资源简介

2．1　不等关系与不等式
复习目标　1. 了解现实世界和日常生活中的不等关系.2. 掌握不等式的性质及应用．
不等关系与不等式
活动一基础引入
1 若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是(　　)
A. 若a>b，则ac2>bc2
B. 若aab>b2
C. 若a
D. 若00，则<
2 [2025湘潭一中期中]两次购买同一种物品，且两次购买物品的价格不同，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定．下列关于两种购物方案的优惠程度的说法中正确的是(　　)
A. 甲方案更优惠
B. 乙方案更优惠
C. 甲、乙两方案一样优惠
D. 无法确定
3 (多选)已知a>b>0，c>d>0，则下列不等式中成立的是(　　)
A. a＋c>b＋d B. >
C. (a＋b)c>(a＋b)d D. ca＋b>da＋b
4 已知实数a，b，c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，则 的取值范围是________．
5 已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
活动二典例悟法
题组一　比较两个数(式)的大小
1 (1) 已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是________；
(2) 已知a＝－，b＝－，则a________b；(填“>”或“<”)
(3) 若实数a≠1，比较a＋2与的大小．
比较两个数(式)大小的两种方法
题组二　不等式的性质
2 (1) 设a，b∈R，则“(a－b)a2<0”是“a(2) 若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②＋＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)，其中正确的个数为________；
(3) 若ab2；②a3>b3；③<；④>1；⑤>；⑥|a|>－b，其中正确的是________．(填序号)
[2024上海春季高考·13]已知a，b，c∈R，b>c，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A. a＋b2>a＋c2
B. a2＋b>a2＋c
C. ab2>ac2
D. a2b>a2c
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
1. 不等式成立问题：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
2. 与充分性、必要性相结合的问题：用不等式的性质分别判断p q和q p是否成立，要注意特殊值法的应用．
3. 与命题真假判断相结合的问题：解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
题组三　不等式性质的应用
3 已知－1(1) 已知－1(2) 已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；
(3) 已知1≤lg (xy)≤4，－1≤lg ≤2，求lg 的取值范围．
由a2．1　不等关系与不等式
1. B　解析：对于A，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故A错误；对于B，若a0，ab－b2＝b(a－b)>0，所以a2>ab>b2，故B正确；对于C，取a＝－1，b＝1，满足a不成立，故C错误；对于D，－＝＝，因为00.又m>0，所以>0，所以>，故D错误．
2. B　解析：设两次购买物品的价格为x1，x2(x1≠x2)，甲方案每次购买物品的数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中x1，x2，y，z均大于0，则甲方案购买物品的平均价格为＝，乙方案购买物品的平均价格为＝.因为－＝>0，所以乙方案更优惠．
3. ABD　解析：由a>b>0，c>d>0，得a＋c>b＋d，故A正确；由a>b>0，c>d>0，得cd>0，ac>bd，则－＝>0，所以>，故B正确；取a＝，b＝，则a＋b＝∈(0，1)，又c>d>0，所以<，故C错误；由幂函数y＝xa＋b在区间(0，＋∞)上单调递增，且c>d>0，得ca＋b>da＋b，故D正确．故选ABD.
4. 　解析：因为a>b>c，且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0，b＝－a－c.由－a－c－c，即>－2.由－a－c>c，得－a>2c，即<－.综上，－2<<－，即的取值范围是.
5. (－∞，－1)　解析：因为ab2>a>ab，所以a≠0.当a>0时，b2>1>b，解得b<－1；当a<0时，b2<1例1　(1) M>N　解析：M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1).因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－1<0，a2－1<0，所以(a1－1)(a2－1)>0，即M－N>0，所以M>N.
(2) <　解析：因为a＝－＝，b＝－＝，且>，所以＋>＋>0，所以<，所以<，即a(3) a＋2－＝＝.
因为a2＋a＋1＝＋>0，
所以当a>1时，a＋2>；当a<1时，a＋2<.
例2　(1) 充分且不必要　解析：若(a－b)a2＜0，则a－b＜0，且 a≠0，即a＜b且a≠0，能推出a(2) 3　解析：对于①，因为a＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故①错误；对于②，因为a＞0＞b＞－a，所以a＞－b＞0.因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a·(－c)＞(－b)·(－d)，即ac＋bd＜0.又cd>0，所以＋＝＜0，故②正确；对于③，因为c＜d，所以－c＞－d.因为a＞b，所以a＋(－c)＞b＋(－d)，即a－c＞b－d，故③正确；对于④，因为a＞b，d－c＞0，所以a(d－c)＞b(d－c)，故④正确．故正确的个数为3.
