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数 学
数
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号
涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案用
0.5mm黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分 .在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的 .
1.集合A = {x | ln x ≤ 2}，B = { y ∈ N | 2y > 8 }，则A ∩ B =
A. (3, e2] B.{3, 4, 5, 6, 7, 8} C. {4，5，6，7} D.
2.若 z (1 + i) = -1 + 3i，则 z -z =
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
3.已知a, b为单位向量，且(a - 2b) ⊥ (a + b)，则| 2a + b | =
A. 1 B. 2 C. 3 D. 5
4. 3 π已知 θ是锐角，sin θ = 5，则 tan ( 4 - θ) =
A. 7 B. 17 C. -7 D. -
1
7
5.若6个人按原来站的位置重新站成一排，恰有两人站在自己原来的位置上的概率为
A. 13 B.
1 3
4 C. 16 D.
3
8
6.在三棱锥P - ABC中，AB = AC = 2，且AB ⊥ AC，PA = 2，PA ⊥平面ABC，若P，A，B，
C四点都在球O的表面上，则点P到平面OAB的距离为
A. 2 B. 3 C. 3 D. 2 33 3
数学试题 第1页（共4页）
7. x2 y2双曲线 2 - 2 = 1(a > 0, b > 0)的左、右焦点分别为F ，F ，过F 的直线交右支于A，Ba b
????
两点，且F1B ?????AF1 = 0，| AB | = 2 | F1 A |，则离心率 e =
A. 4 - 3 B. 4 + 3 C. 4 + 32 D. 4 -
3
2
8.已知正数a，b满足a 3a = 10，b (log3b - 1) = 30，则 ab =
A. 20 B. 25 C. 30 D. 35
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分 .在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求 .全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 .
9. π函数 f (x) = Asin (ωx + φ) (ω > 0, | φ | < 2 )的图象如图所示，则下列说法正确的是
A.函数 f ( x )的最小正周期为π y
B. f ( x ) 9π 2 9π与直线 y = 2 2 (x - 8 )有三个公共点 O 3π 8 x
8
C. f ( x ) π取得最小值时，x = kπ - 8 (k ∈ Z)
D.将 y = f ( x ) π的图象向左平移 4 个单位长度，所得图象关于 y轴对称
10.已知函数 f ( x )满足对于任意的 x，y ∈ R，都有 f ( x + y ) + f ( x - y ) = 2f ( x ) f ( y )，且
(1) = 1f 2，则以下结论正确的是
A. f (0 ) = 1 B. f (1) + f (2) + f (3) + … + f (2 026) = 0
C. f ( x ) 3是偶函数 D. f ( x )关于(- 2 , 0)对称
11.如图，在棱长为 2的正方体 ABCD - A1B1C1D1中，E为棱 BC的中点，F为底面 ABCD
B C
内一动点（含边界），则下列说法正确的是 1 1
D1
A. A1存在动点F，使B1F ⊥平面A1EC1
B.若D1F//平面A1EC1，则动点F的轨迹长度为 2 B E C
C. A F若F 平面A1EC1，则三棱锥F - A1EC1体积的最大值为2 D
D.若正方体 ABCD - A1B1C1D1的外接球为球O，则球O被平面 A1EC1所截截面圆的
26π
面积为 9
数学试题 第2页（共4页）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 .
12.记△ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c.已知 a = 4，c = 2，且 2sin B = 3sin C，
则△ABC的面积为 ▲ .
13.已知抛物线C：y2 = 2px (p > 0)的焦点为F，点P在C的准线上，线段PF与C交于点
Q，且| PQ | = m，|QF | = n，（m，n > 0），则 p = ▲ .（用m，n表示）.
14.已知 f ( x )是五次函数，若 x = 0是方程 f ( x ) = 1的三重根，x = 1是方程 f ( x ) = -1的
三重根，则 f ( x )的解析式是 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
15.（13分）
已知数列{an}是等比数列，满足S3 = 14，且4a1，2a2，a3成等差数列 .
