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2.2　基本不等式
一、 单选题
1 [2025通化梅河口五中期中]无字证明即无需语言的证明，本质上是一种数学语言，形式上是隐含数学命题或定理的证明的图象或图形，可能包含数学符号、记号、方程，但不附带文字．如图，C为线段AB上的点，且AC＝a，CB＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于点D.连接OD，AD，BD.过点C作OD的垂线，垂足为E，则下列不等式中可由CD≥DE进行无字证明的为(　　)
A. ≥(a>0，b>0)
B. ≥(a>0，b>0)
C. a2＋b2≥2ab(a>0，b>0)
D. ≥(a>0，b>0)
2 [2025六安开学考试]设a>0，b>0，则“≥6”是“≥6”的　(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3 [2025安徽县中联盟联考]设x>0，y>0，且x＋4y＝30，则xy的最大值是(　　)
A. B. C. D. 100
4 已知a>0，b>0，a2＋b2＝2，则下列不等式中不成立的是(　　)
A. ＋≥2 B. a3＋b3≥2
C. ≥4 D. a＋b>2
5 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(a＋)(b＋)的最小值为(　　)
A. 4 B. 5 C. D.
6 [2025驻马店新蔡一中月考]已知x>0，y>0，且4x＋y＝xy.若x＋y>m2＋8m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)
A. B. (－8，0)
C. (1，＋∞) D. (－9，1)
7 [2025安徽开学考试]已知a＝log45，b＝log56，c＝log67，则a，b，c的大小关系为(　　)
A. c>b>a B. b>a>c
C. a>c>b D. a>b>c
8 已知a>0，b>0，且＋＝1，则a＋2b的最小值为(　　)
A. B. 3＋2
C. 5 D. 6
二、 多选题
9 [2025南通调研]已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. ab的最大值为 B. a2＋b2的最大值为
C. ＋的最小值为9 D. 2a＋2b的最小值为2
10 若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. x＋y≤1 B. x＋y≥－2
C. x2＋y2≤2 D. x2＋y2≥1
11 [2025华侨中学月考]已知x>0，y>0，且x＋y＋xy－3＝0，则下列结论中正确的是(　　)
A. xy的最大值是9，最小值是1
B. x＋y的最大值是3，最小值是2
C. x＋4y>3
D. x＋2y的最小值是4－3
三、 填空题
12 [2026梅村高级中学月考]某公司建造一间背面靠墙的房屋，地面面积为48 m2，房屋正面每平方米的造价为1 200元，房屋侧面每平方米的造价为800元，屋顶的造价为5 800元．如果墙高为3m，且不计房屋背面和地面的费用，那么房屋的总造价最低为________元．
13 [2025淮南、淮北二模]若实数m和n的等差中项为1，则m2＋n2的最小值为________．
14 [2025黑龙江龙东十校联盟月考]已知x>0，y>0，满足x＋3y＋＋＝8，若存在实数m，使得m≥x＋3y恒成立，则实数m的最小值为________．
2．2　基本不等式
1. A　解析：因为AB是圆O的直径，所以∠ADB＝90°，圆O的半径为.又CD⊥AB，所以由射影定理，得CD2＝AC·BC＝ab，解得CD＝.在Rt△OCD中，CE⊥OD，由射影定理，得CD2＝DE·OD，解得DE＝＝.因为CD≥DE，所以≥＝.
