的体积为
B．四面体外接球的表面积为
C．射线PQ交圆台侧面于点M，则PM的最小值为
D．射线QP交圆台侧面于点N，则PN的最大值为
11．已知是定义在上不恒为0的函数，的图象关于直线对称，且函数的图象的对称中心也是图象的一个对称中心，则（ ）
A．点是的图象的一个对称中心
B．为周期函数，且4是的一个周期
C．为偶函数
D．
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．函数的图象在点处的切线方程为______．
13．设由变量x和y获得的两组数据分别为和（i=1，2，…，n），其对应关系如下表所示：
变量x …
变量y …
两组数据和的__________是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量，其计算公式为，其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数．
14．一圆周上均匀分布着8个点，将这8个点连接成4条弦，且任意两条弦没有公共点．记为“4条弦中由相邻两点连接成的弦的条数”，则的数学期望为______．
四、解答题（共77分）
15．（13分）在中，，D在上，记，，．
(1)求；
(2)若，，求．
16．（15分）设函数，．
(1)求函数的单调性区间；
(2)设，证明函数在区间上存在最小值A，且．
17．（15分）如图1，在高为6的等腰梯形中，，且，将它沿对称轴折起，使平面平面，如图2，点为的中点，点在线段上（不同于两点），连接并延长至点，使.

(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥 的体积．
18．（17分）已知甲口袋中有个白球，个红球（，，），乙口袋中都是红球，所有红球与白球除了颜色再没有其他差别.设 .
(1)从甲口袋中依次取2球（每次取1球，不放回），求第2个球为白球的概率（）；
(2)化简；
(3)如果从甲口袋中任取1球是白球的概率为，现在随机从甲、乙口袋中任取1球，观察其颜色，结果为红球，并将其放回原口袋中，求仍在这个口袋中取1球是白球的概率.
19．（17分）已知椭圆的左右焦点分别为，上下顶点分别为，，是面积为1的直角三角形，过焦点的直线交椭圆于、两点（、分别在第一、四象限）.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知点，，求椭圆上的动点到点的最大距离；
(3)求四边形面积的取值范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A B C C C A
题号 9 10 11
答案 ACD ABD AC
1．D
【分析】解分式方程得集合，再根据集合的交集运算即可.
【详解】因为集合，解得：或，所以.
故选：D.
2．C
【详解】因为，所以.
3．A
【详解】设，则，
．
4．B
【分析】由，计算出前10项，利用分析分类讨论进行计算
【详解】由题意知，，，，因为，所以中至少有一项是负数．
①若，则，
若均为正数，则，比1010多12，
所以前9项中必有负项，且其和为．易得当，
且其他项为正项时满足题意，故．
②若，当均为负数时，数列的前9项和最小，
此时，，不符合题意．
综上，
故选：
5．C
【详解】分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：
，，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
点睛：求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．具体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积运算律的应用．
6．C
【详解】5个小组分配到3个地区，每个地区至少有1个小组，可分为两种情况：
①各地区小组数分别为1，1，3：
先将5个小组分为三组，再分配到3个地区，方法数为种；
②各地区小组数分别为2，2，1：
先将5个小组分为三组，再分配到3个地区，方法数为种；
因此所求方案共有种方法．
7．C
【分析】分别由和是偶函数求解，再结合充分条件、必要条件的概念即可判断.
【详解】由，
代入得： ，
展开整理：，
消去同类项后得，即，
解得：，
由是偶函数，即对任意恒成立，
代入得： ，
展开整理得：，对任意恒成立，
因此，解得：，甲和乙推出的完全等价，
因此甲是乙的充要条件.
8．A
【分析】首先将直线和其中一条渐近线方程联立，求出点的坐标，再根据中点坐标公式求出对称点的坐标，最后由于对称点恰好落在双曲线上，将的坐标代入双曲线的方程即可求解.
【详解】如图所示，令双曲线的右焦点为，，
由对称性，不妨设过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，
则直线的方程为，由，解得，
即点，由为线段的中点，得，
由点在双曲线上，得，即，
解得，因此，即，
所以双曲线的渐近线为，A正确.
9．ACD
【分析】对于AB，由平均数，标准差的计算公式直接验算即可；对于 CD， 直接由中位数，极差的定义验证即可.
【详解】A，因为，所以 ，故A正确；
B，因为，所以 ，故B错误；
C、D，不妨设，所以，
而，所以，故C正确；
因为，所以 ，故D正确.
10．ABD
【分析】对于A，直接由圆台的体积公式求得圆台的体积，即可判断；对于B，求出外接球的半径，求得表面积，即可判断；对于C，设，利用空间向量坐标运算得到PM关于的函数，利用导数可求得其最小值，即可判断；对于D，同理C选项，得到PM关于的函数，利用导数可求得其最大值，即可判断.
【详解】对于A，由已知，故A正确；
对于B，由对称性可知球心在直线上，设半径为r，
则，解得，
故四面体外接球的表面积为，故B正确；
对于C，如图圆所在平面平行于底面，则圆所在平面，
如图建立空间直角坐标系，
则，
设，
则，
因为，设，
所以，则，
由相似可得圆的半径，
，则，
令，
则在上单调递减，
所以，则PM的最小值为2，故C错误；
对于D，由C，同理可得，
令，
则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
所以，则PN的最大值为，故D正确.
故选：ABD
11．AC
【分析】根据给定条件，借助平移变换分析函数的性质，再逐项推理判断得解.
【详解】由的图象关于直线对称，得函数关于对称，即为偶函数，，
显然函数图象的对称中心为原点，则函数的图象的对称中心为，即，
对于A，，则是图象的一个对称中心，A正确；
对于B，由，得，即，
，是周期函数，8是该函数的一个周期，
若4是的一个周期，则，而，从而与已知矛盾，B错误；
对于C，，因此为偶函数，C正确；
对于D，由，得，
则，D错误.
故选：AC
12．
【分析】根据导数的几何意义求解即可.
【详解】，，，
故函数的图象在点处的切线方程为，即.
故答案为：
13．线性相关系数
【分析】利用线性相关系数的定义分析即可.
【详解】根据相关系数的定义，，
其中，，，它们分别是这两组数据的算术平均数．
和的线性相关系数是度量两个变量x与y之间线性相关程度的统计量.
故答案为：线性相关系数
14．
【分析】变量表示第对相邻点被连成弦的情况（表示被连，表示未被连），则.由期望的线性性，，利用对称性只需计算单个再乘以8.
【详解】设为圆周上个点无交叉连接成条弦的总数，通过递推计算：
（2个点）：只有1种连接方式，
（4个点）：固定点1，可连2或4：
连2：剩余2个点（3,4），连接数，
连4：剩余2个点（2,3），连接数，
故.
（6个点）：固定点1，可连2、4、6：
连2：剩余4个点（3-6），连接数，
连4：分成两部分（2-3和5-6），连接数，
连6：剩余4个点（2-5），连接数，
故.
（8个点）：固定点1，可连2、4、6、8：
连2：剩余6个点（3-8），连接数，
连4：分成两部分（2-3和5-8），连接数，
连6：分成两部分（2-5和7-8），连接数，
连8：剩余6个点（2-7），连接数，
故总连接数.
任取一对相邻点（如点1和点2），若它们被连成弦，则剩余6个点（3-8）需无交叉连接成3条弦，连接数为.
单个相邻对被连的概率：
由期望的线性性：.
【点睛】方法归纳：本题采用指示变量法（线性期望），避免了复杂的分类枚举.核心是通过递推计算无交叉连接总数，再利用对称性简化期望计算.
易错归纳：递推时需注意固定点的连接方式，避免遗漏或重复计算；
期望的线性性不要求变量独立，可直接求和，这是关键技巧.
15．(1)
(2)
【分析】（1）设，则，利用面积公式可得，再结合正弦定理及已知条件构建方程求解即可；
（2）根据余弦定理解三角形，求出，进而可得，再利用勾股定理计算即可．
【详解】（1）设，则，
在中，面积，
在中，面积，
，由正弦定理知，
又 ， ，即，
，解得，
即；
（2） ，，，，
在中，由余弦定理：，
即，解得（舍去负根），
，故，
．
16．(1)增区间为，无单调递减区间
(2)证明见解析
【分析】（1）根据函数解析式明确定义域，求导，根据导数与单调性的关系，可得答案；
（2）根据函数解析式求导，整理导数，利用（1）的结论，结合隐零点做题思路，可得答案.
【详解】（1）由，则，所以的定义域为，
求导可得，
当且仅当时等号成立，
的增区间为，无单调递减区间.
（2），
由（1）知，在上单调递增，
由知，，，
使且时，，由，则，
时，，由，则，
即在单调递减，在单调递增，
在上存在最小值，且，
又得：，即，
，
设，，
在上单调递增，，，
又，故.
【点睛】本题的第二问重点在于对于隐零点问题的理解与解决，隐零点问题的解题步骤：1、函数求导；2、根据零点存在性定理在某个区间设出零点；3、将零点代入导数整理等量关系；4、利用等量关系化简函数表示出最值即可.
17．(1)证明见解析
(2)9
【分析】（1）由两两垂直建立空间直角坐标系，由向量坐标运算得到，再根据线面垂直判定定理即可证明；
（2）先计算，再计算三棱锥的高，然后根据棱锥体积计算即可.
【详解】（1）由题设知两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
则，
因为为中点，所以.
因为，
所以，
即，
又平面,，
所以平面.
（2）因为
所以
因为,由题设知，所以，
所以
因为高为6的等腰梯形A中，，
所以三棱锥的高,
所以.

