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广东广州市增城区增城一中、新塘中学、郑中钧中学三校2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ）
A. 在上是增函数 B. 在上是减函数
C. 在上的最大值是 D. 当时，取得极小值
2.如图，现要用5种不同的颜色对某市的4个区县地图进行着色，要求有公共边的两个地区不能用同一种颜色，共有几种不同的着色方法？（）
A. 120 B. 160 C. 180 D. 300
3.甲 乙两人向同一目标各射击1次，已知甲命中目标的概率为，乙命中目标的概率为，已知目标至少被命中1次，则甲命中目标的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.已知X的分布列为:
X -1 0 1
P a
若随机变量=,则P(=1)等于( )
A. B.
C. D.
5.已知函数f(x)=x在x=2处有极大值,则实数c的值为（）
A. 2 B. 6 C. 2或6 D. 8
6.下列求导正确的是（）
A. B.
C. D.
7.若函数在上存在最值，则实数的取值范围为
A. B. C. D.
8.设A，B为两个事件，已知，，，则（ ）
A. 0.24 B. 0.375 C. 0.4 D. 0.5
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若=+x++...+，，则
A. =1 B. =0
C. ++++= D. ++++=3
10.有甲、乙两个小组参加某项测试，甲组的合格率为70%，乙组的合格率为90%．已知甲、乙两组的人数分别占这两组总人数的70%，30%．从这两组组成的总体中任选一个人，用事件，分别表示选取的该人来自甲、乙组，事件表示选取的该人测试合格，则（ ）
A. B. C. D.
11.设函数，则（ ）
A. 是的极小值点 B. 当时，
C. 当时， D. 当时，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ．（用数字作答）
13.的展开式中，的系数为 .
14.已知函数f（x）的定义域为R，其导函数为f′（x），满足f'（x）＞2，f（2）=4，则不等式f（x-1）＞2x-2的解集为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
某种产品的加工需要经过5道工序．
（1）如果其中某道工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果其中某2道工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果其中某2道工序必须相邻，那么有多少种加工顺序？
（4）如果其中某2道工序不能相邻，那么有多少种加工顺序？
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=x-
(1)求该函数在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)证明:当x>1时,f(x)< x-1.
17.(本小题15分)
某种资格证考试，每位考生一年内最多有3次考试机会．一旦某次考试通过，便可领取资格证书．不再参加以后的考试，否则就继续参加考试，直到用完3次机会．李明决定参加考试，如果他每次参加考试通过的概率依次为0.6，0.7，0.8，且每次考试是否通过相互独立，试求：
（1）李明在一年内参加考试次数X的分布列；
（2）李明在一年内领到资格证书的概率．
18.(本小题17分)
从甲、乙、丙、丁4人中随机抽取3个人去做传球训练.训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出.
（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，.
①直接写出，，的值；
②求与的关系式（），并求（）.
19.(本小题17分)
已知函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】B
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】AD
11.【答案】ACD
12.【答案】30
13.【答案】30
14.【答案】（3，+∞）
15.【答案】（1）96，（2）36，（3）48，（4）72
16.【答案】解：（1）∵
∴ ,
∴， ,
∴切线方程为.
（2）令
则 ,
∵，∴，∴在（1，+∞）上单调递减，
∴时，而，∴ ,
∴当时， .
17.【答案】解：设=“第i次考试通过”(i=1,2,3).
(1)P(X=1)=P()=0.6,
P(X=2)=P()=0.40.7=0.28,
P(X=3)=P()+P()=P()=0.40.3=0.12.
故X的分布列为：
(2)一年内领到资格证书的概率为
P()+P()+P()=0.6+0.28+0.096=0.976,
或
1-P()=1-0.40.30.2=0.976.
18.【答案】解：（1）的可能取值为2和3，
则，，
所以随机变量的分布列为：
2 3
（2）①若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，次传球后球在甲手中的概率为，，
则有，，.
②记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，，
所以
，
即， ；
所以，且.
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，，
即次传球后球在甲手中的概率是.

19.【答案】解：（1）由f（x）=ae2x+（a-2）ex-x，
则
，
导函数中恒成立，
当时，恒成立，
所以在上有，
所以在上单调递减；
当a＞0时，令，，
令，解得，
∴在上，f（x）单调递减，
在上，f（x）单调递增.
综上可知：当a≤0时，f（x）在R单调递减，
当a＞0时，f（x）在（-∞，ln）单调递减，在（ln，+∞）单调递增；
（2）若a≤0时，由（1）可知：f（x）最多有一个零点，
所以a≤0不符合题意；
当a＞0时，由（1）可知，要使函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x有两个零点，则f（x）的最小值必须小于0，
又，
则 ，即，
令，，
所以在上单调递增，
又因为，
∴.
接下来说明时，存在两个零点：
当时，，，
此时，故，
又在上单调递减，，
故存在，使得，
当时，易证，
此时，
故，且满足，
又在上单调递增，,
故存在使得，
所以当时，存在两个零点.
综上所述，a的取值范围是（0，1）．
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