2. B　解析：因为a>0，b>0，所以≥，当且仅当a＝b时，等号成立．当≥6时，≥≥6，反之，当≥6时，无法推出≥6，所以“≥6”是“≥6”的必要且不充分条件．
3. A　解析：因为x>0，y>0，所以x＋4y≥4，即30≥4，解得xy≤，当且仅当x＝4y，即x＝15，y＝时，等号成立，故xy的最大值是.
4. D　解析：对于A，＋≥2≥2＝2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故A正确；对于D，因为a>0，b>0，a2＋b2＝2，所以(a＋b)2≤2(a2＋b2)＝4，所以a＋b≤2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故D错误；对于B，由D知a＋b≤2，则2(a3＋b3)≥(a＋b)(a3＋b3)＝a4＋ab3＋a3b＋b4＝(a2＋b2)2－2a2b2＋ab(a2＋b2)＝(a2＋b2)2＋ab(a2＋b2－2ab)＝(a2＋b2)2＋ab(a－b)2≥4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，所以2(a3＋b3)≥4，即a3＋b3≥2，故B正确；对于C，＝ab＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当ab＝，即a＝b＝1时，等号成立，故C正确．
5. D　解析：＝ab＋＋＋＝ab＋＋＝ab＋＋＝ab＋－2，因为a>0，b>0，且a＋b＝1，所以06. D　解析：因为x>0，y>0，且4x＋y＝xy，所以＋＝1，所以x＋y＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当x＝3，y＝6时，等号成立．若x＋y>m2＋8m恒成立，则m2＋8m<(x＋y)min，即9>m2＋8m, 解得－97. D　解析：因为＝＝log56·log54<＝<＝1，所以bb>c.
8. B　解析：因为a>0，b>0，＋＝1，所以a＋2b＝[(a＋b)＋b](＋)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即a＝1，b＝＋1时，等号成立，故所求最小值为3＋2.
9. ACD　解析：对于A，因为1＝a＋b≥2，所以≤，即ab≤，当且仅当a＝b＝时，等号成立，则ab的最大值为，故A正确；对于B，由a2＋b2≥2ab，得≥＝，即a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时，等号成立，则a2＋b2的最小值为，故B错误；对于C，＋＝(a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，则＋的最小值为9，故C正确；对于D，2a＋2b≥2＝2＝2＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，则2a＋2b的最小值为2，故D正确．故选ACD.
10. BC　解析：对于A，B，由x2＋y2－xy＝1可变形为(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，当x＝y＝－1，即x＋y＝－2时，或当x＝y＝1，即x＋y＝2时，等号成立，故A错误，B正确；对于C，D，方法一：由x2＋y2－xy＝1可变形为(x2＋y2)－1＝xy≤，解得x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时取等号，故C正确；取x＝，y＝－，显然满足等式x2＋y2－xy＝1，但是x2＋y2≥1不成立，故D错误．
方法二：由x2＋y2－xy＝1变形可得＋y2＝1，设x－＝cos θ，y＝sin θ，则x＝cos θ＋sin θ，y＝sin θ，所以x2＋y2＝cos2θ＋sin2θ＋sinθcos θ＝1＋sin 2θ－cos 2θ＋＝＋sin (2θ－)∈，故C正确，D错误．故选BC.
11. CD　解析：对于A，由x>0，y>0, x＋y＋xy－3＝0，得x＋y＝3－xy≥2，当且仅当x＝y＝1时，等号成立，则()2＋2－3≤0，即(＋3)(－1)≤0，解得0<≤1，即00，y>0，所以x＋y＝3－xy<3，故B错误；对于C，由x＋y＋xy－3＝0，得x＝>0，则03，故C正确；对于D，x＋2y＝＋2y＝2y＋－1＝2(y＋1)＋－3≥2－3＝4－3，当且仅当2y＋2＝，即y＝－1时取等号，此时x＋2y取得最小值4－3，故D正确．故选CD.
12. 63 400　解析：设房屋正面长为x(x>0)m，则侧面长为 m，所以房屋的总造价为y＝3x·1 200＋3··800×2＋5 800＝3 600x＋＋5 800.因为x>0，所以y≥2＋5 800＝57 600＋5 800＝63 400，当且仅当3 600x＝，即x＝8时取等号．故房屋的总造价最低为63 400元．
13. 2　解析：由题意，得m＋n＝2.因为m2＋n2≥2mn，所以 2(m2＋n2)≥(m＋n)2，所以m2＋n2≥＝＝2，当且仅当m＝n＝1时，等号成立，故m2＋n2的最小值为2.
