资源简介

(共39张PPT)
第二章
2.3　一元二次不等式
不等式
复习目标　1．通过一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系．2．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能借助集合表示一元二次不等式的解集．3．能解决一元二次不等式中的恒成立问题．
内容索引
核心体系
活动方案
核 心 体 系
不等式的解法
活 动 方 案
活动一　基础引入
1 [2025贵州期中]若不等式mx2＋mx－4＜2x2＋2x对任意的实数x均成立，则实数m的取值范围是 (　　)
A．(－2，2)　 　　B．(－14，2)
C．(－∞，－2)∪[2，＋∞)　 　　D．(－14，2]
D
2 [2025贵州新高考协作体质量监测]已知关于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(－1，2)　 B．(－2，0)
C．(－2，1)　 D．(0，1)
C
【解析】设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2．由题意，得f(1)＜0，即12＋(a2－1)＋a－2＜0，解得－2＜a＜1，所以实数a的取值范围是(－2，1)．
A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
B
4 不等式x2＋2x－4＜0的解集为______________________．
－14
活动二　典例悟法
题组一　一元二次不等式的求解
　　　 求关于x的不等式x2－4x＋3＜0的解集．
1
【解析】{x|1＜x＜3}
　　　　　　求下列关于x的不等式的解集．
(1) x2－ax＋3＜0；
(2) ax2－4x＋3＜0．
解一元二次不等式的步骤
一化：将不等式变形为二次项系数大于零的标准形式；
二判：判断对应方程的根的判别式与零的大小；
三求：求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根；
四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
题组二　可化为一元二次不等式的问题
2
【解析】{x|1≤x＜3}
　　　　　　求下列关于x的不等式的解集．
【解析】(1) 当a＜3时，不等式的解集为{x|x＜a或x＞3}；
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠3}；
当a＞3时，不等式的解集为{x|x＜3或x＞a}．
A．{x|－2≤x≤1}　 B．{x|x≤－2}
C．{x|－2≤x＜1}　 D．{x|x＞1}
C
分式不等式的解法
第一步：对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组)．
第二步：利用一元二次不等式求解．
　　　 解下列关于x的不等式．
(1) lg2x－2lg x－3＜0；
(2) 2x2－2x－3＞1；
(3) 4x－2x－2＜0．
3
【解析】(1) 令lg x＝t，则原不等式可化为t2－2t－3＜0，
解得－1＜t＜3，即－1＜lg x＜3，
(2) 由2x2－2x－3＞1，得2x2－2x－3＞20，
所以x2－2x－3＞0，解得x＜－1或x＞3，
所以原不等式的解集为{x|x＜－1或x＞3}．
(3) 令2x＝t(t＞0)，则原不等式可化为t2－t－2＜0，
即0＜2x＜2，解得x＜1，
所以原不等式的解集为{x|x＜1}．
　　　　　　解下列关于x的不等式．
(1) lg 2x－2a lg x－3a2＜0；
(2) 4x－a·2x－2a2＞0．
【解析】(1) 当a＜0时，不等式的解集为{x|103a＜x＜10－a}；
当a＝0时，不等式的解集为空集；
当a＞0时，不等式的解集为{x|10－a＜x＜103a}．
(2) 当a＜0时，不等式的解集为{x|x＞log2(－a)}；
当a＝0时，不等式的解集为R；
当a＞0时，不等式的解集为{x|x＞log2(2a)}．
整体换元后转化为一元二次不等式求解．
题组三　一元二次不等式恒成立问题
A．(－3，0]　 B．[－3，0)
C．[－3，0]　 D．(－3，0)
4
D
(2) 设a为常数，对于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1＞0，则实数a的取值范围是 (　　)
A．(0，4)　 B．[0，4)
C．(0，＋∞)　 D．(－∞，4)
B
(3) 设函数f(x)＝mx2－mx－1．若对任意x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求实数m的取值范围；
(4) 对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
【解析】f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4．
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4．
由题意，得在区间[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
解得x＜1或x＞3．
故x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)．
　　　　　　函数f(x)＝x2＋ax＋3，a∈R．
(1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求x的取值范围．
【解析】(1) 因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[－6，2]．
(2) 当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a，
当g(x)≥0时，分如下三种情况讨论：
①如图1，当g(x)的图象与x轴最多有1个交点时，
有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2，符合题意；
图1
②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
图2
③如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，
图3
1．一元二次不等式在R上恒成立的条件：
不等式类型 恒成立条件
ax2＋bx＋c＞0 a＞0，Δ＜0
ax2＋bx＋c≥0 a＞0，Δ≤0
ax2＋bx＋c＜0 a＜0，Δ＜0
ax2＋bx＋c≤0 a＜0，Δ≤0