（1）求数列{an}的通项；
（2）设 bn = log2ana ，且{bn}
1
的前n项和为Tn，求证：2 ≤ Tn < 2.n
16.（15分）
某脑机接口系统对采集的脑电信号做三分类识别：分为主动运动信号（类A）、被动
感知信号（类 B）、噪声干扰信号（类 C）. 大量测试数据表明：信号占比：P（类A）=0.5，
P（类B）=0.25，P（类C）=0.25.
类A正确识别为A的概率为0.8，误判为B的概率为0.1，误判为C的概率为0.1；
类B正确识别为B的概率为0.8，误判为A的概率为0.1，误判为C的概率为0.1；
类C正确识别为C的概率为0.8，误判为A的概率为0.1，误判为B的概率为0.1.
（1）求随机抽取一个信号被识别为类A的概率；
（2）现随机检测 4组独立信号，记误判带来的算力损耗为X（计每误判 1次带来的算
力损耗为1单位算力损耗），求X的分布列及数学期望 .
数学试题 第3页（共4页）
17.（15分）
在如图（1）所示的直角梯形ABCM中，BC ∥ AM，M
AB ⊥ AM，AM = 2AB = 2BC = 4，点D是AM的中点，将
图形（1）沿CD折起至图（2），使得M到P处，且PB = D C P
数
2 3. ??? ???
E C
E是PA上一动点，且PE = λPA (0 < λ < 1)， D
1 A B（）求证：平面PBC ⊥ 平面PCD； A B
（1） （2）
（2）是否存在λ，使得平面BDE与平面PBC的夹角为 45°？若存在，则求λ的值及点
C到BE的距离；若不存在，请说明理由 .
18.（17分）
x2 y2 1
C 3椭圆 ： 2 + 2 = 1(a > b > 0)的离心率 e = 2，且过点a b ( 3 , 2 ).
（1）求椭圆C的方程；
（2）设 P为椭圆左顶点，过左焦点 F的直线（l l不过点 P）交椭圆于M，N两点，直线
PM，PN分别交直线 x = -4于G，H两点 .
①求证：∠GFH为定值；
②记MN的中点Q到 y轴的距离是 d，点T是 x轴上的一点，记MT的斜率 k1，NT的斜
k1k率 k2，当
2 是定值时，求定点T的坐标 .
d
19.（17分）
( ) = (1 + 1
x
已知函数 f x ) ，( x > 0)，g ( x ) = ln f ( x ).x
（1）分析g (x)的单调性；
2 1（）求证：f (x) f ( > ex ) ，其中 e是自然对数的底数；
（3）记 h ( x ) = a (1 + 1 ) g ( x ) + [ a - ln (1 + a ) ] ln x，其中 a > 0x ，求 h ( x )的最小值M (a )
M (a )
的表达式，并求 的最大值 .
a
数学试题 第4页（共4页）
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数学参考答案详解及评分说明
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 .
1. C
【解析】∵ y ∈ N, ∴ 选项A错误 ; ∵ 3 B,∴选项B错误；显然A B ≠ ，选项D错误；故选项C正确 .
2. D
【解析】 2将原式两边取模,得 2 | z | = 10 ,则 | z | = 5 , ∴ z -z = | z | = 5.
3. A
【解析】∵ (a - 2b) ⊥ (a + b), ∴ (a - 2b) (a + b) = 0，∴ a b = -1, ∴ (2a + b) 2 = 1, ∴ | 2a + b | = 1.
4. B
【解析】sin = 3θ 5（θ是锐角） cos
4 3
θ = 5 tan θ = 4，
π 3
tan (π - ) = tan 4 - tan θ = 1 - 4 = 14 θ 1 + tan π tan 1 + 3 7，故选B.4 θ 4
5. C
【解析】根据题意，分两步：第一步，先从 6个人里选 2人，其位置不变，有C62 = 15种选法；第二步，对于剩余的 4个
人，每个人都不能站在原来的位置上，因此第一个人有 3种站法，被占了自己位置的那个人在剩下三个位置中任
选一个，有 C31 = 3种站法，其余 2人只有一种站法，因此 4个人共有 3 × 3 = 9种站法，故不同的站法有 15 × 9 =
135 . 135 3种 而基本事件总数为A66 = 720，所以所求概率为 720 = 16.