14. 6　解析：因为x>0，y>0，所以6xy≤x2＋(3y)2，所以12xy≤x2＋(3y)2＋6xy，即12xy≤(x＋3y)2，所以＋＝≥，当且仅当x＝3y时取等号．由x＋3y＋＋＝8，得x＋3y＋≤8，整理，得(x＋3y)2－8(x＋3y)＋12≤0，即(x＋3y－2)(x＋3y－6)≤0，所以2≤x＋3y≤6.因为存在实数m，使得m≥x＋3y恒成立，所以m≥6，故实数m的最小值为6.(共40张PPT)
第二章
2.2　基本不等式
不等式
复习目标　1． 理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值．2．掌握证明不等式的常用方法．3．体会数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2025镇江期初]已知x＞0，y＞0，xy＝4，则x＋2y的最小值为 (　　)
B
2 [2025诸暨中学暨阳分校月考]已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的是 (　　)
C
D
4 (多选)[2025苏南十校联考]设正实数m，n满足m＋n＝1，则下列结论中正确的是 (　 　)
BD
5
活动二　典例悟法
题组一　利用基本不等式证明不等式
　　　 已知a，b都是正实数，且ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9．
1
【解析】因为a，b都是正实数，且ab＝2，
当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时，等号成立，
故(1＋2a)(1＋b)≥9．
【解析】因为2(a2＋b2＋c2)＝(a2＋b2)＋(a2＋c2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc＝2(ab＋ac＋bc)＝2，
所以a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c时，等号成立，
所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝a2＋b2＋c2＋2≥3，
题组二　利用基本不等式研究最值问题
　　　 已知0＜x＜1，求：
(1) x(1－x)的最大值；
2
　　　　　　已知0＜x＜1，求：
(1) 3x(1－x)的最大值；
[2024上海春季高考·6]已知ab＝1，则4a2＋9b2的最小值为_____．
12
1．拼凑法求解最值应注意的问题：
(1) 拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2) 代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3) 拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．
2．常数代换法求解最值应注意的问题：
(1) 条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础．
(2) 将已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键．
(3) 利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．
3
当运用基本不等式求最值时，若使等号成立的自变量不在定义域内，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的取值范围用对应函数的单调性求解．
　　　 已知a＞0，b＞0，且a＋b＝ab，求：
(1) ab的最小值；
(2) a＋b的最小值．
4
所以(ab)2－4ab≥0，解得ab≤0或ab≥4．
因为a＞0，b＞0，所以ab≥4，
故ab的最小值为4．
所以(a＋b)2－4(a＋b)≥0，解得 a＋b≤0或 a＋b≥4．
因为a＞0，b＞0，所以a＋b≥4，
所以a＋b的最小值为4．
　　　　　　已知a＞0，b＞0，且a＋2b＝ab，求：
(1) ab的最小值；
(2) a＋b的最小值．
所以(ab)2－8ab≥0，解得ab≤0或ab≥8．
因为a＞0，b＞0，所以ab≥8，
所以ab的最小值为8．
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
题组三　利用基本不等式研究实际应用问题
5
(1) 写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；
(2) 当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
【解析】(1) 因为每件商品的售价为0.05万元，
所以 x千件商品的销售额为(0.05×1 000x)万元．
(1) 在方案1中，设OE＝x，EF＝y，求x，y满足的关系式；
(2) 试比较两种方案，哪一种方案游泳池面积S的最大值更大？并求出该最大值．
方案1
方案2
【解析】(1) 在方案1的图中，连接OC．
所以x，y满足的关系式为4x2＋2xy＋y2－4＝0，x∈(0，1)，y∈(0，2)．
方案1
(2) 方案1：设游泳池DEFC的面积为S1，
由(1)得4x2＋2xy＋y2＝4≥2xy＋4xy＝6xy，
方案2：设游泳池DEFC的面积为S2，
在方案2的图中，取CF的中点M，连接OM，OC．
设OD＝m，EF＝n，
易知△ODE为等边三角形，所以OM⊥CF．
方案2
利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值．
谢谢观看
Thank you for watching2.2　基本不等式
复习目标　1. 理解基本不等式成立的条件，会利用基本不等式求最值.2. 掌握证明不等式的常用方法.3. 体会数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想的应用．
基本不等式
活动一 基础引入
1 [2025镇江期初]已知x>0，y>0，xy＝4，则x＋2y的最小值为(　　)
A. 4 B. 4 C. 6 D. 8
2 [2025诸暨中学暨阳分校月考]已知a，b为互不相等的正实数，则下列四个数中最大的是(　　)
A. B.
C. D.
3 [2025石家庄一模]已知x∈(0，4)，则f(x)＝＋的最小值为(　　)
A. B. C. D.
4 (多选)[2025苏南十校联考]设正实数m，n满足m＋n＝1，则下列结论中正确的是(　　)
A. 的最小值为
B. ＋的最小值为3＋2
C. ＋的最小值为
D. m2＋n2的最小值为
5若正数x，y满足＋＝5，则4x＋3y的最小值为________．
活动二 典例悟法
题组一　利用基本不等式证明不等式
1 已知a，b都是正实数，且ab＝2，求证：(1＋2a)(1＋b)≥9.