18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）直接用全概率公式即可；
（2）将转化为若干概率之和的倍，即可求解；
（3）使用条件概率的定义即可求解.
【详解】（1）设分别表示“第1个球是白球”和“第2个球是白球”，
则.
故所求概率为.
（2）设从甲口袋中反复不放回地取出球，第1次取出白球发生于第次取的过程中的概率为，这里，
则.
故.
（3）设分别表示“选择的是甲口袋”，“选择的是乙口袋”，“第1次取出的是红球”，“第2次取出的是白球”，
则，，，.
故，，
所以.
故在第1次结果为红球的条件下，求仍在这个口袋中取1球是白球的概率为.
19．(1)
(2)答案详见解析
(3)
【分析】（1）根据题意:利用为为面积为1的直角三角形，可得到，再求解离心率即可.
（2）设，利用两点间距离公式表示，转化为二次函数分类讨论求解最值即可.
（3）设直线的方程为，利用圆锥曲线“设而不求”的方法可以把四边形的面积可表示为关于的函数，再利用函数单调性求得范围即可.
【详解】（1）如图，设椭圆的焦距为，
易得，，，
又因为为面积为1直角三角形，，
所以椭圆的离心率.
（2）有第一问知，故椭圆方程为，
设，且，即，
，
其对称轴为，而，当，即时，
在时取得最大值，；
当，即时，
在时取得最大值，.
综上，当时，最大距离为；当时，最大距离为.
（3）设直线的方程为，
联立，消去整理得，
则，.
因为点分别在第一、四象限，
所以，即，
故，解得，
得到四边形的面积为，
，
因为，，
所以，
令，，则，
因为，所以在上单调递增，
故，即四边形面积的取值范围为.

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