(3) ①④⑥　解析：若a－b>0，所以(－a)2>(－b)2，即a2>b2，故①正确；因为a2>b2，a<0，所以a30，所以b2a0，所以>0，所以a·＝1，故④正确；因为－＝＝，且a－b<0，a<0，所以(a－b)a>0.又b<0，所以－<0，即<，故⑤错误；由a|b|＝－b，故⑥正确．综上，正确结论的序号是①④⑥.
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B　解析：对于A，若cc，所以a2＋b>a2＋c，故B正确；对于C，D，若a＝0，则ab2＝ac2，a2b＝a2c，故C，D错误．
例3　(－4，2)　(1，18)　解析：因为－1变式训练　(1) 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
则解得
即3x＋2y＝(x＋y)＋(x－y).
因为－1所以－<(x＋y)<10，1<(x－y)<，
所以－<(x＋y)＋(x－y)<，
即－<3x＋2y<，
故3x＋2y的取值范围是.
(2) 由题意，知f(－1)＝a－b，
f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b.
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，
则解得
所以f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1).　
因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，所以5≤f(－2)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5，10].
(3) 由1≤lg (xy)≤4，－1≤lg ≤2，
得1≤lg x＋lg y≤4，－1≤lg x－lg y≤2.
又lg ＝2lg x－lg y＝×(lg x＋lg y)＋×(lg x－lg y)，
所以－1≤lg ≤5，
故lg 的取值范围是[－1，5].(共31张PPT)
第二章
2.1　不等关系与不等式
不等式
复习目标　1．了解现实世界和日常生活中的不等关系．2．掌握不等式的性质及应用．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 若a，b，c为实数，则下列命题中正确的是 (　　)
A．若a＞b，则ac2＞bc2
B．若a＜b＜0，则a2＞ab＞b2
B
2 [2025湘潭一中期中]两次购买同一种物品，且两次购买物品的价格不同，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定．下列关于两种购物方案的优惠程度的说法中正确的是 (　　)
A．甲方案更优惠　 　B．乙方案更优惠
C．甲、乙两方案一样优惠　 　D．无法确定
B
3 (多选)已知a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中成立的是(　　　)
ABD
C．(a＋b)c＞(a＋b)d　 D．ca＋b＞da＋b
5 已知存在实数a满足ab2＞a＞ab，则实数b的取值范围是_______________．
(－∞，－1)
【解析】因为ab2＞a＞ab，所以a≠0．当a＞0时，b2＞1＞b，解得b＜－1；当a＜0时，b2＜1＜b，无解．综上，实数b的取值范围是(－∞，－1)．
活动二　典例悟法
题组一　比较两个数(式)的大小
　　　 (1) 已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是________；
1
M＞N
【解析】M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝(a1－1)(a2－1)．因为a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－1＜0，a2－1＜0，所以(a1－1)(a2－1)＞0，即M－N＞0，所以M＞N．
＜
比较两个数(式)大小的两种方法
题组二　不等式的性质
　　　(1) 设a，b∈R，则“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的_________ ________条件；(填“充分且不必要”“必要且不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)
2
充分且
不必要
【解析】若(a－b)a2＜0，则a－b＜0，且 a≠0，即a＜b且a≠0，能推出a＜b；反之，当a＜b时，不能推出(a－b)a2＜0，如a＝0，b＝1，故“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分且不必要条件．
3
①④⑥
[2024上海春季高考·13]已知a，b，c∈R，b＞c，则下列不等式中恒成立的是 (　　)
A．a＋b2＞a＋c2 B．a2＋b＞a2＋c
C．ab2＞ac2 D．a2b＞a2c
B
【解析】对于A，若c＜b＜0，则b2＜c2，a＋b2＜a＋c2，故A错误；对于B，因为b＞c，所以a2＋b＞a2＋c，故B正确；对于C，D，若a＝0，则ab2＝ac2，a2b＝a2c，故C，D错误．