2．一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法：
(1) 若f(x)＞0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)＞0解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围)．
(2) 转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，若f(x)≥ a恒成立，则f(x)min≥a，即m≥a；若f(x)≤a恒成立，则f(x)max≤a，即n≤a．
3．一元二次不等式的参数在某区间上恒成立，确定变量x取值范围的方法：
一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的取值范围，就选谁当主元，求谁的取值范围，谁就是参数，即把主元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
谢谢观看
Thank you for watching2.3　一元二次不等式
一、 单选题
1 [2025绵阳南山中学月考]已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|－2A. {x|－1C. {x|22 [2025南安侨光中学月考]不等式≥2的解集为(　　)
A. [－2，0) B. (0，＋∞)
C. (－∞，－2] D. (－2，＋∞)
3 [2026苏州常熟月考]甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为{x|1A. {x|－1C. {x|－34 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　)
A. [15，22) B. [15，18)
C. [15，20) D. [15，24)
5 [2025石家庄一中月考]若函数f(x)＝lg (mx2－mx＋2)的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　)
A. [0，8) B. (8，＋∞)
C. (0，8) D. (－∞，0)∪(8，＋∞)
6 “m>2”是“关于x的方程2x2－mx＋1＝0有两个不等实根”的(　　)
A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
7 [2025南京中华中学月考]已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－5，－4]∪[4，＋∞)
B. (－5，－4]
C. (－5，－4)
D. (－5，－4)∪(4，＋∞)
8 [2026淄博十一中月考]已知关于x的不等式x2－2(m＋1)x＋4m≤0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D. ∪
二、 多选题
9 [2025汕头金山中学期中]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列说法中正确的是(　　)
A. a>0
B. 不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－6}
C. a＋b＋c>0
D. 不等式cx2－bx＋a<0的解集为(－∞，－)∪
10 [2025赣州南康三中月考]对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集可能是(　　)
A. B. {x|x≠－1}
C. D. R
11 [2025木渎高级中学调研]已知不等式2kx2＋kx－<0，则下列说法中正确的是(　　)
A. 若k＝1，则不等式的解集为
B. 若不等式对任意x∈R恒成立，则整数k的取值集合为{－2，－1，0}
C. 若不等式对0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范围是(－，)
D. 若恰有一个整数x使得不等式成立，则实数k的取值范围是[，＋∞)
三、 填空题
12 [2025德才高级中学期中]已知2x2－kx＋m<0的解集为(－1，t)(t>－1)，则k＋m的值为________．
13 [2026启东中学月考]若命题“ x∈R，有mx2－2mx－3>0”是假命题，则实数m的取值范围为________．
14 若函数f(x)＝cos 2x－2a cos x－2<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
2．3　一元二次不等式
1. D　解析：因为B＝{x|－22. A　解析：由≥2，得≤0，则解得－2≤x<0，故所求不等式的解集为[－2，0).
3. D　解析：由题意，得甲的常数c正确，乙的常数b正确．由根与系数的关系，得1×6＝c，1＋4＝－b，则c＝6，b＝－5，所以原不等式为x2－5x＋6<0，即(x－2)(x－3)<0，解得24. C　解析：由题意，得[30－2(x－15)]·x>400，即x2－30x＋200<0，解得105. A　解析：由题意，得mx2－mx＋2>0在R上恒成立．若m＝0，则mx2－mx＋2＝2>0在R上恒成立，满足题意；若m≠0，则解得06. D　解析：因为关于x的方程2x2－mx＋1＝0有两个不等实根，所以Δ＝m2－8>0，解得m＜－2或m＞2，则“m>2”是“关于x的方程2x2－mx＋1＝0有两个不等实根”的既不充分又不必要条件．
7. B　解析：由题意，得即解得－58. B　解析：原不等式可化为(x－2)(x－2m)≤0.若m≤1，则不等式的解集是{x|2m≤x≤2}，此时不等式的解集中不可能有4个正整数，所以m>1，则不等式的解集是[2，2m]，所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5，则5≤2m<6，解得≤m<3，所以实数m的取值范围是.
9. ABD　解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，所以a>0，且方程ax2＋bx＋c＝0的解为x＝－2或x＝3，则－2＋3＝－，－2×3＝，即＝－1，＝－6，故A正确；因为a>0，所以由bx＋c>0，得x＋>0，即－x－6>0，解得x<－6，所以不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－6}，故B正确；因为＝1－1－6＝－6<0，且a>0，所以a＋b＋c<0，故C错误；由cx2－bx＋a<0，得x2－x＋<0，即－6x2＋x＋1＝－(2x－1)(3x＋1)<0，解得{x|x<－或x>}，故D正确．故选ABD.