6. D PM Q N
【解析】把三棱锥补成右图中的长方体 ABDC-PMQN，则球心O在长方形 ABQN上，点 P到平面
2 × 2 2 3 A
OAB的距离就是点P到AN的距离，为 6 = 3 .故D正确 . B
C
D
7. B （第6题答图）
【解析】依题意知：∠AF1B = 90°, A = 60°，B = 30°. 设 | AF1 | = 1，则 | BF1 | = 3，| AB | = 2，则 | AF2 | = 1 - 2a，
| BF 3 - 12 | = 3 - 2a，∴ | AF2 | + | BF2 | = | AB | = 2，∴ a = 4 .在△AF1F2中，| AF1 | = 1,| AF2 | = 1 - y B
| |2 + | |2 22 3 - 3 AF1 AF2 - | F1F2 | 1 5 - 2 3 c
2 F1 F2 2a = 2 ,| F1F2 | = 2c , cos A = 2 = 2，解得 c
2 = 8 ，∴ e = = O x| 2AF1 |·| AF2 | a A
4 + 3，故选B. （第7题答图）
数学试题答案 第1页（共7页）
8. C
b
【解析】由 b (log3b - 1) = 30，得 3 (log3b - 1) = 10
b
，即 3 log
b
3 3 = 10.
令 f (x) = x·3x - 10，则 f '( x ) = 3x + x·3x ln 3 = 3x (1 + xln 3)，
当 x > 0时，f ′(x) > 0，f (x)在(0, + ∞)上单调递增 .
由a·3a = 10 b，3 log
b b b
3 3 = 10可得a > 0，3 > 1，且 f (a) = f (log3 3 ) = 0，
∴ = log b 3a = b ∴ 3a = aba 3 3，即 3， a 3 = 10，得ab = 30.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 .
9. AC
9π 3π 3
【解析】由图象得：8 - 8 = 4 T，解得T = π，故A正确；
由T = π，ω > 0，得ω = 2，又A = 2，将点( 3π8 , 2 )代入 f (x)中得：
sin (2 × 3π8 + φ) = 1 3π π，即 4 + φ = 2 + 2kπ,k ∈ Z，解得φ = -π4 + 2kπ，k ∈ Z.
∵| | < π ∴ = -π又 φ 2， φ 4，
∴函数 f (x) = 2 sin (2 πx - 4 ).
∵ y = x与 y = sin x只有一个公共点，
∴ y = 2 x与 y = 2 sin x只有一个公共点，
∴ y = 2 (2x )与 y = 2 sin 2x只有一个公共点，
∴ y = 2 2 ( - 9π é 9π ù πx 8 ) 与 y = 2 sin ê2 (x - 8 )ú = 2 sin(2x - 4 - 2π) = 2 sin (2x - π4 ) 只 有 一 个 公 共 点
( 9π8 ,0)，故B错误；
令 sin (2 πx - 4 ) = -1 π，即2x - 4 = - π2 + 2kπ,k ∈ Z，
解得 x = kπ - π8，k ∈ Z，故C正确；
将 y = f (x)
π é π π ù π
的图象向左平移 4 个单位长度，得g (x) = 2 sin ê2 (x + 4 ) - 4 ú = 2 sin (2x + 4 )，
g (0) = 2 sin π4 = 1 ≠ ± 2，图象不关于 y轴对称，故D错误 .
故选AC.
10. ACD
π z
【解析】构造函数 f ( x ) = cos 3 x.逐项验证即可得ACD正确 . B1 C1
11. BCD A1 D1
【解析】以B为坐标原点，分别以BA,BC,BB1所在直线为 x, y, z轴， B
E C y
建立如图所示的空间直角坐标系， A F
D
则D (2, 2, 0) , A1 (2, 0, 2) ,B1 (0, 0, 2) ,C1 (0, 2, 2) ,E (0, 1, 0) x，
（第11题答图1）
数学试题答案 第2页（共7页）
设F (x, y, 0)，且 x, y ∈ [ 0,2 ]，易得平面A1EC1的法向量为n = (2, 2, -1).