不等式性质应用问题的常见类型及解题策略
1．不等式成立问题：熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．
2．与充分性、必要性相结合的问题：用不等式的性质分别判断p q和q p是否成立，要注意特殊值法的应用．
3．与命题真假判断相结合的问题：解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．
题组三　不等式性质的应用
　　　 已知－1＜x＜4，2＜y＜3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是__________．
3
(－4，2)
(1，18)
【解析】因为－1＜x＜4，2＜y＜3，所以－3＜－y＜－2，所以－4＜x－y＜2．由－1＜x＜4，2＜y＜3，得－3＜3x＜12，4＜2y＜6，所以1＜3x＋2y＜18．
　　　　　　(1) 已知－1＜x＋y＜4，2＜x－y＜3，求3x＋2y的取值范围；
(2) 已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围；
(2) 由题意，知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b．
设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b，
所以f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．
因为1≤f(－1)≤2，2≤f(1)≤4，
所以5≤f(－2)≤10，
故f(－2)的取值范围是[5，10]．
由a＜f(x，y)＜b，c＜g(x，y)＜d，求F(x，y)的取值范围：可利用待定系数法解决，即设F(x，y)＝mf(x，y)＋ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围．
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一、 单选题
1 [2026邢台一中月考]若a＞b，c＞d，则下列结论中正确的是(　　)
A. ac2>bc2 B. a－c＞b－d
C. a＋c＞b＋d D. ac＞bd
2 [2025南宁三中月考]已知实数x，y满足－1A. {z|－3C. {z|－33 [2025佛山金桂实验高级中学统测]设M＝2a2＋3a＋4，N＝a2＋a＋3，则M与N的大小关系为(　　)
A. M>N B. M＝N
C. M4 [2025上海七宝中学期中]已知a是非零实数，则下列不等式中恒成立的是(　　)
A. a>
B. a2＋≥a＋
C. |a|＋>2
D. －≥－
5[2025南通名校联盟模拟]设x，y为实数，满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值为(　　)
A. 27 B. 24
C. 12 D. 32
6 “a>b”的一个充分条件是(　　)
A. ea－b>0 B. ln >0
C. aa>bb D. <<0
7 [2025淄博四中月考]已知a>0，b>0，a＋b＝ab，则下列结论中错误的是(　　)
A. a>1且b>1 B. ab≥4
C. a＋4b≤9 D. ＋>1
8 设a＝，b＝2－e，c＝1－e－，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. aC. b二、 多选题
9 [2025常州联盟学校学情调研]已知a>b>0>c，则下列结论中正确的是(　　)
A. ac>bc B. >
C. a2＋bc>ac＋ab D. ac>bc
10 [2025宜春丰城中学期末]下列命题中，是真命题的是(　　)
A. 若a1
B. 若非零实数a，b，c满足a0，则acC. 若log2a>log2b，则a2>b2
D. 若1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，则5≤4a－2b≤10
11 [2025镇江模拟]已知正数x，y，z满足3x＝4y＝6z，则下列说法中正确的是(　　)
A. ＋＝ B. 3x>4y>6z
C. xy>2z2 D. x＋y>z
三、 填空题
12 [2025南宁二中月考]若4≤a≤8，－2≤b≤5，则2a－|b|的取值范围为________．
13 若x＝＋，y＝＋，a>0，b>0，则x________y．(填“>”“<”“≥”或“≤”)
14 [2025天津河西区期末]给出下列命题：
①若a>b，则ac2>bc2；
②若a>b，则<；
③若a，b是非零实数，且a④若aab>b2.
其中为真命题是________．(填序号)
2．1　不等关系与不等式
1. C　解析：对于A，若c2＝0，则ac2＝bc2＝0，故A错误；对于B，若a＝7，b＝6，c＝4，d＝1，满足a>b，c>d，但是a－cd，所以a＋c＞b＋d，故C正确；对于D，若a＝7，b＝3，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但是ac2. B　解析：由题意，得－3<－y<－2，则－43. D　解析：因为M－N＝(2a2＋3a＋4)－(a2＋a＋3)＝a2＋2a＋1＝(a＋1)2≥0，所以M≥N.