设a，b，c均大于0，且ab＋bc＋ca＝1，求证：a＋b＋c≥.
题组二　利用基本不等式研究最值问题
2 已知0(1) x(1－x)的最大值；
(2) ＋的最小值．
已知0(1) 3x(1－x)的最大值；
(2) ＋的最小值．
[2024上海春季高考·6]已知ab＝1，则4a2＋9b2的最小值为________．
1. 拼凑法求解最值应注意的问题：
(1) 拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．
(2) 代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标．
(3) 拆项、添项应注意检验利用基本不等式的条件．
2. 常数代换法求解最值应注意的问题：
(1) 条件的灵活变形，确定或分离出常数是基础．
(2) 将已知等式化成“1”的表达式，是代数式等价变形的关键．
(3) 利用基本不等式求最值时注意基本不等式的前提条件．
3 已知x>1，求y＝ 的最小值．
已知x≥1，求y＝ 的最小值．
当运用基本不等式求最值时，若使等号成立的自变量不在定义域内，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的取值范围用对应函数的单调性求解．
4 已知a>0，b>0，且a＋b＝ab，求：
(1) ab的最小值；
(2) a＋b的最小值．
已知a>0，b>0，且a＋2b＝ab，求：
(1) ab的最小值；
(2) a＋b的最小值．
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．
题组三　利用基本不等式研究实际应用问题
5 工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，另需投入成本C(x)(单位：万元)，当年产量不足80千件时，C(x)＝x2＋10x；当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x＋－1 450.已知每件商品的售价为0.05万元，通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．
(1) 写出年利润L(x)(单位：万元)关于年产量x(单位：千件)的函数解析式；
(2) 当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？
小云家后院闲置的一块空地的形状是扇形AOB，计划在空地挖一个矩形游泳池，有如下两个方案可供选择，经测量，∠AOB＝，OA＝2.
(1) 在方案1中，设OE＝x，EF＝y，求x，y满足的关系式；
(2) 试比较两种方案，哪一种方案游泳池面积S的最大值更大？并求出该最大值．
方案1 方案2
　　
利用基本不等式解决实际问题，关键是把实际问题转化为代数问题，列出函数关系式，再利用基本不等式求最值．
2．2　基本不等式
1. B　解析：因为x>0，y>0，所以x＋2y≥2＝4，当且仅当x＝2y＝2时取等号，故x＋2y的最小值为4.
2. C　解析：因为a，b为互不相等的正实数，所以由a2＋b2>2ab，得2(a2＋b2)>a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2，所以>，则>>.由基本不等式，得<＝，所以>>>，故最大的数为.
3. D　解析：由x∈(0，4)，得4－x∈(0，4)，所以f(x)＝＋＝(x＋4－x)＝(17＋＋)≥(17＋2)＝，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，所以f(x)的最小值为.
4. BD　解析：对于A，由1＝m＋n≥2，得≤，当且仅当m＝n＝时取等号，所以的最大值为，故A错误；对于B，因为正实数m，n满足m＋n＝1，所以＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即m＝－1，n＝2－时取等号，所以＋的最小值为3＋2，故B正确；对于C，由(＋)2＝m＋n＋2≤m＋n＋m＋n＝2，得＋≤，当且仅当m＝n＝时取等号，所以＋的最大值为，故C错误；对于D，由A知≤，则mn≤，所以m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝1－2mn≥1－2×＝，当且仅当m＝n＝时取等号，则m2＋n2的最小值为，故D正确．故选BD.
5. 5　解析：由＋＝5，得4x＋3y＝(4x＋3y)·＝≥(4＋9＋2)＝5，当且仅当x＝，y＝1时取等号，故4x＋3y的最小值为5.
例1　因为a，b都是正实数，且ab＝2，
所以(1＋2a)(1＋b)＝1＋2a＋b＋2ab≥2＋5＝9，
当且仅当2a＝b，即a＝1，b＝2时，等号成立，
故(1＋2a)(1＋b)≥9.
变式训练　因为2(a2＋b2＋c2)＝(a2＋b2)＋(a2＋c2)＋(b2＋c2)≥2ab＋2ac＋2bc＝2(ab＋ac＋bc)＝2，
所以a2＋b2＋c2≥1，
当且仅当a＝b＝c时，等号成立，
所以(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝a2＋b2＋c2＋2≥3，
则|a＋b＋c|≥.