⊥ ????若B1F 平面A1EC1，则B1F // n，
x y -2
由 2 = 2 = -1，解得x = y = 4，不合题意，∴不存在动点F，使B1F ⊥平面A1EC1，故A错误；
B1 C1
如图，取AD的中点M，CD的中点N， A1 D1
连接MN，则MN // A1C1, ∴MN //平面 A1EC1，∴动点F的轨迹为线段MN，其长度为 2，故
B正确； B E C
F N
?????
???? 2 - (C1A1 ????
2 A
C1E 3 2 M D向量法计算点E到直线A1C1的距离为 C1E ????? = ，| C A （第11题答图2）1 1 | ) 2
则△A1EC1的面积为 12 × 2 2 ×
3 2
2 = 3，
- ??? ????显然，当F与D重合时，三棱锥F A1EC1的体积最大，则EF = ED = (2, 1, 0)，
| ???EF n |
点F到平面A1EC1的距离为 = 2，| n |
∴ 1三棱锥F - A1EC1体积的最大值为 3 × 3 × 2 = 2，故C正确；
对于选项D，∵正方体ABCD - A1B1C1D1外接球的球心为O (1, 1, 1)，半径R = 3，
????
????
则EO = (1, 0, 1 | EO n) | 1，则点O到平面A1EC1的距离为d = =| n | 3，
2
故球O被平面A1EC1所截截面圆半径 r = R2 - d2 = ( 3 ) 2 - ( 13 ) = 263 ，
∴ 26π截面圆的面积为πr2 = 9 ，故D正确 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 .
12. 3 154
b = sin B 3 3【解析】由正弦定理得 sin = 2，∴b = 2 c = 3．c C
cos = b2 + c2 - a2 = 9 + 4 - 16 = - 1则 A 2 ．bc 12 4
∴ sin A = 154 ，∴△ABC的面积是
3 15
4 .
13. n (m + n)
m y
P
【解析】如图，设准线与 x轴交于点E，过点Q作QD ⊥ PE于点D，
D Q
由抛物线定义得|DQ | = |QF | = n.
E O△ △ F
x
∵ PEF PDQ，
∴ | EF | = | PF | | EF | = m + n = | | = n (m + n )| | | ，即 ，得 p EF . （第13题答图）DQ PQ | n m m
14. f ( x ) = -12x5 + 30x4 - 20x3 + 1
【解析】由题知 f ′( x )是四次函数，则 0，1是方程 f ′( x ) = 0的二重根，不妨设 f ′( x ) = ax2 ( x - 1)2 = a ( x4 - 2x3 + x2 )，
数学试题答案 第3页（共7页）
( ) = ( x5 x4 x3则 f x a 5 - 2 + 3 ) + c.∵ f (0 ) = 1, ∴ c = 1.又∵ f (1) = -1，∴ a = -60.
∴ f ( x ) = -12x5 + 30x4 - 20x3 + 1.
四、解答题：本题共5小题，共77分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .
15.（1）解：设 q是等比数列{an}的公比，则
依题意，可得4a2 = 4a1 + a3 , …………………………………………………………………………………… 1分
4a1q = 4a1 + a1q2 q2 - 4q + 4 = 0， ……………………………………………………………………… 2分
q = 2. ………………………………………………………………………………………………………… 3分
又S3 = a1 (1 + q + q2 ) = 14 a1 = 2, …………………………………………………………………………… 4分
∴ an = 2n. ………………………………………………………………………………………………………… 5分
（2）证明：∵ an = 2 ∴ log2an b = n n， n =a 2n . ………………………………………………………………………… 6分n
1
又∵ Tn = 2 +
2
22 +
3 n
23 + + 2n， ①
∴ 12 Tn =
1 2 n - 1 n
22 + 23 + + 2 +n 2n + 1， ② ………………………………………………………………… 8分
1 é n
êê1 - ( 1 ) ùúú
∴ ① - ②得, 1 = ( 1 + 1 + 1 + + 1 ) - n = 2 2 n2 T 2 2 2 2 2 1 - 2 ， …………………………… 10分n 2 3 n n + 1 1 - n + 12
∴ = 2 - n + 2Tn 2 < 2n . ………………………………………………………………………………………… 11分
- = (2 - n + 3 ) - (2 - n + 2 ) = n + 1又Tn + 1 Tn 2n + 1 2n 2n + 1 > 0，
∴ {Tn}是递增数列，
∴ Tn ≥ T1 = 12，
∴ 12 ≤ Tn < 2. …………………………………………………………………………………………………… 13分
16.解：记事件A =“真实为运动类”，B =“真实为感知类”，C =“真实为噪声类”，
D1 =“识别为类A”，D2 =“识别为类B”，D3 =“识别为类C”.
由题意知：P（A）=0.5，P（B）=0.25，P（C）=0.25，P（D1| A）=0.8，P（D1| B）=0.1，P（D1| C）=0.1.……………………… 2分
（1）由全概率公式：P (D1 ) = P ( A)P (D1|A) + P (B )P (D1|B ) + P (C )P (D1|C )
= 0.5 × 0.8 + 0.25 × 0.1 + 0.25 × 0.1 = 0.45. ……………………………………… 5分
（2）单次误判概率：P = P ( A) (1 - 0.8) + P (B ) (1 - 0.8) + P (C ) (1 - 0.8)
= 0.5 × 0.2 + 0.25 × 0.2 + 0.25 × 0.2 = 0.2. …………………………………………… 10分
用X表示4次检测中误判的次数，则X~B (4,0.2), ……………………………………………………………… 11分
∴P (X = k ) = Ck4 (0.2)k (0.8)4 - k, (k = 0,1,2,3,4).
数学试题答案 第4页（共7页）
P (X = 0) = C04 × 0.20 × 0.84 = 0.409 6,
P (X = 1) = C14 × 0.21 × 0.83 = 0.409 6,
P (X = 2) = C24 × 0.22 × 0.82 = 0.153 6,
P (X = 3) = C34 × 0.23 × 0.8 = 0.025 6,
P (X = 4) = C44 × 0.24 = 0.0016.
∴X的分布列是
X 0 1 2 3 4
P 0.409 6 0.409 6 0.153 6 0.025 6 0.001 6
…………………………………………………………………………………………………………………… 14分
∴ E (X ) = np = 4 × 0.2 = 0.8.…………………………………………………………………………………… 15分
17.（1）证明：由题知四边形ABCD是边长为2的正方形，且AB = PD = 2，∴ BD = AB2 + AD2 = 2 2 .
又PB = 2 3，∴ PD2 + BD2 = PB2，∴ PD ⊥ BD. …………………………………… 1分 z
又依题意知PD ⊥ CD，BD CD = D,∴ PD ⊥ 平面ABCD，… 3分 P
∴ PD ⊥ BC.又CD ⊥ BC，CD PD = D,∴ BC ⊥ 平面PCD. E C
D y
…………………………………………………………………… 5分 A
又BC 平面PBC，∴ ⊥ . B平面PBC 平面PCD ………………… 6分 x
（2）解：由（1）可知PD ⊥ 平面ABCD，∴以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为 x轴、y轴、z轴，建立如图所示
??? ???
的空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2）. ∵PE = λPA ,∴E（2λ，0，2-2λ），
（λ ∈（0，1））………………………………………………………………………………………………………… 7分
∴ ????DB =（2，2 0 ????，），DE =（2λ，0，2-2 ??? ???λ），CP =（0，-2，2），CB =（2，0，0）. ……………………………………… 8分
设m =（x1，y1，z1），n =（x2，y2，z2）分别是平面BDE和平面PBC的法向量 .