4. B　解析：对于A，当a＝时，显然>2不成立，故A不符合题意；对于B，当a<0时，a2＋≥a＋显然恒成立，当a>0时，a2＋＝－2，令f(x)＝x2－2－x＝x2－x－2，则f(x)在区间上单调递增，且f(2)＝22－2－2＝0.又因为a＋≥2，当且仅当a＝1时取等号，所以f(a＋)≥f(2)＝0，即f＝－－2≥0，所以－2＝a2＋≥a＋恒成立，故B符合题意；对于C，因为|a|>0，所以|a|＋≥2，当且仅当|a|＝1时取等号，所以|a|＋>2不恒成立，故C不符合题意；对于D，当a＝0时，－1≥显然不成立，故D不符合题意．
5. A　解析：由3≤xy2≤8，得≤≤.又4≤≤9，所以16≤≤81，所以×16≤·≤×81，即2≤≤27，故的最大值为27.
6. D　解析：由ea－b>0，得a－b为任意实数，故A错误；由ln >0＝ln 1，得>1.当a<0且b<0时，abb，故C错误；因为<<0，所以0>a>b，故D正确．
7. C　解析：由a>0，b>0，a＋b＝ab，得＋＝1，所以<1，即a>1，同理可得<1，则b>1，故A正确；由a＋b＝ab，得ab＝a＋b≥2，当且仅当a＝b＝2时，等号成立，所以ab≥2，解得ab≥4，故B正确；由＋＝1，得a＋4b＝(a＋4b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝时，即a＝3，b＝时，等号成立，所以a＋4b≥9，故C错误；由a>1，b>1，得>，不等式两边同时加上，得＋>＋.又＋＝1，所以＋>1，故D正确．
8. B　解析：对于函数f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1，令f′(x)<0，解得x<0；令f′(x)>0，解得x>0，所以函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0，则f(x)≥0，即ex≥x＋1，所以b＝2－e<2－＝，c＝1－e－<1－＝.由e2<8，得e<8＝2，所以e<，则1＋e－＝1＋>2＝>e，所以1－e－<2－e，即c9. BC　解析：因为a>b>0>c，所以acb>c，所以a－b>0，a－c>0，则－＝＝<0，所以<，故B正确；因为a2＋bc－(ac＋ab)＝(a2－ab)－(ac－bc)＝a(a－b)－c(a－b)＝(a－b)(a－c)>0，所以a2＋bc>ac＋ab，故C正确；因为c<0，所以幂函数y＝xc在区间(0，＋∞)上单调递减，所以ac10. BCD　解析：对于A，当a<0，b>0时，显然<1，故A错误；对于B，若非零实数a，b，c满足a0，则c>0，所以aclog2b，则a>b>0，所以a2>b2，故C正确；对于D，设4a－2b＝x(a－b)＋y(a＋b)＝(x＋y)a＋(－x＋y)b，则解得因为1≤a－b≤2，所以3≤3(a－b)≤6.又2≤a＋b≤4，所以5≤3(a－b)＋(a＋b)≤10，即5≤4a－2b≤10，故D正确．故选BCD.
11. ACD　解析：设3x＝4y＝6z＝t(t>1)，则x＝log3t，y＝log4t，z＝log6t.对于A，＋＝logt3＋logt4＝logt6＝，故A正确；对于B，3x＝3log3t，4y＝4log4t，6z＝6log6t，因为＝＝log34<1，所以3x<4y.因为＝＝log46<1，所以4y<6z.综上，3x<4y<6z，故B错误；对于C，＝＋>2(x≠2y)，将>2的两边平方，可得xy>2z2，故C正确；对于D，由xy>2z2，得x＋y>2>2＝2z>z(x≠y)，故D正确．故选ACD.
12. [3，16]　解析：由－2≤b≤5，得0≤|b|≤5，则－5≤－|b|≤0.又4≤a≤8，则8≤2a≤16，所以3≤2a－|b|≤16，故2a－|b|的取值范围为[3，16].
13. ≥　解析：＋－(＋)＝＋＝(－)＋(－)＝(－)(－)，当a≥b时，－≥0，－≥0，则(－)(－)≥0，即＋≥＋；当a0，即＋>＋.综上，＋≥＋，即x≥y.
14. ③④　解析：对于①，当c＝0时，ac2＝bc2＝0，故①错误；对于②，当ab<0时，由a>b，得<，即<，故②错误；对于③，因为a，b是非零实数，所以a2b2>0.由ab·a，a·b>b·b，即a2>ab>b2，故④正确．故真命题的是③④.

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