10. AB　解析：关于x的一元二次方程(ax－1)(x＋1)＝0(a≠0)的两根为x1＝，x2＝－1.当a>0时，>－1，不等式的解集为－1－1；当a＝－1时，＝－1，不等式的解集为x≠－1；当a<－1时，>－1，不等式的解集为x<－1或x>.故选AB.
11. BCD　解析：当k＝1时，由2kx2＋kx－＝2x2＋x－<0，解得－0，且解得k≥，故D正确．故选BCD.
12. －2　解析：由题意，得x＝－1为方程2x2－kx＋m＝0的根，所以k＋m＝－2.
13. [－3，0]　解析：若命题“ x∈R，有mx2－2mx－3>0”是假命题，则“ x∈R，mx2－2mx－3≤0”是真命题．当m＝0时，不等式为－3≤0，恒成立，符合题意；当m≠0时，要使得mx2－2mx－3≤0恒成立，则解得－3≤m<0.综上，实数m的取值范围为[－3，0].
14. 　解析：由cos 2x－2a cos x－2<0，得2cos2x－2a cosx－3<0.令cos x＝t∈[－1，1]，则不等式2t2－2at－3<0对任意t∈[－1，1]恒成立．令g(t)＝2t2－2at－3，则解得－复习目标　1. 通过一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的关系.2. 能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能借助集合表示一元二次不等式的解集．3. 能解决一元二次不等式中的恒成立问题．
不等式的解法
活动一基础引入
1 [2025贵州期中]若不等式mx2＋mx－4<2x2＋2x对任意的实数x均成立，则实数m的取值范围是(　　)
A. (－2，2) 　　 B. (－14，2)
C. (－∞，－2)∪[2，＋∞) 　　D. (－14，2]
2 [2025贵州新高考协作体质量监测]已知关于x的一元二次方程x2＋(a2－1)x＋a－2＝0有一个根小于1，另一个根大于1，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－1，2) B. (－2，0)
C. (－2，1) D. (0，1)
3 [2025南通中学一检]已知x∈R，则“x2－3x＋2≤0”是“≤1”的(　　)
A. 充分且不必要条件
B. 必要且不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分又不必要条件
4 不等式x2＋2x－4<0的解集为___________________．
5 若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为，则a＋b＝________．
活动二 典例悟法
题组一　一元二次不等式的求解
1 求关于x的不等式x2－4x＋3<0的解集．
求下列关于x的不等式的解集．
(1) x2－ax＋3<0；
(2) ax2－4x＋3<0.
解一元二次不等式的步骤
一化：将不等式变形为二次项系数大于零的标准形式；
二判：判断对应方程的根的判别式与零的大小；
三求：求出对应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有没有实根；
四写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．
题组二　可化为一元二次不等式的问题
2 求关于x的不等式 ≤0的解集．
求下列关于x的不等式的解集．
(1) >0；
(2) >0.
　　　　　　　　　　　　　　　
[2025全国二卷·4]不等式≥2的解集为(　　)
A. {x|－2≤x≤1} B. {x|x≤－2}
C. {x|－2≤x<1} D. {x|x>1}
分式不等式的解法
第一步：对原不等式进行恒等变形，转化为整式不等式(组).
＜0 (x－a)(x－b)<0；
≥0
≤0
第二步：利用一元二次不等式求解．
3 解下列关于x的不等式．
(1) lg2x－2lg x－3<0；
(2) 2x2－2x－3>1；
(3) 4x－2x－2<0.
解下列关于x的不等式．
(1) lg 2x－2a lg x－3a2<0；
(2) 4x－a·2x－2a2>0.
整体换元后转化为一元二次不等式求解．
题组三　一元二次不等式恒成立问题
4(1) 若一元二次不等式2kx2＋kx－<0恒成立，则实数k的取值范围是(　　)
A. (－3，0] B. [－3，0)
C. [－3，0] D. (－3，0)
(2) 设a为常数，对于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1>0，则实数a的取值范围是(　　)
A. (0，4) B. [0，4)
C. (0，＋∞) D. (－∞，4)
(3) 设函数f(x)＝mx2－mx－1.若对任意x∈[1，3]，f(x)<－m＋5恒成立，求实数m的取值范围；
(4) 对任意m∈[－1，1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，求x的取值范围．
函数f(x)＝x2＋ax＋3，a∈R.
(1) 当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(2) 当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
(3) 当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求x的取值范围．
1. 一元二次不等式在R上恒成立的条件：
不等式类型 恒成立条件
ax2＋bx＋c>0 a>0，Δ<0
ax2＋bx＋c≥0 a>0，Δ≤0
ax2＋bx＋c<0 a<0，Δ<0
ax2＋bx＋c≤0 a<0，Δ≤0
2. 一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题的求解方法：
(1) 若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或取值范围).