????m DB = 2x1 + 2y1 = 0,
则{ ????m DE = 2λx1 + (2 - 2λ) z1 = 0,
取 x1 = 1 - λ，则m = (1 - λ,λ - 1, - λ). ……………………………………………………………………… 10分
???{n CP = -2y2 + 2z2 = 0,???n CB = 2x2 = 0,
取 y2 = 1，n = (0, 1, 1).…………………………………………………………………………………………… 11分
设平面BDE与平面PBC的夹角为 θ.
|m n | 1 2
则 cos θ = =|m || n | (1 - )2 + ( - 1)2 + 2 2 = cos 45° = 2 ………………………………………… 12分λ λ λ ·
∵ λ ∈ (0,1), ∴ λ = 1 13 ,∴存在λ = 3，使得平面BDE与平面PBC的夹角为45°. …………………………… 13分
2
此时，E ( 3 , 0, 4 ) , ∴ ??? = (- 4 , - 2, 4 ) , ???3 BE 3 3 BC = ( -2, 0, 0),
2
??? ??? 2
8
??? ÷
则点C BE BC BE到 的距离d = | BC |2 - ( ) = 4 - 3 ÷ 2 221| ??? ÷ =BE | 16 ÷+ 4 + 16 ÷ 17 .
è 9 9 ÷
∴ C BE 2 221点 到 的距离是 17 . ……………………………………………………………………………… 15分
数学试题答案 第5页（共7页）
18.解：（1）依题意有：
c = e = 1 3 32， 2 + 4 2 = 1，a2 = b2 + c2， ……………………………………………………………………… 2分a a b
∴ a2 = 4，b2 = 3，……………………………………………………………………………………………… 3分
∴ x2 y2椭圆C的方程：4 + 3 = 1. ……………………………………………………………………………… 4分
（2）显然P（-2，0），F（-1，0），………………………………………………………………………………… 5分
设 l：x = my - 1，代入3x2 + 4y2 = 12，得 (3m2 + 4) y2 - 6my - 9 = 0.
设M（x1，y1），N（x2，y2），则有：
y1 + y2 = 6m -93 2 + 4，y1 y2 = 3 2 + 4 . ………………………………………………………………………… 7分m m
①∴ y1直线PM:y = + 2 (x + 2)x . …………………………………………………………………………… 8分1
= -4 -2y1 -2y2令 x ，得 yG = x ，同理，yH = ,1 + 2 x2 + 2
∴ yk GFG = -3，kFH =
yH
-3, …………………………………………………………………………………… 10分
∴ k k = 1 ( -2y1 · -2y2 ) = 4 · y1 y2FG FH 9 my1 + 1 my2 + 1 9 m2 y1 y2 + m ( y1 + y2 ) + 1
-9
= 49 · 3m
2 + 4
-9 = -1,m2 6m2
3m2 + 4 + 3 + 1m2 + 4
∴ FG ⊥ FH，∴ ∠GFH = 90°（定值） ……………………………………………………………………… 12分
②设定点T（t，0），则由①知，
= xx 1 + x2 = 1 + 1 6m2Q 2 2 (my1 my2 - 2) = 2 ( 3 2 + 4 - 2) = -4m 3m2 + 4 .
