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2025-2026学年河北省保定市第二中学高一（下）期中数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.复数z满足(1+i)z=i，则在复平面内复数z所对应的点位于
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.在△ABC中，a=1，，B=45°，则A=（　　）
A. 45° B. 30° C. 45°或135° D. 30°或150°
3.体积为的圆柱的底面直径和高都等于球O的直径，则球O的表面积为（　　）
A. B. 12π C. 6π D.
4.已知，则向量的夹角为（　　）
A. B. C. D.
5.已知△ABC的面积为，则BC=（　　）
A. 3 B. 5 C. 7 D. 8
6.如图，三棱锥P-ABC中，△PAB，△PBC均为正三角形，△ABC为直角三角形，斜边为AC，M为PB的中点，则直线AM，PC所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
7.如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，则下列结论正确的有（　　）
①BC⊥平面PAB；
②AD⊥PC；
③AD⊥平面PBC；
④PB⊥平面ADC．
A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个
8.ABC中，内角A，B，C的对边分别是a,b,c,，且，a=2b,若，则线段CD长为（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a,b,c,已知a=3，b=4，∠C=60°，则下列结论正确的是（　　）
A. B. △ABC的面积为
C. D. a2+b2=c2-ab
10.在下列底面为平行四边形的四棱锥中，A，B，C，M，N是四棱锥的顶点或棱的中点，则MN∥平面ABC的有（　　）
A. B.
C. D.
11.已知在△ABC中，AB=2，AC=1，，，点P为线段AD的中点，则下列结论正确的是（　　）
A.
B.
C. 向量在向量上的投影向量为
D. 若，，λ＞0，μ＞0，且M，N，D三点共线，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，且与的夹角为，则= .
13.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边.若a=3，，，则b= .
14.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为24，∠ACB=90°，AA1=4，若直三棱柱ABC-A1B1C1的所有顶点都在球O的球面上，则球O表面积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
.
（1）若，求λ的大小；
（2）若，求，夹角的大小.
16.(本小题15分)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,已知.
（1）求A；
（2）若a=2，，求c.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c.已知a=5，b=11，.
（1）求c的值；
（2）求△ABC的面积；
（3）求sin（A-C）的值.
18.(本小题17分)
如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AB的中点，AA1=AB=4，.
（1）证明：CD⊥A1E.
（2）证明：BC1∥平面A1CD.
（3）证明：A1D⊥平面CDE.
19.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S.
（1）若△ABC为锐角三角形，且满足，
①求证：A=2C；
②设a=1，求b的取值范围；
（2）求的最大值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AB
10.【答案】BC
11.【答案】BCD
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】40π
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】解：（1）在△ABC中，因为a=5，b=11，，
所以由余弦定理c2=a2+b2-2abcosC，
得；
（2）在△ABC中，因为a=5，b=11，，
则，，
所以△ABC的面积；
（3）在△ABC中，由正弦定理，
可得，
，所以A＜C，
又，，
所以．
18.【答案】证明见解析； 证明见解析； 证明见解析．
19.【答案】①因为，由正弦定理可得cosA=，
所以2cosAsinC=sinB-sinC，
在△ABC中，sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC，
所以2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC-sinC
整理可得sinC=sinAcosC-cosAsinC=sin（A-C），
因此C=A-C或C+A-C=π（A=π舍去），
所以A=2C；②
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