(2) 转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，若f(x)≥a恒成立，则f(x)min≥a，即m≥a；若f(x)≤a恒成立，则f(x)max≤a，即n≤a.
3. 一元二次不等式的参数在某区间上恒成立，确定变量x取值范围的方法：
一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的取值范围，就选谁当主元，求谁的取值范围，谁就是参数，即把主元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．
2．3　一元二次不等式
1. D　解析：由mx2＋mx－4<2x2＋2x，得(m－2)x2＋(m－2)x－4<0.因为不等式对于任意x均成立，所以当m＝2时，－4<0，符合题意；当m≠2时，则解得－142. C　解析：设f(x)＝x2＋(a2－1)x＋a－2.由题意，得f(1)<0，即12＋(a2－1)＋a－2<0，解得－23. B　解析：由x2－3x＋2≤0，得(x－1)(x－2)≤0，解得1≤x≤2.由≤1，得≤0，所以(x－1)(x－2)≤0，且x≠1，解得14. 　解析：由x2＋2x－4<0，得x2＋2x＋1<5，即(x＋1)2<5，解得－1－5. －14　解析：由题意，得x1＝－，x2＝是方程 ax2＋bx＋2＝0的两个根，所以解得所以a＋b＝－14.
例1　{x|1变式训练　(1) 当－2≤a≤2时，不等式的解集为空集；
当a<－2或a>2时，不等式的解集为{x|(2) 当a<0时，不等式的解集为{x|x<或 x>}；
当a＝0时，不等式的解集为{x|x>}；
当0当a≥时，不等式的解集为空集．
例2　{x|1≤x<3}
变式训练　(1) 当a<3时，不等式的解集为{x|x3}；
当a＝3时，不等式的解集为{x|x≠3}；
当a>3时，不等式的解集为{x|x<3或x>a}．
(2) 当a<0时，不等式的解集为{x|当a＝0时，不等式的解集为{x|x<3}；
当0}；
当a＝时，不等式的解集为；
当a>时，不等式的解集为{x|x>3或x<}．
链接高考
C　解析：由≥2，得≤0，即解得－2≤x<1，故不等式的解集为{x|－2≤x<1}．
例3　(1) 令lg x＝t，则原不等式可化为t2－2t－3<0，
解得－1所以原不等式的解集为.
(2) 由2x2－2x－3>1，得2x2－2x－3>20，
所以x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3，
所以原不等式的解集为{x|x<－1或x>3}．
(3) 令2x＝t(t>0)，则原不等式可化为t2－t－2<0，
所以解得0即0<2x<2，解得x<1，
所以原不等式的解集为{x|x<1}．
变式训练　(1) 当a<0时，不等式的解集为{x|103a当a＝0时，不等式的解集为空集；
当a>0时，不等式的解集为{x|10－a(2) 当a<0时，不等式的解集为{x|x>log2(－a)}；
当a＝0时，不等式的解集为R；
当a>0时，不等式的解集为{x|x>log2(2a)}．
例4　(1) D　解析：因为2kx2＋kx－<0为一元二次不等式，所以k≠0.又2kx2＋kx－<0对一切实数x都成立，则解得－3(2) B　解析：因为对于任意x∈R，都有ax2＋ax＋1>0，所以a＝0或所以0≤a<4，故实数a的取值范围是[0，4).
(3) 要使f(x)<－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，
则m＋m－6<0在x∈[1，3]上恒成立．
令g(x)＝m＋m－6，x∈[1，3].
当m>0时，g(x)在区间[1，3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6<0，
解得m<，
所以0当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在区间[1，3]上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6<0，
解得m<6，所以m<0.
综上，实数m的取值范围是.
(4) f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
由题意，得在区间[－1，1]上，g(m)的值恒大于零，
则
解得x<1或x>3.
故x的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞).
变式训练　(1) 因为当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
所以Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
所以实数a的取值范围是[－6，2].
(2) 当x∈[－2，2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a，
当g(x)≥0时，分如下三种情况讨论：
①如图1，当g(x)的图象与x轴最多有1个交点时，
有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2，符合题意；
②如图2，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
则即
解得所以a无解；
③如图3，g(x)的图象与x轴有交点，但当x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，
则即
解得所以－7≤a≤－6.
综上所述，实数a的取值范围是[－7，2].
图1 图2 图3
(3) 令h(a)＝xa＋x2＋3.
因为当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，
所以即
解得x≤－3－或x≥－3＋，
所以x的取值范围是(－∞，－3－]∪[－3＋，＋∞).

展开更多......

收起↑