∴ d = 43 2 + 4 .m
∵ k1 = y11 - ，k2 =
y2
my - t my - 1 - t， …………………………………………………………………… 14分1 2
-9
∴ y y 2k1k 1 2 3m + 42 = =
m2 y1 y2 - m (1 + t) (y1 + y2) + (1 + t )2 -9m2 6 (1 + t)m23 2 + 4 - 3 2 + 4 + ( t + 1)2m m
= -93m2 (t2 - 4) + 4 ( 1) 2，………………………………………………………………………………… 15分t +
∴ k1k2 = -9 3m2 + 4 = -27m2 - 36
d 3m2 (t2 - 4) + 4( t + 1)2 4 12m2 (t2 - 4) + 16( 1)2 是定值 .t +
∴ -27 -36 512 2 - 4 =(t ) 16( t + 1)2 , ∴ t = - 2，
∴定点T ( 5- 2 ,0). …………………………………………………………………………………………… 17分
数学试题答案 第6页（共7页）
19.（1）解：g ( x )的定义域是 (0, + ∞ ). ………………………………………………………………………………… 1分
∵ g ( x ) = ln f ( x ) = x ln (1 + 1 ) = x [ ln ( x + 1) - ln x ]x ，
∴ g′(x) = ln x + 1 - 1+ 1. ……………………………………………………………………………………… 2分
= 1
x x
令 t ( t > 0)，则g′( t ) = ln ( + 1) - tt + 1，x t
g″ (t) = 11 + -
1 t
(1 + )2 = (1 + )2 > 0, ( ∵ t > 0)t t t ，……………………………………………………………… 3分
∴ g′(t)在 (0, + ∞ )上严格单调递增，且g′(0) = 0，故对所有 t > 0，都有g′(t) > 0；
即g′(x) > 0对所有 x > 0成立 .
∴ g ( x )在 (0, + ∞ )上严格单调递增 . …………………………………………………………………………… 4分
1
（2）证明：∵ f (x) f ( ) > e ln éêf ( x ) f ( 1 )ùú > 1 x ln (1 + 1 ) + 1 ln ( x + 1) > 1x x x x ，………………………… 6分
1 1
由（1）可知 ln (1 + ) - 1 + > 0，∴ ln (1 + 1 ) > 11 + ，∴ ln ( x + 1) > xx x x x + 1，……………………………… 7分x
∴ x ln (1 + 1 ) + 1 ln ( x + 1) > x 1x x x + 1 + + 1 = 1x ，
∴ f ( x ) 1f ( ) > e.x ………………………………………………………………………………………………… 9分
（3）解：∵ h ( x ) = (1 + 1a ) x ln (1 + 1 ) + [ a - ln (1 + a ) ]ln x = 1a (1 + x )ln (1 + ) + [ a - ln (1 + a ) ]ln xx x x ，
∴ h′( x ) = a ln (1 + 1 ) + (1 + ) x (- 1 ) + a - ln (1 + a )a xx 1 + x x2 x
= a éêx ln (1 + 1 - 1 ln (1 + )ù a é 1 ùax x ) a ú = êg ( x ) - gx ( a )ú .…………………………………………………………… 11分
令 k ( x ) = g ( ) - ( 1x g a )，由（1）可知g ( x )在 (0, + ∞ )上单调递增，
∴ 1当 x ∈ (0, )时，k ( x ) < 0，h′( x ) < 0，h ( x )在(0, 1a a )上单调递减；
当 x ∈ ( 1 + ∞)时，k ( x ) > 0，h′( x ) > 0，h ( x ) 1a 在( , + ∞a )上单调递增，………………………………………… 13分
∴ M ( 1a ) = h ( ) = (a + 1)ln (1 + a ) - [ a - ln (1 + a ) ]ln aa . …………………………………………………… 14分
设F (a ) = M (a ) ∴ ′ aM′(a) - M (a)， F (a) =
a a2
，
é1 + ln (1 + ) - a - ln (1 + a ) 1a ê a - (1 - + 1 ) ln ùaú - (a + 1)ln (a + 1) + [ a - ln (a + 1) ] ln a∴ a aF′(a ) =
a2
é a - ln (1 + a )ùê ú ln a
= a + 1 .……………………………………………………………………………………… 15分
a2
2 ln ( + 1) > x a由（）知 x + 1 , ∴ + 1 - ln (1 + a ) < 0，x a
∴当a ∈ (0, 1)时，F′(a ) > 0；当a ∈ (1, + ∞)时，F′(a ) < 0，
∴ F (a )在（0，1）上单调递增，在（1，+ ∞）上单调递减，
∴ éM (a ) ùê ú = F (a ) max = F (1) = 2 ln 2.a ………………………………………………………………………… 17分 max
数学试题答案 第7页（共7页）

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