又a，b，c均大于0，所以a＋b＋c≥.
例2　(1) 因为00，
所以x(1－x)≤＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，
所以x(1－x)的最大值为.
(2) 因为00.
又＋＝，且由(1)知x(1－x)≤，
所以≥4，当且仅当x＝时，等号成立，
所以＋的最小值为4.
变式训练　(1) 因为00，
所以3x(1－x)≤3＝，
当且仅当x＝1－x，即x＝时，等号成立，
所以3x(1－x)的最大值为.
(2) ＋＝(＋)[x＋(1－x)]
＝＋＋＋1
≥2＋＝，
当且仅当＝，即x＝时，等号成立，
所以＋的最小值为.
链接高考
12　解析：4a2＋9b2＝(2a)2＋(3b)2≥2×2a×3b＝12ab＝12，当且仅当即a＝，b＝或a＝－，b＝－时取等号，故4a2＋9b2的最小值为12.
例3　令x－1＝t(t>0)，
则y＝＝＝t＋＋2≥2＋2，
当且仅当 t＝，即t＝，x＝＋1时，等号成立，
所以y的最小值为 2＋2.
变式训练　令x＋1＝t(t≥2)，
则y＝＝＝t＋－2≥2－2，
当且仅当 t＝，即t＝时，等号成立．
又因为t≥2，
根据对勾函数的性质可知当t＝2，即x＝1时，y有最小值，即ymin＝2＋－2＝.
例4　(1) 因为ab＝a＋b≥2，当且仅当a＝b时，等号成立，
所以(ab)2－4ab≥0，解得ab≤0或ab≥4.
因为a>0，b>0，
所以ab≥4，
故ab的最小值为4.
(2) 因为a＋b＝ab≤，当且仅当a＝b时，等号成立，
所以(a＋b)2－4(a＋b)≥0，解得 a＋b≤0或 a＋b≥4.
因为a>0，b>0，所以a＋b≥4，
所以a＋b的最小值为4.
变式训练　(1) 因为ab＝a＋2b≥2，当且仅当a＝2b时，等号成立，
所以(ab)2－8ab≥0，解得ab≤0或ab≥8.
因为a>0，b>0，所以ab≥8，
所以ab的最小值为8.
(2) 因为a＋2b＝ab，所以＋＝1，
所以a＋b＝(a＋b)＝2＋1＋＋≥3＋2，
当且仅当a2＝2b2，即a＝2＋，b＝＋1时，等号成立，
故a＋b的最小值为 3＋2.
例5　(1) 因为每件商品的售价为0.05万元，
所以 x千件商品的销售额为(0.05×1 000x)万元．
当0当x≥80时，L(x)＝1 000x×0.05－(51x＋－1 450)－250＝1 200－，
所以L(x)＝
(2) 当0所以当x＝60时，L(x)max＝950万元；
当x≥80时，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 000，当且仅当x＝100时，等号成立，
则L(x)max＝1 000万元．
综上，当年产量为100千件时，年利润最大．
变式训练　(1) 在方案1的图中，连接OC.
因为OE＝x，EF＝y，∠AOB＝，OA＝2，所以DE＝x.
在Rt△OCF中，(x＋y)2＋(x)2＝4，
所以x，y满足的关系式为4x2＋2xy＋y2－4＝0，x∈(0，1)，y∈(0，2).
(2) 方案1：设游泳池DEFC的面积为S1，
由(1)得4x2＋2xy＋y2＝4≥2xy＋4xy＝6xy，即xy≤，
当且仅当2x＝y，即x＝，y＝时，等号成立，
所以S1＝xy≤；
方案2：设游泳池DEFC的面积为S2，
在方案2的图中，取CF的中点M，连接OM，OC.
设OD＝m，EF＝n，
易知△ODE为等边三角形，所以OM⊥CF.
在Rt△OCM中，＋＝4，
所以m2＋mn＋n2＝4≥(2＋)mn，即mn≤4(2－)，
当且仅当m＝n＝(－1)时，等号成立，
所以S2＝mn≤4(2－).
因为－4(2－)＝＝>0，
所以(S1)max>(S2)max，
所以选择第一种方案，此时游泳池面积的最大值为.
方案1 方案2
　　

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